学生解题后反思

学生解题后反思（共12篇）

学生解题后反思 篇1

经过多年的数学教学, 我认为把应该解题的真实思考过程讲给学生, 教给学生解题后的反思很重要, 因为有些数学题, 当我们对所证 (解) 出的结果进行反思时, 一种顺理成章、豁然开朗的证 (解) 法就呼之欲出了.下面以讲解一道中考题为例.

例:将正方形ABCD折叠, 使顶点A与CD边上的点M重合, 折痕交AD于E, 交BC于F, AB边折叠后与BC边交于点G (如图1所示) .

(1) 如果M为DC边的中点, 求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5;

(2) 如果M为CD边上的任意一点, 设AB=2a, 问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关, 请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示;若无关, 请说明理由.M

第 (1) 问由勾股定理建立一元二次方程不难解决, 在处理第 (2) 问时, 由于点M是CD边上的任意一点, 所以猜测△CMG的周长应该与DM的长度相关, 于是有了以下的常规解法.

解: (1) 略;

(2) ∵MD=x, ∴CM=2a-x.

筝重庆市新海实验中学林玉燕

设DE=y, 则在Rt△DEM中, 由y2+x2= (2a-y) 2可得4a2-x2=4ay.

∵∠EMG=∠A=90°.

∴∠DME+∠CMG=180°-90°=90°.

∵∠DME+∠DEM=90°,

∴∠CMG=∠DEM.

又∵∠C=∠D=90°,

∴△CMG∽△DEM.

(特注:L△CMG表示△CMG的周长, 其余类同.)

∵L△DEM=DE+EM+DM=DE+AE+DM=2a+x,

故△CMG的周长为4a, 与点M在CD边上的位置无关.

解题后的反思:引导学生观察思考, 鉴于△CMG的周长为4a, 恰好等于CD+CB的长.又∵CM、CG分别是CD、CB的一部分, 所以推断必有MG=MD+GB, 为此, 构造全等三角形的第二种证法油然而生.

另解:连结AM、AG, 作AH⊥MG于H, 如图2所示.

由题意可知:∠AMG=∠MAB=∠AMD.

∵AM=AM,

∴Rt△ADM≌Rt△AHM.

∴MH=DM, AH=AD=AB.

又∵AG=AG,

∴Rt△AGH≌Rt△AGB.

∴GH=GB.

∴L△DEM=CM+MG+CG=CM+MH+GH+CG

=CM+MD+CG+GB=CD+CB=4a.

故△CMG的周长为4a, 与点M在CD边上的位置无关.

有学生感叹道:“早知如此 (指第二种解法) 又何必当初 (指第一种解法) .”马上就出现了反驳的声音:“没有当初, 何来如此!”我就势总结道:“解题后的反思可以帮助我们更好地认识题目的本质.”

又例如我在数学竞赛辅导时讲解的一道试题:

如图3所示, 已知3个边长相等的正方形相邻并排.求:∠EBF+∠EBG.

我按照数学变换的思想给出了如下的解题过程.

解:如图4所示, 将已知3个边长相等的相邻的正方形以BE为轴进行翻折, 连结BT、FT, 则有∠EBG=∠EBT.

∴∠EBF+∠EBG=∠EBF+∠EBT=∠FBT.

设AB=a, 于是有:BT2=a2+ (2a) 2=5a2;

ET2=a2+ (2a) 2=5a2;

BF2=α2+ (3a) 2=l0a2.

显然有:BT2+ET2=BF2;BT=FT.

∴△BTF是等腰直角三角形.

∴∠FBT=45°.

故∠EBF+∠EBG=45°.

解题后的反思:有学生恍然大悟:“正好等于45°.”我乘机卖关子:“应该是真好, 又是45°, 此时此刻, 面对这样的结果, 你有何感想呢?”在一阵激烈的讨论之后, 终于有学生提出了想法:由于∠EBF+∠EBG=45°, 连结BH (如图5所示) 后, 必有∠ARB=45°, 又∠EBG=∠HBG、∠HBG+∠HGB=∠EBG+∠HBG=45°, 故只需证出∠HBG=∠EBF=∠HFB即可, 这可由△HBG≌△HFB解决.于是第二种解法浮现于眼前:

另解:如图5所示, 连结BH.

设AB=a, 则有:BH=;HG=a;FH=2a.

显然:

又∠BHG=∠FHB

∴△HFB∽△HBG, ∴∠HFB=∠HBG.

∵∠HFB=∠EBF, ∠HBG=∠ERG,

∴∠HBG+∠HGB=∠AHB=45°,

故∠EBF+∠EBG=45°.

教育心理学认为:“思维是从提出问题开始的.”因此, 当一个问题得到解决并为学生充分理解后, 学生获得的信息没有什么不确定性, 这称为饱和信息.此时, 教师应抓住学生的思维转折点, 将原问题进行检验、拓宽或引申, 从熟悉的问题中延伸出新问题, 从而激活学生的思维、培养良好的数学素养.

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学生解题后反思 篇2

一、复习运用运算律凑整十整百数法进行简便计算

1、学生回忆运算率，教师板书字母表示:

a+b=b+a,a+(b+c)=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c)

教师出示题目：57+98+43122+(55+78)141+74+226+159

学生先读题分析，然后做在自己的本子上。

集体交流订正，并说说是怎么想的，用的是什么运算律。

思考：这些题目都有什么共同的特点。学生小组讨论。

小结：这类题目都有能够凑成整十整百的数，我们可以运用运算律把这些数先计算，使得计算简便。

2、350+（45+□）134+□+100

方框里填什么数可以使计算变的简便？

学生回答，并说说是怎么思考的。

这种类型的题目还有很多，你能想一些出来给你的同桌做吗？

学生出题，交换做，并自行批改。教师选几组集体交流。

评选出最佳搭档，进行奖励。

二、复习运用减法的性质进行简便计算

1、出示178-25-75345-（45+88）

两个学生上黑板做，集体批改，并说说是怎么想的.。

2、出示-●-=-（●□）367-（□+75）=367-□-75

在方框里填上合适的数或符号，使得计算变得简便。

学生回答，并说说是怎么想的。

学生出题，小组之间交换做。

三、复习一个数加上或减去接近整十整百的数

1、478+78-65+198565-198

学生做题，做完后小组里讨论这类题的特点和解决方法，然后全班交流小结。

加上或减去一个比整十整百数稍大的数，先加上或减去整十整百部分，然后再接着加减个位数部分；如果加上或减去比整十整百数稍小的数，先加上或减去整十整百数，再接着减加刚才多算的那部分。

2、学生自己出题，相互交换做并批改，学生自愿上前来把做的内容展示给全班交流。

自己出题自己做，学生扮演的角色不同，对学生采取的心理、行动等将随之改变。我是学习的小主人，老师还等着我出题给大家做呢！这样地教学设计还有谁能不轻轻松松、心情愉悦？还有谁能不积极主动参与？只要学生对学习不恐惧，只要学生肯参与，那教学地最佳境界就可以呈现。

