解题过程中的反思

2024-11-01

解题过程中的反思（精选11篇）

解题过程中的反思篇1

理性思维是一种有明确的思维方向,有充分的思维依据,能对事物或问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的一种思维.简单地说,理性思维就是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式.

在解题中如何找到简洁合理的解题途径呢?这就要求我们有很好的理性思维能力.

在解题中审题是至关重要的,审题的基本要素是弄清题目的条件和结论,但弄清每一个孤立的条件和结论及其基本含义、数学关系是什么,并不能立即得到解题思路,还要把条件、结论以及它们可能形成的各种结构审视清楚,一旦发现了各个条件和结论联结的交汇点就是找到了解题思路的突破口.

【例】已知函数f(x)=(k+1)x2-(2k+1)x+1,如果不等式f(2x+3)>0对x≤2恒成立,求实数k的取值范围.

如果看到题目就想把f(2x+3)>0表达式求出来,显然会无从下手.此时应把(2x+3)代入,把它看成整体,问题就转化成:

设t=2x+3,

∵x<2,

∴3<t≤7.

f(t)=(k+1)t2-(2k+1)t+1对于3<t≤7时f(t)>0恒成立.

这样的问题是我们所熟悉的二次函数问题.

从二次函数的角度去讨论其开口方向和对称轴,是可行的,但又太烦,那又能怎么办呢?

本题是有关恒成立的问题,这类问题的常见处理方法有哪些?可知变量分离是解决不等式恒成立的最常见有效的方法.

不等式(k+1)t2-(2k+1)t+1>0可化为

k(t2-2t)>t-t2-1.

∵3<t≤7,

∴3<t2-t≤35,

则

求实数k的取值范围就转化为求的最大值.

对于函数,如何求其最大值呢?常见方法又有哪些呢?

所以y的最大值为,则实数k的取值范围是.

解法二:利用导数求最值也是比较常见的方法.

由3<t≤7得y′>0.

所以函数y=在3<t≤7上单调递增.

当t=7时,y的最大值为,

则实数k的取值范围是k>.

如果从函数f(t)=(k+1)t2-(2k+1)t+1是二次函数的角度来考虑,这是一个不确定的二次函数,但其中有确定的因素,就是过两个定点A(0,1)、B(2,3).在解题中如果能很好地利用这两个定点,此问题就能迎刃而解了.

当k=-1时,f(t)=t+1在3<t≤7上,显然有f(t)>0;

当k>-1时,二次函数的对称轴应满足t<1,在(2,+∞)上单调递增,在3<t≤7上显然有f(t)>0;

当k<-1时,要使f(t)>0恒成立,只要f(7)>0,解得<k<-1.

综上所述,实数k的取值范围是k>

解题过程中的反思篇2

或许我长大了，任何时候需要自己做决定了，有时候总是在别人的建议下，做一些事情，有时候，确实在领导的安排，做一些事情，思考就显得那么脆弱，任何的决定需要理由，需要符合事实的理由，才能做出正确的决定，而有些决定，无论怎么做都是正确，也可能都是错误的，昨日领导反问我的一句话，再次让我思考，让我安静下来的心，再次思索，思考自己现在的情况和未来的发展，有时候感觉自己看事情看的太现实了，一直以来都是这么看，所以才不会进步，如果去年真去了，也就能做到，有时候，自己真的需要有更大的勇气去承担，而不是现在这个样子。

给自己定个方向：

1、主动

2、专业

3、勤于思考

4、养成习惯

5、人脉

解题过程中的反思篇3

[关键词]高中数学解题过程转化思想

前言

高中数学作为一项极具抽象性及逻辑性的理科课程，其在习题解析时则更多地需要学生充分掌握解题技巧、结合多种解题思路、灵活转变思考方向，这就对教师指导性的教学策略提出了极高的要求。而在此认知基础下，转化思想则可充分地发挥相应的作用，以提高学生在高中数学中的解题效率。

1.转化角度，扩宽解题思路

在转化思想的实际应用中，其转换解题思考角度则是其最为核心的应用思路。因此，教师应在指导应用转化思想进行解题时，应着重培养学生对其解题思考角度的转换，指导学生学会看到问题的正反面。由此可让学生在遇到难度较高的问题时，能够学会以反面的角度来进行问题思考及探索。可使学生在逐渐熟悉转换角度看待问题的过程中，不断地扩宽自身解题思路，并对学生逆向思维的培养起到了良好的促进作用。继而使学生逐渐养成数学思维，以起到提高学生灵活解题能力的作用。

在数学证明题中受到广泛应用的反证法便是基于此种转化思想认知基础上进行展开应用的解题方法。以概率习题为例，假设甲、乙、丙三位运动员均射击一次，其正中靶心的概率均为0.7，求至少一人正中靶心的概率。在正常解题思路中可假设为仅有一人正中、仅有一人未正中或是三人均正中靶心。若学生以其思路来进行解析，则需进行复杂且繁琐的运算，继而极易在解题中出现疏漏，影响解题质量。而将其转换成反面角度思考后，则可设立其三人均未正中靶心，学生便可以此为参考依据，将问题重点固定于一处，然后对其发生概率进行反向证明。继而可使学生快速地了解问题重点，并将问题条件转化为已知条件，以达到灵活解题的目标。

2.简化问题。提高解题效率

转化思想其实质在于将复杂问题转变为简单直观的问题，继而可有效地提高解题效率。在高中数学课程当中，虽然其数学知识繁杂，构成体系庞大，但其在实际解题过程中可见其知识存在着较高的关联性，致使其问题构成中实际上存在着固定的数学概念。因此，教师应充分引导学生学会逐步对问题进行细致分析，并掌握等价转化的解题概念。使学生在层层简化中抓住问题重心，避开难题迷惑点，继而可充分运用所学知识准确地进行问题解析，显著地提高解题效率。

