三角函数的最值求法

三角函数的最值求法（共10篇）

三角函数的最值求法 篇1

前言

在数学教学中三角函数是学习章程中独立的一章, 也是在历年的考试中重要的考点之一, 要想把三角函数学好, 首先必须要对之前所学的三角公式灵活运用, 能快速的看出需要变形的恒等。三角函数的最值运算是结合了许多数学知识和运算方法, 所以在解题的过程中很可能会因为变形错误、问题理解错误等诸多问题而最后影响了运算结果。所以在学习三角函数最值的时候, 同学们应有针对性的学习, 对教学的重点、难点提前预习, 理解渗透三角函数的应用公式, 学习的时候注意听老师的思维方法和解题步骤, 这样会对学习三角函数最值有很大的帮助。

在求最值的问题的时候首先要了解求什么类型的最值, 其中三角函数的的最值是利用三角函数性质来解决, 如果是求一般的最值问题, 现在普遍运用的方法一种是利用函数的单调性, 另一种是利用导数, 在学习三角函数之前可以把曾经做过的有关最值问题进行细致总结, 分析题目中所给出的几个方向, 方向的选择是通过读题, 如果出现多套思路, 只要灵活运用所学到的数学方法去处理问题就行。

1 求三角函数最值的方法

求三角函数最值的方法有很多, 其中最常用的有配方法、反求法、分离常数法、辅助角法、换元法、不等式法等方法, 但是在学习三角函数最值的时候, 如果让学生学习如此多的方法, 会使他们造成公式混乱更加难以理解学习的内容, 学到最后连最基本的方法都没有掌握, 出现“丢西瓜捡芝麻”的情况。所以在学习三角函数最值的时候, 重点掌握三种方法, 它们是所有方法当中最基本也是最常用的, 有配方法、反求法、辅助角法, 其中反求法的应用范围与分离常数法是异曲同工之妙, 它们都要在掌握变形的是同时又需要灵活运用, 这种方法通俗易懂、化繁为简, 但是分离常数法不能像反求法一样作为重点学习。

在对运算公式和方法融会贯通之后, 就要运用实例来测试自己的学习成果, 但不是所有的例题都能反映出学习效果, 要做有特点的例题, 因为这种例题能够很好的反映和体现三角函数最值的求法和变形, 还能通过这种例题反映出在做题过程中应注意的细节问题和容易出错的地方, 通过做题更深入的了解这三种运算三角函数最值的方法。三角函数最值的学习还是要通过老师得讲解和同学的实际运算相结合, 因为三角函数最值的方法是固定的, 只有在老师讲解完学生理解之后才能自己独立做练习题, 只有充分发挥这三种方法, 并多加练习, 才能提高三角函数最值的学习效率。

2 三角函数最值的解题思路

如果是属于三角函数方向的题目, 在解题思路上不应该出现不容易把握的状况, 那么在三角变换这个方向上, 三角题目的解题方向有的同学在学习过程中把握不好, 其中有很多原因, 比如在答题时看到题目, 套用一个公式写上去, 答完之后发现所用的公式不对, 然后重新再换一个公式答题。总是这样的反复套用, 就显得思路混乱, 对公式的掌握程度不够, 往往有的时候, 第一次考虑一个公式往上一用, 题目解的很顺, 就会认为已经对三角函数掌握的很好, 但是当下一次依然运用这个公式的时候, 问题没有解开, 然后又选择第二个甚至第三个公式, 依旧解不开, 于是会对心里就会产生影响, 这是学生在学习三角变换中很常见的现象。主要原因就是因为三角函数的公式很多, 变换的形式多变, 这就好像走到了十字路口, 然后站在中间, 接下来还有许多条路, 但是我们只需要选择最短最快的一条路, 而我们站在路中间看不清楚, 这跟解答三角函数最值问题是相似的, 所以就要求在解答三角函数最值的时候对已知条件仔细研究, 准确分析, 根据具体的题目, 考虑是先从和角公式还是差角公式着手, 然后在分析两角之间存在的必然关系, 函数与函数的关联, 题目分析准确之后掌握好解题方向, 把应该用到的公式结合起来, 按照解题步骤一步一步的解答。只有按照以上方法进行分析三角函数最值才是合理的、准确的。

2.1 给角求值

三角函数中最值问题应熟练掌握三角函数中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式, 还要具有逆向思维的头脑, 将非特殊角转化为特殊角例如:30°、60°、90°, 写明求值的过程, 然后进行解析, 总体来讲就是先将角度转换在利用切割化弦运算依次是化为特殊角最后是约去部分, 解决这类问题的关键就是特殊角转换, 然后约去非特殊角。