自己出题自己做，学生思路开阔、思维敏捷、活跃，对知识地理解程度加快，形成的知识在头脑中留下深刻印象。

中学生数学解题后的反思 篇3

关键词：数学解题错误；回顾与反思；教学过程

一、案例

在高一数学学习必修5《数列》有关知识中，经常利用公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2来求数列的通项公式，教师每次在讲到这个公式的时候，都强调不要忘了n=1的情况，但总会发现学生在做作业和测试过程中做到相关题目时不是忘记了这个公式，就是忽略了n=1的情况。到了高三复习阶段，这个问题还是不时出现。在一次测试中，碰到一类似题目：已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2+n+1（n∈N*），求该数列的通项公式。全班参加考试48人，有33人解错，其中24人的答案是an=2n（n∈N*）。为了分析他们解题错误的原因，笔者请全班该题解错的学生说出原因，同时对于解题正确的学生追问：你为什么想到对n进行讨论？以下是具有代表性的部分学生的情况反馈。

学生1：这道题中的公式我都不知道是怎么来的，做的题也不多，所以碰到这道题目时，脑袋一片空白。

学生2：这道题目一开始我就以为数列{an}是等差数列，所以就根本没想到这条公式。

学生3：平时也没注意到还有n=1这种情况的。

学生4：我心里是知道要分类讨论的，可当时不知道格式该怎么写，然后又不知道怎么想的，就没考虑到n=1这种情况了。

……

二、学生解题错误的原因

分析了学生的反馈情况，笔者感慨万千，相信学生解题错误也是很多中学数学教师教学过程中非常头疼的一件事。为了能“对症下药”地纠错，就非常有必要分析解题错误形成的原因。笔者认为，造成高中学生解题错误的原因大致有以下几个方面：

1.曲解题意的错误

理解题意即审题，这是解答数学的第一步，也是最重要的一个环节，是整个解题过程的基础。但这个环节却常常被学生所忽视，往往匆匆读题后就急于下手，这样解题极易出错。高中生曲解题意的错误常常表现为以下几个方面：

（1）概念、定理模糊不清。

（2）错误地增添潜在假设。实际上，在不改变题意的前提下，增加一点条件会使得问题更容易求解，即有效增设，有时会给解题带来“柳暗花明又一村”的效果，但是若错误地增添条件，便会引起解题错误。

（3）形式地记忆公式、定理，对其本质缺乏深刻理解，因此生硬地套用公式造成解题错误。如，大多学生只记得an=Sn-Sn-1，而忽略了n=1这种情况。

（4）隐含条件没有充分挖掘等。

2.解题策略的错误

在一般的解题过程中，探索解题途径是非常重要但也是最困难的一个环节。有时候，由于解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过大，产生多余的思维回路，即使做对了也费时费事。解题策略的错误经常表现为缺乏整体观念、受思维定式的负面影响等。

三、反思

1.数学教学要注重学生的学习过程

在教学过程中，大多数教师在课堂上就教材的数学成分反复讲解、举例说明，把教学内容中的重点、难点以及学生中容易出现的错误都嚼烂喂给学生，以求消除学生理解这些教材的困难。虽然有些教师在课堂教学上设置了探究环节，但由于受课堂时间等因素的制约，这些环节也还是以教师牵引式为主，学生主动思考少，更谈不上自主发现，因而也不理解这些知识与方法的来龙去脉，有些学生即使记住了公式也是一知半解。因此，无论是新课还是复习课，教师应重视学生的学习过程，重视学生的数学经历与体验，让其体会知识蕴涵的数学思想方法与魅力，并提高学生的自主学习能力、探究合作能力等，以减少数学错误的发生。

2.让学生的“错误”暴露在阳光下

“失败乃成功之母”“错误是正确的先导”，学生在解题时，由于基础不扎实或思维上的偏差，常常会出现各种各样的错误。而很多教师为了避免学生在口头回答问题、课堂练习、课后作业中出错，经常会向学生提示或先分析题目中容易出错的环节。相信教师的出发点是为了减少学生在本次练习中的错误率，但从本质上却是增加了以后解题出错的可能性。这样做的另一个弊端是抹杀了学生学习的主动性，也掩盖了学生掌握知识情况的真实性。所以教师若能经常有效创设纠错情节，让学生的错误暴露在自己面前，引导学生分析错误的原因，寻找治错的“良药”，效果会比教师反复强调要好很多。

3.重视解题回顾与反思

有些学生不太注意检验解题结果的正确性，常常只要一解完题就如释重负，万事大吉了，没有养成这种思考与验证的习惯。这就直接导致了部分学生在考试过程中会做的题得不了分。而实际情况中，检查有无疏漏、差错和笔误是非常必要的，如，分式方程、应用题等都少不了检验这一环节。养成解题回顾与反思的好习惯，不仅可以使我们避免一些不必要的错误，而且可以使我们对问题有深刻的认识，并加强我们对解决问题的信任度，取得融会贯通、举一反三的效果。作为教师，不但要指导学生积累解题经验，更要教学生如何积累解题回顾与反思经验，而有些教师自己本身都忽视了解题检验这一环节。教师应在平时教学中渗入一些解题检验方法：复查核对、代入检验、多解对照、逆向运算、观测估值、特例检验、数形结合等。

经过以上的分析可以看出，学生的解题过程出现错误是不可避免的，但我们可以通过一些措施减少错误的发生。而如何有效地控制错误、减少解题错误是一个艰巨的系统工程，要花长时间去探索与研究，这还有待于所有教育工作者的共同努力。

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论.陕西师范大学出版社，2004-07.

[2]刘新春.一个解题错误的案例分析.中学数学教学参考，2008（09）.

[3]向正凡.辨析中学生数学解题错误与培养数学解题能力的研究[D].湖南师范大学.

解题后教师应引导学生反思什么 篇4

引导学生解题后反思,应思什么呢? 笔者以为当学生解完一道题后,教师应抓住机会,一方面引导学生反思一下解题的整个过程是否合理完整,结论是否正确,解题中遇到了什么困难, 是如何克服的;另一方面通过反思对解题思路做进一步的梳理、归纳,或探索其他解法,或总结解题规律,或对原题进行引申和拓展等。 用足、用活习题,训练学生严密、深刻、灵活的思维品质, 从而积累解题经验,提高解题能力,培养学生的解题责任感。 下文结合笔者多年的实践经验,谈一些做法,以期抛砖引玉。

