概率解题技巧

2024-05-27

概率解题技巧（共7篇）

概率解题技巧篇1

1 条件概率

概念:如果我们在事件B已经发生的条件下考虑事件A的概率,则这种概率叫做事件A在事件B已经发生的条件下的条件概率,记作P(A/B)。

关于条件概率,有下面的定理:

定理1:设事件B的概率P(B)>0,则在事件B已经发生的条件下事件A的条件概率等于事件AB的概率除以事件B的概率所得的商:

定理2:二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积:

2 条件概率的解题思路

解答条件概率问题,首先要判明问题的性质,确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一件发生的前提下出现的,那么这一事件的概率,必须按条件概率来处理。

(1)求解简单条件概率问题,有两条基本思路:

a.从条件概率的定义入手,如果P(A)>0,则先在原样本空间计算P(AB)和P(A),再按公式

推求P(B/A)

b.考虑到事件A的发生,对事件A的发生,对事件B原样本空间所产生的影响,确定B的缩减样本空间,并在其中推求B发生的概率,从而得到P(B/A)

(2)求解简单条件概率问题,有两个基本方法:a.公式法:

利用条件概率公式进行计算。即如果P(A)>0

b.缩减样本空间法:

在A发生的前提下,确定B的缩减样本空间,并在其中计算B发生的概率,从而得到P(B/A)

3 利用条件概率解题

3.1 产品检验问题:

例1:设有某产品一盒共10只,已知其中有3只次品,从中取二次,每次任取一只,作不放回抽样,求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。

分析:本题是一个不放回的抽样问题,第一次抽样的结果,直接影响到第二次抽样。因此,这是个条件概率问题。

解法:设事件A为“第一次抽得次品”,事件B为“第二次抽得次品”,则AB为“第一次和第二次都抽得次品”。显然,有

依条件概率定义,即得

3.2 整数的倍数问题

例2:从1-100共100个正整数中,任取一数,已知取出的一数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率。

设事件H为“取出的数不大于50”,事件A为“取出的数是2的两倍数”,事件B为“取出的数是3的倍数”

3.3 筛子问题

例3:一次掷十颗筛子,已知至少出现一个一点,问至少出现两个一点的概率是多少?

分析:题中的特定假设是“至少出现一个一点”,在这一假设下事件“至少出现两个一点”包含了同一条件下恰好出现“两个一点”,“三个一点”,一直到“十个一点”等九种情形,情况比较复杂。为此,我们可转而考虑其逆事件的概率。注意到随机试验是等可能的,则在计算有关事件的概率时,可按古典概率方法进行。

解:设事件A为“至少出现一个一点”,事件B为“至少出现两个一点”,则所求的概率为

注意到B为“至少出现一个一点”,则事件BA就是“恰好出现一个一点”,于是

把上面的结果代入(1)式,即得

注:求接条件概率的问题,必须从题设情形出发,灵活运用条件概率的有关性质或公式。本题如果不用互逆事件的性质求解,解题将更为复杂。

3.4 摸球问题

例4:袋中有N个球,其中M个白球,N-M个黑球,从中一次次摸球,每次摸一个,摸后不放回,求第1次摸到白球的前提下,第2次摸到黑球的概率。

解:方法一设A={第1次摸到白球};

B={第2次摸到黑球}。

先求P(A),袋中有N个球,每个球等可能地被取中,考虑两次取球的随机试验;从袋中不放回地摸取两次,每一次一个,共有AN2种摸法,即样本点总数为AN2个。第1次摸到白球的摸法有CM1种,第2次可能摸到白球或黑球,于是,只能从N-1个球中摸一球,有C1N-1种摸法,因此A包含的样本点数为CM1C1N-1个。故由古典概型的概率计算公式可得

下面计算P(AB)。考虑上述同一个随机试验的样本空间,样本点总书仍为AN2个,其中事件AB表示“第1次摸到白球且第2次摸到黑球”,因此,AB包含的样本点数为CM1C1N-1个。

