三角函数与三角形复习

三角函数与三角形复习（精选12篇）

三角函数与三角形复习 篇1

教师普遍对复习课教学的要求比较清晰:一是要把零碎的知识点进行梳理,使之系统化;二是要通过查缺补漏,巩固所学知识,使所学知识更扎实;三是在学有余力的基础上再获得一定的提升。但在具体实施时,复习课往往容易上成老师一人的“独角戏”:苦口婆心地进行错例的分析;枯燥反复地啰唆、强调;机械重复地进行技能的训练。一节课下来,老师累,学生也累, 无疑,这种“炒冷饭”的课堂缺少生气。 那么如何改变这种死气沉沉的课堂面貌呢?我认为应为复习课增添“三股活力”:一是创设趣味情境,增添复习的活力;二是学生参与体验活动,凸显梳理的能力;三是渗透思想方法,激发学习的潜力。下面结合我上《整理复习: 三角形》的实践研究,谈一点自己的思考。

这节复习课,我改变了以往固有的复习模式,创设了学生感兴趣的三角形小精灵形象,以它为主线,串联复习内容,而内容设计又建立在学生活动的基础上,引导学生“玩中学,乐中悟”。

一、注入复习的动力

“没有兴趣的学习,无异于一种苦役。”兴趣是最好的老师,也是高效复习的关键。《整理复习:三角形》一课伊始,我把俏皮可爱的三角形小精灵引入课堂。

如,教学片段:

师:这节复习课,我们先请出三角形家族中的几位成员。是谁呢?大家看大屏幕一起说。(逐个出示后,立即隐去卡通形象,留下图形)

生:钝角三角形、锐角三角形、直角三角形。

师:你们是怎样快速判断它们的类型呢?

生:我们只要看最大的角是什么角就知道是什么三角形。

伴随悦耳的音乐,学生感到亲切, 同时复习了各种三角形的特征以及如何判断三角形类别等基础知识,充分调动了学生复习的兴趣,也为后面的整理复习做好铺垫,复习的效果便获得了自然的增值。

《整理复习:三角形》一课,主要复习三角形的有关知识,包括三角形的特征、三角形的特性、三角形的分类等内容。涉及的知识点多而杂,如果只是一题接一题简单重复地练习,课堂将枯燥无味,学生将沉闷无聊。那么如何活跃课堂气氛,激发学生的复习热情呢? 课后,我设计了有趣味、有挑战性的“宝藏在哪里”的寻宝活动。

宝藏在三角形ABC区域内。

从点扫射,它在距离边最短的线段上;从B点扫射,它在距离AC边最短的线段上。

学生根据提供的信息,兴趣盎然地投入紧张的“寻宝”活动, 课堂气氛先是安静紧张,进而激动愉悦,孩子们在兴奋中进一步掌握了画三角形高的方法和要点。

课堂实践告诉我们,创设趣味的情境在复习课上尤为重要,它能激发、提高学生的学习热情,又能较好地回顾和掌握所学的知识。

二、凸显梳理的能力

整理、沟通,使知识条理化、系统化,形成良好的知识网络,这是复习课最鲜明的特征。复习本身就是一个“串点成线”的过程。《整理复习:三角形》 一课,我整合本单元学过的知识,将其分成两大块内容,一是从复习“三角形的分类”入手,引导学生在活动中进一步理解三角形不同的分类方法及各种三角形之间的关系;二是以“三角形有什么共同特点”为核心问题,引发学生回顾梳理,串起关于三角形边、角的共同特征,以此完善三角形的认知结构。理清了知识的脉络,那么如何以学生为主体进行知识梳理,将复习课上得活泼些呢?

1. 参与体验,理清关系

师:这天,三角形家族盖好了三栋大房子,你们看,分别是(生:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)的家。

师:这是按“角”分类。

师:同学们,你们每人手上都有一个三角形,可以住进哪栋房子呢?

师:你说说看。(一位学生上台来, 手拿三角形举高给大家看)

师:其他的同学呢?同桌互相说一说。

师:都找到进哪栋房子了吗?如果再给你一些三角形,也还能找到相应的房子住进去吗?

生(齐答):都能找到。

师:是的,因为三角形按角分,只能分成三类。

师:如果把所有的三角形看做一个整体,怎样用集合图来表示这三种三角形的关系呢?

根据学生回答,出示集合图。

每个学生通过手中的三角形卡片, 自主参与判断选择可以住进哪栋房子, 结合活动和集合图,学生进一步理解了三角形的分类,三种三角形之间的关系。 这些活动都能让学生动起来,在活泼的氛围中,激发学生的思维,他们在玩中学会了整理三角形的知识,避免了复习的枯燥。

2. 沟通联系,适度拓展

三角形按边分类对学生来说难一些,虽然教材不强调按边分分成几类, 但我考虑到,作为一堂复习课,有必要帮助学生形成一个完整的认知结构,理清三角形边与角之间的内在关系,于是参考了苏教版教材《三角形按边分》的编排,课中以介绍的方式,形象地再现等腰三角形、等边三角形的关系以及按边分的集合图。从课堂教学的实施情况来看,这样的处理,适度拓展,恰到好处,较好地实现分层教学。如下片段:

师:看!这里还有一栋房子,是等腰三角形的家。你们看看,哪些三角形精灵可以住进去呢?(出示后,立即隐去卡通形象,留下五个三角形。根据学生回答,在课件上分别移动四个三角形精灵进入等腰三角形的家)

师:在四个等腰三角形中,你觉得哪个三角形最特殊呢?

师:你们知道吗?等边三角形是特殊的等腰三角形。我们可以把所有三角形看作一个整体,按边分,我们认识了两种特殊的三角形:等腰三角形和等边三角形。(用集合图表示出来)

3. 核心问题,串联知识

《三角形》这单元知识点较多,且较为零碎。如何将这些零散的知识点连缀起来,形成知识网络呢?本节复习课, 我引导同学们思考,手中这么多的三角形,尽管形状、大小可能不相同,但是它们都有什么共同特点呢?请同学们以四人小组为单位,回顾一下三角形有哪些共同特点。

这样,以“三角形都有什么共同特点”为核心问题,设计学习单,学生通过小组间的相互启发、相互讨论合作完成,将一个个似乎不相关的知识点串联起来,自主建构了“三角形”的相关知识,进而形成一个完整的知识系统, 使每一个学生在原有的认识基础上得到提高和发展。

三、激发学习的潜力

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“数学知识的教学,应注重学生对所学知识的理解,揭示知识的数学本质及其体现的数学思想,帮助学生理清相关知识之间的区别与联系。”

复习课中,我常常引导学生回顾反思,提出“回顾刚才的几种分析或者解法,你能总结出解决这个问题的策略吗?”“我们是采用什么方法来解决问题的?”等问题引导学生对自己的思考分析过程进行回顾与思考,渗透思想方法,完成探究教学。

1. 举出反例,澄清模糊

根据平时收集的学生错例,发现孩子综合考虑三角形的边和角时还较为混沌,甚至出现错误。如何帮助学生分析梳理呢?我把课堂交给学生,组织学生质疑、释疑,自己解决还有疑惑的问题。 如:“等腰三角形一定是锐角三角形” 是个典型错例,如何使学生加强并形成清晰的认识呢?如果仅仅停留在口头的分析上是不够的,分析过后很快又模糊不清。课中,我引导学生进行反驳,有的学生会利用手中的直角三角形或钝角三角形反驳;有的学生用举反例的方法反驳,一副三角板其中一个就是等腰直角三角形,我们戴的红领巾就是一个等腰钝角三角形,所以说,等腰三角形还可能是直角三角形、钝角三角形,有的同学补充,只要两边相等的三角形就是等腰三角形。它与角的大小无关。看! 我手中的三角形是这样的(举起手中的钝角等腰三角形卡片展示),我同桌的三角形又是这样的(直角等腰三角形)。 结合学生举反例的证明方法,学生及时总结:“要证明一个结论是不是成立时,只要找出一个实例来说明这个结论不正确就可以了。”我适时补充:“这种方法是举反例的证明方法。”这样, 举反例的证明方法就会在学生们的头脑中深深地留下了印象。

2. 不同方法,证明释疑

针对一部分学生就等边三角形从角的角度观察一定是锐角三角形的模糊认识,我创设了一个矛盾冲突:“一个三角形,既是等边三角形,又是钝角三角形。”

老师话音刚落,学生之间立即展开了一场小小的辩论,孩子此时的学习热情高涨,分析与说理也精彩纷呈。

生1:等边三角形三个角都相等所以每个角都是60度,是锐角三角形, 故等边三角形不可能是钝角三角形。

生2:我们知道,每个三角形至少都有两个锐角,而等边三角形的三个角都是相等,那么第三个角也应该是锐角, 三个角都是锐角的三角形一定是锐角三角形了,不可能出现其他情况。这位同学还边说边写,到黑板前给大家呈现了他的分析推理过程。

听着分析的理由,看着推理的过程,大家都为生2的奇思妙想所折服。 我也不禁赞许:“上面两位同学根据等边三角形的多个特征结合起来推理,运用推理的思想方法来证明这个结论是否正确,真是厉害!”