一、 引导学生反思算式是否符 合题意,培养学生的解题责任意识

事实证明, 很多学生解错题, 并不是不会,而是没有认真审题的结果,要么对条件的关键字眼视而不见,要么对问题的关键字眼睁一只眼闭一只眼,这样的一种审题习惯, 使学生对解题缺乏责任意识。 因此,学生解完题后,首先应引导他们反思所列的算式是否符合题意,答案是否正确。 通过反思学生就容易发现问题,查处错因,确保结果正确,同时积累反思错解的经验, 不仅起到吃一堑长一智的效果, 更培养了学生解题责任意识。 如,用边长8分米的方砖铺一间排练厅,需要方砖125块;如果改用边长10分米的方砖,需要多少块? 有的学生列式是:8×125÷10=100 ( 块) 。 针对学生的错解 ,笔者不急于判定错误, 而是引导学生反思: 8×125表示什么? 学生说8×125表示边长乘块数,那边长乘块数的结果表示什么呢? 你能画图看看吗? 学生一画图,马上意识到自己错了,误把边长当面积,找到了错误的根源,列出了正确的算式:8× 8×125÷( 10×10) =80( 块) 。 接着让学生说说错解带来的启示:有的学生说要读清条件,不要被表面的数所迷惑;有的学生说解决这类题最好先画个图试试看,这样不致于把边长当面积;有的学生说,解完题之后,要自我检验,确保答案正确……要养成解题后的反思习惯, 需要做个有心的教师,引领学生经常性地积淀。

二、 引导学生反思是否可以一 题多解,培养学生的发散思维能力

对于解决一道题,很多学生列出一种解法后,极少去考虑是否还有其他解法,除非题目有要求。 其实不少问题,都可以用不同的方法解答。 如,一本故事书共300页,淘气前5天看了总页数的1/3 , 照这样计算,看完这本故事书还要多少天? 很多学生是这样列式的:300× (1/3) =100 ( 页) ,100 ÷5=20 ( 页) ,300÷20=15( 天) ,15- 5=10( 天) 。笔者对学生的解法进行了充分的肯定: 你们用了四步解决了这道题, 想一想有没有更简洁的方法呢? 可以通过画图试试看。 通过画图,有的学生发现了5天的对应分率就是1/3 , 用5 ÷(1/3) =15( 天) , 就是看完这本书的总天数,再用15- 5=10 ( 天) , 求出剩下的书还要看多少天。 列式:5÷(1/3) - 5=10( 天) ;有的学生说,用(1/3) ÷5=1 , 求出1天看了全书的1/(15 ), 再用单位“ 1” 除以1/(15) ,求出看完全书要用15天 ,列式是:经过比较, 大家都认为解法2、解法3都比解法1简洁。 而为什么我们首先想到的是解法1呢? 有的学生说, 受要用尽全部条件的影响; 有的学生说,这道题总页数300可用可不用, 不用300页解法更简洁。 因此,引导学生反思是否可以一题多解,不仅能培养学生的发散思维能力,同时还能培养学生的优化意识,积累解题技能。

三、 引导学生反思是否蕴含解 题规律,培养学生的抽象推理能力

同类题目总是蕴含着相同的解题规律。 在解完题后,引导学生寻找解答同类题目的解题规律,对培养学生的抽象推理能力有极大的帮助。 如,笑笑看一本200页的科技书,第一天看了全书的1/4 ,第二天看了全书的1/5 , 还剩下多少页没有看? 为了使学生在解完题后, 能掌握同类题目的解题规律, 笔者将问题隐去, 改成先提问题, 再列式解答。 经过交流,学生提出了如下问题:

1.第一天看了多少页 ? 列式 : 200×1 4 。

2.第二天看了多少页 ? 列式 : 200×1 5 。

3.两天共看了多少页 ? 列式 :

4.第一天比 第二天多 看了多少页 ? 列式:

5.还剩下多少页没有看? 列式 :

接着引导学生观察这五道算式,说说它们在解法上有什么相同之处? 蕴含着怎样的数量关系? 经过反思,有的学生说,五个算式的列式都是依据“ 一个数乘分数的意义”;有的学生说,都是根据“ 单位 ‘ 1’的量×问题的对应分率 ”列式 ; 有的学生说,解决这类问题,只要找准单位“ 1”的量以及所求问题的对应分率,再根据“ 单位‘ 1’的量× 问题的对应分率”,即可解决问题。 在学生的你一言我一语中,水到渠成地揭示此类题的解题规律。

四、 引导学生反思是否可以一 题多变,培养学生举一反三的能力

学以致用、举一反三是学生应用意识的体现。 解完题后,可以启发学生想一想怎样改变原题的结构,使一题变成多题,便于观察、比较。 这样,不仅有利于拓宽学生的解题思路,更可以防止思维定势的负迁移, 培养学生举一反三的能力。 如,甲、乙两车同时从相距720千米的A、B两地相向开出, 甲车每小时行80千米, 乙车每小时行70千米 ,经过4小时 ,两车相距多少千米? 待学生列出720-( 80+70) ×4算式后,笔者引导学生对原题的第一个条件进行延伸。

1. 如果把“ 甲 、 乙两车同时从相距720千米的A、B两地相向开出”中的“ 相向”改成“ 相背”,问题如何解决? 经过画图分析,列式为: 720+( 80+70) ×4。

2. 如果把“ 甲 、 乙两车同时从相距720千米的A、B两地相向开出”中的“ 相向”改成“ 同向”,问题如何解决? 经过画图分析,本题有两种可能, 如果是甲车追乙车, 列式为:720-( 80- 70) ×4;如果是乙车追甲车,列式为:720+( 80- 70)×4。

3. 如果把“ 甲 、 乙两车同时从相距720千米的A、B两地相向开出”中的“ 相向”去掉,问题如何解决? 把条件中的“ 相向”这个关键词去掉, 使一道封闭题变成了开放题。 学生在解答之前先要考虑甲、 乙两车的行驶方向,可能是相向而行、也可能是相背而行、还可能是同向而行,其中同向而行又有两种可能,一种是甲车追乙车,另一种是乙车追甲车。 把学生容易混淆的相向而行、相背而行、同向而行三种情况放到一起研究,不仅起到了有效比较、澄清模糊的作用,更是起到了举一反三、闻一知十、触类旁通,强化思维密度和增大思维广度的效果。

初三学生考试后的学习反思 篇5

所以我对自己的时间安排进行了一个大体的反思。

在早上起床时，可以把身旁的录音机打开，哪怕听一听已经熟悉的课文，单词，总没有坏处。上厕所时，无非在那里闲着而已。可以顺手抄起放在一旁的语文书，大声地诵读一会。这样，既锻炼了口才，还可以进行预习，最总要的是活跃了大脑。我们在上课时就是上课，抓紧45分钟的课堂，不漏下老师的任何一句话。我们只有一心一意干一件事才会省出时间。每个课间10分钟，不要出去疯玩，静静地坐在教室里，回想老师刚才讲过的话，理一理思路。一天8节课，7个课间，那就是70分钟。把这70分钟利用下来，期末就不会那么紧张。

晚上做作业，一会儿翻翻桌子，一会敲敲键盘，按按鼠标，大概都会在烦闷时干这种事吧!可是你把这些事时间省下来，一次30秒，一天翻4次，一天就2分钟。365天就是13个小时，三年就是一天半，这就又节省出来了一天半。晚上睡觉时，不知道你们是不是这样，不是听音乐就是看小说。在这段时间里，拿本数学书看一看，既巩固知识，又增强睡眠。看吧，每一个好学生就是这样省出来时间的。再次谈论到我个人的问题上，就只用一个字来形用“懒”，对什么事情都不屑一顾，自己把节省时间的方法想出来，终究是给别人看的，自己总是用不上。到时候，比你好的更好，比你差的也好了。所以我们只要每天节省一分钟，三年下来将会是一个天文数字。

