二次函数求最值问题

二次函数求最值问题（共16篇）

二次函数求最值问题 篇1

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

二次函数求最值问题 篇2

三角函数的最值问题是中学数学的一个重要内容,也是高考中的常见题型,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握三角知识,沟通三角、代数、几何之间的联系,培养学生的思维能力.

三角函数求最值问题主要有以下几种类型,掌握这几种类型后,几乎所有的三角函数最值问题都可以解决.本文对三角函数的求最值问题进行归类研究,供同学们借鉴.

一、化成y=asinx+b(a≠0)或y=acosx+b(a≠0)型

1. y=asinx+b(a≠0)的最大值和最小值.

(1)当a>0时,若sinx=1,ymax=a+b;若sinx=-1,ymin=b-a.

(2)当a<0时,若sinx=-1,ymax=b-a;若sinx=1,ymin=a+b.

2. y=acosx+b(a≠0)的最大值和最小值.

(1)当a>0时,若cosx=1,ymax=a+b;若cosx=-1,ymin=b-a.

(2)当a<0时,若cosx=-1,ymax=b-a;若cosx=1,ymin=a+b.

例1已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(Ⅰ)求ω的值.

分析(Ⅰ)∵f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0),

所以ω=1.

(1)若tanα=2,求f(α);

变式2已知函数f(x)=sin2x-2 sin2x.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.

二、化成y=a sin2x+bsinx+c(a≠0)或y=a cos2x+bcosx+c(a≠0)型

例2已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值.

因为cosx∈[-1,1],

点评此题主要是化为某个三角函数的二次三项式,结合换元法、配方法.

三、化成y=asinx+bcosx或y=sinx+cosx型

因此f(x)的值域为[0,2].

点评注意熟练掌握

分析法一(分离常数法)

点评此题是利用了分离常数的方法和逆求法求解的.

下列结论正确的是()

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值且有最小值

D.既无最大值又无最小值

点评上述利用正(余)弦函数的有界性,转化为以函数y为主元的不等式,是解决这类问题的最佳方法.虽然本题可以使用万能公式,也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解,但都不如上述解法简单.

六、化成y=sinx+cosx+sinx·cosx型

例6求函数y=sinx-cosx+sinx·cosx的最大值和最小值.

点评sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα这三者之间有着相互制约,不可分割的密切联系.sinα·cosα是纽带,三者之间知其一,可求其二.令t=sinx-cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值.应该注意的是求三角函数的最值方法有多种,像配方法、不等式法等,这里不再赘述,有兴趣的同学不妨自己探讨一下.

七、化成y=sin(ωx+φ)·cos(ωx-φ)或y=sin(ωx+φ)+sin(ωx-φ)型

可知函数f(x)的值域为[-3,1].

变式习题答案:

(2)由(1)得

3.D

6.B

二次函数求最值问题 篇3

首先我们要了解在不含参数的情况下二次函数y=a*x2+b*x+c是如何求最值的：

情况一：在整个定义域上求最值

方法：配方为y=a*（x-h）2+k再求最值直接利用二次函数的顶点坐标是（-b/2a，（4ac-b2）/4a）.

情况二：在指定区间上求最值

方法：step1判断二次函数的对称轴是否在该区间内；

step2如果二次函数的对称轴不在该区间内，则区间的端点值代入二次函数式即可求出最值；如果二次函数的对称轴在该区间内，则利用情况一中的方法求出最大（小）值；

step3再分别计算端点的函数值，进行比较后再确定最小（大）值，或比较出距离对称轴最远的端点值，其函数值就是最小（大）值。

二次函数中常数为参数时对二次函数最值的判断与计算都十分容易，在下文也不做讨论.含参数的二次函数求最值问题可分为三类：“动轴定区间”、“定轴动区间”以及“动轴动区间”.

第一类：“动轴定区间”类问题又可分为三种：

第1种：二次项系数为参数y=t*x2+b*x+c；第2种：二次项系数与一次项系数同为参数y=t*x2+t*x+c；第3种：一次项系数为参数y=a*x2+t*x+c.其中t是参数，a、b、c均为常数.

方法：对于第1第2种情况要先对二次项系数的正负进行分类再按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论；第3种情况可以直接按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论.

例1：求y=a*x2+2*x-3在区间[-1，3]上的最值.其中a是参数

解：先求出对称轴为x=-1/a，顶点坐标为（-1/a，-3-1/a），端点值-1，3的函数值分别为a-5，9*a+3.

（1）a>0，（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1/a<-1，即03，与a>0矛盾，这样的a不存在，故不讨论此类情况；（iii）二次函数的对称轴在该区间内，-1≤-1/a≤3，即a≥1，最小值为-3-1/a，端点函数值经过比较后，最大值为9*a+3.

（2）a<0，（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1/a<-1，与a<0矛盾，这样的a不存在，故不讨论此类情况；（ii）二次函数的对称轴在该区间的右侧，-1/a>3，即-1/3

综上所述，a≥1，最小值为-3-1/a，最大值为9*a+3；0

例1变式：求y=a*x2+2*a*x-3在区间[-3，3]上的最值.其中a是参数。

显然本题中的对称轴是定下来的，但是二次项系数为参数还是要进行分类讨论，函数图像开口向上时，最小值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值比较得到；函数图像开口向下时，最大值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值的比较得到.详细解答不在此赘述，请读者自行思考解答。

第二类：“定轴动区间”类问题：

方法：分两类讨论（a）区间在对称轴的左侧（右侧），即左端点的值大于-b/2a（右端点的值小于-b/2a），则直接代入端点值计算其函数值即可求得最值；（b）对称轴在区间内，则最大（小）值即为函数在定义域上所取得的最大（小）值，最小（大）值则可以通过直接代入两个端点值后所得的函数值比较得到。

例2：求y=x2+2*x-3在区间[a，a+3]上的最值.其中a是参数。

解：先求出对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），端点值a，a+3的函数值分别为a2+2*a-3，a2+8*a+12。

（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1

综上所述，-1

例2变式：求y=x2+2*x-3在区间[a，2*a]上的最值.其中a是参数。

要先确定区间是有意义的，就要使a<2*a，即a>0，再类似例题中的方法去讨论解答。在此不做详细解答，请读者自行思考解答.

第三类：“动轴动区间”类问题：

解决这类问题的总体思路就是综合前两类问题的解决方法。

方法：如果二次项系数含参数，先对二次项系数的正负进行讨论，再利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论；如果二次项系数不含参数，则直接利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论。

本类问题的解答则是综合上述两类问题的解答方法进行解答，故而在此只举出一道例题供读者思考。

《二次函数最值问题》教学设计 篇4

1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。

2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。本节课的教学重点是 探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。

二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。通过数学方法解决问题。学生刚刚学习了二次函数的概念、图象及性质，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。

三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面内容：(一)、利用二次函数解决实际问题的易错点：①题意不清，信息处理不当。②选用哪种函数模型解题，判断不清。③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。(二)、解决问题的突破点：①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。③注意实际问题对自变量 取值范围的影响，进而对函数图象的影响。④注意检验，养成良好的解题习惯。因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。

四、教学过程问题与情境师生活动设计意图

一、创设情境引入课题问题1：用60米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?教师提出问题，教师引导学生先考虑：(1)若矩形的长为10米，它的面积为多少?(2)若矩形的长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别为多少?(3)从上两问同学们发现了什么?关注学生是否发现两个变量，是否发现矩形的长的取值范围。学生积极思考，回答问题。通过矩形面积的探究，激发学生学习兴趣。

二、分析问题解决问题问题2你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗?教师引导学生分析与矩形面积有关的量，参与学生讨论。学生思考后回答。解：设矩形的长为x 米，则宽为(30-x)米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为：y=-x2+30x(0画出此函数的图象如图当x=-30/2(-1)=15时，Y有最大值：-302/4(-1)=225答：当矩形的边长都是15米时，小兔的活动范围最大是225平方米。通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。

三、归纳总结问题3 由矩形面积问题，你有什么收获?反思：实际问题中，二次函数的最大值(或最小值)一定在抛物线的顶点取得吗?师生共同归纳：可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值)。利用函数的极值，解决实际问题，本节课所用的方法是配方法、图象法.所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.引导学生反思，得出答案：不一定.要注意自变量的取值范围.养成良好的学习习惯。

四、运用新知拓展练习问题4: 青岛2007中考题某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的关系式;(2)当x取何值时，y的值最大?(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元?教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题。师生板书解：⑴ y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000，y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000.⑵ y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450，当x=85时，y的值最大.⑶ 当y=2250时，可得方程-2(x-85)2 +2450=2250.解这个方程，得 x1=75，x2=95.根据题意，x2=95不合题意应舍去.当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索。让学生感受到数学的应用价值。

五、课堂反馈

1、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是多少?学生自主分析：先求出面积与直角边之间的函数关系，在利用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值.解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x;设其面积为S.S= x(8-x)(0配方得 S=-(x2-8x)=-(x-4)2+8此函数的图象如图26-1-11.当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.教师注意学生图象的画法，学生能结合图象找出最大值.六、课堂小结布置作业

1、归纳小结

2、作业;习题26.1 第9、10题教师引导学生谈本节课的收获，学生积极思考，发表自己的见解。总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯。培养学生归纳问题的能力。实验反思：新课程理念下开放式教学，是根据学生个性发展的需求而进行的教学，为使课堂充满生趣，充满孜孜不倦的探索。要掌握学生课堂参与度的因素：

1、提供学生积极、主动、参与学习活动的机会。

2、使课堂充满求知欲(问题意识)和表现欲(参与意识)，好奇求知的欢乐和自我表现的愿望是推动课堂教学发展的永恒内在动力。

二次函数求最值问题 篇5

二次函数yax2bxc(a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在bb4acb2x处取得最小值，无最大值；当a0时，函数在x处取得最大值2a2a4a4acb2，无最小值。4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

【例2】当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值。

【例3】当x0时，求函数yx(2x)的取值范围。

【例4】当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)。22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54。

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

二次函数求最值问题 篇6

如图①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(),中间的这条直线在内部的部分的长度叫△ABC的“铅垂高”().我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.【例题1】如图②,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)

求抛物线对应的函数解析式;

(2)

若点M为第三象限内抛物线上一动点,其横坐标为,的面积为,求关于的函数解析式,并求出的最大值.【变式训练1-1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

（1）求点，点和点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；

（3）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．

【拓展总结】若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．

（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；

（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；

（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？

【练习】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值．

【练习】如图,二次函数的图象与x轴交于点A.B两点,且A点坐标为(−2,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求出这个二次函数的解析式；

(2)直接写出点B的坐标为___；

(3)在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形?若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；

(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大?若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由。

【练习】已知一次函数y＝kx+3与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的一个交点坐标为A（3，0），另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当点P位于直线AB上方的抛物线上时，求△ABP面积的最大值；

（3）当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和△ABP的面积．

1．如图，抛物线W的图象与x轴交于A、O两点，顶点为点B（﹣1，﹣1）．

（1）求抛物线W的表达式；

（2）将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V，使抛物线V的顶点为E，试通过计算判断抛物线V是否过点B；

（3）在抛物线W或V的图象上是否存在点D，使S△EBD＝S△EBO？若存在，请求出点D的坐标．

1．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）

（1）求抛物线的解析式；

构造二次函数解决两类最值问题 篇7

最值问题是近几年各地中考所关注的热点.比如解决面积最大问题, 求最大利润问题往往需要“构造”二次函数模型, 进而利用二次函数的有关知识加以解决。本文举例说明, 以帮助学生从中发现规律, 掌握解决最值问题的方法。

一、求最大面积

例1:如图1, 平行四边形ABCD中, AB=4, BC=3, ∠BAD=120°, E为BC上一动点 (不与B重合) , 作EF⊥AB于F, FE, DC的延长线交于点G, 设BE=x, △DEF的面积为S。

(1) 求证:△BEF∽△CEG;

(2) 求用x表示S的函数表达式, 并写出x的取值范围;

(3) 当E运动到何处时, S有最大值, 最大值为多少?

分析:对于 (3) , 从 (2) 中得S到与x的函数关系式

, 一般情况下, 在函数图象顶点处取得最值, 但不要忽略顶点的横坐标是否在实际问题函数自变量的取值范围内。

解 (1) ∵四边形ABCD为平行四边形,

∴△BEF∽△CEG。

(2) 由 (1) DG为△DEF中EF边上的高,

评注当不在自变量的取值范围内时, 应利用二次函数的增减性求最值。

二、求最大利润

例2:某宾馆客房部有60个房间供游客居住, 当每个房间的定价为每天200元时, 房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时, 就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间, 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。

设每个房间每天的定价增加x元。求:

1) 房间每天的入住量y (间) 关于x (元) 的函数关系式; (2) 该宾馆每天的房间收费z (元) 关于x (元) 的函数关系式; (3) 该宾馆客房部每天的利润w (元) 关于x (元) 的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时, w有最大值?最大值是多少?

分析:第 (3) 小题, 根据“宾馆客房部每天的利润w=每天的房间收费z-房间每天的入住量y×每个房间每天支出20元”来建立函数关系式, 再利用二次函数性质求出最值。

所以, 当x=210, w有最大值。此时, x+200=410, 就是说, 当每个房间的定价为每天410元时, w有最大值, 最大值为15210元。

总评在上述问题中涉及到两个变量, 就是函数问题, 可建立函数模型, 结合函数的性质最终求解。对于这类中考的热点问题“当某某为何值时, 某某最大 (或最小) ?”解决的方法步骤为:

1. 设变量x、y;

2. 根据题意建立y与x的函数关系式;.

3. 求出自变量的x的取值范围;

4. 利用函数的性质, 求出数学问题的解 (最值) ;

构造二次函数解决两类最值问题 篇8

中图分类号：G633.6 文献标识码：B

文章编号：1009-010X（2011）07-0064-01

最值问题是近几年各地中考所关注的热点．比如解决面积最大问题，求最大利润问题往往需要“构造”二次函数模型，进而利用二次函数的有关知识加以解决。本文举例说明，以帮助学生从中发现规律，掌握解决最值问题的方法。

一、求最大面积

例1:如图1，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S。

（1）求证：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；

（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

二、求最大利润

例2:某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。

设每个房间每天的定价增加x元。求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

所以，当x=210，w有最大值。此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，最大值为15210元。

总评在上述问题中涉及到两个变量，就是函数问题，可建立函数模型，结合函数的性质最终求解。对于这类中考的热点问题“当某某为何值时，某某最大（或最小）？”解决的方法步骤为：

1.设变量x、y；

2.根据题意建立y与x的函数关系式；.

3.求出自变量的x的取值范围；

4.利用函数的性质，求出数学问题的解（最值）；

5.检验解的合理性，得到实际问题的解（最值）。

二次函数涨价问题 篇9

2、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在某一时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低一元，就可以多售出200件。请你帮助分析：销售单价是多少时，可以获得最大利润？

1、（1）解：设该商品定价为x元时，可获得利润为y元依题意得： y ＝（x－40）·〔300－10（x－60）〕 ＝－10x2＋1300x－36000 ＝－10(x－65)2＋6250 300－10（x－60）≥ 0 当x=65时，函数有最大值。

得x≤ 90（40≤x ≤ 90）即该商品定价65元时，可获得最大利润。（2）设涨价x元

(60+x)(300-10x)=18000 18000-600x+300x-10x^2=18000 300x+10x^2=0 10x(30+x)=0 x1=-30 x2=0 又30<40 所以不可以

又（60-x）(300+20x)=18000 x1=45 x2=0 又15小于40 所以综上 定价60元是收益最大

《实际问题与二次函数》说课稿 篇10

1.教材的地位和作用

函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中建模的主要工具之一。二次函数与实际生活紧密联系，使学生对本章的学习由感性到理性再到感性，感到真实贴切，易于接受，进一步加强二次函数与实际生活的联系，使所学的知识得到应用，对后续学习做好了铺垫。

2.教学目标

根据九年级学生的生理特征及认知水平，我特此制定以下教学目标：

(1)知识与技能 能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在任何时刻实际问题都能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力;

(2) 过程与方法 经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，增强学生数学应用能力;

(3)情感态度价值观 提高学生解决问题的能力，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学模型思想和体会数学的应用价值。

3.教学重点、难点

重点为让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大(小)值问题。

难点是如何分析现实问题中的数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。

二.教法与学法

师生互动探究式教学，依新课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导，学生为主体的原则，结合九年级学生的求知心理和已有的认知水平开展教学，形成学生自动、生生助动、师生互动，老师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高。

在本节课的教学过程中，不但传授学生基本知识，而且注重培育学生主动思考，亲自动手，自我发现等能力，增强学生的综合素质。在教学中，我创设疑问，学生想办法解决问题，通过启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决问题的方法，找准了解决问题的关键。

三.教学过程

根据教材内容的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点。

1.创设情境，导入新课

复习旧知识的目的是对学生新课应具备的认知能力和情感特征进行检测和判断。学生自主完成，不仅体现了学生自主学习意识，调动学生的学习积极性，也为课堂教学扫清障碍，以致于更好的用二次函数解决实际问题。

2.合作交流，解读探究

本环节通过探究活动的设置，发散学生的思维，让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自动探索，合作探究的能力，通过学生思考、交流、经历，发现过程，加强对重点知识的理解。

3.应用迁移，巩固提高

通过学习，学生对所学知识进行内化，根据不同层次的学生，设置由低到高，层次不同的巩固性练习题，使不同的学生得到不同的发展，体现了渐进性原则，使学生能将知识转化为技能，让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦。

4.总结反思，拓展升华

由总结归纳反思，加强对知识的理解，并且能熟练地运用所学知识解决问题。提醒学生用二次函数还能解决其它类型的问题，进一步增强学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。

5.布置作业

作业分层布置，以体现新课标所提倡的人人学数学，人人学有用的数学，使不同程度的学生都获得成功的快乐。

四.教学评价与反思

二次函数求最值问题 篇11

一、求线段长的最值

例1 （2012年江苏扬州）如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 .

图1

解析：设AC=x，则BC=2-x.

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∴∠DCE=90°.

∴DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■·（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

∴当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.

例2 （2012年宁夏）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.

图2

分析：（1）由△APE≌△ADE，可得AP=AD=3.在Rt△ABP中，运用勾股定理即可求得BP的长.

（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE. 根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式，然后化为顶点式即可求得当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD.根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长.

解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3.

在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=■=■=■.

（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE.

∴■=■，即■=■.

∴y=-■x2+■x.

∵y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

∴当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）设BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD.

∴■=■， 即■=■.

将上式化简，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合题意，舍去）.

∴当PE∥BD时， BP=■.

二、求线段积的最值

例3 （2012年江苏苏州）如图3，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2

（1）当x=■时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？

图3

分析：（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l.又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行. 根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出△PCA与△APB相似.由相似得比例式，将PC及直径AB的长代入比例式求出PA的长.在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.

（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点.再由有三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OACE为矩形.根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.

解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.

∴■=■，即PA2=PC·AB.

∵PC=x=■，AB=4，∴PA=■=■.

∴在Rt△APB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E.

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

∴PE=ED=x-2.

∴CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

∴PD·CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

∵2

∴当x=3时，PD·CD有最大值，最大值是2.

三、求周长的最值

例4 （2012年四川南充）如图4，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点.把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.

（1）求证：MA=MB；

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

图4

分析：（1）连接OM，证明△PMA和△OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，则在Rt△AOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）证明：连接OM .

∵ 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，

∴PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∴∠PMA=∠OMB.

∴△PMA≌△OMB（ASA）.∴ MA=MB.

（2）△AOB的周长存在最小值.理由如下：

∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB.

∴OA+OB=OA+PA=OP=4.

设OA=x， AB=y，则y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

∴当x=2时，y2有最小值8，从而 y的最小值为2■.

∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面积的最值

例5 （2012年四川自贡）如图5，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.

图5

解析：设BM=xcm，则MC=（1-x）cm.

∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

∴△ABM∽△MCN，∴■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

∴S四边形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

∵-■<0，

∴当x=■cm时，S四边形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如图6，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值.

图6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程，求出t值即可.

（2）作NH⊥AC于H，证明△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算△AMN的面积得到有关t的二次函数，最后求出最值即可.

解：（1）∵M点从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，

∴AM=12-t，AN=2t.

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

∴当t为4秒时，∠AMN=∠ANM.

（2）如图6，作NH⊥AC于H，∴∠NHA=∠C=90°.∴NH∥BC.

∴△ANH∽△ABC.

∴■=■，即■=■.∴NH=■t.

∴S△AMN=■·（12-t）·■t=-■t2+■t=-■（t-6）2+■.

初等方法求最值问题例析 篇12

关键词：最值,初等方法,代数法,几何法

在中学数学里, 有关最值问题在各类考试、竞赛中屡见不鲜。因为它比较灵活, 涉及知识面广, 解法多种多样, 因此深受老师们的喜爱。本文就如何用初等方法求最值问题做一简要阐述。

1 配方法

配方法主要是针对二次函数而言的。

例1求函数y (x1) (x2) (x3) (x4) 5的最值。

解:

本题虽非真正意义上的二次函数, 但是我们可以通过变形将其化成成二次函数的形式, 然后利用配方法, 问题就迎刃而解了。

2 三角函数法

该方法的原理是:一些f (sin, cos) 型函数, 利用正弦、余弦函数的有界性.可推出f (sin, cos) M. (M) 。此法具有思路清晰, 解法规范, 计算简便的优点, 便于掌握。

例2已知p (x, y) 是椭圆 的点, 求x+y的最值

3 判别式法OPAP2BP2

常见用判别式求最值的函数形如:

其方法为:首先将其化为二次方程, 即 (a1-a2y) x2+ (b1-b2y) x+ (c1-c2y) =0, 然后利用判别式0, (0) 求出最值。

例3求函数 的最值。

解:原式化为:yx2+ (6y+2) x+ (10y-3) =0

由0得:所以

4 不等式法

利用某些不等式, 例著名的均值不等式和柯西不等式, 常常可以很快得出结论。

4.1 均值不等式

例4已知 , 求u=x+y的最值

解:

例5已知2x+5y=20, 求lgx+lgy的值。

解得当x=5, y=2时有 (lgx+lgy) max=1, 无最小值。

4.2 柯西不等式法

例6已知x12+x22+x32=1, y12+y22+y32=2, 求x1y1+x2y2+x3y3的最大值。

解:依柯西不等式:

5 利用几何性质巧解题目

例7平面上有两点A (-1, 0) , B (1, 0) 与圆周 (x3) 2 (y4) 24上一点P, 求使AP2BP2有最小值时点P的坐标。

(x解3) 2:按 (y平面4) 2几何4中线定P理: (如图)

以上为初等方法求最值问题的一些常用方法, 在实际中有些方法应用起来并非单一, 而是可以将不同的方法进行综合应用, 这就要求我们熟练掌握各种方法, 以便灵活应用。

参考文献

[1]查鼎盛, 等, 主编.初等数学研究[M].广西师范大学出版社, 1999.

[2]关成志, 邢清泉.数学优秀课例点评[M].辽宁教育出版社, 2002.

二次函数求最值问题 篇13

第2课时 二次函数与商品利润

教

学

目

标 知识技能：

①会根据实际问题列二次函数，并能根据实际情况确定自变量的取值范围； ②使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题。方法过程：

让学生通过阅读、合作讨论、动手画草图、分析、对比，能找出实际问题中的数量关系，揭示两个变量的关系，培养学生结合图形与其性质解决问题的能力 解决问题：

通过两个变量之间的关系，进一步体会二次函数的应用，体验数形结合思想。情感态度：

通过具体实例，让学生经历应用二次函数解决实际问题得全过程，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点。

重点：培养学生解决实际问题，综合解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法。难点：对实际问题中变量和变量之间的相互依赖关系的确定。教学过程： 基础扫描

1.二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3，顶点坐标是(3，5)。当x= 3 时，y的最小 值是 5。

2.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4，顶点坐标是(-4，-1)。当x=-4 时，函数有最 大 值是-1。

3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2，2 时，函数有最 小 值，顶点坐标是(2，1).当x= 是 1。

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？

自主探究

问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨 价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该 商品应定价为多少元？

分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润（20+x）元，每周的销售量可表示为 可表示为（300-10x）件，一周的利润可表示为(20+x)(300-10x)元，要想获得6090元利润可 列方程(20+x)(300-10x)=6090。

合作交流 问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市 场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？

问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件； 每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y =(60-40+x)(300-10x)(0≤x≤30)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x)+6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）

解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)怎样确定x 的取值范围 =(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20）所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定 价能使利润最大了吗? 答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得 最大利润为6250元.解决这类题目的一般步骤

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.当堂检测

1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元

2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场 调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500 件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售 出100件.（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种 小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关 系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销 售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）

解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）

偏导数求二元函数最值 篇14

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

闭区间上二次函数最值的研究 篇15

一、定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的, 给出的定义域区间也是固定的, 我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1:函数y=-x2+4x-2在区间[0, 3]上的最大值是________, 最小值是_______。

解:函数y=-x2+4x-2=- (x-2) 2+2是定义在区间[0, 3]上的二次函数, 其对称轴方程是x=2, 顶点坐标为 (2, 2) , 且其图象开口向下, 显然其顶点横坐标在[0, 3]上, 如图1所示。函数的最大值为f (2) =2, 最小值为f (0) =-2。

二、动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化, 即其图象是运动的, 但定义域区间是固定的, 我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例2:已知x2≤1, 且a-2≥0, 求函数f (x) =x2+ax+3的最值。

由a≥2可得x=-≤-1, 显然其顶点横坐标在区间[-1, 1]的左侧或左端点上。如图2所示, 函数的最小值是f (-1) =4-a, 最大值是f (1) =4+a。

例3:已知二次函数f (x) =ax2+4ax+a2-1在区间[-4, 1]上的最大值为5, 求实数a的值。

解:将二次函数配方得f (x) =a (x+2) 2+a2-4a-1, 其对称轴方程为x=-2, 顶点坐标为 (-2, a2-4a-1) , 图象开口方向由a决定。很明显, 其顶点横坐标在区间[-4, 1]上。

若a>0时, 函数图象开口向上, 当x=1时, 函数取得最大值5。

即f (1) =5a+a2-1=5, 解得a=1或a=-6, 故a=1 (a=-6舍去)

综上讨论, 函数f (x) 在区间[-4, 1]上取得最大值5时, a=2-或a=1。

解后反思:例2中, 二次函数的对称轴是随参数a变化的, 但图象开口方向是固定的;例3中, 二次函数的对称轴是固定的, 但图象开口方向是随参数a变化的。

三、定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的, 但它的定义域区间是随参数t而变化的, 我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例4:如果函数f (x) = (x-1) 2+1定义在区间[t, t+1]上, 求f (x) 的最小值。

解:函数f (x) = (x-1) 2+1, 其对称轴方程为x=1, 顶点坐标为 (1, 1) , 图象开口向上。

若顶点横坐标在区间[t, t+1]左侧时, 有1<t。当x=t时, 函数取得最小值f (x) min=f (t) = (t-1) 2+1;

若顶点横坐标在区间[t, t+1]上时, 有t≤1≤t+1, 即0≤t≤1。当x=1时, 函数取得最小值f (x) min=f (1) =1;