生3:假设等边三角形有一个角是钝角,钝角大于90度,那么等边三角形的三个内角都大于270度了,绝对不可能!所以,有钝角的等边三角形是不存在的……

在复习课里,引导学生应用举反例、假设法等思想方法多角度思考问题, 学生思路逐步清晰,思维变得深刻,对知识的理解越辩越清、越辩越明。不仅进一步沟通、理清了三角形边和角的关系,还向学生渗透了比知识更为重要的方法。

总之,这节整理复习课改变了以往固有的复习模式。在“以学定教”的教学理念的引领下,根据学生之前学习“三角形”这部分内容的掌握情况,确定了复习的重点、难点及复习的起点。并在课堂中为复习添“三股活力”:一是“动力”,创设情境,激发兴趣,注入复习的动力,这样教学内容、教学过程都具有趣味性,学生在课堂上会更用心,注意力更集中;二是“能力”, 参与体验, 自主建构,凸显梳理的能力,这样课堂上的气氛会更活跃;三是“潜力”,围绕不足,渗透方法,激发学习的潜力, 这样学生对知识点的理解会更透彻。“三股活力”是复习课教学不可缺少的元素, 这样的课堂,不仅复习氛围生动、和谐, 而且高效,轻松就能达成了复习课的四大目标:趣味、梳理、补缺、拓展。

三角函数与三角形复习 篇2

1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 判定：

(1) 同位角相等，两直线平行。 (2) 内错角相等，两直线平行。 (3) 同旁内角相等，两直线平行。 (4) 垂直于同一直线的两直线平行。 3. 性质： (1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3) 两直线平行，同位角相等。 (4) 两直线平行，内错角相等。 (5) 两直线平行，同旁内角互补。

(二)三角形

4. 一般三角形的性质 (1) 角与角的关系：

三个内角的和等于180°;

一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何―个和它不相邻的内角。 (2) 边与边的关系：

三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3) 边与角的大小对应关系：

在一个三角形中，等边对等角;等角对等边。 (4) 三角形的主要线段的性质(见下表)：

5. 几种特殊三角形的特殊性质 (1) 等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等;

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 (2) 等边三角形的特殊性质：

①等边三角形每个内角都等于60°; ②等边三角形外心、内心合一。 (3) 直角三角形的特殊性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角;

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 (其逆命题也成立); ④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半;

⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6. 三角形的面积

1

(1) 一般三角形：S △ = a h( h 是a边上的高 )

211

(2) 直角三角形：S △ = a b = c h(a、b是直角边，c是斜边，h是

22

斜边上的高) (3)

等边三角形： S △ =

2

a( a是边长 ) 4

(4) 等底等高的三角形面积相等;等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比;等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7. 相似三角形 (1) 相似三角形的判别方法： ① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似; ② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似; ③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2) 相似三角形的性质： ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的.比都等于相似比; ② 相似三角形的周长比等于相似比; ③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 全等三角形

两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。

判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS; ②直角三角形还有HL

二、巩固练习：

一、选择题： 1.

如图，若AB∥CD，∠C = 60?，第一文库网则∠A+∠E=( )

A.20? B.30? C.40? D.60? 2.如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是( ) A.AB∥CD 3.

B.AD∥BC

C.∠B=∠D

D.∠3=∠4

如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是( )

A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定 4.

如图，下列判断正确的是( )

A.∠1和∠5是同位角; B.∠2和∠6是同位角; C.∠3和∠5是内错角; D.∠3和∠6是内错角. 5.

下列命题正确的是( )

A.两直线与第三条直线相交，同位角相等; B.两直线与第三条直线相交，内错角相等; C.两直线平行，内错角相等; D.两直线平行，同旁内角相等。 6.

如图，若AB∥CD，则( )

A.∠1 = ∠4 B.∠3 = ∠5 C.∠4 = ∠5 D.∠3 = ∠4 7.

如图， l1∥l2，则α= ( )

A.50° B.80° C.85° D.95° 8.

下列长度的三条线段能组成三角形的是( )

A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，

12cm

9. 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.150° B.80° C.50°或80° D.70° 10. 如图，点D、E、F是线段BC的四等分点，点A在BC外， 连接AB、AD、AE、AF、AC，若AB = AC，则图中的全等三角形 共有( )对

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

11. 三角形的三边分别为 a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形?( ) A. a = 3，b = 2，c = 4 B. a = 15，b = 12，c = 9 C. a = 9，b = 8，c = 11 D. a = 7，b = 7，c = 4 12. 如图，△AED ∽ △ABC，AD = 4cm，AE = 3cm， AC = 8cm，那么这两个三角形的相似比是( )

313

A. B. C. D.2

428

C

A

E

13. 下列结论中，不正确的是( ) A.有一个锐角相等的两个直角三角形相似; B.有一个锐角相等的两个等腰三角形相似; C.各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似; D.各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。 二、填空题：

14. 如图，直线a∥b，若∠1 = 50°，

则∠2 = 。

15. 如图，AB∥CD，∠1 = 40°，

则∠2 = 。

16. 如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，

若∠ADE = 80°，则∠1 = .

17. 如图， l1∥l2，∠1 = 105°，∠2 = 140°，

则∠α = .

18. △ABC中，BC = 12cm，BC边上的高

AD = 6cm，则△ABC的面积为 19. 如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，

那么x的取值范围是。

20. 在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 21. 在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 。 22. 已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是。 23. 等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是。

24. 在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 。

25. 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 。

26. 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为。

27. 如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子 测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他 想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的 点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长 为15m，则A、B两点间的距离为__________.

28. 如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE， ∠B=∠E.要使△ABC≌△DEF，需要补充的 是一个条件： 。 ..

29. 太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时

量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为 。

三、解答题：

30. 如图，已知△ABC中，AB = AC，AE = AF，D是BC的中点 求证： ∠1 = ∠2

31. 如图，已知D是BC的中点，BE⊥AE于E，CF⊥AE于F 求证：BE = CF

32. 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB =∠DBA，AC = 18，△CDB的周长是28。求BD的长。

33. 已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，

求证：AB=AC

B

D

E

C

34. *一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。 (1) 根据题意，画出示意图; (2) 求河宽。

练习答案： 一、选择题

1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C 9、C 10、C 11、B 12、B 13、B 二、填空题

14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm2 19、1

324、6或 25、22或26 26、120° 27、30m

2

28、BC=EF或∠A=∠D或∠C=∠F 29、21.6m 三、证明题

30、BE=CF、∠B=∠C、BD=DC→△BED≌△CFD→∠1=∠2 31、△BED≌△CFD→BE=CF

32、∠A=∠DBA→AD=BD→CD+BD=AC=18、△CDB的周长是28→BC=10 33、AD=AE→∠ADE=∠AED→∠ADB=∠AEC→△ABD≌△AEC→AB=AC 34、

解：如图，根据题意，有AB∥CD，PM⊥CD于N点，

交AB于M点，且AB=20m， CD=50m， PM=25m， AB∥CD→△PAB∽△PCD→

P

C

A

MB

N

PMAB

=PNCD

D

→ →PN=62.5→MN=37.5 =

2520

对三角函数复习与预测的智性思考 篇3

高考中，三角函数考点主要考查学生的运算能力，在客观题中，突出考查基本公式所涉及的运算、三角函数图象的基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系的考查较为关注．解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算．三角函数部分，公式较多、易混淆，在运用过程中，一定要树立目标意识，观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向．

2 复习建议

1．复习三角函数与复数内容时，对一些题目在熟悉常规解法的前提下，重在灵，活，巧上下工夫，做到省时省力，以适应考试的需要．

2．“等价转换”应突出等价性．

（1）每用公式，都应审视公式成立的条件，以形成好的习惯思维．

（2）公式应用过程中，符号的取舍要认真对待，试题往往把这类问题作为考查的重点．

（3）要熟练掌握公式的正向、逆向运用，以此缩短思维、寻找解题最佳路径，从而使运算流畅、简洁、自然．

3 应注意的几个问题

1．应熟悉三角函数线的应用，如何用来解、证三角不等式，比较三角函数值的大小等．

2．注意y=sinωx与y=sin(ωx+θ)（ω>0）之间角的图形变换．

3．注意y=sin（ωx-φ）与y=sin（φ-ωx）单调区间的求法不同，这由于u=ωx-φ(ω>0)为增函数，而u=φ-ωx(ω>0)为减函数．

评注 正弦函数图象和余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，涉及三角函数对称性内容的题目在高考试题中经常考查，是一个常考不衰的热点问题．有关三角函数图象单调性知识点考题一直是高考试题中的热点题型之一，这类考题一般是通过化简、变形已知三角函数式，才能决定三角函数的单调区间变化情况．

评注 由于三角函数是具有周期性的特殊函数，因此，在高考试卷中，侧重考查三角函数的周期性兼带最值的考题倍受命题者的青睐．

评注 高考试题除了侧重考查三角函数的周期问题外，考查三角函数的值域、奇偶性、单调性、对称性的考题也常考不衰．这类考题不仅仅是选择或填空题型，有时还会以解答题的形式出现在考卷上，但考题难度相对来说还属于中档题型．

