三角函数最值

2024-08-05

三角函数最值（共12篇）

三角函数最值篇1

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用, 是和三角函数求值问题并重的题型, 是高考必考内容.解这类题, 不仅用到三角中的各种知识, 而且涉及到求最值的诸多方法, 因而成为高考命题经久不衰的热点.

一、y=asinx+bcosx型

例1 已知函数undefined, 若函数的值域为[-5, 1]求常数a, b的值.

undefined

因为undefined, 所以undefined, 所以undefined

例2 已知f (x) =asinx+bcosx,

(1) 当undefined且f (x) 的最大值为undefined时, 求a、b的值.

(2) 当undefined, 且f (x) 的最小值为k时, 求k的取值范围.

解:undefined得:a+b=2, 又a2+b2=10, 所以a=3, b=-1或

undefined

又k<0, 所以k≤-1.

二、f (x) =asin2x+bsinx+c型

例3 当undefined时, 求函数f (x) =cos2x+sinx的最大值和最小值.

解:undefined

因为undefined, 所以undefined

当undefined时, undefined, 当undefined时, undefined

三、

例4 求函数undefined的最值.

解:由已知得:undefined

因为|sinx|≤1, 所以undefined

所以0≤y≤2, ymin=0, ymax=2.

四、

例5 求函数undefined的最值.

解1:由已知得:sinx-ycosx=2y,

因为undefined, 所以undefined

所以undefined

解2:设undefined, 所以yt2-2t+3y=0.

因为t∈R, 所以Δ=4-4y·3y≥0, 所以undefined, 所以undefined

五、和积互化型

例6 求函数undefined的最值.

undefined

所以undefined

例7 求函数undefined的最值

解:undefined

所以undefined

六、y= (sinx+a) (cosx+a) 型

例8 求函数y=sinx+cosx+sinx·cosx的最值.

解:t=sinx+cosx ①

t的范围是:undefined

①式两边平方得:1+2sinxcosx=t2, 所以undefined

所以undefined

所以undefined时undefined时ymin=-1.

例9 已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ (0≤θ≤π) , 求y的最值.

解:undefined, 所以2sinθcosθ=1-t2.

所以undefined, 因为undefined

所以undefined

undefined

时undefined时ymin=-1.

三角函数最值篇2

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

重点：

函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：

利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

教学过程：

一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）（2）

（3）（4）

二、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定义．（学生活动）

注意：

○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；

○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2利用图象求函数的最大（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值[来源:Z#xx#k.Com]

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[ b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x= b处有最小值f(b)；

（二）典型例题

例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元）住房率（%）

1605

514065

12075

10085

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设为旅馆一天的客房总收入，为与房价 160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得15．

由于 ≤1，可知0≤ ≤90．

因此问题转化为：当0≤ ≤90时，求的最大值的问题．

将的两边同除以一个常数0.75，得 1=－ 2＋50 ＋17600．

由于二次函数 1在 =25时取得最大值，可知也在 =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

例3．（教材P37例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．

巩固练习：（教材P38练习4）

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取值→作差→变形→定号→下结论

四、作业布置

1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第6、7、8题．

提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？

指数概念的扩充

3.2.1指数概念的扩充

【自学目标】

1.掌握正整数指数幂的概念和性质；

2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；

3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。

【知识要点】

1．方根的概念

若，则称x是a的平方根；若，则称x是a的立方根。

一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。

当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；

当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符号。

注意：0的n次实数方根等于0。

2．根式的概念

式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。

求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。

3．方根的性质

（1）；

（2）当n是奇数时，当n是偶数时，【预习自测】

例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。

⑴25的平方根； ⑵ 27的三次方根；

⑶－32的五次方根； ⑷ 的三次方根．

例2．求下列各式的值：

例3．化简下列各式：

例4．化简下列各式：

【堂练习】

1．填空：

⑴0的七次方根；⑵ 的四次方根。

2．化简：

3．计算：

【归纳反思】

1．在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；

三角函数最值求法浅析篇3

关键词：三角函数；最值求法；解题方式

G633.6

三角函数的最值求解方式有很多种，同时每一种解题方式又都具备自身所适应的解答题型，因此作为高中生必须掌握三角函数各种最值的求解方式[1-2]。文章介绍了妙转化为y=Asin（ωx+ρ）+k形式进行解答、转化为二次函数模式进行进行解答、充分考虑一般函数的特性以及充分考虑数形结合的解题方式四种三角函数的最值求解方式，旨在提供一些教师提升三角函数教学水平以及学生提升解题速度和正确率方面的理论参考，以下是具体内容。

