高中导数概念引入的教学研究

高中导数概念引入的教学研究（共13篇）

高中导数概念引入的教学研究 篇1

一、教材分析

导数的概念是高中新教材人教A版选修2―2第一章1.1.2的内容，是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1气球平均膨胀率――→瞬时膨胀率

问题2高台跳水的平均速度――→瞬时速度

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

二、教学目标

1、知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：

①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。

三、重点、难点

重点：导数概念的形成，导数内涵的理解。

难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵。

通过逼近的.方法，引导学生观察来突破难点。

四、教学设想(具体如下表)

教学设想(具体如下表)

五、学法与教法

学法与教学用具

学法：

(1)合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。(如问题2的处理)

(2)自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。(如问题3的处理)

(3)探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。(如例题的处理)

教学用具：电脑、多媒体、计算器

教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动――师生互动、共同探索。②导――教师指导、循序渐进。

(1)新课引入――提出问题，激发学生的求知欲。

(2)理解导数的内涵――数形结合，动手计算，组织学生自主探索，获得导数的定义。

(3)例题处理――始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

(4)变式练习――深化对导数内涵的理解，巩固新知。

六、评价分析

这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。

从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。

新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数。

通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，学生容易理解;这样定义导数的优点：

1.避免学生认知水平和知识学习间的矛盾;

2.将更多精力放在导数本质的理解上;

3.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。

高中导数概念引入的教学研究 篇2

俗话说:良好的开端, 是成功的一半。高中数学课本中诸多概念, 源远流长, 文化底蕴极其浓厚, 一个概念的提出, 也是人们认知活动的一次升华, 往往也伴随着一个数学高峰的出现, 其内涵、外延之深, 也常令人感叹不已。概念是对事物本质物征的抽象性描述, 其产生及被学生认同、内化显然需要一个过程。如何使概念更快、更好地吸收呢?引入是起点。新课程理论认为:现代教学的主体是学生, 教师是主导, 强调学生的自主学习, 重视知识的螺旋式上升及操作确认模式。这为新课堂教学引入指明了方向。

二、新课程标准下概念课教学之“教学引入”模式

为更好地掌握概念, 需使其产生过程与学生的认知水平相对应, 教学引入设计要做到:动手操作, 让学生体验数学概念产生过程;全体交流, 让学生体会学习乐趣;分析比较, 让学生乐于发现;众多联系, 让学生掌握概念。从而养成好的学习习惯。我们估且称此为“实验教学引入模式”, 模式如下:

三、教学实践

以高二《必修3》 (人教版) 第三单元概念课“随机事件的概率”为例作以下尝试。

1. 教材与学生分析。

“概率”定义较为抽象, 其性质与频率关系密切, 两者实质是反映着客观世界中偶然与必然的内在联系。高中生虽已接触事件之概念, 但往往错把频率当概率, 其认知结构容易混淆。要澄清两者关系, 理解概率之本质, 化抽象为具体, 应让学生有一个亲身体验的过程。

2. 教学引入一:

复习事件的分类及频数与频率, 让学生有一个知识预热的过程;同时, 设问, 随试验次数的增多, 事件频率将不断变化, 在这众多变化之中, 有否规律性的体现?进一步激发学生的求知欲。

3. 教学引入二:

以试验为载体, 将学生分成若干组, 进行“抛掷硬币”活动。目的是统计正面向上的频数与频率, 在比较中找规律。

措施一:分组分工试验, 形成数据。

措施二:随机模拟, 再现数据。

(1) 选定A1格, 键入“=RANDBETWEEN (0, 1) , 按ENTER键, 则在此格中产生随机数0与1, 以1表示正面;

(2) 将A1数字复制, 粘贴到A2～A10000, 相当于做10000次试验, 统计1的个数, 如下:

措施三:引入历史上一些硬币的试验结果。

4. 比较以上数据, 结论如下;

(1) 随试验次数的变化, 事件的频率也随之变化;

(2) 当试验次数很多时, 出现正面的频率值在0.5附近摆动。

5. 呈现概念:

大量重复同一试验, 事件A发生的频率稳定于一个常数附近, 则称此常数为事件A的概率, 记作P (A) 。

比较“概率与频率”:两者都反应事件发生的可能性大小;但频率随着试验次数的变化而变化, 有一定的主观性, 概率是客观存在的, 不随试验次数的变化而变化;概率是频率的稳定值, 频率是概率的近似值。

6. 揭示“求事件的概率”的通法。

做大量重复的同一试验, 分析其频率趋向的稳定值。同时可让学生思考有无替代的其他方法。

学生1:做模拟试验。

学生2:随机模拟试验。

学生3:对一些常见的等可能性随机事件可归纳一定的模式、公式加以分析。

四、教学成效比较

对采用“以上引入模式”概念教学与一般性的“不通过实验而通过讲、练、辩”概念教学班级比较如下:

五、引入反思及其意义

1. 让学生通过实践, 充分体验概念产生的过程, 一方面, 教师要充分引导落实, 真正留有学生实验的时间与空间;另一方面, 引导学生形成主动、合作、善于思考、敢于质疑、懂得验算的良好学习习惯, 为“活水”到来创设条件。

2. 教学引入的试验阶段, 为学生展现自我提供一个舞台, 注重学生的自我有效体验, 真正理解概念产生的背景及由来。

3. 教学引入环节起着由旧知识到新观点的桥梁功能, 只有不断接近师生间的距离, 缩短学生认知差异, 才能做到水到渠成。

4. 实验教学引入模式体现新课程思想, 一方面让学生带着问题走进课堂, 在不知不觉中愉悦地解决了问题, 又带着更新的问题走出课堂。同时, 其体现了知识再创造的一个良好发现模式。

摘要：让学生通过实践, 充分体验概念产生的过程。一方面, 教师要充分引导落实, 真正留有学生实验的时间与空间;另一方面, 引导学生形成主动、合作、善于思考、敢于质疑、懂得验算的良好学习习惯, 为“活水”到来创设条件。

高中导数概念引入的教学研究 篇3

【关键词】数学文化;数学教学;导数概念【Abstract】Mathematics itself is human abstractive thinking, it is abstract decision mathematics is a kind of culture, is an important part of human culture of bright. This article from the concept of the historical and cultural background introduction and show from the concrete to the abstract summarizes the mathematical methods of two aspects about the concept of derivative is introduced into the teaching of mathematical culture education. Mathematical culture is traditional, permeability, philosophy, aesthetics and self perfection and other characteristics, in the classroom teaching of mathematical culture education can help students to form the correct mathematical concept, improve students' mathematical quality, so as to enhance the overall quality of students.

