幂函数解题技巧（精选10篇）
幂函数解题技巧 篇1
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）
A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为 －2x+1(x≤1)y= 3(-1
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1（t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为
4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位 正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0
解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）
幂函数解题技巧 篇2
选择题可猜答, 没有正确规范解答的十足把握, 也能得分.选择题容易丢分也容易得分, 单题分值较大.选择题既要准确又要快, 多想点, 少算点, 多用解题方法技巧, 既能做对题, 又能为后面的题留出思考时间.在解答时重点是选, 尽量少写解题过程, 多方考虑间接解法, 依据题目的具体特点, 灵活、巧妙、快速地选择解法.
一、估值法
有些问题, 由于题目条件限制, 没有必要进行精准的运算和判断, 只要借助估算, 通过观察、分析、比较、推算, 就能得出正确的判断.
例1:当y=2cosx-3sinx取得最大值时, tanx的值是 ( )
分析:若y取最大值, 只能是当cos>0, sin<0时, 其他情况取不到最大值, 既然cos>0, sin<0, 那么tanx必然是负数, 根据此条结论再结合答案, 只有B正确.所以选B.
分析:估算分子sin70°<1, 所以3-sin70°>2, 分母0<cos210<1, 所以2-cos210°<2, 故原式化简结果必然是比1大的数 , 根据此结论从选项入手只有C合适.所以选C.
二、验证法
例3:函数y=sin (2x+ (3/2) π) 的图像 ( )
A.关于直线x=-π/4对称
B.关于直线x=-π/2对称
C.关于直线x=π/8对称
D.关于直线x= (5/4) π对称
分析:函数的对称轴所在的直线与函数图像的交点, 是函数的最值处, 可以根据此结论进行验证排除.带入A、C、D函数不取最值, 带入B得最大值1.所以选B.
例4:ω是正实数, 函数f (x) =2sinωx在[-π/3, π/4]上是增函数, 那么 ( )
A.0<ω≤3/2B.0<ω≤2 C.0<ω≤24/7D.ω≥2
分析:方法1:正弦函数y=sinx的增区间为[-π/2+2kπ, π/2+2kπ], k∈Z. 由-π/2+2kπ≤ωx≤π/2+2kπ得:-π/2ω+2kπ/ω≤x≤π/2ω+2kπ/ω, 则函数f (x) =2sinωx的增区间是[-π/2ω+2kπ/ω, π/ω+2kπ/ω].又因为函数f (x) =2sinωx在[-π/3, π/4]上是增函数, 所以, 取k=0, 解得0<ω≤3/2.
方法2:从选项入手比较找差异找相同点, 可带数2进行验证, 当x=2时, 在[-π/4, π/4]上是增函数, 题目所给区间变大了, 所以所求参数范围必须比2小, 只能选A.
三、矛盾项法
例5:若函数f (x) =Asin ( (π/2) x+φ) (A>0) 满足f (1) =0, 则 ( )
A.f (x-2) —定是奇函数B.f (x+1) —定是偶函数
C.f (x+3) 一定是偶函数D.f (x-3) 一定是奇函数
分析:方法1:依题意f (1) =Asin ( (π/2) x+φ) =0, 则sin ( (π/2) x+φ) =0, ∴φ=kπ-π/2 (k∈Z) , 则f (-1) =Asin (-π/2+kπ-π/2) =0, 又函数f (x) =Asin ( (π/2) x+φ) 的周期T=2π/ (π/2) =4, 根据正弦函数的图像及性质知f (x) =Asin ( (π/2) x+φ) 是偶函数, ∴f (x-2) 还是偶函数, f (x+1) , f (x+3) , f (x-3) 都是奇函数.
方法2:观察选项, 若A减偶数2是奇函数, 那么猜想加减奇数应该是偶函数, 这样理论才对称, 则A、B、C三项都对, 不可能, 所以这三项是矛盾项, 加减偶数应该得偶函数, 加减奇数应该得奇函数, 所以选D.
比较以上两种方法, 哪种更简单显而易见. 如果我们会做, 而且时间允许足够, 就可以选用第一种正规解法.如果我们不会做, 就选用第二种方法.