五、结束语

综上所述，高中数学三角函数的最值求解的方式的方式属于代数求解最值方法的一种拓展和延续，在代数函数的最值求解方式之上再加之三角函数所具有的值域便形成了三角函数的最值求解方式，通过分析可知妙转化为y=Asin（ωx+ρ）+k形式进行解答、转化为二次函数模式进行进行解答、充分考虑一般函数的特性以及充分考慮数形结合的解题方式四种三角函数的最值求解方式是切实可用的三角函数最值的求解方法，可有效提升学生的解题正确率和速度，值得在实际解题中合理的使用。

参考文献：

[1]戴洪彬.三角函数值域（最值）求法探秘[J].乌鲁木齐成人教育学院学报，2003，11（2）：82-85

[2]李丽勤.从高考试题中浅析三角函数的求最值问题[J].高考，2014，21（12）：99-99.

[3]胡金梅.中职数学三角函数最值的几种求法解析[J].中国校外教育（中旬刊），2015，23（4）：124-124.

[4]刘金华.刍议三角函数的最值之常见求法[J].成才之路，2012，12（6）：50-50.

常见三角函数最值问题篇4

近代数学把三角函数定义成无穷数列的极限和微分方程的解,并且扩充了它的定义域,可以说是一个映射,这个映射是一个任意角的集合到由一个比值做成的集合,是属于初等函数的一类超越函数,它在数学学习中占据着重要的位置,包含六种基本函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.

这就是一道关于三角函数最值问题的高考题,我们发现这种类型的题目给出的三角关系往往比较复杂,这就需要我们对这个问题进行归纳总结.

下面我们就给出三角函数最值问题的不同类型及其最常用的便捷解法.

二、三角函数最值问题的常见类型及其解法

求三角函数最值的问题,主导思想是把函数化成“一角一名”型,现将高中常见的几类三角函数求最值问题整理如下:

1. y=asinx+bcosx+c型.

这是我们高中学习时所需掌握的最基本的一个函数类型,这是其他函数变形的一个基础公式,而这种类型在高中数学课本上已经给出了它的最简便的解法,我们来简单的看一下.

分析:做这种题目的时候,只需牢牢把握住公式,不管它给出的式子是多么复杂,我们只需把它化简成上面的形式,再利用公式代入求解.

解:利用上面的变形公式有:

我们在计算这类函数型时,如果没有认真的去审题、做题就很容易把定义域给遗忘,从而掉入命题者的陷阱,这是我们应该警惕的地方.其实任何函数性质的研究都不能忽略定义域的限制.

2. 高次型三角函数(通常是两次的).

高次尽量降次,而三角函数的降次主要利用降幂及倍角公式达到降次的目的.

例2:求y=2sin2x+4sinxcosx+3cos2x的最小值.

3. 换元成二次函数求解.

这种方法同上面的联系较大,把含几个三角函数的式子化成只含有一个三角函数的式子,利用换元法,转化成二次函数来求最值.

分析:其实这道题同上面的联系很大,通过对式子的已知的变形,化简成二次函数,它涵括了上面给出的配方法、降幂、倍角等公式的应用.

分析:做这类题的时候,要注意观察,看能否用一个变量表示出来,从而观察函数在定义域上的单调性,通过换元法把三角函数最值问题化为代数函数求最值问题.

所以当m取最大值时,y取最小值,代入得:y=6,

所以它的值域为[6,+∞).

5. 利用基本不等式关系求解最值.

这个方法要求我们对数学中的基本的不等式关系熟练的掌握,这样才能在求解三角函数最值时能联想到这方面的知识,从而做到灵活变通.

分析:做这道题目的时候,要注意审题,我们发现后面的分母可通过变形得到一个sin22a,这时候我们应该联想到我们学习过的一个基本不等式2ab≤a2+b2(当且仅当a=b时取等号).