【Keywords】Mathematics culture; mathematics teaching; the concept of derivative

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089(2012)09-0038-01

引言

数学作为一种文化现象历来受到人们的重视,但数学文化作为一种特殊的文化形态,直到20 世纪下半叶才由美国著名的数学史学家倪莱因在其3本力作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》 和《数学——确定性的丧失》中从人类文化发展史的角度进行了比较系统而深刻的阐述[1]。伽利略曾说:数学是上帝用来书写宇宙的文字。现在也有数学家说:数学是看不见的文化。的确,数学作为一种文化,它的产生和发展伴随着人类文明的进程,并在其中起着极其重要的推动作用,占有举足轻重的地位。同样在我们的教育中,数学文化的地位也是举足轻重的,“以提高学生素质,特别是提高民族素质为最终目的的数学教育,从根本上来说应该是数学文化教育”[2]。这就要求数学教育工作者在教育教学中,应该注重渗透数学文化的思想,体现其教育价值。因此,在高等数学课堂教学中,教师应从具体的数学概念、原理、定理的讲授,数学思想、数学方法的传授中揭示数学的文化底蕴,从多个侧面多个角度向学生展现数学文化,从而用数学精神、原则、思想提升学生的文化素养。文章结合自身的教学实践,浅谈一点在导数概念引入的教学中进行数学文化教育的体会。

1揭示数学概念的历史文化背景,感受数学的求真探索精神

数学概念来源于生活实践,在我们生活会遇到许多问题,这些问题的解决促使了很多概念的产生,当人们遇到用现有的概念、方法不能解决的问题时就会创立新的概念、方法和理论。导数的概念,就是在解决变速直线运动的瞬时速度和曲线切线的问题时产生的,从而导致了微积分理论的创立,开创了数学史上的新纪元,因此导数概念有着十分丰富的实际背景。在引入导数概念的教学中,教师应向学生介绍其产生的历史文化背景,介绍创立微积分的数学家——牛顿与莱布尼茨的故事与贡献。用数学家们的求真精神、探索精神激发学生的求知欲,增强他们学习数学的兴趣;用数学家的思想方法去引导学生的思考,提高学生解决实际问题的能力;从而提高学生的数学素质。

在导数概念的引入时,教师可以按如下步骤进行:

第一步教师向学生展示促使微积分产生的四大类问题,即:第一类问题是研究物体运动的时候出现的,也就是求瞬时时速度的问题,第二类问题是求曲线的切线的问题,第三类问题是求函数的最大值和最小值问题,第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力问题。

第二步教师向学生介绍这四个问题是17世纪科学家们遇到的问题,十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,从而使上述四个问题得到了解决。牛顿创立的导数当时叫流数,侧重于运动学来考虑,莱布尼茨侧重于几何学来考虑。同时并用多媒体向学生介绍牛顿与莱布尼茨的贡献。

第三步教师向学生提问:现在用我们所学的知识能解决哪几个问题?

第四步教师引导学生重现问题解决的方法与过程:引入教材中的两个引例。下面通过变速直线运动瞬时速度的求解这个例子来探讨具体的课堂教学过程:

1、首先向学生提问匀速直线运动的速度怎么求?(学生回答:速度等于路程除以时间)

2、再向学生展示变速运动示意图,如图(1)所示,让学生计算从到这段时间内物体的路程Δs=s(t)-s(t0),所用时间为Δt=t-t0。

3、再向学生提问平均速度怎么求?(学生回答)从而得到Δt=t-t0时间内的平均速度v=ΔsΔt=s(t)-s(t0)t-t0。

图(1)

4、教师向学生提问:下面我们如何得到t0时刻的瞬时速度?教师引导学生思考:如果时刻t与时刻t0间隔越短,Δt=t-t0这段时间内的平均速度就会越接近时刻的瞬时速度。

5、引导学生分析得v(t0)=limΔt→t0ΔsΔt=limΔt→t0s(t)-s(t0)t-t0

第五步教师用同样的方法引入曲线切线的求解过程

第六步教师问学生用该方法还可以解决哪些问题?(学生回答:角速度,加速度等)

通过以上教学活动,一方面让学生体会数学知识对实际问题解决的巨大力量,同时也让学生感受到数学家的探索创新精神和数学的人文精神,有利于提高学生的数学素质和人文素养。另一方面,通过例子中由平均速度变到瞬时速度,由割线斜率变到切线斜率,让学生体会到了事物无限变化的趋势,即从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变认识质变的辩证唯物主义思想。

3展现从具体到抽象归纳概括的数学方法,培养抽象逻辑思维能力

有了第一阶段引例的铺垫,教师可引导学生抽象出两例中的共同特征是所求问题的最终结果都是要求一个极限,即:函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于零时的极限,这个极限就是所说的导数,从而得出导数的概念。

教师可以再举一个具体确定函数的例子来进行应用,如求函数在点处的切线,反过来应用导数求解具体的问题。这样教学过程就完成了从具体到抽象,又从抽象到具体的过程,培养学生的抽象逻辑思维能力及解决实际问题的能力。

参考文献

[1]甄新武,冀德刚.从数学文化的角度谈高等数学的教学[J].河北农业大学学报( 农林教育版),2011.3:80.

高中导数概念引入的教学研究 篇4

本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。

本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义;然后，类比“平均变化率――瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的`几何意义――“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。

本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。

在例题讲解时，注重审题(分析关键的词句)和解题反思，感觉效果不错!但是，作为探究课，时间如果控制不好，易讲不完，我就是例2来不及分析完，于是当作课外作业，所以时间要注意调配。有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范。

教育评价引入云概念 篇5

只要使用相应的数据库，就能对学生语文素养、英语运用能力、音乐表现能力进行自动化测评。“云”概念的出现，会为我国的教育评价方式带来怎样的变革？今日，北京师范大学中国基础教育质量监测协同创新中心在京举行发布会，介绍我国首个“教育评价云”与“教育评价云应用平台”。

“教育评价云”是协同创新中心重点研发的项目之一，是首个将云计算、云储存、云集成、云应用服务等技术应用于基础教育质量评价体系当中，能够进行全方位、多地域、立体式、智能化运维管控的“教育评价云”。据介绍，初步建成的教育评价云平台，具有数据采集系统。学校的教育设备连通网络，将平台接入之后，数据就能实时上传，可以有针对性地开展大规模语言能力的测试。该系统包括语文素养测试系统、英语综合运用能力系统、音乐表现能力测试系统、学生日常学习生活健康状况数据采集系统。还可以通过实时分析系统，进行智能判断，对课堂上学生是否活跃、学生发言的比例、老师讲课时间等内容进行分析，有效反映学生日常学习与生活关键的静态及动态数据，为改进日常教育教学过程提供新的抓手。