评注 三角函数求值问题常见的题型为，一般是给出一个比较简单的三角函数式的值或三角等式，求其它一些三角函数的值．解这些问题应注意的是：一要严格讨论角的变化范围；二要选择公式与解题方向必须得当；三要熟悉变换方向；四要掌握变形技巧．三角函数的求值问题注意根据角的范围来确定三角函数值的正负，并要注意沟通已知与未知之间的联系，灵活运用公式是关键．

评注 此考题是以平面向量为载体，综合三角函数与平面向量交叉汇合处为主干，最终转化为纯三角函数问题．利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新题型和发展趋势．

5 真题速解

5．1 三角函数的奇偶性问题

(1)根据函数的奇偶性定义进行判断；（2）转化为基本三角函数，再根据基本三角函数的奇偶性进行判断．

5．5 与y=Asin(ωx+φ)图象有关的问题

一般结合图象用“五点法”和“图象变换法”解题；用在统一周期中，函数的最大值、最小值点的特征进行求解，在很多情形下显得非常简捷．另外，对于选择题，还可以用特殊值、排除法等求解．

命题意图与思路点拨：本题考查三角函数的简单变形和三角函数图象的基础性质．高考中对三角函数性质的考查一般是体现在两个方面：(1)选择或填空题单纯对三角函数性质进行考查；(2)在大题的某几步或某一问对其进行考查．其中三角函数的图像、单调性、对称性、奇偶性,在以往的试题中针对三角函数的图像、单调性、奇偶性的试题较多,因此对对称性的考查要特别加以防范．

方向2 三角函数图像是高考考查三角函数性质题型的另一个热点

例１3 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．

命题意图与思路点拨：本题考查三角函数与平面向量的综合运用，理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题． 当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量具有代数与几何形式的双重身份．它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，以上预测题，重在为备考中的考生揭示题型规律，归纳与探究解题策略．

作者简介 管宏斌，男，1970年出生，教育硕士，中学高级教师，奥赛一级教师.通州市十佳青年.发表文章一百余篇.

三角函数与三角形复习 篇4

浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“直角三角形” (复习课) .

这节课主要复习直角三角形的概念和性质, 回顾这一节的相关知识, 为综合运用等腰三角形和直角三角形的知识解决实际问题作准备.

教学理念

直角三角形的复习课就是对已学过的直角三角形概念及性质等知识进行整理、巩固和提高的过程, 在这个过程中, 应以学生的活动为主, 让学生主动参与教学的全过程, 激发学生的思维, 让学生在自主探索与合作交流中进行复习, 提高数学复习的有效性.教学时, 利用学生如影相随的学习工具三角板, 通过旋转变换, 得到了不同的几何图形, 在变换中寻求不变的关系.

教学目标

(1) 以三角板为载体, 通过三角板的旋转, 说明线段相等, 复习全等三角形、等腰三角形、直角三角形等知识.

(2) 通过对例题的剖析, 使学生学会利用三角板解题, 在此过程中进一步培养学生分析问题的能力, 培养学生动手操作的能力以及运算能力.用与学生关系最密切的学习工具研究教学知识, 激发学生强烈的学习兴趣, 培养逻辑推理能力和解决问题的能力.

(3) 通过对本节内容的回顾和思考, 培养学生主动探究、合作交流的意思, 增强学生学习数学的信心.

教学重点

利用三角板进行解题.

教学难点

从变化中发现不变的关系, 再结合相关知识求问题的结果;用不同的方法说明两条线段相等.

教学过程

1. 知识篇

师:三角板是大家熟悉的学习工具, 在它们的身上蕴藏着许多奥妙, 你们能说一说对它们的认识和了解吗?结合学案, 完成知识填空.

(1) 如图1, ∠ACB=90°, ∠A=30°.

(1) ∠B=_______;

(2) 若BC=1, 则AB=_______, AC=_______, 若CD是斜边AB的中线, 则CD=_______.

(2) 如图2, ∠ACB=90°, AC=BC.

(1) ∠A=_______, ∠B=_______;

(2) 若AC=BC=1, 则AB=_______, 若CD是斜边AB的中线, 则CD=_______, CD与AB的关系是什么?_______.

师:哪些同学能展示你的结果, 并说出解题的依据.

(学生陆续回答, 同时教师在幻灯片上显示相应的知识点.)

【设计说明】因为是复习课, 所以有必要要求学生对两个特殊直角三角形的性质有一个整体的认知, 回顾基本知识点, 让学生在脑子里有清晰的知识“贮藏图”, 从而为后续学习打下良好的基础.借助练习的形式, 让学生回忆, 把本节课的内容习题化, 能有效地梳理知识, 又便于记忆;让学生以身边的三角板为载体, 展示他们的结果, 把学生作为学习的主体, 充分发挥学生的主体作用, 这要比由教师讲解学得更主动、理解更深刻.

2. 应用篇

师:回顾了三角板的性质, 我们再来解决一些由三角板构造而成的例题.首先等腰直角三角形保持不变, 另一块三角板绕着斜边的中点旋转.

(1) 如图3所示, 一幅三角板如图放置, 等腰直角三角形固定不动, 另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点O处, 且可以绕点O旋转, 在旋转过程中, 两直角边的交点G、H始终在边AB、CB上.

(1) 在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系?证明你的结论.

(2) 若AB=CB=4 cm, 在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变, 若不变, 求出它的值, 若变, 求出它的取值范围.

(学生看《几何画板》的动画效果.)

师:根据课件中显示的数据, 大家能判断出这两条线段的大小关系吗?

生众:相等.

师:要说明两条线段相等, 常用的方法是什么?

生1:用全等的方法.

师:能在图中找到全等的三角形吗?

生2:不能.

师:那么该如何处理呢?

生3:可以添加辅助线, 自己构造三角形.

师:那么请考虑该添加什么辅助线?

生4:连接BD, 说明△BDG≌△CDH.

【设计说明】这是一道期中独立作业上的最后一题, 在刚上完新课后学生对此题束手无策, 失分率非常高.在此处出题为的是巩固直角三角形的性质, 培养学生解决几何问题的能力, 尤其是学会添加辅助线, 只要连接BD, 就能构造出全等三角形, 问题就迎刃而解了.

(3) 把直角三角板DEF继续绕着D点旋转, 延长AB交DE或DE的延长线于G, 延长BC交DF或DF的延长线于H, 线段BG和CH还相等吗?说明理由.

师:大家先自己求解, 得出方法后在组内交流、讨论.

(学生试着求解, 小组内交流、讨论, 教师巡视并参与其中.)

【设计说明】利用小组学习的形式, 可以为学生提供更多合作、交流的机会, 使“面向全体”得到真正的落实.

(几分钟后, 部分学生举手.)

生5:我的方法是, 还是连接BD, 说明△BDG≌△CDH.

师:那么说明全等的三个条件是什么?

生6:对应边和第一题一样, 是BD=CD, 对应角也一样, 仍然是∠BDG=∠CDH, ∠DBG=∠DCH.

生7:还是有不同的, ∠DBG和∠DCH的度数为135°.

【设计说明】引导学生进行交流、讨论, 进行思维的博弈, 发挥集体的智慧, 使真知越辩越明.

师:我们将继续进行图形的变换, 将△DEF继续绕着D点旋转, 看看我们还能得出哪些结论?

(4) 把直角三角板DEF继续绕着D点旋转, ED的延长线交AB于G, FD的延长线交BC于H, 线段BG和CH还相等吗?说明理由.

【设计说明】此题是在前两题的基础上, 加以变式, 让学生能在旋转的变换中找到不变的量.

(当题目一出现, 就有一部分学生马上举手.)

生8:这一题与第一题完全相同, 连接BD, 还是说明△BDG≌△CDH, 所用的三个条件完全一样.

(在生8的提醒下, 大部分学生恍然大悟.)

师:在这些题目的变化中, 大家有什么感受?

生9:虽然图形在改变, 但是结论始终不变.

师:那么大家还能找到哪些不变的量呢?

(学生各抒己见, 说出了很多在旋转过程中保持不变的量.)

【设计说明】在这三题中, 虽然△DEF一直在绕着D点旋转, 但角和边对应的大小关系始终不变, 所以三角形的全等关系也不变, 在题目的设计中, 不仅应用了特殊直角三角形的性质, 同时也复习了全等三角形的性质和判定, 在旋转中找到不变的量是解决问题的关键.

师:接下去, 我们把两块三角板的位置互换一下, 30°角的三角板不动, 等腰直角三角形三角板绕着斜边的中点旋转.

(2) 图6中是一副三角板, 45°的三角板Rt△FED的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点D处, ∠A=30°, ∠E=45°, ∠EDF=∠ACB=90°, DE交AC于点G, GM⊥AB于M.

(1) 当DF经过点C时, 作CN⊥AB于N, 说明AM=DN, 此时点G在AC的什么位置?

师:要说明线段相等, 在此题中, 可以用全等的方法吗?