从而求得最小值为8.

当然这个题目也可以利用换元法来求,所以我们在学习三角函数求最值问题的时候要做到根据不同的情形利用不同的方法,做到活学活用,而不是死记硬背.

三、小结

三角函数最值问题在函数最值这个版块占据着重要的地位,也是每年数学高考必考的一个知识点,我们在学习它的时候,除了要掌握三角函数最基本的知识外,还要熟知它常考的类型,譬如以上给出的几种类型(可能也有遗漏),以及它解题常用的方法,比如:利用函数y=x+(a/x)(a>0)的单调性、转化成第一种类型求最值、拆项、有界法、配方法、降幂、倍角公式的应用、化成二次函数求解、基本不等式的应用、数形结合、引入辅助法、判别式法、三角函数性质的应用、分类讨论法、sinx+cosx=t的替换、求导法等.其中最关键的是做到融会贯通,灵活应用,不拘泥于给出的函数式,而是利用已知的,已给的方法去解决未知的、复杂的、令人深思的题目.

关键词：三角函数,最值,高中数学

参考文献

[1]和田师范专科学校学报(.汉文综合版)Jul.2006第26卷第五期.总第43期

[2]张一民.中学教学教法研究.云南教育出版社

二次函数的最值问题篇5

雷州市第一中学徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

三角函数最值问题的常见求解策略篇6

关键词：三角函数；最值；求解；策略

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，其内容除了具有独特性质外，它也具有普通函数的性质。解决这类问题的基本途径同求解其他函数的最值一样：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等）；另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。另外，需要灵活运用三角公式进行三角变换，需要熟练的恒等变形能力。笔者通过几个例子，介绍三角函数的几种最值问题和常见的解题策略。

策略一：配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们的次数是2和1并存时，一般需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

策略二：化一法

所谓化一法是由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式，“化一名”使用到推导公式，“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。

策略三：利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

策略五：不等式转化方式

作为三角函数最值的求解问题，在处理这类问题的过程中，可以合理运用不等式转化的方式，能够使问题的解决更加便利，有助于学生解题能力的提升。

针对这样的问题，可以将其向不等式形式转化，以此来对最值问题进行合理求解，能够使问题的解决更加便利。

因此，针对这样的问题可以合理地借助基本不等式转化的方式，以此能够使问题的解答更加容易，有助于学生问题解决效率的提升。总之，在高中的三角函数的学习过程中，针对最值问题的求解，可以积极借助以上五种方式，作为高中数学老师，应该为学生合理讲解这五种方式的运用手段，以此能够在学生的学习与解题过程中提供积极的帮助，能够促进学生的合理健康成长。

参考文献：

李东文.三角函数最值的归类求解策略[J].考试周刊，2014（4）.

求三角函数最值有法可循篇7

1.利用正、余弦函数的有界性

(1) y=asinx+b或y=acosx+b型函数, 利用三角函数的值域, 须注意对字母的讨论.

例1求函数y=2-3sinx的值域.

(3) y=acos2 x-2sinxcosx-sin2 x型函数, 降幂后用辅助角公式可化为

例3求函数y=cos2 x-2sinxcosxsin2 x的值域.

2.化为区间上的二次函数y=at2+bt+c

例6求y=sinx+cosx+sinxcosx的最值.

3.利用其它方法求解 (如判别式、均值不等式、单调性、导数等)

(1) 利用判别式求函数最值

(2) 利用均值不等式求函数最值

(3) 利用函数单调性求函数最值

(4) 利用导数求函数的最值

高考三角函数最值的求解策略篇8

一、化为最基本的初等三角函数

【例1】 (2009, 江西) 若函数 $f (x) = (1 + \sqrt{3} \tan x) \cdot \cos x ‚ 0 \leq x ＜ \frac{π}{2}$ , 则f (x) 的最大值为 ( ) .

$A . 1 B . 2 C . \sqrt{3} + 1 D . \sqrt{3} + 2$

解析:因为 $f (x) = (1 + \sqrt{3} \tan x) \cos x = \cos x + \sqrt{3} \sin x = 2 \cos (x - \frac{π}{3})$ .当 $x = \frac{π}{3}$ 时, 函数取得最大值为2.选B.

