导数的应用研究

导数的应用研究（共11篇）

导数的应用研究 篇1

在高考中, 导数已从前几年的辅导地位上升到研究函数性质必不可少的工具.高考的导数试题, 一般都是利用导数的符号, 判断函数的单调性, 再来确定函数的极值和最值, 寻求参数的范围, 进一步研究实际问题.下面仅以2008年高考试题为例, 说明有关导数问题的解决方法.

一、求导开路, 判断函数的单调性

例1 (2008年福建卷) 已知函数f (x) =ln (1+x) -x, 求f (x) 的单调区间.

解:因为函数f (x) =ln (1+x) -x的定义域为 (-1, +∞) , 且.

由f′ (x) >0得-10, 故f (x) 的单调递减区间为 (0, +∞) .

例2 (2008年北京卷) 已知函数, 求导数f′ (x) , 并确定f (x) 的单调区间.

令f′ (x) =0, 得x=b-1.

当b-1<1, 即b<2时, f′ (x) 的变化情况如表1.

当b-1>1, 即b>2时, f′ (x) 的变化情况, 如表2.

所以当b<2时, 函数f (x) 在 (-∞, b-1) 上单调递减, 在 (b-1, 1) 上单调递增, 在 (1, +∞) 上单调递减.

当b>2时, 函数f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减, 在 (1, b-1) 上单调递增, 在 (b-1, +∞) 上单调递减.

当b-1=1, 即b=2时, , 所以函数f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递减.

点评:因为导数的符号可判断函数的单调性, 所以首先由求导开路.对于导数等于零的点1, 要分三种情况讨论.

二、通过函数的单调性, 求极值和最值

例3 (2008年浙江卷) 已知a是实数, 函数f (x) =x2 (x-a) .求f (x) 在区间[0, 2]上的最大值.

解:.令f′ (x) =0, 解得x1=0, .

当, 即a≤0时, f (x) 在[0, 2]上单调递增.从而fmax=f (2) =8-4a.

当, 即a≥3时, f (x) 在[0, 2]上单调递减.从而fmax=f (0) =0.

点评:求导开路, 分两类讨论函数的单调性, 即可在端点处求得最大值.

三、通过函数的单调性, 寻求参数范围

例4 (2008年陕西卷) 设函数f (x) =x3+ax2-a2x+1, g (x) =ax2-2x+1, 其中实数a≠0. (Ⅰ) 若a>0, 求函数f (x) 的单调区间; (Ⅱ) 若f (x) 与g (x) 在区间 (a, 2a) 内为增函数, 求a的取值范围.

解: (Ⅰ) 因为, 而a>0.所以当x<-a或时, f′ (x) >0;当时, f′ (x) <0.所以f (x) 在 (-∞, -a) 和内是增函数, 在内是减函数.

(Ⅱ) 当a>0时, f (x) 在 (-∞, -a) 和内是增函数, g (x) 在内是增函数.

由题意得:, 解得a≥1.

当a<0时, f (x) 在和 (-a, +∞) 内是增函数, g (x) 在内是增函数.

由题意得:, 解得a≤-3.

综上可知, 实数a的取值范围是 (-∞, -3) ∪[1, +∞) .

点评: (1) f′ (x) 和g (x) 虽然都是二次函数, 但判断单调性的方法不同.前者是由f′ (x) 的符号判断f (x) 的单调性, 而后者g (x) 则由其对称轴的左、右两侧, 来确定其单调性. (2) 最后, 利用复合函数的单调性, 确定参数的范围.

四、借助导数解决实际问题

例5 (2008年湖北卷) 水库的蓄水量随时间而变化.现用t表示时间, 以月为单位, 年初为起点.根据历年数据.某水库的蓄水量 (单位:亿立方米) 关于t的近似函数关系式为:

(1) 该水库的蓄水量小于50的时期为枯水期, 以i-1

(2) 求一年内该水库的最大蓄水量 (取e=2.7计算) .

解: (1) 利用解不等式可得枯水期为1月, 2月, 3月, 4月, 11月, 12月, 共6个月.

(2) 由 (1) 知, V (t) 的最大值只能在 (4, 10) 内达到.由V′ (t) =0, 解得t=8 (t=-2舍去) .当t变化时, V′ (t) 与V (t) 的变化情况, 如表3所示.

由表3, V (t) 在t=8时取得最大值V (8) =8e2+50=108.32 (亿立方米) .

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.

点评:本题是通过函数的单调性, 求最值的一个很好的实际范例.

练习

1.设f (x) =ax3+bx2-3a2x+1 (a, b∈R) 在x=x1, x=x2处取得极值, 且|x1-x2|=2. (1) 若a=1, 求b的值.并求f (x) 的单调区间; (2) 若a>0, 求b的取值范围.

2.已知a是实数, 函数, 求函数f (x) 的单调区间.

3.设函数f (x) =ax+bx+c (a≠0) , 曲线y=f (x) 通过点 (0, 2a+3) , 且在点 (-1, f (-1) ) 处的切线垂直于y轴. (1) 用a分别表示b和c; (2) 当bc取得最小值时, 求函数g (x) =-f (x) e-x的单调区间.

参考答案

1. (1) b=0, 在 (-1, 1) 上单调递减.在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增 (2) .

2.当a≤0时, f (x) 的递增区间[0, +∞) ;当a>0时, f (x) 的递减区间, 递增区间.

3. (1) b=2a, c=2a+3; (2) g (x) 的递减区间为 (-∞, -2) 和 (2, +∞) , 递增区间为 (-2, 2) .

导数的应用 篇2

【关键词】导数 边际 边际分析

考虑经济问题时，成本、价格、利润、收入等经济量是必须要考虑的因素，一个企业最关心的问题是如何把握最佳产量，从而获利最高，在经济学中这些问题常用边际概念进行分析，这些概念都可用导数进行描述，本文讨论导数在这些经济问题中的应用。

一、“边际”概念

如果一个经济指标y是另一个经济指标x的函数y=f（x），那么当自变量在x处有一个单位的改动量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x处的边际量。设x的改变量为 ，经济变量y的改变量为 ，则y的平均变化率是 ，有边际的概念，在上式中取 或者 就可得到边际量的表达式。在经济理论研究中，总是用导数 表示经济变量y的边际量。

二、边际成本

厂家生产Q件产品的成本分C（Q）为两部分，一部分是“固定成本C0”，例如场地、固定设备、基本人员工资等。一部分是“可变成本C1（Q）”，与生产数量密切相关，例如消耗的材质、能源、计件工资等，成本函数为C（Q）= C0+ C1（Q）