2.2 给值求值

给值求值这种三角函数求值法的运算过程中, 经常会遇到同角之间的运算关系和推论方法, 给值求值的关键就在于利用已经给出的条件与要求得的值之间角的运算, 对于已知条件和未知条件之间进行转换或者是变形, 达到求解的目的。

3 三角函数问题中常见错误分析

三角函数作为数学章程中独立的一部分, 它的特点鲜明, 其中需要熟悉掌握的公式比较多, 需要灵活的变换公式, 往往一道问题会有多个答案出现的情况, 所以导致了在解题的过程中会因为思维混乱而陷入误区, 但还是因题而异。

3.1 定义域

三角函数中的恒等之间变换必须要使三角函数是有意义的, 在区间内的任意角范围不能改变的情况下, 对于切角和割角的定义域范围就显得尤为重要, 要仔细分析研究切割角两类函数, 否则很容易造成运算失误, 最终导致答案错误。

3.2 单调性

三角函数运算过程中会给出一部分已知条件, 利用已知条件去求某一项, 这个时候很多人在答题时经常性的忽略单调性, 如果是在某一区间上的角, 这样就会使答案增加。

4 三角函数求值域的类型

在解决三角函数的时候, 还有可能会遇到求值域的问题, 在解决值域问题的时候, 一定要熟练运用三角之间的代换, 看到题目的时候不要急于解答, 要先仔细观察, 分析研究给出的已知条件, 大多情况下都是利用数形结合的运算技巧。

例如:f (x) =asinx+b, 这种函数我们可以把它看作是定义中的某个函数, 那么这种函数的最值就是[f (x) ]max=+b;[f (x) ]min=+b

4.1 双曲线型

例如:f (x) , 这样的函数就可以把它看作是双曲线函数在某个区间上的图形, 函数值有可能在双曲线的一支上, 也有可能函数值分别在双曲线的两支上。

4.2 抛物线型

例如:f (x) =asin2x+bsinx+c (a≠0) , 这样的函数可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 在x (-1, 1) 时的函数值范围, 当这个函数值在一定区间下, 达到一个最值, 而另一个最值, 在另一个区间, 如果函数是在某个区间上单调, 那么它的最值应该是在两端点处。

结论

综上所述, 三角函数在惯例考试中是经常出现的数学题目, 通常试卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函数之间的关系, 还有三角函数的恒等变形的灵活运用程度。三角函数覆盖了丰富的数学公式, 复杂的运算步骤, 需要注意的是在学习三角函数的时候, 必须要准确的牢记三角函数所有公式, 熟练的使用变换方法, 根据不同的问题思维要灵活, 把所学到的公式融会贯通, 这样就会顺利的解决问题

摘要：三角函数是数学学习中最常见的概念, 在整个数学学习中也是最重要的组成部分, 三角函数的公式复杂多变, 需要解题人员具有扎实的学习基础和对公式灵活运用的头脑, 此外, 三角函数的内容具有抽象性、综合性、技巧性, 这样增加了理解难度和学生对于知识的掌握程度, 本文通过举例说明介绍了三角函数最值求法中常见错误和解题技巧。

关键词：三角函数,最值,题解

参考文献

[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究, 2004, (1) .

[2]沈红霞.用均值不等式求最值, 变不可能为可能[J].数学教学, 2005, (10) 30-31.

[3]薛金星.中学数学教材全解[M].

三角函数的最值求法 篇2

2011年2月14号 星期一

重难点：函数值域与最值的求法

口诀：分式分，单调单，抛物找轴最关键；绝对脱，根式换，化为二次方程判；

x213x1、观察法: 例题： ①y=2;②y=x

x23

12、配方法：y=a（f（x））2+bf（x）+c(a≠0)例题：①求y=-x2+2x+5,x ∈[2,3]的值域；②y=4-32xx2;③y= 3x2-x+2;④y=x26x5

3、代数换元法:y=ax+b±cxd

例题：①y=2x+12x;②y=x+41x;③y=x+2x1;④y=2x-5+154x;⑤y=2x-4x13 ⑥y=2x-1x⑦y=x-12x

4、中间变量法（定义域为R）

x21例题：y=2

x

25、三角函数的有界性法（几何意义法：斜率公式）

3x21x例题：①y=②y=

54x2x5, ]或设x=cos22θ, θ∈[0,Л] 题中出现1x2可设x=tanθ, θ∈(-,)或设x=cosθ，22θ∈(0,Л)axba7、分离常量法:y=（结果规律：y≠）

cxdc6、三角函数换元法:题中出现1x2可设x=sinθ, θ∈[-axb3x21x10x10x8、反函数法:y=例题：①y=②y= ③y=x

cxd54x2x51010xa1x2b1xc19、判别式法:y=（定义域为R）即分子或分母中含有二次三项式a2x2b2xc2的分式函数 3xx2x32x2x2x22x2例题：①y=2;②y=2;③y=2④y=2⑤x4xx1xx1xx12xx2x2x2xy=2⑥y=2 ⑦y=2 xx1x4x3xx1kx2