在《二次函数的图像和性质》这一章节习题解析教学时，教师可以求y=3x2+10x+3与x轴的交点坐标为示范习题，要求学生们进行解答。一般情况下学生们会首先将二次函数相关图像作出，观察其是否与x轴存在交点，然后求出其函数交点坐标，最后才可作出相应图像来寻找其相关的交点坐标。在此解题思路中，学生需进行多个步骤的解析，且在此中极有可能由于误差而使其解题过程出现偏差。而在转化思想的应用下，可首先判断函数解出的个数结果，然后根据根的判别式进行个数判断以得出交点数量，进而通过十字相乘法便可准确求出交点坐标值。在此过程中可有效地简化了解题思路，并在直接得出函数结果并进行判别的过程中保证了其准确性，由此充分地体现了应用转化思想以提高解题效率的有效作用。

3.借助类比。提升思维层次

在高中数学习题解析过程中可见，其习题类型更多的是由固有的知识概念来进行变形和延伸发展而形成的。而在应用类比转化思想进行该类习题类型的解析过程中，可通过激发学生的发散性思维，使其能够在巩固原有学习知识的基础上，进一步地探究其数学知识应用路径。继而使学生可在掌握数学知识应用能力的同时，还提升自身思维层次。并在习题解析中逐渐培养起数学思维，以达到真正的教学目标。

例如在进行直线位置关系解题时，学生通常会利用直接作图来实现位置关系的判断，并将其直线方程进行联立解析，以判断其直线关系间的交点坐标。但若将其题型进行变形，变为求圆方程与直线方程间的交点关系时，学生便会重复繁杂的作图、解析、坐标寻找等解题过程。而在转化思想的应用过程中，则可将其根据直线位置关系作类比解题思路分析。学生在寻找两种题型共通点为解题突破点的过程中，能够在原有知识认知基础上发展其解题思路，以此可起到提升自身分析习题本质的能力。

4.结语

解题过程中的反思篇4

一、“形”化“数”, 用代数来解决几何问题

几何图形虽然有形象、直观的优点, 但在定量方面还必须借助代数的计算, 用数论形, 可以让学生理解图形几何意义下的数量关系。在高中数学立体几何解题过程中我们运用的向量法就是典型的例子, 它通过建立空间直角坐标系把线线垂直和平行转化为向量垂直和平行的代数表达形式, 把线面垂直和平行转化为线面中向量垂直和平行的代数形式, 进而把几何问题转化为代数问题。

在三角函数中形化数的思想也有很重的运用, 把几何图形中有关的边与角的关系式转化为二角函数的关系式, 再借助于三角函数的有关概念与性质解决问题, 如:

二、“数”化“形”, 把数赋予几何直观

数是比较抽象的, 我们难以把握, 而形具有形象、直观的优点, 能表达较多的思维。所以利用数形结合思想, 把抽象的数转化为直观的图形, 化难为易, 利用图形来解决数的问题是一类常用的方法。

我们常用这种思想解决方程根的问题以及比较大小的问题转化为函数图像的问题, 如:

例四:比较y1=2x、y2=x3和y3=lnx当x=0.5时的大小

分析:前面两个的值可以通过计算大概的计算出来, 但是第三个无法计算出来, 所以不能够直接的比较第三者与前面这两个的大小关系。观察这三个值, 会发现它们的形式和高中所学的指数函数、幂函数和对数函数十分相似, 可以看成它们分别取0.5、3和0.5是的函数值, 我们可以通过所学知识画出它们的函数图像, 如图所示:从函数图像中很容易判断当x=0.5是三者之间的大小关系, y1>y2>y3。

还有平方差公式以及等差数列前n项和的公式等都可以个图形结合起来理解, 既方便记忆, 同时又学习理解了其几何意义。

“数无形不直观, 形无数难入微”, 形结合的基本思想方法, 就是在研究问题的过程中, 注意把数和形结合起来考察, 斟酌问题的具体情形, 把图形的性质问题转化为数量关系的问题, 或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 化难为易, 获得简便易行的成功方案。

参考文献

英语教学反思：磨课过程中的收获篇5

在21日，我的磨坊在学校上课显示终于完成了，在下课的时候，他的心在一个长长的叹息的救济，当我下沉不安几天的心终于平静了一些。

我记得整个课程准备过程，所以我深深体会到真正的一切都是前立法，而不是预先浪费。其实，知道他们在这个时候打开课堂，他已经在想着什么，怎么说。不是为了另一个，只是给自己一点点的信心在未来的教学工作。与大家合作，我收获了很多，他们有很多变化。虽然教室不是那么专家，专家老师是精彩的，但是打磨的过程比收获高得多。我们收集课堂，磨练教师合作和交流理解;磨练教师掌握教材的深度;研磨老师提高教材的高度。让我体验巨大的集体力量，灿烂的智慧。小组老师给了我很多相关的建议，得到他们的大力支持，我觉得这不仅显示了个人教学的魅力，而且充分体现了集体智慧，我从不同的教师看到不同的观点，倾听他们对观点的仔细更改。为了做课件，我学习了一些制作课件的方法，虽然只有几个简单的幻灯片，不能被称为精细，但比以前更多的进步。

更重要的是，通过磨练的教训，也让我知道他们缺乏教学。例如：作为一名英语老师，我们的语言应该如何具有亲和力，让孩子喜欢我们的班级;所有方面的时间掌握不准确，导致一些时间花费更多，有些部分仓促，不是很实施。教学是一件令人遗憾的艺术，因为它总是缺少弥补的机会。让我们及时总结一下，比一次更完美！

总之，通过这个事件，我的收获是伟大的。我认为只有在实际教学中学习更多，从更多学习，才能使自己的教学水平不断提高，只要你努力工作，你的学生就会喜欢你，就像英语！在未来的教学中，我应该看看优秀的英语教师教学视频，听其他教师的班级，期待自己成长为一个老师自己满意。