当然，最重要的是要付出行动。

学生解题后反思 篇6

【关键词】 数学教学；高三复习；解题反思；习惯培养

数学家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力”。学生只有在反思过程中获取知识，才能沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，拓宽思路，优化解法，提高学习效率，增强创造性解决问题的能力，提高学生的自我认识、自我学习水平。笔者结合自己课堂教学实践谈点粗浅的认识，以引起我们教师在数学教学中对解题后反思问题的重视。

一、反思能够培养学生的严谨性

学生在解题中出现的错误往往有知识缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有逻辑上、策略上造成的，更有非智力因素造成的，因此，在解完一个题目后就有必要对解题的正误作进一步的思考，并及时总结方法、纠正错误，反思可改善学生思维能力和习惯，提高解题能力。

1.解题后反思，防止解错题。我们的学生在解题时对题目中的条件和结论进行全面的、缜密的思考分析，特别在解题过程含参变量时，往往容易忽略变量的取值范围，在分类讨论时又容易出现考虑不全面等情况。通过在一轮复习中长期训练和培养，反思将利于学生思维严谨性的培养。

例1：（2009福建卷文）已知锐角△ABC的面积为3√3，BC=4，CA=3，则角C的大小为 。

此题是一个简单题，但还是有少数同学出错，原因是未审题，注意到“锐角△ABC”而写成“60°或120°”，解完之后，学生喜颜悦色，对自己的解题结果感到满意。作为教师，分析题目时，要引导学生将一些容易忽略的条件用红笔圈出，以防止解出题目，而未注意条件。

所以解题之后通过这样不断深入地引导学生去反思，显然比教师直接指出要有价值得多，对学生思维严谨性的培养是有益处的。

2.思维定势的破解需要反思。学生的解题过程实质上是对原有的认知，知识和方法的重新加工，组织的过程，使解题时学生经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题，缺乏思维的灵活性，从而导致解题迷茫或失误。

例2：已知集合{x∈R|ax2+2x+1=0}恰有一个元素，求a的取值范围。

此题学生非常容易出错，因为学生看到条件立刻想到一元二次方程，写出△=0，则4-4a=0，即a=1。上述解题过程就是由于学生的思维定势造成的，没有认真分析方程的形式，最高次项系数为参数时，未能考虑参数是否为0，从而学生没能分类讨论。

正确解法：

当a=0时，2x+1=0，即x=- ，满足题意；

当a≠0时，△=0，4-4a=0，即a=1，此时x=-1，满足题意。

通过对该题的反思，要让学生认识到最高次项含参数的方程，一定要考虑参数是否为0。

如再让学生练习一个，例“集合A={1，2}，B={x|ax=1}，若B A，求a的取值范围”。

在教学中，教师应能不失时机地抓住学生在解题中由于思维的不严谨、对概念理解的不深刻、考虑问题的不全面而导致的错误结果，而有意识地启发、引导学生对解题结果的正误作进一步思考。

二、反思能够培养学生思维的发散性

对于一道数学题，往往由于审视的方位不同，而得到多种不同的解题方法。在教学中，教师若能抓住一切有利时机，引导学生在掌握基本解法的基础上，去再思考，再思索更好、更完美的解法。

例3：化简：。

分析：对三角函数式化简的目标：次数尽可能低，角尽可能少，三角函数名称尽可能统一，项数尽可能少。观察欲化简的式子发现：次数为2（有降幂的可能）；涉及的角有α，β，2α，2β（需把2α化为α，2β化为β；函数名为正弦，余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）。

方法一：侧重角的变化。

方法二：侧重函数名变换：异名化同名。

通过对三角式作变形时，要让学生反思，研究其他三角问题时，经常采取的变形手段是什么。而反思题目特征，从多角度、多方面、多层次去思考问题、认识问题和解决问题，通过反思题目特征，将题目逐步引申、变式、推广，不仅能巩固所学知识，而且能培养和发展学生思维的广阔性和创造性。

三、反思能够培养学生思维的敏捷性和探索性

解决一道题后适当改变原题的条件或结论，对原题进行改造，适当作出变形或变式，一题多变，把一道题变成多道题，引导学生从不同的侧面揭示事物的本质有利于开阔视野，拓宽思路举一反三，提高应变能力，还可养成学生探索问题的习惯。

例4：已知方程-2x2+（4k+1）x-2k2+1=0无实数根，求k的值。

变式1：k为何值时，不等式-2x2+（4k+1）x-2k2+1＜0恒成立？

变式2：k取什么值时，抛物线y=-2x2+（4k+1）x-2k2+1与x 轴总是没有交点？

变式3：k取什么值时，二次三项式-2x2+（4k+1）x-2k2+1的值一定是负数？

根据观察，显而易见，以上四题就是同一种解法，都可以通过解不等式（4k+1）2-4（-2）（-2k2+1）＜0得解。

这一组变式题，解题过程都不是很复杂，但通过对原题适当的变形、适度的引申、有利于引导学生深入挖掘、大胆猜想、积极探求、拓展引申，有利于激发和培养学生的探索精神。在复习教学中，也充分证实了这一点。不仅活跃了课堂气氛，学生们的思维广阔性也得到了发展。

解题后反思让学生思维继续飞翔 篇7

一、反思疏漏

解题后要积极反思, 查漏补缺, 确保解题的合理性和正确性, 总结应该注意的方面。例如:反思答案是否与题中隐含条件相抵触;是否有其他可能情况;是否掉入了命题者所设置的陷阱。以此提高分析能力, 纠正解答中错误。

例:从一个长方形截去一个角, 还剩 () 个角?

错解3个角 (4个角或5个角) 。

正确的可通过列表如下:

根据图表可以看出, 一个长方形截去一个角, 可产生三种情况。学生往往只考虑其中一种, 这时老师就要给学生足够的时间和空间去探索, 引导学生继续思考, 引导学生形成解题后反思的良好习惯, 对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些学生把完成作业当成是赶任务, 解完题目万事大吉, 头也不回, 扬长而去, 由此产生大量谬误, 应该引以为戒。

二、反思算法

1、思方法, 找规律。

解题后归纳一下题目特征, 小结一下解题方法, 有利于学生较快地掌握这种方法, 培养学生举一反三的能力, 有利于强化知识的理解和运用, 提高知识的正迁移水平。而且往往很多题目都是有规律可循的, 解题后若能再回想一下, 注意思考所运用的方法, 认真总结规律, 把解题过程中零散杂乱的, 肤浅的经验、规律及时进行提炼、总结、升华, 再予以应用, 用以指导解题实践, 就能触类旁通, 提高解题能力。规律和共性会激发学生的灵感, 总结和概括能培养学生驾驭问题的能力。例如:仔细观察一下, 下面的减法有什么特点?它们的差有什么规律?