310、均值不等式法y=f（x）+（f（x）＞0,k>0）y=

2f(x)x

211、单调性法（对勾函数y=ax+

12、数形结合法（分段函数）

b（a,b>0））x例题：设函数g(x)x22(xR)，(x)x4,xg(x),f(x){gg(x)x,xg(x).则f(x)的值域是()

999（A）,0(1,)（B）[0,)（C）[,)（D）,0(2,)

444

13、导数法

课堂练习题：

1、求下列函数的值域：

x2x（1）y=2 解法一：配方法;解法二：判别式法

xx1（2）y=x-12x 解法一：换元法;解法二：单调性法（3）y=-xx2x22换元法

10x10x（4）y=x x1010 反函数法

（5）f（x）=（x-1）3x2在[-1，1]上的最值。

浅谈函数最值的求法 篇3

首先,可以用初等数学的方法求函数最值。

1.利用二次函数求最值

利用二次函数求最值是一种应用甚广的基本方法,其基本思路是将将问题转化为某个变量的二次函数,通过配方,利用二次函数性质求出最值。

例1 设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因为 △=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因为x1,x2是方程x2+ax+a=2的两个实数根,

所以x1+x2=-a,x1·x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根据平方的非负性知:当a= 时,(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为- 。

2.利用换元求最值

一些函数,特别是在函数表达式中含有三角函数的情形,往往可利用三角函数的有关性质来求函数的最值,这就是三角换元求最值;其他的换元就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁为简,从而使问题得解。

(1)三角换元

例2已知x,y均是正数,x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

则 所以x+y的最大值为√2,最小值为-√2。

(2)其他换元

例3 已知 的最大值。

解: 当且仅当x=y= 时取等号,所以 的最大值为2。

3.利用数形结合求最值

运用数形结合的思想,将函数的最值问题转化成几何图形的性质问题,通过几何的有关知识来解决。这种方法对于最值的解法显得更直观、易懂、简洁,这对于开拓思路,提高和培养分析能力,解决问题的能力有裨益。

例 4 求函数y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因为 y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作点P(x,x2)到点A(0,1)及点B(2,3)的距离之和。

已知点P(x,x2)在抛物线y=x2上,又由于y=x2与线段A,B有交点,故当A,P,B在同一直线上时,距离之和最小,最小值为线段AB的长,所以y的最小值为ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值与最小值是密切相关的。比如要证明某个参数P的最小a,可先证明P≥a,然后说明P可以取到a,这是利用不等式求最值的基本思路,更为一般的是利用均值不等式,积定求和最小值,和定求积最大值。

例5 求的最小值。

当且仅当 。

函数值域(最值)的几种求法 篇4

一、观察法求函数值域

观察法适用于较简单的函数, 从解析式观察, 利用如|x|≥0, x2≥0, 等, 直接得出它的值域.

例1:求函数y=-2x+5, x[-1, 2]的值域.

解:将函数配方得y= (x-1) +4, x[-1, 2], 由二次函数的性质可知:当x=1时, y=4;当x=-1时, y=8, 故函数的值域是[4, 8].

二、配方法求函数值域

求二次函数或可化为二次函数形式的函数的值域, 可使用该方法, 同时也要注意闭区间内的值域.

例2:求y=x2-x+1的值域.

于是y-x2-x+1的值域为[3/4, +∞) .

例3:求函数y=x2-4x+6 (x∈[1, 5) ) 的值域.

解:配方得y= (x-2) 2+2, 又x∈[1, 5) , 结合图像可知函数的值域是[2, 11) .

三、分离常数法或利用原函数的反函数求函数值域

此种方法一般适用于求分式类型的函数的值域, 在求解过程中往往是结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域.

例4:求函数的值域.

解:分离常数, 得

由x2+1≥1, 得, 即有-1≤y<2.

所以函数的值域是[-1, 2) .

例5:求函数的值域.

解:由得, 因为y-2≠0, 所以y≠2.

于是此函数的值域为{y|y∈R且y≠2}.

当然此题也可利用分离常数法求值域, 读者可以试一试.

四、换元法求函数值

换元法适用于一些带有根式的函数的值域的求解, 通过换元将无理函数转化为有理函数达到解题的目的.举例如下:

例6:求函数的值域.