于是由古典概率计算公式可得

故ÁÁ由条件概论可得ÄÃÁÁÅÁÁÂÂ

方法二:对方法一中的样本空间进行缩减。在“第1次摸到白球”的条件下,样本空间ΩA所包含的样本点数为CM1C1N-1(或AN2-C1N-MC1N-1)个,其中“第2次摸到黑球”的样本点数为CM1C1N-M(AN2-C1N-MC1N-1-AM2)个。故由古典概率计算公式可得

方法三:考虑第1次摸球的随机试验所构成的样本空间Ω',共有N个样本点。第1次摸取一个白球后,袋中还剩N-1个球,其中M-1个白球,N-M个黑球。于是,在第1次摸取一个白球的大前提条件下,缩减的样本空间包含N-1个样本点。而黑球只能从N-M个黑球中摸得,有N-M种摸法。故由古典概率计算公式可得

注:(1)方法一中事件A的概率P(A)的计算也可以对第1次摸球的随机试验考虑。此时,样本空间Ω'包含N个样本点,A包含的样本点数为M故

(2)方法二的样本空间是将方法一的样本空间进行了缩减,样本点个数可以直接计算,也可以用剔除法计算。

(3)方法三可以这样理解,“在第1次摸到白球的前提下第2次摸到黑球”是在原试验条件下再加上新条件“摸去第1个球(白球)”所产生的新空间:“从M-1个白球,N-M个黑球,共N-1个球中摸一个”的样本空间来讨论问题,即从这样的新空间中求出事件“摸一球是黑球”的概率。

4 总结:

条件概率解题技巧与方法首先要判明问题的性质,确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一件发生的前提下出现的,那么这一事件的概率,必须按条件概率来处理。从不同的解题思路入手,条件概率的问题,必须从题设情形出发,灵活运用条件概率的有关性质或公式,解答条件概率问题。首先要判明问题的性质,确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一件发生的前提下出现的,那么这一事件的概率概率来处理。

摘要：条件概率公式是用来求:在事件B发生的条件下(或者知道事件B已经发生),再发生事件A的概率。对于简单的条件概率问题,可以直接用条件概率的定义来解答,也可另找新的样本空间进行计算。对条件问题有一定的解题技巧和方法。

关键词：条件概率,样本空间

参考文献

[1]沈恒范.《概率论与数理统计教程》.高等教育出版社,2003

[2]薛流根.《概率论解题方法与技巧》.国防工业出版社,1996

[3]赵振威、范叙保.《怎么解概率题》.北京师范大学出版社,1986.

概率解题技巧篇2

第二步：利用频率估计概率;

第三步：求对应区间的人数;

第四步：求样本空间所包含的所有基本事件;

第五步：求所求事件所包含的基本事件;

第六步：代入公式求解.

高考概率统计题型满分心得

(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对得分步骤一定要写全，如第(3)问中，只要求出[40，50)、[50，60)内的人数就各得1分;只要列出所有可能的结果就得4分.

(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(3)问中所有基本事件必须列出，所求事件所包含的基本事件必须列出，不能直接求结果.

(3)计算准确是保证：如第(1)问中0.022对应的小矩形有2个，若忽视了此点，结果肯定错误.

高考数学答题技巧以及时间分配

合理分配数学答题时间

大家都知道，高考数学考试分为选择题、填空题、解答题三大部分，由于三部分所占的分数份额不同，难度不同，考生可以就自己平时的速度，将这三者的答题时间合理分配。这三个部分，相对来说，高考数学选择题是可以通过排除法、答案代入法、任意数字代入法等方式得到答案，需要的时间也相对较少，填空题的计算过程通常不会太复杂，每个空格所占的分数也不会很高，因此，高考中要适当地将时间留给更好做数学解答题。

做题选择由简到难的方式

高考考生们，想要在高考中取得高分，切记遇到难题不愿意、不甘心放弃，要懂得适当地迂回战术，遇到难题先将其略过，等到其他题目都完成以后，利用剩下的时间再慢慢研究，避免得不偿失的状况出现，还可以节省时间，分配出高考数学难题答题时间。并且，数学解答题每写出一个步骤，所得到的分数，都远远可能高于一道数学选择题或者填空题的分数，因此，做题也要分清轻重。

