导数在解题中的妙用（精选9篇）
导数在解题中的妙用 篇1
在数学解题中, 利用导数可以解决诸多问题, 例如函数最值问题、一些不等式的证明、方程根以及切线问题等[1]. 因此, 导数在高中数学中的地位越来越突出.以下就导数在不同问题中的运用情况进行分析.
一、导数在函数最值问题中的运用
在近些年的高考试卷中, 二次函数区间的最值问题, 一般是二次函数内, 某一特定区间内的最值 ( 含最大值、最小值) [2]. 这种类型的题目一般都带有参数, 且是高考的一个重点考查内容. 如果对函数的最值问题采取数形结合的方式加以处理, 会显得过于复杂, 然而若采取导数的办法加以处理, 则会显得十分简单. 在解答函数最值问题时, 导数的作用在于对二次函数在某一特定区间内的极值点加以判定; 针对这种题目, 解题的重点在于分析与探究二次函数内极值点间位置的关联性.
例1已知函数f ( x) = x3+ mx2+ nx + p在 ( - ∞ , 0) 区间内为增函数, 而在[0, 2]内为减函数, x= 2 是f ( x) = 0 的一个根, 求n的值, 且证明f ( 1) ≥2.
分析: 在对这道题进行解答时, 首先通过题意可知x = 0 是一个极值点, 那么另外一个极值点在哪呢? 是x = 2 吗? 这就有待求证.
解: 由f ' ( x) = 3x2+ 2mx + n
f ( x) 在 ( - ∞ , 0]区间内为增函数, 而在[0, 2]内为减函数.
可知在x=0时, f (x) 取最大极值.
所以f (0) =0, 继而得出n=0.
又因为f ( 2) = 0, 所以p = - 4 ( m + 2) ,
f ( x) 在[0, 2]内为减函数,
f ( 1) = m + p + 1 = m - 4 ( m + 2) + 1 = 7 - 3m≥2.
二、不等式证明中导数的运用
在高中数学的众多题型之中, 不等式和函数两者相结合的例题十分常见, 且极为典型; 特别是在现今命题愈来愈趋于综合性的背景下, 不等式和函数两者的结合越来越密切[3]. 通过对近年来各省高考数学试卷的研究发现, 对不等式证明这一类题目的解答, 基本上都可采取导数进行回答.
例2 已知函数f ( x) = x ( x - a) ( x - b) , 其中, b> a > 0, 如果x = t或s时, f ( x) 取到极值, 且t > s, 那么请证明: b > t > a > s > 0.
证明: 第一步应得出f ( x) 导数, 即f ' ( x) = 3x2-2x ( a + b) + ab.
已知在x = s或t时, f ( x) 取得极值, 由此可知f ( x) = 0 有两个实根, 即s与t;
因而在 ( 0, a) 、 ( a, b) 两区间内, f ' ( x) 各有一个实根;
因为t > s, 且两者均为方程f' ( x) = 0 的两个实根.
所以, 最终得知: b > t > a > s > 0.
上述是采取导数, 对二次函数进行“降次”处理, 并转变成讨论二次方程在 ( a, b) 和 ( 0, a) 有无实根的一个问题, 然后与实根分布理论相联系, 且采取数形结合的思想, 最终达到证明不等式的目的.
三、导数在方程求根问题中的运用
在导数运用于高中数学解题中, 方程求根是其中的一个重点, 不管是在平时的数学解题中, 还是在高考数学考查中, 均出现过方程求根. 在方程求根问题的解题过程中, 采取导数知识, 依据导数的求解, 可以对原函数根的个数加以判定. 在对方程求根这一类题型进行解答时, 教师需尽可能引导高中生利用导数知识和x轴交点数, 对方程根的个数加以判定.
例3 函数f ( x) = 2x4- 3x3+ 2x2- 18, 若f ( x) =0, 则在[1, 11]区间内, 该方程有几个根.
