旋转在解题中的妙用

旋转在解题中的妙用（精选7篇）

旋转在解题中的妙用 篇1

利用旋转变换改变图形的位置, 再借助旋转的性质,可以将复杂的几何计算与证明变得迎刃而解, 它充分发挥了“变分散为集中”的思想 ,使某些数学问题较好地找到解决的思路和方法, 且达到事半功倍的效果. 下面就以几个实例让你体会旋转的妙用,希望你能从中受到启发.

例1正△ABC中,P为其内部 一点 , 且PB∶PA∶PC = 3∶4∶5, 求∠APB的大小.

分析PB∶PA∶PC = 3∶4∶5,则PA,PB,PC三边可构成直角三角形 ,由此可想能否通过旋转, 将PA,PB,PC转换到一个三角形中, 可能此题就找到了切入点, 而△ABC为正三角形,为旋转提供了先决条件,可想将△ABP绕A逆时针旋转60°至△ACP′,则∠APB = ∠AP′C, AP = AP′, CP′ =BP,连接PP′, △APP′为正三角形,PA = P′A = PP′,则CP′∶P′P∶PC = 3∶4∶5, △PCP′为直角三角形,∠PP′C = 90°, 故∠AP′C =60° + 90° = 150° = ∠APB.

例2正方形ABCD中,M,N分别在边BC,CD上运动,∠MAN = 45°.试证:MN = BM + ND.

分析要证MN = BM + ND, 可想BM,ND能否转换到一条直线上 ,若将△ABM绕A点逆时针 旋转90° ,△ABM至△ADM′位置,∠ADM′ = ∠ABM = 90°, 显然D M′在CD延长线上,BM + ND = NM′,现需证MN = M′N即可,连接MN,不难发现△AMN≌△AM′N,此题得解.

例3任意△ABC, 在BC边同侧分别以AB,BC,AC为边作等 边△ABD,△BCE, △ACF,连接DE,EF,试判断四 边形ADEF的形状 , 说明△ABC对四边形ADEF形状的影响.

分析当图形出现有公共点的不同正三角形时,图中一定蕴含有全等三角形且它们一定可以通过旋转重合. 在此题中以△ABC为基本图形将其绕C点顺时针旋转60°即可得到△ECF, 从而EF = BA = DA. 而将△ABC绕B点逆时针旋转60°即得△DBE, 则有DE = AC =AF,进而很易作出判断四边形ADEF是有两组对边分别相等的四边形, 它是平行四边形. 而当△ABC中,AB = AC时,即有AD = AF, 四边形ADEF为菱形 , 若∠BAC = 150°时 ,∠DAF = 90°,四边形ADEF为矩形,两者同时成立则四边形ADEF为正方形. 而当∠BAC = 60°时 ,D, A ,F三点共线 ,四边形ADEF不存在.

例4正三角形ABC内接于⊙O,D是劣弧BC上任意一 点 ,AD = 8, 求四边形ABDC的面积.

分析四边形ABDC的形状随着D点位置的变化而改变 , 且题中条件单一,该如何思考呢? 可想由题中出现的正三角形条件怎么用得上, 由此不难想到旋转. 利用旋转变换将△ADC绕A点顺时针 旋转60°到△AEB的位置 ,则△AED是正三角形, 因为∠ADB = ∠ACB = 60°, 故E,B,D在一条线上, 四边形ABDC的面积即转换为正△AED的面积,求出边长为8的正三角形面积即得四边形ABDC的面积.

以上四例的解答,均借助了旋转,而此四例的共同特点则是题中分别涉及了正三角形、正方形,有些题目中也可能出现的是等腰三角形或等腰直角三角形,它往往为我们提供了图形旋转的基本条件,这也是旋转变换会涉及的一些基本图形. 旋转变换思想在几何中有着广泛的应用, 这种数学思想体现了思维的多向性, 也是学习几何的一个可循的规律.平时多注意培养学生用旋转变换思想解题,也可减少几何计算与证明的一些难点,使学生体会几何添加辅助线的一些可循性规律. 我们需要合理地启发引导学生, 将所学的知识融会贯通,活学巧用,对有些图形巧用旋转变换,不仅可以减少解题的盲目性, 还可以使解题的速度和质量大大提高. 利用旋转变换思想解题是解决图形问题的一个思维亮点,希望本文关于旋转的妙用可以给学生以启迪和借鉴.