养成检查的好习惯

概率解题技巧篇3

[关键词]高中生物遗传概率计算；解题技巧；解题步骤；惯用题型

·【中图分类号】G633.91

一、高中生物遗传概率计算的解题技巧

生物遗传概率的计算题目具有灵活多变的特点，不仅需要学生扎实的生物基础知识，还需要学生拥有灵活的运算本领。高中生物遗传概率计算的解题技巧为：（1）踏实打好知识根基，不要和文科生一样死记硬背，要以理解为主。搞清楚孟德尔遗传规律是用什么方法得出的结论，孟德尔是如何一步步推算出来的。而不是单纯的死记硬背各种自由组合定律、基因分离定律的公式等等；（2）在解题时，要弄清楚基因与性状的关系，基因控制着性状的表现，在生物遗传学上基因型和环境因素共同作用才能决定表现型，弄清楚基因与性状在题目中是有着怎样的关系，另外，要把題型中自由组合的问题转化为若干个简单分离定律的问题。这样做的目的不仅可以培养学生解题思维也可以培养学生在以后的工作中处理事情时有条理性，在草稿上进行演算时，要将题干中已知的基因和基因型整洁的写出来，再根据已知的表现型推测未知的基因型跟表现型；（3）具体情况，具体分析。当面对数据大的遗传概率计算题型时，不要有所畏惧往往这种题型都有简单灵活的计算方法，要冷静思考；当面对给出的已知条件稀少，无从下手的题型时，要反复读取题目，发现给出的已知条件。

二、高中生物遗传概率计算的解题步骤

在高中生物遗传概率计算中，一般使用乘法定律和以下两个步骤。第一，要清楚的了解基因分离定律推演的每一个步骤，并了解每一个步骤的含义，在经过基因的杂交重新组合之后，其子二代的基因型为什么，表现型是怎样的，比例数为多少。第二，一般在生物基因遗传中，每一对生物遗传都保持着独立性的特点，假如遇到有很多对基因存在的题型时，可以观察每一对基因，运用乘法原理计算遗传概率。

例题：在豌豆品种中有开红花和白花两种品种，红花豌豆基因范例为aabbcc，白花豌豆基因范例为AABBCC，让这两种表现型的豌豆进行杂交，在其子二代中出现显性纯合子的几率为多大？

解题步骤：根据题目我们可以获得亲本豌豆的基因类型等信息，要计算出子二代中显性纯合子的概率为多少。首先，只有知道子一代的基因类型，然后子一代通过自交才能得出子二代的基因类型。由孟德尔定律，我们可以推出子一代的基因类型为AaCcDd，那么子二代生物基因的类型为AaCcDd×AaCcDd，运用上文提到的乘法原理，Aa×Aa自交得出的基因类型分别为以下4种AA、Aa、Aa、aa，由此可以得出出现AA基因类型的概率为1/4，可以推出DD、CC基因类型的概率也分别是1/4，再次运用乘法原理可以得出结论，在其子二代中出现显性纯合子的概率为1/64。

三、高中生物遗传病概率计算的惯用类型

1、在生物遗传学中最典型的常染色体隐性遗传病就是镰刀型细胞贫血症。例题：假设一对不患病的夫妻，但是这对夫妻都有一位患病的家属，那就是父亲都患病，那么求这对夫妻生下孩子患贫血症的几率为多大？从课堂上我们可以知道，镰刀型细胞贫血症是常染色体隐性遗传病，假设A控制着正常的基因，a控制着患病的贫血症基因，由于这对夫妻都有一位患病的家属，我们可以推测出这对夫妻的基因类型分别为Aa、Aa，这对夫妻生出孩子的基因类型为AA、Aa、Aa、aa这四种，由此我们可以得出结论，生出的孩子当中患有贫血病的概率为1/4。

2、在生物遗传学中最典型的常染色体显性遗传病就是并指和多指。常染色体显性遗传病的表现非常明显，如果父母没有患病则孩子也不会患病，如果父母中有一个存在患病基因，则孩子可能会患病。

3、红绿色盲是常见的伴X染色体上的隐性遗传病。例如：一对身体健康的夫妻，其所生的儿子却患有红绿色盲，造成这种现象的原因为母亲带有X染色体隐性遗传基因，当带有红绿色盲基因的染色体与正常精子结合时，因为精子不带有此基因，所以生出来的儿子就会患有红绿色盲。