生众:不能.

师:那么可以选用什么方法呢?

生10:可以说明这两条线段都和其他线段相等.

师:你们能找到图形中其他相等的线段吗?

生11:AD=BD=CD.

生12:我发现图形中有等腰三角形, 运用三线合一的性质.

生13:AM是AD的一半, DN也是DB的一半, 就可以得到结论了.

师:此时G的位置呢? (有一位学生的方法出乎我的预料.)

生14:用相似变换可以解释, △AGM和△CAN是相似变换, AM与AN的比为1∶3, 那么AG与AC的比也是1∶3.

(我禁不住为这名学生的解题思路而赞叹, 同学们也为之鼓掌.)

师:再把图形继续旋转, 还能从中找到不变的量吗?

(2) 当DF∥AC时, DF交BC于H, 作HN⊥AB于N, (1) 的结论仍然成立吗?请你说明理由.此时点G在AC的什么位置?

(学生试着求解, 小组内交流、讨论, 教师巡视并参与其中.)

师:有哪位同学能说一说你的想法.

生15:我的方法是要做两次全等, 首先是△ADG≌△DHB, 得到AG=DH, 再说明△AGM≌△DHN.

生16:我的方法是连接CD, 用三线合一得到AG=CG, 再根据四边形CGDH是一个长方形, 得到CG=DH, 再去说明△AGM≌△DHN.

【设计说明】此题通过两个三角板特殊位置的摆放, 构造出学生熟悉的特殊三角形, 如等腰 (等边) 三角形、含30°角的直角三角形等, 想考查学生的识图能力和利用三角形相关知识进行推理、论证的能力, 并将线段常用的说明方法融于其中.

3. 小结篇

(以我说, 你说, 大家说的形式让学生各抒己见.)

4. 思考篇

练习 (2010年浙江·金华卷中考题) 如图8, 把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中, A、B两点坐标分别为 (3, 0) 和.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动, 点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为1, , 2 (单位长度/秒) .一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (单位长度/秒) 的速度向上平行移动 (即移动过程中保持l∥Ox) , 且分别与OB、AB交于E、F两点.设动点P与动直线l同时出发, 运动时间为t秒, 当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时, 直线l和动点P同时停止运动.

请解答下列问题:

(1) 过A、B两点的直线解析式是_______;

(2) 当t=4时, 点P的坐标为_______;

当t=_______, 点P与点E重合.

【设计说明】此题放在课外去思考, 目的是让学生感受三角板已成为数学中考中的一道亮丽的风景线.

【总结】本节课教师先让学生对特殊直角三角形的性质进行了整理, 让学生在脑子里有清晰的知识“贮藏图”, 再通过学生的展示和教师的讲解, 进一步加深对知识的理解和掌握, 让学生先去做一做, 做后再交流, 可以相互启发, 这样收获更大.

这节课的教学中, 在明确复习课的目的、任务的前提下, 以培养学生几何推理能力, 促进学生发展为指导思想.教学活动的设计始终围绕本节课的主题展开, 从特殊直角三角形的性质的回顾, 到基础运用和综合应用;从不变的已知条件到运动的点线关系, 层层递进, 逐步深化.从每名学生的角度去发现问题, 思考问题, 解决问题, 将复习落到实处.在应用篇的第一题中, 以图形的旋转变换为主, 在图形的变换中去寻求不变的关系, 以不变应万变.在第二题中, 以找线段相等为主线, 将线段相等常用的证明方法融于其中.

三角函数与三角形复习 篇5

2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.

1.高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.

②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin x+bcos x的常考内容.

浅谈高考三角函数知识的复习 篇6

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数在高考试卷中占据了至少20分，并且三角函数一般都比较简单，是考试中最容易取得分数的知识点。因此，三角函数的解题在高考总复习中应当得到教师的充分重视。针对这种情况，笔者就高考复习阶段如何复习三角函数做出一定的解析，希望给学生以及同仁们提供借鉴。

一、掌握数学三角函数公式是学好三角函数知识的基础

要学好三角函数必须要将函数的公式烂熟于心，能够做到信手拈来。众所周知，高中数学教学中，三角函数的公式最多，限制条件也多。但是，不可否认的是，三角函数的题目也相对较为简单。因此，就应当引导同学们积极记住相关的公式，当然公式仅仅记住是不管用的，记住了却把它束之高阁是不能解决问题的，因此就要将所学的公式付诸应用。在记忆公式方面没有什么固定的窍门，但是教师可以引导学生通过象限来记忆公式，将公式的推导过程向同学们解释清楚，这样使学生做到“知其然，知其所以然”，这样必然利于同学们掌握公式，学以致用。

二、利用图形解题是解决三角函数题型的关键

在三角函数的解题过程中，题和图是不分家的，二者相辅相成、相得益彰。题目若是解决不了，画个图形往往能收到意想不到的效果。在实际的教学工作中，我们不难发现，作图往往是解决三角函数问题的一个重要突破口。当然，我们知道，三角函数也往往以图形的形式进行设题，考察同学们题图结合的综合能力。事实证明，只有将题和图掌握得都很好的同学，才能又好又快地解决这类问题。

三、解决三角函数问题，举一反三是学习的重要着力点

我们知道，在三角函数的教学过程中，出题人出题的突破点往往就是几个而已，不会有太大的突破，变化大多是数据或者顺序。针对三角函数出题万变不离其宗的特点，教师就应当引导学生们总结出三角函数出题的特点，这样不管题目如何变化，学生总能从这种变化中找出教师帮助同学们总结出的模板，这样学生们就可以轻易地取得分数。例如下题：

已知，且。

求：的最大值，并求出相应的α、β的值。

根据题意，我们就可以求解了。

解：

＝ -

＝-

＝-

＝--

＝--

＝-

，

，，；

，

，；

当时，y取最大值，

这样以后同学们再遇到这样的问题，就会很容易地解出来。

四、准备错题本，随时纠错

在数学教学中，千万不要忽略错题的重要作用，错题反映了学生数学学习中的薄弱环节，教师要让学生准备一些错题本，准备纠错。纠错本并不是纠完错就可以放在一边了，教师应当时时敦促学生们翻看纠错本，从错题中找到自己的软肋，做到温故知新。这样，学生们就能够在重新遇到相似问题时正确而又快速地解答出来，做到更加游刃有余地掌握三角函数的知识。

“三角形复习课”的教学思考 篇7

一、从整理知识结构说起

复习课难上,难在学生都学过这部分内容,已经没有新鲜感,尤其是这些数学定义、性质、判定、推论,但是这些知识点又是解决综合题必备的知识基础,那么怎么样让学生既复习好这部分知识,又不枯燥无味呢?

我在设计时,先在黑板上画一个三角形,让大家回忆一下与这部分相关的知识点,学生很快就会说出:内角和180°,勾股定理,高线,中线,角平分线,特殊的等腰三角形,直角三角形,两边之和大于第三边.

学生很快地唤醒了这部分记忆,只是这是很零散的知识点,下面让学生试着归类,提高学生知识的整合能力,也是让学生自主地在脑海中构建知识体系. 在教师的引导和学生的努力下,不难一起整理出三角形这一部分的知识结构图.

概念及性质(由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形,三角形具有稳定性)

图形元素(三个顶点,三条边,三个内角,六个外角)

分类

三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

内外角关系:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

边角关系:三角函数,勾股定理.

重要线段:高线、中线、角平分线.

二、从具体的知识点联想其各种应用

三角形的角平分线是一条非常重要的线段,那么角平分线究竟有哪些常见的应用类型呢? 笔者没有像传统的课堂一样,直接呈现三角形几种常见应用的例题,这样直接“喂食”的方式没有新意,而且很难被学生真正接受,因此笔者也是让学生先回忆与角平分线相关的常见的应用. 这时学生会积极思考从脑海中快速搜索, 比如三角形角平分线的性质,角平分线与等腰三角形、平行线结合的知二求一,由角平分线轴对称变换构造等腰三角形,这时在教师的提示下,也可以总结出根据角平分线截长补短构造轴对称型全等,下面再展示如下几个例题,在总结完三角形的应用的基础上看这些例题,也会更加有针对性.

1. 角平分线的性质 , 即角平分线上的点到角的两边距离相等.

在四边形ABCD中,BC > BA,AD =DC,BD为∠ABC的角平分线. 求证: ∠A + ∠C = 180°

分析可以过点D分别作AB和BC的垂线段,证明两直角三角形全等,当然此题也可以用截长补短构造轴对称型全等.

2. 平行线、等腰 三角形、 角平分线 的知二求一.

如图所示 ,在△ABC中 ,已知∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC, 交AB于点D, 交AC于点E , 若DE长15 cm,求线段BD + CE的长.

分析由题目已知, 角平分线和平行线的结合出现了两个等腰三角形,因此把BD和CE分别转移到DF和EF.

3. 根据角平分线截长补短构造轴对称型的全等三角形.

如图,△ABC中,AD平分∠BAC,AB + BD = AC,求∠B∶∠C的值.