例 某企业生产一种产品，固定成本为900元，每做Q件产品的可变成本为400Q-Q2元，求成本函数，并分别计算Q=10，20，30时的平均成本，和边际成本。

解：平均成本函数记为 ， 元/件， 元/件， 元/件。可见当生产不同数量产品时，平均成本并不相同。生产10件 产品时的成本是4800元，平均成本是480元。如果再多生产一件，即 ，总成本是多少？很容易计算 元。这时总成本增加量 元，这个成本增量成为“边际成本”，它既不等于 元/件，又不等于 元/件。此时计算 。 元/件。和前面的结果很接近。在实际经济量化分析问题中，经常将产量为Q时的边际成本 和此时已花费的平均成本 做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，上面例子中， ，说明可以增加产量。反之，如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本；当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低。

三、边际收入和边际利润

在经济学中，类似的可以定义边际收入和边际利润，在价格P水平上销售Q件商品所得款项称为“收入”，即 ，边际收入记为 。利润函数为 ，边际利润记为 。

例 某企业生产家用电器，设成本函数为 ，需求函数为 ，求收入函数和边际收入，并分别计算 件时的成本、平均成本、收入和边际收入。

解 ， ， ，知 是唯一驻点， 元是最大利润。

注意，最大利润和最大平均利润不是一回事。本例中，可求出平均利润的最大值点是 ，平均利润的最大值为每件产品获利2.7元；但此时总利润仅为7168元 元。而 件时，平均利润为每件 元/件 元/件。在经济学中还经常用到边际效用、边际产量、边际劳动生产率等概率，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再累赘。

以上是本人关于导数在经济中边际分析，由此可见导数在經济学中应用广泛，通过边际问题的分析，对于企业的决策者作出正确的决策起了十分重要的作用！

【参考文献】

[1]向隆万 数学赏析 上海交通大学出版社 2012年4月

[2]王兰林 导数在经济学中的应用 河南财政税务高等专科学校学报 2011年12月

导数在研究函数中的应用举例 篇3

一、利用导数研究函数的切线

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f'(x0).

温馨提示:函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与函数y=f(x)过点(m,n)的切线是不一样的.前者的切线的斜率是k=f'(x0),后者的斜率k不一定等于f'(m),除非点(m,n)在函数y=f(x)上.

例1 (2009年四川)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)(略).

解析:(Ⅰ)由已知求得切点为(2,0),故有f(2)=0,即

4b+c+3=0①

又f'(x)=3x2+4bx+c,由已知f'(2)=12+8b+c=5得

8b+c+7=0②

联立①②,解得b=-1,c=1.所以函数的解析式为f(x)=x3-2x2+x-2.

例2 (福建)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图1,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是图2中的()

解析:从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除(B)选项.再者导函数的函数值反映的是原函数任意点处的切线的斜率.可以明显看出y=f(x)的导函数是减函数,所以原函数切线的斜率应该变小,排除(A)、(C),最后就只有答案(D)了,可以验证y=g(x)导函数是增函数,对应的斜率越来越大.

点评:导数的几何意义,几乎是新课程高考每年必考的内容.在这类问题中,导数的任务是求出其切线的斜率,这类问题的核心部分是考查函数的思想方法.

二、利用导数研究函数单调性

一般地,函数f(x)在某个区间可导,

f'(x)>0⇒f(x)在这个区间是增函数.

一般地,函数f(x)在某个区间可导,

f'(x)<0⇒f(x)在这个区间是减函数.反之

一般地,函数f(x)在某个区间可导,f(x)在这个区间是增函数⇒f'(x)≥0.

一般地,函数f(x)在某个区间可导,f(x)在这个区间是减函数⇒f'(x)≤0.

温馨提示:(1)求函数的单调区间,必须优先考虑函数的定义域.(2)求函数的单调增(减)区间,要解不等式f'(x)>(<)0,此处不能带上等号.(3)已知函数的增(减)区间,应得到f'(x)≥(≤)0,必须要带上等号.

例3已知函数y=f(x)在定义域[-4,6]内可导,其图象如图3,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)≥0的解集为()

(A)

(B)

(C)

(D)[-4,3]U[0,1]∪[5,6]

解析:f'(x)≥0时,相应的函数y=f(x)递增,所以只需根据图象找出y=f(x)递增时x的取值范围即可,所以选(C).

例4 (2010年湖南)已知函数,其中a<0,且a=-1.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)略.

解析:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),

①当-11;令f'(x)<0,解得-a

②当a<-1,仿①可得f(x)在区间(0,1),(-a,+∞)上是单调递增,在(1,-a)上是单调递减.

综上所述:当-1

点评:用导数解决函数的单调性问题一直是各地高考及模拟试题的热点,此类问题的一般步骤同学们都能掌握,如例3.难点是求导后表达式涉及到参数,参数的取值范围若影响了函数的单调性,则需要对参数a进行分类讨论,如例4.

三、利用导数研究函数极值、最值

求函数的极值的一般步骤:先求定义域D,再求导,再解方程f'(x)=0,最后列表确定极值.

温馨提示:一般地,连续函数f(x)在点x0处有极值是f'(x0)=0的充分非必要条件.

例5 (2011年湖南理)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M、N,则当|MN|达到最小时t的值为()

(A)1

解析:由题|MN|=x2-lnx,(x>0)不妨令h(x)=x2-lnx,则,令h'(x)=0,解得,因时,h'(x)<0,当时,h'(x)>0,所以当时,|MN|达到最小.即.所以选(D).

例6已知函数f(x)=x3-3x-2.

(Ⅰ)求函数y=f(x)的极值;

(Ⅱ)若函数F(x)=f(x-m)+4m(m>0)在区间[m-3,n]上的值域为[-4,16],求m、n应满足的条件.

解析:(Ⅰ)f(x)在(-∞,-1],[1,+∞)上是增函数;在(-1,1)上是减函数.当x=1时,f(x)取得极小值-4,当x=-1时,f(x)取得极大值0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F(x)在(-∞,m-1]和[m+1,+∞)上是增函数,在(m.-1,m+1)上是减函数,因为F(m-3)=-20+4m,F(m+1)=-4+4m,又F(m-3)

点评:该两题都是考查函数最值的求法,例6还考查了学生方程思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查综合导数基础知识解决问题的能力,属于较难题.

四、利用导数研究函数图象交点(方程根)问题

函数试题中不断出现曲线交点的几何问题、方程解的代数问题,这类问题通常会涉及到高次方程或是超越方程,这时候若用初等数学来解比较棘手,若用导数这工具,问题便是迎刃而解.

例7 (2009福建卷理)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是__.

解析:由题意该函数的定义域(0,+∞),由因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x∈(0,+∞)范围内导函数

解法1:(图象法)再将之转化为g(x)=存在交点.当a=0不符合题意,当a>0时,如图4,数形结合可得显然没有交点,当a<0时,如图5,此时正好有一个交点,故有a <0,应填(-∞,0).