解:设, 则 (t≥0) ,

又t≥0, 得y≥1/2.

所以函数的值域是

例7:求的值域.

解:令 (t≥0) , 则3x=t2+1,

所以

当t=0时, y有最小值3.

于是的值域为[3, +∞) .

五、数形结合法求函数值域 (最值)

此种方法是利用函数所表示的几何意义, 借助图像的直观性求函数的值域, 如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解决此类问题的关键.

例8:若实数x, y满足不等式组则x+y的最大值为 ()

本题主要考查了平面区域的二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思想, 画出不等式组表示的平面区域, 再利用图像求x+y的最大值.

令z=x+y, 则y=-x+z, z表示过可行域内点斜率为-1的直线在y轴上的截距.由图可知当向上平移l0使它过点A (4, 5) 时, zmax=9.

其方法是 (1) 画可行域时:“直线定界、特殊点定域”. (2) 寻找目标函数的最值时, 应先指明它的几何意义, 这样才能找到相应的最值.

例9:求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解:将原函数的解析式中的绝对值去掉, 得作出图像 (如图) , 显然y≥3.所以函数的值域是[3, +∞) .

六、利用函数的单调性求函数的值域

例10:某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量y (单位:千克) 与销售价格x (单位:元/千克) 满足关系式, 其中3<x<6, a为常数, 已知销售价格为5元/千克时, 每日可售出该商品11千克.

(Ⅰ) 求a的值;

(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

解: (Ⅰ) 因为x=5时y=11, 所以

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知该商品每日的销售量, 所以商场每日销售该商品所获得的利润:

函数f (x) 在 (3, 4) 上递增, 在 (4, 6) 上递减, 所以当x=4时, 函数f (x) 取得最大值42.

答:当销售价格x=4时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大, 最大值为42.

求函数值域的方法除了以上介绍的几种之外, 还有很多, 比如:基本不等式法, 利用导数法, 判别式法等.在求解函数值域的过程中, 同学们应该认真审题, 寻找迅速求解的一种方法.它所涉及的知识面广, 方法灵活多样, 在高考中经常出现, 占有一定的地位, 若方法运用适当, 就能起到简化运算过程, 避繁就简, 事半功倍的作用.各种题目难易程度相差很大, 方法灵活多样, 要做到迅速寻求最佳求解方法, 必须吃透课本上的例题, 熟练数学基本概念, 全面系统掌握基本知识和基本技能.

总之, 数学学习重在掌握思考方法、思维方式, 要想掌握好数学, 平时学习中应善于观察、总结, 并做到举一反三.

参考文献

二次函数在区间上的最值 篇5

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值；

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.教学重点：二次函数在区间上的最值问题 教学难点：含参问题的讨论.教学过程：

一、复习引入

1.二次函数的概念和性质； 2.单调函数的概念.二、例题 例1.求函数y3x212x15当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.（1）xR;(2)0x3;(3)1x1.例2.求函数yx22x3在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.例3关于x的方程x2(k2)xk23k50有两个实根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函数2x22ax3在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)求g(a)的最大值.三、作业

1.函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.关于x的不等式9x26axa22a60在[,]上恒成立，求实数a

33的取值范围.3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

三角函数的最值求法 篇6

长生剑, 一剑命中要害, 剑剑干净利落. 恰如值域求法中的分离常数法, 简单直接, 干净利落, 有时虽繁杂棘手, 但思路明确, 步步推进, 于会心一笑中解决问题.

例1求函数的值域.

函数的解析式是“同次”的分式, 可尝试分离出一个常数出来, 使问题简化, 常与他法结合使用, 需要注意的是分离后有时需要从基本“单元”利用不等式性质逐步反推的过程要细心运算.

二、孔雀翎———反解有界性

孔雀翎是一种暗器, 释放时有一种无限美丽的光华, 常从意想不到的乃至完全相反的角度发出, 防不胜防. 好比函数值域求法中的反解有界性法, 紧紧盯住函数式本身的某些“命门”, 一击得胜.

例2求函数的值域.

解析式中含有某些范围确定的“单元”, 尝试反解, 有时要借助一些公式, 用因变量y表示关于自变量x的“单元”, 进而得到关于因变量y的不等式, 求解即可, 同样适用于类型函数值域.

三、碧玉刀———基本不等式

碧玉刀, 刀刀入木三分, 锋利迅速, 灵动优美. 正如基本不等式求最值, 巧妙灵活的变形, 迅速优美的求解, 往往令人叹为观止. 正如基本不等式在解决一些最值问题时的威力, 眼花缭乱、多姿多彩的变形后, 一“式”定天下, 快到刚开始就结束了.

