函数最值解题技巧

函数最值解题技巧（共11篇）

函数最值解题技巧 篇1

分式函数值域问题分类导析

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法． p(x)首先我们给出分式函数的定义：形如f(x)的函数叫做分式函q(x)

数，其中p(x)、q(x)是既约整式且q(x)的次数不低于一次．下面就p(x)、q(x)的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．

1.一次分式函数

p(x)、q(x)的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如axbf(x),xA,c0的函数． cxd

一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成xf1(y)，由于xA，则f1(y)A，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域．

2x3例1． 求函数y，x[3,8]的值域． x

22y32y38，解得解：改写成x，因为x[3,8]，所以3y2y2

1919y9，即原函数的值域是[,9]． 66

２．二次分式函数

p(x)、q(x)至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，ax2bxc,xA,a、d不全为零的函数． 即形如f(x)2dxexf

若A=，则可采用根的判别式法求值域． ｛x|dx2exf0｝

x24x

5例２．求函数y2的值域．

x4x

4解：化为关于x的方程(y1)x24(y1)x4y50．若ｙ＝１，则方程无解，即y1．因为xR，所以0，解得y1，即原函数的值域是（1,）．

若A，则再分类讨论． ｛x|dx2exf0｝2.1．形如f(x)

c，xA,d0且c0的函数．

2dxexf

先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数f(x)的值域．

例３．求函数f(x),x[3,5]的值域． 2

x2x

3解：令g(x)x22x3(x1)24,x[3,5]，1

1则g(x)[4,12]，所以函数f(x)的值域是(,][,)．

412

bxc

2.2．形如f(x)2，xA,d0且b0(*)

dxexf

ax2bxc

或f(x)，xA,a0且e0的分式函数．

exf

下面就形式(*)讨论解法．

b

2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得f(x)＝．只要讨论

fdxe

x

f

函数g(x)dx,xA且x0的值域．

x

不妨设d0．若f0，则函数g(x)在(,0)和(0,)上分别是增函数；若f0，则函数g(x)在(0,ff]和[,0)上分别是减函数，在dd

ff

]上分别是增函数．这样利用函数g(x)的单调性，先[,)和(,dd

求出g(x)的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x,x[1,)的值域． 2

x2x414,x1．令g(x)x,x1，则g(x)4，所以解：f(x)

4xx2x1

函数f(x)的值域是(0,]．

6例４．求函数f(x)

2.2.2．若c0，则换元，令tbxc，转化为２.２.1．形式的分式函数．

x1

例５．求函数f(x)2,x(1,3)的值域．

x2x3

t1

,t(0,4)． 解：令tx1，则y2

4t4

tt

因为t(,3)，所以函数f(x)的值域是(,0)(,)．

t3

ax2bxc,xA,a0且d0的分式函数． 2.3．形如f(x)2

dxexf

2.3.1．若bc0或ef0，则分子分母同除以x，转化为求关于的x

二次函数的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x21

例６．求函数f(x)2,x[,1]的值域．

x4x13111

,[1,3]．因为函数 解：f(x)

141x2

1(2)3x2xx

112

g(x)(2)3,[1,3]的值域是[3,2]，所以函数f(x)的值域是

xx

[,]． 23

2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设

a(xm)2

f(x)2,xA,a0且d0，则可令txm，转化为2.3.1

dxexf

形式的分式函数．

x24x4

例７．求函数f(x)2,x[1,0]的值域．

x4x5

t2111

解：令tx2，则y2,[,1]．因为

1t1t212

t

151412[,2]，所以函数f(x)的值域是[,]． t425

2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即

aeaf

(b)xca，转化为2.2形式的分式函数． f(x)ddx2exf

x24x5例８．求函数f(x)2,x[0,2]的值域．

x4x322

1,x[0,2]，解：f(x)12所以函数f(x)的2

x4x3(x2)1

值域是[

175,]． 153

3．分式函数值域在解析几何中的运用

解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方

例９．已知直线l1：y4x与点P(6,4)l1上求一点Q，使直线PQ与直线l1，以及xl1在第一象限内围成的三角形面积最小．

解：设Q(x0,4x0)，直线PQ的方程

y4x6

是，直线PQ交x轴于点

4x04x06

5x0

A(,0)．根据题意

x01

10，111()2x024

x01，所以SOAQ

10x02115x0

|OA|yQ4x022x01x01

x01，当x02时，SOAQ的最小值为40，Q(2,8)．

此题的解法是将OAQ的面积S表示为Q的横坐标x0的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值．

例10．设F1、F2是椭圆3x22y26的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置．

解：设AB弦所在的直线方程是

ykx1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

SABF

|F1F2||x1x2||x1x2|． 2

ykx1

由方程组2，消去y，2

3x2y6

得(2k3)x4kx40，则x1x221222

k32k3

4k2448(k21)22

SABF(x1x2)4x1x2(2)42，22

2k32k3(2k3)

令t2k23,t[3,)，SABF

24(t1)112111

24[()],0，2

tt24t3

SABF当t=3时，43

有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于x轴．

此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为k2的二次分式函数，从而求出最大值．

函数最值解题技巧 篇2

一、回顾概念

苏教版《数学1》中函数最大值的概念: 一般地,如果存在x0∈A,都有f( x) ≤f( x0) ,那么称f( x0) 为y =f( x) 的最大值,记为ymax= f( x0) .