分析由题目已知中的AB + BD = AC,这是线段和差关系,很容易想到截长补短的辅助线,而且还有角平分线,因此为构造轴对称型全等提供了条件, 此题可以在AC上截取AE使得AE = AB(截长),或者延长AB至F,使得AF = AC(补短).

4. 由角平分线轴对称变换构造等腰三角形.

已知:等腰直角三角形ABC中,∠A =90°,AB = AC,∠B的平分线交AC于D,过C引BD的垂线交BD的延长线于E.

求证:BD = 2CE.

分析等腰直角三角形是一类非常重要的三角形, 为旋转提供便利条件,同时题中也给出了角平分线以及CE与BE垂直的条件,因此此题延长CE与BA的延长线相交于F,这样出现了一组轴对称的直角三角形,从而得到一个等腰三角形.

三、由具体的问题分析其背后隐藏的知识点

刚才是由一个知识点联想其各种应用, 下面反过来,从一个具体的应用挖掘其背后隐藏的知识点.

问题已知:如图,在△ABC中,D为BC中点 ,DE⊥DF,DE交AB于E,DF交AC于F,问:BE + FC与EF的关系?

挖掘题目背后的知识点:

1. 由DE⊥DF可想到 :

(1)直角三角形的所有性质及相关结论 ;

(2)直角三角形可以经过轴对称变换得等腰三角形.

2. 中点联想到的知识点有 :

(1)中点定义.

(2)倍长中线 (即构造中心对称型全等 ).

(3)中位线定理.

(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(5)三角形的一条中线将三角形的面积分成相等的两部分.

(6)和等腰三角形结合的三线合一.

3. 直角顶点恰好是一条线段的中点可以联想到“半角模型”:两次翻折构造全等.

大家都知道, 初中阶段学过的几个全等变换是平移、轴对称、旋转,而这个问题也可以同时用这个方法证明.

解决这个问题的方法如下:

方法一:(轴对称)两种方法

方法二:(旋转,中心对称)

方法三:(平移BE至CH, 需注意要证明E,D,H三点共线)

方法四:由直角三角形斜边中点和中位线想到

当然,复习阶段要提升学生的能力,也可以继续探究这个问题.

探究1:若增加条件∠B + ∠C = 90°,这三条线段原有的关系变吗? 它们还有其他关系吗? 你还能得到哪些结论?

探究2:若增加条件∠B = ∠C = 45°,这三条线段原有的关系变吗? 它们还有其他关系吗? 你还能得到哪些结论?

探究3:若去掉“△ABC中”,如下图增加条件∠B + ∠C =90°,这三条线段原有的关系变吗 ?它们还有其他关系吗 ?你还能得到哪些结论?

题目的条件决定了结论,也给我们提供了解决问题的方法,这个问题意在让学生体会挖掘题目条件的必要性以及几何问题的分析方法,同时对条件的不同关注可以让我们找到解决问题的不同方法———一题多解. 这道题虽然不难, 但对于提升学生的知识使用能力而言,却不失为一道好题,它具有基础性、代表性、生长性,既可以进行知识间的纵横联系,又能进行一题多解、一题多变,使学生对知识的相关性有了深入的体会.

初三复习时间紧张有限,作为老师,我们应该怎样改善学生的学习方式? 怎样尊重知识的生成过程? 如何在有限的时间让我们的学生收获更多? 这是我一直思考的问题.其实我们只需要站在学生的角度,做到每节课设计的问题既不能脱离学生实际,又不能脱离知识本质;既要关注问题的深刻性,又不能忽视学生的可接受性; 既要顺应知识的生长规律,又要关注学生的思维成长规律. 我们要通过帮助学生整 理知识、分析问题,教学生怎样使用条件,培养学生思维的有序性,不断揭示基本知识的生成性,使我们的课堂更生动,使我们的教学更有价值.

浅谈高考三角函数知识的复习 篇8

一、三角函数复习教学的常见问题

1.教材概念不熟悉, 知识综合能力差。学习三角函数, 要求学生应具有很强的数学推理能力, 而三角函数的一些基本概念是训练较好的推理能力的基础, 一些学生对三角函数的概念掌握不够到位, 导致数学推理能力较差。同时对函数的公式及其几何意义理解的不够透彻, 正弦与余弦的图形化法掌握不够熟练。而且部分学生观察能力相对较弱, 对概念之间的联系, 掌握和理解不透彻, 只是熟记知识点, 不会用于实际解题。

2.三角函数的变形公式理解不到位, 解题不熟练。在数学的三角函数学习中, 由于教材的改革, 只保留的三角函数的一些重要的基本公式, 这样一方面可以减轻学生记忆公式的负担, 但另一方面却提高了对公式变形理解的要求。三角函数中, 公式与公式之间的联系较多, 且公式的变形方式比较复杂。因此, 为了更好的掌握三角函数, 学生应当熟练掌握三角函数的公式及公式之间的变形技巧, 加强对基本公式的记忆。但是大部分学生在公式变换方面的掌握程度明显不够, 同时在“数形结合”方面有很大欠缺, 这也是三角函数学习与教学的难点之一。

二、高三三角函数复习解析

1.掌握三角函数基本概念和公式是学好三角函数的基础。三角函数基本概念的熟练掌握是解三角函数的前提条件, 且历年的高考题中关于三角函数的考察主要体现在通过正玄定理和余弦定理进行边与角的互相转化, 这方面的考察多数属于三角函数的基础层面问题。而且, 三角函数公式是解决函数问题的依据, 只有将公式熟记于心, 做题时才能够做到“信手拈来”。但是单单的将公式牢记于心是不管用的, 因为把记住的知识点束之高阁是不能解决实际问题的, 所以要做好应用所学公式进行解题练习的训练。在公式的记忆方面没有所谓的固定技巧, 但通过象限记忆是记忆三角函数公式的有效方法, 比如在第一、二象限的角的正弦值为正数, 在第一、四象限交的余弦值为正数, 通过这些在象限中表现出的规律就能轻松的进行角的正弦、余弦的转换, 不会再出现在转换过程中出现符号变错的现象。教师在教学过程中应当引导学生采用“特殊”的记忆方法记忆三角函数公式, 让学生明白每个公式是如何推导的, 进而使每个学生做到“知其然”和“知其所以然”。

2.灵活掌握三角函数和图像和性质是解题的关键。在三角函数中, 图像和性质是高考出题的重点, 且考察形式常出现在大题之中, 但常以基础题的出现为主, 所以要充分了解三角函数的图像和性质之间的关系。解决这类问题的主要方法是五点画图法, 结合图像的平移变换确定函数图像, 根据函数图象分析函数性质, 即教学中常说的“图形结合解题”。关于三角函数和图像和性质考察的题型主要有两种, 一是已知图像的性质、特征提出问题, 二是已知三角函数表达式, 研究其性质, 这些都可以通过上述“图形结合”方法解题。

3.“举一反三”是解决三角函数问题的重要“着力点”。我们知道, 三角函数的知识点是固定的, 通过各种题型的训练, 学生已经熟悉了每个知识点的出题形式。不难发现, 在三角函数教学过程当中, 出题人运用的出题突破点往往就那固定的几个, 不会有太大突破, 题目变化的也多数是数据或顺序。根据这些三角函数出题“万变不离其宗”的特点, 教师应当在教学过程中引导学生自己总结三角函数的出题特点, 这样无论题目如何变化, 学生总能在变化的题型中找出已经熟悉的模板, 这样学生的解题时也会变得轻而易举。

总之, 在高三数学的总复习过程当中, 三角函数是不可丢弃的重要环节, 是比较容易掌握的高考数学得分点。学生要熟练把握这部分的知识点, 提高自己成功的机率, 做到有备无患。就应该从公式的记忆入手, 从公式的举一反三入手, 着眼一题多变的。只有这样, 才能够保证学生有较强的应考能力。

摘要：三角函数属于高中数学中重要初等函数, 与几何、代数都有着密切联系, 是分析研究其他知识点的重要工具。因此, 三角函数成为高考数学每年必考的重要内容之一, 占据了至少20分的内容。所以, 关于三角函数的知识的复习应当得到老师和学生的充分重视。学习三角函数, 要求学生应具有很强的数学推理能力, 而三角函数的一些基本概念是训练较好的推理能力的基础, 一些学生对三角函数的概念掌握不够到位, 导致数学推理能力较差。三角函数基本概念的熟练掌握是解三角函数的前提条件。

三角函数与三角形复习 篇9

下面以初三“全等三角形复习”课为例说说我在课堂教学中的一些做法.

1 问题“导”学,激活思维,以问题勾起学生对已有知识的不同回忆

问题1如图1-1,点B是∠DAC的角平分线AE上的动点,请添加一个适当的条件,使△ABD≌△ABC.

如图2-2,已知∠C=∠D=90°,请添加一个适当的条件,使△ABD≌△ABC.

评析传统复习模式一般为老师先概括知识点,再讲相应例题,课堂易显沉闷.本题设计旨在改变复习模式,让学生主动在问题解决中复习判定三角形全等的方法.这样的问题设计可以让每个学生勾起对已有知识的不同回忆,如SAS,AAS,ASA,SSS,直角三角形中HL定理等.通过问题“导”学,有效地激活了学生的思维,促使学生高效进入课堂学习.