旋转在解题中的妙用 篇2

一、巧补“1”，帮助学生理解变化规律

在学习了小数的乘除法之后，根据乘数（除数）的大小，判断积（商）与被乘数（被除数）的大小，是教学中常见的题型。对于绝大多数学生来说，这类题型不难理解，但对于小部分学困生来说，却往往会顾此失彼、错误不断。如“比较大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教师会采用先“划”（划出某个数）再“比”的方式进行，有的教师会用看因数（除数）是不是纯小数来判断，但对部分学困生来说，既要先搞明白纯小数的意思，又要进行比较，这个弯不是一下子就能转得过来，显然也是不太现实的。对此不妨巧补“1”来解决此类题。如：2.68×1.03○2.68×1，这样，使“○”的左右各变成乘法算式，其中一个因数相同，要比较大小只要看另一个因数的大小就可以了。因为根据积的变化规律可知：在乘法中，一个因数不变，另一个因数大，乘积就大。这样一“补”就能顺利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根据商的变化规律可知：在除法中，如果被除数不变，除数越小，商就越大。这样的“退”不只是比较了大小，更是加深了对“积（或商）”变化规律的认识，不失为一种有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，帮助学生掌握数量关系

理解和分析数量关系，是小学生数学学习的必要技能之一。目前，在解决数学问题的过程中， “数量关系”的理解是学生较为薄弱的内容。因此，很多教师都会花大力气让学生熟记一些常用的数量关系，以期达到根据数量关系（“葫芦”）来达成解决问题（“画瓢”）的目的。殊不知，“数量关系”在不同的情节下，无论是表达的顺序，还是表现形式都是多变的，借助“熟记”来解决实际问题，不光会加重记忆负担，也会使解题失去灵活性。如：一辆汽车行驶35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行驶（ ）千米，行驶1千米需要（ ）升汽油？这类题是学生很容易出错的题型，因为它没有很明显的数量关系式可用，在行程问题中是用“路程=速度×时间”的关系。如果我们巧借“1”也同样可使问题迎刃而解。请看：要求每升汽油能行驶多少千米。原先是2.45升，如今变成“1升”，必须“÷2.45”才会是“1升”。根据等式的性质，那另一个数“35”也同样需要“÷2.45”，这样列出来的算式，就是满足条件的算式。

同理，要求行驶1千米需要多少升汽油，也应先把35千米变成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具体函数量关系如下图所示。借助“1”，可以解决很多“归一”类题目，易懂又省时。

■

三、巧设“1”，帮助学生简化解题思路

“比和比例”单元中要学生组成“比例”，这是易出较多错误的知识点。合理巧借“1”既可以帮助学生简化思路，使复杂问题变成简单问题，使学生的错误减少到最低程度，也会使学生的理解能力得以提升。如：甲数的■等于乙数的2.4倍，求甲数∶乙数=（ ）∶（ ）。很多学生由于受从左往右运算顺序的影响，也往往会出现“甲数∶乙数=■∶2.4”这种错误。这时可借助“1”，根据倒数的知识，假设“甲数的■为1时，则甲数就是■”，同理，假设“乙数的2.4倍为1时，则乙数就是■”，即甲数∶乙数=■∶■=16∶5，具体数量关系如下图所示。

甲数的■等于乙数的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧变“1”，帮助学生化解学习难点

在解方程单元中，求除数（减数）是未知项的方程，也是学生错误的高发区。此时借助巧变“1”，可帮助学生化解学习难点。如解方程：72÷2x=6，可以通过以下步骤进行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

从上面的步骤中看到，这里借助商是“1”，巧妙地化解了求除数是未知数的难题，而且学生容易理解和掌握。因为要使商为“1”，只有“被除数=除数”时才能实现。

我们知道，从“知识的课堂”到“能力的课堂”再到“创新的课堂”，这种课堂的转型，必须建立在以学生学习为中心的理念之上才能得以实现。从上述巧借“1”在数学解题中的实例探索中可以看到，当我们的数学组织教学工作围绕着“学生中心”来教（或称为“以学定教”）的时候，教学才能达到轻负高质的要求。也只有这样，学生才可能感受到数学是能学习的，是可以接受的，进而走进数学，亲近数学，喜欢数学，这也是数学教师所应追求的最终目的。