例3求函数的值域.

对函数式特征的分析把握, 适当的分解变形以得到使用基本不等式的包含某种“定”的结构亦即配凑变形技巧是其难点, 而使用过程中的“正、定、等”也需逐一考察, 特别地对一些多元条件值域问题, 如“已知x >0, y >0, 1/x+1/y=1, 求x + 2y的最小值”等二元 ( 多元) 目标式最值问题, 多元化一元, 再尝试基本不等式或直接变形转化后应用不等式法是常用策略, 当然相关的几个不等式的正反方向的熟练掌握也很关键.

四、离别钩———判别式法

离别钩, 招招攻其不备, 出其不意, 也总能勾出一片令人着迷的区域. 恰如使用二次方程判别式求解某类函数值域, 知识方法间联系之巧妙让人拍案叫绝.

例4求函数的值域.

对有理分式函数, 如果其分母是恒正 ( 负) 的二次三项式, 可尝试用判别式法求值域, 特别需注意的是若其分母的二次三项式对应的二次方程的判别式大于或等于零, 应用此法就有可能扩大函数值, 此时应代入原函数式检验, 排除扩大的部分值; 另一方面, 对去分母整理后得到的关于x的二次方程, 应分二次项的系数为零与不为零两种情况讨论:对使二次项系数为零的y的值要代入原式检验决定取舍;仅在二次项系数不为零的情况下, 才可用判别式求解. 最后将两种情况综合才能正确地求得函数的值域. 求这类函数值域时, 根据具体函数的特征, 若能用其他方法求解, 还是用其他方法更好.

五、多情环———换元法

多情环是一种美丽的武器, 千变万化、环环相扣. 恰如换元法, 令人目不暇接的种种代换, 似乎可将任何问题轻巧地引领至我们熟悉的领域内解决, 让人大呼过瘾.

例5求函数的值域.

换元变换是一种重要的数学变换, 是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中发挥着重要的作用. 它通过换元把一个函数变为较简单函数, 换元的方法多、灵活性强, 换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉. 在变换过程中, 既要注意等价, 又要注意新元取值范围, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 主要有代数换元和三角换元, 如三角函数y = ( sinx +1) ( cosx +1) 的值域求法本质也一样.

六、霸王枪———函数单调性法

霸王枪以其一往无前、所向无敌的勇气而著称, 勇谋兼具谓之霸. 恰如单调性求函数值域, 简单直接, 无往不利, 一般情况下总可以尝试利用导数法得到单调性, 进而求出值域.

例6求函数的值域.

解析易知该函数在 (-∞, 1/2]上单调递增, 易得值域为 ( -∞, 1/2].

例7设f ( x) 是奇函数, 对任意的x, y∈R, 都有f ( x +y) = f ( x) + f ( y) , 当x > 0时, f ( x) < 0, 且f ( 1) = - 2, 求f ( x) 在区间[-3, 3]上的最值.

解析利用函数单调性定义, 可得函数在给定区间上单调递减, 故值域为[-6, 6]

对于形式较复杂的函数式可以尝试从复合函数单调性判断、导数法、分子 ( 分母) 有理化、换元、单调性定义等技巧方法去确定其单调性, 当然首先考察函数定义域, 进而得到值域.

七、拳头———数学思想方法综合运用

拳头代表没有武器, 没有武器就是有武器, 拳头是最有效、最直接的武器. 正如数学中的思想方法, 在对一些基本的技巧、方法有着娴熟的理解, 有着较丰富的解题经验的前提下, 数学思想方法能带领我们至一个全新的境界———众里寻他千百度, 蓦然回首, 那人却在灯火阑珊处. 颇似张三丰交给张无忌太极拳时的那段话, 忘记所有的招数才能达到武学的最高境界, 也就是无招胜有招. 数学解题上就是抛开固有的解题方法和解题思路, 整体把握, 具体分析, 这样才能开拓思路, 以免进入解题的思维误区.

1. 数形结合思想

例8求函数的值域.

解析原式可转化看作平面直角坐标中点P ( x, 0) 到点A ( -1, 1) 和点B ( 1, 1) 的距离和, 问题转化为在x轴上寻求一点P, 使得PA +PB最小, 为此可取A点关于x轴对称点C ( -1, -1) , 则y =PC +PB, 易知值域为

2. 分类讨论思想

例9求函数f ( x) = x2- 2ax + 1在闭区间[- 1, 1]上的最小值g ( a) .

解析典型的动轴定区间最值问题, 可按对称轴相对于区间的位置结合图像分类讨论.