2 问题“促”学,及时反馈,以问题促进学生有个性地自主发展

问题2如图2,已知四边形ABCD中,AD∥BC,将∠ABC,∠DAB分别对折,如果两条折痕恰好相交于DC上一点E,点C,D都落在AB上的点F处.

(Ⅰ)当AD=3,BC=2时,则AB=______;

(Ⅱ)当AE=6,BE=2时,则四边形ABCD的面积为______.

评析本题设计旨在复习全等三角形的性质.通过对折,复习了全等三角形对应边相等,对应角相等,对应边上的高,中线,对应角的角平分线相等,全等三角形面积相等基础知识.第2问,要求学生综合运用相关知识,将问题转化为直角三角形来解决,这样的问题设计不仅培养了学生解决问题的能力,而且能促使学生有个性地自主发展.

3 问题“深”学,层层推进,以问题促使学生课堂思维深入丰富

问题3如图3-1,四边形ABCD是正方形,点E,M分别是边BC,AB的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角DCG平分线于点F,求证:AE=EF.

评析本题设计旨在复习全等三角形判定与性质综合应用,有一定难度.可以先让学生找出易找的两个条件AM=EC,∠EAM=∠FEC.通过让学生独立寻找第三个条件,将学生的课堂思维引向深入.

为使问题层层推进,教师有意引导学生再次读题,并特别强调“正方形”“中点”两处,加以变式,引导学生继续“再思考”、“再创造”.

变式1如图3-1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角DCG平分线于点F,求证:AE=EF.

变式2如图3-2,如果把上题中的“点E是边BC的中点”改为E为线段BC上的任意一点(除B,C点外),其他条件都不变,结论AE=EF是否仍成立,并说明理由.

变式3如图3-3,如果把上题中的“E为线段BC上的任意一点(除B、C点外)”改为“E为线段BC延长线上的任意一点(除C点外)”,其他条件都不变,结论AE=EF是否仍成立,并说明理由.

变式4如图3-4,若将变式1中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”,E是边BC上的任意一点,F是外角ACP的平分线上一点,则当∠AEF=60°时,结论AE=EF是否还成立?请说明理由.

变式5将变式1中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”,请你作出猜想:当∠AEF=_____时,结论AE=EF仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)

评析通过一题多变(正方形边上两中点→一中点→边上任意一点→边延长线上任意一点;正方形→正三角形→一般正n边形),旨在提高学生思维能力.这一组变式题,证明过程都不复杂,但通过对原题的适当的变形、适度的引申,有利于引导学生深入挖掘、大胆猜想、积极探求,有利于激发和培养学生的探究精神.这样不仅活跃了课堂气氛,学生思维的广阔性也得到了发展.

本堂课给我深刻启示:实施“问题导学”,可追求课堂高效,只要我们有心去尝试,用心去设计.当然,在具体实施的过程中,还应注意以下几点:

1)创设问题情境,引导学生主动思考是方向.在教学活动开始时,针对教学目标和教学内容,提出一个或几个问题,让学生思考,对问题进行分析、解答.精心设计问题引入课题,能够集中学生注意力、引发学生的学习思考,让学生产生悬念,吸引、诱导学生积极主动地探索知识.在探究新知时,把数学知识中所涉及的内容通过问题串的形式分解难点,逐步让学生发现其中蕴含的数学规律.在习题课时,教师要充分挖掘例、习题的潜能,精心处理教材,激活例、习题的活力,打破模式化,对常规题进行改造,为学生创造更广阔的思维空间.

2)应营造民主和谐的氛围,引导学生敢问是途径.教师与学生要形成相互尊重、信任的人际关系,对学生提出的新观点、新问题和不同意见要悉心聆听,并尽可能地对其思想的标新立异之处和思维闪光点给予鼓励评价.教师要善于运用教学契机,充分利用教学中的题外资源,使学生敢于亮出自己的观点,体会到不同观点的价值,共同分享提高.

3)教学以问题为纽带,引导学生有效突破难点是关键.教师应根据教学目标,不同的不断设置富有启迪性、拓展思维和调动学生学习主动性的问题,让学生发生错误时迷途知返;让学生在理解重点处画龙点睛;让学生在偏离主题时余音绕梁;让学生在理解参差不齐时拨开云雾见青天;还能够让学生在理解不全时追求完美.

教学实践证明,问题导学式教学使学生的双基、思辨能力、创新能力、解决问题能力以及情感、态度、价值观之间形成了一个有机的整体,并得到了很好的发展.能否有效进行“问题导学”,取决于教师的教学艺术和教育机智.作为学生学习活动的指导者、帮助者和促进者,教师需要进行大量精细而复杂的工作:要刻苦学习,准确地把握课堂教学,拓宽视野,更新知识;要充分发挥自己的主观能动性,具备创造性地选择教学材料和独立自主地处理教材的能力.只有这样,教师才能充分发挥主导作用,才能提高学生各方面素质和能力,实现教学相长,实现课堂教学卓有成效.

三角函数与三角形复习 篇10

考查的主要内容分别是任意角的三角函数的定义、特殊角的三角函数值、诱导公式、二倍角公式、加法定理、最值、同角三角函数的基本关系。下面笔者根据自己的教学实践, 结合试卷上的问题, 谈谈本人对三角函数知识复习的粗浅看法。

1 三角函数的定义

2 常见特殊角的三角函数值

中学阶段学习的锐角的三角函数值, 比如30°、45°、60°对应的三角函数值, 我们现阶段的中职生多数记不住, 个别记住的, 又记混淆了。再加上还要记住0°、90°、180°、270°、360°这些新增加的特殊角对应的三角函数值, 就更难了。每次用到的话, 如果都要临时用定义去推算的话, 得不偿失, 既费时又费力。对于这个知识点, 我借助它们的图像 (“五点法”作的正弦、余弦函数图像以及[-90°, 90°]间正切函数的图像) 和相应区间的单调性以及特殊交点的值, 就能把不易记住、易混淆的函数值都弄清楚, 这对顺利解决相关问题帮助很大, 效果很明显。当然对角度制和弧度制转换是要熟练掌握的。

3 诱导公式的应用

对部分学生来说, 要记住并且熟练运用这些诱导公式, 是较难的一件事情。我在给学生们讲解这部分内容时, 分别用不同的语言描述出这些公式的特点, 直观浅显地教给学生, 让他们轻松自如地使用它们。

3.1 α+k·360° (k∈Z) 的诱导公式

这些角与α具有相同的终边, k取整数。公式描述为:“终边相同的角同名三角函数值相等”。“同名”自然是指三角函数名称前后一致。常见的代表角度, 比如390°角与30°角, sin390°就直接等于sin30°, 其中k=1。

3.2-α的诱导公式

这组公式我们从正弦、余弦和正切函数它们的简单图像入手, 容易发现它们的图像只有余弦的关于y轴对称, 从而判定余弦函数是偶函数。其余两个图像关于圆点对称, 只能是奇函数。公式描述为:“负号出现在cos里面, 负号要消失”。言外之意, 负号出现在sin、tan里面, 负号都要往前提。

3.3 180°+α的诱导公式

把α看作一个锐角, 在它的基础上加上一个正的180°, 自然这个角的终边就到第三象限了。我们知道, 第一、第三象限的角的正切值为正。这组公式就选常见的一句话――“函数名不变, 符号看象限”来描述。三个公式中, 只有正切的公式直接相等, 即tan (180°+α) =tanα, 正弦、余弦的公式展开后都要带负号。

3.4 180°-α的诱导公式

这组公式选用初中的补角关系来描述更简单, 又更容易记住。“互为补角的两个角, 正弦值相等”。余弦、正切的话, 公式展开后都要带负号。

掌握以上知识后, 解决下面的问题就比较简单了。

以上四组公式, 用单位圆的知识进行讲解的话, 对我们的学生来说, 学习起来很困难, 并且教学质量无法保证。如果都用一句口诀――“函数名不变, 符号看象限”来记的话, 学生会觉得很笼统, 不透彻, 无法激发学习兴趣。本人觉得, 考虑到学生的学习实际, 四组公式从不同的特点入手, 选用个性化、差别化的口诀来帮助理解、记忆, 直观简单了很多, 有利于激发学生学习兴趣。

4 三角函数的基本变换方法 (二倍角公式、加法定理、最值的求法)

这是正弦加法定理的反用情况, 利用口诀――“正余余正符号同”, 上式就等于30o的正弦值了。余弦加法定理的口诀则为“余余正正符号异”。口诀记住了, 解决这类问题就不难了。