解题过程中的反思篇6

【关键词】高中数学解题困难一题多解心得

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）11-067-01

高中数学是公认的教师难教、学生难学的科目，主要是因为高中数学知识的抽象性比较强，我们在解题的过程中对题目的理解以及思路的分析都存在很大的难度，同时教师在讲解的过程中，很多知识点通过语言的描述也难以讲解清楚，因此我们在解题的过程中极容易遇到困难。同时高中数学中，由于我们已经有了一定的知识积累，所以在对数学问题分析中，可以从不同的角度出发，因而一道题往往可以有多种解题方法。

一、高中数学解题中存在困难的原因分析

高中数学中的应用题是我们最头疼的问题，在解题中存在很多的困难，而出现这些困难的原因，我们可以从以下几方面来分析：第一，问题的题目比较长，对审题产生较大的影响，从而使数学模型的建立不正确或不完整，长此以往，必然会使我们对数学题产生畏难心理，缺乏克服难题的自信；第二，在高中数学的教学中虽然一直在提倡以学生为主体，但是在数学习题的讲解过程中，仍然以教师为主，教师帮我们理解题意，建立模型，从而导致我们在做数学题时，教师讲授的我们都能够听懂，但是在独立解题时却存在困难；第三，近年来的数学题型越来越新颖，与生活的联系性也越来越密切，但是由于我们的基础知识比较薄弱，在遇到新颖的题型时，往往难以驾驭。

二、高中数学中“一题多解”方式的具体应用

（一）一题多解，温故知新

在高中数学解题中应用一题多解的方式需要我们既能够运用新知识，同时也要能够对以前学过的知识进行温故知新。通过对新旧知识的融合来发散思维，进而为接下来的解题奠定基础。

比如：实数a、b的关系式为：4a2+b2+ab=1，求2a+b的最大值。

通过上题可以看出，在学生掌握了一定的知识后，在对问题的解答过程中，不仅需要注重对新知识的运用，同时还需要对旧知识进行温习，这样通过新旧知识的融合，会使题目的解决方式更加多样化。

（二）一题多解，举一反三

在高中数学题的解答过程中，通过一题多解的应用还能够起到举一反三的作用，从而总结出相同类型题目的解决方式。在对数学问题进行一题多解的过程中，我们可以对与题目相关的知识点、定理以及规律等进行总结，并写出自己对这些题目的心得，为以后问题的解决奠定基础。在一题多解中，我们需要从不同的角度来看待问题，了解与问题相关的知识点，并针对题目进行合理的应用，从而得到解决问题的策略和方式。

比如，计算cos46°的数值。

解法1：利用三角函数恒等变换定理可以得到公式cos46°=1-2sin23°=1-2cos92°=1-2（2cos246°-1）2。我们可以设cos46°为a，那么可以得到方程a=1-2（2a2-1）2。通过解答方程a=1-2（2a2-1）2。可以計算出a的值，那么也就得到了cos46°的值。

解法2：设计顶角为46°的等腰三角形△ABC，三个角分别为46°、67°、67°.∠ABC的角平分线BC与∠BAC的角平分线AC相交，交点为D，由此可以证得△ABC与△BCD相似，因为BC、BD、AD相等，所以可以得到BC2=AB·BC，进而得到AD2=（AD+DC）·DC，利用正弦定理可以解得BC/DC=sin46°sin67°=2cos246°，从而可以计算出cos246°的值，进而解得cos46°的值。

由此可见，两种解题方式的思路是不同的，应用的数学知识也各不相同，通过对思路的拓展，从多个角度和层面出发，实现了对问题的一题多解、举一反三，进而提升了数学解题的效率。

结语

综上所述，高中数学的知识点虽然比较抽闲和复杂，我们在解答的过程中存在很多的问题，但是只要我们能够认识到问题的原因，并采用针对性的应对措施，在解题的过程中能够温故知新、一题多解，必然能够使难题迎刃而解，并达到一题多解的效果，提升数学解题效率。

[ 参考文献 ]

[1]沈江.以一题多解为载体优化学生认知结构[D].浙江师范大学，2012.

[2]裴黎黎，郑玉霞，李文铭等.2014年全国高中数学联赛几何证明题的一题多解——八种证法[J].数学教学通讯，2014（30）：51，58.

[3]刘霞.高中数学教学和解题中类比思维的运用初探[J].学周刊，2016，12（12）：152-153.

反思在初中数学解题中的妙用篇7

一、对一题多解进行反思, 进行解题策略的研究

一题多解在初中数学中十分常见, 而且随着对解题思路的开拓性思维的增加, 对一些困难问题的解题思路和方法就会变得更多。所以, 教师要在初中数学教学中的一题多解中应对学生进行针对性反思意识的培养。经过针对性的反思培养, 让初中生掌握反思问题的方法, 不仅培养了他们反思问题的习惯, 而且达到了发展数学思维的目标。而对一题多解的反思不仅仅是从场面上说我用多少种方法解了题, 而是从思维的高度、正向反向或者侧向来多方面的解决问题, 为将来学好数学打下坚实的思维基础。

例如在初中数学中有这样一道题:某人买13个足球、5个篮球、9个乒乓球, 共用去9.25元;如果买2个足球、4个篮球、3个乒乓球, 则共用去3.20元, 试问只买足球、篮球、乒乓球各1个, 共需多少钱?

解:设足、篮、乒乓三种球的单价分别为x、y、z元, 则根据题意得

分析:此方程组是三元一次方程组, 由于只有两个三元一次方程, 因而要分别求出x、y、z的值是不可能的, 但注意到所求的是x+y+z的代数和, 因此, 我们可通过变形变换得到多种解法。

首先我们可以用凑整法来解题:

(2) + (3) , 得7 (x+y+z) =7.35,

∴x+y+z=1.05。

答:只买足球、篮球、乒乓球各1个, 共需1.05元。

换种思路还是用凑整法可以这样:原方程组可变形为

解之得:x+y+z=1.05。

而换种思路, 让学生反思用主元法可不可以解题呢?

