三角函数值域的求法（共7篇）
三角函数值域的求法 篇1
一、可化为y=asin (ωx+φ) +b (ω>0) 型
例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.
undefined
二、可化为二次函数
例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域
解: y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1
因为cosx∈[-1, 1], 所以undefined
三、反解法
例3 求undefined的值域
解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4
所以 (2y-3) cosx=2y+4.
undefined
解得:undefined
四、当式子中同时含有sinx±cosx, 时, 常使用换元法
例4 当x∈[0, π], 求y=sin2x+sinx-cosx的值域.
简解:undefined
所以2sinxcosx=1-t2
所以undefined
五、配对法
例5 已知:sinx+siny=1, 求cosx+cosy的范围.
undefined两式平方相加得:
2cos (x-y) =t2-1∈[-2, 2]
所以undefined
六、三角函数也是函数, 所以其他一些函数值域的求法对于求三角函数的值域照样适用
如分离常数法:
例6 若cos2x+2msinx-2m-2<0对于undefined恒成立, 求m的范围.
undefined
所以undefined, 因为undefined
所以undefined
函数值域的常见求法 篇2
1. 观察法
对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察得到。
例1.求函数的值域。
显然函数的值域是: (-∞, 0) ∪ (0, +∞) 。
2. 二次函数法
例2.已知函数f (x) =lg[ (a2-1) x2+ (a+1) x+1]。
(1) 若f (x) 的定义域为 (-∞, +∞) , 求实数a的取值范围;
(2) 若f (x) 的值域为 (-∞, +∞) , 求实数a的取值范围。
解: (1) 依题意 (a2-1) x2+ (a+1) x+1>0对一切x∈R恒成立,
当a2-1≠0时, 其充要条件是
又a=-1时, f (x) =0满足题意, a=1时不合题意。
故a≤-1或为所求。
(2) 依题意只要t= (a2-1) x2+ (a+1) x+1能取到 (0, +∞) 上的任何值, 则f (x) 的值域为R, 故有为所求。
3. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数y=x2-2x+5, x∈[-1, 2]的值域。
解:将函数配方得:y= (x-1) 2+4, ∵x∈[-1, 2], 由二次函数的性质可知:
当x=1时, ymin=4
当x=-1时, ymax=8
故函数的值域是[4, 8]。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时, 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域。
解得-1
故所求函数的值域为 (-1, 1) 。
6. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用。
∴值域为 (-∞, 1]。
答案:A。
函数值域求法 篇3
1. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.
例1求函数y=x2-2x+5, x∈[-1, 2]的值域.
解将函数配方, 得y= (x-1) 2+4.
∵x∈[-1, 2], 由二次函数的性质可知:
当x=1时, ymin=4;当x=-1时, ymax=8.
故函数的值域是[4, 8].
2. 根的判别式法
3. 反函数法
直接求函数的值域有困难时, 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.
4. 函数有界性法
直接求函数的值域有困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域.
故所求函数的值域为 (-1, 1) .
5. 函数单调性法
6. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用.
7. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式、直线斜率等等, 这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单, 一目了然, 赏心悦目.
解原函数可化简, 得y=|x-2|+|x+8|.
上式可以看成数轴上点P (x) 到定点A (2) , B (-8) 间的距离之和.
由上图可知, 当点P在线段AB上时,
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
故所求函数的值域为[10, +∞) .