例8.函数y=1-sinx的最大值是2 (2011年卷) 。

这道题只要代入sinx的两个最值1和-1, 就很容易得到所求的最大值是2。

以上三个知识点, 只要学生能找到诀窍来理解公式, 合理运用公式应该是很容易做到的。

5 同角三角函数的基本关系

利用同角三角函数的基本关系知道正弦函数值, 可以利用平方关系, 求出余弦函数值;然后利用商数关系, 求出正切函数值.当然这种方法运算起来过程较为复杂, 按部分学生的计算能力来讲的话, 要完整的得到正确答案, 有较高的难度。这类型的问题选用用“四步法”来解决的话, 较为简单。“四步法”就是“一画”:用已知条件所给的比的绝对值1123, 画出相应的直角三角形 (把α看做是锐角) 。“二用”:用勾股定理求出直角三角形的第三边, 即是α角的邻边。“三求”:用锐角三角函数定义, 求出α的余弦、正切值的绝对值分别为153、512。“四定”:根据α是第二象限的角, 确定α的余弦和正切值都取负值, 即-513、-512就分别是所求的三角函数值。这种方法理解掌握后, 只需为数不多的几步就能完成整个解题过程, 能将学生从繁重的计算中解放出来。

三角函数这部分内容, 知识点较多而且有些杂乱, 在复习时我们要以《考试大纲》为依据, 立足教材, 重视基础, 因材施教, 教给学生一些直观、易懂、实用的方式方法, 让学生在学习过程中做到心中有数, 有的放矢, 从而能在有限的时间内取得最佳的学习效果。

摘要：本文分析近几年贵州省中职单报高职招生考试中三角函数问题, 积极探析符合中职生学习实际的方法, 促进学生在复习过程中能够做到心中有数, 有的放矢, 从而在有限的时间内取得最佳的学习效果。

三角函数与平面向量 篇11

一、借助平面向量的运算性质，将三角形面积问题转化为三角函数的问题

例1 在[△ABC]中，[O]为坐标原点，[A(1,cosθ)]、[B(sinθ,1)]，[θ∈(0,π2]]，当[△OAB]的面积达到最大值时[θ]的值为（ ）

A. [π6] B. [π9] C. [π4] D. [π2]

解析 ∵ [OA=1+cos2θ,OB=1+sin2θ,] [θ∈(0,π2]]

∴[cos∠AOB=OA⋅OBOAOB]

[=sinθ+cosθ(1+cos2θ)(1+sin2θ)]，

[∴sin∠AOB=2-sin2θ2(1+cos2θ)(1+sin2θ).]

∴ [△OAB]的面积

[S=12OAOBsin∠AOB=2-sin2θ4]，

∵ [θ∈(0,π2]]，[2θ∈(0,π]]，[∴sin2θ∈[0,1]]，

当[△OAB]面积最大时 ，

[sin2θ=0]， 即[θ=π2]. ∴选D.

点评 本题也可以借助余弦定理求[sin∠AOB]或求点[O]到直线[AB]的距离构造三角形的面积进行解题，但计算量都较向量的夹角公式要大些，本例题借助向量数量积的运算结合三角形的面积公式，建立三角形的面积关于角[θ]的三角函数，通过函数思想求最值，思路清晰.

二、以平面向量为纽带，将三角函数图象间的关系和性质联系起来

例2 函数[y=sinx+3cosx]的图象按[a]平移后所得图象的解析式为[y=3sinx][-cosx+2]，那么向量[a]=（ ）

A. [(-π2,2)] B. [(-π2,-2)]

C. [(π2,-2)] D. [(π2,2)]

解析 由函数[y=sinx+3cosx=2(sinx+π3)]的图象平移到[y=3sinx][-cosx][+2][=2sin(x-π6)+2][=2sin(x-π2)+π3+2]的图象，即向右平移[π2]个单位，同时向上平移[2]个单位， ∴[a=(π2,2)]， 故选D.

例3 将函数[y=f(x)]的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[y=cos(x-π6)]的图象. 另一方面函数[f(x)]的图象也可以由函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c]平移得到，则[c]可以是（ ）

A. [(π12,-1)] B. [(π12,1)]

C. [(π6,-1)] D. [(π6,1)]

解析 将函数[y=cos(x-π6)]图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，同时将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[f(x)=2cos(2x-π6)]的图象. 而将函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c=(π12,-1)]平移可得到[f(x)=2cos[2(x-π12)]]的图象. 所以选A.

点评 三角函数图象按向量进行的变换主要是平移变换，要注意平移的方向、平移的大小. 解题时可以选取平移前后的特殊对应点分别作为向量的起点和终点求向量，如例3中，可以选取点 [(0,3)]、[(π12,2)]分别作为向量的起点和终点而得出答案. 一般情况是以平面向量为纽带，根据平移前后图象的特点、性质求向量坐标、向量的模或模的最值等. 同时也要关注三角函数图象按向量平移后的图象特点、性质. 如对称性、对称中心、对称轴、单调性、单调区间、最值等题型.

三、借助平面向量的运算性质，将平面向量的问题转化为三角函数问题

例4 已知[a=cosα，sinα，b=cosβ，sinβ]，其中[0<α<β<π].

（1）求证：[a+b]与[a-b]互相垂直；

（2）若[ka+b]与[ka-b]（[k≠0]）的长度相等，求[β-α.]

解析 （1）因为[(a+b)⋅(a-b)=a2-a⋅b+b⋅a-b2][=a2-b2=|a|2-|b|2][=|cos2α+sin2α|2-|cos2β+sin2β|2]

[=1-1=0]，

所以[a+b]与[a-b]互相垂直.

（2）[ka+b=kcosα+cosβ，ksinα+sinβ]，

[ka-b=kcosα-cosβ，ksinα-sinβ]，

所以 [|ka+b|=k2+2kcosβ-α+1]，

[|ka-b|=k2-2kcosβ-α+1].

因为 [|ka+b|=|ka-b|]，

所以[k2+2kcosβ-α+1=k2-2kcosβ-α+1，]

有[2kcosβ-α=-2kcosβ-α].

因为[k≠0]，故[cosβ-α=0].

又因为[0<α<β<π，0<β-α<π]，

所以[β-α=π2].

点评 借助向量在解决角度、垂直、距离、共线等问题上的运算性质，很方便将向量问题转化为三角函数问题，然后根据三角函数恒等变形公式或利用函数思想等解决问题.

四、运用转化思想将模的取值问题转化为三角函数的值域问题

例5 已知向量[m=(1,1)]，向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，且[m⋅n=-1].

（1）求向量[n]；

（2）若向[n]与向量[q=(1,0)]的夹角为[π2]，向量[p=(cosA,2cos2C2)]，其中[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.

解析 （1）设[n=(x,y),]由[m⋅n=-1]，

可得[x+y=-1]. ①

又向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，

[∴m⋅n=mncos3π4,][∴n=1，]则[x2+y2=1.]②

由①②得， [x=-1,y=0,]或[x=0,y=-1,]

即[n=(-1,0)]或[n=(0,-1)].

（2）由[n]与[q]垂直知，[n=(0,-1)].

[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，

[∴B=π3]，[A+C=2π3,] [0

[∴n+p=(cosA,2cos2C2-1)=(cosA,cosC)]，

[n+p2=cos2A+cos2C]

[=1+12[cos2A+cos(43π-2A)]]

[=1+12cos(2A+π3).]

[∵0

[∴-1≤cos(2A+π3)<12,]

[∴12≤1+12cos(2A+π3)<54]，

[∴n+p2∈[12,54),] [∴n+p∈[22,52)].

点评 利用向量运算性质将向量问题转化三角函数问题或普通函数问题，再利用函数性质或函数图象来解决是常用方法. 本题第一问根据向量的数量积和向量的坐标运算很方便求出[n]的坐标，第二问将向量的模的问题转化为三角函数问题，再利用余弦函数的单调性和有界性，将问题转化为求三角函数的值域.

五、利用三角函数的有界性，解决与平面向量有关的恒成立问题

例6 已知向量[OA=(λcosα,λsinα)(λ≠0),][OB=][(-sinβ,cosβ)]，其中[O]为坐标原点.

（1）若[β=α-π6]，求向量[OA]与[OB]的夹角；

（2）若[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，求实数[λ]的取值范围.

解析 （1）设向量[OA]与[OB]的夹角为[θ]，则[cosθ=OA⋅OBOA⋅OB=λsin(α-β)λ=λ2λ.]

当[λ>0]时，[cosθ=12,  θ=π3]；

当[λ<0]时，[cosθ=-12,θ=2π3].

故当[λ>0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[π3]；

当[λ<0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[2π3.]

（2）[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，即[(λcosα+sinβ)2+(λsinα-cosβ)2≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，则[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立.

当[λ>0]时，∵[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，

∴[3-λ22λ≤sin(β-α)]恒成立，

[∵sin(β-α)≥-1]， ∴[3-λ22λ≤-1]，

[∴λ>0,λ2-2λ-3≥0,] 解得[λ≥3]，

同理有[λ<0,λ2+2λ-3≥0,] 解得[λ≤-3].

综上所述，[λ∈(-∞,-3]⋃[3,+∞)].

点评 利用向量模的运算将向量的不等式恒成立求参数的问题，转化为含参数的三角函数恒成立问题，然后借助正弦函数的有界性，将问题转化为关于参数的不等式，通过解不等式来达到解决问题的目的.