分析与解:

(1) 上面各题中组成被减数和减数的数字相同吗?相减的两数有什么不同呢?

(2) 上面各题的差都是几的倍数?分别是这个数的几倍?

(3) 通过分析, 我们知道上面各题的差都是99与一个数相乘的积, 那么, 这个数与组成被乘数 (或乘数) 的数字有什么关系呢?

通过分析一个三位数与交换它的百位和个位上的数字后得到的三位数相减, 它们的差等于这个三位数百位和个位上的数字之差与99相乘的积, 这样减法运算变成了相应的乘法运算。

在数学上有很多题目都是有规律可寻的, 通过解题后反思, 找出规律, 能够使计算更加简单、方便, 也能使学生更容易掌握。

2、思一题多解。

一道题目可能会有很多种不同的答案, 尤其是现在新课标中提出要发散学生的思维, 新教材中开放性的题目也很多, 一题多解就提倡从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系, 这样做可以使思维更开阔, 提高解题能力, 可以得到不同解题途径, 其中必有最佳方法, 养成这种习惯, 可以提高学生的发散思维能力。

3、思算法优化。

新课标中注重算法的多样化, 但是算法的多样化可能会使学生像“雾里看花”, 从而导致计算正确率的下降, 所以提倡算法多样化的同时更要注重算法的优化, 算法的优化是学生个体的学习、体验与感悟的过程, 是个人学习、容纳他人计算方法的过程, 是个体思维发展、提高的过程, 如果不对算法进行优化, 那么我们的学生就不会有所收获, 更不能有所提高。

一种算法, 对于不同的个体, 他们的理解和接受程度都是不同的, 通俗的说, 对于生1来说某种方法可能是最简单、最优化的, 而对于生2来说, 可能就不是的, 与学生的学习能力有着密切的联系, 同时算法的优化也随着时间的推移也在不断发生变化, 比如刚开始学习“十几减几”的退位减法时, 可能对学生来说, “破十法”是比较简单、比较容易接受的, 但随着时间的推移, “想加算减”可能就比较适合学生的算法。

三、反思问题

解题后, 对数学问题由此及彼地联想, 其中, 有时要对问题追根溯源, 多问几个为什么。对问题的反思, 有时是从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式, 或者能够根据问题改编题目的一些已知条件, 或者可以把一个题目的问题与题目中的一些已知条件互换, 从而形成新的不同的题目, 这类开放性的题目现在很多, 例如要求学生根据条件写问题, 或者根据给出的问题, 要求学生把条件补充完整等等。

解题后如果我们坚持进行一问多思, 这样就能培养学生抓住问题实质的本领, 能更好地把握问题的本质, 万变不离其根本, 学习数学就不难了。

学生解题后反思 篇8

解题反思的积极意义有如下几个方面。

一、积极反思, 查缺补漏, 确保解题的合理性和正确性

解数学题, 有时由于审题不确, 概念不清, 忽视条件, 套用相近知识, 考虑不周或计算出错, 难免产生这样或那样的错误, 即学生解数学题, 不能保证一次性正确和完善。所以解题后, 必须对解题过程进行回顾和评价, 对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务, 解完题目万事大吉, 头也不回, 扬长而去。由此产生大量谬误, 应该引起重视, 加以克制, 引以为戒。如1、结论荒唐, 引为笑柄2、以特殊代替一般, 3、臆造"定理", 判断无据, 以日常概念代替科学概念。以上常见的错误, 不胜枚举。由此可见, 解题反思的积极意义及其重要性, 必须引起师生在教学中的足够重视。

二、积极反思, 探求一题多解和多题一解, 提高综合解题能力

数学知识有机联系纵横交错, 解题思路灵活多变, 解题方法途径繁多, 但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确, 也未必能保证一次性解题就是最佳思路, 最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手, 如释重负。应该进一步反思, 探求一题多解, 多题一解的问题, 开拓思路, 勾通知识, 掌握规律, 权衡解法优劣, 在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结, 使自己的解题能力更胜一筹。1.一题多解, 每一种解法可能用到不同章节的知识, 这样一来可以复习相关知识, 掌握不同解法技巧, 同时每一种解法又能解很多道题, 然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷, 最合理?把本题的每一种解法和结论进一步推广, 同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用, 又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路:从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等, 善于总结, 掌握规律, 探求共性, 再由共性指导我们去解决碰到的这类问题, 便会迎刃而解, 这对提高解题能力尤其重要。

三、积极反思、系统小结, 使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化, 在解题中应用自如、改进过程, 寻找解题方法上的创新

在问题解决之后, 要不断地反思:解题过程是否浪费了重要的信息, 能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维回路, 思维、运算能否变得简捷?是否拘泥于思维定势, 照搬了熟悉的解法?通过这样不断地质疑、不断改进, 让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。例1:求证:正四面体和正八面体相邻两侧所成的二面角互补。

此题有常规的解题思路:分别求出两个多面体的二面角的值, 再求和。这也是一般参考书上的解法。探索解题过程, 总感觉这样解题很苯拙, 缺少灵气!不能反映两个多面体的巧妙结构。事实上, 问题隐含了“结构”这个重要信息, 那么, 能否把“结构”作为切入点去探究问题呢?

四、重视知识的迁移和应用, 探究问题所含知识的系统性

解题之后, 要不断地探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?把问题所蕴含孤立的知识“点”, 扩展到系统的知识“面。通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解, 进而形成认知结构中知识的系统性。”

五、整合知识, 创新设问

要让学生明白, 问题与问题之间不是孤立的, 许多表面上看似无关的问题却有着內在的联系, 解题不能就题论题, 要寻找问题与问题之间本质的联系, 要质疑为什么有这样的问题?他和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发。将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合, 创造性地设问?让学生在不断的知识联系和知识整和中, 丰富认知结构中的内容, 体验“创造”带来的乐趣, 这对培养学生的创造思维是非常有利的

六、探究规律, 形成小结

对每个问题都要寻根问底, 能否得到一般性的结果, 有规律性的发现?能否形成独到的见解, 有自己的小发明?点滴的发现, 都能唤起学生的成就感, 激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累, 更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成, 并增加知识的存储量。

总之, 解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括, 对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断, 让学生体会解题带来的乐趣, 享受探究带来的成就感。常此以往, 逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯, 并懂得如何学数学, 这是学好数学的必要条件。

摘要：解题后反思, 命题的意图是什么?考核的概念、知识和能力是什么?验证结论是否正确, 命题的条件的应用是否完备?求解论证过程是否判断有据, 严密完善?一题多解?多题一解?不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括, 对所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断, 体会解题带来的乐趣, 享受探究带来的成就感。逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯, 并懂得如何学数学。