人教A版《数学1》给出的函数最大值的概念: 一般地,设y =f( x) 的定义域是I,如果存在实数M满足: ( 1) 对任意的x∈I,都有f( x) ≤M; ( 2) 存在x0∈I,使得f( x0) = M. 那么,我们称M是函数y =f( x) 的最大值.

不同的表述方式,但本质上是一样的. 苏教版言简意赅,人教版更回归本源. 如果概念理解深刻,那么两者之间是可以等价转化的. 但是我们在做题目的时候,针对题目不一样的表述,我们用不同的表述去理解它,将会少走很多弯路,事半功倍,举一反三.

二、原题呈现

1. ( 2008 年高考数学全国卷文科第 21 题) 设 a∈R,函数 f( x) =ax3- 3x2.

( 1) 略.

( 2) 若函数g( x) =f( x) +f'( x) ,x∈[0,2]在x =0的时候取到最大值,求a的取值范围.

解析这道题可以用苏教版的概念去理解最大值,那么解决起来就比较方便,由最大值的定义可知要使得题意满足,当且仅当 恒成立,x∈[0,2],其中第一个不等式,显然满足,第二个不等式我们就可以参变量分离去解决,不难得出答案a∈ -∞,6( ]5. 这样我们避开了复杂的分类讨论.

2. ( 2014 年苏锡常镇一模第 14 题) 在平面直角坐标系xOy中,已知点P( 3,0) 在圆C: 内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围_____ .

解析把圆C化成标准方程( x -m)2+ ( y - 2)2= 32,( 3 -m)2+ 22< 32,设出圆心到直线的距离d, 设d2∈A. 又因为S的最大值为16,且当d2= 16,S = 16,所以 恒成立,又因为S≤16恒成立显然满足,因为d2∈( 0,PC2],即A = ( 0,PC2],所以0 <16≤PC2,( 3 -m)2+ 22≥16,即

小结这道题目可以用人教版的概念去理解,因为16不是那么容易看出就是一个函数值,所以分两步S≤16恒成立和S =16在A上有解,就很容易可得到0 <16≤PC2.

3. 设函数f( x) = 2x3- 3 ( a + 1) x2+ 6ax + 1,当x∈[1,3]是f( x) 的最小值为5,则实数a的取值范围是什么?

分析这道题目和前面的不一样,如果不用定义直接转化最值,也可以分析极值点而得到f'( x) =6( x -1) ( x a) = 0,x = a或x = 1( 舍) . 接下来分三种情况讨论:

这道题我 们如果利 用最小值 的概念 等价转化一样可以很清晰地得到结果.

解析因为当x∈[1,3]时f( x) 的最小值为5,所以x0∈[1,3],f( x0) =5有解; 且对x∈[1,3],f( x) ≥5恒成立. 即2x30- 3( a + 1) x20+ 6ax0+ 1 = 5在[1,3]有解,参变量分离可以得到:3a( 2x0- x20) = -2x30+ 3x20+ 4,检验x0= 2满足等式,所以a∈R; f( x) ≥5,即3a( 2x - x2) ≥ -2x3+3x2+ 4,当 x∈[1,2) , 所以3a≥6,即a≥2; 当 x = 2,a∈R; 当 x∈( 2,3], ,所以3a≤6,即a≤2. 综上,a =2.

三角函数最值问题的解题技巧 篇3

[关键词]三角函数最值问题解题方法

求函数的最大值与最小值涉及范围极为广泛，可使用的方法也很多，代数、三角、几何的问题中都有大量求最值的问题。三角函数与最值相关的问题综合性强，解题方法也多样化。解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现。下面介绍解三角函数最值问题的常见方法。

1.形如y=asinx+bcosx型的函数的最值。

3.形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型的函数的最值。

这类问题最后化为二次函数的三角最值问题，利用三角函数的有界性-1≤sinx≤1，并结合二次函数的性质求得结论。闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得。

例3.求函数y=-4cos2x-4sinx+6的最值。

解：y=-4cos2x-4sinx+6=-4（1- sin2x）-4sinx+6=（2sinx-1）2+1

4.求只含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，通常方法是换元法：令sinx±cosx=t(- ≤t≤ )，将sinxcosx转化为t的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题。但要注意换元后变量的取值范围。

例4.求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

的函数的值域，通常将函数式变形，转化为一个角的正弦或余弦形式，再根据正弦、余弦函数的有界性求得。也可以用万能公式，结合判别式法求得值域；此类问题还可以利用函数表达式的特点，应用数形结合思想使求函数最值的问题转化为求过某个定点与动点的直线斜率的最值问题。

且仅当a=b时函数才能取得最值。应当注意：

由以上几种形式，可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法：一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决。三角函数的最值问题，是三角函数基础知识的综合应用，它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起，有一定的难度，要注意灵活选用方法。

参考文献：

[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究,2004,(1).

[2]沈红霞.用均值不等式求最值,变不可能为可能[J].数学教学,2005,(10)30-31.

[3]薛金星.中学数学教材全解[M].