二、反解型

将三角函数解析式反解得sinx=f (y) , cosx=f (y) , sin (x+φ) =f (y) , cos (x+φ) =f (y) (φ为辅助角) , 然后利用正余弦函数的有界性, 即|f (y) |≤1求解.常见能够反解化为上述类型的函数有:

$1 . y = \frac{a s i n x + b}{c s i n x + d}$ 或 $y = \frac{a c o s x + b}{c c o s x + d} (c \neq 0, a d \neq b c)$ ;

$2 . y = \frac{a s i n x + b}{c c o s x + d}$ 或 $y = \frac{a c o s x + b}{c s i n x + d} (c \neq 0) .$

【例2】求函数 $y = \frac{1 - s i n x c o s x}{1 + s i n x c o s x} (x \in [0, π])$ 的最大值和最小值.

解析: 原函数可化为 $y = \frac{2 - \sin 2 x}{2 + \sin 2 x} = - 1 + \frac{4}{2 + \sin 2 x}$ , 反解得 $\sin 2 x = \frac{4}{1 + y} - 2$ .由|sin2x|≤1得 $| \frac{4}{1 + y} - 2 | \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{3} \leq y \leq 3 . ∴ y_{\max} = 3, y_{\min} = \frac{1}{3} .$

评注: (1) 类型1还可用斜率公式或用化为常数方法求解.

(2) 类型2除了可以联想斜率公式、解析法求解以外, 特别注意Asinx+Bcosx=C有解的充要条件是A2+B2≥C2, 另外还可以用万能公式代换化为关于 $\tan \frac{x}{2}$ 的一元二次方程, 应用函数与方程思想求解.

三、化为y=asinx+bcosx型

将三角函数式化为y=asinx+bcosx, 然后引入辅助角φ化简成一个角的一种三角函数 $y = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ 的形式 (有些高考题直接给出的是这种情形, 只考查能化为一角一式就可以解决问题) , 再利用基本初等三角函数的最值来求解.

【例3】 (2007, 天津) 已知函数f (x) =2cosx (sinx-cosx) +1, x∈R.

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求函数f (x) 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值和最大值.

解析: $(Ⅰ) f (x) = 2 \cos x (\sin x - \cos x) + 1 = \sin 2 x - \cos 2 x = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})$ .因此, 函数f (x) 的最小正周期为π.

(Ⅱ) 因为 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 在区间 $[\frac{π}{8} ‚ \frac{3 π}{8}]$ 上为增函数, 在区间 $[\frac{3 π}{8} ‚ \frac{3 π}{4}]$ 上为减函数, 又 $f (\frac{π}{8}) = 0 ‚ f (\frac{3 π}{8}) = \sqrt{2} ‚ f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} \cos \frac{π}{4} = - 1$ , 故函数f (x) 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{3 π}{4}]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$ , 最小值为-1.

四、化为y=Asin (ωx+φ) +k或y=Acos (ωx+φ) +k型

将所给的三角函数式化为这两种形式或它们的特殊情形, 就可以轻松求解值域、最值、单调性、最小正周期、取值的正负, 并可以画出图象.

【例4】 (2008, 天津) 已知函数f (x) =2cos2ωx+2sinωxcosωx+1 (x∈R, ω>0) 的最小值正周期是 $\frac{π}{2} .$

(Ⅰ) 求ω的值;

(Ⅱ) 求函数f (x) 的最大值, 并且求使f (x) 取得最大值的x的集合.

解析: $(Ⅰ) f (x) = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2 ω x}{2} + \sin 2 ω x + 1 = \sin 2 ω x + \cos 2 ω x + 2 = \sqrt{2} (\sin 2 ω x \cos \frac{π}{4} + \cos 2 ω x \sin \frac{π}{4}) + 2 = \sqrt{2} \sin (2 ω x + \frac{π}{4}) + 2 .$

由题设, 函数f (x) 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ , 可得 $\frac{2 π}{2 ω} = \frac{π}{2}$ , 所以ω=2.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, $f (x) = \sqrt{2} \sin (4 x + \frac{π}{4}) + 2$ .当 $4 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 k π$ , 即 $x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{2} (k \in Ζ)$ 时, $\sin (4 x + \frac{π}{4})$ 取得最大值1, 所以函数f (x) 的最大值是 $2 + \sqrt{2}$ , 此时x的集合为 ${x | x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{2}, k \in Ζ} .$

五、化为y=pf2 (x) +qf (x) +r (其中p, q, r为常数)

【例5】 (2008, 四川) 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.