（责编 黄春香）endprint

华罗庚曾说：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想。在实际教学过程中，有很多的知识点，如果我们巧设“退路”，往往会有另一番收获。根据多年的教学实践，笔者认为妙用“1”作“辅助”或“退路”，不失为一种渗透数学思想、提升学生思维的有效策略。

一、巧补“1”，帮助学生理解变化规律

在学习了小数的乘除法之后，根据乘数（除数）的大小，判断积（商）与被乘数（被除数）的大小，是教学中常见的题型。对于绝大多数学生来说，这类题型不难理解，但对于小部分学困生来说，却往往会顾此失彼、错误不断。如“比较大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教师会采用先“划”（划出某个数）再“比”的方式进行，有的教师会用看因数（除数）是不是纯小数来判断，但对部分学困生来说，既要先搞明白纯小数的意思，又要进行比较，这个弯不是一下子就能转得过来，显然也是不太现实的。对此不妨巧补“1”来解决此类题。如：2.68×1.03○2.68×1，这样，使“○”的左右各变成乘法算式，其中一个因数相同，要比较大小只要看另一个因数的大小就可以了。因为根据积的变化规律可知：在乘法中，一个因数不变，另一个因数大，乘积就大。这样一“补”就能顺利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根据商的变化规律可知：在除法中，如果被除数不变，除数越小，商就越大。这样的“退”不只是比较了大小，更是加深了对“积（或商）”变化规律的认识，不失为一种有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，帮助学生掌握数量关系

理解和分析数量关系，是小学生数学学习的必要技能之一。目前，在解决数学问题的过程中， “数量关系”的理解是学生较为薄弱的内容。因此，很多教师都会花大力气让学生熟记一些常用的数量关系，以期达到根据数量关系（“葫芦”）来达成解决问题（“画瓢”）的目的。殊不知，“数量关系”在不同的情节下，无论是表达的顺序，还是表现形式都是多变的，借助“熟记”来解决实际问题，不光会加重记忆负担，也会使解题失去灵活性。如：一辆汽车行驶35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行驶（ ）千米，行驶1千米需要（ ）升汽油？这类题是学生很容易出错的题型，因为它没有很明显的数量关系式可用，在行程问题中是用“路程=速度×时间”的关系。如果我们巧借“1”也同样可使问题迎刃而解。请看：要求每升汽油能行驶多少千米。原先是2.45升，如今变成“1升”，必须“÷2.45”才会是“1升”。根据等式的性质，那另一个数“35”也同样需要“÷2.45”，这样列出来的算式，就是满足条件的算式。

同理，要求行驶1千米需要多少升汽油，也应先把35千米变成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具体函数量关系如下图所示。借助“1”，可以解决很多“归一”类题目，易懂又省时。

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三、巧设“1”，帮助学生简化解题思路

“比和比例”单元中要学生组成“比例”，这是易出较多错误的知识点。合理巧借“1”既可以帮助学生简化思路，使复杂问题变成简单问题，使学生的错误减少到最低程度，也会使学生的理解能力得以提升。如：甲数的■等于乙数的2.4倍，求甲数∶乙数=（ ）∶（ ）。很多学生由于受从左往右运算顺序的影响，也往往会出现“甲数∶乙数=■∶2.4”这种错误。这时可借助“1”，根据倒数的知识，假设“甲数的■为1时，则甲数就是■”，同理，假设“乙数的2.4倍为1时，则乙数就是■”，即甲数∶乙数=■∶■=16∶5，具体数量关系如下图所示。

甲数的■等于乙数的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧变“1”，帮助学生化解学习难点

在解方程单元中，求除数（减数）是未知项的方程，也是学生错误的高发区。此时借助巧变“1”，可帮助学生化解学习难点。如解方程：72÷2x=6，可以通过以下步骤进行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