解: f ' ( x) = 4x3- 12x2+ 20x, 如果使f ' ( x) 等于0, 可以得出4x ( x2- 3x + 5 ) = 0. 经过检验可以了解到: x2- 3x + 5 = 0 并无实数解. 因此, x = 0, 换而言之f ( x) 图像之上, 仅有一个驻点, 即x = 0; 同时在x > 0时, 得到f ' ( x) > 0, 在区 ( 0, + ∞ ) 区间内, f ( x) 是递增函数. 在[2, 10]内, f ( x) 同样属于递增函数, 带入断点能够得知f ( 2) = - 3 < 0, f ( 10) > 0, 因而在[2, 10]区间中, 函数f ( x) 只有一个根.
以上就是较为典型的导数在方程求根问题中的实例.
综上所述, 在解题过程中充分利用导数知识, 能够让数学解题的过程由繁变简, 从而提升数学解题的效率与质量. 因此, 教师应引导学生努力学习导数知识, 且利用导数知识解答各类题目, 继而提升其解题水平, 提高其数学成绩.
参考文献
[1]吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界:教师适用, 2012, 10 (11) :62.
[2]漆建哲.导数在高中数学解题中的应用分析[J].语数外学习:数学教育, 2013, 9 (7) :24.
[3]荆勇.导数在高中数学解题中的应用分析[J].课程教育研究:新教师教学, 2015, 12 (3) :193.
导数在高中数学解题中的合理应用 篇2
[关键词] 导数 高中数学 合理应用
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0000
导数是高考出题的热点，这让教师和学生对导数学习的意识也逐渐加强.导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，并且对激发学生学习数学的积极性有一定的作用.所以导数是数学教学中有利的辅助工具.注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握已成为数学教学的教学目标之一.
一、导数在代数中的应用
导数不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用.运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值.如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值.
例如，用导数求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值.
解： 函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）>0.在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）>0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）<0即为递减，所以根据极值的定义可得出，在x=3处取得最大值，即f（3）=63.
这类题目在高中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案.
二、导数在几何中的应用
导数在几何题目的解答上都能使解题变得更高效简单.学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则.学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性.注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力.
导数在几何解题的应用也可以有效地提高解题效率.比如常见的给出某M点坐标和曲线c方程，求出最终的切线方程.解题基本上也是有固定的步骤：首先确定M点是否在相应的曲线c上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式.如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程.
在几何题目的解答中，合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单，通过这种方式可以提高数学题目解答的效率.在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解.一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点，让学生来求解过这个点的曲线的切线方程，这些题目的解答都是通过导数来实现的.
例如：已知一条直线p：x+4y-4=0，以及曲线y=x4，直线p与曲线的一条切线n相互垂直，求切线n的方程.这是一道典型的采用导数来进行解答的曲线切线题目.在解题的过程中，我们要对题目所给的信息进行分析，根据直线x+4y-4=0与切线n相互垂直这一信息，来计算出n这条直线的斜率，然后再求出曲线的导函数.当导函数取具体值的时候，我们就可以将其对应的点坐标求出，这样就可以根据斜率和点的坐标来得出直线的方程.具体解题步骤为：y=x4，求导结果为y′=4x3，直线x+4y-4=0的斜率为-1/4，那么与这条直线垂直的直线n的斜率就是4.我们令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，这条直线与曲线的交点，也就是切点的位置就是（1，1），那么对应的切线方程就为y-1=4（x-1），即为y=4x-3.
学生要想在数学解题中很好地应用导数，必须是建立再对导数的概念、性质以及法则等有深刻理解的基础上的.通过导数典型性的应用，可以使一些题目变得一题多解，帮助学生对各个知识点有更加深层的掌握，并在此基础上选择较为简单的方法，更好的解决问题.
总之，导数在高数解题中的运用，有效地帮助学生更快速地解答难题；在有些包含导数、方程组、数列等方面的综合题目，通过使用导数进行解题，可以考察学生的综合思考能力，提高高中数学教学有效性.
[ 参 考 文 献 ]
[1]吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）：62-62.
[2]郝利军.关于高中数学导数公式的应用研究[J].文理导航（中旬），2014，（8）：19-19.
建议先理论分析，再列举一个具体的例子.
导数思想在高考解题中的应用 篇3
1．导数在求函数零点中的应用
零点问题即求函数图像与x轴交点的个数，解决此类问题就是利用数形结合及零点存在性定理.
例1 (2012年高考福建文) 已知函数f (x) =axsinx-， (a∈R) ，且在[0, ]上的最大值为.
(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式; (Ⅱ) 判断函数f (x) 在 (0，π) 内的零点个数，并加以证明.
点评本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想.
2．导数在求函数的最 (极) 值中的应用
求函数的最 (极) 值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态.一般地，函数f (x) 在闭区间[a, b]上可导，则f (x) 在[a, b]上的最值求法:
求可导函数f (x) 的极值的一般步骤和方法是:
(1) 求导数f' (x) ; (2) 求方程f' (x) =0的根; (3) 检验f' (x) 在方程f' (x) =0的根的左右符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f (x) 在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=f (x) 在这个根处取得极小值.
对于在[a, b]连续，在 (a, b) 可导的函数f (x) 的最值的求解，可先求出函数在 (a, b) 上的极大 (小) 值，并与f (a) ，f (b) 比较即可得出最大 (小) 值.
例2 (2012年高考重庆文) 已知函数f (x) =ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.
(1) 求a, b的值; (2) 若f (x) 有极大值28，求f (x) 在[-3, 3]上的最大值.
解析 (Ⅰ) 因f (x) =ax3+bx+c，故f' (x) =3ax2+b.
由于f (x) 在点x=2处取得极值,
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知f (x) =x3-12x+c, f' (x) =3x2-12，令f' (x) =0，得x1=-2, x2=2.当x∈ (-∞，-2) 时，f' (x) >0，故f (x) 在 (-∞，-2) 上为增函数;当x∈ (-2, 2) 时，f' (x) <0，故f (x) 在 (-2, 2) 上为减函数;当x∈ (2，+∞) 时，f' (x) >0，故f (x) 在 (2，+∞) 上为增函数.
由此可知f (x) 在x1=-2处取得极大值f (-2) =16+c, f (x) 在x2=2处取得极小值f (2) =c-16.由题设条件知16+c=28，得c=12，此时f (-3) =9+c=21, f (3) =-9+c=3, f (2) =c-16=-4，因此f (x) 上[-3, 3]的最小值为f (2) =-4.
点评本题主要考查函数的导数与极值、最值之间的关系，属于导数的应用. (1) 先对函数f (x) 进行求导，根据f' (2) =0, f (2) =c-16.求出a、b的值. (2) 通过列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.
3．导数在单调性上的应用
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑f' (x) 的正负即可，当f' (x) >0时，f (x) 单调递增;当f' (x) <0时，f (x) 单调递减.此方法简单快捷而且适用面广.
例3 (2012年高考山东文) 已知函数f (x) = (k为常数, e=2.71828是自然对数的底数) , 曲线y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线与x轴平行.
(Ⅰ) 求k的值; (Ⅱ) 求f (x) 的单调区间; (Ⅲ) 略.
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, .设, 则, 即k (x) 在 (0, +∞) 上是减函数, 由k (1) =0知, 当0
点评本题主要是切线定义的理解及单调性的简单应用，特别注意函数的定义域，此题型应熟练掌握.
4．导数在求切线方程中的应用
此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，f' (x0) 的几何意义就是曲线在点P (x0, f (x0) ) 处切线的斜率，过P点的切线方程为y-f (x0) =f' (x0) (x-x0) ，但应注意点P (x0, f (x0) ) 在曲线y=f (x) 上，否则易错.
例4 (2012年高考广东理) 曲线y=x3-x+3在点 (1, 3) 处的切线方程为____.
解析y'=3x2-1，当x=1时，y'=2，此时k=2，故切线方程为y-3=2 (x-1) ，即2x-y+1=0.
点评本小题弄清楚点是否在曲线上，然后再用求导的方法求切线.如本题改成在 (0, 1) 处切线方程又该如何求呢，留给读者自行证明.
5．导数在不等式证明中的应用
例5 (2012年高考辽宁文) 设f (x) =lnx+
令k (x) =lnx-x+1，则k (1) =0, k' (x) =-1<0,
∴k (x) <0, 即lnx
令g (x) = (x+5) 3-216x, 则当1
点评本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大.
6．导数在数列问题中的应用
数列求和是数学中比较常见的问题，也是学生难以掌握的问题，既可用常规方法求数列的和，也可借助导数这一工具，用导数的相关性质来解决此类问题，常可化繁为简，化难为易.
例6求1+2x+3x2+…+nxn-1， (x≠0, x≠1, n∈N*) .
解析因x+x2+x3+…+, 两边都是关于x的函数, 两边求导得
导数在解题中的妙用 篇4
一、运用数形结合思想,使复杂的问题简单化
在分数计算中,有些题目显得非常烦琐、复杂,有时会让学生对具体的计算过程望而生畏,甚至无从下手。在解题过程中如果应用数形结合思想,利用数形转换策略,对于一些特殊问题的计算,就会显得非常简便。
如:求出下列图形涂色部分的总和是多少?
计算+(图1),学生是非常容易算的,可以直接通分,然后求出结果。计算++(图2),难度也不大,通分照样能够解决问题。但是如果运用数形结合思想,学生就会发现,原来可以算得更简单,即1- (空白部分)=;计算+++(图3)=1- (空白部分)=。以此类推,如果计算++++…+=1-=,就变得非常方便与简洁了。以上看似非常复杂的计算过程,只要教给学生运用数形结合的方法来解决,实际的教学效果可能比单纯的推理计算要强上很多倍。
二、运用数形结合思想,使抽象的问题形象化
分数应用题是小学应用题教学的重点和难点,由于抽象程度比较高,学生难以理解和掌握。在教学中,教师应重视培养学生解决分数应用题的能力,并以此为载体,着力发展学生的数学思考能力。但让学生凭借教师总结的解题技巧去按图索骥,是难以达到预期效果的,而应用数形结合思想,能较好地解决这个问题。
如:一篮鸡蛋,第一次拿走整篮鸡蛋的,第二次又拿走剩下的,最后篮子里还有4个鸡蛋。你知道原来这个篮子里有几个鸡蛋吗?(三年级习题)
这道题单位“1”的量发生变化,第一次是把“整篮鸡蛋”看作单位“1”的量,第二次把“剩下鸡蛋”看作单位“1”的量,因此学生在解答时往往会感到困难。只要运用数形结合的思想帮助弄清题意,这道题就简便多了。如下:
从线段图中可以很清楚地看出,拿走剩下的,还有4个鸡蛋,那么“剩下篮鸡蛋”的数量应该是4个的2倍即8个,所以整篮鸡蛋的数量就是8的2倍即16个,算式为4×2×2=16(个)。如此抽象的思维有了“形”这个桥梁为依托,思考起来省时省力。
三、运用数形结合思想,使模糊的问题明朗化
在小学数学简单的排列组合中,有一些问题通常让学生感到比较头疼,很容易考虑不周或重复计算。应用数形结合思想和有序思维的策略,能够使学生的思维“有形可依”,解决此类问题就显得轻松多了。如教学组合问题时,有这样一道题:“一个箱子里放入4种不同颜色的正方体(红、白、黄、绿)和4种不同颜色的球(黑、橙、紫、蓝),随意从盒子里各拿出1个球和1个正方体,共可能有多少种不同的拿法?”学生通常只能找出其中的若干种,而且过程特别繁琐。如果运用数形结合的思想,就能使整个思考过程变得清晰有序,让数与形之间产生一一对应的关系。如右图所示(为了看清楚,黄色、绿色的正方体与球之间的连线省略不画),利用数形结合的策略,把极其抽象、模糊不清的问题,逐步明朗化。从图中可以很清楚地看出:红色正方体可以分别和黑、橙、紫、蓝的球搭配,即得到红黑、红橙、红紫、红蓝四种不同的搭配;白色正方体分别可以和黑、橙、紫、蓝的球搭配,得到白黑、白橙、白紫、白蓝四种不同的搭配;同理,黄色、绿色的正方体也分别可以有4种不同的搭配,即共有4×4=16(种)不同的搭配方法。
总之,数形结合就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法,它不但可以使复杂的问题迎刃而解,而且能够有效地提高学生的思维能力和数学素养,达到事半功倍的效果。
浅谈导数定义在解题中的应用 篇5
定义:设函数y=f (x0) , 在x0的某个领域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量时△x, 相应的函数y取得增量△y=f (x0+△x) -f (x0) ;如果△y与△x之比当△x→0时的极限存在, 则称函数y=f (x) 在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f (x) 在点x0处的导数, 记为
一、利用导数解决函数问题
1.利用导数求函数的解析式
用解析式表示函数关系, 便于研究函数的性质, 而利用导数求函数的解析式, 函数的一些基本性质就会显得更加的明了。
例1.设函数 y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点, 且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0, 若函数在x=2处取得极值 0, 试确定函数的解析式。
解:因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点, 所以P点的坐标为 (0, d) , 又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4, P点坐标适合方程, 从而d=-4, 又切线斜率k=12, 故在x=0处的导数y′|x=0=12, 而, 从而c=12, 又函数在x=2处取得极值0, 所以
解得a=2, b=-9, 所以所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4。
2.利用导数求函数的值域
求函数的值域是中学数学中的重点, 也是难点, 方法因题而异, 不易掌握.但是, 如果采用导数来求解, 则较为容易, 且一般问题都可行。
例2.求函数
分析:先确定函数的定义域, 然后根据定义域判断f′ (x) 的正负, 进而求出函数f (x) 的值域。
3.利用导数求函数的最 (极) 值
用导数求函数的最 (极) 值可以使解题过程简化, 步骤清晰, 也容易掌握, 从而进一步明确了函数的性态。一般地, 函数f (x) 在闭区间[a, b]上可导, 则f (x) 在[a, b]上的最值求法:求函数f (x) 在 (a, b) 上的极值点;计算f (x) 在极值点和端点的函数值;比较f (x) 在极值点和端点的函数值, 最大的是最大值, 最小的是最小值。
例3.求函数f (x) =x3-3x在[-3, 3/2]上的最大值和最小值。
分析:先求出f (x) 的极值点, 然后比较极值点与区间端点的函数值, 即可得该函数在区间[-3, 3/2]上的最大值和最小值。
4.利用导数求函数的单调区间
函数的单调性是函数的一个重要性质, 是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关, 运用导数知识来讨论函数单调性时, 结合导数的几何意义, 只需考虑f′ (x) 的正负即可, 当f′ (x) ﹥0时, f′ (x) 单调递增;当f′ (x) ﹤0时, f′ (x) 单调递减.此方法简单快捷而且适用面广。
例4.求f (x) =x3+3/x的单调区间。
分析:应先确定函数f (x) 的定义域, 再利用导数讨论其单调区间。
二、利用导数解决切线问题
1.求过某一点的切线方程
此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况, f′ (x0) 的几何意义就是曲线在点P (x0, f (x0) ) 处切线的斜率, 过P点的切线方程为 y-f (x0) =f′ (x0) (x-x0) , 但应注意点P (x0, f (x0) ) 在曲线y=f (x) 上, 否则易错。
例5.求曲线y=ex在原点处的切线方程。
分析:此类题型为点不在曲线上求切线方程, 应先设出切点坐标, 表示出切线方程, 把已知点代入方程, 求出切点坐标后, 再求切线方程.
解:显然点 (0, 0) 不在曲线y=ex上, 由于y′=ex, 则设切点坐标为P (x0, y0) , 所以y0=ex0, 则过P点的切线方程为y-ex0=ex0 (x-x0) 。
因为点 (0, 0) 在切线上, 所以-ex0=ex0 (-x0) , 即x0=1, 所以P (1, e) , 故切线方程为y-e=e (x-1) , 即ex-y=0。
2.求两曲线切线方程
例6.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a, 如果直线l同时是C1和C2的切线, 称l是C1和C2的公切线, 求公切线l的方程。
分析:本题也可用常规方法求解, 但运算量大, 过程烦琐, 而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的、简捷的方法, 即先分别求出两曲线的切线, 利用它们是同一直线来建立关系求解。
三、利用导数解决不等式问题
利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 直接或间接等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性, 将不等式的证明转化为函数问题。
综上所述, 原命题成立。
四、利用导数解决数列问题
数列是中学数学中的一个重要部分, 而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一, 有许多初等解决方法。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 再运用导数来解决数列求和的有关问题。
五、结语
在学习导数的过程中, 理解和掌握导数概念的本质, 正确应用定义是至关重要的。公式只是定义的推导和论证, 若本末倒置, 只记住导数公式, 单纯追求几种求导的方法, 不仅束缚了正确的思维, 还会在解决问题的过程中出现本质性的错误, 桎梏了思维能力的提高和发展。只有把握基本概念的内在本质, 才能搞清公式成立的条件, 选择正确的解题方法, 提高解题能力, 灵活解决问题。
参考文献
导数在高中数学解题中的合理应用 篇6
一、导数在代数中的应用
导数不是很复杂难学的知识,只要将公式、法则、性质牢记于心,多做练习,自然就能熟练应用.运用导数求极值一般有固定的解题步骤:首先求出f′(x)的根值,根据所得数值,确定根两侧的函数单调性,再根据单调性呈现出来的递增或递减状态,得到相应的最大值或最小值.如果两侧单调性相同,则说明此根处没有相应的极值.
例如,用导数求函数f(x)=-x3+3x2+9x在单调区间[1,5]上的最大值.
解:函数f(x)的导数为f′(x)=-3x2+6x+9,所以在区间(-1,3)上是单调递增的,即f′(x)>0.在区间(-∞,-1),(3,+∞)上是单调递减的;对于区间[1,5]在[1,3]的范围内f′(x)>0,即是递增,在[3,5]范围内f′(x)<0即为递减,所以根据极值的定义可得出,在x=3处取得最大值,即f(3)=63.
这类题目在高中是常见的基础题型,在某一区间内求取极值的问题,根据导数的定义,在区间内如果两侧符号不同,那就说明这个区间存在极值,以此为根据,有清晰的解题思路,就能快速地解出答案.
二、导数在几何中的应用
导数在几何题目的解答上都能使解题变得更高效简单.学生在导数知识章节的学习中,对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则,可以不用加以过多的证明,但一定要将公式和法则熟记于心,在遇到难题时,能够正确使用相应的步骤和法则.学生在导数知识的学习过程中,也要注意适时的进行总结,对知识有一个连贯性.注重知识的全面运用,可以提升学生自身的综合学习能力.
导数在几何解题的应用也可以有效地提高解题效率.比如常见的给出某M点坐标和曲线c方程,求出最终的切线方程.解题基本上也是有固定的步骤:首先确定M点是否在相应的曲线c上,另外要求得相应的导数f′(x);根据题目的实际情况会得出不一样的数值,然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式.如果点在曲线上,那么需要用的方程为y-y0=f′(x0)(x-x0);如果点不在曲线上,那么需要用到的方程为y1=f(x1),y0-y1=f′(x1)(x0-x1),以此为根据,得出具体的x1的值,这样就能求得切线方程.
在几何题目的解答中,合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单,通过这种方式可以提高数学题目解答的效率.在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解.一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点,让学生来求解过这个点的曲线的切线方程,这些题目的解答都是通过导数来实现的.
例如:已知一条直线p:x+4y-4=0,以及曲线y=x4,直线p与曲线的一条切线n相互垂直,求切线n的方程.这是一道典型的采用导数来进行解答的曲线切线题目.在解题的过程中,我们要对题目所给的信息进行分析,根据直线x+4y-4=0与切线n相互垂直这一信息,来计算出n这条直线的斜率,然后再求出曲线的导函数.当导函数取具体值的时候,我们就可以将其对应的点坐标求出,这样就可以根据斜率和点的坐标来得出直线的方程.具体解题步骤为:y=x4,求导结果为y′=4x3,直线x+4y-4=0的斜率为-1/4,那么与这条直线垂直的直线n的斜率就是4.我们令y=4x3=4,就可以得出x=1,由此可知,这条直线与曲线的交点,也就是切点的位置就是(1,1),那么对应的切线方程就为y-1=4(x-1),即为y=4x-3.
学生要想在数学解题中很好地应用导数,必须是建立再对导数的概念、性质以及法则等有深刻理解的基础上的.通过导数典型性的应用,可以使一些题目变得一题多解,帮助学生对各个知识点有更加深层的掌握,并在此基础上选择较为简单的方法,更好的解决问题.
谈面积法在解题中的妙用 篇7
技巧一利用面积相等的性质解题
例1 求证:三条高相等的三角形一定是等边三角形.
证明:设△ABC的三条高分别为ha、hb、hc, 如右图, 则
∵ha=hb=hc, ∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
此例题设为三角形的三条高, 所证结论为三边相等, 易联想到三角形的面积与底边及高的关系.虽然简单, 但其解法充分体现了面积法的一个基本技巧, 即用两种或两种以上的方法表示同一图形的面积, 进而通过面积等式找出所求量之间的关系.
例2 三角形两条高线的长分别为12 和20, 说明第三条高线的长小于30.
解:设△ABC的三边分别为a、b、c, 对应高为ha、hb、hc, 三角形的面积为S△ABC,
技巧二利用面积可比的性质解题
由三角形面积公式容易推知:①等底等高的两三角形面积相等;②等底 (或等高) 的两三角形面积的比等于其高 (或底) 的比.据此当题目中存在等底或等高的三角形时, 将其面积的比与线段的比联系起来, 可收到事半功倍之效.
例3 如右图, AD是△ABC的角平分线, 求证:.
证明:过点D作DE⊥AB于E, DF⊥AC于F, 过点A作AH ⊥BC于H,
本例常规证法是作AD的平行线利用比例线段来证明, 但注意到△ABD与△ACD是等高的两个三角形, 从而利用这两个三角形面积的不同表现形式, 将所证线段的比联系起来即可得证.
例4 点P是△ABC内的任一点, 直线AP、BP、CP分别交对边于点D、E、F,
试证:AP∶PD, BP∶PE, CP∶PF三者之中至少有一个不大于2, 也至少有一个不小于2.
则, 从而有.同理可证:三个比中至少有一个不大于2.
本例从表面看, 要证的三个比值没有什么直接联系, 但观察图中有许多等底、等高的三角形, 这样便可联想到把所证线段的比表示为三角形面积的比, 以此使问题得到解决.
技巧三利用面积的可拆分性解题
利用面积自身相等的性质表示同一图形的面积不仅表现为选取不同的边作为底来计算面积, 它在更多的情况下是拆分同一图形为几个图形来计算, 这往往更为有效.
例5 如右图, 从△ABC的各顶点作AD∥BE∥CF, 分别与对边或延长线交于D、E、F.
求证:S△DEF=2S△ABC.
分析:从图形观察, △DEF可分为三部分, 分别是△ADE、△ADF、△AEF, 其中 △ADE与 △ADB、△ADF与△ADC同底等高, 所以只要证出△AEF与△ABC的面积相等即可.
证明:∵AD∥BE∥CF,
又∵S△CEF=S△CBF,
∴S△AEF+ S△ADE+S△ADF=2 S△ABC, 即S△DEF=2 S△ABC.
导数在解题中的妙用 篇8
一、求值
例1已知A、B、C是平面上三点,且,则的值等于()
(A) 83 (B)(C) 25 (D)
解析:因为,所以,故应选(B).
点评:上述解法体现了整体思想,利用三角形中的闭合回路,两边直接平方得到要求的式子.
例2求cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°的值.
解析:作边长为1的正五边形A1A2A3A4A5及长度任意的非零向量e,使与e的夹角为23°,则与e的夹角分别为95°,167°,121°,49°.因为A,又因为|e|≠0,,所以cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°=0.
点评:从本题可以得到如下结论:在多边形A1A2A3…An中,在任意非零向量e方向上的投影的和为0.
二、求距离或长度
例3已知点P、Q分别在正四面体ABCD的棱AB、CD上,求点P、Q间的最短距离.
解析:设PB=,因此,点P、Q间的最短距离为.
例4已知平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD所在直线成60°角,求BD之长.
解析:由已知,,因为<,或120°,所以或2,从而有或.
点评:利用向量求解距离或长度问题的实质是求向量模的问题,可用已知向量来表示未知向量,再利用模的运算性质求解.
三、求角度
例5已知正四面体ABCD的棱长为2,E、F分别为BD、AC的中点,求异面直线AE与BF所成角的大小.
解析:因为,所以,又因为,所以由得,,故异面直线AE与BF所成角的大小为.
例6 (2009年高考全国卷Ⅰ理18题)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,且SD⊥底面ABCD,,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°.
(1)证明:M是侧棱SC的中点;
(2)求二面角S-AM-B的大小.
解析:(1)略.
(2),由(1)知M是SC的中点,所以CM⊥AM.因为,AB=2,取AM的中点G,则BG⊥AM,设二面角S-AM-B的大小为θ,得,即,所以,二面角S-AM-B的大小为.
点评:上述解答相对于传统几何解法或利用法向量求解,既降低了思维难度,又减少了运算量,易于接受和操作.
四、证明与点、线、面相关的命题
例7在正方体ABCD-A1B1 C1D1中,点M、N、P分别是棱AB、CC1、DD1的中点,点Q是线段AN上的点,且,求证:P、Q、M三点共线.
证明:因为,所以,又因与有公共点M,所以P、Q、M三点共线.
简谐运动平衡位置在解题中的妙用 篇9
一、时间的对称性在解题中的妙用
例1 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动, 若从O点开始计时, 经过3 s质点第一次经过M点, 如图1所示, 再继续运动, 又经过2 s它第二次经过M点.则该质点第三次经过M点所需的时间是 ( )
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解析:由简谐运动的对称性可知, 质点由O→a, a→O;O→M, M→O;M→b, b→M;所用时间分别对应相等, 又因为开始计时时, 质点从O点开始运动方向不明确, 故应分两种情况讨论.
①当质点开始从O点向右运动时, 由题意得:tOM=3 s, 2tMb=2 s, 而tOM+tMb=T/4, 所以有T=16 s, 故质点第三次到达M点还需要时间为:t=T/2+2·tOM=8 s+6 s=14 s
②当质点开始从O点向左运动时, 由题意得:T′/2+tOM=3 s, 2tMb=2 s, 而tOM+tMb=T′/4.
所以有:T′=16/3 s, tOM=1/3 s, 故质点第三次到达M点还需要时间为:t′=T′/2+2·tOM=8/3+2/3=10/3 s.
点评:本题主要考查周期的概念及O点为对称点的对称关系.
二、回复力的对称性在解题中的妙用
例2 在平静的水面上漂浮着质量为M的矩形木块, 木块上放置一质量为m的铁块.现突然取走铁块m, 矩形木块上升到最高时, 下表面恰好与水面齐平.不计水的阻力, 则M、m的大小关系为 ( )
(A) M>m (B) M=m
(C) M
分析:取走铁块m后, 木块将在竖直方向上做简谐运动, 未取走铁块之前木块的位置为简谐运动的最低位置, 当木块下表面恰好与水面齐平时的位置为最高位置.
未取走铁块前, 木块受力平衡, 故取去铁块瞬间, 木块所受的合外力的大小为mg, 方向竖直向上, 这个力即为木块的回复力.在最高点木块所受的回复力为Mg, 方向向下.根据对称性, 最高位置与最低位置的回复力大小相等, 即:Mg=mg, 故就选 (B) .
三、加速度的对称性在解题中的妙用
例3 一个小铁球从竖直固定在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落, 接触弹簧后将弹簧压缩, 在压缩的全过程中, 弹簧均为弹性形变, 那么当弹簧被压缩到最大时, 下列说法正确的是 ( )
(A) 铁球所受合外力最大, 但不一定大于重力
(B) 铁球的加速度最大, 且一定大于重力加速度
(C) 铁球的加速度最大, 有可能小于重力加速度
(D) 铁球所受弹力最大, 但不一定大于重力
解析:设铁球刚接触弹簧时速度为v, 方向向下, 这时加速度大小为a=g, 方向向下.设铁球向下运动将弹簧压缩距离x到达平衡位置时 (球受到向上的弹力与向下的重力大小相等) 有最大速度vm, 这时加速度a=0.据简谐运动的对称性知, 铁球从平衡位置继续向下运动距离x时速度大小仍为v, 方向向下, 但这时加速度大小为a=g, 方向向上, 铁球将继续向下减速运动达最低点时速度为0, 但这时向上的加速度应大于g值.故本题正确选项为 (B) .