初中数学二次函数解题技巧 篇4

问题3 如图3点A坐标(2，4)，直线x=2交x轴于点B，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，交x=2于点P，顶点M(m，n)到达A点时停止移动.当m为何值时，线段PB最短?此时相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

此题中第一问可以先由A点坐标和坐标原点求出直线OA的解析式，进而用m表示出n，进而求出抛物线y=x2平移到M点后的新坐标式，再令新坐标式中x=2，求出P点纵坐标的表达式(含有m)，视为m的函数，m∈[0，2]时，求出何时PB最短;难点是在第二问，在解决第二问之前，必须定性判断出若Q点存在，那么如何首先以几何方式寻找出Q点的位置，并根据几何特征采用相应的推理或计算步骤?如图示，可以将直线PA左右平移，假设平移后与抛物线的交点为D且D、M与直线x=2水平距离相等，那么△DAP与△MAP同底(底为AP)等高，必然等积，所以D点即所求之一;同理，可以将直线AM平移，设平移后与抛物线交于E且E点与P点到AM等距，则△EAM与△PAM同底等高(底为AM)等积，E点也为所求;又或同理，可以将直线MP平移，设平移后与抛物线交于F且F点与A点到AM等距，则F点还为所求. 一旦寻求到解决的思路，则问题迎刃而解.

充分运用双曲线上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积

双曲线与二次函数结合的问题在近年中考中屡见不鲜，充分运用双曲线y=(a>0)上的动点及其在坐标轴上的投影、坐标原点三点组成的三角形定积，这个定积就是双曲线对应的反比例函数解析式中的定值的一半，在一些问题中成为解决难点的关键.

二次函数的最值教案 篇5

一、教学目标

（一）知识与技能

1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值；

2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值；

（二）过程与方法

通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。

（三）情感态度价值观

1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心；

2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

四、教学重点与难点

1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。

2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题。

二、课堂教学设计过程

（一）复习导入 以旧带新

1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。

2、二次函数y=－x²+4x－3的图象顶点坐标是（）

当x

时，y有最

值，是______。

3、二次函数y=x²+2x-4的图象顶点坐标是（）当x

时，y有最

值，是______。

分析：由于函数的自变量的取值范围是全体实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值。

设计意图：复习与本节课有关的知识，可充分调动学生思维的积极性，又为新课做好准备。

（二）创设情境，导入新课

1、试一试：

1.有长为30米得篱笆，利用一面墙（墙的长度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于BC）的矩形花圃。设花圃的一边BC为x米，面积为y平方米。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。设计意图：让学生从已学的用配方法或公式法求二次函数的最值，在教学时，可让学生充分讨论、发言，培养学生的合作探究精神，可让学生感受到成功的喜悦。

2。直击中考：

例2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么一个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润? 分析：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围，结合图像和二次函数的性质求w的最大值。

（四）课堂练习，见导学案

（五）课堂小结，回顾提升

本节课我们研究了二次函数的最值问题，主要分两种类型：

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最值；

（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范围加以分析，结合函数图像的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最大值或最小值。

另：当给出了函数的一般形式时，不管自变量是否受限制，常常要配方化为顶点式来求最值问题。

三角函数周期与最值教案 篇6

时间：2017-9-12 授课班级：高三（5）班

授课内容：三角函数的周期与最值 教学目标： 掌握三角函数的最小正周期的求法。掌握能化成形如yAsin(x)b的三角函数的最值的求法。3 有范围限制的三角函数最值的求法

教学重点：把形如yasinxbcosx的三角函数化成yAsin(x)b的形式的方法与技巧。

教学过程：

回顾上节课内容，导入新课

复习上节课三角函数的图像以及求单调区间，对称轴，对称中心。

新课讲授：

一．三角函数的周期（最小正周期）

2(x)b

T=

1.yAsin（w>0）

2 2.yAcos(x)b

T=（w>0）

x)b

T=（w>0）3.yAtan(

二.三角函数的最值

1.形如yAsin(x)b（x∈R）的最值

若A>0时，ymaxA

yminA

若A<0时，ymaxA

yminA 注:有范围限制时需结合图像求值域

2.辅助角公式

yasinxbcosxaba2b2(sinxcosx)

2222ababa2b2sin(x)

(其中cosaab22，sinbab22)yasinxbcosxabcos(x—)22

（其中sinaab22，cosbab22）

三.例题：

1.选择题

x)+1是（）4

A

最小正周期为的奇函数

B

最小正周期为的偶函数

C

最小正周期为的奇函数

D

最小正周期为的非奇非偶函数

2.填空题

sin2xcos2x函数y=的最小正周期

cos2xsin2x

3.解答题

已知函数f(x)=sin2xsinxsin(x)

（1）求f(x)的最小正周期



（2）当x∈﹝0，）时，求f（x）的值域

2函数y=-2cos2（练习题:

求y23sinx2cos(x),x0,的最大值 3

准确把握题意,巧用“最值”解题 篇7

类型1

(Ⅰ) 若f (x) 在x=1处的切线与x轴平行, 求实数a的值;

解析:

(Ⅰ) f' (x) =3x2-a, ∵f (x) 在x=1处的切线与x轴平行, ∴f (x) 在x=1处的切线斜率为0

即f' (1) =3-a=0, ∴a=3

令t' (x) =0, ∵x>0, ∴x=1, ∴在 (0, 1) 上, t' (x) <0, 在 (1, +∞) 上, t' (x) >0,

∴t (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递增, 故当x=1时, t (x) 有最小值为4, 故a∈ (-∞, 4]

显然x∈ (0, +∞) , F (x) >H (x) , 故原不等式成立。

点评:此类恒成立问题还有“变种”形式:

例2:已知函数f (x) =x2+2 (1-a) x+2 (1-a) ln (x-1) , x∈ (1, +∞)

(Ⅱ) 求函数f (x) 的单调区间;

解析: (Ⅰ) (Ⅱ) 两问略

(Ⅲ) 当a=2时, 由 (2) 知f (x) 在 (1, 2) 减函数, 在 (2, +∞) 增函数。

所以f (m1) -g (m2) <2e2+2e成立,

只要e2-3- (-e+1) 2-b) =e2-3+ (e+1) 2+b=2e2+2e-2+b<2e2+2e成立即可

解得:0

(Ⅰ) 求实数a的值;

解: (1) x∈ (0, +∞) ,

当x∈ (0, 1) 时, f' (x) >0, f (x) 在 (0, 1) 上是增函数;

当x∈ (1, 2) 时, f' (x) <0, f (x) 在 (1, 2) 上是减函数;

所以f (x) 在 (0, 2) 上的最大值为f (1) =-2

所以g (x) 在[2, 3]上单调递增, 其值域为[-e2-m, -m]

类型2:

设f (x) , g (x) 分别是定义在区间[a, b], [c, d]上的两个函数,

(Ⅰ) 求函数g (x) 的单调区间;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在 (1, +∞) 上是减函数, 求实数a的最小值;

当x>e时, g' (x) >0, 所以函数g (x) 的单调增区间是 (e, +∞) 。

由f' (x) 的单调性和值域知, 唯一x0∈ (e, e2) , 使f' (x0) =0, 且满足:

0当x∈ (e, x0) 时, f' (x) <0, f (x) 为减函数;

当x∈ (x0, e2) 时, f' (x) >0, f (x) 为增函数;

设f (x) , g (x) 分别是定义在区间[a, b], [c, d]上的两个函数,

例5:已知函数f (x) =3e|x|+a (e=2.71828…是自然对数的底数) 的最小值为3。

(Ⅰ) 求实数a的值;

(Ⅱ) 已知b∈R且x<0, 试解关于x的不等式lnf (x) -ln3

因为函数f (x) 的最小值为3, 所以a=0。

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得, f (x) =3e|x|,

当x<0时, lnf (x) =ln (3e|x|) =ln3+lne|x|=ln3+x=-x+ln3,

故不等式lnf (x) -ln3

即x2+2bx-3b2>0, 得 (x+3b) (x-b) >0,

令h (x) =1+lnx-x (x>0)

又∵x∈[1, m], ∴h (x) min=h (m) =1+lnm-m

例6: (山东省2010年理科高考数学试题)

所以此时函数f (x) 在 (0, +∞) 是减函数;

多元函数的极值与最值 篇8

关键词： 驻点    极值    最值

我们在学习多元函数的微积分学时知道，讨论多元函数的微分及其应用时以二元函数为主，因二元以上的函数的微分理论可以由二元函数的微分理论直接类推.一元函数到二元函数则不同，有些知识可以由一元函数的理论直接类推得到，但有些知识从一元函数类推到多元函数会产生新的问题.因而如果用一元函数的一些结论解决多元函数的问题，就会出现错误认识.本文就关于求多元函数的极值与最值问题容易出现的错误认识做了探讨.

判断一元函数极值点的一般方法是：首先找出函数的驻点和一阶导数不存在的点.其次由极值存在的第一充分条件来判断，若某点左右两侧的导数符号相反，该点一定是极值点.最后再具体判断出是极小值点还是极大值点，从而求出函数的极值.

求可导的一元函数在闭区间[a，b]上的最值的一般方法是：首先找出函数在区间内的一切驻点（即导数为零的点），然后求出这些驻点和區间端点处的函数值，再进行比较，最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.

关于一元函数的极大值与极小值和最大值与最小值，我们有这样的命题.

命题一：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上连续，若y=f（x）在I内两点x，x（x

命题二：若函数y=f（x）在区间I（有限或无穷，开或闭）上可微，又在I内有唯一驻点x且为极值点，则x就是y=f（x）在区间I上的最值点.

这两个命题的几何意义非常明显，且很容易证明.因此，在学习多元函数的极值和最值的过程中，如果也按一元函数的理论理解上述两个命题，就很容易产生以下错误认识.

（1）若函数z=f（x，y）在闭区域D内可微且有多于两个极大值（或极小值）点，那么在D内，函数在闭区域D内至少存在一个极小值（极大值）点.

（2）若函数z=f（x，y）在有界闭区域D内可微且有唯一的驻点（x，y）（f（x，y）=f（x，y）=0）且是函数的极大值点（或极小值点），则该点必是函数的最大值点（或最小值点）.

以上结论对多元函数都不成立.

对于错误认识（1），我们有这样的例子.

例1：讨论函数z=f（x，y）=（1+e）cosx-ye的极值.

解：函数的定义区域是整个平面.

求驻点，解方程组

f（x，y）=-（1+e）sinx=0f（x，y）=e（cosx-1-y）=0

得无数个驻点（kπ，（-1）-1）    k∈Z，

由f（x，y）=-（1+e）cosx，f（x，y）=-esinx，f（x，y）=e（cosx-2-y）

可知在点（2kπ，0）处：

在点（（2k-1）π，-2）处：

f（（2k-1）π，-2）-f（（2k-1）π，-2）·f（（2k-1）π，-2）=e（1+e）>0，函数无极值.