据悉，协同创新中心搭建的“教育评价云应用平台”，将对基础教育质量诊断与改进、检测与问责全面支持，也将大大推动中国基础教育质量监测协同创新中心作为独立、专业、权威的第三方教育评价机构的发展进程。

高中导数概念引入的教学研究 篇6

一、正确把握原认知结构, 采用有效的教学对策

所谓原认知结构就是指学习者在接触新知识之前已具备的认知结构。皮亚杰的发生认识论表明, 认知结构发展的基本条件是主客体的相互作用。在数学教学中, 主体表现为学生头脑中原有的数学认知结构, 客体表现为要学习的新数学知识。教师必须正确把握学生的原认知结构, 才能制定有效的教学对策。

学生在学习导数之前, 已具有极限和连续等基本知识。根据这一情况, 笔者从研究学生所熟悉的实际问题入手, 循序渐进、逐步深入地引出导数定义。

求物体的运动速度是日常生活中最普通的问题。匀速直线运动物体的速度学生一般都会运算, 即v=s/t。困难在于, 如何求变速直线运动物体的速度即瞬时速度?

例如, 自由落体的运动规律为现要研究t=2秒时落体的瞬时速度。

笔者让学生自己先算出t在2秒到3、2.1、2.01、2.001秒各段时间内落体的平均速度并引导学生观察表中结果 (表略) 得出如下认识:

以上每个平均速度都不能作为T=2秒时瞬时速度;当△很小时, 在[2, 2+△t]时间内速度变化不大, 平均速度近似于2秒时的瞬时速度, △t越小近似程度越高。当△t→0时

进而让学生头脑中产生如下思想:把当△t→0时, V的极限定义为t=2秒时的瞬时速度是合情合理的。即

在这基础上, 笔者又进一步引导学生从中总结出计算方法:第一, 求路程增量△S;第二, 求平均速度第三, 求极限就得到瞬时速度。

自由落体的速度问题解决以后, 再用同样的方法讨论一般变速直线运动的速度和非恒定电流的电流强度问题。这样, 由浅入深, 从特殊到一般, 学生就比较容易理解和接受。最后再抽象概括, 得出导数定义。

从数学上来看, 解决上述两个实际问题的思想方法是一样的, 抛开它们的实际意义, 即可看出它们都是函数的增量与自变量增量之比的极限。

二、突出思想方法, 培养学生分析和解决问题的能力

著名的数学教育家波利亚说:“思想要让学生在自己的头脑里形成, 教师只是助产士。”我们在教学过程中, 必须引导学生自己去观察、分析, 进而发现。

例如, 在解决变速直线运动的速度问题时, 首先, 在很短的时间内将速度看成是不变的, 求出平均速度然后, 用平均速度来近似地代替t0时刻的瞬时速度;最后, 令△t→0, 的极限值就是所求的瞬时速度。

再如, 求非恒定电流的电流强度。首先, 将在很短的时间内的电流强度看成是恒定的, 求出平均电流强度;然后, 用平均电流强度来近似地代替t0时刻的电流强度I (t0) ;最后, 令△t→0, 的极限值就是t0时刻的电流强度。

通过以上引导、分析, 解决上述问题的思想方法便自然而然地在学生头脑中产生, 即:在小范围内以不变代变, 用近似代替准确, 然后取极限, 使近似转化为准确。这是微积分的一个基本思想方法——极限法, 学生掌握了这一思想方法, 学会用辩证的观点看问题, 这对于提高他们分析问题、解决问题的能力大有好处。

三、剖析定义结构, 引导学生主动构建

导数概念是用构造法引进的, 它的结构复杂、层次多, 学生初次见到这些结构式总感到“抽象”难以理解。因此, 教师必须引导学生对此进行结构分析, 这不仅是导数概念教学的需要, 也是为后面定积分概念的教学奠定基础。为此, 笔者提出以下几个问题, 让学生讨论:

1) 结构式共由几个层次构成?2) 每一层的结构是怎样的?3) 有什么实际意义?

明确这些问题后, 便可得出求导数的三个步骤:1) 求函数增量△y, 2) 算比值3) 取极限。接着按上述步骤做几道求导练习, 导数定义结构便可在学生的头脑中留下深刻印象。

四、充分借助直观, 深化导数概念的理解

微积分的起源之一就是研究曲线的切线。弄清导数的几何意义除能加深理解导数概念外, 还有助于今后运用数形结合来分析问题、解决问题。

为了用运动、变化的观点来阐述切线概念的形成过程, 我们可利用现代化教学手段——多媒体, 生动、形象地演示其变化过程。具体做法是:在《几何画板》中画出图形, 使用其动画功能让动点沿曲线运动到切点, 这时割线就运动到它的极限位置。这里要特别说明, 并非与曲线只有一个交点的直线都是切线, 如y轴与抛物线y=x2只有一个交点, 但不是切线, 切线是割线的极限位置。割线的倾斜角→切线的倾斜角, 切线的斜率是割线斜率的极限。从而得到函数y=f (x) 在点x的导数f' (x) 在几何上表示曲线y=f (x) , 在点M (x, y) 处的切线斜率。应强调点M (x, y) 是在曲线上, 而不是在曲线外。

以上是笔者运用建构主义思想指导教学实践的初步尝试。实践证明, 这样做, 能提高学生主动建构的积极性, 获得较好的教学效果, 不失为一种良好的教学方法。

摘要：将建构主义的观点运用到导数概念的教学中, 把握学生的认知特点和认知结构, 教学中引导学生主动构建, 掌握数学思想方法, 深化导数概念的理解, 提高教学效果。

关键词：建构主义,导数,认知结构

参考文献

[1]郑毓信, 梁贯成.认知科学、建构主义与数学教育[M].上海:上海教育出版社, 1998.

《导数的概念》的信息化教学设计 篇7

关键词： 信息化 导数 教学设计

信息化教学是随着信息化时代到来应运而生的一种新的教学模式。信息化教学以现代教育思想和理念为指导，利用现代信息技术和信息资源，科学安排教学过程的各个要素和环节，以实现教学过程的优化。本文以导数概念为例，给出其信息化教学设计。

一、教学题目：导数的概念

二、概述

《高等数学》是我校面向各个专业学生开设的一门公共基础课，教授对象是高职一年级学生。“导数的概念”是《高等数学》中的基本概念，包括引例、导数的概念、利用导数的定义求函数的导数及导数的几何意义和物理意义等内容，需要2课时完成。导数的概念是学习微分学的基础，为后续求导公式的推导、高阶导数、函数的微分等知识学习奠定基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具，其地位不容忽视。

三、学习目标与任务

1.学习目标

（1）知识与技能

理解导数的概念，了解用定义求导数的方法，掌握函数求导公式，掌握导数的几何意义并领会导数思想；

（2）过程与方法

通过导数概念的形成过程，让学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法；领会极限思想和函数思想；

（3）情感态度与价值观

通过合作交流，让学生在探索中感受数学的乐趣，体会数学的严谨；培养学生正确认识静与动、量变和质变等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观。

2.学习任务

思考瞬时速度的求法，上网搜集圆形餐桌玻璃的制作方法，总结曲线与其切线的关系，观察割线变切线的过程，合作讨论切线斜率的求法。结合两个实例，抽象归纳导数的定义，体会导数的物理意义与几何意义。培养学生获取信息、应用信息的能力，注重学生的探索性操作。

3.学习重难点

（1）重点：导数概念的形成过程；

（2）难点：对导数概念的理解。

四、学习者特征分析

高职学生的特点是数学基础薄弱，学习态度较差。虽然其在高中已接触过导数计算，但对导数的概念并不了解。学习障碍是对概念的理解存在较大困难，特别对概念蕴含的思想和方法，短时间内无法真正掌握。学生刚学完极限概念，两个实例与学生专业相贴合，新知识教学有较好的基础。

五、学习环境资源与情境创设

1.学习环境选择：多媒体网络教室，安装几何画板软件，

2.学习资源类型：多媒体课件、网络精品课、多媒体资料库、题库；

3.学习情境：主要采用问题性情境，利用网络资源、多媒体课件等教学用具，创设情境，以问题为驱动，在教学环节启发学生探究、思考、提升。

六、教学活动过程

七、学习评价设计

采用课堂提问、小组比拼及课后作业等形式，对学生的学习成果进行评价。在课堂提问时，由学生点评，教师进行鼓励性评价。在小组讨论完成时，小组成员之间相互评价各人协作学习时对本组的贡献。在小组比拼中，小组之间相互评价，各组派代表展示本组成果，其他组给这组打分。课后作业布置网络题库中的练习题，学生自主完成，对照本节课知识点，自我评价。

八、设计反思

本节课遵循新课改理念，以学生为本，采用问题驱动模式，在协助学习中培养学生的能力。借助几何画板等多媒体手段，将抽象的事物形象化，突破难点，合理利用网络进行探究学习。不足之处是学生参与度不高，在调动学生积极性、增强趣味性等方面仍须进一步努力。

参考文献：

[1]吉耀武.高等数学[M].西安：西安电子科技大学出版社，2012.

[2]鬲淑芳.信息化教学研究[M].北京：科学出版社，2005.

高中数学导数经典说课稿 篇8

对导数这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学生没有学习过极限概念，对导数概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上 的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1、知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法： ① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般、数形结合思想的数学思想方法

3、情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、关于教学过程的设计：

为了达到以上教学目的，在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段” ；“概念建立阶段” ；“概念巩固阶段”。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题

在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触导数这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：

①使学生从熟悉的物理知识入手，以物体的平均速度变化趋势的观点无限逼近的思想理解瞬时速度，从而发现导数的过程；

②使学生形成对导数的初步认识； ③使学生了解学习概念的导数必要性。2．本阶段教学安排

我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。① 温故知新

由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项 公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数an的解析式。再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程

1中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列an为例说

2明：当n=2、3、4、5 时，对应的an1、1、1、1 就说明自变量由

242168增加到5时，对应的函数值就由1减小到1这种变化情况。若问自然数n

216n1一直增加下去，函数an应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。

这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提‚无意注意‛的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。

② 推陈出新

在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：‚具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的‚趋近于一个确定的常数‛称它为有极限数列的极限‛。并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。

③ 刘徽及其《割圆术》的介绍

学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。

我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如‚在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。‛ 在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：‚割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣‛。通过课件动态演示，进一步在‚无意注意‛作用的发挥上下文章，加深学生对‚变化趋势‛、‚趋近于‛、‚极限‛等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。

（二）‚概念建立阶段‛ 1． 这一阶段要解决的任务

由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。具体讲，在-N语言中，学生搞不清的两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清‚N‛，不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有an(n>N)，都聚集在以极限值A为中心，为半径的邻域中，N是否存在是证明数列极限存在的关键。

因此在这一阶段的教学中，我采取‚启发式谈话法‛与‚启发式讲解法‛，注意不‚一次到位‛，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：

①建立、理解数列极限的定义；

②认识定义中反映出的静与动的辨证关系； ③初步学习论证数列极限的方法。2． 本阶段教学安排

本阶段教学安排分三个步骤进行。① 问题的提出

在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列

‚1,2,3,4,,n,‛

2345n1为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中‚无限趋近于‛这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精确描述。

② 问题的解决

具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：‚趋近于‛是距离概念，距离的解析表示是绝对值，‚无限趋近于‛就可用距离要多小有多小来表 示。即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。

然后让学生通过具体计算如：‚思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？‛使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对‚要多小有多小‛这一概念有了进一步认识，并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。

③数列极限定义的得出

在‚检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小‛的教学过程中，我采取‚给距离找项数‛的方法。

具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：‚已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。‛这种讨论的目的是使学生感受到‚N‛是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N，当n>N时，|an-1|小于这个正数。进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成‚要多小有多小‛，而把具体值改为后即可解决这个问题。

这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：‚数列： 1,2,3,4,,n,

2345n1当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1‛，也就是数列： 1,2,3,4,,n,

2345n1的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。

（三）‚概念巩固阶段‛

1． 本阶段的教学计划

在这一阶段的教学中我计划做两件事情：

①说明N、、|an-A |<在讨论数列极限时所起的作用;②是习题训练。

2． 本阶段的教学过程

根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。① 定义说明

除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、、|an-A |<的认识，我让学生讨论问题‚任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项‛及‚常数列是否有极限‛，当学生有困难时，可通过 举数列

‚1,110,,0，,4161nsin,‛ n122并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。

②习题训练

在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q2，…qn，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,1,}是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得23n学生对例

1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。

③ 补充说明

对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数，存在一个以直线y=A+和y=A-为边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, an）都落在这个条形区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。

三、关于教学用具的说明：

这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。计算器的作用在于使学生理解 ‚‛和‚N‛内在关系；

计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。总之‚恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，‛是我选择和使用教学 用具的根据。

四、结束语：

总之，作为极限概念这部分的教学，应使学生初步体会到极限思想是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想。充分发挥学生主体意识，在老师引导下自主地获得知识。体验数学概念形成的过程。

高中导数概念引入的教学研究 篇9

一、导数单调性、极值、最值的直接应用

涉及本单元的题目一般以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义，定积分，定积分的几何意义，利用图象判断函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等.1.利用导数研究函数的单调性

(1)首先确定所研究函数的定义域，然后对函数进行求导，最后在定义域内根据f′(x)＞0，则函数单调递增，f′(x)＜0，则函数单调递减的原则确定函数的单调性.(2)利用导数确定函数的单调区间后，可以确定函数的图象的变化趋势.2.利用导数研究函数的极值、最值

(1)对函数在定义域内进行求导，令f′(x)=0，解得满足条件的xi(i=1,2…)，判断x=xi处左、右导函数的正负情况，若“左正右负”，则该点处存在极值且为极大值；若“左负右正”，则该点处存在极值且为极小值；若左、右符号相同，则该点处不存在极值.(2)利用导数判断函数y=f(x)的最值通常是在给定闭区间[a,b]内进行考查，利用导数先求出给定区间内存在的所有极值点xi(i=1,2…)，并计算端 点处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值；最小的为最小值，即max{f(a),f(b),f(xi)}，min{f(a),f(b),f(xi)}.(3)注意函数单调性与极值、最值之间的联系.导数值为零的点的左、右两端的单调性对其极值情况的影响，单调性对函数最值的影响，都要注意结合函数的图象进行分析研究.(4)注意极值与最值之间的联系与区别，极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.2.定积分及其应用

(1)简单定积分的计算，能够把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差，然后分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)=f(x)，利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值，最后求得结果.(2)微积分基本定理的应用：能够根据给出的图象情况，建立简单的积分计算式子，求值计算.理解微积分基本定理的几何意义：曲线与 轴围成的曲边多边形的面积，可以通过对该曲线表示的函数解析式在给定区间内求其积分而得到.其一般步骤是：画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；确定被积函数，特别是注意分清被积函数的上、下位置；写出平面图形面积的定积分的表达式；运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.（2017高考新课标Ⅱ，理11）若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-l)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为（）A．-1 B．-2e-

3C．5e-3

D．1

【答案】A 【解析】

由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-l)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1，因为f′(-2)=0，所以a=-1，f(x)=(x2-x-1)ex-1，故f′(x)=(x2+x-2)ex-1，令f′(x)＞0，解得x＜-2或x＞1，所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1，故选A． 【名师点睛】

（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；

（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

(2015高考新课标Ⅰ，理12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a ,其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a的取值范围是（）

B．

C．

D．

.(2016高考新课标II，理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=______.（2016高考新课标III，理15）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点（1,−3）处的切线方程是______.二、交点与根的分布

三、不等式证明

（一）做差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

（三）替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围

（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离参数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用

六、导数应用题

七、导数与三角函数的结合

补充练习题：

6.（2018，全国1）

7.（2018，,全国2）

把握导数概念 篇10

关键词：导数；单调性；极值；误区

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-057-02

导数是高中数学的新增内容，它是中学数学与高等数学的衔接点。导数有着其它高中数学内容无法替代的作用，对于高中学生进入大学深造有着极其重要的意义。但是从学生学习导数的过程和近年的高考试卷分析来看，相当一部分的学生对导数的有关概念理解不透，产生了一些导数应用方面的误区，本文偿试就几个误区产生的原因加以剖析。

误区一：对导数的定义理解不透彻

例1.已知函数 =logax+1则 ____.

误解故原式= 。

剖析关于导数的定义，我们应注意增量 的形式是多种多样的，但不论 选择哪一种形式，相应 中也必须选择对应的形式；本题 中的 的增量为2 ，则分母也应为2 .

正解原式

误区二：不能正确把握导数存在的条件

例2. 设 ，其中 在x=a处连续，求 .

误解 ， 令x=a，得 .

剖析 仅在x=a处连续，在x=a处未必可导，即 未必存在，因而 在x=a处是否可导难以断定，故上述解法不能成立。

正解利用导数的定义， .

误区三：混淆了曲线“在某点处”与“过某点处”的切线

例3. 求过点M(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程。

误解 ， ，所以切线方程为 ，即 .

剖析导数的几何意义指出：函数在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数值，在利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，要注意对“函数在某点处的切线”的理解，注意“在点处”与“过点处”的区别，其中“在点处”的点必为切点，“过点处”的点不一定是切点。此题中(3,5)不在曲线上不是切点，应先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求解.

正解设切点坐标为 ，由导数几何意义知：切线斜率为 ，所以 = ------(1)，又点 在曲线上，故 -----(2)，由(1)(2)联立解之得： =1或5，所以切点坐标为(1,1)或(5,5)，所以切线方程为 或 .

误区四：将函数的驻点等同于函数的极值点

例4. 已知函数 在x=1处有极值10，求a、b的值。

误解 ，因为函数 在x=1处有极值10，所以，

解得a=-3， b=3或a=4，b=-11.

剖析我们知道，对于满足 的点 称为驻点， 是 为 的极大(小)值点的必要不充分条件。对于可导函数而言，函数在某处取得极值，则函数在此处导数必等于0；反之，若函数在某处导数值为零，则函数在该点不一定取得极值，还需进一步检验 在该点的左右两边的符号是否有变化。以上解法忽略了这样一个细节， 只能说明 是 的驻点，而不能说明 就是 的极值点。对求出的a、b的两组值还需代入 中进行检验，看 在 x=1的两边符号是否有变化。

正解同上。当a=-3，b=3时， 对x>1及x<1均为正，此时x=1不是函数的极值点，应舍去；当a=4，b=-11时 在x=1的两边符号有变化，符合题意。故a=4，b=-11.

高职数学极限概念引入的教学探讨 篇11

日本著名数学教育家米山国藏指出:“学生所学的数学知识, 在进入社会后几乎没有什么机会应用, 因而这种作为知识的数学, 通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而, 不管他们从事什么工作, 惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法能随时地发生作用, 使他们受益终身。”如何利用极限概念引入教学, 使学生从初等数学平稳过度到高等数学, 提高学生的学习动力, 领会其中的数学思想和方法是值得大家探讨的。

一、东西相映, 殊途同归

我国三国时魏国人刘徽在《九章算术·圆田术》注中, 用割圆术证明了圆面积的精确公式。 (利用圆的内接正多边形的面积接近于圆的面积的方法来计算圆周率) 算出:3.141024<π<3.142709。刘徽的割圆方法, 概括为一般的几何学问题, 实际上就是求解单位圆内正n边形和外切正n边形与圆周率的关系。刘徽的方法是以1尺为半径作圆, 作圆内接正6边形, 然后逐渐倍增边数, 计算出正12边形、正24边形、正48边形和正96边形的面积, 舍弃了分数部分后得。算到192边形的面积, 得到π=157/50=3.14, 又算到3072边形的面积, 得到π=3927/1250=3.1416, 称为“徽率”。

根据《隋书·律历志》的记载, 祖冲之的方法把一丈化为一亿忽, 以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数:一个是盈数 (即过剩的近似值) , 为3.1415927;一个是朒数 (即不足的近似值) , 为3.1415926。圆周率真值正好在盈朒两数之间。《隋书》只有这样简单的记载, 没有具体说明他是用什么方法计算出来的。不过, 从当时的数学水平来看, 除刘徽的割圆术外, 还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法, 把圆的内接正多边形的边数增多到24576边时, 便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。日本数学家三上义夫曾建议把355/113 (约等于3.1415927) 这个圆周率数值称为“祖率”, 来纪念这位中国的大数学家。

公元前240年, 阿基米德在他的论文《圆的量度》中记载了这样一个方法:从圆内接和外切正6边形开始, 每次把边数加倍, 用一系列的内接和外切正多边形来穷竭圆周, 从而求得圆的周长与其半径之比。阿基米德求得圆内接和外切正96边形的周长, 估算出π的数值为:310/71<π<31/7, 即在3.140845…与3.142857…之间。以后, 许多数学家就是用这种方法计算圆周率的。在这个问题的解决上明显地表现出实用性、计算性、算法化中国古代数学和追求逻辑的严密性和形式完美性的西方古代数学竟然交相辉映, 殊途同归。都采用内接和外切正多边形来穷竭圆周, 体现了极限的思想, 还含有曲直转化的思想。从求“圆周率”的演义中, 体现了人类对真理的不屈追求, 本身就是一个“求极限”的过程。通过对次例的引入, 能加强学生对极限概念形成表象。

二、透过现象, 揭示本质

公元前2世纪, 我国战国时代哲学家庄周所著的《庄子天下篇》引用过一句话:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭。”也就是说, 一根一尺长的木棒, 每天截去一半, 这样的过程可以一直无限制地进行下去。将每天截后的木棒排成一列其长度组成的数列为$\left\{\frac{1}{2{}^{\text{n}}}\right\}$。

古希腊时代, “芝诺悖论”有好几个, 最著名的是“飞矢不动”和“阿基利斯追不上乌龟”。

“阿基利斯追不上乌龟”中的“阿基利斯”也是一个古希腊人物, 也就是“特洛伊战争”中那个著名的希腊将领。传说中, 阿基利斯武艺高强, 而且奔跑速度极快。这个悖论有一个假设的前提, 就是说, 阿基利斯与乌龟赛跑, 如果让乌龟先跑一步, 阿基利斯就永远追不上乌龟。芝诺的解释是这样的:假设乌龟先跑出了100米, 阿基利斯要追上乌龟, 就必须先到达50米的地方。但是, 当阿基利斯到达50米的时候, 乌龟与阿基利斯的距离不是50米, 而是50米再加一点, 比方说是60米。如此推论循环下去, 只要乌龟不停下脚步, 阿基利斯便永远只能更接近乌龟, 而不能追上或超过乌龟。学生受知识水平所限, 暂时找不到错误症结, 但却能产生强烈的兴趣和探究心理, 这时再不失时机告诉他们, 要弄清这一问题须先学习一种新的武器—极限。

在上述两个例子中, 反映了人们最初对无限的认识, 实际上是把一个有限的距离无限分割, 以有限的境界来探讨无穷小量的极限。“芝诺悖论”在古希腊出现之后, 经历了2000年左右, 才由牛顿、莱布尼茨等人的微积分学找到了真正错误所在。在教学内容上, 除讲授必要的数学原理和数学方法外, 还要注重数学文化的介绍, 并适量介绍一些数学的背景知识与数学应用的生动实例, 也就是数学史方面的内容。加深学生对数学的感性认识, 加强数学修养和数学素养的熏陶, 以激发高职大学生学习数学的兴趣。孔子曰:“知之者不如好之者, 好之者不如乐之者。”学生有了兴趣, 就会产生探究的心理, 思维就会高度活跃, 能力就会得到最大程度的发挥。

三、重新建构, 推陈出新

1. 0.999999……=1

谁都知道, 1/3=0.333333……而两边同时乘以3就得到1=0.999999……不是很简单吗?真对吗?因为左边是一个“有限”的数, 右边是“无限”的数。并且无限小数能否做乘法至今尚未解决。那么, 换一种做法就容易接受, 使学生理解“极限”可以是有限的。

10×0.999999……—1×0.999999……=9=9×0.999999……

∴0.999999……=1

2.“无理数”算是什么数?

我们知道, 形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的, 它的每一位都只有在不停计算之后才能确定, 且无穷无尽, 这种没完没了的数, 大大违背人们的思维习惯。

结合上面的一些困难, 人们迫切需要一种思想方法, 来界定和研究这种“没完没了”的数, 这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释, 极限的思想呼之欲出。具有从数学的角度看问题的出发点;有条理地理性思维, 严密地思考、求证, 简洁、清晰、准确地表达;在解决问题时、总结工作时, 具有逻辑推理的意识和能力;对所从事的工作, 能够合理地量化和简化, 周到地运筹帷幄。这就是我认为现代人应具有的数学素养。

高中地理概念教学的几点做法1 篇12

地理概念是地理基础知识的组成部分，也是理解和掌握地理基本原理、基本规律的关键。高中地理综合性 强、涉及面大，课本中出现的概念多，特别是地理术语和地理名词多，学生学习难度大。笔者认为，对地理概 念要重在理解，理解它的内涵和外延，不应死记硬背。本人采用了下列做法。

1.实地观察

一些概念照本宣科很抽象，可带领学生到室外实地考察，先观察地理事物的外部特征，再综合、分析，抓 住事物的本质特征，形成概念的内涵。如学习亚热带常绿阔叶林这一概念时，带学生观察校园里的樟树、山茶 树、广玉兰树等，并与梧桐树、柳树、水杉树比较，了解到前面这三种树木的叶子革质、有光泽、呈椭园形，并且终年常绿。“常绿阔叶”为它们共同特有属性。它们都是典型的亚热带常绿阔叶树，由这些树木构成的森 林即是亚热带常绿阔叶林。再让学生自己分析梧桐树、枫树、马尾松是不是常绿阔叶树？学生马上会回答：梧 桐树、枫树是落叶阔叶树；马尾松常绿而不是阔叶。这样，学生对常绿阔叶林这一概念的内涵和外延就有了比 较全面的认识。

2.抓关键词

表达概念内涵即地理事物本质特征的往往只有几个词语。我们教师要帮助学生抓住关键词，分析疑难点。如天体“宇宙间物质的存在形式”这一概念，学生对“物质”并不难理解，“宇宙间”却难以确定。我指出，地球也存在于宇宙空间，是天体。但是，在地球大气圈以内的物质只能说是地球上物质，不能说是天体。地球 大气顶部是宇宙空间与地球的界线。教师只要讲清这一界线，学生就容易明白恒星、星云、行星、卫星、彗星、星际物质、运行中的人造卫星和宇宙飞船等都是天体。而停在发射架上的人造卫星，或是

降落到地面的流星 体残骸即殒星就不是天体。

3.归纳法

对内容较多、表述较长的地理概念进行归纳、提炼，分层次、多角度去理解。如自然资源的概念，完整的 表达是“人类直接从自然界获得并用于生产和生活的物质与能量”。如果对这一句话进行归纳、转换，就是下 列的两个属性：

┌自然属性：客观性，天然存在，没有经过人类加工

└经济属性：有用性，在当今技术条件下能用于生产和生活。两个属性缺一不可。这样一转换，自然资

源 的内涵就一目了然。

4.类比法

明确了单个概念的内涵和外延后，为了能达到准确运用的目的，还必须搞清概念间的几种关系。

①近似概念

如天气和气候，国土和国土资源，热带雨林和热带季雨林，水资源、水力资源和水利资源等都属近似概念，很易混淆。只有从本质特征即内涵上区分，找出相同点和不同点，才能确定适用范围。例如降水和降雨，都 表示大气中水汽凝结降落到地面这一现象。不同点是降水指从云雾中降落到地面的液态和固态水，而降雨即从 云中降落到地面的滴状液态水。可见，降雨只是降水的一部分，仅指液态水即雨水。所以，在描述气候特征时，如亚热带季风气候年降水量1000mm左右，用的是“降水量”；河流的五种补

给形式之一是“雨水”即降雨，两者不可调换。

②矛盾概念

外延相反的概念叫矛盾概念。如内力作用与外力作用，寒流与暖流，重工业与轻工业等。这类概念也必须 从内涵入手，找出差异再分析外延上的相反性，确定“矛盾”所在，才能正确区分。如可再生资源和非可再生 资源是一对矛盾概念。可再生资源是在人类历史时期内不断更新生长、繁殖的资源；在人类历史时期内不能重 新出现的即是非可再生资源。两者的差异便是“人类历史时期内能否重新出现”这一时间尺度，也是导致外延 相反的主要原因。根据这一标准分析，矿产资源是非可再生资源，生物资源、土地

资源、水资源、气候资源等 都是可再生资源。

③包含关系的概念

地理环境、社会环境、城市环境三个概念，都表示人类生存的环境。但地理环境是以人类为中心的环境； 社会环境是人类在自然环境基础上通过长期有意识的社会劳动创造的人工环境；城市环境是人类对自然环境干 预最强烈的地区，人口多、房屋密集、交通拥挤是最大的特点。可见三个概念中，内涵最丰富的是城市环境，外延最大的是地理环境。它们外延上的关系可用下图表示：

附图{图}所以，要区分这类概念，应在确定内涵的基础上，根据内涵大外延小，内涵小外延大的原则来

分 析彼此间的包含与被包含的关系。

④概念的广义和狭义

有些概念，由于时间、空间范围不同，又有广义和狭义之分。教学时，应抓住概念的时间、空间差异找出 “广”和“狭”的原因，确定适用范围。如水资源，广义水资源是指水圈内水量的总体；狭义水资源仅指陆地 上的淡水资源，不包括海洋水、大气水。这样，从空间范围看，“广”和“狭”非常明显。同样道理可区

分广 义农业和狭义农业，广义沿海和狭义沿海。

关于高中导数应用教学的思考 篇13

随着新课程改革的进一步深入, 高中数学的教学目标也越来越突出知识的简洁性和实用性.而导数在研究曲线的切线方面有着广泛的作用, 可以解决较为实际的问题, 并且也为函数的单调性、部分不等式的证明以及数列知识提供了求解的捷径, 因此本文就从学生对于导数概念的误解着手, 分析导数在数学教学中的应用.

一、学生对导数概念的错误理解

(一) 对平均变化率的错误理解

平均值、平均速度对于学生来说非常熟悉, 但这些概念对于导数概念的理解反而产生了负影响.虽然课堂上老师会大量列举平均变化率概念的相关例子, 但是学生由于先入为主观念的影响, 脑海中最深刻的仍然是平均值、平均速度的概念.而且学生在学习了平均变化率的概念后, 呈现出一定的记忆暂时性以及理解的不稳定性, 学生会依赖过去所学的知识和经验, 在理解概念中的“平均”和“变化”时会由词面意义进行片面的突出.另外, 虽然有些学生可以正确的理解“平均变化率”为“变化量的比值”, 并且也熟悉平均变化率的计算规则, 但是一旦把概念和斜率联系在一起, 那么就会表现出要么不记得、要么要花大量时间去思考的现象.

(二) 对瞬时变化率的错误理解

学生可以直观地理解瞬时变化率, 但是却不能完全理解求切线的过程, 就形式而言就是理解程度不够.其实要从切线的数量化定义去理解导数相对来说是比较困难.一般来说, 学生对于推导过程都只停留在规则的记忆这一层面, 并没有深入地理解其根本含义, 只是单纯默认了这种求法.再一个就是对曲线上外切线的错误理解, 很多学生会认为图像与图像的切线只有一个交点, 就是切点.由于学生头脑中初中学习圆时切线的概念先入为主, 经过圆上一点的切线只有一条, 与圆的交点也只有一个, 所以学生就会形成这样的认识:曲线的切线与曲线也只有一个交点.在求解切线方程时的错误比较常见的是漏解, “过一点的切线”学生就默认为是切点, 并且采用初中时处理圆锥曲线和直线相切的办法去求解.一旦碰到三次函数曲线切线问题, 得到三次方程, 无法用判别法求解, 这时就要采用导数的方法.

二、导数在高中数学中的应用

(一) 利用导数求函数最值

高中数学的一个重点、也是难点就是函数的最值问题.以往没有引入导数之前, 高中数学课程有很多函数最值的求解办法, 但是导数引入后不仅多了一种解题思路和方法, 它还成为最简便、最有效的方法之一.因为二次函数的最值比较典型, 所以我们就以求二次函数的最值为例.在历届的高考题目中, 二次函数的区间最值指的是二次函数在某个特定区间的最大值或者最小值, 一般都有参数, 因此是高考的难点也是热点.利用数形结合的思想来解决的话比较麻烦, 但利用导数解决则非常简捷明了.以下为例:

f (x) =ln (1+x) -x为已知函数, 求f (x) 最大值.

解 f (x) 的定义域为x∈ (-1, -∞)

求导得$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-1.$

令f′ (x) =0, 得x=0.

当-1<x<0时, f′ (x) >0;当x>0时f′ (x) <0.又 f (0) =0,

故当且仅当x=0时, f (x) 有最大值, 即f (0) =0.

这种比较特殊的复合函数求最值, 如果用其他的办法一般很难找到突破口, 方法也相对复杂, 如果像例题中运用导数求解, 则相对简单, 不过要注意这类函数求最值要先求出其定义域.

(二) 利用导数判断函数的单调性

函数最基本的性质之一就是函数的单调性, 它是研究函数的基础知识, 用单调性定义来解决单调性问题有比较强的技巧性, 且不易掌握, 但是如果用导数来判断的话则快捷而简单.

例1 f (x) =x2eax (a≤0) 为已知函数, 讨论f (x) 的单调性.

f′ (x) =x (ax+2) ex.

解1 当a=0时, f′ (x) =0, 得x=0.

如x>0, f′ (x) >0, 则f (x) 在 (0, +∞) 单调递增.

如x<0, f′ (x) <0, 则f (x) 在 (-∞, 0) 单调递减.

解2 当a<0时, f′ (x) =0, 得x=0或$x=-\frac{2}{a}.$

如x<0, f′ (x) <0, 则f (x) 在 (-∞, 0) 单调递减.

如$0<x<-\frac{2}{a}‚f^{\prime }(x)>0$, 则f (x) 在$\left(0,-\frac{2}{a}\right)$上单调递增;

如$x>-\frac{2}{a}‚f^{\prime }(x)<0$, 则f (x) 在 (0, +∞) 单调递减.

运用导数来判断函数单调性的基本原理, 就是针对一个函数f (x) , 如果其导数f′ (x) 在[a, b]区间上大于0, 则函数f (x) 为单调递增, 反之则是单调递减.在解答本类题目时要注意:掌握常见函数导数的求法为前提, 特别是复合函数导数的求法, 并且说明函数单调性质时要说明其区间以及有什么样的单调性.

(三) 利用导数解不等式

例2 已知a>0, n为正整数.

1.设y= (x-a) n, 证明:

y′=n (x-a) n-1.

2.设fn (x) =xn- (x-a) n, 对任意n≥a, 证明f′n+1 (n+1) > (n+1) f′n (n)

解1 ∵ (x-a) n=${\displaystyle \sum _{k=0}^n}$C${}_n^k$ (-a) n-kxk,

∴y′=kC${}_n^k$ (-a) n-kxk-1=${\displaystyle \sum _{k=1}^n}$nC${}_{n-1}^{k-1}$ (-a) n-kxk-1

=n (x-a) n-1.

解2 对fn (x) =xn- (x-a) n.

求导:f′n (x) =nxn-1-n (x-a) n-1.

∴f′n (n) =n[nn-1- (n-a) n-1].

当x≥a>0, f′n (x) >0, 则fn (x) =xn- (x-a) n是增函数;

当n≥a, (n+1) n- (n+1-a) n>nn- (n-a) n.

∴f′n+1 (n+1) = (n+1) [ (n+1) n- (n+1-a) n]> (n+1) [nn- (n-a) n].

该题目运用了导数与函数单调性的关系, 用导数来证明不等式, 对于学生全面分析问题、解决问题的能力是一个有效的考查.应该说本题的知识点不多, 但是如果学生没有用导数证明不等的思想方法, 那么这道题就比较复杂.

(四) 利用导数求解数列

例3 求和:4C${}_n^1$+5C${}_n^2$+…+ (n+3) C${}_n^n$.

解 由x3 (1+x) n=x3 (C${}_n^0$+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn) ,

可得x3 (1+x) n=C0nx3+C1nx4+C2nx5+…+Cnnxn+3.

两边同时对x求导,

可得3x2 (1+x) n+x3·n (1+x) n-1=3C0nx2+4C1nx3+5C2nx4+…+ (n+3) Cnnxn+2.

令x=1, 得

3·2n+n·2n-1=3C${}_n^0$+4C${}_n^1$+5C${}_n^2$+…+ (n+3) C${}_n^n$.

∴原式= (n+6) 2n-1-3.

如果将本题当做数列求和, 采用传统的方法进行求解, 则要求较高的技巧性, 而运用导数工具通过构造二项式来求解, 则显得新颖而别出心裁.

三、高中数学导数应用要注意的问题

(一) 突出教学模型思想

呈现教学内容时, 要遵循反映数学发展的规律以及学生的认知规律, 按照从特殊到一般、由具象到抽象顺序来领悟数学知识的发生和发展.

(二) 以问题为中心

通过提问教学法帮助学生构建理性思维模式, 充分发挥学生的学习主体性, 将老师的功能回归到“学习引导者”的地位上来.通过老师提问以及学生释疑的过程, 揭示出数学知识与思维过程的内在联系.

(三) 章节之间的呼应

因为导数涉及多个与其相关的知识, 所以要注意教材中各个章节之间的呼应和铺垫, 在内容上承前启后, 而方法则多种并用, 以达到精确与近似的互相转化、曲与直的对立统一、数与形的有机结合的境界.

总之, 导数引入中学数学教材后, 给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力, 如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题.导数作为高中数学的重要内容, 近几年的高考试题每年都设置了一道导数解答题和客观题, 考查的重点是导数的应用, 我们对导数在数学解题中的运用做一个梳理和归纳无疑是必要的.

参考文献

[1]陈昌平.数学教育比较与研究[M].上海:华东师范大学出版社, 2002

[2]卢三国.从一道竞赛题谈导数在高中数学中的应用[J].数学教学通讯, 2005 (3)

[3]蒲永录.从高考命题看高中数学导数教学[J].青海师专学报, 2009 (2)

[4]刘明波.浅谈导数在高中数学中的应用[J].科技创新与节能减排, 2005 (7)