关键词：反思,分析,归纳,概括,提高能力

参考文献

[1]罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范师范出版社, 2004

学生解题后反思 篇9

一、积极反思,查缺补漏,确保解题的合理性和正确性。

解数学题,有时由于审题不确,概念不清,忽视条件,套用相近知识,考虑不周或计算出错,难免产生这样或那样的错误,即解数学题,不能保证一次性正确和完善。因此解题后,必须对解题过程进行回顾和评价,对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成赶任务,解完题目万事大吉,头也不回,扬长而去。由此产生大量谬误,应该引起重视,加以克制,引以为戒。如:1.结论荒唐 ,引为笑柄;2.以特殊代替一般;3.臆造“定理”,判断无据,以日常概念代替科学概念。以上常见的错误,不胜枚举,由此可见解题反思的积极意义及其重要性,必须引起师生在教学中的足够重视。

二、积极反思,探求一题多解和多题一解,提高综合解题能力。

数学知识有机联系,纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径繁多, 最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确,也未必能保证一次性解题就是最佳思路、最优最简捷的解法,不能解完题就此罢手,如释重负。应该进一步反思,探求一题多解,多题一解的问题,开拓思路,勾通知识,掌握规律,权衡解法优劣,在更高层次,更富有创造性地学习、摸索、总结,使自己的解题能力更胜一筹。一题多解,每一种解法可能用到不同章节的知识,这样一来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,同时每一种解法能解很多道题,然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷、最合理? 把本题的每一种解法和结论作进一步推广,既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路:从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等,善于总结,掌握规律,探求共性,再由共性指导我们解决碰到的这类问题,便会迎刃而解,这对提高解题能力尤其重要。

三、积极反思、系统小结,使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化,在解题中应用自如、改进过程,寻找解题方法上的创新。

在问题解决之后,要不断反思:解题过程中是否浪费了重要的信息,能否开辟新的解题通道? 解题过程中多走了哪些思维回路,思维、运算能否变得简捷? 是否拘泥于思维定势,照搬了熟悉的解法? 通过这样不断质疑、不断改进,让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。例1:求证:正四面体和正八面体相邻两侧所成的二面角互补。

此题有常规的解题思路: 分别求出两个多面体的二面角的值,再求和,这也是一般参考书上的解法。探索解题过程,总感觉这样解题很笨拙,缺少灵气,不能反映两个多面体的巧妙结构。事实上,问题隐含了“结构”这个重要信息,那么,能否把“结构”作为切入点探究问题呢 ?

四、重视知识的迁移和应用,探究问题所含知识的系统性。

解题之后,要不断探究问题的知识结构和系统性,能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究? 能否加强知识的横向联系? 把问题所蕴含孤立的知识“点”,扩展到系统的知识面。通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解,进而形成认知结构中知识的系统性。

五、整合知识,创新设问。

要让学生明白,问题与问题之间不是孤立的,许多表面上看似无关的问题却有着內在的联系,解题不能就题论题,要寻找问题与问题之间本质的联系,要质疑为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系? 能否受这个问题的启发,将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合,创造性地设问? 让学生在不断的知识联系和知识整合中,丰富认知结构中的内容,体验“创造”带来的乐趣,这对培养学生的创造性思维是非常有利的。

六、探究规律,形成小结。

对每个问题都要寻根问底,能否得到一般性的结果,有规律性的发现? 能否形成独到的见解,有自己的小发明? 点滴的发现,都能唤起学生的成就感,激发学生进一步探索问题的兴趣。长期积累, 更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成,并增加知识的存储量。

学生解题后反思 篇10

一、进行各方面总结

解题后, 可以从题目本身的特点、解题中如何利用这些特点找到解题的突破口或成功的思路等多方面、多角度的总结.只有这样才能举一反三, 触类旁通, 提高解题的能力.

反思这条题目中的特点有: (1) 三角名称中既有正弦, 又有正切, 所用应该减少函数名称, 方法是“化切为弦”. (2) 第二步分子中出现了同一个角的正弦与余弦的和.应用来进行化简 (3) 同一个角的正弦与余弦的积利用了二倍角公式来化简.经过这个的反思, 就能掌握这个题目的实质, 再遇到把它“改头换面”类似的题目就可以解决了.

二、追求解法的优化

许多数学家认为:追求方法的简捷和优美是过去与现在所有的数学家数学思想的特点, 也是所有数学优秀生的非常典型的特征.波利亚曾说过:没有任何一道题是可以解决得十全十美的, 总剩下些工作要做, 经过充分的声讨, 总会有点滴发现, 总能改进这个解答, 而且在任何情况下, 我们总能提高自己对这个解答的理解水平.

例2已知a, b (a≠b) 是方程x2-4x+1=0的两根, 不解方程求的值.

解由根与系数的关系得:a+b=4, ab=l, 代入得

反思 本题解法正确, 也没有多走弯路.但我们知道结论后, 那我们就多了信息, 即结论也变成了已知信息.由结论知, 得 (a+b) +2=ab+ (a+b) +1, 即ab=1.

这就表明求出a+b=4是多余的, 所以我们可得第二种解法.

解由根与系数的关系得:ab=1.

三、善于进行推广

如果将命题中的特殊条件一般化, 从而推得更为普通的结论, 这就是数学命题的推广.解完一道题后, 所要善于分析方法本身对已知数据或已知关系的依赖是本质还是非本质的.同样方法能否作出推广?进行了推广所获得的就不只是一道题的解法, 而是一组题、一类题的解法.这有利于学生养成深入钻研的良好习惯, 激发他们的创造精神.

反思因为题目中有两角正切的和, 并且两角之和为60°, 所以用两角和正切的变形tanα+tanβ=tan (α+β) · (1-tanαtanβ) , 那么题目中的17°与43°的要求是本质的吗?不是, 实质上只需两角的和的正切值等于第三项tan17°·tan43°前的系数.所以题目可推广为∠A+∠B=360°n+60°, 求的值, 那么对的要求是本质的吗?同样不是.所以我们还可以将题目变形为:∠A+∠B=360°n+30°, 求的值等.

解题后反思总结的路径 篇11

的确，“题海战术”可以提高解题熟练程度，但要提升能力，还要靠解题后的反思与总结.下面，我们通过对2013年高考数学浙江卷（理科）第7题的解答和反思，给同学们提供一些解题前后思考和总结的路径与线索.

寻找解题思路

例 [2013年高考数学浙江卷（理科）第7题] 设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

（A） ∠ABC=90°（B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

这是一个以三角形中向量数量积的最小值问题为背景的题目.对于选择题，要判断三角形的形状，我们常常可以通过排除法得到答案.但对这道题而言，一一代入费时较多，不是一个好方法.因此，我们需要尝试从题目的条件出发寻找解题思路.

题目的实质就是当点P在点P0的位置时，数量积·取得最小值.要由此判断△ABC的形状，首先要考虑如何计算数量积·.当点P变化时，向量，的长度以及它们的夹角都在变化，所以直接计算·可能会比较困难.

求解平面向量问题一般有三种方法：坐标法、向量法和几何法.我们首先考虑用最常见的坐标法，通过建立直角坐标系，利用点P，B，C的坐标来计算.

解法一： 如图1所示，以点A为原点、AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.

设△ABC的三边BC，AC，AB的长度分别为a，b，c，则B（c，0），C（bcosA，bsinA）.设P点坐标为（x，0） （0≤x≤c），则·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因为0≤x≤c，故由二次函数性质可知，当x=时，·取到最小值.