故可知此函数在全平面上有无穷多个极大值，但没有极小值.考察此函数的曲面形态，我们会发现，函数在全平面上的无数个极大点对应曲面上无数个小“山包”，任意两“山包”之间有沟，这些沟都有“斜坡”向下，不能形成“盆地”，故函数没有极小值.

对于错误认识（2），我们讨论下例.

例2：设z=f（x，y）=8x+y-xy-8x，D：|x|≤，|y|≤.

解：求驻点，解方程组

f（x，y）=16x-y-24x=0f（x，y）=y-x=0

得两个驻点（0，0）和，2.但，2不在D内，故在D内仅有唯一驻点（0，0）.

f（x，y）=16-48x    f（x，y）=-1     f（x，y）=

在（0，0）点处，由f（0，0）-f（0，0）·f（0，0）=-3<0，f（0，0）=16>0，可以判定（0，0）为f（x，y）在D内的唯一极小值点.但可以求出f（x，y）在边界点，处取得最小值，f，=π-π<0，因此f（0，0）=0并非最小值.

由例2可知z=g（u，v）在全平面上仅有一个驻点（0，0）且在该点处由

g（0，0）=16，g（0，0）=-1，g（0，0）=，

g（0，0）-g（0，0）·g（0，0）<0，g（0，0）=16>0，

可以判定（0，0）为z=g（u，v）在全平面内的唯一极小值点，g（0，0）=0是极小值.但它并不是最小值，如z=g（tan1，tan1）=8-1-8=-<0.显然函数的最小值不存在，因为全平面是开区域，若有最小值，则一定是内点，是域内的极值点，但前面已证明域内极小值点不是最小值点.观察这样函数的曲面模型，我们可以看到显然在极小值点处可以形成“盆地”，但在它周围的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方，若区域有界，则最低点就在边界上.

由以上讨论可以看出，多元函数的极值和最值问题要比一元函数的情况复杂得多.即便在有界闭区域的边界上有限个点的函数值都大于区域内点的函数值，也不能做出区域内必有极小值点的判断，更不能得出最小值一定在区域内的结论.对极大值也是如此.所以对一般多元函数求最值的方法是首先找出函数在区域内的驻点和边界上的最值点，然后比较它们的函数值确定函数的最值点.在解决具体的实际问题中，如果根据问题的性质，我们确实可以肯定函数是在区域内部取得最值时，才能利用域内有唯一驻点且是极值点而得出此点即为最值点的结论.

参考文献：

[1]高等数学.同济大学数学教研室.高等教研出版社，1982.

专题六 二次函数的最值问题 篇9

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc(a0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况 24acb2b当a0时，函数在x处取得最小值，无最大值；

4a2a4acb2b当a0时，函数在x处取得最大值，无最小值．

4a2a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：yaxbxc在mxn（其中mn）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0； 第二步：讨论：

[1]若a0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧；

②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部；

③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。[2] 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论： 2mn，即对称轴在mxn的中点的左侧； 2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2①对称轴x0说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5；（2）yx3x4．22

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例2当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

2125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125解：函数yxx的对称轴为x1．画出其草图．

22125(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymintt；

22125(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时： 当x1时，ymin113；

22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当xt1

151ymin(t1)2(t1)t23．

222例4当txt1时，求函数y

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点． 2

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

222专题六 二次函数的最值问题 参考答案

22例1分析：由于函数y2x3x5和yx3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

334949 因为y2x23x5=2(x)2，所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48482（2）因为二次函数yx3x4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

因为yx23x4=(x2532253，所以当x时，函数yx23x4有最大值．)4242例2解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例3解：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1． 例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x． y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2)由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

l22311．4 14或2，2．m 3．a2,b2． 4．a或a1．

函数最值解题技巧 篇10

教学设计

一、内容和内容解析

函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。

函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。

二、目标和目标解析

1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。

3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。

5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。培养学生的探究能力和创新精神，体验到思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生良好的思维品质。

三、教学问题诊断分析

函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。在函数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数的图象，举一些反例加以理解巩固。函数的单调性一定与某个区间相对应，而学生容易犯“某个函数单调递增（减）函数”这一错误。“函数在（-∞，0）上y随x增大而减少，在（0，+∞）上y随x的增大而减少。”

在定义域内是减函数，即把两个单调区间进行合并；分别在而学生容易错误理解函数区间上取两个数-1和5，-1<5，而f(-1)

四、学习行为分析

学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函的最值，讨论函数

（x>0）单调区间等具数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数上y随x的增大而减少，则函数

在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（0,+∞）

在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。

五、教学支持条件分析

函数的单调性和函数的最大（小）值这一性质学生在初中接触到过，但只侧重于图象上直观分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，为了突破这一难点，充分发挥信息技术的辅助教学的功能。在概念教学中，首先利用多媒体技术画出函数y=x，y=x2，y=x3相应的函数的图象，然后在函数上取不同的点，由学生观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静为动，化抽象为直观，便于学生理解。对于概念中的一些关键字词，比如 “任意”、“都”、“存在”在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学生加深印象。对于一些容易出错的问题采取小组讨论法，纠错法。例如教师提出“讨论函数的单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的形状是下降”。也有同学会回答“不是单调函数”，理由是“因为x1=-1，x2=1时，x1