例10已知二次函数f ( x) = ax2+ ( 2a - 1) x + 1在区间 [-3/2, 2]上最大值为3, 求a.

3. 多种方法综合

例11求函数的值域.

事实上教学中对求值域问题, 学生感觉较困难的点多还是问题的分析、方法的选择和综合运用, 应对的办法是引导好学生多总结整理、对比反思, 多体会领悟多种解法间的联系.

总之, 函数值域最值的求法灵活多样, 多与其他问题综合考查, 以上归类的只是几种比较常见的思想方法, 限于篇幅还有部分问题和方法未能一一涉及, 如三角函数中的值域问题、线性规划求最值问题、多元目标式的条件值域问题、复合函数值域问题、导数法的运用等, 但只要熟练掌握了上面的思想方法, 面对其他一些问题应可以类比得到相应的解法. 而在具体求解相关问题时还是要仔细分析辨别题型特征, 多角度思考探求筛选解法, 往往某些题有多种解法, 解法的优选就会成为顺利解题的关键, 这就要求平时多练习、积累、比对、反思、总结与体悟, 力求对基本的重要的思想方法理解掌握、融会贯通.

摘要：函数值域是函数值的集合, 受对应法则和定义域的影响.函数值域 (最值) 的求法是高中数学教与学的重要的内容, 不仅因为函数值域求法灵活多样, 知识涉及面广泛, 联系的数学思想多, 而且因为函数值域求法研究本身也是函数研究的重要组成部分.除此之外, 函数值域求法的研究还有利于提高学生的逻辑思维、模式识别、变形转换等能力, 进而提升学生分析问题、解决问题的能力.尽管高考较少直接考查函数值域求法, 但很多综合问题经过适当的转化都可以归结为函数值域 (最值) 的问题, 所以系统研究高中函数值域求法对教、学、考都是有意义的事.本文试从“另类”的学生喜闻乐见的形式并结合实例将函数值域最值求法进行归类总结与点评, 以期对此块内容的专题教学复习有所帮助.

参考文献

浅析函数最值的七种初等求法 篇7

一、配方法

配方法在求函数值及值域中应用较为广泛，且比较容易掌握，是求函数最值的基本方法．操作要点是：把函数表达式的一部分或整体配成二次函数y=a(x+m)2+n(a≠0）的形式，再利用二次函数的性质求出最值．

【例1】求函数的最值．

解：函数定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．

评注：利用配方法求最值时，一定要注意考查变量的取值范围，此题若不注意就会得出错误答案ymin=-8.

二、基本不等式法

利用基本不等式求函数最值时要同时满足三个条件：一正、二定、三相等，即

(1)a1、a2∈R+;(2)a1+a2（或a1a2）为定值：

(3)a1=a2能成立．．

上面的基本不等式定理可推广到n(n>1,n∈N）个正数的情形．

评注：在变形过程中，配凑技巧是解题的关键，要紧紧围绕基本不等式取得最值的三个条件进行配凑．缺一不可．如例2中，把a变成（a-b)+b是为了得到常数3．例3中把x-3变形成-（3-x）是为了使3-x>0，而把x+5变形成是为了使（3-x)(3-x）能与2x+10凑成常数．在配凑过程中，不要忽略取等号的条件，否则容易出错．例如这样的变形：就没有取等号的条件．

三、判别式法

此法适合能把函数关系式y=f(x）转化为关于x的二次方程φ1(y)x2+φ2(y)x+φ3(y)=0（其中φ1(y）≠0）的类型，因为x的值是实数，即该方程有实根，那么由判别式Δ≥0，便可能求出函数y的最值．

【例4】求函数的最大值和最小值．

解：函数定义域为R，由题设可得

评注：有时函数y=f(x）的定义域不是R，那么Δ≥0只是关于x的二次方程有实数解的必要条件，这时求出的y值不一定是函数y=f(x）的最值，需要进一步检验．若求出的y值在函数值域内，则此y值才是最值；或者求出与y值对应的x值（在方程中求），求出的x值至少有一个在定义域内，则此y值才是最值．

四、函数单调性法

如果能够判断函数在某区间[a,b]上是单调增函数，则由单调函数的性质易求得区间[a,b]上函数的最值．

【例5】设f(x）是奇函数，对任意x∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y），当x>0时，f(x)<0，且f(1)=-2，求f(x）在区间[-3,3]上的最值．

分析：审题后，猜测函数f(x）可能具有单调性．

解：设-3≤x1≤x2≤3，则x2-x1>0,

∵f(x）是奇函数，

且恒有f(x+y)=f(x)+f(y),

∴f(x）在[-3,3]上是减函数．

五、数形结合法

数形结合法是一种重要的解题方法，其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决．此法直观性较强，易于理解，有一定的灵活性，且常有化难为易的神奇效果．