解法2:(分离变量法)上述也可等价于方程在(0,+∞)内有解,显然可得.

例8 (2006年福建卷)已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.

(Ⅰ)略;

(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

解析:(Ⅱ)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数Φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.

因为Φ(x)=x2-8x+6lnx+m.

所以.

当x∈(0,1)时,Φ'(x)>0,Φ(x)是增函数;当x∈(0,3)时,Φ'(x)<0,Φ(x)是减函数;当x∈(3,+∞)时,Φ'(x)>0,Φ(x)是增函数;当x=1,或x=3时,Φ'(x)=0.

所以Φ(x)最大值=Φ(1)=m-7,Φ(x)最小值=Φ(3)=m+6ln3-15.

因为当x充分接近0时,Φ(x)<0,当x充分大时,Φ(x)>0.

所以要使Φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须

即7

所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).

点评:讨论方程的根的存在性及个数的问题上,导数是一个很好的工具;在这一类问题上关键是将方程的问题转化成函数的零点或者函数图象交点问题,利用导数讨论函数的性质结合根的存在性定理及函数图象来解决问题.

总之,利用导数研究函数的性质及解决函数综合性的问题是高考的热点,对导数的学习,应该做到以下几点.

首先,要重视课本的基础作用.对导数的基础知识,要系统掌握,熟练应用,如导数的物理意义、导数的几何意义及导数在解决函数的单调性、最值、极值等方面的应用.

接着,要注重数学思想方法的渗透.用导数研究函数经常涉及到数学思想方法,如函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、有限与无限等数学思想.所以在复习中应该对数学思想方法和数学基本方法进行梳理、总结,逐个认识它们的本质特征,并灵活运用解决问题.

再次,要重视知识的交汇.“知识交汇点处”命制试题已成为高考命题的原则.函数、导数、方程与不等式、函数图象与方程的曲线等知识交汇为高考专家提供了新的命题视觉.因此在复习中要注意挖掘知识网络的交汇点,善于捕捉高考命题新视觉,使得高考复习真正做到方向明确,有效备考.

你来试一试:

1. f()的导函数f'(x)的图象如图6所示,则函数f(x)的图象最有可能的是图7中的()

2. 已知函数,讨论f(x)的单调性.

3. 已知函数f(x)=x3-ax2-3x(a∈R)

(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)若是函数f(x)的极值点,求函数f(x)在[1,a]上的最大值;

导数的应用(三) 篇4

（三）一、学习目标：

1．能利用导数解决函数的方程根的个数问题； 2．利用导数解决不等式问题

五、达标训练：

二、重点、难点:

利用导数研究与函数的极值与最值有关的综合问题

三、知识梳理：

1．函数的极值 2．利用导数求函数最值的步骤：

（1）（2）（3）（4）

3．如何利用导数研究方程根的问题？

4．如何利用导数研究不等式问题？

5．恒成立问题如何转化为函数最值问题？

四、典型例题：

例1：设函数f(x)x6x5,xR

（1）求函数f(x)的单调区间和极值

（2）若关于的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围（3）已知当x(1,)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围

例2: 已知a,b为实数，bae，其中e为自然对数的底数.求证：ab

ba

例3: 已知函数f(x)alnxx1b

x，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30．

（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且x1时，f(x)lnx

x1

．

1．已知函数f(x)x33x2c，若当x[1,3]时，f(x)14c2

恒成立.求实数c的取值范围

2．设函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)ax3

ax2

1f(1)1

2

x,aR

（1）求f(1)；（2）若函数f(x)在R上不存在极值，求实数a的取值范围.3．设函数f(x)

xlnx

(x0,x1)11）求函数f(x)的单调区间（2）已知2x

xa对任意x(0,1)都成立，求实数a的取值范围

【收获总结】

例谈导数应用的延伸 篇5

延伸之一 研究凹凸性

函数[f(x)]的导数[f ′(x)]表示曲线[y=f(x)]上点[(x,f(x))]处的切线的斜率，对[f ′(x)]再次求导，得到[f ″(x).][f ″(x)]的正负反映出曲线[y=f(x)]上切线斜率的增减，即[f ″(x)>0]表示[f(x)]为凹函数，[f ″(x)<0]表示[f(x)]为凸函数.

例1 如图所示，单位圆中弧[AB]的长为[x]，[f(x)]表示弧[AB]与弦[AB]所围成的弓形面积的2倍，则函数[y=f(x)]的图象为（ ）

A B C D

解 由题意可得，

[f(x)=2(12x-12sinx)=x-sinx,x∈[0,2π]]，

所以[f ′(x)=1-cosx,f ″(x)=sinx].

当[x∈[0,π]]时，[f ″(x)≥0]；当[x∈[π,2π]]时，[f ″(x)≤0]，故选择D.

点评 多数函数在某些区间上都具有相应的凹凸性，因此，在探讨函数图象的特征时，可以通过类似上述求二阶导数的办法去解决.

延伸之二 构建不等式

这主要体现在两方面：（1）应用导数可以判断函数的单调性，而函数的单调性反映的正好是一种不等关系，即[x1f(x2)]；（2）应用导数可以求函数的最值，而函数若有最值，则必有[f(x)min≤f(x),f(x)max≥f(x)]. 这都为不等式的建立和证明提供了很好的依据.

例2 已知函数[f(x)=ln(1+x)-x,g(x)][=xlnx.]

（1）求函数[f(x)]的最大值；

（2）设[0<][a

[0

解 （1）由[f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)],得

[f ′(x)=11+x-1=-x1+x].

显然，[x∈(-1,0)]时，[f ′(x)>0;]

[x∈(0,+∞)]时，[f ′(x)<0].

故[f(x)]在[x=0]处取得极大值（也是最大值），[fmax(x)=f(0)=0].

（2）方法一

由（1）知，[x>-1]时，[f(x)≤f(x)max][=f(0)=0].

故当[x≠0]时，有[f(x)<0]，即[ln(1+x)-x].

又[00,-12-b-a2a].

同理[ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)>-a-b2b].

于是[aln2aa+b+bln2ba+b>-b-a2-a-b2=0]，

即[g(a)+g(b)-2g(a+b2)>0].

又[2aa+b

故[aln2aa+b+bln2ba+b

[=(b-a)ln2ba+b<(b-a)ln2]，

故命题得证.

方法二

设[F(x)=g(x)+g(a)-2g(a+x2),x∈(0,+∞)].

则[F ′(x)=lnx-lna+x2].

显然，[x∈(0,a)]时，[F ′(x)<0]，[x∈(a,+∞)]时，[F ′(x)>0]，所以[F(x)]在[(a,+∞)]上为增函数.