解析:y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x (1-cos2x) =7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x= (1-sin2x) 2+6.

由于函数y= (u-1) 2+6在[-1, 1]中的最大值为ymax= (-1-1) 2+6=10, 最小值为ymin= (1-1) 2+6=6.故当sin2x=-1时, y取得最大值10, 当sin2x=1时取得最小值6.

六、化为y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型

将三角函数式右边降幂和逆用二倍角正弦公式, 转化为y=Asin2x+Bcos2x, 再化为类型三求解

【例6】 (2009, 上海) 函数y=2cos2x+sin2x的最小值是______.

解析: $f (x) = \cos 2 x + \sin 2 x + 1 = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1$ 所以最小值为: $1 - \sqrt{2} .$

评注:通常情况下, 关于sinx、cosx齐次三角函数式型, 如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x (a, b, c不同时为零的常数) 最值问题, 降次转化为类型三, 最终化归为类型四定义在有限区间上的最值问题来加以解决.

七、化为关于sinx, cosx和积形式型

【例7】 (1990, 全国) 求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

解析:令sinx=m+n, cosx=m-n.则由sin2x+cos2x=1得 $n^{2} = \frac{1}{2} - m^{2} (| m | \leq \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

于是有 $y = m^{4} - n^{2} + 2 m = 2 (m + \frac{1}{2})^{2} - 1 .$

易见, 当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时, $y_{\min} = \frac{1}{2} + \sqrt{2} .$

评注:可用和积换元 (对偶式) 求解

八、化为能用函数的单调性或均值不等式型

【例8】求函数 $y = \sin x + \frac{2}{s i n x}$ 的最小值

解析:令t=sinx, t∈ (0, 1], 则可证 $y = t + \frac{2}{t}$ 在[0, 1]上为单调减函数, 从而y=f (t) ≥f (1) =3, 即ymin=3.

评注:熟记函数 $y = x + \frac{k}{x} (k ＞ 0)$ 的单调区间, 即它在 $(- \infty, - \sqrt{k}] ‚ [\sqrt{k}, + \infty)$ 上是单调递增, 在 $[- \sqrt{k}, 0), (0, \sqrt{k}]$ 上是单调递减, 以便迅速求解.

三角函数最值篇9

(一)三角函数最值教学的重要性

三角函数的最值知识考查的是学生三角函数方面的综合能力,也是在三角函数问题方面非常容易出现错误的地方.在当前的中职数学考场上,三角函数的最值问题已经是教师和学生都非常重视的问题.想要学好三角函数最值的相关问题,就要对三角函数的基础知识有非常熟练的掌握,细化来说就是对三角函数的性质、图像、公式等有较好的掌握.从近几年的中职数学考试来看,三角函数最值方面的题目涉及选择、填空以及大题等等.因此总结一套三角函数最值方面的教学方法和学习方法,帮助学生构建自己的三角函数最值知识体系是非常重要的.

(二)三角函数最值教学中存在的问题

1. 中职学校中考查制度松懈

在当前的绝大多数中职学校中,招收的学生学习基础都比较差,甚至说根本没有足够的能力去学习中职教育中的知识,这一点在中职数学教学中非常突出.而学校往往在这样的情况下不是提高教师的教学能力和质量,引导学生进步,而是一味地降低考试水平,减少教学难点.这样的中职数学教学现状已经脱离了教育的本身,只是为了学校的合格率,保证学生的毕业.

2. 三角函数最值教学方法落后

在当前的中职数学教育中,数学教师的水平有很大一部分都不够高,甚至有一些数学教师连自己都没有摸透教材.这就直接导致了数学教学的质量不高,在实际的三角函数最值教学中不能把成体系的思路教授给学生.从另一个方面来说,很多中职数学教师只关心自己班级学生的考试成绩,而对日常学习不加关注,这也在一定程度上助长了考试作弊的情况发生.