分析：可看作是原点A(1,0）与点P(x,y）的距离，即u=|AP|，而P点是直线3x-4y-8=0上的动点，所以|AP|的最小值就是点A到直线3x-4y-8=0的距离，也就是u的最小值．

【例7】如果实数x、y满足方程，求u=x-y的最大值和最小值．

分析：如右图，方程的曲线是上半圆，而-u就是平行直线系y=x-u的纵截距，x、y满足方程就是直线与半圆有公共点，这样由几何意义知

评注：由数形结合法求最值时，两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、截距等是常用的几何意义．

六、消元法

在求多元函数最值的条件中，若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法，把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的．

【例8】已知x2+2y2=3x，求u=2x2+y2-x的最大值．

将(1)代入u=2x2+y2-x化为一元函数，再用配方法即可求解．

评析：应注意通过条件找到所保留的元的取值范围．

七、换元法

换元变换是一种重要的数学变换，在数学中有着广泛的应用．正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易．

评注：换元的方法多、灵活性强，换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉．在变换过程中，既要注意等价，又要注意取值范围．三角代换是常用的换元方法，如例7就可用三角换元法（令x=cosθ（0≤θ≤π），则y=sinθ，代入函数式即可求出最值．）

函数最大值和最小值求法较多，方法灵活多变，除以上几种常见的初等求法外，导数法亦是目前高中数学常用的方法，这里不再赘述．对一个具体题目往往有多种解法，而优选解法是能否顺利解答的关键．在平时应多练、多思、多总结归纳，力求对这些重要方法融会贯通、灵活选用．要强调的是无论用哪种方法解题都要特别留意函数的定义域．

参考文献

[1]黄兆全.最值问题中的几类典型错误例析[J].中学生理科应试,1996(1).

[2]刘桦.谈运用数形结合法解题的误区[J].中学数学(苏州),1995(9).

多元函数的最值问题四则 篇8

注二元函数的最值问题, 通常有两个途径, 一是通过消元, 转化为一元函数, 用单调性或基本不等式求解;二是直接用基本不等式, 因已知条件中既有和的形式, 又有积的形式, 不能一步到位求出最值, 考虑用基本不等式放缩后求解.解法2记向量

注在求有些多元函数的最值时, 可恰当构造向量模型, 利用向量数量积的性质求解.

注利用条件将不等式放缩后, 通过消元, 转化为一元函数, 用基本不等式求解.

注利用消元思想, 将二元函数转化为一元函数, 再利用导数研究函数最值, 但需充分考虑变量的取值范围.

注关注各项系数, 直接利用基本不等式放缩.

解法2因为x, y均不为0,

注利用消元思想, 转化为函数最值, 用导数法解题, 是通解通法.

当λ=3时, 则3y2-4xy≥0显然不恒成立;

当λ≠3时, 同除y2得

注利用消元思想, 转化为不等式恒成立问题, 通过“Δ”法解决, 但此法局限于二次问题.

解法1因为c≥a2+b2,

注根据条件放缩, 利用配方法解题.

注根据条件放缩, 关注基本不等式, 利用整体配方思想解题.

解法3令

注利用三角函数的有界性换元解题.

解法1利用不等式

注直接利用基本不等解题.

解法2由9a2+b2=1, 得

当且仅当3a=b时, 此两处均取等号,

注两次运用基本不等式, 注意等号成立的条件.

妙用均值定理求多元函数的最值 篇9

在教学实践中, 学生一般都能用均值定理求一个变量的最值, 这只需按照“一正、二定、三等”六字诀即可搞定;但是, 对于含双元 (或两个以上) 的最值问题, 学生往往能列出式子, 但无法求出最值来!笔者的体会是, 不必拘泥于“定值”二字, 而应尝试用均值定理去“化积”、“化和”, 从而把这个非定值的积或和约分, 进而突破“瓶颈”, 使问题获解.举例说明如下:

例1 求函数$f(x‚y)=\frac{4x+y+4\sqrt{xy}}{x+y}(x‚y＞0)$的最大值.

分析 把积$4\sqrt{xy}$化为“和”x+4y, 使分子“凑出”5x+5y, 再约去x+y即求出最值.

解$4\sqrt{xy}=2\sqrt{x\cdot 4y}\le x+4y$,

故$f(x‚y)\le \frac{4x+y+(x+4y)}{x+y}=5.$

所以函数f (x) 的最大值为5, 当且仅当x=4y时取得.