4、除了以上罗列的几种常见遗传病之外，还有伴X染色体显性遗传病、伴Y染色体遗传病、多基因遗传病、染色体异常遗传病等几种遗传病，作为高中生应该了解清楚这几种病的遗传规律。

四、结语

随着科学技术的发展，生物遗传学被运用在了各种领域，最与我们生活息息相关的就是医学领域，并且生物遗传学在医学和育种领域的运用已经取得了不小的成就和突破，社会各界对生物研究的关注热度也在不断的上升，相信在不远的将来生物在高考中的比重将会进一步提高，所以学好生物遗传学这个重中难点是非常有必要的。

[参考文献]

[1] 焦小君. 生物群种的基因频率[J].中国学位论文全文数据库，2002-10-05.

构造概率模型解题例说篇4

概率已经作为重要内容进入高中数学教材, 它为我们解题又提供了一种有力的工具, 不少非概率的数学问题, 通过构造概率模型来解, 往往可使解题过程变得简洁、明快, 下面举例说明.

例1 设x, y, z∈[0, 1], 求证:x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) ≤1.

证明:设A、B、C是相互独立的三个事件, 且P (A) =x, P (B) =y, P (C) =z, 则有

P (A+B+C) =P (A) +P (B) +P (C) -P (A·B) -P (B·C) -P (C·A) +P (A·B·C)

=x+y+z-xy-yz-zx+xyz≥x+y+z-xy-yz-zx

=x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) ,

而P (A+B+C) ≤1,

故有x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) ≤1.

例2 已知 $α \in [0, \frac{π}{2}]$ , 求证:

$2 \sqrt{2} \cos (α - \frac{π}{4}) \leq 2 + \sin 2 α .$

证明:原不等式可变为

sinα+cosα-sinαcosα≤1.

设A、B是相互独立的两个事件, 且P (A) =sinα, P (B) =cosα, 则

P (A+B) =P (A) +P (B) -P (A·B)

=sinα+cosα-sinαcosα.

而P (A+B) ≤1,

所以sinα+cosα-sinαcosα≤1.

故原不等式成立.

例3 求证:C $_{n}^{0}$ +C $_{n}^{1}$ +C $_{n}^{2}$ +…+C $_{n}^{n}$ =2n.

证明:设事件A在一次试验中发生的概率为 $\frac{1}{2}$ , 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是

$Ρ_{n} (k) = C_{n}^{k} (\frac{1}{2})^{k} (1 - \frac{1}{2})^{n - k} = \frac{1}{2^{n}} C_{n}^{k} .$

令k=0, 1, 2, …, n, 并求和得

$\frac{1}{2^{n}} C_{n}^{0} + \frac{1}{2^{n}} C_{n}^{1} + \dots + \frac{1}{2^{n}} C_{n}^{n} = 1$ , 即C $_{n}^{0}$ +C $_{n}^{1}$ +C $_{n}^{2}$ +…+C $_{n}^{n}$ =2n.

例4 求证: $C_{n}^{0} + \frac{1}{2} C_{n + 1}^{1} + \frac{1}{4} C_{n + 2}^{2} + \frac{1}{8} C_{n + 3}^{3} + \dots + \frac{1}{2^{n}} C_{2 n}^{n} = 2^{n} .$

证明:建立概率模型:有两盒火柴, 每盒n根, 现从任一盒中取一根火柴, 经过一段时间, 发现一盒火柴已取完, 求另一盒恰有n根火柴的概率 (Banach火柴问题) .

以Pk表示上述概率, 则

$Ρ_{k} = C_{2 n - k}^{n} \cdot (\frac{1}{2})^{n} \cdot (\frac{1}{2})^{n - k} = C_{2 n - k}^{n} (\frac{1}{2})^{2 n - k} .$

因为当k取0到n的各个事件之和为必然事件, 且它们两两互斥,

所以P0+P1+P2+…+Pn=1,

即 $C_{2 n}^{n} \cdot \frac{1}{2^{2 n}} + C_{2 n - 1}^{n} \cdot \frac{1}{2^{2 n - 1}} + C_{2 n - 2}^{n} \cdot \frac{1}{2^{2 n - 2}} + \dots + C_{n}^{n} \cdot \frac{1}{2^{n}} = 1$ , 两边同乘以2n, 并利用组合数性质C $_{n}^{k}$ =C $_{n}^{n - k}$ 原等式即可得证.

$\begin{array}{l} 例 5 证明恒等式 ∶ 1 + \frac{Ν - n}{Ν - 1} + \frac{(Ν - n) (Ν - n - 1)}{(Ν - 1) (Ν - 2)} + \dots + \\ \frac{(Ν - n) \dots 2 \cdot 1}{(Ν - 1) \dots (n + 1) \cdot n} = \frac{Ν}{n} (Ν \geq n > 1) \end{array}$

证明:构造模型:从一批有n个次品的N个产品中一个一个地取出来检验 (取后不放回) , 求迟早要发现次品的概率.

因为一共有N个产品, 迟早要发现次品的概率为1, 另一方面, 若用Ak表示“第k次发现次品”, 那么在A1, A2, A3, …, AN-n+1中至少有一个发生, 它们是互斥的, 且 $Ρ (A_{1}) = \frac{n}{Ν} .$

当k≥2时,

$Ρ (A_{k}) = \frac{(Ν - n) \dots (Ν - n - k + 2) \cdot n}{Ν (Ν - 1) \dots (Ν - k + 1)} .$

$\begin{array}{l} 所以 1 = Ρ (A_{1}) + Ρ (A_{2}) + Ρ (A_{3}) + \dots + Ρ (A_{Ν - n + 1}) \\ = \frac{n}{Ν} + \frac{(Ν - n) \cdot n}{Ν (Ν - 1)} + \dots + \\ \frac{(Ν - n) \dots 2 \cdot 1 \cdot n}{Ν (Ν - 1) \dots (n + 1) \cdot n}, \end{array}$

两边同乘以 $\frac{Ν}{n}$ 即得证.

山东省财政学院文理学院

统计与概率解题中常见错误辨析篇5

一、对统计中基本概念理解不深刻导致错误

例1为了解某校2 000名师生对我市创卫生城市工作知晓情况, 从中随机抽取了100名师生进行问卷调查, 这项调查中的样本容量是 () .

A. 2 000名师生对创卫生城市工作的知晓情况

B.100名师生

C.100

D. 抽取的100名师生对创卫生城市工作知晓情况

【错解】样本容量是指从总体中抽取的样本数量, 所以是100名师生.

【正解】从总体中抽取的样本个体的数目叫样本容量, 指所要考察对象的数目, 不带任何单位, 故选C.

二、对事件的概念把握不准造成分类错误

例2 下列事件中, 属于不确定事件的有 () .

1太阳从西边升起;2从一副扑克牌中任抽一张是红桃;3掷一枚硬币, 有国徽的一面朝下;4三角形内角和为180°

A. 23B. 134

C. 1D. 124

【错解】不确定事件是指事件一定不能发生, 故选C.

【正解】不确定事件是指事件在发生前, 事件的结果不能事先确定, 也就是随机事件, 不可能事件是一定不能发生的事件, 事件在发生前就能确定结果, 它是确定事件. 解题中不能把不确定事件与不可能事件混淆, 故选A.

三、对统计图分析不仔细造成数据看错

例3 在一次捐款活动中, 某班级有50名学生, 将所捐款情况统计并制成统计图, 根据图1提供的信息, 捐款金额的众数和中位数分别是 () .

A.20, 20 B.30, 20

C.30, 30 D.20, 30

【错解】这组数据中, 出现次数最多的是20人, 故这组数据的众数为20.中位数是一组数据从小到大排列后, 最中间的那个数.这组数据有50个, 中位数是第25和26名职工捐款金额的平均数, (30+30) ÷2=30, 选D.

【正解】众数和中位数是指调查对象所记录的数据, 不能把数据的个数当作调查的数据.本题是统计捐款钱数, 30元出现次数最多, 故本题答案是C.

四、对统计图意义把握不准造成错误

例4 图2是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图.根据统计图, 下面对全年食品支出费用判断正确的是 () .

A.甲户比乙户多

B.乙户比甲户多

C.甲、乙两户一样多

D.无法确定哪一户多

【错解】一年中乙支出的百分比大于甲支出的百分比, 故选B.

【正解】扇形统计图是为了反映各个部分占总体的百分比, 计算各部分的量需用总体与该部分百分比相乘. 本题没有明确甲乙两家全年的具体收入, 所以无法算出食品支出的具体费用, 无法比较, 故本题正确答案是D

五、对机会的等可能性理解不够导致树状图画错

例5 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球, 它们除颜色外完全相同, 其中红球有2个, 黄球有1个, 蓝球有1个, 若从中摸出一个球, 放回搅匀, 再摸另一个球, 求两球颜色相同的概率.

【错解】画树状图如下:

可得两球颜色相同的概率

【正解】箱中三种颜色的球数目不相同, 所以在摸球过程中被摸到的机会是不均等的, 本题红球被摸到的机会大于黄球、蓝球, 所以在画树状图时应该把它们转化为均等机会.正确的树状图如下:

由树状图可得两球颜色相同的概率为

六、对等可能性事件发生的机会和事件最终结果混淆造成错解

例6掷一枚硬币, 连掷三次, 求有两次正面向上的概率 () .

【错解】三次抛出的结果分别是:正正正, 正正反, 正反反, 反反反四种情况, 其中出现两次正面向上的情况只有一次, 故概率为, 选B.

【正解】随机事件的概率, 是把事件在发生过程中所有可能发生的均等机会, 与满足一定条件的机会相比较, 不能把事件的最终结果当作机会.正确的解答要通过画如下树状图:

由树状图可求得两次正面向上的概率为

七、对模拟实验的条件选择不合理造成错误

例7 端午节, 妈妈为洋洋准备了4只粽子:一只香肠馅, 一只红枣馅, 两只什锦馅, 4只粽子除内部馅料不同外, 其他都相同.洋洋喜欢吃什锦馅的粽子.

在吃粽子之前, 洋洋准备用如图3所示的转盘进行吃粽子的模拟试验 (此转盘被等分成四个扇形区域) , 规定:连续转动两次转盘表示随机吃两只粽子, 从而估计吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率.转盘是一个放回的实验, 故第一次转到什锦 (或香肠、或红枣) 后第二次还能转到.

【错解】画模拟试验的树状图为:

所以有16种情况, 其中两次都是什锦馅的有4种情况, 所以概率为

【正解】设计模拟实验计算随机事件的概率, 要分清事件的条件, 事件发生的方式, 事件结果.在设计模拟实验工具时必须与原事件相关事项保持一致.本题从4只粽子中吃两只粽子是一个不放回问题, 而转盘是一个放回问题, 所以不能以转盘代替.正确的树状图应该为:

∴P (吃到两只粽子都是什锦馅) =2/12=1/6.

概率解题技巧篇6

求事件的概率时, 许多学生往往不知怎么入手, 这就要求教师根据题中所给条件, 通过联想、转化、抽象, 找到问题的关键所在.如能建立适当的概率计算模型, 既新颖又巧妙, 就能使问题迎刃而解.在古典概率的计算中, 通常有球入盒子模型、抽样检查模型、电路开关模型等.

例1求参加某次集会的n个人中生日都不相同的概率 (1≤n≤365) .

分析这就是概率论历史上一个颇为有名的问题.在解题中我们建立球入盒子的数学模型.把一年的365天看做365个盒子, n个人看做n个球.每只盒子投球数不限, 即每个人的生日是随机的, 可以是365天中的任意一天.若n个人的生日都不相同, 也就是每个球都要投入一个盒子且每个盒子只能投入一个球.

解设事件A={n个人中生日都不相同}, 基本事件总数=365n, 事件A所包含的基本事件数=Pn365.故所求的概率当n=23时, P (A) ≈0.4927, 接近0.5;当n=50时, P (A) ≈0.0296, 这个概率是意外的小, 有点超出我们的想象. (说明:用Excel来计算上面的结果非常方便简单)

2. 运用概率公式将问题进行转化

兵法云:“正面攻不上, 侧面攻.”对于较为复杂的事件, 有时很难划分成几个简单的事件, 难以进行有关概率的计算.这就有必要运用概率的某些性质, 将问题进行转化, 把复杂事件转化为较少的几个简单的事件之和, 从而使所求概率问题变得清晰起来.最常用的性质有:逆事件的概率公式, 概率的加法公式和乘法公式, 全概率公式等.

例2在装有n个产品的箱子中, 有m个次品.现从箱中取k个产品, 问:其中有次品的概率是多少? (m

分析从箱中取得k个产品中有次品的事件, 情况比较复杂;如考虑它的对立事件, 即k个产品中没有一个次品, 就比较容易.

解设事件A={k个产品有次品}, 则它的对立事件A={k个产品没有一个次品}.

3. 力求一题多解, 培养学生的发散思维能力

在学习古典概率时, 学生普遍反映不易掌握其规律, 习题难做.即使好不容易找到了一种解法, 其结果一般也不好验证.这就要求教师在概率的教学中, 拓广思维空间, 培养学生的发散思维能力, 引导学生一题多解、一题多用.如能通过多种解答得出相同答案, 则答案是正确的概率就相当大了.

例3袋中有a只黑球, b只白球, 它们除颜色不同外, 没有其他差别, 现在把球随机地一只一只摸出来, 求第k次摸出的球是黑球的概率 (1≤k≤a+b) .

分析一把a只黑球及b只白球都看做是不同的, 我们将所有球都一一摸出依次放在排成一直线的a+b个位置上, 第k个位置只能被任一个黑球占据.

解法一设事件A={第k次摸出的球是黑球} (下同) , 基本事件总数= (a+b) !.

事件A所包含的基本事件数= (a+b-1) !, 故所求的概率

分析二仍把a只黑球及b只白球都看做是不同的, 只考虑前k次摸球, 第k次摸到黑球.

解法二基本事件总数=Pka+b.事件A所包含的基本事件数=a Pk-1a+b-1, 故所求概率

分析三对同色球不加以区别, 仍把摸出的球依次放在排成一直线的a+b个位置上.基本事件总数就是从a+b个元素中取出a个元素的组合, 事件A所包含的基本事件数就是从a+b-1个元素中取出a-1个元素的组合.

解法三基本事件总数=Caa+b, 事件A所包含的基本事件数为Ca+a-1b-1, 故所求概率

分析四显然每一个球在第k被摸出是等可能的, 只考虑第k次摸球情况.

解法四基本事件总数=a+b, 事件A所包含的基本事件数=a, 故所求的概率

说明解法一、解法二、解法四是把球看做“有个性”的, 因此考虑球的顺序, 用排列;而解法三对同色球不加区别, 因此不考虑顺序, 用组合.有趣的是本题的结果与k无关, 这和我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签, 对各队机会均等, 与抽签的先后次序无关.本题是一个不放回的抽样问题, 有一定的典型性.这里的“白球”、“黑球”可换为“甲物”、“乙物”或“合格品”、“不合格品”等.

4. 理论联系实际, 激发学习兴趣

“实践是检验真理的唯一标准”.随着科学技术的高速发展, 概率统计已被广泛地应用于各个科学分支和各个生产部门, 并渗入到我们生活的诸多方面, 因而它已成为全民文化素质的一部分.在现实生活中, 我们经常接触到如彩票、玩扑克牌、商场抽奖等, 我们都可以去计算一些概率问题.只有把所学到的知识运用到实践中去, 才能真正体现它的价值, 并且更能激发学习兴趣, 提高分析问题和解决问题的能力.

例4某大型商场举行有奖销售, 20个乒乓球, 10个上面写上10分, 10个上面写上5分, 抽奖者从中任取10个, 把乒乓球上面的分数相加, 求下面各等级中奖的概率.

一等奖:100分或50分;二等奖:95分或55分;三等奖:90分或60分;四等奖:85分或65分;五等奖:80分或70分;六等奖:75分.

分析一等奖的发生:10分的乒乓球10个或5分的乒乓球10个;二等奖的发生:10分的乒乓球9个和5分乒乓球1个或5分的乒乓球9个和10分的乒乓球1个, 其他各奖的发生以此类推.