三角函数常见解题技巧 篇3
对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”“切割互化”“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径．
例1已知[2sin2α+sin2α1+tanα=k][(π4<α<π2)]，试用[k]表示[sinα-cosα]的值.
分析将已知条件“切化弦”转化为[sinα、cosα]的等式.
解由已知
[2sin2α+sin2α1+tanα=2sinα(sinα+cosα)1+sinαcosα=2sinαcosα=k.]
[∵π4<α<π2,] [∴][sinα>cosα].
[∴][sinα-cosα][=(sinα-cosα)2]
[=1-2sinαcosα=1-k].
点拨切割化弦和弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的方法.
2. 常数的变换
在三角函数的求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：[1=sin2α+cos2α][=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α,][1=sin90°=2sin45°]，[1=secα⋅cosα,1=cscαsinα]等等. 通过已知sin[α]cos[α]，求含[sinα±cosα]的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号.这是由于（[sinα±cosα]）2=1±2sin[α]cos[α]，要进行开方运算才能求出[sinα±cosα].
例2已知tg[α]+ctg[α]=2，求[sin4α+cos4α].
分析只要[sin4α+cos4α]能化出含sin[α]±cos[α]或sin[α]cos[α]的式子，就可根据已知tg[α]+ctg[α]进行计算. 由tg[α]+ctg[α]=[1sinαcosα=2⇒][sinαcosα=12]，此题只需将[sin4α+cos4α]化成含sin[α]cos[α]的式子即可.
解 [sin4α+cos4α]
=[sin4α+cos4α]+2sin2[α]cos2[α]-2sin2[α]cos2[α]
=（sin2[α]+cos2[α]）2-2sin2[α]cos2[α]
=1-2 (sin[α]cos[α])2
=1-[2×(12)2]=[1-12]=[12].
点拨对于题中所给三角式中的常数（如1，[22]，[33]，[3]等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其他三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用.
3. 公式的变形与逆用
在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的. 如由[sin2α=2sinαcosα]可以变通为[cosα=sin2α2sinα]与[cosα=sin2α2sinα]；由[tanα=sinαcosα]可变形为[sinα=tanαcosα]等等.
例3已知ctg[α=-3]，求sin[α]cos[α]-cos2[α.]
分析由于[ctgα=cosαsinα]，故将式子化成含有[cosαsinα]的形式，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式[sin2α+cos2α=1]添配出分母，然后再分子、分母分别除以sin[α]，构造出ctg[α].
解[∵sin2α+cos2α=1]
[∴sinαcosα-cos2α][=sinαcosα-cos2αsin2α+cos2α]
=[cosαsinα-(cosαsinα)21+(cosαsinα)2=ctgα-ctg2α1+ctg2α]
[=-3-(-3)21+(-3)2=-65].
点拨要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们掌握其他变通形式常可以开拓解题思路.
4. 引入辅助角
[asinx+bcosx]可化为[a2+b2sin(x+φ)]，这里辅助角[φ]所在的象限由[a、b]的符号确定，角[φ]的值由[tanφ=ba]确定.
例4求[y=5cos2x-6sin2x+20sinx-][30cosx+7]的最大值与最小值.
分析求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求解；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角.
解
[y=(9cos2x-12sinxcosx+4sin2x)+20sinx]
[-30cosx+3]
[=(3cosx-2sinx)2-10(3cosx-2sinx)+3]
[=(3cosx-2sinx-5)2-22]
[=(2sinx-3cosx+5)2-22]
[=[13sin(x+φ)+5]2-22.] 其中，[tanφ=-32]，
当[sin(x+φ)=1]时，
[ymax=(13+5)2-22=16+1013]；
当[sin(x+φ)=-1]时，
[ymin=(-13+5)2-22=16-1013].
点拨在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解.
5. 消元法
如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解.
例5求函数[y=2-sinx2-cosx]的最值.
解原函数可变形为：[sinx-ycosx=2-2y]，即
[sin(x-φ)=2-2y1+y2].
[∵|sin(x-φ)|]≤1，
[∴2-2y1+y2]≤1.
解得[ymax=4+73]，[ymin=4-73].