3. 学生的信心不够强,缺乏知识体系构建

在当今的中职数学教育中,可以说对中职学生来说有相当的难度.又由于绝大部分学生都没有很强的主观学习能力,只会听教师的授课,就非常容易产生自信心不够的情况.并且在学习三角函数最值方面的知识时,缺乏知识体系的构建.以下图举例来说,比如三角函数的正余弦分辨不清,正余切概念混淆等等.

二、三角函数最值的一些实际教学方法

(一)三角函数的界限法

(二)三角函数的配方求最值

(三)利用函数图像求最值

三、总结

我国的教育行业越来越被社会各界所关注,教育可以说是国家发展的源泉.在我们的中职数学教学当中,三角函数求最值方面的知识可以说是非常重要的,在这其中有很多解题方法和知识体系.我们要在实际的教学工作中,紧密结合学生的实际,从多个方面启发学生的数学思维,达到举一反三的作用,培养出更多优秀的中职学生.

摘要：当前我国教育事业正处在发展的关键时期,中职教育的发展也在不断被重视.在这样的大环境下,中职教育中的软硬件支持、教学方法、教学质量都在不断进步,国家也在对中职教育提供更加实际的支持.但是中职数学的发展却不尽人意,数学科目仍然是中职教育中教师最难教,学生最不感兴趣或者说“学不会”的首要课程.具体到我们今天要说的三角函数最值教学上,我们要对三角函数教学方面的问题、现状、解决途径、教学思路等做充分分析.

例谈高考三角函数最值的求解策略篇10

三角函数是中学数学教材中的一种重要函数, 其值域、最值、单调性、图象、最小正周期等又是重点内容, 更是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一, 题目多而不胜枚举.三角函数的这些问题形异质同, 方向明确, 思路清晰, 规律性强.只要注意所给函数的特征, 便可以确定三角变换目标和解题方向, 合理变换转化为常见类型, 快速找到解决问题的方法.本文主要以课本和高考中求三角函数的最值试题为例, 浅谈解决此类问题的策略, 供读者参考.

一、化为最基本的初等三角函数

例1求下列函数的最值:

(1) (课本习题) y=sin2xcos2x;

二、反解型

2.1可化为sinx=f (y) , cosx=f (y) 型

解法2 (几何意义:动点与定点连线的斜率) :y表示A (2, 2) 与 (-sin2x, sin2x) 连线的斜率, 而点 (-sin2x, sin2x) 在线段MN:y=-x (x∈[-1, 1]) 上, 且有M (-1, 1) , N (1, -1) .

2.2可化为sin (x+φ) =f (y) , cos (x+φ) =f (y) 型

三、化为y=asinx+bcosx型

例4 (2013年全国新课标卷Ⅰ) 设当x=θ时, 函数f (x) =sinx-2cosx取得最大值, 则cosθ=_____

(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期;

四、化为y=Asin (ωx+φ) +k或y=Acos (ωx+φ) +k型

将所给的三角函数式化为这两种形式或它们的特殊情形, 就可以轻松求解值域、最值、单调性、最小正周期、取值的正负, 并可以画出其图象.

(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期;

五、化为y=pf2 (x) +qf (x) +r (其中p, q, r为常数)

例7 (2010年北京高考题改编) 求函数f (x) =2cos2x+sin2 x-4cosx的最大值和最小值.

评注:将三角函数式作恒等变形, 等价转化为形如y=pf2 (x) +qf (x) +r, 再进行变量代换t=f (t) 化为二次函数y=pt2+qt+r在给定区间上求最值问题, 这里t=f (x) =sinx (或cosx) , |t|≤1, 求解时一定要注意变量的取值范围.

六、化为y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型

这是关于sinx, cosx的齐次式, 其策略是将三角函数式右边降幂和逆用二倍角正弦公式, 转化为y=Asin2x+Bcos2x的形式, 再化为类型三求解.

评注:通常情况下, 关于sinx, cosx齐次三角函数式型, 如y=asin2 x+bsinxcosx+ccos2 x (a, b, c不同时为零的常数) 最值问题, 降次转化为类型三, 最终化归为类型四:定义在有限区间上的最值问题来加以解决.

七、化为y=asinxcosx+b (sinx±cosx) +c型

评注:可用和积换元 (对偶式) 求解, 注意sinx±cosx与sinxcosx的转化关系, 通过换元后, 利用二次 (或一次) 函数理论及三角函数的有界性, 运用换元法将三角问题转化为代数问题.

九、化为均值不等式或二次函数型

最后特别强调的是求三角函数的值域、最小正周期、单调递增和单调递减区间 (如2013年安徽卷第16题的第 (Ⅱ) 问) 、函数取值的正负 (如2013年湖南卷第17题的第 (Ⅱ) 问) 都可考虑化已知三角函数式为上述类型之一.此类问题每年必考, 其实形异质同, 考查目的清楚, 三角变换方向明确, 思路清晰, 在解答过程中避免了许多徒劳无益的盲目尝试.另外, 近年三角函数又与平面向量知识巧妙结合, 珠联璧合, 试题设计新颖, 又覆盖面广、灵活, 起到一石二鸟的作用.

三角函数最值在实际问题中的应用篇11

例1 如图，在直径为１的圆O中，作一个关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．

(Ⅰ) 将十字形的面积表示为的函数；

(Ⅱ)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

解析对于第一个问题，用x、y表示面积相对容易；第二个问题需要是利用三角变换求最值或用导数求最值.

（Ⅰ）设S为十字形的面积，.

（Ⅱ）解法1：

点评利用三角函数求面积的最值是一种常用方法，其中涉及三角换元或三角变换.

例２如图，某城市现有自市中心O通往正西方向与正东北方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西方向和正东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在A、B间为直线段，要求AB环城路与市中心O的距离为10公里，且使A、B间的距离｜AB｜最小.请你确定A、B两点的最佳位置. (不要求作近似计算)

解析本题是与三角形有关的问题，因此需分清三角形中的边角关系，然后利用三角函数的定义来求解.

由上可知，把两站A、B设在距市中心O为

10 公里处，|AB|最短，最短距离为20（1+ ）公里.

点评应用三角函数模型解题离不开函数解析式的确立，而要准确列出解析式则必须读懂题意；合理设定变量并建立三角函数关系后，往往要利用该函数的性质或图像进行分析求解，有时还要用到均值不等式.

例３要修一条深2米，横截面为等腰梯形的引水渠，在横截面面积大小一定的条件下，要求渠底面和两侧面所用材料最省.问渠壁的倾斜角（锐角）为多大时，才能满足这一要求.

解析可以将问题抽象为求满足横截面积在定值的条件下，渠底面和两侧面的截面周长最小，所消耗材料最省.如图所示，设横截面面积为S，则S= ×２= ×２，得BC= -２cot ，

∴渠底面和两侧面的截面周长为l=AB+BC+CD＝2× + -２cot =2× + .

令t= ，要使周长l最小，只需t= 最小，根据三角函数公式可以得到：

t= = + ，由均值不等式可知，当＝，即tan = 时，t取得最小值.

由此可知，故当 =60°时，渠底面和两侧面的截面周长最小，也就是渠底面和两侧面所用材料最省.

点评把实际问题抽象转化为数学问题，关键是建立函数关系式，并运用均值不等式或函数导数等方法求最值.

例４在一次足球课上，体育老师问玛丽同学：“如果你是左前锋，当你得球后，沿平行于边线GC的直线FE助攻到前场（如图，设球门宽AB=a米，球门柱B到FE的距离BF=b米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？”

解析射门角∠APB最大时为射门的最佳位置.若直接在非特殊△APB中利用三角形边长来求∠APB的最值，显得比较繁琐，注意到∠APB=∠APF－∠BPF，而后两者都在直角三角形中，故可应用直角三角形的性质求解.

当且仅当x= ,即x= 时，y取到最小值2 ，从而可知x= 时，tan?琢取得最大值，即tan?琢= 时，?琢有最大值.故当P点距底线CD为米时，为射门的最佳位置.

点评将“文字语言、图形语言、符号语言”进行归纳，寻找反映所求实际问题的背景，把题目中出现的边、角关系和直角三角形联系起来.引入角变量，通过三角变换及求最值，达到寻求射门的最佳位置.

例５如图，一位滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率?自0不变，并以倾角起跳，落至B点，令OB=L.试问：当?琢=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，为多大？

解析首先借助于物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的知识来解决实际问题.

由已知条件列出从O点跳出后的运动方程：

∴L最大值为200米，也即当L最大时，运动员起跳的仰角为30°.

点评用三角函数解决物理中的一些问题或用物理知识解决数学中的一些问题，是数学与各个学科之间联系的一个体现，从中我们可以感受到“数理联姻”的魅力.此外，在解答此类问题时，考生对有关术语如仰角、俯角、方位角、方向角等要正确理解.

例６有一个养鱼专业户设计了如图所示的鱼池.过道宽为a厘米，设成品鱼的身长与弯曲后的弦长之比为 ∶1，则成品鱼的身长最小为多少厘米时，就不能进入未成品鱼池？

解析成品鱼是否进入未成品鱼池，要通过一定的计算才能知道，引入参数，将实际问题转化为三角函数的模型去解决.

设鱼身弯曲后的弦与过道的夹角为θ，则AB= + （θ （0，）），问题转化为求y=y（θ）= + （θ （0，））的最小值.

y=a（ + ）＝a

＝a ≥a =2 a，当且仅当tanθ＝cotθ，即θ=45°时式子取等号.由于成品鱼的身长与弯曲后的弦长之比为 ∶1，可知成品鱼身长最小为4a厘米时，就不能进入未成品鱼池.

点评当已知与未知之间不能直接建立起关系时，可通过引参数来实现.本题巧妙地引入参数θ，使实际问题顺利地转化为三角函数的问题去解决.

三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的方法是选取一个恰当的变量θ角，构造以θ角为自变量的函数，通过求三角函数最值来解决.这类问题解题一般流程为：审读题意→设角建立三角函数式→进行三角变换→解决实际问题；通常分两步求解：首先建立目标函数，其关键是选择恰当的自变量并确定自变量的取值范围；其次是在符合实际问题意义的情形下求目标函数的最值.

责任编校赖庆安

多元函数最值问题篇12

一、不等式法：利用均值不等式求最值

例1：已知x, y, p均为正实数，且恒成立，求p的取值范围.

解：由已知得：恒成立

当且仅当x=y时取等号

∴p的取值范围为p≤3

注：本题运用了均值不等式求出最值，还可用柯西不等式、排序不等式等求解，由于高考只要求均值不等式，在此不再列举.

二、消元法：转化为一元函数问题

1. 代入消元法.

例2：已知x, y, z∈R且x+y+z=1, x2+y2+z2=3，则xyz的最大值为多少?

解析：本题涉及x, y, z三个字母，属于多元函数问题，已知两个等式，考虑消去两个变量转化为一元函数问题.

解：由x+y+z=1得x+y=1-z

由x2+y2≥2xy得3-z2≥2 (z2-z-1)

2. 整体消元法：将几个变量的整体看成一个变量起到消元作用.

例3 (2012年江苏省14)：已知正数a, b, c满足：5c-3a≤b≤4c-a, clnb≥a+clnc，求b/a的取值范围.

【解析】条件5c-3a≤b≤4c-a, clnb≥a+clnc可化为：.

设a/c=x, y=b/c则题目转化为:

已知x, y满足, 求y/x的取值范围.作出 (x, y) 所在平面区域 (如图) .求出y=ex切线的斜率e, 设过切点P (x0, y0) 的切线为y=ex+m (m≥0) , 则, 要使它最小, 须m=0.∴y/x的最小值在P (x0, y0) 处, 为e.此时, 点P (x0, y0) 在y=ex上A, B之间.当 (x, y) 对应点C时, ,

∴y/x的最大值在C处，为7.∴y/x的取值范围为[e, 7]，即b/a的取值范围是[e, 7].

3. 不等式放缩消元

例3:已知三次函数在R上单调递增, 则的最小值为__________.

参考文献

[1]张爱民.借助“几何画板”辅助圆锥曲线统一定义教学[J].数学通讯, 2010.3:65-66.

[2]陶维林.用“几何画板”怎样表现任意角[J].中学数学月刊, 2010.10:102-104.

【三角函数最值】推荐阅读：

分式函数最值05-23