又[0F(a)]，而[F(a)=0]，故[F(b)>0,]即[g(b)+g(a)-2g(a+b2)>0].

又设[G(x)=F(x)-(x-a)ln2,]

则[G ′(x)=lnx-ln(a+x)].

当[x∈(0,+∞)]时，[G′(x)<0]，即[G(x)]为[(0,+∞)]上的减函数，又[0

故[g(a)+g(b)-2g(a+b2)<(b-a)ln2].

点评 （1）本题第二问的两种证法分别是通过函数的最值性与单调性建立不等式，从而使问题获得解决的；（2）用导数证明不等式的前提是构造与问题相关的新函数. 比如，要证[f(x)≤g(x)],[x∈a,b]，可以构造函数[F(x)=f(x)-g(x)],[x∈a,b]，于是转化为求证[F(x)≤0]，如果将0视为函数值[F(x0)]，从而即证[F(x)≤F(x0)]. 当[x0∈a,b]时，可以考虑证明函数[F(x)=f(x)-g(x)]在[x0]处取得极大值，当[x0∉a,b]时，即可考虑证明函数[F(x)=f(x)-g(x)]在[x∈a,b]上单调，最终达到预期目的.

延伸之三 讨论方程根

由于导数可以研究函数的单调性与极值，因而通过分析极值的正负及单调情况便能断定函数图象穿过[x]轴的次数，这就使得用导数讨论方程根成为可能.

例3 已知函数[f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.]

（1）求[f(x)]在区间[[t,t+1]]上的最大值；

（2）是否存在实数[m]，使得[y=f(x)]的图象与[y=g(x)]的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出[m]的范围；若不存在，请说明理由.

解 （1）略.

（2）设[φ(x)=g(x)-f(x),]问题转化为[φ(x)=0]有且只有三个不同的正根.

由[φ(x)=x2-8x+6lnx+m]得，

[φ ′(x)=2(x-1)(x-3)x(x>0)].

当[x∈(0,1)]时，[φ ′(x)>0]；[x∈(1,3)]时，[φ ′(x)<0]；[x∈(3,+∞)]时，[φ ′(x)>0].

所以[φ(x)极大值=φ(1)=m-7,]

[φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15].

又[limx→0+φ(x)<0]，[limx→+∞φ(x)>0]，要保证[φ(x)]的图象在[x]正半轴上穿过3次，由单调性及极值，结合图象分析知，必要求[φ(x)极大值>0，φ(x)极小值<0]，于是得到[7

点评 讨论方程的根是否存在或根的个数时，可求出方程对应的函数的导数，找出极值点，研究极值点所分的各个区间上函数的单调性以及极值的符号. 如果定义域为类似于[-∞,0]这样的开区间，只需再探求一下[x]趋向于[-∞]和[0-]时函数极限值的符号.

延伸之四 求函数极限

例4 设函数[f(x)=(x+1)ln(x+1)]. 若对所有的[x≥0]，都有[f(x)≥ax]成立，求实数[a]的取值范围.

解 问题转化为求[xln(x+1)+ln(x+1)≥ax]恒成立时[a]的取值范围.

当[x=0]时，[a∈R].

当[x>0]时，有[ln(x+1)+ln(x+1)x≥a]恒成立，所以[ln(x+1)+ln(x+1)xmin≥a]，

设[g(x)=ln(x+1)+ln(x+1)x,]则

[g′(x)=1x+1+1x(x+1)-ln(x+1)x2]

[=x-ln(x+1)x2,]

下证[x-ln(x+1)>0].

设[h(x)=x-ln(x+1),因为h′(x)=1-1x+1>0]，所以[h(x)]为增函数，[h(x)>h(0)]，即[h(x)>0]，故[g′(x)>0]，则[g(x)]为增函数，所以问题转化为[limx→0+ln(x+1)+ln(x+1)x≥a]，即[limx→0+ln(x+1)x≥a].

而[limx→0+ln(x+1)x=limx→0+ln′(x+1)x′=limx→0+1x+11=1,]

所以[a≤1].

点评 对于[00,∞∞]型极限问题，如果[f(x),g(x)]在[x0]的空心邻域内可导，且[g′(x)≠0]，则有[limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f ′(x)g′(x)=A]，即可以用导数求解类似的极限问题（洛必达法则）.

延伸之五 解特殊不等式

例5 解关于[x]的不等式[ln(1+1-xx)-][1-xx>ln2-1].

解 考查函数[f(x)=ln(1+x)-x,x∈0,+∞]，可证该函数为[0,+∞]上的减函数，又[ln2-1=f(1)]，所以不等式化为[1-xx<1]，解得[x12

点评 对于某些特殊不等式，根据其结构特征，可构造一个可导函数，先利用导数判断其单调性，再将要解的不等式两边化为相应的函数式，利用单调性脱去函数符号，转化为解常规不等式.

【练习】

1. 当[a>1]时，若[a-lna

2. 已知函数[f(x)=x2+2x+alnx(x>0)]，求证：对任意不相等的正数[x1,x2]，当[a≤0]时，[f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)].

3. 已知函数[f(x)=14x4+x3-92x2+cx]有3个极值点，求实数[c]的范围.

4. 求证不等式：[12+13+…+1n+1

【参考答案】

1. [1≤a

2. 提示：本题即求证当[a≤0]时函数为凹函数，故证明[f ″(x)≥0(x>0)]即可.

3. [-27

导数在研究函数单调性中的应用 篇6

利用导数,函数的单调性判别法则为:在区间B上,若f(x)>0则f(x)在B上是增函数;若f(x)<0,则f(x)在B上是减函数。反之,若f(x)在B内可导,那么若f(x)在B上是增(减)函数,一定有f(x)≥0(≤0)。下面,谈谈导数在研究函数单调性中的应用。

一、求函数的单调区间

例1确定函数y=x2-2x+4的单调区间。

解:y'=2x-2,解不等式y'=2x-2>0,得x>1,因此y在(1,+∞)内是增函数;解不等式y'=2x-2<0,得x<1,因此y在(-∞,1)内是减函数。

例2确定函数y=ln(2-3x)的单调区间。

解:函数y=ln(2-3x)的定义域是在内y'<0,∴y在内单调递减。

注意:利用导数讨论函数的单调区间时,首先要注意原函数的定义域。比如例2,如果认为在内是增函数,那就错了。因为,原函数无定义,解题时,只能在原函数的定义域内讨论。

利用导数求函数单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域,(2)求导数f'(x),(3)在f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,(4)写出f(x)的单调区间。

二、证明不等式

说明:构造一个函数f(x),通过研究f(x)的增减性,从而证明不等式。

三、参数问题

例4如果函数在[1,3]上为增函数,求实数a的取值范围。

解:f(x)在[1,3]上为增函数,即在(1,3)上为增函数。

f'(x)=(a-1)x+a

当a=1时,f'(x)=0无解,此时,f'(x)=1>0,所以f(x)满足在(1,3)上为增函数。当a≠1时,由f'(x)=0,得,所以f'(x)在(1,3)上为增函数。当且仅当f'(x)≥0在(1,3)上恒成立,即,x∈(1,3)时恒成立。所以。综上可得,a取值范围是。

导数的应用 篇7

分析在导数定义中, 增量Δx的形式是多种多样, 但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择相对应的形式.