6. 变换思路
一道题的思路不同，方法也随之不同.通过分析、比较，能选出思路最为简捷的方法.
例6求函数[y=sinx2+cosx][(0 解由于[y=sinx2+cosx][=sinx-0cosx-(-2)]，则[y]为点[(cosx,sinx)]与点([-2,0])连线的斜率，而斜率最大为当连线与半单位圆相切时，如图所示： 技巧 【关键词】： 二次函数 题型 解题思路 函效在中学教学中占有重要地位,它与生产、商品经济、等又有广泛联系。学生普遍认为函数难学，特别是二次函数，但是二次函数在中考一直占据着压轴题的“席位”，很多考生在这方面都会失分严重，教学过程中，作为教师必须深刻洞悉函数的内涵，把难点突破，让学生从一开始就接受到严谨的概念和思想。下面我通过具体课例分析函数教学中常考的题型和大家分享： 一.求二次函数解析式。 (1)当出现任意三个点坐标的时候，直接代入一般形式y=ax+bx+c构成方程组，可确定a,b,c的值 例析： 已知抛物线y=ax+bx+c经过（-1，10），（1,4），（2,7）三点，求这条抛物线的解析式。 解：设所求二次函数为y=ax+bx+c，由己知图象经过（1，10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的三元一次方程 a-b+c=10 a＝2 a+b-c=4 解这个方程组得 b＝-3 2a+2b+c=7 c＝5 22所求解析式为y=2x-3x+5(2)当出现顶点坐标(h，k)和另一个点坐标时，就用代入顶点式：y＝a(x-h)+k可确定a,h,k的值.例 二次函数图象的顶点为A（1,-4）且过点,B（3,0）, 求该二次函数的解析式.例析：设所求二次函数为y＝a(x-h)+k ∵顶点为A（1,-4）, 则h＝1，k＝-4 ∴y＝a(x-1)-4 又∵抛物线过点B（3,0）, 则0＝a(3-1)2-4, 即a＝1 ∴所求二次函数为y＝(x-1)-4(3)当出现二次函数图象与X轴两个交点坐标(X1，0)(X2，0)和另一个点坐标的时候，用交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)式。可确定a的值.例 已知二次函数图象与X轴的交点坐标为（3,0）和（-1,0），且过点，（1，-8，）求该二次函数的解析式。例析：设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2), ∵图象与X轴的交点坐标为（3,0）和（―1,0），∴y=a(x-3)(x+1), 又∵抛物线过点（1，-8，）∴-8=a(1-3)(1+1), 则a＝2 该二次函数的解析式为y=2(x-3)(x+1), 即y=2x-4x-6 二.二次函数图像的性质 222 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x =-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。 3.抛物线与a,b,c的值的关系： a值决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。a,b值共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右； 当b=0时对称轴是y轴。c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）(c>0交y轴正半轴，c<0交负半轴,c=0交于原点)4.抛物线与x轴交点个数 Δ= b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点,(X1，0).(X2，0)；则对称轴为X=x1+x2 /2 Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。(X，0)； Δ= b-4ac<0时，抛物线与x轴有没有交点 222 例己知二次函数y=x-kx+k-5，求证：无论k取任何实数, 此二次函数的图象与x轴有二个交点。证明：∵（-k）-4（k-5）=k-4k+20 =（k-2）+16 无论k取任何实数,（k-2）≥0 ∴（k-2）+16＞0 所以无论k取任何实数, 此二次函数的图象与x轴有二个交点。 5.二次函数图像的平移 左加右减，上加下减原则 例 抛物线y＝2(x-3)+4向左平移1个单位, 向下平移2个单位后的解析为y＝2(x-2)+2 6.二次函数中的最值问题（1）在一般形式y=ax+bx+c 中 若a>0, 当 x=-b/2a。时 , y有最小值4ac-b /4a 若a<0时，当 x=-b/2a。时,y有最大值4ac-b /4a（2）在配方形式y＝a(x-h)+k中 若a>0, 当 x=h时 , y有最小值k 若a<0时，当 x=h时,y有最大值k 例 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查；每降1 222 元，每星期可多卖岀20，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 例析：（1）.y＝（60-40-X）（300+20X）即.y＝-20X+100x+6000 ∵降价要确保盈利，则40<60-x≤60（或40<60-x<60）∴解得0≤x<20（或0 特别地，二次函数y=ax+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），22 即ax+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 四.变式训练：即二次函数的综合题, 是中考的压轴题.中考的压轴题一般都综合性强、难度大，是在较复杂的知识背景中考查学生运用数学思想方法合解决数问题的能力，破解中考的压轴题，审题时首先要有信心和耐心地逐字逐句地读，并做出相应的记号、并联想相关知识，着重研究它们之间的关系，解题实践表明：题目中的条件往往暗示解题手段，结论往往预告解题方向。从已知中努力追忆曾出现过类似的题目，提取出与本问题有关的知识，各知识点之间联系和数学思想方法，抓住题意，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。 例 ．如图，在直角坐标：X OY 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，-)，且在 轴上截得的线段AB的长为6． 2(1)求二次函数的解析式； (2)在 轴上求作一点P(不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标； (3)在 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考文献： 教学反思 本节课本着学科素养，生命课堂，高效课堂教学理念，对这节课进行了设计。 学科素养：通过类比指数函数的学习引入了幂函数，对于图象的探讨研究，进而直观的得到幂函数的性质，发展了学生的类比推理、分类讨论、直观想象、数形结合的数学素养。 生命课堂：从理论上讲，1.在以人为本思想指导下，追求以人的发展为本的一种教育理念。2.以学生为主体，课堂为阵地，开展人与人之间的一种充满生命活力的思想、文化、情感交流活动。3.生命课堂既是教师生命活力的展现，也是学生活力的激发，更是教师生命活动与学生生命活动的有效的交往。 基于以上理念，以学生为本，以学生为主体，注重培养学生的数学思想与情感的高度共鸣，让学生学会这节课的内容，又学到了课堂以外的知识，从而促进了学生的全面的发展。 知识点回顾： 1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 课堂练习 一、选择题 1、下列命题正确的是（） A、当n=0时，函数y=xn的图像是一条直线 B、幂函数的图像都经过(0,0)点 C、如果幂函数y=xn的图像关于原点对称，那么y=xn在它的定义域内，y值随着x值的增大而增大 D、函数y=(2x)2不是幂函数 2、下列函数中，定义域为（0,+∞）的函数是（）A、yx B、yx C、yx D、yx232132232 3223、（2010·安微）设a()5，b()5，c()5，则a,b,c的大小关系是（） 555A、a＞c＞b B、a＞b＞c C、c＞a＞b D、b＞c＞a 4、幂函数y(m2m1)xm（） A、m 2B、mC、m1或D、m15 222m3，当x(0,)时为减函数，则实数m的值为 5、如图，曲线C1，C2分别是函数yxm和yxn在第一象限的图像，那么一定有（） A、n＜m＜0 B、m＜n＜0 C、m＞n＞0 D、n＞m＞0 6、函数y(mx4xm2)的取值范围是（） A、(51,2) B、(51,) C、(2,2)D、(15,15) 7、（2007·山东）设a1，1，1，3，则使函数yxa的定义域为R且为奇2214(m2mx1)的定义域是全体实数，则实数m函数的所有a的值为（） A、1，3 B、1，3 C、1，3 D、1，1，3 8、若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐系中的图像如右图，则a、b、c、d的大小关系是（） A、d＞c＞b＞a B、a＞b＞c＞d C、d＞c＞a＞b D、a＞b＞d＞c 二、填空题 11、下列函数中：①y3②y3x2③yx4x2④y3x2是幂函数的个数 x为__________。 2、若(a1)12(32a)12，则a的取值范围是_______。 43、幂函数f(x)的图象过点(3，27)，则f(x)的解析式是________。 4、已知f(x)x5ax3bx8，f(2)10，则f(2)=_________。 5、（1）幂函数的图象一定过（1,1）点（2）幂函数的图象一定不过第四象限 （3）对于第一象限的每一点M，一定存在某个指数函数，它的图象过该点M（4）y3x1(xr)是指数函数 其中正确的是__________________（填序号）。 三、简答题 1、已知函数f(x)(m2m1)x5mm，m为何值时，f(x)是：（1）幂函数；（2）幂函数，且是(0,)上的增函数；（3）正比例函数；（4）反比例函数；（5）二次函数。 2、已知幂函数f(x)xm数。 （1）求函数f(x)；（2）讨论F(x)af(x) 幂函数y=xα在第一象限的图像如图1所示, 图像恒过 (1, 1) .幂指数α>0时, 图像过点 (0, 0) , 为增函数, 其中0<α<1, 函数图像上凸递增;α>1, 函数图像下凸递增;α=0时为直线y=1 (除去点 (0, 1) ) ;α<0时为减函数. 幂函数在第四象限没有图像, 在第二、第三象限的图像要结合奇偶性才能得出. 若幂函数是奇函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、三象限;若幂函数是偶函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、二象限;若幂函数是非奇非偶函数, 等价于幂函数的图像只分布在第一象限.运用奇偶性可以减少对幂函数图像的整体记忆, 只需记忆第一象限的图像特征, 运用奇偶性可以整体分析幂函数的图像, 对幂函数的图像进行整体把握.下表为y=xα在α取值不同的情况下的图像. 例1幂函数 (m, n∈N*, 且m、n互质) 的图像如图2所示, 则 () A.m、n为奇数且. B.m为偶数, n为奇数, 且. C.m为偶数, n为奇数, 且. D.m奇数, n为偶数, 且. 例2幂函数的图像过点, 则它的单调递增区间是 () A. (0, +∞) B. (0, +∞) C. (-∞, +∞) D. (-∞, 0) 分析:幂函数y=xα的图像过点, 则α=-2.所以幂函数y=x-2是偶函数, 图像分布在第一、二象限, 且在第一象限内是减函数, 由对称性知, 在第二象限是增函数, 故选D. 例3函数的图像是 () 分析:根据幂函数的图像在第一象限内的走向, 又因为函数是奇函数, 故选B. 例4已知函数 (n∈Z) 的图像与两坐标轴都无公共点, 且其图像关于y轴对称, 求n的值. 分析:因为幂函数图像与y轴无公共点, 所以n2-2n-3≤0, , 解得-1≤n≤3, 又因为n∈Z, 所以n=0, ±1, 2, 3.又因为图像关于y轴对称, 所以n2-2n-3为偶数.检验:当n=0时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=1时, n2-2n-3=-4为偶数;当n=-1时, n2-2n-3=0为偶数;当n=2时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=3时, n2-2n-3=0为偶数.因此, n的值为-1, 1或3. 例5已知函数 (m∈Z) 为偶函数, f (3) <f (5) , 且, 求m的值, 并确定f (x) 的解析式. 又∵m∈Z, 即∴m=0或1.经检验:当m=0时, -2m2+m+3=3, 为奇数 (舍去) ;当m=1时, -2m2+m+3=2, 为偶数.因此, m=1, f (x) =x2. 例6若, 求实数m的取值范围. 对数函数、指数函数、幂函数、二次函数是基本初等函数家族中的重要成员,新高考模式下的这四年江苏卷,函数部分的考题比例很大,知识点集中在函数的概念、图象与性质,函数模型及其应用,导数的工具性应用等,指数函数与对数函数为必考内容。考题涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想；以上也是函数部分的重点。难点主要包括：①含参变量的分段函数问题；②与数列、不等式等知识交汇的问题；③恰当构建函数模型问题；④分类讨论思想的应用。 本文就近几年各类函数的常考题型,进行讲解与评析,带领同学们一起感受这部分考题是怎么设计的,帮助同学们在复习时明确复习目标。 二、 典例评析 (一) 考查函数定义域、值域 【例1】 若集合已知A=｛x｜2≤22-x≤8,x∈Z},B=｛y|y=|log2x|+1,x∈R｝,则集合A∩( 瘙 綂 RB)=． 解析 由题意得：1≤2-x≤3,得-1≤x≤1,又x∈Z,故集合A=｛-1,0,1｝,集合B是函数的值域,故B=［1,+∞), 瘙 綂 RB=(-∞,1),于是A∩( 瘙 綂 RB)=｛-1,0｝. 点评 集合的交、并、补,这是高考每年必考的题型,本题集合A的代表元素是x,并且有x∈Z的条件；集合B的代表元素是y,故集合B是函数的值域,这是需要审清楚的,有的同学会这样想：A的元素是x,B的元素是y,交集中哪有公共元素,填,这种理解是错误的,事实上,这两个集合实质是数集,这是要注意的,最后的结果是集合,不要写成-1,0。 (二) 考查函数单调性、奇偶性 【例2】 已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为． 解析 a=5-12∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得：m 点评 指数函数f(x)=ax的底数分为0 【例3】 函数f(x)=lg|x|+lg1|x|(x≠0)是函数.(填奇偶性) 解析 由对数运算性质得,f(x)=lg1=0(x≠0),图象是x轴(去掉原点),它既关于y轴对称,又关于原点对称,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数． 点评 遇到这类题,既要考虑函数的定义域(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提),还要看能否化简,分析函数的本质,这是解决这类题的关键。 (三) 考查函数运算性质及应用 【例4】 设函数f(x)=1+lgx1-x,定义an=f1n+f2n+…+fn-1n,n∈N*,则a2 011=． 解析 ∵f1n+fn-1n=2+lg1n1-1n×1-1n1n=2+lg1=2,将an倒序写成an=fn-1n+fn-2n+…+f1n,两式相加得2an=2(n-1),an=n-1,∴a2 011=2 010． 点评 观察题目的特点,抓住对数运算的性质,是本题的关键,倒序再求和比首尾搭配更简洁,因为首尾搭配要考虑是奇数项还是偶数项。 想一想：若求a2 012=.这样做,是不是比首尾搭配好？答案：2 011． (四) 考查分段函数图象的应用 【例5】 函数f(x)=2-x,x∈(-∞,1］, log9x,x∈(1,+∞). 使f(x)=12的x的集合为． 解析 在直角坐标系中,画出分段函数f(x)的图象(如图),由2-x=12,得x=1；由log9x=12,得x=3；故满足条件的x构成的集合为1,3． 点评 分段函数是一个函数,这类问题,只需先画出函数的图象,再利用数形结合思想,可迅速解题；结果是集合,填1,3是不妥的,应该注意。 (五) 过定点、平移等基本不等式的综合应用 【例6】 函数y=loga(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为 ． 解析 ∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),它向左平移2个单位,再向下平移1个单位,就得到函数y=loga(x+2)-1的图象,∴定点A(-1,-1)；∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴m+n=2,又mn>0,∴m>0,n>0,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn≥2,(当且仅当m=n=1时取等号),于是1m+1n的最小值为2． 点评 学过平移问题后,要熟记“左加右减”的平移法则,与y分别在“=”两侧加减的常数,法则是“上加下减”；得到m+n=2并判断出m>0,n>0后,1m+1n乘上1不改变结果,12(m+n)1m+1n中的12不能漏,别因为疏忽导致错误。 迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。——祖冲之 (六) 建立函数模型问题(二次函数型) 【例7】 如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D, 设CP=x,△CPD的面积为f(x),则f(x)的最大值为． 解 设∠DCP=θ,∵CP=x,AC=2,,∴PB=PD=6-x,在△CDP中,由余弦定理,得(6-x)2=22+x2-4xcosθ,cosθ=3-8x, sin2θ=1-cos2θ=-8+48x-64x2, S2△CPD=12×2xsinθ2=-8(x2-6x+8),当x=3时,S2△CPD取得最大值8,∴f(x)=S△CPD的最大值为22． 点评 表示三角形的面积,有两种选择：①S=12•底•高,②S=12ab•sinθ(θ为a,b两边的夹角),本题自变量x已经给出,由“同圆的半径相等”,可用数字或含x的代数式表示△CPD的三边,由正弦定理又可以建立三角形的边角关系,故②较理想。 (七) 考查二次函数、恒成立及函数与方程、分类讨论思想 【例8】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象C经过点A(1,0),曲线C在点A处的切线与直线x-6y=0垂直,又当x=4时,函数f(x)有最小值． (1) 求f(x)的解析式； (2) 若不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立,求正整数m的值． 解 (1) ∵图象C经过点A(1,0),∴a+b+c=0…①；又f′(x)=2ax+b,则f′(1)=2a+b=-6…②,-b2a=4…③,联立①②③,解得a=1, b=-8, c=7.∴f(x)=x2-8x+7； (2) 不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立可化为(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m)≥0恒成立,令g(x)=(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m), ①当m-1<0时,抛物线g(x)开口向下,不满足条件； ②当m-1=0时,直线g(x)=12x+63也不满足条件； ③当m-1>0时,抛物线g(x)开口向上,由m-1>0, Δ≤0即m-1>0, 3m2-19m+28≤0, 解得73≤m≤4,∵m为正整数,∴m=3或4． 点评 函数与方程经常需要相互转化,用到数形结合思想。当二次项系数含有字母常数时,往往要用到分类讨论思想,经常见到同学讨论时,前面给出分类条件,后面解不等式后,却把前面的条件忘了,采用上面m-1>0 Δ≤0的格式可有效避免这类错误。 实战演练 1. 已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点12,22,则k+α=. 2. 若一系列函数的解析式、值域都相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为f(x)=2x2,值域为0,8,18,这样的“孪生函数”共有个． 3. 设α∈-1,1,-12,12,3,则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有． 4. 已知集合A=x13<3x≤3,B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=. 5. 函数f(x)=2x+x-2的零点是x0,若x0∈k-12,k+12,则整数k=． 6. 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x≥0),则f(x)的最大值为. 7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2x,x≤0 f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)= ． 8. 函数f(x)=|lg|x||(x≠0), 0(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有个． 无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 【参考答案】 1. 由幂函数的定义,得k=1,又函数f(x)=xα的图象过点12,22,∴12α=22, 得α=12,于是k+α=32． 2. 显然,x=0时,y=0；x=±2时,y=8,x=±3时,y=18；由映射、函数定义,定义域分别为｛0,2,3｝,｛0,-2,3｝,｛0,2,-3｝,｛0,-2,-3｝,｛0,2,-2,3｝,｛0,2,-2,-3｝,｛0,2,3,-3｝,｛0,-2,3,-3｝,｛0,2,-2,3,-3｝均满足,故这样的“孪生函数”共有9个． 3. 1或3 4. 由13<3x≤3得：-1 5. 由f(x)=2x+x-2=0,得2x=-x+2,设g(x)=2x,h(x)=-x+2,∵h(0)>g(0),h(1) 6. 在同一直角坐标系中,画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x；当2<x≤4时,f(x)=x+2；当x>4时,f(x)=10-x；故f(x)在x=4时取得最大值6. 7. 由已知得f(-1)=12,f(0)=1,f(1)=f(0)-f(-1)=12,f(2)=f(1)-f(0)=-12,f(3)=f(2)-f(1)=-12-12=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-12,f(5)=f(4)-f(3)=12,f(6)=f(5)-f(4)=1,f(7)=f(6)-f(5)=12,…,可以发现：当x>0时,6为一个循环周期,得f(2 011)=12． 1．了解幂函数的概念，会画幂函数，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。 2．了解几个常见的幂函数的性质。㈡过程与方法 1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。2．使学生进一步体会数形结合的思想。㈢情感、态度与价值观 1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。 2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。教学重点 常见幂函数的概念和性质 教学难点 幂函数的单调性与幂指数的关系 教学过程 一、创设情景，引入新课 问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？ （总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数） 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V是a的函数。问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里a是S的函数 问题5：如果某人s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题） 二、新课讲解 （一）幂函数的概念 如果设变量为,函数值为，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？ 这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？ 这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？ 幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中是自变量，是常数。 【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别： 对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 试一试：判断下列函数那些是幂函数（1）（2）（3）（4） 我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质） （二）几个常见幂函数的图象和性质 在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？ 【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 图象范围 【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共同性质。函数的图象都过点 函数在上单调递增； 归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。(演示几何画板制作课件：幂函数.asp)请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。（利用drawtools软件作图研究） 归纳： 时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。 （三）例题剖析 【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。（1）（2）（3） 分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？ 方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。若函数解析式中含有分母，分母不能为0； 若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负； 0的0次幂没有意义； 若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0； 求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。 结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。 归纳分析如果判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系） 【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）(1)________ (2)________(3)__________ (4)____________ 分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小 三、课堂小结 幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 常见幂函数的图象和幂函数的性质。 四、布置作业 ㈠课本第73页习题2.4第1、2、3题 ㈡思考题：根据下列条件对于幂函数的有关性质的叙述，分别指出幂函数的图象具有下列特点之一时的的值，其中 （1）图象过原点，且随的增大而上升； 1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 教学重点与难点 重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导． 教学过程设计 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？ 生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？ 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程 1.072x=4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 师：请同学谈谈对对数这个定义的认识． 生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法． 生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．） 师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开 记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）? 式子 名称? a b N? 指数式 对数式 ab=N logaN=b ? ? ? 练习1 ?把下列指数式写成对数形式： 练习2 ?把下列对数形式写成指数形式： 练习3 ?求下列各式的值： （两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．） 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．） 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28„„． 练习4? 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． 师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师：（板书） alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明． 师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件． 生：a＞0，a≠1，N＞0． 师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．（给学生一分钟时间．）师：（板书）2log28=？2log42=？ 生：2log28=8；2log42=2． 师：第2题对吗？错在哪儿？ 师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式 alogaN=N． （师用红笔在两处a上重重地描写．）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？ 生：化简！ 师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略） 师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质． 师：负数和零有没有对数？并说明理由． 生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数． 师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数． 师：（板书）性质1：负数和零没有对数． 师：1的对数是多少？ 生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零． 师：（板书）1的对数是零． 师；底数的对数等于多少？ 生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1． 师：（板书）底数的对数等于1． 师：给一分钟时间，请牢记这三条性质． 师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下． 生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n．还有（am）n=amn； 师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即 loga（MN）=logaM+logaN．（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． 师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以 M·N=ap·aq=ap+q，所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN． 即 loga（MN）=logaM+logaN． ? 师：这个法则的适用条件是什么？ 生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆． 生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11． 师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化． 师：（板书）log62+log63=？ 生：log62+log63=log6（2×3）=1． 师：正确．由此例我们又得到什么启示？ 生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数． 师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．（给学生三分钟讨论时间．）生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以 师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？ 生：（板书） 师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛． 师：法则（2）的适用条件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆． 生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 师：（板书）lg20-lg2=？ 师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法． 师：（板书）例1 ?计算： 生：（板书）解 （1）log93+log927=log93×27=log981=2； （3）log2（4+4）=log24+log24=4； （由学生判对错，并说明理由．） 生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书） 生：第（3）题错！法则（1）的内容是： 生：第（4）题错！法则（2）的内容是： 师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？ 生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）． 师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即 loga（N）n=n·logaN． 师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证 Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需证 N=alogaN． ? 由对数恒等式，这是显然成立的． 师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有 N=alogaN． 所以 Nn=（alogaN）n=an·logaN． ? 根据对数的定义有 loga（N）n=n·logaN． 师：法则（3）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0． 师：观察式子结构特点并加以记忆． 生：从左往右仍然是降级运算． 师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．（找一好一差两名学生板书．）错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15． 正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即 师：法则（4）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0． 师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2 ?用logax，logay，logaz表示下列各式： （生板书）解 （注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）（师板书）例3 ?计算： （生板书）解 （1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19． 师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容． 作业? 课本P78．习题第1，2，3，4题． 课堂教学设计说明 本节的教学过程是： 1．从实际问题引入，给出对数定义； 2．深刻认识对数定义； 3．对数式与指数式的互化； 4．对数恒等式alogaN=N； 5．对数的性质； 6．对数运算法则； 7．例题·小结·作业． 【幂函数解题技巧】推荐阅读： 初中突破函数解题技巧08-31 函数最值解题技巧10-26 三角函数解题技巧数例10-20 函数解题09-07 抽象函数解题策略剖析11-16 抽象函数的解题策略论文09-23 函数应用题解题策略论文09-07 指对幂函数图像总结05-14 幂函数的定义是什么10-02 高中数学幂函数教案设计10-16初中二次函数的解题小技巧 篇4
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