例2 △ABC的三边a, b, c依次成等比数列, 求角B的取值范围.

分析 由b2=ac, 得$\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-ac}{2ac}$.注意到分式中的“积”, 我们把a2+c2化为“积”2ac即可求出最值.

解 因为b2=ac, a2+c2≥2ac, 所以

$\begin{array}{l}\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-ac}{2ac}\\ \ge \frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}.\end{array}$

又B∈ (0, π) , 故$B\in \left(0‚\frac{\text{π}}{3}\right].$

例3 用长为l的铁丝围成直角三角形的三边, 求直角三角形的最大面积.

分析 设直角边长分别为x, y (x, y>0) , 面积为S, 则$l=x+y+\sqrt{x{}^2+y{}^2},S=\frac{1}{2}xy$.注意到求“积”的最值, 我们把x+y和x2+y2分别化“积”$2\sqrt{xy}$和2xy即可巧妙求出最值.

$\begin{array}{l}\text{解}l=x+y+\sqrt{x{}^2+y{}^2}\\ \ge 2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}=2\sqrt{2S}+\sqrt{4S}‚\end{array}$

得$S\le \frac{3-2\sqrt{2}}{4}l{}^2.$

所以S的最大值为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}l{}^2$, 当且仅当$x=y=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}l$, 即等腰直角三角形时取得.

例4 有一块半径为r, 圆心角为60°的扇形木板, 现欲按如图1锯出一矩形桌面再利用, 求此桌面

的最大面积.

分析 设矩形MNPQ的边长MN=x, NP=y, 则S=xy, Rt△OMQ中, ${\rm O}{\rm M}={\rm M}Q\cdot \cot 60°=\frac{\sqrt{3}}{3}y$;Rt△OPN中, OP2=ON2+NP2, 即

$r{}^2=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{3}y\right){}^2+y{}^2=x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy.$

将$x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2$化“积”即得最值.

解 如图1, 设MN=x, NP=y, 则S=xy, 且

$\begin{array}{l}r{}^2=(x+y\cdot \cot 60°){}^2+y{}^2=x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy\\ \ge 2x\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy=2\sqrt{3}S.\end{array}$

所以$S\le \frac{\sqrt{3}}{6}r{}^2$, 即桌面的最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}r{}^2$, 当且仅当$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}y$, 即当$x=\frac{\sqrt{3}}{3}r‚y=\frac{r}{2}$, 此时点P恰为弧AB的中点时取得最值.

利用平均不等式求函数的最值 篇10

如果a, b是正数, 那么 (当且仅当a=b时取“=”号) , 我们称a+b/2为a, b的算术平均数, 称 为a, b的几何平均数。

因此这一定理可以叙述为, 两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数。

本定理还可以按数列的方式来描述:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。其中看做是正数的等差中项, 看做是正数的等比中项。

均值定理的作用:

本定理的作用在于利用“≥”号来解决函数的最值问题。

例一:求证在周长一定的矩形中, 以正方形的面积为最大.

说明:设矩形的边长为a, b, 周长为定值P, 面积为S。则有2 (a+b) =P, 即a+b=P/2定值) , S=a·b由平均不等式得: , 两边平方得 (定值) , 即面积S永远不会大于P2/16, 只有在a=b时, S才能等于P2/16。

从而证明了在周长一定的矩形中, 以正方形的面积为最大。

例二:设a>0, b>0证明f (x) =ax+b/x在x>0的区间上, 当 时f (x) 有最小值 。

证明:因为a>0, b>0, x>0所以ax>0, b/x>0, 由平均不等式得 (常数) 。

即f (x) 永远不少于 , 仅在ax=-b/x时等号成立, 也就是此时f (x) 有最小值: 。

例三:已知a, b, c, d均为正数, 求证:

证明:由于a, b, c, d均为正数, 则

因为 ,

即 (ab+cd) (ac+bd) ≥4abcd。

例四:某工厂生产一批无盖圆柱形桶, 其容积是3/2mm2, 做底的材料3元/m2, 做侧面的材料2元/m2, 按照怎样的尺寸制造, 才能使成本最低?

解:设圆桶的底半经为rm, 高为hm, 圆桶的成本为S元, 则依题意有:πr2h=3/2π, h=3/2r2, S=3πr2+2·2πrh。

将h=3/2r2代入S, 则有

=9π (常数) 。

可以看出S≥9π, 若使S最小, 只需要上式取等号方成立。

即当3πr2=3π/r+3π/r时, 等号成立。

r=1时S最小。

也就是当底半径r=1 m, 高h=23m时, 圆桶成本最低。

注意的问题: