解题活动（精选12篇）
解题活动 篇1
习题课是高中物理教学的重要课型之一，对教学质量的好坏起着举足轻重的作用。通过恰当、具体的物理习题的解答，不但能够帮助学生理解物理学的基本概念及基本规律，巩固所学知识，而且可以帮助学生提高应用物理知识分析并解决实际问题的能力，还能提升学生思维的灵活性、发散性、深刻性。本文将以高三第一轮复习中笔者自编的一道传送带习题的教学为例，进行说明。
例题如图所示，静止的水平传送带上，A、B两点间距L=4m，一质量m=0.5kg的小物块以水平初速度v0=6m/s从A端滑上传送带，滑到B点时的速度为2m/s，取重力加速度g=10m/s2。求：
(1）物块与传送带间的动摩擦因数；
(2）现使传送带按顺时针方向以恒定的速率v运行，物块仍以初速度v0=6m/s从A端滑上传送带，试求下列三种情况下物块在传送带上的运动时间。(1)当v=1m/s时；(2)当v=4m/s时；(3)当v=8m/s。
活动一、一题多解，提升思维的发散性
提问1：物块在滑上传送带的过程中受到哪些力的作用？运动性质如何？
学生A：物块受到三个力的作用，竖直向下的重力mg、竖直向上的支持力N、水平向左的滑动摩擦力f。因合外力向左且恒定，而初速度向右，故物块向右做匀减速运动。
提问2：谁能说出求解动摩擦因数的解题思路？
学生B：先根据速度-位移关系求出物块的加速度，再根据牛顿运动定律求动摩擦因数。
板演1:(1）对物块的减速过程有v2-v20=-2aL
对物块应用牛顿运动定律得μmg=ma
解得a=4m/s2，μ=0.4
提问3：上述解法是从力的瞬时效应，即力产生加速度的角度出发求解的，你还有其他的解题方法吗？
学生C：还可以从力对空间累积效应，即合力做功改变物体动能的角度，用动能定理求解。
板演2：对物块应用动能定理得，解得μ=0.4。
说明1：本例题是教师教学的一种依托，解出答案并非解题活动的最终目的，“深化理解知识、揭示解题方法、发展思维能力”才是习题教学的真实意图。学生解题思维能力的培养与提升不可能毕其功于一役，教师要渗透并强化一题多解的意识，充分抓住一题多解的契机，引导学生在应用不同知识解题的过程中，拓宽解题思路，从而提升学生的发散性思维能力。
活动二、一题多变，提升思维的深刻性
变式1：传送带静止时，物块在传送带上运动多长时间？
学生D：据得t=1s。
变式2：当传送带以恒定的速率v按逆时针方向旋转时，物块在传送带上运动的时间还是1s吗？为什么？
学生E：因物块的初速度向右，传送带的速度向左，故物块所受滑动摩擦力向左，物块的运动情况与传送带静止时的情形相同，物块一直向右做匀减速运动，所以运动的时间还是1s。
变式3：当传送带以恒定的速率v按顺时针方向旋转时，物块在传送带上运动的时间还是1s吗？为什么？
启发：此时的物块仍一直向右做匀减速运动吗？思考当v=0.5m/s时、当v=1m/s时、当v=1.5m/s时物块的运动情形。
说明2：通过上述系列问题的思考，学生会发现物块仍一直向右做匀减速运动，至此学生能轻松自如地回答下面的追问。
追问：当传送带的速率v满足什么条件时，物块在传送带上运动时间仍是1s?
学生F：当v≤2m/s时。
提问4：当v>2m/s时，物块怎样运动呢？思考当v=3m/s时、当v=4m/s时、当v=5m/s时的运动情形。
学生G：当v=3、4、5m/s时，物块到达A端时受向左的摩擦力而向右减速，但不可能像v≤2m/s时一直向右减速，当速度减至传送带的运行速度时，摩擦力突变为0，之后随传送带一起向右做匀速运动。
提问5：在v=3、4、5m/s三种情况下，哪种情形减速距离（或时间）最短？当v=6m/s时，物块怎样运动？当传送带的速率v满足什么条件时，物块先做匀减速运动，后做匀速运动？
学生H:v=5m/s时减速距离（或时间）最短。当v=6m/s时，物块做匀速直线运动。显然，当2m/s<v<6m/s时，物块先做匀减速运动，后做匀速运动。
提问6：当v>6m/s时，物块滑上传送带后所受摩擦力方向如何？若物块一直加速，它到达B端时的速度是多大？
学生I：当v>6m/s时，物块滑上传送带后，相对于传送带向左运动，故所受的摩擦力向右。若物块加速，其加速度a=4m/s2，据vB2-vA2=2aL解得
提问6：当v>6m/s时，物块怎样运动呢？
学生J：当m/s时，物块先做匀加速运动，后做匀速运动；当m/s时，物块一直做匀加速运动。
说明3：勿先触及第（2）问的解答，而对水平传送带的速度变化时，物块的运动情况进行全方位的变式讨论，凸显了本题的编制意图及教者灵活处理教学资源的能力。在有序渐进式的系列问题研究中，学生深化了对滑动摩擦力概念的理解，强烈地感受到了挖掘临界条件的重要性，达到了提升学生思维深刻性的目的。至此，第（2）问的求解已水到渠成。下面的板演3可由学生独立完成。
板演3:(2）分析可知：
当v≤2m/s时，物块仍一直向右做匀减速运动；
当2m/s<v<6m/s时，物块先做匀减速运动，后做匀速运动；
当v=6m/s时，物块做匀速直线运动；
当m/s时，物块先做匀加速运动，后做匀速运动；
当m/s时，物块一直做匀加速运动。
(1)当v=1m/s时，据得t=1s。
(2)当v=4m/s时，设物块减速运动的时间为t1，匀速运动的时间为t2。据v=v0-at1得t1=0.5s，据减速位移得x1=2.25m，据L-x1=vt2得t2=0.4375s，物块在传送带上的运动时间t=t1+t2，解得t=0.9375s。
(3)当v=8m/s时，设物块加速运动的时间为t3，匀速运动的时间为t4。据v=v0+at3得t1=0.5s，据加速位移得x2=3.5m，据L-x2=vt4得t4=0.0625s，物块在传送带上的运动时间t=t3+t4，解得t=0.5625s。
解题活动 篇2
为了进一步增强教师队伍的.业务能力，本着“以竞赛促进教师学习，以竞赛提升教师解题能力”的宗旨，特举办了全县九年级数学教师解题能力竞赛活动。
今年的竞赛活动则是在历年成功举行考学活动的基础上的创新。此次竞赛着力抓好三个环节：一是明确竞赛内容。这次解题竞赛的内容是、的江苏省十三大市的中考试卷，确定这样的范围目的很明确。因为九年级是初中毕业年级，即将面临中考，需要毕业班教师们认真研究考纲，研究考题，研究考点，敏锐捕捉到有效中考信息，帮助学生们进行实效性复习，进而提高学生们的提高解题能力。
二是明确参赛人员。参赛对象就是各中学执教毕业班的教师，由校长带队参考，由学科教研员监考，教师严格遵守考试纪律，从而确保竞赛活动公平公正。三是明确奖励措施。教师竞赛成绩将在全县公布，优秀率为参赛人数的15%，给与表彰和奖励。
明确解题目标，抓住解题关键 篇3
【例1】 已知抛物线L的方程为x2=2py（p>0），直线y=x截抛物线L所得弦|AB|=42.
（1） 求p的值；
（2） 抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
分析 本题中的问题（1）容易解决，由于题干给出的条件是弦长，所以通过直线与抛物线联立方程组解出交点的坐标即可。也可以反过来理解，要求p的值，根据题意只能利用已知弦长这个条件，而要求弦长，找出交点的坐标就是最直接有效的做法了，这样目标就非常明确——联立方程组，解出交点的坐标。
对于问题（2）的处理一般是先假设存在点C，则点C为切点，那么如何才会有相同的切线呢？这就要求圆和抛物线在该点处的切线斜率相等！这样解题目标就明确下来了，分别解决过A、B、C三点的圆在点C处的切线的斜率和抛物线在点C处的切线的斜率问题即可。圆的切线可以利用切线与切点和圆心的连线垂直解决，抛物线的切线可以用导数的几何意义解决。
解题活动 篇4
由于职业学校的学生有着自己的特点:进校时数学比较差的人偏多, 学习数学的热情比较低, 学习的目的比较短浅 (60分万岁) , 缺少升学的压力, 专业知识对于基础课程的冲击, 导致学生学习数学的积极性差, 老师的教学方法必须有相应调整, 在解题活动中也要有自身的特点.
一、问题的提出必须吸引学生的眼球, 激发学生的学习热情
按照我们常规的要求, 数学解题活动主要是利用认知结构 (知识结构和思维结构) 对抽象的形式化思想材料进行加工的过程, 是数学符号及数学命题在人的大脑里的内部操作过程, 也就是一种思维活动.这就必然导致数学解题教学是一个让学生体验数学思维的过程.对于职业学校的学生, 你必须在所给的题目上, 给出相应的背景, 让学生有一定的兴趣和认识, 学生学习数学的过程中就会不知不觉的进入了体验数学思维的过程.譬如:△ABC中, 已知AB=100 m, AC=80 m, ∠A=120°, 求BC=?对于这个问题, 如果在授课时增加背景:地质队员在勘探一个山洞的直线距离, 已知能勘探到的边和角, 再求边.学生会由于背景的吸引, 然后进一步的去认识怎么去解决问题, 然后根据上课的讲解相应的例题来得到答案, 并且自己有所收获.
二、学生在解题过程中的错误之一——计算
由于是职业学校的学生, 相当部分的学生初中、小学的数学的差与计算的差是联系在一起的.多年的职业学校的教学, 使我看到undefined不会觉得惊讶, 也使我批改到了A, B两点的距离|AB|=-100 m这样的作业不再是大发雷霆.出现这种错误的学生是缺乏检查的习惯, 对于学习是没有什么兴趣, 如果此时老师一味的批评只会使得学生更加讨厌数学, 耐心的讲解是比较好的方法.所以教师在职业学校的数学教学中, 注重解题方法的培养之外, 还得让学生加强数学计算, 少犯计算错误, 那么他们对于数学的学习会有一定的改观.
三、学生在解题过程中的错误之二——自认聪明
对于相当部分的职业学校的学生, 学习的压力够不成他们学不好的原因, 他们都很聪明, 并且能动脑子, 只是将脑子动的不是地方, 反而影响正常的学习.数学也是如此, 在解决x2<9的计算的时候, 虽然老师上课细致的讲解过, 但有些自作聪明的学生, 上课不认真听讲, 考试期间就会得出这样的结果:x<±3.原因很简单, 在不等式的两边开了根号.对于这种解题的自作聪明的错误, 耐性的讲解以外, 课后的辅导是必不可少的, 这也是职业学生需要老师督促的地方.
四、学生在解题过程中的错误之三——只要给我一个公式, 我能解决全部题目
这些学生是在职业学校里最普遍的学生, 他们有个共同的特点就是懒惰, 没进取心, 学习得过且过.用他们自己根据阿基米德的“给我一个支点, 我能撬起地球”这句话改编的“给我一个公式, 我能解决全部题目”这句话来理解, 他们明确解题的思路和方法, 但问题就在于他们没有掌握好最基础的公式.这在高职书第三、第四册的三角函数这一块内容中体现的特别明显.在运算sin4x-cos4x-2sin2x的时候, 学生最想知道的公式就是sin2x+cos2x=1, 因为上述计算题的运算都是围绕这个公式来展开, 可以得到最后的结果为-1.所以, 对于这样的职业学校的学生而言, 必要的默写也是必不可少的.数学的教学正在向文科的方向在发展, 毕竟, 学生不能够掌握好相应的公式, 再强的解题思路也是做不出题目的.
五、数学解题过程之回顾
解题活动 篇5
[设计要求]
1、符合演讲比赛情境，注意比赛的环节要齐备，2、程序及安排要可行具体。
3、主题明确，观点明析，能体现演讲的实质及要求。
[范例]
关干节约资源、建设环境友好型社会的演讲比赛设计
1、主题：节约资源、建设环境友好型社会。
2、活动形式：演讲比赛。
3、目的（意义）：通过组织演讲比赛，使学生进一步认识资源的重要性及我国面临的严峻资源形势，从而增强资源忧患意识，落实节约、保护资源的行动，以及为构建资源节约，环境友好型社会做贡献的意识和决心。
4、活动准备：
(1)在班级宣传、动员同学们积极报名，并要求参赛人员做好准备。
(2)聘请评委老师，选拔主持人并确定相关的参与人员，(3)制定并公布演讲比赛规则及评比标准。
(4)确定好演讲比赛的时间、地点、落实相关设备等。
5、步骤：(1)主持人宣布演讲比赛主题。(2)介绍评委老师。(3)公布演讲比赛规则及选手出场程序。(4)比赛并评分。(5)公布分数及获奖同学名单。(6)请老师总结、颁奖。
借助解题平台，培养学生解题能力 篇6
一、影响学生解题能力的原因
1.从教师角度
一些教师的课堂教学方法仍停留在传统的思想观念上，没有转变和创新教学方法，再加上升学考试的压力，很多教师都采取题海战术，以完成课堂教学任务为目的，没有把教学重点放在培养学生的能力上，只是关注学生的解题基本方法以及技能的训练。在课堂讲课时，教师把所有的步骤、思路都一一写出来，却并没有引导学生积极主动地参与进去。
2.从学生角度
当前，学生的解题能力得不到提升，主要有以下几个原因：一是过分依赖思想;二是缺少主动思考;三是思维定势。课堂上，大多数学生处于被动接受的状态，没有自己主动地解决问题，缺乏钻研和创新精神;在审题过程中，学生没有看清题目，就匆忙提笔答题，忽视了题目中的隐性条件，没有正确地提取题目的重要信息。教师提供的教学方法，学生不加以分析，只知道生搬硬套，容易导致思维定势。
二、培养学生数学解题能力的方法
1.培养学生学习数学的兴趣
数学学科是一门重要的基础学科，它在人们的日常生活中发挥着重要作用，数学在军事、航海、天文、经济等方面的运用也愈加宽广。如今的中学生，数学学习兴趣不高，主要是受到数学基础的影响，一些学生数学基础差，所以对数学学习兴趣不高，有的学生甚至产生了厌学情绪。
面对这种情况，教师一定要认真备课，精心设计每一堂课，多列举一些与实际生活相结合的实例，使不同层次的学生都能够掌握知识，获取学习方法。此外，教师还要充分调动学生的学习积极性，让学生由被动学习转变为主动学习。
2.掌握科学的解题程序
曾经有一位数学家说过：“将解题步骤划分为四步：第一步是弄清问题;第二步是拟定计划，第三步是实现计划;第四步是回顾反思。”好的解题习惯是指拿到题目以后，学生不急于做题，而先是认真阅读，弄清楚题目的大概意思，然后从已知条件入手，提取出有价值的信息，审清题目的结构特征，揭示出已知条件与结论之间的内在联系，从而探究出解题的方向，明确解题思路，进入实施程序，最后反思数学思想和数学方法。
3.重视解题思路的逆向思维
在初中数学解题教学过程中，如果教师只重视由此及彼、单一的训练关系，而忽视彼此之间的关系、由果到因的逆向思维的关系，就很容易导致学生思维过程的单向思维定势。受这种思维定势的影响，会使学生习惯性地从正面入手。因此，在解题的教学过程中，教师就应该有目的、有计划地注重解题思路的逆向思维训练，从而培养学生养成两个方向思考的习惯。
如在解答“一个多边形的内角中锐角的个数最多是多少个？”这个问题时，学生用直接推理的方法很难解答出来，如果运用逆向思维去考虑这个问题，把隐形条件转化为显性条件，就很容易解决了。根据定理多边形的外角和是一个定值360°，而一个钝角的外角就相应有一个锐角，由于外角和是一个定值为360°，所以，所有多边形外角是钝角的个数最多只能有三个。
4.加强对辅助题目的理解
首先，学生应该明确“辅助题目”的概念。辅助题目有利于学生掌握新的知识，维果茨基提出：教师在教学中要创建“最近发展区”，并且要突破“最近发展区”，辅助题目的掌握就是帮助学生创建这样一个区域后，能够切实有效地提高学生解决问题的能力水平，从而有利于数学问题的解决。辅助题目的掌握就是帮助学生构建“数学现实”和帮助学生“数学化”的过程，所以，研究和掌握“辅助题目”具有重大意义。
三、结束语
总而言之，要想提高学生的数学解题能力，教师就要从多个方面入手，把这一意识贯穿于教学的各个方面。在这一个过程中，学生必须做一定量的练习，但不是题海战术。教师只有充分意识到数学课程本质，才能够全面提高学生的解题能力，培养学生的数学素养。
注重解题思路 提高解题技巧 篇7
一、思考解题中用到的基础知识和基本的解题方法
在数学解题过程中, 要用到一些基本数学知识和解题的基本方法。因此, 我们要在课程导入和课前预习中要复习这些基础知识;在解题时认真思考题目涉及的数学基础知识;在课后复习时要反思这些基础知识。这样才能有利于学生对所学知识的巩固, 提高学生的数学解题能力。
例如:一种商品降价10%后的售价是45元, 现价比原价降低了多少元钱?
解:本题把商品的原价看做整体单位“1”, 降低的占原价的10%, 那么, 现价占原价的 (1-10%) , 所以原价是45÷ (1-10%) =50 (元) , 现价比原价降低的是50×10%=5 (元) 。
解题过程中应用到“已知一个数的百分之几是多少, 求这个数是多少”和“已知一个数求它的百分之几是多少”等等数学基础知识;而且还运用了分数应用题中的“量率对应”等解题技巧。学生进行反思后, 必定会加强理解, 强化解题思路, 增强学生的解题能力, 提高学生的解题速度。
这道例题, 在上课前预习时要进行充分的复习“已知一个数的百分之几是多少, 求这个数是多少”和“已知一个数求它的百分之几是多少”等等数学基础知识。当学生在这节课能够很好地运用这些基础知识后, 我们在课后复习时要及时记忆巩固, 进行变式练习, 让学生能够举一反三, 以后遇到这样的问题时, 就会迎刃而解。
二、一题多解
有些题目有多种答案, 或者是多种解题方法。教师可以引导学生发现探索不同的解题方法, 以利于学生运用更多更广泛的知识和方法, 提高学生的数学学习积极性, 激发学生学习数学的兴趣, 拓宽学生的解题思路, 达到提高学生解题能力和技巧的目的。
例如:人民广场公园有松树和柏树共480棵, 其中松树的棵树是总棵数的, 公园里的柏树有多少棵?
解法一:把总棵树可做整体单位“1”, 松树棵树占总棵树的, 那么柏树的棵树占总棵树的;所以柏树棵树是:
解法二:把总棵树看做8份, 松树棵树占总棵树的5份, 那么柏树占总棵树的 (8-5) =3份, 所以柏树的棵树是:480÷8× (8-5) =180 (棵) 。
解法三:根据题意可知, 松树棵树和柏树棵树的比是, 设柏树有x棵, 那么松树棵树是 (480-x) 棵, 得到方程式:
解得:x=180
答:公园里一共有柏树180棵。
一题多解的做法, 对于培养学生发散性思维能够起到非常重要的作用, 在进行一题多解训练时, 我们的教师要训练学生思维的逻辑性和思维语言的严密性, 长期训练会使学生的思维更加缜密灵活。如果学生在进行一题多解的训练时, 会想到更多的解题方案, 这时教师要教会学生分析判断, 学会取舍。在一个题目的多种解法中, 教师要根据学生的不同情况, 让学生自己去判断, 哪一种方法更适合学生本人。
三、一题多变
做完一个题目后, 教师要引导学生把题目做适当的变形。如, “条件不变, 问题变化”“条件变化, 问题不变”“问题条件都变化”等, 让学生得到多样的、充分的、完善的练习, 提高学生分析和解决问题的能力。
例如:修路队修一条公路, 每天修40米, 25天修完, 如果每天修50米, 多少天可以修完?
列式为:40×25÷50=20 (天)
1. 条件不变, 改变问题
修路队修一条公路, 每天修40米, 25天可以修完, 如果每天修50米, 可以提前几天修完?
25-40×25÷50=5 (天)
2. 条件变化, 问题不变
修路队修一条公路, 每天修40米, 25天修完。如果每天多修10米, 多少天可以修完?
40×25÷ (40+10) =20 (天)
3. 条件、问题都变化的情况
修路队修一条长1000米的公路, 计划25天修完, 实际提前5天修完, 实际每天修多少米?
1000÷ (25-5) =50 (米)
四、思考解题方法的迁移
做完一个题目后, 引导学生发现解题发现解题方法的普遍应用, 以利于类试题目的解答, 从而培养学生开拓创新、勇于进取的精神, 让学生在变化中获得解题的捷径。
例如:一项工程, 甲队单独做6天完成, 乙队单独做8天完成, 两对合作几天能够全部完成?
这是一道基本的工程问题。把全部工程看做整体单位“1”, 那么甲队每天完成全部工程的, 乙队每天完成全部工程的, 甲乙两队合作每天全部工程的。根据
得两队合作所需要的时间是:
做完这道题后, 引导学生总结工程问题的结构特点及解题方法, 然后做下面的题:
1. 快车从甲地开往乙地需要10小时, 慢车从乙地开往甲地需要15小时, 现在两车同时从两地相对出发, 问, 几小时后相遇?
结合本题, 可以把甲乙两地间的路程看做整体单位“1”, 因而得出:快车每小时行驶总路程的, 慢车每小时行驶总路程的, 两个车同时出发, 相向而行每小时共行驶全路程的。根据时间=路程÷速度的公式得出两车相遇的时间为:。
2.水池有两根进水管, 单开甲管8分钟可以把空水池注满, 单开乙关12分钟可以把空水池注满。如果两个管一起开放, 几分钟将空池注满?
类似上面两个题, 我们把水池的总容积看做整体单位“1”, 类比得出两管齐开注满空池的时间为:
通过以上的联系, 可以发现工程问题的解题方法同样可以应用到一些和它相关的、相类似的数量关系的题目中去, 像相遇问题, 追击问题, 水池进水 (排水) 问题等, 让学生懂得知识的迁移, 能灵活熟练地解答类似的应用题问题。
注重解题“四想”,提高解题能力 篇8
解题是中学数学学习的主要形式之一.解题的全过程包括审题,探索,表达,回顾四个环节.而解题思路的探求,是解题四步骤中最具思维性的一环,也是学生表现差异最大的一环.当一道题目放在我们学生面前时,有的学生反应很快,这样试试,那样想想,很快就找到了解题思路,而有的同学虽然冥思苦想,却还是不知从何下手.那么,在平日的解题过程中,我们的学生到底应该如何想、想什么呢?笔者认为应当从以下“四想”着手.
1 回想
回想就是根据题目的条件与所求的结论,回想一下与题目有关的概念、公式、定义、定理是什么?这类问题的常规解法是什么?能否用它来解题?事实上,不少的基本题目通过这样的回想就可以找到解题的途径.
例1等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若a3,a5分别是等差数列{bn}的第3项和第5项,试求{bn}的通项公式和前n项的和Sn.
这是福建省2009年文科的一道高考题,要解决这个问题,我们只要回想一下等差、等比数列的定义及等差数列的前n项和的公式即可解决.
解由{an}成等比数列且a1=2,a4=16,根据等比数列的通项公式an=a1qn-1可知q=2.所以a3=8,a5=32.故b3=8,b5=32,又根据等差数列的通项公式可得公差d=12,所以bn=12n—28,Sn=6n2—22n.
一般来讲,回想的思维基础是演绎推理,即由一般到特殊的推理,只要把我们已经掌握的定义、定理、公式、方法应用到具体的问题上,就可以使问题得到解决.当然,回想主要适用于一些基本类型的题目,而对于一些能力型或创新型的问题,仅靠回想是不能够解决问题的,这时候我们就要有其他的“想法”.
2 联想
联想是指通过其他问题作为媒介,借助已有的知识经验间接地推知问题的本质属性.概括地说,就是“由此及彼”的思维方法.在数学解题活动中,如果我们能够进行正确的联想,寻找一个熟悉的相似问题,或者找到与题目接近的原理、方法,变通运用这些知识,就能够找到解决问题的途径.
例2若a,b∈R+且满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.
联想1由ab与a+b可以联想到基本不等式.
解法1由a,b∈R+及基本不等式得
联想2由ab与a+b可以联想到构造一元二次方程,利用判别式求解.
解法2由题意a,b可以看作是一元二次方程
的两根,则
又由ab—1=a+b+2>0,故ab≥9.
联想3是否可以利用a2+b2≥2ab.
解法3由ab=a+b+3得
ab—3=a+b.
两边平方整理得
以下同解法2.
联想4可以利用消元思想.
解法4由ab=a+b+3可得,又由a,b∈R+推出a>1即a-1>0,所以
当且仅当即a=3时取得等号.
联想的思维基础是类比推理,即由特殊到特殊的推理.把解决某个特殊问题的原则和方法进行移植,应用到相似的问题上.在具体解题过程中,通过对题目的条件、结论特征以及求解目标进行分析,展开不同的联想,可以发现问题的不同解法,从而可以提高我们解题思维的灵活性.
3 猜想
猜想是对问题结果的一种猜测性判断,这种判断没有经过严格的推理和证明.在解题时,我们往往要先根据题目中的条件和所求的结论,结合自己的知识及解题经验,猜想题目的结论,再加以证明.
例3是否存在常数C,使得不等式对于任意的正数x,y恒成立?试证明你的结论.
解析对于常数C是否存在我们无法直接给出结论,但我们仔细观察给定的不等式,发现两端的x,y对称地出现,故我们可先想到令x=y,则不等式变为,即下,从而猜测存在常C使不等式成立.
事实上,当时,不等式
等价于
整理得x2+y2≥2xy,而上式显然成立,故有
综上可知:存在常数,使不等式对任意正数x,y恒成立.
猜想的思维基础是不完全归纳推理,即由特殊到一般的推理.通过对题目的某些条件或结论加以特殊化,进行试探、分析,从而找到解题的方向.猜想能开拓我们的思维,能够使我们更为快捷地找到解决问题的途径.
4 反想
所谓反想,即从反面的角度来考虑问题.一般地,当一个数学问题出现在我们面前时,如果一般的方法不好进行处理或无法处理时,我们可以考虑换个思路,从反面着手进行分析,有时往往发现问题能够迎刃而解.
例5已知下列3个方程x2+4ax-4a-3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.
分析本题从正面考虑情况比较复杂,要分“恰有一个方程有根,有两个方程有根与3个方程都有根”3种情况处理.其中涉及到较多的解不等式及不等式的交与并的运算,计算量较大,容易出错.但是如果我们从反面来考虑这个问题,则只有一种情况,即3个方程均无实根,而这种情况很好处理.
解首先考虑问题的反面,若3个方程均无实根则有
成立.由Δ1<0解得;由Δ2<0解得a<-1或;由△3<0解得一2<a<0.取交集得:.所以3个方程中至少有一个方程有实根时,实数a的取值范围为a≥-1或.
反想的思维基础是反证思想,即从题目的对立面来重新考虑问题,从而找出问题的解决办法或者简化解题过程.这就是我们常说的“正难则反”的数学思想.
需指出的是,在解题过程中,回想、联想、猜想、反想这4种想法的使用不是单一的,而是通过这4种“想法”的交替使用,联合作战,才能找到准确的解题思路.只要我们平日的解题过程中不断地强化这4种“想法”,结合数学基础知识和基本方法,不断加以实践、分析、总结,就一定能提高我们的解题能力.
探求解题策略,培养学生解题能力 篇9
一、利用基本解题规律是解题的常用方法
波利亚在《怎样解题》中关于拟订解题计划一段写道:“你以前见过此题吗?是否见过形式上稍有不同的题目?你是否知道与此题有关的题目?这是一个与你的题目有关且已解出的题目, 你能用它吗?能用它的结果吗?能用它的方法吗?”因此在审题后应注意联想此题是否属于过去总结过的题型, 这类题的解法能否用到本题上来, 这样往往能收到良好的效果.
分析求三角函数的值域或最值最常用的思路是将解析式化简, 然后通过换元, 证明函数的单调性等方法进行.
二、理解利用已知条件解题是寻找解题思路的关键
有相当一部分数学题, 只要能充分地利用好已知条件, 结论就不难推出.所以审题后要深刻理解条件, 注意挖掘题目中隐含条件, 防止条件漏用、误用, 是否全部合理运用, 找到所求问题与已知条件的联系.
例2若正数a, b满足ab=a+b+3, 求ab的取值范围.
分析视ab为基本量, 寻求ab所满足的数量关系.
三、利用转化法解题是一种基本技巧
转化的目的是通过某种方式, 将题目在数与形间互化, 平面与空间互化, 代数与几何之间互化, 有目的地化繁为简, 化难为易, 化抽象为直观, 化隐秘为明显, 巧妙地探求解题思路.
例4过点P (3, 4) 作直线AB, 分别交x轴, y轴正方向于A, B两点, 要使△AOB面积最小, 求出这个最小值及此时直线AB的方程.
分析利用代数知识解题较方便.
四、一般化与特殊化也是重要手段
由于特殊性中包含着普遍性, 所以它无论怎样改变形态, 总留有“一般”特征的痕迹, 若能发现原型, 将特殊向一般转化, 便于分析;反之, 对于某些题目, 从特殊开始研究, 即从最简单的情况做起, 也是解题关键.就像华罗庚先生说的:学数学要善于退, 足够的退, 退到最简单的地方, 认透了, 钻深了, 再上去, 这种思维方式称为“特殊化”.
分析直接计算费时、费力, 但若发现
故原式=302-30-1=869.
提高解题能力之途径——解题反思 篇10
关键词：一题多解,多题一解,比较法
随着高中学习的进一步深入, 不少学生反应数学难学.他们总反应:老师一讲就明白, 但自己独立做题往往无从下手.究其原因:缺少“解题反思”这一重要环节, 未能形成良好的思维习惯.所以, 我们应该倡导和训练学生进行有效的解题反思, 这也是提高学生解题能力的有效途径.
何谓“解题反思”呢?学生在解完题或听老师讲解后, 要认真进行如下探索:命题的意图是什么?考核我们哪些概念、知识和能力?求解论证过程是否有理有据, 严密完善?有无其他解法?众多解法中哪种最简捷?把本题的解法和结论进一步推广, 能否得到更有益的普遍性结论?如此种种, 就是“解题反思”.那么作为一名数学教师应该怎样引领学生进行“解题反思”呢?
一、反思解题过程, 强化数学思想方法
数学解题过程无不充满着生动活泼的数学思想方法.事实上, 数学解题就是要在条件和结论之间给出一个数字原理的序列.数学原理序列既包括数学知识的联结, 又包含数学方法的推进.而知识与方法是一个统一体, 两者都反映着一定的数学思想.目前中学数学解题教学的实际状况是, 强调具体的一招一式的程式化训练, 忽视数学的思想、观念在解题中发挥的实质性作用, 因而导致大运动量的机械练习.要想摆脱题海战, 走出误区, 教师应就解题过程从数学思想方法角度进行解题反思.
二、积极反思, 探求“一题多解”
“一题多解”通过对同一题目从不同角度多次思维, 成功地进行知识运用和迁移.一方面可以培养学生的发散思维;另一方面还可以让学生比较各种方法的区别及不同的突破点, 从而深化学生对知识的理解, 还可在多种解法中选择最优法.
例设函数f (x) =ax2-2x+2对于满足1
方法一∵x∈ (1, 4) 时, 都有f (x) >0, ∴fmin (x) >0.
∴目标求f (x) 的最小值, 然后分类讨论.
方法二∵x∈ (1, 4) 时, 都有f (x) >0, 即ax2-2x+2>0, ∴, 令, 目标为a>gmax (x) .
解法二先分离参数, 再求确定函数的最值, 这样处理, 避免了繁杂的分类讨论, 简单明了地解决了问题.
三、积极反思, 探求“多题一解”
“多题一解”是培养学生收敛性思维的一种综合归纳的思维方式.即学生做了许多习题后, 归纳、提炼、异中求同, 揭开不同习题的表面现象, 挖掘其本质的结构, 以达到应用数学知识的变通性、规律性和发展性, 从而使学生脱离“题海”, 获得事半功倍的效果.
例已知f (x) =2x3-4x2+13, (1) 当x∈[-1, 1]时, 求f (x) 的最值; (2) 求证:x1, x2∈[-1, 1]时, |f (x1) -f (x2) |≤6; (3) 若α, β∈R, 求证:|f (sinα) -f (cosβ) |≤6.
这三道题实质都是求y=f (x) 在闭区间[-1, 1]的最大值和最小值, 放在一起反思比较, 学生就会看透这类问题的结构特点, 有助于提高解决问题的能力.
四、推广引申结论, 进行解题反思
许多表面上看似无关的问题却有着内在联系, 解题不能就题论题, 要寻找题与题之间的联系, 要质疑为什么有这样的问题?能否受这个问题启发, 将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合, 创造性设问?让学生在不断的知识联系和知识整合中, 体验“创造”带来的乐趣, 这对培养学生的创造性思维是非常有利的.
例已知点O为△ABC内一点, 且→OA+2→OB+3→OC=0, 则△AOB, △AOC, △BOC的面积之比等于 ( ) .
A.3∶2∶1 B.1∶2∶3
解析用“坐标法”以O为原点建立坐标系, 设A (1, 0) , B (0, 1) .由, 得, 知S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=3∶2∶1.
推广若O为△ABC内一点, 且m→OA+n→OB+p→OC=0 (m, n, p∈R+) , 则△AOB, △BOC, △AOC的面积之比为____________.
五、用“比较法”设计问题串, 引领学生解题反思
有些问题看似相同, 实则相差甚远, 我就围绕问题, 在最关键、最易出错的地方设计问题串.强化“比较法”, 让学生分析问题的区别与联系, 做解题后的反思, 为提高解题能力奠定基础.
例已知两个函数f (x) =7x2+28x-c, g (x) =2x3+4x2-40x. (1) 若对任意x∈[-3, 3]都有f (x) ≤g (x) 成立, 求函数c的取值范围; (2) 若对任意的x1∈[-3, 3], x2∈[-3, 3], 都有f (x1) ≤g (x2) 成立, 求实数c的取值范围.
解析 (1) x∈[-3, 3]都有f (x) ≤g (x) 成立, 即g (x) -f (x) ≥0成立, 令h (x) =g (x) -f (x) 问题等价于h (x) min≥0.
(2) 问题等价于x∈[-3, 3]时, fmax (x) ≤gmin (x) .
学生经常搞错, 我把问题 (1) (2) 放在一起让学生比较辨析, 就会明白题 (1) 中的自变量为[-3, 3]上的同一个值, 题 (2) 中的x1, x2为两个独立的变量, 它们互不影响, 可取不同的值.所以, 在解题教学中, 把一些易混的类型设计成问题串进行反思, 这对提高学生解题能力大有裨益.
总之, 教师要与时俱进, 不断提高自身人文素养, 在实践中反思, 在反思中实践, 从而更好地实践新课程理念.
参考文献
解题活动 篇11
关键词：解题能力；习惯；培养；提高
美国著名数学家G·波利亚说过：“问题是数学的心脏，掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”可见，解题是数学的核心，也是教学活动的基本形式和主要内容。要善于解题，就要具有较强的解题能力。数学中的解题能力就是综合运用数学基础知识、基本思想方法和技能以及逻辑思维规律，整体发挥数学基本能力进行分析和解决数学问题的能力。显然，解题能力是一种综合性的能力，解题能力标志着一个人的数学水平。但数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫，要想使学生身临题海而得心应手，身居考室而又处之泰然，就必须培养他们的解题应变能力。有了较强的应变能力，在漫游“题海”时，才能随机应变。作为数学教师，能否培养并提高学生的解题能力，不仅直接关系到学生学习数学成功与否，而且也是衡量教师数学教学业务水平高低的重要标尺之一，尤其是以解决问题为重心的数学知识运用教学。
因此，培养学生的解题能力，是搞好初中数学教学，实现课程目标必不可少的重要环节。G·波利亚在《怎么解题》（How to Solve It）一书中，通过“怎么解题表”，说明了解题的四个阶段，即“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”，并以问题的方式呈现了各个阶段所包含的成分。这四个阶段的内容包括：（1）弄清问题，解题要了解未知数是什么、已知数是什么、已知条件是什么、利用各种不同的表征方式等等；（2）拟定计划，利用重新叙述题目的方式、回到定义或者参考之前类似题目的解法等方法制订计划；（3）实现计划，不仅要实现求解计划，而且要检验每一个步骤；（4）回顾，检验论证并找出别的方法。波利亚所提出的这些问题实际上涉及了问题解决的一般策略。
一、初中数学步骤不规范的原因及现象
1.对规范解题的作用认识不足，往往认为最终的答案才是最主要的
从学生的作业以及平时交谈中发现，许多学生认为数学作业只要最后的结果正确就行了，至于计算过程、思路只要在脑袋里就行了。导致很多题目会而不全，作业中只有结果，没有过程，让人怀疑答案的来源。考试检测中往往没得分或只得很少分。
2.粗心大意，解题时思维不严密，出现“跳步”“缺步”解答
通过平时作业的批阅，很多学生解题虽然有解题过程，但逻辑性不强，特别是几何证明题中“跳步”“缺步”条件不足等现象尤为严重。
3.没有良好的习惯
字迹潦草，步骤凌乱，书写不认真。农村初中大多数家长工作繁忙，文化水平不高，對子女的教育只看结果，对子女的学习习惯很少关心，更不用说去培养学生良好的学习习惯了。
二、数学解题步骤的优化及其策略
本人通过十几年的教学实践和思考，结合自己的解题经验，从数学解题四个步骤的角度出发，就如何通过培养学生的各种习惯和能力，提高学生的数学解题能力进行初步的探索。
1.弄清问题，即审题和理解题意
所谓审题，就是在对问题进行感知的基础上，对数学题目提供的情节内容和数量关系的分析和理解，对条件和问题进行全面的认知，通过对问题的数学特征进行分析，从而对所要解决的问题在头脑中有一个清晰反映的思维活动。数学审题是正确、迅速解题的基础和前提，是进行正确做题不可缺少的环节，解题的成功很大程度上取决于审题的成功与否。准确、敏锐、深入的审题是正确分析问题，把握问题本质，探寻解题思路，提高数学解题能力的关键。但审题又是学生在解题过程中容易被忽视的环节，因此，在教学中我们数学老师应该对审题要足够地重视，经常强化学生的审题意识，培养学生的审题能力。
（1）培养学生认真、仔细审题的习惯
解题前教师应尽量给学生足够的审题时间和思考空间。让学生认真细致阅读题目，在读题审题中多角度无遗漏地收集题目有效信息。简单的题目看一遍，一般的题目看两遍，难题和新颖的题目多看几遍，边看边分辨已知和待解。然后我们可以分析问题目的，关键字词，已知条件和题目所求，题目的条件间的相互联系和相互作用，有意识地培养学生从材料中发现信息、识别信息、获取信息、整合信息的能力。对于审题急于求成，马虎草率的学生，要批评指正，指出危害。
案例1：
“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：
①在不超过现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍。请问商场有哪几种进货方案？
②在2012年消费促进月，商家针对这三种节能型产品推出1000元送50元家电消费券一张、多买多送。在①的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？
学生经常审题不仔细，对于第①小题，要看清楚问题是求什么，是几种方式，还是哪几种方式；对于第②小题，许多学生就受以前做类似问题的定式思维影响，求利润的最值问题，而此题却是需求售价的最值问题。
（2）引导学生对关键词语的理解
在数学解题中对关键性词语的深刻分析是非常有必要的，然而学生往往错误地认为只有语文的学习才讲究词语分析。而解题时却往往由于对关键性词语的理解不确切，造成对题目的要求范围和界限不明确，结果把解题解错或解不出来。因此审题时在阅读题目的基础上，要边读边想，对一些关键的词语应特别注意，并认真思考、斟酌，以求获得解题信息，找到解题的途径和方法。
案例2：
（2013·莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干。已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同。
①两种跳绳的单价各是多少元？
②若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？
此题只需抓住关键词句，如：两倍多4元、费用相同、不超过2000元、不超过长跳绳的6倍等。①设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元，根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元；购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解出即可；（2）设学校购买a条长跳绳，购买资金不超过2000元，短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，可得出不等式组，解出即可。
（3）培養学生挖掘隐含条件的能力
试题中的隐含条件是指试题中含而不露的条件，具有一定的隐蔽性，它对解题的影响很大，既起干扰作用，又起暗示作用。疏忽和轻视隐含条件，就会导致解题困难或者思维不严谨。把隐含条件挖掘出来，常常是解题的关键所在。要想快速、准确地挖掘隐含条件，就应该对试题中的每句话、每个条件进行仔细分析、推敲，并与已学过的数学概念、公式、定理、性质等有机地联系起来。
案例3：
（2011·凉山州）已知y=■+■-3，则求2xy的值。
部分学生不知道如何动笔，是由于忽略了被开方数不能为负数这一隐含条件。教学中应引导学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，挖掘出这个隐含条件，即2x-5≥05-2x≥0，求出x、y即可解决问题。
2.拟定计划，即寻找并确定解题思路和方法
拟定计划是在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，根据题意，联系所学知识，从而为正确解题寻得路径、形成思路和方法的过程。而数学基本概念、基础知识和基本技能都是解题思路的源泉，离开它们，解题就成了无本之术，无源之水。因此，审题之后首先要回顾题目中涉及哪些主要概念。这些概念是如何定义的，在题目的条件和结论里，与哪些定理、公式、性质有关，可否直接使用。题目所涉及的基本技能、方法是什么等。经过这样一番深入思考之后，解题途径将会逐步明朗，解题计划就随之形成。
（1）培养学生联系、整合知识和信息的能力
重视对题中的文字材料和图表信息的分析与理解，它们是解题的直接依据。将获得的数学信息与已学过基本知识和技能建立准确而有效的联系，并且联系已做过的“熟题”的解题方法和过程，带着问题和信息去探求解题思路和答案要点。同时注意对“熟题”要保持高度的警觉性，要密切关注其中情景和设问的变化，将每一道题都当作新题来解答。
案例4：
甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半小时后返回A地。如图是他们离A地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系图象。
■
①求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？
在函数问题里面，对分析理解图表、文字材料有着更高的要求，同时它也是解决问题的最重要依据和解题方法的最佳途径。此题应引导学生结合文字材料，仔细观察和分析图象，抓住图象的特点，找到图象中的一些关键点及其坐标，并思考它们在题中所表示的实际意义。
（2）培养学生类比迁移的能力
所谓类比，就是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出其他方面可能相似或相同的结论；所谓迁移，就是已经获得的知识技能、方法态度与新知识、新技能之间发生的相互影响。信息给予题是初中数学题中的一种常见题型，它要求考生能够灵活且有创意地思考问题。因此，教师可通过从旧知到新知的迁移、从感性到理性的迁移、从理论到实践的迁移这三方面来培养学生类比迁移的能力，让学生掌握解决数学问题的方法。
案例5：
已知点A（1，5），B（3，-1），点M在X轴上，当AM-BM最大时，求点M的坐标。
对于求两条线段的和最小的问题，学生见得很多，而此题就需要从常见的问题中，通过类比、迁移，由已知的解题方法——做对称，来联想本题也找对称点从而解决问题。
（3）培养学生数学思维的灵活性
思维的灵活性是指转向的及时性以及不过多地受思维定式的影响，善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来，能根据情况的变化，发现新的事实，及时修正原来的观念和想法，转化或调整原有的思路和方法，寻找新的解决问题的途径，即能随机应变。那么，在解题时，我们要善于让学生做到化繁为简、化隐为显、化难为易、化未知为已知、化一般为特性、化抽象为具体。当学生的常规思维受阻时，可变换思维的角度来寻求新的解题途径，使他们思维的灵活性得到培养和发展。