二、利用求导、积分公式化简

方法解析:有时函数的导函数具有比原函数简单得多的形式, 并且它容易通过积分而求得所需要的变换, 因此可以把某代数式先定义为某一变量的函数, 对此变量求其导函数, 再对此变量求积分, 从而由已知确定积分常数.

例2化简: (a+b) 3+ (b+c) 3+ (c+a) 3-3 (a+b) (b+c) (c+a) .

解令f (a) = (a+b) 3+ (b+c) 3+ (c+a) 3-3 (a+b) (b+c) (c+a) , 视b, c为常量, 对a求导, 得:

再对a积分, 得f (a) =2a3-6abc+C.

当a=0时, C=f (0) =b3+ (b+c) 3+c3-3bc (b+c) =2b3+2c3.

因此:f (a) =2 (a3+b3+c3-3abc) .

三、利用导数的几何意义求切线方程

导数的几何意义:函数y=f (x) 在点x0处的导数就是曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) 处的切线斜率k, 故求过点P (x0, f (x0) ) 的曲线y=f (x) 的切线方程时, 应先判断P (x0, f (x0) ) 是否是切点, 如果是, 根据导数的几何意义得切线方程为y-y0=f' (x0) (x-x0) ;若点P (x0, f (x0) ) 不是切点, 则应设切点为 (x1, y1) , 求出 (x1, y1) , 再求切线方程.

例3已知曲线f (x) =x3上一点P (2, 8) , 求在点P处的切线方程.

大多数学生能套用上面的公式得到结果:12x-y-16=0.

例4已知曲线f (x) =x3上一点P (2, 8) , 求过点P的切线方程.

解设切点为M (x0, f (x0) ) , 则切线的方程为y-y0=f' (x0) (x-x0) , 由点P在切线上, 代入切线方程8-x03=3x03 (2-x0) , 整理得 (x0-2) 2 (x0+1) =0, 所以x0=-1或x0=2, 则切线方程为3x-y+2=0或12x-y-16=0.

要注意区分“在点处”与“过点处”求切线方程时的区别, 其中在点处的点必为切点, 过点处的点不一定是切点, 在解题时要注意审题.

四、利用导数研究函数性质

(一) 利用导数求函数的单调性

1. 判断方法

(1) 设f (x) 在区间I上可导, 则f (x) 在I上递增 (减) 的充要条件是:f' (x) ≥0 (≤0) ;

(2) 设函数在区间I上可微, 若f' (x) >0 (f' (x) <0) , 则f在I上严格递增 (严格递减) .

2. 求解函数单调性的一般步骤 (1) 确定函数的定义域;

(2) 求出使函数f' (x) =0和f' (x) 不存在的点, 并以这些点为分界点, 将定义域分成若干个子区间;

(3) 确定f' (x) 在各个子区间的符号, 从而确定f (x) 的单调区间.

例5证明不等式ex>1+x, x≠0.

证明设f (x) =ex-1-x, 则f' (x) =ex-1.故当x>0时, f' (x) >0, f严格递增;当x<0时, f' (x) <0, f严格递减.又由于f在x=0处连续, 则当x≠0时, f (x) >f (0) =0, 从而证得ex>1+x, x≠0.

(二) 利用导数求函数的极值、最值

对于可导的函数而言, 函数在某处取得极值, 则函数在此处导数必等于0;反之, 若导数在某处值为零, 则函数在该驻点不一定取得极值, 还需进一步检验导函数在驻点左右两边的符号变化, 即要理解可导函数的极值点必为驻点, 但驻点却不一定为极值点的含义.

主要方法步骤:

(1) 根据求导法则求出函数y=f (x) 的导数f' (x) .

(2) 再求方程f' (x) =0的根, 得到驻点.

(3) 分区间讨论, 得出函数的单调区间.

(4) 判断极值点.考查f' (x) 在f' (x) =0的根 (驻点) 左右近旁值的符号, 如果左正右负, 则y=f (x) 在驻点处取得极大值;如果左负右正, 则y=f (x) 在驻点处取得极小值.

(5) 求最值.比较函数在所有极值点、不可导点和区间端点上的函数值, 从中找到函数在闭区间上的最大 (小) 值.

例6设函数f (x) =2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.

(1) 求a, b的值;

(2) 若对于任意的x∈[1, 3], 都有f (x)

解 (1) f' (x) =6x2+6ax+3b, 因为函数在x=1及x=2时取得极值, 则有f' (1) =0, f' (2) =0,

解得a=-3, b=4.

得驻点x=1, x=2.

当x∈ (0, 1) 时, f' (x) >0;

当x∈ (1, 2) 时, f' (x) <0;

当x∈ (2, 3) 时, f' (x) >0.

所以当x=1时, f (x) 取得极大值f (1) =5+8c.

则当x∈[0, 3]时, f (x) 的最大值为f (3) =9+8c.

由题意x∈[0, 3], 有f (x)

所以9+8c9.

因此c∈ (-∞, -1) ∪ (9, +∞) .

五、利用导数证明不等式

(一) 利用函数的单调性证明不等式

许多不等式直接或整理后与函数相关, 我们可以先用导数证明函数的单调性, 再用函数单调性去证明不等式.

令g' (x) =0, 得x=0.

当x∈ (-1, 0) 时, g' (x) <0, g (x) 在此区间上是减函数;

当x∈ (0, +∞) 时, g' (x) >0, g (x) 在此区间上是增函数.

所以当x>-1时, g (x) ≥g (0) =0.

(二) 利用Lagrange中值定理证明不等式

主要方法步骤:

(1) 分析要证明的不等式, 通过适当的变形后, 选取辅助函数f (x) 和区间[a, b].

(2) 根据Lagrange中值定理得到

(3) 根据导函数在[a, b]上的单调性, 把f' (c) 适当放大或缩小, 从而推证要证明的不等式.

例8证明不等式.

证明设f (x) =lnx, 则f (x) 在[a, b]上满足Lagrange中值定理的条件, 所以c∈ (a, b) , 使得, 由, 得.