于是:视x、y为主元, 视z为常数, 解 (1) 、 (2) 得x=0.5-0.5z, y=0.55-0.5z,

∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05。

同样可以视y、z为主元, 而把常数用X来代替, 解 (1) 、 (2) 得y=0.05+x, z=1-2x,

∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05。

变换之后也可以视z、x为主元, 而把常数用y来代替, 解 (1) 、 (2) 得x=y-0.05, z=1.1-2y,

∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05。

在这个时候已经有很多同学满足了。但笔者继续让学生反思消元这种思路。

令x=0, 则原方程组可化为

令, 则原方程组可化为,

令z=0, 则原方程组可化为

这道题有其典型性, 解法很多, 笔者通过鼓励学生不断地反思, 同时加以适当的引导, 把学生带入了一个思维的新世界, 很多学生在这一过程中收获良多, 感到很充实, 数学思维能力也有了较大程度的提高。

二、对易错习题进行解题过程的反思, 写出反思的得失

在初中数学中有很多题目是所谓的陷阱题, 容易让学生发生共性的错误, 笔者把这类题目称之为易错题。在实际教学中, 很多教师包括笔者对这类易错题也感到头疼不已, 在头疼之后很多好的方法也在相互借鉴以及实际检验之后应用在了平常的教学中去了。比如错题集的使用, 对一些易错题的整理归纳在错题集上让初中生可以更好地对这类题目进行反思。反思是对付易错题的一剂良药。尤其是适时地对发现的问题进行反思, 检查刚刚在题目解答的过程中有没有对概念理解错误、有没有溜掉题目的隐藏条件、有没有发生一些不必要的错误等。

例如在初中数学的很多种计算中, 很多初中生往往会忽视式子中的括号, 在增加或者去掉括号的时候容易对符号这个问题遗忘而导致失分。很多初中生在去掉括号的时候粗心大意, 尤其是一些负号, 他们就直接把括号除掉, 而不会对除掉以后里面负号是不是要变换遗忘了。

例如这道运算题:2x- (3x+5y-z) 。

很多初中生做这道题的结果会写成2x-3x+5y-z=-x+5y-z, 做这道题的正确方法应是根据去括号的法则, 当括号前面是负号时, 括号里面的各项都要改变符号, 所以正确结果应是:原式=2x-3x-5y+z=-x-5y+z。这道易错题做好之后适当地让学生对这道题进行反思, 加深印象, 那么在今后碰到这类题目的时候, 学生的错误率应该会大大降低。

三、反思题目能否变换, 引申反思解决问题的思维方法能否迁移

培养学生在数学解题中的反思策略篇8

关键词：反思,作用,策略

数学作为一门思维训练的重要课程, 对培养学生的反思能力有着非常重要的作用, 数学技能的形成与能力的培养离不开解题, 解题本身不是学习的目的, 而只是一种训练手段, 进行解题后的小结或反思, 会有益于我们总结经验, 发现规律, 形成技能技巧.

一、反思的必要性

1.一道习题引出的思考

“的算术平方根是多少?”这道习题已经反复讲过多遍.一次期中考试中恰好出现, 最后试卷统计中发现:82名学生竟还有28名学生做错, 让这些做错的学生再重做时, 又有23个都做对了, 而且都能清楚地讲出题目的含义.原因何在?

2.执教者的困惑

作为一名数学老师, 笔者常有这样的困惑:同类的题反复多遍讲, 可一到练习或考试时, 学生为什么老犯错呢?而学生的理由都是“我太粗心了”.难道真的都是粗心惹的祸吗?其实这种现象产生的根本原因就是学生缺乏解题后反思的表现, 即使是很明显的错误, 也等着别人帮他指出.因此, 解题后反思对于学生来说不仅是一个知识小结、方法提炼的过程, 更是对学生数学学习效率的提高、自学能力的形成、学习策略的迁移具有重要作用.

3.数学新课标的要求

通过义务教育阶段的学习, 使学生初步形成评价和反思的意识, 形成进行质疑和独立思考的习惯.

4.数学家之言

数学家乔治·波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半, 更重要的是解题之后的回顾.”由此可见, 反思的重要性.

二、反思的作用

1.深刻性

一类数学问题, 其解法往往是有规律可循的.要想减轻学生负担, 让学生从题海中解脱出来, 必须教会学生从解题中及时归纳总结其基本的解题规律, 以达到举一反三、触类旁通之目的.教学中, 教师应经常启发、引导学生在解题之后去反思一下这类数学问题的基本解题规律, 对方法进行归类, 以达到提高解题能力、发展思维的目的.

如:你能用一根20厘米长的绳子摆几个长方形或正方形吗?它们的面积分别是多少?学生摆出了以下几种:

一般学生做到这一步就停住了.这样, 学生得到的仅仅是这道题的答案, 对其思维并没有一个提高的过程.这时, 引导学生反思长方形的长、宽、面积之间的新的关系:“在周长相等的情况下, 长与宽的差越小, 面积反而越大.”“周长相等的情况下, 正方形的面积一定比长方形的大.”此时, 教师可进一步引导学生再次反思:这条规律是否只适用这道题?学生通过举例、小组交流, 得出了这是一条普遍存在的规律.

这样的反思, 就可以使重要数学方法的应用条理化, 在解题中做到应用自如, 有的放矢.它有利于沟通知识间的纵横联系, 有利于把握解题关键, 总结解题规律.

2.严密性

学生做题易发生以偏概全或漏解的错误, 在教学中要引导学生反思解答是否全面, 有无丢解现象.因为总有不少学生拿到题, 一看很简单, 所涉及的知识点也很熟悉, 解题方法也比较明确, 于是思维就停留在较为肤浅的层面, 结果解题时遇到障碍, 才意识到自己思考问题缺乏完整性、严密性.