案例6：
若方程x2+4mx-4m+3=0，x2+2mx-2m=0，x2+（m-1）x+m2=0中至少有一个方程有实数根，求实数m的范围。
注意这里的关键词语“至少”，它包含三层意思：三个方程都有实根；其中两个方程有实根；其中一个方程有实根。逐次讨论m的范围是十分复杂的，于是引导学生考虑“至少”的反面是什么？学生很容易答出“三个方程均无实根”，因而三个判别式都小于零，得到不等式组，并解得-■3.实现计划，即具体答题书写
审题、寻找解题思路是解题的两个重要环节，而这两个环节都是为实现答题服务的。在学生弄清题意和寻找到解题思路之后，就会着手于实现解答的书写。学生在书写答题的过程中往往会遇到这样或那样的问题，如数学语言表述不清、不规范，解题过程不合理、不严密，推理过程跳步、论据不足，结论不完整或答非所问，字迹书写潦草、凌乱等。以至于很多学生出现会而不对、对而不全甚至误判的情况，导致题目的实际得分与学生的自我感觉或估计分数有较大的差距。
（1）培养学生数学语言的表达能力
数学语言是指对数学概念、术语、符号、公式、定理、图形、运算定律、法则及解题思路、推导过程等的表述。数学语言可分为文字语言、符号语言、图形语言三类，具有准确、抽象、简练和符号化等特点。每个数学题目都是由一些特定数学语言所组成的，数学解题活动的过程，实际上就是数学语言的转化过程。很多学生解题时尽管解题思路正确甚至很巧妙，但不善于把它转化为数学语言或者数学语言表达不准确、不规范，以至于心中有数却说不清道不明，因此得分少。只有重视解题过程的语言表述，将解题过程转化为数学语言，准确、规范、完整地表述出来，“会做”的题才能“得分”。
比如，等腰三角形中“在同一个三角形中，等边对等角”“等腰三角形的三线合一”，不少学生会写“等边对等角”“三线合一”等等。
（2）培养学生解答过程的合理性和严谨性
解答过程的书写要正确、合理、严密、清楚。把运算、推导、作图与所得的结果书写出来，是解题的一个基本要求。解题的步骤都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，合乎逻辑性。任何数学题的解答都有一定的严格要求，解题要依照要求的步骤进行，格式符合规定。无论哪种格式，书写都应层次分明，条理清楚。怎样把数学题的解答严谨地书写出来是件不容易的事，这有着较高的能力要求。尤其是教师在教学过程中要作出示范，使学生有榜样可学，这样才能逐步培养学生严谨的表达能力。
案例7：
如图，已知边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，求⊙O的半径r。
■
很多学生在作完辅助线后，根本就没有去说明AD经过圆心O或AD垂直于BC，甚至没有去说明∠OBD=30°就直接开始计算。其实本题的数量关系和计算比较简单，重点就是要运用圆的知识去说明△OBD是一个含30°角的直角三角形，这才是回答此题的主要过程。
（3）培养学生良好的书写习惯
答题时卷面要整洁，书写要工整，切不可潦草，做到字体匀称，字迹清楚，疏密适度，行款得体。写字小或者字间距、行间距太小，字结构比较紧密的容易造成老师阅读困难。写字潦草、写字小、写字密的学生一定要将字写得大点，字间距大点。如果书写做不到美观的话，一定要做到清晰，字迹做不到养眼的话，一定要做到顺眼。书写时还要注意分段、分行、分点，若要点较多，要标注序号，做到排布整齐，段落清晰，突出重要观点，使评卷老师在最短时间内把握学生答题的有效信息，这将是使学生的试卷增值的重要因素。
4.回顾，即解题之后进行反思
解题反思就是对解题活动的反思，它是对解题活动深层次的再思考，不仅仅是数学解题学习的一般性回顾和重复，更是深究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究性质。解题反思的目的是认识问题的深层次结构，通过解有限的题去学会和领悟那种解无限道题的数学机智，最终提高学生的数学解题能力。但学生经常会忽略解题反思，而它恰恰是解题过程中非常重要的环节。正确地对待解题反思可以使学生避免在解题过程中犯不该犯的错误，也可以深化学生对基本知识的理解以及深化学生对数学思想方法的掌握，还可以提高学生的数学思维能力。事实上，通过回顾和反思，对把握数学问题的本质，揭示解题规律，培养良好的思维品质，提高分析探索和创造能力有很大的帮助，它是使学习者的认识由低级向高级发展的一条重要途径，也是提高解题能力的一条重要途径。
（1）培养学生检查与验证的习惯
在解完一道题之后，还不能万事大吉，我们还应该引导学生养成良好的反思习惯，及时对解答过程和结果进行检查和验证。由于学生的年龄特征及数学认知结构水平的限制，以及对数学基本概念、基本技能掌握得不熟练，在答题过程中往往会出现很多问题。因此，我们要抓住学生在解题过程中的不准确，对概念理解的不深刻，考虑问题的不全面，甚至是计算能力欠缺而导致的错误结果，有意识地启发、引导学生对解题过程和结果进行检查和验证。检查解题过程是否合理和完整，验证结果是否正确或遗漏。
案例8：
先化简，再求值：■÷■+1，在0，1，2三个数中选一个你喜欢的数代入求值。
本题对于一般学生来说，这是一个简单题，但是他们往往还是会失分，原因是忽略了本题中分母和除数不能为0的隐含条件。教学中教师应引导学生进行检验，把x的值带入原式再算一遍，这样学生就很容易发现问题。因而在解完一题后，检查和验证这一环节是非常必要和重要的。
（2）培养学生归纳与总结的习惯
同一类型的问题，解题方法和思路往往有其规律性，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，透过事物表面现象，洞察本质，认真探索和总结解题规律，引导学生从特性到一般，从而推广出这一类问题的解决办法，力图从解决问题中找出新的、普遍适用的东西，以现在的解决问题的经验帮助今后的问题解决，这样有利于培养学生深入钻研的良好习惯，提高数学解题能力。
（3）培养学生引申与拓展的能力
引申与拓展，主要是指对精挑精选的题目进行变通推广、重新认识，注重一题多问、一题多解、一题多变。恰当合理的引申和拓展能营造一种生动活泼、宽松自如的氛围，能开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于提高学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、触类旁通。在引申与拓展的过程中，一定要自然流畅，切忌牵强附会，要引导学生通过对引申和拓展的題目加深对所学知识的理解和掌握。同时，教师要注意到并不是每一个数学题都要引申和拓展，要限制在学生已有的认知基础上，有梯度、循序渐进地进行，而且引申和拓展的题目的数量必须要有度。
总之，数学的解题能力是学生运用所学的数学知识技能去分析解答各种数学问题的综合能力，体现一个学生数学思维的性质和数学水平的高低。初中数学解题存在很强的灵活性，在平时教学中，不能通过多做题来提高学生的解题能力。而应培养学生平时认真审题和独立思考的习惯，培养学生规范答题和反思回顾的习惯，把这些习惯培养成为学生的自觉行为，从而有效地提高解题能力。要知道，让学生掌握一定的解题能力不仅是我们开展数学教学的最终目的，也是学生综合素质的集中反映。因此，作为数学教师，我们一定要重视解题能力的培养，重视教学策略的运用。从每一堂课、每一个细节抓起，培养学生良好的解题习惯，激发学生学习数学的兴趣，逐步提高数学解题能力。
参考文献：
[1]波利亚.怎样解题[M].上海科技教育出版社，2002.
[2]魏荣芳.怎样提高学生的数学解题能力[J].基础教育论坛， 2007（7）.
[3]范久新.如何提高学生的解题能力[J].新课程研究，2008（8）.
[4]王玉花.数学解题反思能力培养的研究[D].内蒙古师范大学，2009-03.
数学解题思维特征及解题策略构建 篇12
数学解题过程中需要学生进行精准的判断, 快速解答, 因此不能形成僵化的解题思维, 必须具备灵活变通的特点, 善于利用所学的知识来构建解题策略, 充分运用灵活解题思维和技巧解决复杂数学问题。
一、数学解题思维特征
首先, 数学解题需要具有透过现象看本质的思维特征。眼睛能够让我们观察事物, 思维能够让我们认识事物, 通过对数学题目的细致观察, 有目的、有计划地透过题目表面观察题目的本质[1]。这也是能够快速和正确解决数学问题的基础。任何一道数学题, 都包含了各种条件之间的复杂联系, 通过细致的观察和思考, 清晰掌握各个条件之间的关系, 才能够找到合适的解题方法, 这也是数学解题思维的要点。
例如:已知a, b, c, d都是实数, 求证姨a2+b2+c2+d2≥ (a-c) 2+ (b-d) 2。一般的解题思路需要从题目的形式进行观察, 得出要证明的结论右端部分与平面上两点间的距离公式十分相似, 则可以将左端部分看做点到原点的距离公式。那么根据题目的本质可以构建如下的解题策略。
设A (a, b) , B (c, d) , 与原点 (0, 0) 构成三角形 (如图1所示) 。得到AB= (a-c) 2+ (b-d) 2, OA=a2+b2, OB=c2+d2, 那么根据三角形三条边的关系 (三角形两边之和大于第三边) 可以得到需要求证的题目。
其次, 数学解题需要具有善于联想的思维特征。联想是将问题转化为实际所学知识的桥梁。学生所学的知识范围较广, 深度较大, 表面上数学题目与学生所学知识关联性不大, 但是细心挖掘可以通过间接的、隐藏的关联找出最快速的解决方法[2]。
例如:如果 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0成立, 证明2y=x+z。一般的解题思路是通过因式分解来进行推论, 但是这种思维方式解题较慢。如果注意观察, 能够发现已知条件的左侧与学生熟知的一元二次方程的判别式形式一致, 通过联想, 借助一元二次方程的相关知识来解决问题就变得简单多了。
(z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0 (x-y≠0) 可以被看做是一个关于t的一元二次方程 (z-x) t2- (z-x) t+ (y-z) =0的两根相等, 进一步观察后可以得到这个方程的两个相等实根是1, 根据韦达定理可以得到:, 也就可以得到2y=x+z。反之, 在x=0的情况下直接得出2y=x+z。可以简单快速得出题目结论。
最后, 数学解题需要具有善于转化问题的思维特征。国内外数学研究相关文献报道都指出, 数学解题就是命题的连续变换过程, 解题是通过转化问题而得出结论的[3]。通俗地说就是将复杂的问题转化为若干简单的问题, 将抽象的问题转化为具体的问题, 将未知的问题转化为已知的知识的过程[4]。
例如:已知, 求证a、b、c中至少有一个为1。一般地, 学生遇到这种结论并未直接用数学式子表示的数学题比较头疼。因此需要采用将复杂题目转化为容易解决的明显题目的转化问题思维。
由题目可知a、b、c中至少有一个为1, 则 (a-1) 、 (b-1) 、 (c-1) 中至少有一个为0, 也就是 (a-1) × (b-1) × (c-1) =0。由题目可以得到abc- (ab+ac+bc-1) + (a+b+c) =0, 那么 (a-1) (b-1) (c-1) =abc- (ab+ac+bc-1) + (a+b+c) =0, 则可以得出a、b、c中至少有一个为1。
许多学生只能够想到在已知条件上进行各种各样的变化, 却忽视了将文字形式的结论转化为数字形式的数学式子。学会这种灵活转化的数学思维, 就能够轻松构建解题策略。
总之, 数学解题思维具有变通性, 学生不能够形成思维定势, 限制解题的灵活性。记类型、套公式、记方法都是不可取的, 它是学生发散思维, 提高多元化解题能力的主要障碍[5]。
二、数学解题思维过程分析
数学解题的思维过程一般包括理解问题、探索思路、转化问题和解决问题几个环节, 通常可以按照这几个环节分阶段进行解题策略构建。
首先是审题, 审题过程中需要细致观察题目的条件和要求, 深入挖掘条件中的关联元素, 从所学知识中找出符合的内容, 在思维中构建解题条件和知识间的关系[6]。也就是这一环节的解题思维重心在问题的理解上。其次是探索解题方法。通过有目的的尝试不同知识的组合, 尽可能将未知的复杂题目转化为已经学过的简单内容, 选择最佳的解题方案, 构建解题策略[7]。这一环节的思维重心则是问题的转换, 通过探索和尝试确定解题策略, 调整解题计划。第三是解题策略的实施过程, 也就是将已经成熟的解题策略完整的展现, 书写解答过程。这一环节是解题思维中最重要的, 包含了学生对基础知识和基本技能通过思维的灵活运用和具体表达。最后是检查与反思。数学题目解答完毕后需要对最终结果进行检查和分析, 及时发现思维漏洞进行补充。当然, 这个环节往往得不到学生的重视, 通过问题的反思不仅能够培养学生较为成熟的数学解题思维, 还可以及时发现知识的漏洞, 在思维中进行系统化整理[8]。
三、数学解题策略构建技巧
数学解题策略的核心就是变换, 将复杂的问题变化为几个简单的知识点, 通过将几个知识点关联起来找到解题的正确思路。这就需要学生熟练掌握数学解题思维, 熟悉解题策略构建。通常数学解题策略构建的技巧包括熟悉题型、知识和辅助元素的使用, 问题的繁简转化, 问题的直观化转化, 问题的一般与特殊转化, 从局部到整体, 由直接变间接等几种[9]。
1. 熟悉题型、知识和辅助元素主要是指熟练掌握基础知识、解题模式, 积累解题经验, 遇到陌生题目时可以联系以往做过的相似题型进行解题策略的借鉴。不能借鉴的可以从结构上进行分析, 以自身对题目结构的认识和理解为基础, 转化为熟悉的知识内容进行解题。当然必要的辅助元素, 如点、线、面的辅助作图, 构建数学模型等, 都是必不可少的[10]。通过全方位分析题意, 充分利用所学知识构建解题策略。
2. 问题的繁简转化主要是将结构和内容较为复杂, 让人感觉无从下手的题目转化为一道或几道较为简单的题目, 通过启发思路, 由简入繁, 推出复杂问题的解题策略[11]。由简入繁其实也是熟悉题型、知识和辅助元素的补充和发挥。
3. 问题的直观化转化通俗地说就是将抽象的、难以入手的问题转化为具体、直观的, 便于学生理解和解答的问题, 以便找到解题思路。问题的直观化转化方法较多, 可以构建图形, 直观显示题目中的各个条件, 以便分析各条件之间的关联性;也可以构建图表, 将数据的增减具象化;也可以采用绘制图象进行函数变化直观体现。这都可以帮助学生巧妙构建解题策略, 延伸做题思路[12]。
4. 问题的一般与特殊转化是双向的。当学生遇到难以入手的一般性题目时, 可以采用引入特殊数值或者特殊条件得出题目某一特殊情况下的结论, 以此为突破口, 找寻解题的规律, 最终发现原题目的解题思路。另一方面, 遇到内容较为复杂, 各项条件关联并不明显的特殊题目时, 可以由特殊数值或特殊条件延伸到一般规律, 引申到学生熟知和掌握的一般知识, 揭示出事物的所属本质, 帮助学生迅速作出判断, 构建正确解题策略[13]。
5. 从局部到整体主要是指在解题过程中某一局部处理过程受到阻碍时可以切换视角, 从整体入手, 全面分析问题, 从整体的特性中找到解决局部问题的突破口。
6. 由直接变间接则是当学生遇到正面难以解决的问题时, 采取迂回的策略, 采取间接的方式来得出需要的结论。这就需要学生灵活转变思维方向, 不要陷入思维定式, 这样反而更容易得出正确的解题方法。
结束语
总之, 数学解题思维是构建有效解题策略的重要基础, 研究数学解题思维的特征与构建解题策略的方法, 对开展教学活动具有重要指导意义, 也能够提高老师对数学解题思维及构建解题策略技巧的掌握性。
摘要：数学解题策略是以灵活的解题思维为基础的, 掌握数学解题思维的特征与构建解题策略的有效方法, 能够提高学生的解题速度和质量。结合多年教学经验, 对教学解题思维的特征和解题思维全过程进行分析, 探讨数学解题策略构建的技巧, 对开展数学解题思维教学具有重要的指导意义。