专题训练三

一、选择题

1. 在[△ABC]中，[AB=a,BC=b]，有[a⋅b]<0,则[△ABC]的形状是（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 角三角形 D. 不能确定

2. 已知[m=63,n=(cosθ,sinθ),m⋅n=9,]则向量[m]与[n]夹角为（ ）

A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°

3. 已知向量[a=(3,4),b=(sinα,cosα),]且[a]∥[b]，则[tanα]= ( )

A. [34] B. [-34] C. [43] D. [-43]

4. 已知偶函数[f(x)]满足[f(x)=f(x+2)]且当[x∈[0,1]]时[f(x)=sinx]，其图象与直线[y=12]在[y]轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为[P1、P2、⋯]，则[P1P3⋅P2P4]等于（ ）

A. 2B. 4C. 8D. 16

5. 设向量[a=(4,3)]，向量[a]在[b]上的投影为[522]，[b]在[x]轴上的投影为[2]，且[b≤14]，则[b]为（ ）

A. [(2,14)] B. [(2,-27)]

C. [(-2,27)] D. [(2,8)]

6. 函数[y=cos(2x+π6)-2]的图象[F]按向量[a]平移到[F],[F]的函数解析式为[y=f(x),]当[y=f(x)]的图象关于点[(π2,0)]对称时，向量[a]可以等于（ ）

A. [(-π6,-2)] B. [(-π6,2)]

C. [(π6,-2)] D. [(π6,2)]

7. 设向量[a=(cos25°,sin25°)]，[b=(sin20°,cos20°)]若[t]是实数，且[u=a+tb]，则[u]的最小值为（ ）

A. [2] B. [1]

C. [22] D. [12]

8. 已知[△ABC]，[A、B、C]的对边分别为[a、][b、][c]，且[acsinA

A. [△ABC]是钝角三角形

B. [△ABC]是锐角三角形

C. [△ABC]可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形

D. 无法判断

9. 为了得到函数[y=3sin(2x+π5)]的图象，只要把函数[y=3sinx]的图象上所有的点（ ）

A. 横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移[π10]个单位长度

B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移[π10]个单位长度

C. 向右平移[π5]个单位长度, 再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变）

D. 向左平移[π5]个单位长度, 再把所得图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

10. 如图，两个平行四边形[OP1P2A]和[OP2BA]中，三点[P1]、[P2]、[B]共线，点[P]在[△ABP2]内移动（不包括边界）. 若[OP=x OP1+y OP2]，则实数对[(x,y)]可以是（ ）

A. [(-12,1)] B. [(-32,2)]

C. [(-12,35)] D. [(-35,65)]

二、填空题

11. 已知[a = (sin53°cos23°, cos23°cos53°), ][b=(-cos53°sin23°,sin23°sin53°)]，[c=(1,t)]，[c]∥[(a+b)]，则[t]值为 .

12. 已知向量[a=(cosα,sinα),b=(sin2α,1-cos2α)，][c=(0,1),α∈(0,π)]，则函数[f(α)=b-(a+b)⋅c]的最大值为 .

13. 若将向量[a]＝（2，1）绕坐标原点旋转[π4]得到向量[b]，则向量[b]＝ .

14. 在[△ABC]中，[AB=8,BC=7,AC=3]，以[A]为圆心，[r=2]为半径作一个圆，设[PQ]为圆[A]的任意一条直径，记[T=BP⋅CQ]，则[T]的最大值为 .

15. 已知[OA=(cosα,sinα),OB=(-sin(α+π4),][cos(α+π4)),][O]为原点，实数[λ]满足[λOA-OB≥][3OB,]则实数[λ]的取值范围为 .

三、解答题

16. 设[OA]＝([2sinx],[cos2x]),[OB]=[(-cosx],1), [x∈[0,π2].]

（1）求[f(x)=OA⋅OB]的最大值和最小值；

（2）当[OA⊥OB]时，求[AB2]的值.

17. 若[m=(3sinωx,0),n=(1,-sinωx),ω>0]，在函数[g(x)=m⋅n+t+32]的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为[π2]；若将函数[g(x)]的图象向右平移[π3]个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的[12]倍（纵坐标不变），得到函数[f(x)]的图象，且当[x∈[0,π3]]时，[f(x)]的最大值为1.

（1）求函数[f(x)]的解析式；

（2）若[f(x)=-1+32,x∈[0,π]]，求实数[x]的值.

18. 若[O是△ABC]内一点，证明：[SΔOBC·OA＋][SΔOCA]·[OB]＋[SΔOAB·OC=0].

19. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(1-x)=f(1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)]，[b=(2sinx,12)]，[c=(cos2x,1)]，[d=(1,2)]，当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f((c⋅d)]的解集.

20. 已知向量[a=(3sin3x,-y),][b=(m,cos3x-][m)][(m∈R),]且[a+b=0]. 设[y=f(x)].

（1）求[f(x)]的表达式，并求函数[f(x)]在[[π18,2π9]]上图象最低点[M]的坐标.

（2）若对任意[x∈[0,π9],][f(x)>t-9x+1]恒成立，求实数[t]的范围.

21. 在平面直角坐标系中，已知[O]为坐标原点，点[A]的坐标为[(a,b)]，点[B]的坐标为[(cosωx,sinωx),]其中[a2+b2≠0]且[ω>0]. 设[f(x)=OA⋅OB.]

（1）若[a=3,b=1,ω=2]，求方程[f(x)=1]在区间[[0,2π]]内的解集；

（2）若点[A]是过点[(-1,1)]且法向量为[n=(-1,1)]的直线[l]上的动点. 当[x∈R]时，设函数[f(x)]的值域为集合[M]，不等式[x2+mx<0]的解集为集合[P]. 若[P⊆M]恒成立，求实数[m]的最大值；

三角函数与三角形复习 篇12

在谈到如何复习解析几何时, 楼老师谈到如今的高考解析几何占到了非常重要的位置, 本人及在座的各位教师都深表赞同.理科解析几何基本上放在次压轴题, 从2009年高考来看, 新课改后解析几何难度有所下降, 但综合性还是较强, 需要学生有很好的数学基本功.在近一年的复习教学中, 特别是抛物线占了比较大的比例, 在解此类题中, 往往又会用到导数知识来构造切线, 在某个三角形中证明定点定直线等一系列问题.恕本人知识浅薄, 直到那天经过楼肇庆的讲解我才知道, 原来这个被我叫做抛物线中的切线问题就叫阿基米德三角形.

例1 (2010宁波一模) 点A (x1, y1) , B (x2, y2) 是抛物线C:x2=2y上的不同两点, 过A, B分别作抛物线C的切线, 两条切线交于点P (x0, y0) .

(1) 求证:x0是x1与x2的等差中项;

(2) 若直线AB过定点M (0, 1) , 求证:原点O是△PAB的垂心;

(3) 在 (2) 的条件下, 求△PAB的重心G的轨迹方程.

例2 (2008山东理22) 如图, 设抛物线方程为x2=2py (p>0) , M为直线y=-2p上任意一点, 过M引抛物线的切线, 切点分别为A, B.

(1) 求证:A, M, B三点的横坐标成等差数列;

(2) 已知当M点的坐标为 (2, -2p) 时, undefined.求此时抛物线的方程;

(3) 略.

以上两道解析几何题中都考到了一个有趣的三角形, 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形, 而这一三角形常被称为阿基米德三角形.以上高考试题或模拟题中, 已经考到了阿基米德三角形的一些有趣性质.可以预见, 今后有关此类的高考试题或模拟题还将继续出现, 对该三角形的性质做进一步研究对于提高学生对抛物线的几何性质的认识及培养他们的数学美学意识是必要的、有益的.下面给出阿基米德三角形的一些有趣性质, 证明时以抛物线x2=2py (p>0) , △ABP为阿基米德三角形.

性质1 xA+xB=2xP;

性质2 若直线AB过定点Q (0, m) , 则点P在定直线y=-m上, 特别地, 当undefined, 定点为焦点, 定直线为准线;

性质3 若直线AB过定点Q (0, m) , 则kAP·kBP为定值, 特别地, 当kAP·kBP=-1, 即AP⊥BP时, 定点Q为焦点;

性质4 设M为AB的中点, 则PM平行y轴或与y轴重合;

性质5 当Q为焦点时, PQ⊥AB;

性质6 若弦AB的长为a, 则阿基米德三角形的面积最大值为undefined;

性质7 若Q为焦点, 则|AQ|·|BQ|=|PQ|2.

证明1 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由x2=2py, 得undefined, 得undefined, 故lAP:undefined:undefined, 两式相减得undefined, 即xA+xB=2xP.

证明2 设lAB:y=kx+m, 由

undefined

由性质1得undefined, 即点P在定直线y=-m上.

证明undefined (定值) , 当undefined, 则undefined, 即点Q为焦点.

证明4 由undefined, 故PM⊥x轴, 即PM平行y轴或与y轴重合.

证明5 若Q为焦点, 则undefined, 故PQ⊥AB.

证明6 点P到l的距离undefined, 又undefined, 故undefined

证明7 若Q为焦点, 则undefined, 而undefined, 故|AQ|·|BQ|=|PQ|2.