“⊙O的半径为5, 圆中的两条弦AB=6, CD=8, 而且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.”很多学生都只求出一种情况的答案, 而忽视两条平行线可以在圆心同侧, 也可以在圆心异侧, 应分情况求解. (如上图1)

3.逻辑性

逻辑思维是思维的一种最高形式, 要求学生理解所学知识, 养成全面思考、善于分析的习惯.而平时的练习中, 学生只求答案, 不会看求得的结果是否与题设吻合.

“已知一个等腰三角形周长为18, 它是一条边长为4, 求另两条边长.”很多学生都能作出4, 7, 7和4, 4, 10两种, 此时应提醒学生思考:“两种情况是否都能构成三角形?”学生在反思中吸取教训, 吃一堑, 长一智.

三、反思策略的培养

(一) 反思新知识

当初学新概念时可以从多角度反思一些问题, 如对“二次函数”概念, 可以这样思考: (1) 研究的对象是什么? (2) 研究对象之间有什么关系? (3) 有了上述的对应关系后, y和x间这种关系是什么关系? (4) 这个概念和以前学过的哪些概念有什么联系?又有什么区别?

经过这样的反思, 深化了学生对初中函数定义的理解, 并在头脑中形成较完整的概念, 把这一新知识转化为自己的东西, 在解题中就能熟练地运用.

(二) 反思解题方法

学生在解题时往往只满足于作出题目, 而对自己解题方法的优劣从来不加评价, 作业中经常出现过程单一、思路狭窄、逻辑混乱等现象.因此, 在解题方法和技能上, 可引导学生进行反思.反思方法有以下几种:

1. 类比法

不失时机地引导学生将某些题目适当引申、推广、类比, 可以激发学生的求知欲望, 培养学生的创新思维能力.

如:已知四边形ABCD中, E, F, G, H分别AB, BC, CD, DA的中点, 求证四边形EFGH是平行四边形.证完后, 让学生反思:若四边形ABCD是等腰梯形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形, 那么四边形EFGH又分别是什么四边形呢?得出结论后还可以进一步推广:此四边形若分别为对角线相等、对角线互相垂直、对角线既相等又互相垂直, 又分别能得到什么结论呢?

通过这样的反思就把结论从特殊推广到一般, 学生就进一步明确连接四边形各边中点所得的新四边形的形状与原四边形的两条对角线的位置和长度有关.

2. 比较法

(1) 一题多解一道题做完后, 可引导学生能否从另外角度或途径去分析, 寻找多种方法求解, 找到最佳解题方案.通过这样反思不但使学生对问题有更深层次的理解, 而且开阔了学生的视野, 使学生的思维朝着灵活、精细和新颖的方向发展.

如:二次函数的图像过点 (-1, 0) , (3, 0) , (1, 5) 三点, 求其解析式.

解法1设解析式为y=ax2+bx+c, 可以把已知三点分别代入解析式中, 求的解析式为

解法2 (-1, 0) , (3, 0) 这两个点在x轴上, 设其交点式解析式为y=a (x+1) (x-3) , 则求的解析式为

解法3 (-1, 0) , (3, 0) 是该抛物线与x轴的交点, 它们一定是一对对称点, 从而得出对称轴为直线x=1.设顶点式解析式为y=a (x-1) 2+5, 则求的解析式为

这三种方法都可以求出这个二次函数的解析式, 那么, 这三种方法中, 哪种方法是解这道题的最佳方法呢?我们可以先来看看二次函数解析式的三种形式:知道三个点的坐标的可以设一般式y=ax2+bx+c, 知道顶点和一个点的坐标的可以设顶点式y=a (x+m) 2+k, 知道抛物线与x轴两个交点坐标的可以设交点式y=a (x-x1) (x-x2) , 根据这道题的已知条件显然选择交点式更恰当.

(2) 一题多变在复习三角函数时, 可以以例题为原题, 进行变式:

如图2, 河对岸有水塔AB, 在C处测得塔顶A的仰角为30°, 向塔前进12 m到达D点, 在D处测得A的仰角为45°, 求塔高.

变式1从点A看一高台上的电线杆QP (图3) , 顶端P的仰角45°, 向前走了6 m, 到B点, 测得其顶端P和杆底Q的仰角分别为60°和30°, 求电线杆PQ的高.

变式2两建筑物的水平距离BC为32.6 m, 从A点观测到D点的俯角为35°12', C点的俯角为43°24' (图4) , 求这两个建筑物的高.

这题相当于把原题目改变为已知AB, 求CD.

变式3两建筑物AB, CD (AB>CD) (图5) , 从C测得点A的仰角∠A=55°, 点B的俯角为30°.已知AB和CD相距100 m, 求AB, CD的高度.

此题相当于把变式2中由A点引出的两个俯角, 其中一个俯角改为仰角.

变式4为了测量一棵不可攀的树的高, 现在提供选用的测量工具有: (1) 皮尺一根, (2) 教学用三角板一副, (3) 长为2.5米的标杆一根, (4) 高度为1.5米的测角仪 (能测量俯角、仰角的仪器) 一架.请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题:

(1) 在你设计的方案中, 选用的测量工具是 (用工具序号填写) __________.

(2) 在图中画出你的测量方案示意图 (图6) .

(3) 你需要测得示意图中哪些数据, 并分别用a, b, c, α, β等表示测得的数据?

(4) 写出求树高的算式:AB=__________.

变式5如图7, A, B是两幢地平高度相等, 隔岸相望的建筑物, B楼不能到达, 由于建筑物密集, 在A的周围没有开阔地带, 为了测量B的高度只能充分利用A楼的空间, A的各层都可到达且能看见B, 现仅有的测量工具为皮尺和测角器.