六、导数在经济分析中的应用

导数是函数关于自变量的变化率, 在经济工作中, 也存在变化率的问题, 著名的边际分析就是用求函数导数的方法解决边际变化问题的.在经济学中, 如果某经济指标与影响指标的因素之间成立函数关系y=f (x) , 那么称导数y=f' (x) 为f (x) 的边际函数.对于企业经营来说, 进行边际分析是非常重要的, 企业如果离开边际分析而盲目生产, 就会造成资源的巨大浪费.导数作为边际分析的重要工具, 可以给企业决策者提供客观、准确的依据, 从而作出合理的决策.在经济活动中利用导数工具涉及的边际变化有:边际成本、边际收益、边际利润等.下面以边际利润为例说明导数在经济分析中的作用.

例9某企业加工某产品的总成本函数为C (x) =100+4x+0.03x2, 总收入函数为R (x) =10x+0.02x2, 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、300公斤和400公斤时的边际利润, 并且说明经济意义.

解 (1) 总利润函数为L (x) =R (x) -C (x) =6x-100-0.01x2, 则根据定义, 边际利润函数为L' (x) =6-0.02x.

(2) 当日产量分别为200公斤、300公斤和400公斤时的边际利润分别为L' (200) =2, L' (300) =0, L' (400) =-2.

其经济意义为:当日产量为200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加2元;当日产量为300公斤时, 再增加1公斤, 则总利润无增加;当日产量为400公斤时, 再增加1公斤, 则反而亏损2元.

结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的驻点L' (x) =0时, 反而使企业无利润.

摘要：导数是一个知识独特、应用广泛, 与初、高等数学衔接紧密的重要内容, 是近代数学的重要基础, 它的引入为解决数学问题提供了新的视野, 是求解析几何中曲线的切线、证明不等式、研究函数性质、探求函数的极值及最值和解决一些实际问题等等的有力工具.本文拟就导数的应用, 谈一点个人的认识, 希望学生学会怎样依据问题本身所提供的信息, 利用动态思维, 寻找和选择有利于问题解决的变换途径和方法, 从而加强对导数的理解和应用.

关键词：导数,函数的单调性,极值,最值,不等式

参考文献

[1]李国华.导数的应用.牡丹江教育学院学报, 2011 (2) .

聚焦导数的应用 篇8

一、导数的直接应用

1.利用导数的定义求极限

例1 求undefined

解:令 f (x) =ex, 则

f ′ (x) =ex, f (0) =1.

undefined

例2 设函数 f (x) 在 x=a 处可导, 且

f ′ (a) =A, 求极限undefined

解:原式

undefined

点评:要准确理解导数的定义, 若undefined, 且当 x≠x0 时, g (x) ≠0, f (x) 在 x=a 处可导, 则undefined

2.利用导数证明不等式

例3 若 f (x) =x3+bx2+cx+d 在 (-∞, 0) 上是增函数, 在 (0, 2) 上是减函数, f (2) =0, 求证:f (1) ≥2.

证明:f ′ (x) =3x2+2bx+c,

由 f ′ (0) =0, 得 c=0.

由 f (2) =0, 得 d=-4b-8.

所以undefined

当 x<0时, f ′ (x) >0, 则undefined.当 0

undefined

, 则undefined.综上, 恒有 b≤-3.

所以 f (1) =1+2b+d=-7-3b≥2.

3.研究方程根的问题

例4 若 a>3, 试判断关于 x 的方程 x3-ax2+1=0在[0, 2]上的实数根的个数, 并说明理由.

解:设 f (x) =x3-ax2+1, 则

undefined

因为 a>3, 所以undefined, 则当 x∈ (0, 2) 时, f ′ (x) <0, 所以 f (x) 在 (0, 2) 上单调递减.

又 f (x) 在 x=0和 x=2处均连续, 且 f (0) =1>0, f (2) =9-4a<0, 所以关于 x 的方程 x3-ax2+1=0在[0, 2]上有且只有一个实数根.

点评:由点 (0, f (0) ) 、 (2, f (2) ) 分别在 x 轴的上方与下方, 且 f (x) 在 (0, 2) 上连续单调, 可判断 y=f (x) 在[0, 2]上的图象与 x 轴有且仅有一个交点, 则得结论.

4.处理不等式恒成立问题

例5 设函数undefined

(1) 若 a=1, 点P为曲线 y=f (x) 上一个动点, 求以P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;

(2) 若 x∈[0, 3a]时, f (x) ≥0恒成立, 求 a 的取值范围.

解: (1) 设切线的斜率为 k, 则

k=f ′ (x) =x2-2x-3.

可见当 x=1时, k 有最小值-4.

又undefined, 所以切线方程为undefined, 即 12x+3y+8=0.

(2) 由 k=f ′ (x) =x2-2x-3>0, k=f ′ (x) =x2-2x-3<0, 得 f (x) 在 (-∞, -1) 和 (3, +∞) 上为增函数, 在 (-1, 3) 上为减函数.

若 x∈[a, 3a]时, f (x) ≥0恒成立, 则

undefined

或

undefined

或

undefined

①, ②无解, 由③得 a≥6.

所以 a 的取值范围为[6, +∞) .

点评:恒成立有“a≤f (x) 恒成立”和“a≥f (x) 恒成立”两种类型, 基本方法是求 f (x) 的最小值 m 或最大值M, 将问题转化为“a≤m”, 或“a≥M”.本题中“f (x) ≥0恒成立”即 [f (x) ]min≥0.

5.利用导数求数列和

例6 求undefined

解:undefined

而undefined, 两边求导有undefined

取undefined, 则有undefined

又undefined, 所以undefined

6.利用导数证明恒等式

例7 当 n∈N*, 且 n≥2时, 求证Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…=2Cundefined+4Cundefined+6Cundefined+….

证明:因为 (1+x) n=Cundefined+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn, 两边求导, 则 n (1+x) n-1=Cundefined+2C2nx+3C3nx2+…+nCnnxn-1.取 x=-1, 得

0=Cundefined-2Cundefined+3Cundefined-4Cundefined+….

所以Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…=2Cundefined+4Cundefined+6Cundefined+….

二、导数的综合应用

1.巧用导数比较大小

例8 已知2≤m

解:设undefined, 则

undefined

当 x∈[2, +∞) 时,

undefined,

所以 f ′ (x) <0, 故 f (x) 在[2, +∞) 上为减函数.

又2≤mf (n) , 即

undefined,

所以 (1+m) n> (1+n) m.

2.导数与数列的综合

例9 已知函数 f (x) =e-x (cosx+sinx) , 将满足 f ′ (x) =0的所有正数 x 从小到大排列成数列{xn}, 求证数列{f (xn) }为等比数列.

证明:f ′ (x) =-e-x (sinx+sinx) +

e-x (-sinx+cosx) =-2e-xsinx.由 f ′ (x) =0, 有-2e-xsinx=0, 得 x=nπ (n∈Z) .所以

undefined

因此数列{f (xn) }是公比为 q=-e-π的等比数列, 且首项为 f (x1) =-e-π.

