函数中比较大小问题

2024-10-07

函数中比较大小问题（精选6篇）

函数中比较大小问题篇1

函数中有一类常见的题型———比较大小,下面结合2014年江苏高考数学第19题总结这类题的常见解法,探究这类题的解题规律.

引例:(2014年江苏第19题)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.

(1)证明:f(x)是R上的偶函数;

(2) 若关于x的不等式mf (x)≤e-x+m-1在 (0,+∞) 上恒成立,求实数m的取值范围;

(3)已知正数a满足 :存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-x03+3x0)成立.试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论.

为了解决这个题,先研究以下几个简单的问题:

例1:(2013江苏第21题)已知:a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.

总结:本题采用的是作差的方法,作差是比较大小最常见的一种方法,特别是有关多项式大小关系问题常用此法.作差后和0比较大小,所以最好将其分解便于判断符号.对于正数,涉及幂的有时可考虑作商.

例2:(2009年江苏10).已知,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为____.

由f(m)>f(n)得m<n.

总结:本题利用函数的单调性,比较大小是函数的单调性重要应用之一,特别是指数函数、对数函数、幂函数中的比较大小问题.

例3:已知a=5log3.42,b=5log3.84,c=15log0.33,则a,b,c的大小关系是_____.

总结:如果不好直接比较大小,则可以间接比较,中间量便是其中一种重要的方法,常以0,1,-1为中间量.

例4:(1983年全国)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明:ab>ba.

总结:通过作差,转化为函数的最值问题,也是比较大小的一种重要方法.

有了上面的基础现在再研究2014年高考第19题.

解:(1)、(2)问此处省略

函数中比较大小是一种常见题型.本讲通过四道例题一道引例总结了比较大小的四种常见方法:作差、利用函数单调性、中间量、构造函数.

基本初等函数大小比较类试题赏析篇2

一、指数、对数、幂函数比较大小的基础知识

1.函数的单调性.

函数的单调性是解决这类问题的主要依据, 指数函数、对数函数、幂函数的单调性如下:

(1) 指数函数的单调性.

指数函数xy=a (a>0, 且a≠1) , 当底数a>1时, 函数在R上单调增;当0

(2) 对数函数的单调性.

对数函数y=logax (a>0, 且a≠1, x>0) , 当底数a>1时, 函数在区间 (0, +∞) 上单调增;当0

(3) 幂函数的单调性.

幂函数y=x (α其中α为常数) , 当α>0时, 函数在区间[0, +∞) 上单调增;当α<0时, 函数在区间[0, +∞) 上单调减.

2.常用媒介数.

二、指数、对数、幂函数大小比较的常见题型及解法

与这类问题有关的数大致可分为三种:第一种是“底数”, 第二种是“指数 (或对数值) ”, 第三种是“幂 (或真数) ”.常见的比较类型有同底比较, 同真比较, 异底异指 (真) 比较, 以及混合比较等.我们在学习过程中积累的“作差法”、“作商法”、“放缩法”、“倒数比较法”、“辅助函数法”、“导数法”等, 在这类问题的解决中, 仍然“神通广大”.

1.同底数比较大小.

2.同真数比较大小.

例2 (2013年新课标全国Ⅱ卷, 8) 设a=log36, b=log510, c=log714, 则 (%%) .

A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

分析:本题是纯对数比较大小, 由对数的运算性质, 得

a=log36=log (32×3) =log32+log33=log32+1,

b=log510=log (52×5) =log52+log55=log52+1,

c=log714=log (72×7) =log72+log77=log72+1.

于是, 本题属于化为同真数比较大小的情况.同真数比较大小, 可作商比较, 也可变形为同底的倒数比较或作出函数的大致图象进行比较.

解法二:由对数函数图象“谁的底数大, 谁更靠近轴”原则, 可得log32>log52>log72, 于是a>b>c.

3.异底异指 (真) 比较大小.

在异底异指 (真) 比较中“, 媒介”开始“震撼登场”.