从上面的步骤中看到，这里借助商是“1”，巧妙地化解了求除数是未知数的难题，而且学生容易理解和掌握。因为要使商为“1”，只有“被除数=除数”时才能实现。

我们知道，从“知识的课堂”到“能力的课堂”再到“创新的课堂”，这种课堂的转型，必须建立在以学生学习为中心的理念之上才能得以实现。从上述巧借“1”在数学解题中的实例探索中可以看到，当我们的数学组织教学工作围绕着“学生中心”来教（或称为“以学定教”）的时候，教学才能达到轻负高质的要求。也只有这样，学生才可能感受到数学是能学习的，是可以接受的，进而走进数学，亲近数学，喜欢数学，这也是数学教师所应追求的最终目的。

（责编 黄春香）endprint

华罗庚曾说：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想。在实际教学过程中，有很多的知识点，如果我们巧设“退路”，往往会有另一番收获。根据多年的教学实践，笔者认为妙用“1”作“辅助”或“退路”，不失为一种渗透数学思想、提升学生思维的有效策略。

一、巧补“1”，帮助学生理解变化规律

在学习了小数的乘除法之后，根据乘数（除数）的大小，判断积（商）与被乘数（被除数）的大小，是教学中常见的题型。对于绝大多数学生来说，这类题型不难理解，但对于小部分学困生来说，却往往会顾此失彼、错误不断。如“比较大小”：2.68×1.03○2.68 ，0.95÷1.25○0.95，有的教师会采用先“划”（划出某个数）再“比”的方式进行，有的教师会用看因数（除数）是不是纯小数来判断，但对部分学困生来说，既要先搞明白纯小数的意思，又要进行比较，这个弯不是一下子就能转得过来，显然也是不太现实的。对此不妨巧补“1”来解决此类题。如：2.68×1.03○2.68×1，这样，使“○”的左右各变成乘法算式，其中一个因数相同，要比较大小只要看另一个因数的大小就可以了。因为根据积的变化规律可知：在乘法中，一个因数不变，另一个因数大，乘积就大。这样一“补”就能顺利比出大小了。同理，如：0.95÷1.25○0.95÷1。根据商的变化规律可知：在除法中，如果被除数不变，除数越小，商就越大。这样的“退”不只是比较了大小，更是加深了对“积（或商）”变化规律的认识，不失为一种有用的“拐杖”。

二、巧借“1”，帮助学生掌握数量关系

理解和分析数量关系，是小学生数学学习的必要技能之一。目前，在解决数学问题的过程中， “数量关系”的理解是学生较为薄弱的内容。因此，很多教师都会花大力气让学生熟记一些常用的数量关系，以期达到根据数量关系（“葫芦”）来达成解决问题（“画瓢”）的目的。殊不知，“数量关系”在不同的情节下，无论是表达的顺序，还是表现形式都是多变的，借助“熟记”来解决实际问题，不光会加重记忆负担，也会使解题失去灵活性。如：一辆汽车行驶35千米用汽油2.45升，那么每升汽油能行驶（ ）千米，行驶1千米需要（ ）升汽油？这类题是学生很容易出错的题型，因为它没有很明显的数量关系式可用，在行程问题中是用“路程=速度×时间”的关系。如果我们巧借“1”也同样可使问题迎刃而解。请看：要求每升汽油能行驶多少千米。原先是2.45升，如今变成“1升”，必须“÷2.45”才会是“1升”。根据等式的性质，那另一个数“35”也同样需要“÷2.45”，这样列出来的算式，就是满足条件的算式。

同理，要求行驶1千米需要多少升汽油，也应先把35千米变成1千米，也就是只要2.45÷35即可，具体函数量关系如下图所示。借助“1”，可以解决很多“归一”类题目，易懂又省时。

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三、巧设“1”，帮助学生简化解题思路

“比和比例”单元中要学生组成“比例”，这是易出较多错误的知识点。合理巧借“1”既可以帮助学生简化思路，使复杂问题变成简单问题，使学生的错误减少到最低程度，也会使学生的理解能力得以提升。如：甲数的■等于乙数的2.4倍，求甲数∶乙数=（ ）∶（ ）。很多学生由于受从左往右运算顺序的影响，也往往会出现“甲数∶乙数=■∶2.4”这种错误。这时可借助“1”，根据倒数的知识，假设“甲数的■为1时，则甲数就是■”，同理，假设“乙数的2.4倍为1时，则乙数就是■”，即甲数∶乙数=■∶■=16∶5，具体数量关系如下图所示。