3.导数与集合、函数的综合

例10 设函数undefined, 集合M={x|f (x) <0}, P={x|f ′ (x) >0}.若M⊆P, 则实数 a 的取值范围是__.

解:undefined

此时undefined

又undefined,

在 (1, +∞) 上是增函数, 满足 f ′ (x) >0且 f (x) <0的解集 (1, a) 是 (1, +∞) 的子集, 满足条件M⊆P.所以 a 的取值范围是 a>1.

点评:本题以集合为载体, 考查了函数、不等式问题与导数方法的运用, 也考查了集合间的包含关系.

4.导数与平面向量的综合

例11 已知平面向量 a= (x2, x+1) , b= (1-x, t) , 若函数 f (x) =a·b, 在区间 (-1, 1) 上是增函数, 求 t 的取值范围.

解:f (x) =x2 (1-x) +t (x+1)

=-x3+x2+tx+t,

则 f ′ (x) =-3x2+2x+t.

当 x∈ (-1, 1) 时, 应有-3x2+2x+t>0成立, 所以 f ′ (-1) ≥0且 f ′ (1) ≥0, 即

undefined

所以 t 的取值范围是[5, +∞) .

5.导数与函数、解析几何的综合

例12 已知曲线段OMB是抛物线 x2=y 在0

(1) 试用 t 表示切线PQ的方程;

(2) 试用 g (t) 表示S△QAP, 若函数 g (t) 在区间 (m, n) 上单调递减, 试求出 m 的最小值;

(3) 若undefined, 试求出点P横坐标的取值范围.

解: (1) 设点M (t, t2) .因为 f ′ (x) =2x, 所以过点M的切线PQ的斜率 k=2t, 所以切线PQ的方程为 y=2tx-t2.

(2) 由 (1) 可求得undefined

undefined

则 4

得 4

(3) 由 (2) 知 g (t) 在 (4, 6) 上递减, 所以S△QAP∈ (54, 64) .令 g′ (t) >0, 则 0

所以 g (t) 在区间 (0, 4) 上递增, 此时S△QAP∈ (0, 64) .

又 g (4) =64, 所以 g (t) ∈ (0, 64].

由undefined, 得

undefined

所以点P的横坐标取值范围是undefined

导数的应用种种 篇9

应用一、研究函数的单调性、极值

例1研究函数f (x) = (x2-2) 3+3的单调区间与极值.

列出f′ (x) 、f (x) 随x的变化情况如表1.

故函数f (x) 在 (-∞, 0) 上单调递减, 在 (0, +∞) 上单调递增, 函数f (x) 的极小值为f (0) =-5.

评注: (1) 用传统数学教材中的知识与方法往往难以研究像例1这种函数问题的单调性, 导数无疑为这类问题的解决提供了简便快捷的方法. (2) 当方程f′ (x) =0的根较多时, “列表法”简明快捷. (3) 可导函数f (x) 在x=x0处有极值的必要条件是f′ (x0) =0.

应用二、求过某点曲线的切线方程

例2求过点 (2, 0) 且与曲线相切的直线方程.

解:设切点为P (x0, y0) , 由y

所以所求切线方程为x+y-2=0.

评注:若点P (x0, y0) 在曲线y=f (x) 上, 则过点P的切线方程为y-y0=f′ (x0) (x-x0) .

想一想:若点P (x0, y0) 不在曲线y=f (x) 上, 如何求过点P的切线方程?

应用三、比较大小

例3比较20072008与20082007的大小.

解:先证明命题:若eba.

要证ab>ba, 只须证b·lna>a·lnb, 即须证

又ef (b) , 故命题得证.

根据上面命题, 显然有20072008>20082007.

评注:“特殊”※“一般”, 为导数法创造了条件.

应用四、解不等式

例4解关于x的不等式

评注:导数在这类问题中的应用往往是隐性的, 关键是创造条件、去模拟结构引入辅助函数.

应用五、证明不等式

例5已知函数f (x) =lnx.求证:当x>a>0时, 恒有

所以函数h (t) 在 (1, +∞) 上单调递增, 所以h (t) >h (1) =0, 故原不等式得证.

评注:近年来, 一些用传统方法难以证明的不等式问题逐渐融入高考, 导数为这类问题的研究和解决提供了新途径, 同时也充分展示了导数的思维价值和应用价值

应用六、探求高次方程或超越方程实根的个数

例6已知方程x-a=ln (1+x) 2在区间[0, 2]上恰有两个相异实根, 求实数a的取值范围.

所以g (x) 在[0, 1]单调递减, 在[1, 2]单调增, 如图1所示.

评注:高次方程或超越方程实根的个数问题, 通常是构造相应函数, 利用导数研究函数性态, 分析函数图象的整体形象, 并利用图形的直观性来探求.

应用七、处理恒成立问题

所以g (x) 在 (0, +∞) 上单调递增, 又g (2) =1-ln3<0, g (3) =2-2ln2>0,

所以方程g (x) =0存在唯一实根a, 且满足a∈ (2, 3) , a=1+ln (a+1) .

因为当x>a时, g (x) >0, h′ (x) >0, 函数h (x) 单调递增;当0

故正整数k的最大值为3.

评注:分离参数, 揭示函数关系, 为导数法解决问题创造了条件.

应用八、化简求值

例8若 (x2+1) (x-2) 9=a0+a1 (x-1) +a2 (x-1) 2+…+a11 (x-1) 11, 则 (a1+3a3+…+11a11) 2- (2a2+4a4+…+10a10) 2= (用数字作答) .

分析:首先求出a1, a2, a3, …, a10, 这种方法朴素, 但误入了歧途, 运算烦琐.

解:由 (x2+1) (x-2) 9=a0+a1 (x-1) +a2 (x-1) 2+…+a11 (x-1) 11, 两边求导得2x (x-2) 9+9 (x2+1) (x-2) 8=a1+2a2 (x-1) +3a3 (x-1) 2+…+11a11 (x-1) 10, 令x=2, 得a1+2a2+3a3+…+10a10+11a11=0.

应用九、处理数列问题

例9若数列{an}满足a1=c∈ (0, 1) 且an+1=ln (2-an) +an (n∈N*) , 求证:0

(1) 由题设知a1=c∈ (0, 1) .

(2) 假设0

当x∈ (0, 1) 时, f′ (x) >0, 故f (x) =ln (2-x) +x在 (0, 1) 上是增函数.