六、评价设计

《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。”根据新课程标准的要求，发展性评价的核心是关注学生的发展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一个重要举措就是突出评价的过程性，评价将贯穿于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程中的全部情况都纳入评价的范围，而不只是评价学生的学习的结果。在本教学设计过程中，始终注重过程评价，注重评价的针对性，实效性。主要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评价。对函数的单调性和函数的最大（小）值的定义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字词，如“任意两个”、“都”、“存在”的理解。举出正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体评价相结合。二是基本技能掌握情况的评价。主要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定义法，复合函数法），如何选择不同的方法。证明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作差变形的策略），单调区间的确定。求最值的基本方法的掌握情况等。三是数学思想的落实和数学探究能力培养的评价。运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），提升学生数形结合的思想。函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习的主人。（具体的教学评价见教学过程）

七、教学过程设计 设计环节 设计意图 师生活动

教师提出问题：

“问题是数学的心脏”，把问题作为出发点，为一．创设情境，导下一步提出探索性的出问题

问题创设有效的学习

学校准备建造一个长环境。

方形的花坛，周长设计为16米。由于受周围地理位 置限制，其中一边的长度既不能超过6米，又不能 少于1米。

二、借助信息技y=x，y=x，y=，y=x3 术，利用熟悉的函学生动手画图，个别板演，集体探讨函数值与自变从形象、直观的图形入数，给出单调性直量之间的关系，教师适当引导。

手，为探索与思考问题观认识。y=x在R上y随x的增大而增大。

提供方向和“路标”，并

借机发展学生的动手y=x在(-∞,0)上y随x的增大而减少，在(0,+∞)上y

实践能力、创新能力、随x的增大而增大。

和探索能力。y=在（-∞，0）上y随x的增大而减少,在（0，+∞）上y随x的增大而减少。

y=x3 在R上y随x的增大而增大。

教师利用信息技术，动画演示函数的图象。

怎样用数学语言表示y=x在R上y随x的增大而增 大呢？（学生讨论，教师引导，得出增函数的定 义）(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住从定性描述到定量描时机予以启发，纠正，补充)。述，从通俗的日常用语一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I到严谨的数学语言，让内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1

三、从定性到定会逻辑地、合理地思考量，引出单调性的问题。定义，并能深刻理 解定义的含义。

增函数(increasing function)

注意数形结合，定义是用类比的方法得出减函数的定义： 严谨的语言，图象是直如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量观的语言，注意两者有值x1、x2,当x1 f(x2).那么就说f(x)在机的结合。这个区间D上是减函数(decreasing 问

1、建立面积y与一边长x的函数关系式。

生：y=x(8-x)(1≤x≤6)

问

2、画出上面函数的图象。

问

3、指出y的值与x值的变化关系。以实际问题为背景、以生：当1≤x≤4时，y随x值的增大而增大，学生熟悉的一元二次当4≤x≤6时，y随x值的增大而减小。函数为入口点，激活学问

4、求出面积的最大值与最小值。生原有的认知，让学生

生：当x=4时，Smax=16m；当x=1时，Smin=7m 对所要学的新知获得感性的认识。引导学生解决，体会函数单调性与最大（小）值在实际中的应用。

请学生分别画出下列函数的图象，并探讨函数值y与自变量x之间的关系：

利用类比方法，实现知识与能力的迁移 教师提出问题，让学生

在自主探索，讨论，在function)合作交流中，充分体现如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。学生学习的主体性，对那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调概念进一步深入的领性，区间D叫做y= f(x)的单调区间.会。

1、“函数y=x2是单调递增函数”这一说法对吗？

2、y=在（0,+∞）上是减函数，在(-∞,0)是减函数，能否说函数在整个定义域上是减函数？

3、函数在某个区间是否一定具有单调性？

4、如何理解定义中“任意”两个字？

1、教材例（1）p34讲解：让学生自己通看教材，例（1）是利用函数的学生提问，学生自行解决，师生共同总结： 图象来判断函数的单（1）单调性与端点无关。

调性，具有直观性，也（2）判断函数的基本方法-----图象法。是常用方法。

2、教材例（2）p34讲解：教师板演，师生共同总 结：

四、讲解例题、巩（1）判断函数的基本方法-----定义法。

固知识，提高能（2）总结定义法证明单调性的基本步骤：

力。例（2）是利用单调性 1 任取x1，x2∈D，且x1

深对定义的理解。⑤下结论（指出函数f(x)在区间D上的单调性）

3、在解题中，根据题目的实际情况和具体要求，选择适当的方法。

从熟悉，具体的二次函数入手，探讨最大，最小值，让学生有感性认

五、回归引例，探识。

重新演示 讨最大（小）值的

含义 引例函数的图象及面积的最大值与最小值

分析上面图象可以发现，函数y=x(8-x)(1≤x≤6)的 图象上有一个最高点（4，16），任意的x∈［1,6］,用数学语言描述最大都有f(x)≤f(4),当一个函数f(x)有最高点，我们就说值，最小值。函数有最大值。有一个最低点（1，7），任意的x

∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),当一个函数f(x)有最低点，我们就说函数有最小值。而函数f(x)=x的图象没有

最高点也没有最低点，所以函数f(x)=x没有最大值，也没有最小值。

得出函数最大值的定义： 从特殊到一般，揭示数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实学通常的发现过程，便数M满足： 于学生接受。⑴ 对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；

⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）利用类比方法，实现知让学生仿照最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小