甲数的■等于乙数的2.4倍

1（■） 1（■）

四、巧变“1”，帮助学生化解学习难点

在解方程单元中，求除数（减数）是未知项的方程，也是学生错误的高发区。此时借助巧变“1”，可帮助学生化解学习难点。如解方程：72÷2x=6，可以通过以下步骤进行。

72÷6÷2x=6÷6

12÷2x=1

2x=12

x=6

从上面的步骤中看到，这里借助商是“1”，巧妙地化解了求除数是未知数的难题，而且学生容易理解和掌握。因为要使商为“1”，只有“被除数=除数”时才能实现。

我们知道，从“知识的课堂”到“能力的课堂”再到“创新的课堂”，这种课堂的转型，必须建立在以学生学习为中心的理念之上才能得以实现。从上述巧借“1”在数学解题中的实例探索中可以看到，当我们的数学组织教学工作围绕着“学生中心”来教（或称为“以学定教”）的时候，教学才能达到轻负高质的要求。也只有这样，学生才可能感受到数学是能学习的，是可以接受的，进而走进数学，亲近数学，喜欢数学，这也是数学教师所应追求的最终目的。

破损乒乓球在旋转球教学中的妙用 篇3

一、模具制做

1. 工具及器材

未完全变瘪的乒乓球、记号笔、细铁丝、钳子、蜡烛、火柴、容器及开水等。

2. 制作过程

第一步:把表面凹陷的乒乓球放入容器, 并倒入开水, 使乒乓球基本复原;

第二步:用记号笔在复原乒乓球球体上做通过球心的对称两点;

第三步:用钳子夹一小段细铁丝, 再用火加热一端, 然后在所作对称点上各烫一个小洞, 小洞的大小略大于细铁丝;

第四步:选择长于乒乓球直径两倍的直段细铁丝, 从两个小洞穿过。并用钳子在铁丝两端各捏一个圆环。圆环直径要略大于两个烫开的小洞, 即要防止乒乓球脱离细铁丝, 又要便于旋转和拿捏;

第五步:用记号笔画出垂直铁丝的最大圆的圆周, 并在所画圆圈上沿同一方向标若干箭头。

至此, 旋转球教学模具就做成了。它能把抽象地乒乓球旋转直观的呈现出来, 方便乒乓球基本旋转的教学。

二、模具运用

乒乓球的旋转是以人在乒乓球后面的位置看到的旋转作为参照的。模具中的箭头表示球的旋转方向, 穿过球心的细铁丝表示旋转轴。讲解时, 一手持模具一端的圆环, 另一手沿着箭头方向转动球体, 并可根据需要改变旋转轴的位置和方向, 演示出乒乓球的六种基本旋转方式 (见图1~6) 。

谈面积法在解题中的妙用 篇4

技巧一利用面积相等的性质解题

例1 求证:三条高相等的三角形一定是等边三角形.

证明:设△ABC的三条高分别为ha、hb、hc, 如右图, 则

∵ha=hb=hc, ∴a=b=c,

∴△ABC是等边三角形.

此例题设为三角形的三条高, 所证结论为三边相等, 易联想到三角形的面积与底边及高的关系.虽然简单, 但其解法充分体现了面积法的一个基本技巧, 即用两种或两种以上的方法表示同一图形的面积, 进而通过面积等式找出所求量之间的关系.

例2 三角形两条高线的长分别为12 和20, 说明第三条高线的长小于30.

解:设△ABC的三边分别为a、b、c, 对应高为ha、hb、hc, 三角形的面积为S△ABC,

技巧二利用面积可比的性质解题

由三角形面积公式容易推知:①等底等高的两三角形面积相等;②等底 (或等高) 的两三角形面积的比等于其高 (或底) 的比.据此当题目中存在等底或等高的三角形时, 将其面积的比与线段的比联系起来, 可收到事半功倍之效.

例3 如右图, AD是△ABC的角平分线, 求证:.

证明:过点D作DE⊥AB于E, DF⊥AC于F, 过点A作AH ⊥BC于H,

本例常规证法是作AD的平行线利用比例线段来证明, 但注意到△ABD与△ACD是等高的两个三角形, 从而利用这两个三角形面积的不同表现形式, 将所证线段的比联系起来即可得证.

例4 点P是△ABC内的任一点, 直线AP、BP、CP分别交对边于点D、E、F,

试证:AP∶PD, BP∶PE, CP∶PF三者之中至少有一个不大于2, 也至少有一个不小于2.

则, 从而有.同理可证:三个比中至少有一个不大于2.

本例从表面看, 要证的三个比值没有什么直接联系, 但观察图中有许多等底、等高的三角形, 这样便可联想到把所证线段的比表示为三角形面积的比, 以此使问题得到解决.

技巧三利用面积的可拆分性解题

利用面积自身相等的性质表示同一图形的面积不仅表现为选取不同的边作为底来计算面积, 它在更多的情况下是拆分同一图形为几个图形来计算, 这往往更为有效.

例5 如右图, 从△ABC的各顶点作AD∥BE∥CF, 分别与对边或延长线交于D、E、F.

求证:S△DEF=2S△ABC.

分析:从图形观察, △DEF可分为三部分, 分别是△ADE、△ADF、△AEF, 其中 △ADE与 △ADB、△ADF与△ADC同底等高, 所以只要证出△AEF与△ABC的面积相等即可.

证明:∵AD∥BE∥CF,

又∵S△CEF=S△CBF,

∴S△AEF+ S△ADE+S△ADF=2 S△ABC, 即S△DEF=2 S△ABC.

旋转在解题中的妙用 篇5

一、求值

例1已知A、B、C是平面上三点,且,则的值等于()

(A) 83 (B)(C) 25 (D)

解析:因为,所以,故应选(B).

点评:上述解法体现了整体思想,利用三角形中的闭合回路,两边直接平方得到要求的式子.

例2求cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°的值.

解析:作边长为1的正五边形A1A2A3A4A5及长度任意的非零向量e,使与e的夹角为23°,则与e的夹角分别为95°,167°,121°,49°.因为A,又因为|e|≠0,,所以cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°=0.

点评:从本题可以得到如下结论:在多边形A1A2A3…An中,在任意非零向量e方向上的投影的和为0.

二、求距离或长度

例3已知点P、Q分别在正四面体ABCD的棱AB、CD上,求点P、Q间的最短距离.

解析:设PB=,因此,点P、Q间的最短距离为.

例4已知平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD所在直线成60°角,求BD之长.

解析:由已知,,因为<,或120°,所以或2,从而有或.

点评:利用向量求解距离或长度问题的实质是求向量模的问题,可用已知向量来表示未知向量,再利用模的运算性质求解.

三、求角度

例5已知正四面体ABCD的棱长为2,E、F分别为BD、AC的中点,求异面直线AE与BF所成角的大小.

解析:因为,所以,又因为,所以由得,,故异面直线AE与BF所成角的大小为.

例6 (2009年高考全国卷Ⅰ理18题)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,且SD⊥底面ABCD,,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°.

(1)证明:M是侧棱SC的中点;

(2)求二面角S-AM-B的大小.

解析:(1)略.

(2),由(1)知M是SC的中点,所以CM⊥AM.因为,AB=2,取AM的中点G,则BG⊥AM,设二面角S-AM-B的大小为θ,得,即,所以,二面角S-AM-B的大小为.

点评:上述解答相对于传统几何解法或利用法向量求解,既降低了思维难度,又减少了运算量,易于接受和操作.

四、证明与点、线、面相关的命题

例7在正方体ABCD-A1B1 C1D1中,点M、N、P分别是棱AB、CC1、DD1的中点,点Q是线段AN上的点,且,求证:P、Q、M三点共线.

证明:因为,所以,又因与有公共点M,所以P、Q、M三点共线.

简谐运动平衡位置在解题中的妙用 篇6

一、时间的对称性在解题中的妙用

例1 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动, 若从O点开始计时, 经过3 s质点第一次经过M点, 如图1所示, 再继续运动, 又经过2 s它第二次经过M点.则该质点第三次经过M点所需的时间是 ( )

undefined

解析:由简谐运动的对称性可知, 质点由O→a, a→O;O→M, M→O;M→b, b→M;所用时间分别对应相等, 又因为开始计时时, 质点从O点开始运动方向不明确, 故应分两种情况讨论.

①当质点开始从O点向右运动时, 由题意得:tOM=3 s, 2tMb=2 s, 而tOM+tMb=T/4, 所以有T=16 s, 故质点第三次到达M点还需要时间为:t=T/2+2·tOM=8 s+6 s=14 s

②当质点开始从O点向左运动时, 由题意得:T′/2+tOM=3 s, 2tMb=2 s, 而tOM+tMb=T′/4.

所以有:T′=16/3 s, tOM=1/3 s, 故质点第三次到达M点还需要时间为:t′=T′/2+2·tOM=8/3+2/3=10/3 s.

点评:本题主要考查周期的概念及O点为对称点的对称关系.

二、回复力的对称性在解题中的妙用

例2 在平静的水面上漂浮着质量为M的矩形木块, 木块上放置一质量为m的铁块.现突然取走铁块m, 矩形木块上升到最高时, 下表面恰好与水面齐平.不计水的阻力, 则M、m的大小关系为 ( )

(A) M>m (B) M=m

(C) M

分析:取走铁块m后, 木块将在竖直方向上做简谐运动, 未取走铁块之前木块的位置为简谐运动的最低位置, 当木块下表面恰好与水面齐平时的位置为最高位置.

未取走铁块前, 木块受力平衡, 故取去铁块瞬间, 木块所受的合外力的大小为mg, 方向竖直向上, 这个力即为木块的回复力.在最高点木块所受的回复力为Mg, 方向向下.根据对称性, 最高位置与最低位置的回复力大小相等, 即:Mg=mg, 故就选 (B) .

三、加速度的对称性在解题中的妙用

例3 一个小铁球从竖直固定在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落, 接触弹簧后将弹簧压缩, 在压缩的全过程中, 弹簧均为弹性形变, 那么当弹簧被压缩到最大时, 下列说法正确的是 ( )

(A) 铁球所受合外力最大, 但不一定大于重力

(B) 铁球的加速度最大, 且一定大于重力加速度

(C) 铁球的加速度最大, 有可能小于重力加速度

(D) 铁球所受弹力最大, 但不一定大于重力

解析:设铁球刚接触弹簧时速度为v, 方向向下, 这时加速度大小为a=g, 方向向下.设铁球向下运动将弹簧压缩距离x到达平衡位置时 (球受到向上的弹力与向下的重力大小相等) 有最大速度vm, 这时加速度a=0.据简谐运动的对称性知, 铁球从平衡位置继续向下运动距离x时速度大小仍为v, 方向向下, 但这时加速度大小为a=g, 方向向上, 铁球将继续向下减速运动达最低点时速度为0, 但这时向上的加速度应大于g值.故本题正确选项为 (B) .

图象法在解题中妙用 篇7

一、图象法在解决高中物理问题中常见类型

1. 线性函数型

此类图象是利用线性函数的特点, 这种类型是物理学上用得最多也是最重要的一种, 它既可以用来进行定性研究, 也可以进行定量研究物理量间的关系.凡是用比值法定义的物理量都可以用此类图象的斜率来表示.

2. 正弦函数型 (或余弦函数型)

此类图象一般用来表示振动图象或波动图象.主要集中在力学部分的简谐运动的图象和波动图象、电学部分的交流电各物理量 (如e、i、u等瞬时值) 与时间的关系图象和振荡电路中的各物理量 (如q、i、E、B等瞬时值) 与时间的关系图象.此类图象的特点是具有周期性.

3. 二次函数型

此类图象高中阶段最主要是用来研究平抛运动 (或类平抛) 的轨迹.当然还有其他的, 如匀变速直线运动的s-t图象等, 但因为其图象为曲线不便定量研究, 大多为定性研究两物理量的关系.

二、巧用物理图象, 解决物理难题

1. 图象中“面”的应用

在物理图象中, “面积”的意义可以分为两大类.一类是图线与坐标轴所围的“面积”表示相关的过程量 (如图1所示) , 如v-t图象中, 图线与坐标轴所围“面积”表示位移;F-s图象中, 图线与坐标轴所围“面积”表示力的功;F-t图象中, 图线与坐标轴所围“面积”表示力F的冲量;I-t图象中, 图线与坐标轴所围“面积”表示流过导体的电荷量等等.

另一类是图线上某一点的坐标与坐标轴所围的“面积”表示相关的状态量 (如图2所示) , 如图象中, 图线上任一点与坐标轴的垂线与坐标轴所围的“面积”等于对应状态的电功率.

图象中的“面积”表示什么, 只要看两坐标轴所表示的物理量的乘积是过程量还状态量便可知.

例1一平行板电容器的电容为C, 当电容器充入电荷量Q时, 其储存的能量为多少?

解析:由C=Q/U可知, 电容器两极间的电势差U随电荷量Q的增加而成正比地增加, 画出U随Q变化规律的U—Q图象, 如图3所示.

现假设容器充电时是把负电荷从电容器的一个极板逐渐地移到另一个极板, 则外力克服电场力做的功等于电容器所储存的电场能.在U—Q图象中, 图线与坐标轴所围的“面积”等于电功, 即:

2.图象中“点”的应用

例2如图4所示, 甲、乙两电池的电动势分别为E1和E2, 且E1>E2, 内阻分别为r1和r2.当甲、乙分别向同一个电阻R供电时, 该电阻消耗的电功率相同;当甲、乙分别向一个阻值比R大的电阻R'供电时, R'消耗的电功率分别为P1和P2, 则有 ()

图4

(A) 电池的内阻r1>r2

(B) 电池的内阻r1

(C) 分别消耗的功率P1

(D) 分别消耗的功率P1>P2

解析:在同一坐标系中作出甲、乙分别供电时的图象.由于甲、乙分别向R供电时R消耗的电功率相同, 因此, 两电池的U-I图线必有一个交点, 如图4所示.由“斜率”的大小可知r1>r2, 故选项 (A) 正确.

又由于R'>R, 故在U-I图象中, R'的“斜率”大于R的“斜率”, 当由甲、乙电池分别对R'供电时, 其消耗的电功率在图中分别由两矩形的面积表示, 由图中可看出P1>P2, 故选项 (C) 正确.

三、用图象法解决物理问题的常见题型

1. 选图题

这类问题可用“排除法”, 即排除与题目要求相违背的图象, 留下正确图象;也可用“对照法”, 即按照题目要求画出正确草图, 再与选项对照.解决此类问题的关键就是把握图象特点、分析相关物理量的函数关系或物理过程的变化规律.

例3如图5所示, 竖直放置的螺线管与导线abcd构成回路, 导线所围区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场, 螺线管下方水平桌面上有一导体圆环, 导线abcd所围区域内磁场的磁感应强度按图6中哪一种图线随时间变化时, 导体圆环将受到向上的磁场力.

解析:依题意圆环受到磁场力, 则推出螺线管中的磁场B变, B变推出I变, I变推出线圈abcd中的磁通量φ的变化率变, φ的变化率变推出线圈abcd中B的变化率变, 即B-t图象的斜率要变, 这样即可排除 (C) (D) , 又因为圆环受磁场力向上, 由楞次定律可知, 螺线管中的磁场减弱, 同样由前面推导方法可知B-t图象的斜率要变小, 即又排除 (B) 而选 (A) 正确.

2. 作图题

此类题首先和解常规题一样, 仔细分析物理现象, 弄清物理过程, 求解有关物理量或分析其与相关物理量间的变化关系, 然后正确无误地作出图象.在描绘图象时, 要注意物理量的单位, 坐标轴标度的适当选择及函数图象的特征等, 此类题在实验和计算题中比较常见.

3. 图象转换题

此类题首先要识图, 即读懂已知图象表示的物理规律或物理过程, 然后再根据所求图象与已知图象的联系, 进行图象间的变换.

例4图7为某物体的v—t图象, 将此图象转换为a—t图象 (如图8)

4.利用图象法求解物理问题

此类题要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来, 将物理量间的代数关系转化为几何关系, 运用前面总结出来的图象的规律分析解决物理问题.

参考文献

[1]赵文军.建图在物理教学中的运用.中学物理教学参考, 29 (5) .