A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a

分析:此例中的式子看着很相似, 但仔细观察, 会发现其中两个是异底异指 (真) 的比较, 需要媒介数“0”和“1”来“搭桥”.

注:在这个例子中, “媒介”的作用可谓发挥得淋漓尽致, 同时该式子也用到了“放缩”思想.

4.混合比较.

A.x

比较二次函数值的大小篇3

【引例】

已知点A(2,y1),B(-1,y2)在抛物线y=(x-1)2+1上,则比较y1,y2的大小关系__________.

【常规思路】

从代数的角度,我们可以根据二次函数图像上点的坐标特征,将A(2,y1),B(-1,y2)代入二次函数分别计算出y1,y2的值,然后再比较它们的大小;从函数的角度,我们可以先利用二次函数的对称性,将对称轴异侧两点A(2,y1),B(-1,y2)转化到对称轴的同一侧两点A(2,y1),B′(3,y2),再根据二次函数的增减性比较大小.

【题后反思】

从解题中我们发现代数法的本质即利用图像上点的坐标特征把二次函数值的比较大小转化为代数式值的比较大小.而函数法的本质即结合二次函数的图像,利用函数增减性把二次函数值的比较大小转化为比较A、B两点到对称轴距离的远近.

代数法是顺其自然的解答,函数法是数形结合的方法,直观简单.这两种方法时刻贯穿于我们二次函数的值比较大小的问题中,如何准确熟练使用好这两种方法呢?下面我们一起看三个例题分析.

【应用实例】

例1二次函数y=mx2-2mx+m2+1(m<0)的图像经过点A(2,y1),B(-1,y2),则比较y1,y2的大小关系________.

【思路分析】顺其自然我们会想到代数法,利用代入法算出y1=m2+1,y2=m2+3m+1,然后利用作差法得出y1-y2=-3m>0即y1>y2.由于函数法取决于开口方向与对称轴,只有找出“隐形”对称轴x=1,进一步判断出A点到对称轴的距离比B点到对称轴距离要近,再根据开口向下,离对称轴越近函数值越大进而得出y1>y2.

【题后反思】

一般情况下,若点的横坐标已知,我们易用代数法解决问题;若对称轴以及开口方向显然可知,用函数法相对比较简单.

例2已知抛物线y=(x-3)2+2经过点A(m,y1),B(n,y2),且|m-3|<|n-3|,则比较y1,y2的大小关系________.

【思路分析】此题中非常清晰可知二次函数的对称轴与开口方向,函数法应该优先考虑.再根据|m-3|<|n-3|,不难得出A点到对称轴的距离比B点到对称轴的距离要近,再根据“开口向上,离对称轴越远函数值越大”进而得出y1<y2.代数法也可以,我们利用代入法算出y1,y2,然后利用作差法得y1-y2=(m-3)2-(n-3)2<0,即y1<y2.

【题后反思】用函数法处理问题时我们仅需关注二次函数的对称轴与开口方向以及已知点与对称轴的距离的远近,与已知点在对称轴的同侧还是异侧关系不大。

例3已知点A(m,y1),B(m+1,y2),在抛物线y=(x-1)2+1上,则比较y1,y2的大小关系________.

【思路分析】代数法,常规做法利用代入法算出y1,y2,然后利用作差法得y1-y2=-2m+1,由于m的取值未知,故而对-2m+1的正负性讨论,最后得出:当m=0.5时,y1=y2;当m>0.5时,y1<y2;当m<0.5时,y1>y2.二次函数的对称轴与开口方向都易知,函数法应该也是可以的.但从题目中难以确定A点到对称轴的距离与B点到对称轴距离的远近,于是必须对此进行讨论,即|m+1-1|与|m-1|比大小.当A点与B点到对称轴距离一样时,m=0.5,此时y1=y2;当A点到对称轴较近时,m>0.5,此时y1<y2;当A点到对称轴较远时,m<0.5,此时y1>y2.