若顶点横坐标在区间[t, t+1]右侧时, 有t+1<1, 即t<0。当x=t+1时, 函数取得最小值f (x) min=f (t+1) =t2+1

四、动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数, 而定义域区间也是变化的, 我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例5:已知y2=4a (x-a) (a>0) , 且当x≥a时, S= (x-3) 2+y2的最小值为4, 求参数a的值。

解:将y2=4a (x-a) 代入S中, 得

则S是x的二次函数, 其定义域为x∈[a, +∞], 对称轴方程为x=3-2a, 顶点坐标为 (3-2a, 12a-8a2) , 图象开口向上。

若3-2a≥a, 即0<a≤1则当x=3-2a时, Smin=12a-8a2=4。此时, a=1, 或a=1/2;

若3-2a<a, 即a>1则当x=a时, Smin=[a- (3-2a) ]2+12a-8a2=4此时, a=5, 或a=1 (因a>1, a=1舍去) 。

如何利用基本不等式求最值 篇16

一、形如 （c＞0）的最值问题

例1：（2011·重庆）若函数在x=a处取最小值，则a=。

【解析】∵x＞2，

∴ ，

当且仅当，即x=3时取等号，故a=3。

【评注】利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：

一正：a、b为正数；

二定：求和a+b的最值，必须积ab为定值；求积ab的最值，必须和a+b为定值；

三相等：只有a=b时才能取得最值，如果a=b不能成立，则不能应用基本不等式求最值。

例2：（2010·辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则

的最小值为_______。

【解析】由叠加法得

，所以。

如果利用基本不等式，则当且仅当n2=33时取“=”，显然不成立，令 ，易知当n≤5时，f（n）单调递减，当n≥6时，f(n)单调递增，且，所以 的最小值为 。

【评注】一般情况下，当用基本不等式求最值时，若只满足前两个条件，第三个条件相等不满足时，则可利用函数的单调性、数形结合等求其最值。

例3：（2010·山东）若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是___。

【解析】由条件知， ，

因为 ，当x=1时取“=”，故a的取值范围是 。

【评注】当分母次数高于分子的次数时，可将分子分母同除以x，将分母转化为基本型 （c＞0）求最值，再用不等式性质求原函数的最值。

二、有限制条件的最值问题

这类问题关键在于利用条件化和或积为定值，需运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件。

例4：（2008·江苏）设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，则

的最小值是 。

【解析】由x-2y+3z=0得 ，代入 得，

，当且仅当x=3z 时取“=”。

【评注】所给式子易用其它字母表示另一个字母时，可直接解出其表达式，然后代入所求的式子化简求得。

例5：（2011·重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则 的最小值是______。

【解析】 ，

当且仅当 即时“=”成立。

【评注】应用基本不等式求最值的难点是如何获得定值条件，常用的方法有：

①常值代换，即整体代换，如例5的代入方法，经常用到；

②代入消元，即从条件中解出一个字母，然后带入所求的式子进行化简再求最值；

③配凑法，即将所求的式子进行分拆、组合，凑成条件的形式，得到定值。

三、含有“和”式或“积”式的最值问题

这类问题的条件往往是一个等式，所求的式子隐含在等式中，需利用整体思想，将所求的式子看成一个整体，利用基本不等式，构造不等式求解。

例6：（2010·山东）已知x，y∈R+，且满足 ，则xy的最大值为_____。

【解析】由题设条件得，从而得xy≤3，当且仅当，即时取“=”。

【评注】基本不等式具有“放缩转化”的功能，可以将“和”缩小，且转化为“积”的形式；又能将“积”放大转化为“和”的形式，因此，对于“和”与“积”在同一个等式中出现的情形，可利用基本不等式将等式构造转化为不等式，然后通过解不等式求得。

例7：（2010·重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是___________。

【解析】由已知得 ，令x+2y=t，则t2+4t-32≥0，解得t≤-8或t≥4，又∵x+2y=t＞0，∴x+2y≥4。

【评注】应注意“和”与“积”的相互转化，注意所求式子与等式的关系，注重整体思想的运用。