因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化简得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

点评： 借助直角坐标系是求解向量数量积的一种常用方法.通过设定点的坐标，我们把几何关系转化为点坐标之间的代数关系，这就降低了思维的难度.

答案是求出来了，我们的思考却不能就此终止.以上解答虽然思路比较简单，但还需要用余弦定理来判断△ABC的形状，运算量较大.有没有其他的考虑问题的角度呢？

变换解题角度

在计算两个向量的数量积时，我们还会经常使用向量法.如果能把两个向量转化为其他特殊向量（垂直或共线的向量）的和或差，就更容易计算数量积.

解法二： 过点C作CH⊥AB，垂足为H，则·=·（+）=·.要使·最小，则与方向必相反，点P必在点H与点B之间，如图2所示.

设HB=t，PB=x （0≤x≤t），则·=·=-x（t-x）=x2-tx，当且仅当x=时，·取到最小值-，此时P点为HB的中点.因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值，此时P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H为AB的中点.又CH⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 把转化为与之和，使得·等价转化为·.从而得出若·取得最小值，则与反向，这种转化是本题的重点.

那么，这道题目还有没有值得我们再思考的地方呢？我们发现，不管点P变化到什么位置，-=是恒成立的.从问题的运动变化中寻求不变量是我们思考数学问题的一种常见的方式，所以如果我们从已知条件·≥·直接入手，结合数学中“和、差、积”相互转化的方法，可将·≥·等价转化为（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，结合向量的几何意义可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均过BC的中点，我们想到用几何法求解.

解法三： ·≥·等价于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因为-=-=，所以等价于（+）2≥（+）2.

如图3所示，设D为BC的中点，则+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因为P0B=AB，所以当PB=AB即点P为AB的中点时，P0为PB的中点.又D为BC中点，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 根据条件·≥·，我们发现其充要条件是（+）2≥（+）2，这为解决问题提供了思路.结合向量的几何意义思考问题，正是这个解法的本质所在.

扩大解题成果

经过上述思考，我们可以总结出，对于求解向量数量积的最值问题，坐标法（解法一）、向量法（解法二）、几何法（解法三）可以作为解题的思考方向.这三种方法还可以推广到一般的向量问题，因为向量本身就是数形结合的产物，既具有代数的抽象与严谨，又不失几何的形象与直观.

在解题前后，如果我们经常思考题目涉及的知识和方法，总结解决这类题型的思考方向，就能够达到做一道题会一类题的效果，思维能力也会因此得到不断的提升.

在高考复习的过程中，要提高解题能力，做题是必经之道.但是，做了题，甚至做了大量的数学题，解题能力是不是就一定能够提高呢？

的确，“题海战术”可以提高解题熟练程度，但要提升能力，还要靠解题后的反思与总结.下面，我们通过对2013年高考数学浙江卷（理科）第7题的解答和反思，给同学们提供一些解题前后思考和总结的路径与线索.

寻找解题思路

例 [2013年高考数学浙江卷（理科）第7题] 设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

（A） ∠ABC=90°（B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

这是一个以三角形中向量数量积的最小值问题为背景的题目.对于选择题，要判断三角形的形状，我们常常可以通过排除法得到答案.但对这道题而言，一一代入费时较多，不是一个好方法.因此，我们需要尝试从题目的条件出发寻找解题思路.

题目的实质就是当点P在点P0的位置时，数量积·取得最小值.要由此判断△ABC的形状，首先要考虑如何计算数量积·.当点P变化时，向量，的长度以及它们的夹角都在变化，所以直接计算·可能会比较困难.

求解平面向量问题一般有三种方法：坐标法、向量法和几何法.我们首先考虑用最常见的坐标法，通过建立直角坐标系，利用点P，B，C的坐标来计算.

解法一： 如图1所示，以点A为原点、AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.

设△ABC的三边BC，AC，AB的长度分别为a，b，c，则B（c，0），C（bcosA，bsinA）.设P点坐标为（x，0） （0≤x≤c），则·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因为0≤x≤c，故由二次函数性质可知，当x=时，·取到最小值.

因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化简得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

点评： 借助直角坐标系是求解向量数量积的一种常用方法.通过设定点的坐标，我们把几何关系转化为点坐标之间的代数关系，这就降低了思维的难度.

答案是求出来了，我们的思考却不能就此终止.以上解答虽然思路比较简单，但还需要用余弦定理来判断△ABC的形状，运算量较大.有没有其他的考虑问题的角度呢？

变换解题角度

在计算两个向量的数量积时，我们还会经常使用向量法.如果能把两个向量转化为其他特殊向量（垂直或共线的向量）的和或差，就更容易计算数量积.

解法二： 过点C作CH⊥AB，垂足为H，则·=·（+）=·.要使·最小，则与方向必相反，点P必在点H与点B之间，如图2所示.

设HB=t，PB=x （0≤x≤t），则·=·=-x（t-x）=x2-tx，当且仅当x=时，·取到最小值-，此时P点为HB的中点.因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值，此时P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H为AB的中点.又CH⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 把转化为与之和，使得·等价转化为·.从而得出若·取得最小值，则与反向，这种转化是本题的重点.

那么，这道题目还有没有值得我们再思考的地方呢？我们发现，不管点P变化到什么位置，-=是恒成立的.从问题的运动变化中寻求不变量是我们思考数学问题的一种常见的方式，所以如果我们从已知条件·≥·直接入手，结合数学中“和、差、积”相互转化的方法，可将·≥·等价转化为（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，结合向量的几何意义可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均过BC的中点，我们想到用几何法求解.

解法三： ·≥·等价于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因为-=-=，所以等价于（+）2≥（+）2.

如图3所示，设D为BC的中点，则+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因为P0B=AB，所以当PB=AB即点P为AB的中点时，P0为PB的中点.又D为BC中点，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 根据条件·≥·，我们发现其充要条件是（+）2≥（+）2，这为解决问题提供了思路.结合向量的几何意义思考问题，正是这个解法的本质所在.

扩大解题成果

经过上述思考，我们可以总结出，对于求解向量数量积的最值问题，坐标法（解法一）、向量法（解法二）、几何法（解法三）可以作为解题的思考方向.这三种方法还可以推广到一般的向量问题，因为向量本身就是数形结合的产物，既具有代数的抽象与严谨，又不失几何的形象与直观.

在解题前后，如果我们经常思考题目涉及的知识和方法，总结解决这类题型的思考方向，就能够达到做一道题会一类题的效果，思维能力也会因此得到不断的提升.

在高考复习的过程中，要提高解题能力，做题是必经之道.但是，做了题，甚至做了大量的数学题，解题能力是不是就一定能够提高呢？

的确，“题海战术”可以提高解题熟练程度，但要提升能力，还要靠解题后的反思与总结.下面，我们通过对2013年高考数学浙江卷（理科）第7题的解答和反思，给同学们提供一些解题前后思考和总结的路径与线索.