(1) 请你设计一个测量B楼高度的方案, 简要写出测量方法和必需的测量数据 (用字母表示) , 并画出测量图形.

(2) 用你测量的数据 (用字母表示) , 写出计算B楼高度的表达式.

变式4、5是操作性的开放题, 其中最主要的解法是利用前面几题的解法.

以一个题目为原型, 进行了5个变式练习, 其关键都是想办法构建直角三角形, 利用解直角三角形中边与角、边与边、角与角的关系来求解和设计方案.通过这组题的练习, 学生就能熟练地掌握解直角三角形的实际应用问题了.

(3) 多题一解解完一个题后, 再反思以前是否有过与此题相同解法, 但类型不同的题目, 这对培养学生举一反三、触类旁通的能力起着很大作用.

如:k取何值时, 方程-2x2+ (4k+1) x-2k2+1=0没有实数根?

因为当根的判别式小于零时, 一元二次方程没有实数根, 所以令Δ<0, 即Δ= (4k+1) 2-4× (-2) × (-2k2+1) <0, 得.

解完此题后可引导学生反思, 在你所解过的题目中与此题解法相同, 但不是一元二次方程的题目有吗?请举几个例子.学生举出了如下例子:

(1) k取何值时, 二次三项式-2x2+ (4k+1) x-2k2+1的值总是负数?

(2) k取何值时, 不等式-2x2+ (4k+1) x-2k2+1<0恒成立?

(3) k取何值时, 二次函数y=-2x2+ (4k+1) x-2k2+1的图像始终在x轴的下方?

(4) k取何值时, 二次函数y=-2x2+ (4k+1) x-2k2+1的图像与x轴没有交点?

通过一题多解、一题多变、多解一题的训练, 引导学生从不同角度全面考虑问题, 摆脱固定的思维模式, 发现自己的思维的不足之处, 在不断的训练当中完善自己的思维过程, 培养思维的严密性.通过反思, 学生能够探索出新的解题途径, 寻求最佳的解题方法, 获取成功经验, 体验成就感, 激发思维的火花, 养成“从优从快”的思维习惯.

(三) 反思错题

对待错题, 要不断反思.题做错了, 要仔细思考出错的原因, 是概念不清, 还是性质不熟, 还是马虎大意计算错误, 找到病症以后, 才能对症下药, 正所谓“吃一堑, 长一智”, 变反思错题为弄懂错题, 吃透知识, 牢固掌握课本内容, 做到知其然还知其所以然.

(四) 反思数学思想方法

初中阶段数学思想方法主要有函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.这几种思想方法要注意在平时教学过程中渗透给学生, 让学生在解题中进行运用.

“一个三角形三个内角之比为2∶3∶4, 则这三个角分别为多少度?”这道题就可以运用方程的思想解题;在解答某些数学问题时, 有时会遇到多种情况, 需要对各种情况加以分类, 并逐类求解, 然后综合得解, 这就是分类讨论法, 例如“|x|=5, |y|=3, 求x+y的值”, 这时就要运用分类讨论的思想.数形结合的思想在我们解题中也经常用到, 例如:

(1) 对于函数y=, 当1≤x≤3时, y的取值范围是__________≤y≤__________.

(2) 当x>1时, y的取值范围是__________.这个题如果运用数形结合, 就能直观的从图中找到答案了.

总之, 灵活地运用数学思想方法解题, 会使解题显得更为游刃有余, 在解题过程中要注意渗透给学生, 让学生在潜移默化中学会运用数学思想方法解题.

四、收获与思考

1.提高了自主反思的能力

善于自主反思, 是提高教学质量, 培养学生问题意识和反思能力的基石.在教学中我以“解题”作为切入口, 透视学生的理解, 洞察他们的思考方法, 进行相应的教学引导, 引发学生对问题的进一步反思, 让学生通过联想、对比、分析、概括、评价和联系实际等思维活动, 逐步养成了乐思、会思、善思的习惯.

2.促进了知识的掌握

通过反思, 学生对数学知识的掌握更加牢固了, 学习数学的兴趣也比以前有所增加, 自主解决问题的能力有了很大的提高.

3.对教师的业务水平提出更高的要求

培养学生的反思能力, 首先要改变教学方法, 让探究式的教学方法进入课堂, 这就要求教师要有很好的课堂控制能力和应变能力, 还要求教师要有丰富的知识面和精湛的专业知识.

4.正确评价学生的反思

学生在反思的过程中, 思维往往是不完善的, 教师要善于发现学生思维的闪光点, 多做肯定的、富有发展性的评价, 以提高学生的学习兴趣.在教学活动中教师要积极引导学生常用反思, 用好反思, 让反思激活学生的智慧, 提升学习的能力, 并成为学生发展的助力.

参考文献

[1]严碧友.应引导学生做解题后的反思[J].河北理科教学研究, 2003 (2) .

[2]张建良.解题后反思在教学中的作用[J].中学数学月刊, 2006 (9) .

解题过程中的反思篇9

1. “解题反思”可以帮助学生灵活运用数学知识

“解题反思”可以让学生发现解题过程中存在的问题 ,并通过对解题方法和解题思路的归纳总结, 积累解题的经验,从而在解题中对数学知识做到灵活运用.

例1已知一股台风在距离A城400 km的B处,以北偏东60°的方向沿直线BF移动(如图1),其影响范围为250 km以内,试问A城是否会受到台风的影响?

解题思路由题目可知, 判断A城是否受到台风影响,只需要知道台风在距离A城最近时,A城是否在其影响范围内即可.

解题过程 (如图2)过点A作AD⊥BF,交BF于点F.

∵∠ABD = 30°,△ABD为Rt△,AB = 400,

∴A城将受到台风影响.

初中数学教师通过指导学生利用数学知识解决生活中的实际问题,帮助学生在反思后构建相应的数学模型,在以后遇到此类问题时,可以迅速找到正确的解题思路.