解基本事件总数=C2010, 一等奖包含的基本事件数=C1010+C1010=2C1010, 二等奖包含的基本事件数=C910C110+

一等奖中奖概率: (约92378分之一) ;

二等奖中奖概率: 同理, 可求其他各等级中奖概率, 列表如下:

说明上表中五等奖的概率大于中六等奖的概率, 是不是计算有错误呢?只要仔细考虑就会清楚.因为总分是80分或是70分都可中五等奖, 它们的概率是相等的, 实际上总分是80分或70分的概率是0.5×0.47739=0.238695, 而只有总分是75分这一个分数中六等奖.因此, 对于每一个不同分数来说, 总分是75分的概率0.34372还是最大的.

例谈统计与概率问题得分技巧篇7

具体怎么操作呢?在这里,笔者将之细化为两小部分,一部分针对“会而不对,对而不全”的老大难问题,另一部分则是针对没把握全解出来的问题.

中考阅卷时,我们常常替一些考生感到惋惜. 这部分同学往往题目会做,但是答案是错的,或者答案是对的,但是解答过程会由于逻辑思维缺陷或者概念错误或者缺少关键步骤而失分. 对于这种现象,我们除了在平时教学过程中提醒同学们注意表达的正确、考虑的周密、书写的规范,语言的科学外,作为阅卷教师,我们也会在批阅时有针对性地寻找你解答过程中对相关知识点解释的合理成分, 然后相应地给分.

【例1】(2013·营口)某中学为了解全校学生到校上学的方式,在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查. 问卷给出了五种上学方式供学生选择,每人只能选一项, 且不能不选. 同时把调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图 (均不完整). 请根据图中提供的信息解答下列问题:

(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?

(2)通过计算补全条形统计图;

(3)在扇形统计图中,“公交车”部分所对应的圆心角是多少度?

(4)若全校有1 600名学生,估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名?

【思维切入点】从扇形统计图中获取每种车型占总体的百分比信息,从条形统计图中知晓每种车型具体人数多少.

(1) 上学方式为自行车的人数除以所占的百分比,即可得到调查的学生数;

(2) 根据抽取的总人数乘以步行的百分比求出步行的人数,补全条形统计图即可;

(3) 求出“公交车”所占的百分比 ,乘以360度即可得到结果;

(4) 求出“私家车”的百分比 ,乘以总人数1600即可得到结果.

【解答】(1) 24÷30%=80(名).

答:这次调查一共抽取了80名学生.(3分)

(2)80×20%=16(名),(4分)

补全条形统计图,如下图所示. (5分)

(3) 根据题意得:360°×26/80 =117°.(7分)

答:在扇形统计图中,“公交车”部分所对应的圆心角为117°.(8分)

(4) 根据题意得:1 600×10/80 =200(名 ).(9分)

答:估计该校乘坐私家车上学的学生约有200名.(10分)

【踩点得分提示】阅卷时,我们将这道10分题的给分点细化为七个部分:从解题初的“解”到每小问的“答”有没有写,从每个初始计算式“用原始数据”到“条形统计图的条形图”是否完整,是否“等距离分配”等方面都给出了明确评分标准. 虽然某些地方有重复,但目的都是让考生尽可能多拿分,拿到分. 所以,同学们在解答此类问题时,只要分步骤,根据评分标准踩好得分点, 把相关内容写出来,这些分数还是很容易拿到的. 解答时并注意写清每一小问的题号.

【例2】(2013·营口)小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则是:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5. 一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球. 若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛.

(1)用列表法或画树状图法,求小丽参赛的概率.

(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.

【思维切入点】(1) 列表或树状图得出所有等可能的情况数,找出数字之和为偶数的情况数,求出小丽去参赛的概率;

(2) 由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率,比较即可得到游戏公平与否.

【解答】(1) 法1:根据题意列表得:

由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种, 所以小丽参赛的概率为4/12 =1/3 ; (7分)

法2:根据题意画树状图如下:

(4分)

解法同上,书写略. (7分)

(2) 游戏不公平, (8分)

理由为:∵小丽参赛的概率为1/3,

∴小华参赛的概率为1-1/3=2/3, (9分)