六、归纳最大(小）识与能力的迁移 值的定义（minimum value）。值的定义，并加以 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实

说明，解释 数M满足：

⑴ 对于任意的x∈I,都有f(x)≥M； 教师提出问题，让学生⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M 在自主探索，讨论，在那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（maximum 合作交流中，对概念进value）一步深入的领会。

1、函数y=x、y=有没有最值？

2、如何理解定义中的“存在”“任意”的含义？

3、以前求最值有哪些方法？

例(3）、例(4)的教学采用自学导学法，按以下步骤 实施：

例(3)是学生熟悉的烟

1、学生通读题目，理解题意 花问题，可转化为二次

2、利用多媒体演示动画，激发学生学习兴趣。函数来解决，难度不

3、学生自学，相互讨论，共同解决。大。

4、学生提问，教师答疑。

七、函数单调性、5、师生共同小结求最值的基本方法：

最大（小）值应用

（1）转化为二次函数的最值问题。例(4)是单调性与最值①配方法 问题的综合，具有一定②注意实际问题的条件限制。的难度。注意转化为反（2）利用函数的单调性求最值------在闭区间上。比例函数，利用数形结①先证明在在闭区间上具有单调性。合。②端点值即为函数的最值。利用课堂练习巩固所课堂练习： 学的知识内容，数学思课本第38页练习

1、练习

2、练习

3、练习4。想，数学方法，以达到学生独立思考与讨论相结合，教师巡查，个别辅导

八、练习、交流、教学目标，本环节以个与

反馈、评价

别辅导为主，体现面对集体辅导相结合。全体学生的课改新理念。

九、课堂小结 通过学生自我小结，既知识小结：

充分发挥学生的主观

1、函数单调性，最大（小）值的概念。

能动性，提高学生分

2、判断函数单调性的基本方法。

十、布置作业 析，概括，综合，抽象

3、用定义法判断函数的基本步骤 能力，又有利于学生把

4、求最大（小）值的基本方法。新知融入自己已有的师生、生生互动： 知识体系。

1、你觉得本节课中印象最深的是什么？

2、你觉得本节课中最大的困惑是什么？ 让学生提问题，自行解决，教师适当补充。

沟通课内与课外，使学作业布置

生基础性学力与发展

1、书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1-5性学力协调发展，让不题．

同学生得到不同的发

2、研究性作业：设f(x)是定义在R上的增函数，展。f(xy)=f(x)+f(y)，1）求f(0)、f(1)的值；

2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1解集

八、设计反思

在普通高中数学课程标准强调高中数学活动中的师生互动，明确指出“必须关注学生的主体参与，师生互动”进行在教师指导或引导下“数学化”过程，“再创造”过程。建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。备课不只是对知识和教学内容的准备，也包括对学生、学情的分析和掌握.二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求。发现、探究、讲解、演练相结合教学法的确立，就是基于对学生认知基础和认知规律的关注。

函数值域最值问题“两连发” 篇11

分式是数学中的一种常见代数式.什么叫分式？分母含有未知数（或变量）的式子叫分式.同学们普遍感到分式问题很棘手.难点何在？关键在分母.如果分母是常数，那么该式不叫分式.最简单的分母是什么，就是单因式x.本文主要就分式函数的值域或最值问题，谈谈一种常用处理策略——换元法.

例1 求函数y=（x≥0）的值域.

简解 令3x+2=t，则t≥2，x=.所以y=-，又t≥2，所以0＜≤.所以-≤y＜.即值域为-，.

例2 设x>-1，求函数y=的最小值.

简解 令x+1=t，则t>0，x=t-1.所以y=t++5≥9，当且仅当t=，即t=2，即x=1时取“=”，这里用到了基本不等式，同学们可找教材必修5来了解，实际上，用定义也不难证明y=t++5在（0，2］上递减，在［2，+∞）上递增，所以ymin=9.

变式1 设x>-1，求函数y=的最大值.

简析：容易发现，函数式与原题互为倒数，所以

ymax=.

变式2设x>-1，求函数y=的最大值.

简析：分离常数，得y=1+，转化为变式1，所以ymax=.

变式3 设x≥0，求函数y=的最小值.

简析：令x+1=t，则t≥1，y=t--1。因为y在t∈［1，+∞）在上是增函数，所以ymin=-2.

点评 对于分式函数，一般有如下处理策略：

①分子、分母均为一次时，令分母整体为t，可转化为形如y=a+的函数；

②分母为一次，分子为二次时，令分母整体为t，可化为形如y=at+的函数，可运用基本不等式或利用函数的单调性求解；

③分子为一次，分母为二次时，取其倒数转化为情况②，要注意分子可否为0；

④分子、分母均为二次时，分离常数，转化为情况③或分子为常数的情形.

例3 已知y=的值域为（-∞，0］，求a的值.

简解 令sinx+1=t，则t∈（0，2］，y=1-.

显然a+1≠0当a>-1时，有≥，所以y≤，根据题意有a=1；当a<-1时，y≥，显然不合题意.综上，a=1.

例4 求函数y=的最小值.

简解 令=t，则t≤2，y=t+.

因为y在t∈［2，+∞）上是增函数，所以当t=2时，ymin=.

变式 求函数y=的值域.

简解 令=t，则t≥0，y=.

当t=0时，y=0；当t>0时，=t+≥2，所以0＜y≤.

综上，函数值域为0，.