因此, 当n=k+1时, ak+1=ln (2-ak) +a>ln (2-0) +0>0,

且ak+1=ln (2-ak) +ak

综上 (1) , (2) 得n∈N*时, 0

又因为an+1-an=ln (2-an) >0, 所以0

评注:本题函数、不等式、数列、数学归纳法、导数有机结合、交互渗透, 恰符合近年来在知识网络交汇处设计试题的高考命题思想应当引起重视.

应用十、求解应用题

例10某汽车启动阶段的位移函数是s (t) =t3-t2, 求t=2秒时汽车的加速度.

解:因为v (t) =s′ (t) =3t2-2t, 所以α (t) =v′ (t) =6t-2,

所以当t=2时, α (t) =10, 即t=2秒时, 汽车的加速度为10.

评注: (1) 设s=s (t) 是位移函数, 则s′ (t0) 表示物体在t=t0时刻的瞬时速度;

(2) 设v=v (t) 是速度函数, 则v′ (t0) 表示物体在t=t0时刻的加速度.

例11如图2, 假设河的一条岸边为直线MN, AC⊥MN于C, 点B、D在MN上, 现将货物从A地经陆地AD和水路DB运往B地.已知AC=10km, BC=30km, 又陆地单位距离的运价是水路单位距离运价的2倍, 为使运费最少, D点应选在距C点多远处?

解:根据题意知, 设D点选在距C点xkm处, 则, 设水路每km的运费为1, 则运费y=30-x+

故D点应选在距km时运费最少.

导数几何意义的应用分类解析 篇10

关键词：导数的几何意义；应用；分析

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）06-001-01

导数的几何意义是高中数学的一个重要知识点，也是每年高考的必考内容。利用导数的几何意义解决的问题较多，归纳起来常见的类型有：（1）求切线方程及切点坐标；（2）求参数的值；（3）其它的综合问题。下面就导数几何意义的应用进行分类解析。

类型一：求切线方程及切点坐标

问题1. 已知函数f（x）=ax2-x2，其中a∈R。当a=1时，求曲线y=f（x）的在点（1，f（1））处的切线方程。

解析：求曲线的方程，要看已知的点是否为切点。这里的点（1，f（1））显然是切点。

当a=1时，f（x）=x2-x2，因此f（1）=，切点为（1，），又 f'（x）=2x2-x+1，故k=f'（1）=2+1-1=2，曲线f（x）在点（1，）处的切线方程为y-=2（x-1）：，可得12x-6y-5=0.

问题2.（已知切线过某点求曲线的切线方程）

已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l过（0，0）与曲线C相切，求直线l的方程.

解析：由题意知切线过原点，但原点不一定是切点。故先设切点，再求解。

设切线为y=kx，切点为（x0.y0）则y0=kx0.................①

由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03-3x02+2x0.................②

又y'=3x2-6x+2，则k=3x02-6x0+2.................③

∴由①、②、③得x0=0或x0=-

∴切点为（0，2）或（ ，- ）.

∴当切点为（0，2）时，直线l的方程为y=2x；当切点为（ ，- ）.时，直线的方程为y=-x.

点评：利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，学生往往忽视已知点是否为切点，而造成错误。要分清在点p处的切线与过p点的切线的不同。曲线y=f（x）在点p（x0.y0）处的切线是指p为切点；曲线y=f（x）过点p（x0.y0）的切线是指切线经过点。

类型二：求参数的值

问题3： 已知直线y=x+1与曲线y=In（x+a）相切，求a的值.

解析：设出切点后再求导，利用导数的几何意义求解。

设直线y=x+1与曲线y=In（x+a）的切点为（x0，y0），将点（x0，y0）代入直线与曲线方程得y0=x0+1，y0=In（x0+a） ∵y'=，y'x-x0==1， ∴x0+a=1， ∴y0=0 ，x0=1 ∴a=2.

点评：高考中常考查“已知曲线的切线求参数”问题，这类问题有可能出现在小题中，也有可能出现在解答题第一问。该类问题综合考查函数解析式的求解、导数的几何意义、直线方程的求解、及其方程组的解法。解决这类问题的关键是建立函数在切点处的导数与斜率的关系，其实质是导数几何意义的逆用。

类型三：其他综合问题

问题4 ：如果y=f（x）的导函数的图像是开口向上，顶点坐标为（1，-）的二次函数，求曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围.

解析：求曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围，先求切线的斜率范围。

设曲线y=f（x）上任一点P（x0，y0），在该点的切线斜率为k，因为y=f（x）的导函数f'（x）的图像是开口向上，顶点坐标（1，-）为的二次函数，∴f'（x）≥-。由此f'（x0）≥-，k≥-。由正切函数的图像可知倾斜角α的取值范围是[0，）∪[，π）.

点评：本题综合考查导函数的概念、二次函数的图像及值域、导函数与函数在某一点的导数的关系、三角函数的图像、直线的倾斜角与斜率的关系。解决综合性问题的关键是理清思路，将复杂的问题分解成小问题，逐个击破。

问题5 ：已知函数fn（x）=xn+1，n∈N*的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值.

解析：求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值，即求x1x2x3…x2011x2012的积，进而转化为求xn.由fn'（x）=（n+1）xn，曲线fn（x）=xn+1在点P（1，1）处的切线斜率k=n+1，故在x=1处的切线方程为y-1=（n+1（x-1）），

令y=0得xn=，所以x1x2x3…x2011x2012=××…××=.

故log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log20132013-1=-1.

点评：本题综合考查应用导数求曲线的切线方程及对数的运算公式的应用。

例谈导数的应用 篇11

一、利用导数定义求极限

例1求极限.

解令.

二、利用导数证明不等式

例2当时, 求证:.

即f′ (x) 在内递增.

又f (0) =0,

∴当时, f (x) >0, 即.

点评本例中涉及三角函数, 一般的解答方法将会比较复杂, 这里用导数来解决, 似有“四两拨千斤”的作用.

三、利用导数解决恒成立时的参数问题

例3已知f (x) =-x3+ax, 其中在 (0, 1]上恒成立, 求实数a的取值范围.

解设,

f (x) 0在 (0, 1]上恒成立.

即在 (0, 1]上恒成立.

即在 (0, 1]上恒成立.

下面求在 (0, 1]上的最小值.

令,

∴p (x) 在 (0, 1]上为单调增函数.

点评本题是求恒成立的无理不等式中参数的取值范围, 在短时间内往往难以很快寻得正确的解题思路.从导数入手, 解题十分流畅, 令人耳目一新.

四、利用导数求函数的值域

例4求函数的值域.

解设, 则x=2-t2,

故函数y=f (t) 的最小值为4, 无最大值, 即所求函数的值域是[4, +∞) .

点评利用函数的单调性是讨论函数值域的重要方法本题直接求导计算繁杂, 通过换元, 将问题转化为求函数y=t4-4t2+4t+4在[0, +∞) 上的值域.