寻找解题思路

例 [2013年高考数学浙江卷（理科）第7题] 设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

（A） ∠ABC=90°（B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

这是一个以三角形中向量数量积的最小值问题为背景的题目.对于选择题，要判断三角形的形状，我们常常可以通过排除法得到答案.但对这道题而言，一一代入费时较多，不是一个好方法.因此，我们需要尝试从题目的条件出发寻找解题思路.

题目的实质就是当点P在点P0的位置时，数量积·取得最小值.要由此判断△ABC的形状，首先要考虑如何计算数量积·.当点P变化时，向量，的长度以及它们的夹角都在变化，所以直接计算·可能会比较困难.

求解平面向量问题一般有三种方法：坐标法、向量法和几何法.我们首先考虑用最常见的坐标法，通过建立直角坐标系，利用点P，B，C的坐标来计算.

解法一： 如图1所示，以点A为原点、AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.

设△ABC的三边BC，AC，AB的长度分别为a，b，c，则B（c，0），C（bcosA，bsinA）.设P点坐标为（x，0） （0≤x≤c），则·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因为0≤x≤c，故由二次函数性质可知，当x=时，·取到最小值.

因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化简得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

点评： 借助直角坐标系是求解向量数量积的一种常用方法.通过设定点的坐标，我们把几何关系转化为点坐标之间的代数关系，这就降低了思维的难度.

答案是求出来了，我们的思考却不能就此终止.以上解答虽然思路比较简单，但还需要用余弦定理来判断△ABC的形状，运算量较大.有没有其他的考虑问题的角度呢？

变换解题角度

在计算两个向量的数量积时，我们还会经常使用向量法.如果能把两个向量转化为其他特殊向量（垂直或共线的向量）的和或差，就更容易计算数量积.

解法二： 过点C作CH⊥AB，垂足为H，则·=·（+）=·.要使·最小，则与方向必相反，点P必在点H与点B之间，如图2所示.

设HB=t，PB=x （0≤x≤t），则·=·=-x（t-x）=x2-tx，当且仅当x=时，·取到最小值-，此时P点为HB的中点.因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值，此时P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H为AB的中点.又CH⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 把转化为与之和，使得·等价转化为·.从而得出若·取得最小值，则与反向，这种转化是本题的重点.

那么，这道题目还有没有值得我们再思考的地方呢？我们发现，不管点P变化到什么位置，-=是恒成立的.从问题的运动变化中寻求不变量是我们思考数学问题的一种常见的方式，所以如果我们从已知条件·≥·直接入手，结合数学中“和、差、积”相互转化的方法，可将·≥·等价转化为（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，结合向量的几何意义可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均过BC的中点，我们想到用几何法求解.

解法三： ·≥·等价于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因为-=-=，所以等价于（+）2≥（+）2.

如图3所示，设D为BC的中点，则+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因为P0B=AB，所以当PB=AB即点P为AB的中点时，P0为PB的中点.又D为BC中点，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 根据条件·≥·，我们发现其充要条件是（+）2≥（+）2，这为解决问题提供了思路.结合向量的几何意义思考问题，正是这个解法的本质所在.

扩大解题成果

经过上述思考，我们可以总结出，对于求解向量数量积的最值问题，坐标法（解法一）、向量法（解法二）、几何法（解法三）可以作为解题的思考方向.这三种方法还可以推广到一般的向量问题，因为向量本身就是数形结合的产物，既具有代数的抽象与严谨，又不失几何的形象与直观.

解题后的反思 篇12

一、思疏漏

学生的知识背景、思维方式、情感体验往往与成人不同, 而其表达方式可能又不准确, 这就难免有“错”.解题后, 首先要思考是否有疏漏和错误的地方, 总结应该注意的方面:如答案是否与题中隐含条件相抵触, 是否有其他可能情况, 是否掉入了命题者所设置的陷阱.这样往往能找到“病根”, 进而对症下药, 常能收到事半功倍的效果.

例1:m取什么值时, 方程x2- (2m+1) x+m+1=0的两根的平方和最小, 最小值是多少?

错解∵x1+x2=2m+1x1·x2=m+1

故当m=-1/4时, x12+x22最小, 最小值为-5/4.

反思:上述解题过程正确吗? 显然x12+x22的值不能为负.经查, 上述解法疏忽了一个重要条件, 即方程有两个实数根的条件是△≥0, 所以

解得

∴抛物线顶点不在有实根的范围内.

故当时方程两根的平方和最小, 最小值为

二、思方法

数学方法是解决数学问题的重要手段, 是形成基本技能.提高解题速度的得力措施.所以解题后总结方法, 归纳解题技巧, 无疑对方法的牢固掌握和能力的提高大有裨益.

例2:如图1, 正三角形的边长为a, 求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.

解析:由圆环面积公式及勾股定理整理即可.设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为S1, S2, 如图1:

在Rt△AOD,

反思: 此题解法的巧妙之处在于没有直接求出正三角形的外接圆和内切圆的面积, 而是利用的整体性, 巧妙求出圆环的面积, 下面的题目也可用上述方法解决.

如图2两个同心圆, 大圆的弦AB与小圆相切, 且AB=20, 求此圆环的面积.

通过对解题方法的反思, 就能真正掌握一类解题方法.

三、思过程

在解题教学中, 若能注重对解题过程的反思, 往往可以看透问题的本质, 发现一些意外的东西.许多创新灵感的获得, 都是源于反思的自觉.因此, 解题过程中应注意用好“反思”这一的武器, 从而提高学生的解题水平.

例4:已知二次函数y=x2+2x-3,

(1) 求函数图像的顶点坐标及对称轴;

(2) 判定方程x2+2x-3=0有无实数根;

(3) 解不等式x2+2x-3>0.

解: (1) 顶点坐标 (-1, -4) , 对称轴是直线x=-1

∴方程有两个不等的实数根

(3) 又图像知当x<-3或x>1时, y>0, 所以不等式x2+2x-3>0的解为x<-3或x>1.

反思:回顾解题过程, 将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式联系起来, 拓宽了认知结构, 加深了对“三个二次”之间关系的理解, 认识到它们之间是可以互相转化的.弄清了它们间的这种内在联系, 对我们以后的解题大有帮助.

六、思变化

解题后要从题目的实际出发, 深入挖掘, 把原题“改头换面”, 变为多个与原题内容或形式不同, 但解法类似的题目, 这样可以增强变通能力, 扩大视野, 深化知识结构, 从而提高解题能力.

例6:求证:顺次连接四边形的各边中点, 所得的四边形是平行四边形.

变式①顺次连接平行四边形的各边中点, 所得的四边形是什么四边形?

变式②顺次连接矩形的各边中点, 所得的四边形是什么四边形?

变式③顺次连接菱形、正方形、梯形、等腰梯形的各边中点, 所得的四边形是什么四边形?

由此, 你发现了什么规律?

反思:在思考问题时, 将信息向各种可能方向扩散, 引出更多信息, 使解题思路不拘泥于一个途径, 不局限于一种理解, 这样就加深了对知识的理解与掌握, 同时培养了自己的发散思维能力.