引申：已知函数y=（常数a>0），求该函数的值域.

简解 令=t，则t≥，y=t+.

因为y在x∈（0，1）上是减函数，在x∈（1，+∞）上是增函数，

所以当0

当a≥1时，y在 ［，+∞）上是增函数，故其值域为，+∞.

点评 在上述问题中，通过换元将分式型问题转化为分式问题进行求解.

在不少数学综合型问题中，我们常用分离参数法求解，一般会转化为分式型函数的值域或最值问题.

例5 设sin2θ+mcosθ-2m+1＜0在θ∈0，上恒成立，试求m的取值范围.

分析 条件可化为m＞在θ∈0，恒成立，下面只要求的最大值.

简解 令2-cosθ=t，则t∈［1，2］，y=-t++4≤4-2，当且仅当t=时取“=”.

所以m＞4-2.

例6 关于x的方程loga（x-3）=-1+loga（x+2）+loga（x-1）有实数解，求实数a的取值范围.

分析 条件可化为a=在x∈R上有解（能成立），下面只要求的值域.

简解 由真数大于0，得x>3.

令x-3=t，则t>0，y=t++7≥2+7，当且仅当t=时取“=”.

所以a＞7+2.

本文涉及的分式的处理策略，就是把分母看成整体，采取大家非常熟悉的显性换元法，达到简化分式的目的.特别注意两点：一是新元的取值集合是新问题的定义域，不可忽视；二是如果研究单调性问题，换元即为复合函数的分解，判断原函数的单调性必须使用复合函数单调性判断法则.

1. 求函数y=sin2x+的最小值.

2?郾 求y=的值域.

3?郾 求y=的值域.

1?郾 当t=1时，ymin=4.

2?郾 （-∞，-2］∪［2，+∞）.

3?郾 1，.

含根式函数的值域求法初探

——从双根式线性函数谈起

□ 周伯明 吕 辉

形如f（x）=λ1+λ2（λ1，λ2＞0，b＞a）的函数属于双根式线性函数.其值域求解有一定难度.

这里先给出一些结论.

结论1 f（x）=λ1-λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），则f（x）∈［f（a），f（b）］.

结论2 f（x）=λ1+λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），则f（x）∈［λ1，+∞］.

结论3 f（x）=λ1-λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），当λ1≥λ2时，f（x）∈［λ1，+∞］；当λ1＜λ2时，f（x）∈［-∞，λ1］.

结论4 f（x）=λ1+λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），当λ1≥λ2时，f（x）∈［λ2，］；

当λ1＜λ2时，f（x）∈［λ1，］.

有兴趣的同学可以尝试证明之.

下面再关注两道其他类型的含根式的函数问题.

例1 求y=+函数的值域.

解析一 令m=，n=（m≥0，n≥0），则3m2+n2=3，即m2+=1（m≥0，n≥0），所以y=m+n，即n=-m+y，由线性规划相关知识容易得到函数值域为［1，2］.

或者再令m=cosθ，n=sinθ，θ∈0，，则y=m+n=cosθ+sinθ=2cosθ-，θ∈0，，所以值域为［1，2］.

解析二 由x-3≥0，12-3x≥0，解得3≤x≤4，可设x=3+cos2θ，θ∈0，，则y=cosθ+sinθ=2cosθ-，θ∈0，，所以值域为［1，2］.

点评 这里发现了3m2+n2=3，即m2+2=1，则可利用三角换元的方法来求解.总之，关键是充分利用函数定义域的特点，选择适当的三角换元的方式.

但并不是所有的含根式的函数都能用换元法解决，针对函数式特殊的结构特点，还有必要掌握一些特殊的技巧来应对.

例2 求y=-函数的值域.

分析 本题显然也可以用例1中换两个元的方法解决，容易找到两个变量之间的恒等关系.但我们又容易发现两个根式中x的系数均为1，这是一个很好的特征.如果把函数式看做一个分母是1的分式，进而分子分母同时乘+，则原函数式的单调性就容易发现了.

解 由x+2≥0，x+1≥0，得x≥-1.

将y=-分子有理化，得y=.

显然该函数在［-1，+∞）上单调递减，又因为y＞0，所以函数值域为（0，1］.

注意：这里容易遗漏这个范围.

例3 求y=x-函数的值域.

解析一 令t=（t≥0），则x=x≤，可得y=-t2-t+（t≥0），

由二次函数图像容易得到函数值域为-∞，.

解析二 观察可知函数在定义域-∞，上单调递增，所以函数值域为-∞，.

例4 求y=+函数的值域.

分析 若将函数式两边平方，则平方后函数式庞大且复杂，于是势必另辟蹊径.考虑到根式下可以配方，联系两点间距离公式，考虑用函数式的几何意义来解题.

解 因为y=+=+，

所以y的几何意义是动点P（x，0）与定点A（-2，1）和定点B（2，-2）的距离之和.

由图像观察，显然当动点P为AB与x轴交点时y有最小值，且ymin=AB=5.

所以函数值域为［5，+∞）.

综上所述，求含根式函数的值域的一般思路是转化，最常用的手段是换元，可以直接换元，也可以三角换元，甚至可能换两个变元.另外，我们还得注重观察，要观察函数的定义域，观察函数式的结构特征，这些都是解题的突破口.

1. 求y=x+函数的值域.

2?郾 求y=+2函数的值域.