函数值域的几种求法 篇4
一、分离常数法
函数的解析式是一个有理分式, 且分子分母同次, 可考虑通过多项式除法, 分离出一个常数来, 使问题简化, 这种方法称为分离常数法。
二、反函数法
一个函数的定义域是它的反函数的值域, 一个函数值域就是它反函数的定义域。在求函数值域时, 如果它值域不易求得, 而它的反函数存在, 且定义域易求出, 用此法。上面的例1除用分离常数法外, 也可用此法, 解法如下:去分母得y (1-x) =1+x, 即 (y+1x=y-1, 显然y≠-1, ∴值域为{y|y≠-1}
解:原函数的反函数是得-1
三、配方法
把函数解析式配成完全平方, 通过分析求得函数值域, 主要用于二次、双二次函数及复合函数配方。
例5.求y=22x-2x+1+4的值域
解:y=22x-2·2x+4= (2x-1) 2+3, 当2x-1=0, 即x=0时, y=3, ∴函数值域是[3, +∞)
四、判别式法
有理分式函数求值域的问题, 如果分母是恒正或恒负的二次三项式, 都可以用判别式法。这是因为它等价于讨论一个二次方程在实数集中有解的条件, 否则将要讨论在实数集的子集中有解的问题, 只靠判别式就不够了。
解:去分母得y (x2-x-1) =x2-x+1, 整理得 (y-1) x2+ (1-y) x-y-1=0 (*)
当y-1=0时, y=1, (*) 式变为-2=0不成立, 故y≠1, 由于符合 (*) 式的实数x存在, 所以△= (1-y) 2-4 (y-1) (-y-1) ≥0, 解得y≤-3/5或y>1 (∵y≠1) , ∴原函数值域为 (-∞, -3/5) ∪ (1, +∞) 。
五、换元法
换元法在整个数学学习过程中应用很广, 运用它可以帮助我们由繁到简迅速地解决问题。对于型函数解析式, 常设转化为一元二次函数, 使用换元法求值域, 一定要注意所换元素的范围。
例7.求的值域
解:设则x=1/2 (t2+3) , 原式可化为抛物线的对称轴为t=-1/2, 由t≥0知y≥3 (当且仅当t=0时, y取最小值) , 即值域为[3, +∞) 。
六、函数最值法
连续函数的最小值到最大值的区间, 即函数的值域。这种方法主要用于在定义域内存在最值的初等函数和闭区间内单调函数求值域。
例8.求y= (log2x) 4-12 (log2x) 3+36 (log2x) 2 (1
设z=x+yi[ (x, y) ∈R], 代入上式得u2= (2+2x) 2 (5-4x) ,
七、利用函数的单调性
主要用于在定义域内或闭区间内单调函数求值域。
例10.求f (x) =- (x+1) 3+1 (x≤1) 的值域
解:∵f (x) 在 (-∞, 1) 上是减函数, 又f (1) =-7, ∴y∈[-7, +∞)
八、利用函数的有界性
主要用三角函数及其他函数的有界性来求函数, 复合函数的值域。
九、均值不等式法
使用平均值公式求最值, 必须同时满足三个条件: (1) x1x2…, xn必须是正实数; (2) 必须保证x1=x2=…=xn时, 等号成立; (3) x1+x2+…+xn与x1x2…xn中有一个是常数, 三者缺一不可。
三角函数值域的求法 篇5
长生剑, 一剑命中要害, 剑剑干净利落. 恰如值域求法中的分离常数法, 简单直接, 干净利落, 有时虽繁杂棘手, 但思路明确, 步步推进, 于会心一笑中解决问题.
例1求函数的值域.
函数的解析式是“同次”的分式, 可尝试分离出一个常数出来, 使问题简化, 常与他法结合使用, 需要注意的是分离后有时需要从基本“单元”利用不等式性质逐步反推的过程要细心运算.
二、孔雀翎———反解有界性
孔雀翎是一种暗器, 释放时有一种无限美丽的光华, 常从意想不到的乃至完全相反的角度发出, 防不胜防. 好比函数值域求法中的反解有界性法, 紧紧盯住函数式本身的某些“命门”, 一击得胜.
例2求函数的值域.
解析式中含有某些范围确定的“单元”, 尝试反解, 有时要借助一些公式, 用因变量y表示关于自变量x的“单元”, 进而得到关于因变量y的不等式, 求解即可, 同样适用于类型函数值域.
三、碧玉刀———基本不等式
碧玉刀, 刀刀入木三分, 锋利迅速, 灵动优美. 正如基本不等式求最值, 巧妙灵活的变形, 迅速优美的求解, 往往令人叹为观止. 正如基本不等式在解决一些最值问题时的威力, 眼花缭乱、多姿多彩的变形后, 一“式”定天下, 快到刚开始就结束了.
例3求函数的值域.
对函数式特征的分析把握, 适当的分解变形以得到使用基本不等式的包含某种“定”的结构亦即配凑变形技巧是其难点, 而使用过程中的“正、定、等”也需逐一考察, 特别地对一些多元条件值域问题, 如“已知x >0, y >0, 1/x+1/y=1, 求x + 2y的最小值”等二元 ( 多元) 目标式最值问题, 多元化一元, 再尝试基本不等式或直接变形转化后应用不等式法是常用策略, 当然相关的几个不等式的正反方向的熟练掌握也很关键.
四、离别钩———判别式法
离别钩, 招招攻其不备, 出其不意, 也总能勾出一片令人着迷的区域. 恰如使用二次方程判别式求解某类函数值域, 知识方法间联系之巧妙让人拍案叫绝.
例4求函数的值域.
对有理分式函数, 如果其分母是恒正 ( 负) 的二次三项式, 可尝试用判别式法求值域, 特别需注意的是若其分母的二次三项式对应的二次方程的判别式大于或等于零, 应用此法就有可能扩大函数值, 此时应代入原函数式检验, 排除扩大的部分值; 另一方面, 对去分母整理后得到的关于x的二次方程, 应分二次项的系数为零与不为零两种情况讨论:对使二次项系数为零的y的值要代入原式检验决定取舍;仅在二次项系数不为零的情况下, 才可用判别式求解. 最后将两种情况综合才能正确地求得函数的值域. 求这类函数值域时, 根据具体函数的特征, 若能用其他方法求解, 还是用其他方法更好.
五、多情环———换元法
多情环是一种美丽的武器, 千变万化、环环相扣. 恰如换元法, 令人目不暇接的种种代换, 似乎可将任何问题轻巧地引领至我们熟悉的领域内解决, 让人大呼过瘾.
例5求函数的值域.
换元变换是一种重要的数学变换, 是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中发挥着重要的作用. 它通过换元把一个函数变为较简单函数, 换元的方法多、灵活性强, 换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉. 在变换过程中, 既要注意等价, 又要注意新元取值范围, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 主要有代数换元和三角换元, 如三角函数y = ( sinx +1) ( cosx +1) 的值域求法本质也一样.
六、霸王枪———函数单调性法
霸王枪以其一往无前、所向无敌的勇气而著称, 勇谋兼具谓之霸. 恰如单调性求函数值域, 简单直接, 无往不利, 一般情况下总可以尝试利用导数法得到单调性, 进而求出值域.
例6求函数的值域.
解析易知该函数在 (-∞, 1/2]上单调递增, 易得值域为 ( -∞, 1/2].
例7设f ( x) 是奇函数, 对任意的x, y∈R, 都有f ( x +y) = f ( x) + f ( y) , 当x > 0时, f ( x) < 0, 且f ( 1) = - 2, 求f ( x) 在区间[-3, 3]上的最值.
解析利用函数单调性定义, 可得函数在给定区间上单调递减, 故值域为[-6, 6]
对于形式较复杂的函数式可以尝试从复合函数单调性判断、导数法、分子 ( 分母) 有理化、换元、单调性定义等技巧方法去确定其单调性, 当然首先考察函数定义域, 进而得到值域.
七、拳头———数学思想方法综合运用
拳头代表没有武器, 没有武器就是有武器, 拳头是最有效、最直接的武器. 正如数学中的思想方法, 在对一些基本的技巧、方法有着娴熟的理解, 有着较丰富的解题经验的前提下, 数学思想方法能带领我们至一个全新的境界———众里寻他千百度, 蓦然回首, 那人却在灯火阑珊处. 颇似张三丰交给张无忌太极拳时的那段话, 忘记所有的招数才能达到武学的最高境界, 也就是无招胜有招. 数学解题上就是抛开固有的解题方法和解题思路, 整体把握, 具体分析, 这样才能开拓思路, 以免进入解题的思维误区.
1. 数形结合思想
例8求函数的值域.
解析原式可转化看作平面直角坐标中点P ( x, 0) 到点A ( -1, 1) 和点B ( 1, 1) 的距离和, 问题转化为在x轴上寻求一点P, 使得PA +PB最小, 为此可取A点关于x轴对称点C ( -1, -1) , 则y =PC +PB, 易知值域为
2. 分类讨论思想
例9求函数f ( x) = x2- 2ax + 1在闭区间[- 1, 1]上的最小值g ( a) .
解析典型的动轴定区间最值问题, 可按对称轴相对于区间的位置结合图像分类讨论.
例10已知二次函数f ( x) = ax2+ ( 2a - 1) x + 1在区间 [-3/2, 2]上最大值为3, 求a.
3. 多种方法综合
例11求函数的值域.
事实上教学中对求值域问题, 学生感觉较困难的点多还是问题的分析、方法的选择和综合运用, 应对的办法是引导好学生多总结整理、对比反思, 多体会领悟多种解法间的联系.
总之, 函数值域最值的求法灵活多样, 多与其他问题综合考查, 以上归类的只是几种比较常见的思想方法, 限于篇幅还有部分问题和方法未能一一涉及, 如三角函数中的值域问题、线性规划求最值问题、多元目标式的条件值域问题、复合函数值域问题、导数法的运用等, 但只要熟练掌握了上面的思想方法, 面对其他一些问题应可以类比得到相应的解法. 而在具体求解相关问题时还是要仔细分析辨别题型特征, 多角度思考探求筛选解法, 往往某些题有多种解法, 解法的优选就会成为顺利解题的关键, 这就要求平时多练习、积累、比对、反思、总结与体悟, 力求对基本的重要的思想方法理解掌握、融会贯通.
摘要：函数值域是函数值的集合, 受对应法则和定义域的影响.函数值域 (最值) 的求法是高中数学教与学的重要的内容, 不仅因为函数值域求法灵活多样, 知识涉及面广泛, 联系的数学思想多, 而且因为函数值域求法研究本身也是函数研究的重要组成部分.除此之外, 函数值域求法的研究还有利于提高学生的逻辑思维、模式识别、变形转换等能力, 进而提升学生分析问题、解决问题的能力.尽管高考较少直接考查函数值域求法, 但很多综合问题经过适当的转化都可以归结为函数值域 (最值) 的问题, 所以系统研究高中函数值域求法对教、学、考都是有意义的事.本文试从“另类”的学生喜闻乐见的形式并结合实例将函数值域最值求法进行归类总结与点评, 以期对此块内容的专题教学复习有所帮助.
参考文献
浅谈函数值域的几种求法 篇6
1.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 及二次型函数y=a[f (x) ]2+b[f (x) ]+c (a≠0) 可用配方法.
2.形如
3.形如
4.形如
5.形如
6.对于分段函数或含有绝对值符号的函数 (如y=|x-1|+|x+4|) 可用分段求值域或数形结合法.
7.定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的值域.
下面通过例子来说明以上的求函数值域的方法.
一、配方法
如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式, 那么将这个函树的右边配方, 通过自变量的范围可以求出该函数的值域.
【例1】 求函数
分析:该题可以先求出根号下的函数的值域, 再求整个函数的值域;根号下的函数是一个二次函数的形式, 用配方法可以求出其值域.
解:
二、判别式法
将二次分式函数 (其中a1, a2不全为0且a2x2+b2x+c2≠0) 两边同乘以a2x2+b2x+c2, 整理成一个关于x的一元二次方程, 方程有实数解则判别式大于零, 得到一个关于y的不等式, 解出y的范围就是函数的值域.
【例2】求函数的值域.
解:∵x∈R, 原式整理得yx2-3x+4y=0.当y=0时, x=0;当y≠0时, 由∴函数的值域为
三、换元法
某些无理函数的值域常用换元法来求.
【例3】求函数的值域.
四、利用函数的单调性求值域的方法
1.如果函数y=f (x) 在给出的定义域区间上是严格单调的, 那么就可以利用端点的函数值来求出值域.
2.形如的函数, 在不能用重要不等式的情况下 (等号不成立) , 可考虑用函数的单调性, 当x>0时, 函数的单调减区间为, 单调增区间为.平时, 大家把函数叫做对勾函数, 其分界点为, 至于x<0的情况, 可根据函数的奇偶性加以解决.
【例4】求函数的值域.
∴所求函数的值域为[5, +∞) .
五、反函数法
如果函数y=f (x) 在其定义域内存在反函数, 那么求函数y=f (x) 的值域可以转化为求反函数的定义域.
【例5】求函数的值域.
六、利用某些函数的有界性求函数值域的方法
如果函数y=f (x) 是由一些有界的初等函数复合而成的, 那么就可以考虑利用初等函数的有界性得到一个关于y的不等式, 解出即可求出y=f (x) 的值域.
【例6】求函数的值域:
七利用重要不等式求函数值域的方法
对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数都可以利用重要不等式求出函数的值域.
【例7】求函数y=x2 (1-x) (0<x<1) 的值域.
八、数形结合的方法
【例8】求函数的值域.
间的距离公式, 也就是说y表示的是点P (x, 0) 到点A (0, 2) 的距离与点P (x, 0) 到点B (1, -3) 的距离之和.而点是轴上的任意点因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个点的距离之和的范围.如图所示x轴上的任意点到A、B两点的离之和都大于等于A、B两点间距离.所以函数的值域是
九、导数法
三角函数值域的求法 篇7
对于这三种类型的分式函数, 学生在求其值域时往往是会而不对、对而不全.下面笔者结合自己的教学实践就以上三种类型的分式函数值域的求法谈点肤浅的认识.
一、
形如 (分子分母既约) 的函数值域的求法
求这类分式函数值域通常采用“变量分离法”, 即将分子中的x从分式的分子中分离出来.
二、
形如 (a1, a2不同时为0, 分子分母既约) 的函数值域的求法
对于这种类型的函数可以通过如下两种方法:1.判别式法;2.函数的单调性.
1. 判别式法
判别式法就是利用一元二次方程根的判别式, 采用去分母的办法将函数式整理成变量x的一元二次方程, 由于x∈R, 利用方程有实根其判别式必须大于或等于0, 列出相应的不等式, 再解不等式即可.
例2用判别式法求函数的值域.
解由题意, 原函数可化为yx2+ (3y-1) x+1=0.
2. 函数的单调性法
i) 当x+n=0时, 则g (x) =0;
利用已知函数 (a·b≠0) 的值域即可求出此类函数的值域.
i) 当x-1≠0时, y=0;
说明用这种方法求解时要正确的对题目进行分解变形;对于函数 (a·b≠0) 的性质要熟练掌握.
三、
对形如 (a1·a2≠0, 分子分母既约) 的函数值域的求法
对于这种类型的函数可以通过如下两种方法:1.判别式法;2.对函数式进行变形转化为第二种形式进行求解.
解法一原函数可化为yx2-yx+y=x2-2x.
整理, 得 (y-1) x2- (y-2) x+y=0.
由Δ= (y-2) 2-4 (y-1) y≥0, 得
解法二原函数可化为
接下来按函数的单调性来做即可.
不过这里要指出的是:对于上述三种类型的分式函数中第二种和第三种类型的函数在利用判别式法来求值域时, 有时求出的范围并不一定是原函数的值域.
例如:求函数的值域时, 将其变形为
(y-2) x2+ (y-2) x+y-3=0.
用判别式解得
则原函数的值域
实际上, 函数值y≠2, 所以函数的值域是
所以用判别式法求解时一定要注意其条件, 下面简要说明:
对于形如 (2) (a1, a2不同时为0, 分子分母既约) (3) (a1, a2≠0, 分子分母既约) 的函数在去分母后化为:m (y) x2+n (y) x+py=0 (1) 的形式后要进行如下讨论:
i) m (y) =0, 使 (1) 成立的x是否使原式有意义;
ii) m (y) ≠0, 利用Δ≥0求出的y的取值范围后还须注意等号成立的可能性.
例5求函数的值域.
(1) 若y=1代入 (1) 式得x=1, 不在函数的定义域内.因此y≠1.
(2) 由y≠1, 可得Δ= (-5y) 2-4 (y-1) (4y+1) ≥0,
得 (3y+2) 2≥0.
由原函数知x可取1, 4以外的一切实数, 因此
综上所述可得原函数的值域为
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