2. “解题反思”可以培养学生的创造性思维

在初中数学教学中,数学教师既需要让学生理解和掌握数学知识,又需要让学生在学习过程中做到触类旁通、举一反三,发现各部分数学知识之间的联系,并在解题过程中对解题思路和解题方法进行优化创新,从而激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创造性思维.

解题思路依据“b - a”的正负情况进行分析:1若a > b,则a - b > 0;2若a = b,则a - b = 0;3若a < b,则a - b < 0.

解题过程 (利用作差法)

初中数学教师在讲解完例题后,可以让学生反思,在进行数值大小的比较中,如果不知道a、b的具体数值,则a和b之间的三种关系都需要进行讨论, 缺少任何一种情况的讨论,其解题过程都是不完整的. 然后,教师再让学生思考|a b|的值,学生经过刚才的解题反思 ,很容易就会找到解题的思路,仍然从a > b、a = b和a < b进行解答,从而将加深对绝对值判断大小的理解.

初中数学教师通过将不同数学知识相互联系起来,帮助学生构建数学知识体系,可以让学生在解题的过程中做到触类旁通,从而拓宽学生解题的思路,为培养学生的创新思维能力打下坚实的基础.

3. “解题反思”可以提高学生的学习效率

很多初中学生在解题的过程中,只关注解题答案是否正确,如果答案正确,则不再对解题思路和解题过程进行反思;如果答案错误,就急于改正错误,而不反思出现错误的原因,使得在遇到相似问题的时候,仍然需要很长时间思考解题方法或者出现相似的错误,从而使学习的效果大打折扣. 因此,初中数学教师在教学中需要指导学生进行“解题反思”,这样既可以帮助学生归纳解题技巧,提高学生的学习效率,又可以避免使用题海战术,减轻学生学习的负担.

例3如图,已知AD = BC,AC= BD,求证:∠C = ∠D.

解题思路在三角形中证明两角相等,常用的方法为证明三角形全等进行求解. 题目中已知有两边分别相等,因此只需找到另外一边构成三角形,利用SSS求解,或者找到已知两边的夹角构成三角形,利用SAS求解. 由题已知条件分析,利用SSS求解最为合适.

解题过程连接CD.

∵ AD = BC,AC = BD,CD = CD,

∴△ADC≌△BCD,∴∠A = ∠B.

又∵∠AOD = ∠BOC(对顶角相等),

∴∠ADO = ∠BCO(三角形内角和为180°).

即题目中∠C = ∠D.

虽然题目中给出的条件有限, 但是如果仔细观察和思考,学生仍然可以利用隐藏的条件,顺利找到解题的思路. 由此可知,学生只有在解题的过程中学会反思,注意归纳总结解题的方法和思路,才能提高自己的学习效率,使学习得到事半功倍的效果.

4. 结束语

解题过程中的反思篇10

一、活用与巧用双基知识

【例1】设f (x)=4x-2x+1，求f-1 (0).

【解析】易知f (x)在(-∞，+∞)上没有反函数，为使该题可解，不妨增设条件x∈[0，+∞)或(-∞，0)，此时姑且按x∈[0，+∞)去探讨.若按正常思路，在x∈[0，+∞)上，求出f-1 (x).其解法如下：由原函数式推出f (x)=4x-2x+1=(2x) 2-2×2x+1-1=(2x-1) 2-1，即(2x-1) 2=f (x)+1.因为x≥0，所以，所以，所以f-1 (0)=1.若我们能灵活地巧用双基，问题就会变得较简便，即方程问题转化为函数问题去处理，该题可变为求函数的y=f (x)零点.方法如下：4x-2x+1=f (x)=0圯(2x-1) 2=1圯2x=2，所以x=1，即f-1 (0)=1，显得精简.

【例2】已知直线L1和L2的夹角的平分线为y=x，如果L1的方程是：ax+by+c=0 (ab>0)，那么L2的方程是()

【解析】按一般的方法就是求L1关于y=x的对称方程，但运算过程较繁琐，若活用所学知识发现L1和L2的夹角的平分线为y=x，说明L1和L2直线所分别表示的方程互为反函数，故本题只需求出L1所表示函数y=f (x)的反函数即为L2的方程.方法如下：由，所以L2的方程为，故选择(A).

以上两例给我们的教学以下启示：

(1)教师必须要有严谨认真的教学态度，在确定教学目标时，要由重教授向重发展转变，要以“学”定教，对概念在实质上讲深、讲透;要求学生把概念用活、用熟.

(2)教师在基本技能的教学中，在教学流程的设计上要由重结果向重过程转变，除教给学生方法外，还应重视应用的灵活性，多让学生通过感知、概括，并应用思维过程去发现知识、掌握规律，不要把学生限制在一成不变的规格化方法中，妨碍学生智能的正常发挥.

二、特殊与一般有机结合

【例3】已知数列Sn为前n项和，计算得：，观察上述结果，猜想计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明.

【解析】猜想, 用数学归纳法易证明该猜想.而以上猜想结果是在特殊结论的启示下获得的，这就需要学生有较强的观察能力、准确的判断能力，以及由特殊到一般的归纳能力.

【例4】证明不等式 (n∈N)(新课程实验教材选修4—5, P29).

【解析】用数学归纳法易证明此题.若我们先从一般性结论入手转入特殊，巧用放缩法，最后整合到一般，也可证明.其方法如下：先证明.

因为, 又, 所以, 即有, 即当k=1, 2, 3, …, n (n∈N) , 我们有把上述不等式两边分别相加得:

以上两例给我们的教学以下启示：

(1)教师在教学中应教会学生灵活地运用特殊与一般有机结合的能力及思维方法，练就敏锐的观察能力，并在总结复习中加强训练.

(2)在解题教学中，如果对一般性结论难于下手，不妨先寻找特殊性结论去研究，反之，如果被某个具体问题所困惑，那么应把问题即时转化为一般性问题，而排除特殊状态中非本质现象的干扰，突出问题的本质，以利于问题的解决.

三、随机应变的逆向思维

正向思维与逆向思维是相对而言的，而所谓正向是以通常出现的思维习惯为准，产生逆向思维和逆向思维本身都有一定的难度，通常是当逆向优于正向时才选用逆向思维.数学中的逆正向思维方法的模型就是“分析法与综合法”.应当看到：在解决较复杂的综合题时，正向思维与逆向思维是不能截然分开的，这两者往往兼而有之，一般采用逆向思维分析问题，正向思维来书写，有时逆正向思维交替使用.

【例5】已知：函数，证明：对于不小于3的自然数n都有

【解析】按常规思路可用数学归纳法加以证明，但较繁.若变通思考方式，采用逆向思维从结论入手，寻求结论成立需具备的充分条件, 化生为熟, 方法如下 (n∈N且n≥3) , 只需证明:当n≥3时, 2n>2n+1成立即可, 事实上2n= (1+1) n=C0n+C1n+C2n+…+C nn>C0n+C1n+C n-1n=2n+1, 所以

以上例题给我们的教学以下启示：

(1)教师在讲解需用逆向思维来解的问题时，应鼓励学生善于形成逆向思维，启发学生勇于去发现逆向思维的思路与证题规律，以达到逐步发展学生这种双向思维能力的目的.同时，应不失时机地纠正学生在逻辑上所犯的错误，积极鼓励学生从问题的实际出发进行推理论证、探讨研究的良好学风.

(2)在课堂教学中，教师应重视对学生逆向思维形成的训练，逐步培养学生的创造性思维能力.

四、构造性思维技巧的合理运用

构造性思维是数学解题中的一种重要方法，它是通过联想将题设中的题干与结论联系起来，构造成一个恰当的数学模型，以达到简捷、明快地解决数学问题的目的.利用构造解题的方法很多，如：构造集合、构造函数、构造方程、构造数列、构造图形、构造向量、构造几何体、构造二项式、构造对偶式、构造复数等.

【例6】设，求证：

【解析】按一般思考方法，即直接证或用数学归纳法可证明，但运算量较大，若采用构造函数模型的方法，不但新颖、别具特色，而且美感十足，方法如下：

构造函数, 则由得f (n+1) n, 故f (x) 是减函数, 于是有, 所以, 同理可证

【例7】已知, 求cotβ.

【解析】构造复数，利用复数有关运算性质可求得.方法如下：由已知得：为锐角，α+β为钝角，不妨设，则.因为, 所以

以上例题给我们的教学以下启示：

(1)培养学生较强的构造意识和构造能力应贯穿于平时新课堂教学的解题教学与专题讲座教学中去，最大限度地发散学生思维.

(2)在平时的课堂教学中要积极引导学生多动脑、动手、善于思辨，培养构造意识，形成构造能力，提升学生分析问题和解决问题的能力.

五、数形巧结合

【例8】如果实数x, y满足 (x+2) 2+y2=3, 那么的最大值为 ()

【解析】数形结合，作圆c： (x+2) 2+y2=3，则表示圆c上任意点与原点(x, y)连线的斜率, 易知:, 故选择 (D) .

以上例题给我们的教学以下启示：

(1)教师在教学中应高度重视“数形结合”思维的训练，有目的地培养学生“数形结合”的思维意识，结合有关章节教学内容大胆让学生配合教师进行“数形结合”互动实验，从而达到提高学生能力的目的.

(2)在解决一些具体问题时，“数形结合”思维更能培养学生的探索能力与创造能力，所以平时教学中教师更应关注代数问题与几何问题的相互转化，展示数学的美感，激发学生的学习兴趣.

六、试题的多解性思维

有许多试题解法并非唯一，即试题的多解性思维是客观存在的.

如：求函数x的最小值.此题源于课本，解题关键是化简sin3x·sin3x+cos3x·cos3x，可正逆用三倍角公式，降幂公式，拆角公式等方法去解.又如：求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值.此题可利用构造对偶式，连续使用积化和差，直接或间接使用倍角变换及三倍角公式等解法去求解.

以上例题给我们的教学以下启示：

(1)教师在组织学生复习阶段一定要坚持试题多解性的探索与培养，以促进学生多解性思维的形成.

(2)试题的多解性思维要以培养学生的创造能力及探索精神为目的，从消除学生对试题的惧怕心理为出发点，使学生逐步形成良好的参赛心理.教师在平时教学中提倡一题多解的同时，绝不能忘记基本知识和基本技能的再提高.

总之，数学新课程实验和基础教育课程改革是当前教育界关注的焦点.一方面引导和帮助教师反思课堂教学实践，继承过去经验中符合新课程的理念和行为方式，逐步实现观念和行为的转变.另一方面，要重视学生思维的培养与训练，从平时抓起，教给学生基本的思维方法，并对一些较特殊的解题思维进行经常性地辅导，使学生形成扎实、灵活的解题思维综合系统.作为新时代的教师，我们在日常课堂教学中，只有勤分析、善反思、多总结，教学才能取得不断进步.

摘要：解题思维是人类在解题实践中积累的宝贵财富.借助于它, 可以得出一个又一个的新结论, 解决一个又一个的新问题.在历年高考试题中, 数学解题思维考查题型多样, 常考常新.本文结合课本内容及近年来的高考试题, 探讨数学解题思维特征, 并反思新课改中的课堂教学.

关键词：数学解题,思维特征,反思,教学,启示

参考文献

[1]薛金星.怎样解题——高中数学解题方法与技巧.北京教育出版社, 2004.

[2]薛金星.2011年全国及各省市高考试题全解.人民日报出版社, 2011.

[3]2011年高考数学试题分类解析.中国数学教育高中版, 2011, (7-8、9) .