【题后反思】此题中无法判断两点与对称轴的距离的远近,似乎用函数法不易理解,下面我们把它简化为判断AB中点与对称轴的位置.

【变式】若二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)经过A(m,y1),B(n,y2)两点,且m<n,求y1,y2的大小关系.

【方法总结】

二次函数的函数值比较大小的方法:

(1)代数法.具体步骤:(1)代入求值;(2)作差比较.

函数中比较大小问题篇4

1. aa,ab同底不同指

对于底数相同而指数不同的两数大小比较,可借助“函数思想”,看作指数函数y=ax当x分别取a,b时的函数值来比较,再利用函数的单调性即可得结果,若底数a的大小不确定时需要分类讨论.

例1试比较0.70.7与0.70.3,m2与m5(m>0且m≠1)的大小.

解(1)0.70.7与0.70.3可看作以0.7为底的指数函数当自变量分别取0.7和0.3时的函数值大小,由底数小于1可知函数在定义域范围内单调递减,又由0.7>0.3可知,0.70.7<0.70.3.

(2)m2与m5可看作以m为底的指数函数当自变量分别取2和5时的函数值大小,但由于底数m是未知字母,不能直接判断与1的大小关系,需要分类讨论,所以当m>1时,函数单调递增,m2<m5;当0<m<1时,函数单调递减,m2<m5.

“函数思想”是指用函数的概念和性质去分析、转化和解决问题的思维策略.想要运用“函数思想”解题的关键是对基本函数的概念性质了然于心,善于去挖掘题目中的隐含信息,构造适当的函数,再巧妙结合函数的相关性质去解决问题.“分类讨论思想”是指在解决某一问题时,不能用同一方法解决,需要某个标准将问题分解为几个小问题,将这些小问题一一加以解决,最终使问题得以解决.运用“分类讨论思想”解题的关键在于明白什么情况下应该分类,分类的依据是什么,要做到不重不漏.

2. aa,ba同指不同底

例2试比较0.60.6与0.70.6的大小.

例3下图是指数函数(1)y=ax;(2)y=bx;(3)y=cx;(4)y=dx的图像,则a,b,c,d与1的大小关系是().

解任何底数的一次幂都是底数本身,因此可做直线x=1与各图像相交,交点的纵坐标就是指数函数的底数.或者直接利用口诀“底大图高”来判断,图像在“判底线”x=1的右侧,底数越大图像越高,由图可得c<d<a<b,又由指数函数的性质可得c<d<1<a<b,故选B.

“数形结合”思想就是把抽象的代数问题与直观的几何图形结合起来,通过“以形助数”使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题的效果.

3. aa,bb指底均不同

对于指数和底数均不同的两数大小比较,可以依据a,b所在范围给出的结论直接判断,若直接判断有困难时,我们通常需要借助“外力”,搭建桥梁,寻找一个中间量(通常选用0,1等做代表)把问题转化为类别1、2的问题或其类似问题便得以解决.若找媒介也遇到困难时,可再寻其他方法,比如换元法、同时取对数法、作商法等.

例4试比较0.10.1与0.20.2的大小.

“化归与转化思想”不仅是一种重要的解题思想,也是一种最基本的思维策略,更是一种有效的数学思维方式.化归,就是通过某种手段,把问题转化为已知的问题或相对较容易解决的问题进而达到解决问题的目的的一种方法.化归的原则为化繁为简,化难为易,化陌生为熟悉.

4. ab,ba指底均不同

类型4和类型3都属于指数和底数均不相同的指数幂的大小比较,所以可采用“类比”的思想,把问题4类比于问题3,便可得到解决办法.

“类比思维”方法是解决陌生问题的一种常用策略.它让我们充分开拓自己的思路,运用已有的知识、经验将陌生的、不熟悉的问题与已经解决了的熟悉的问题或其他相似事物进行类比,从而创造性地解决问题.

函数中比较大小问题篇5

新新教材的最大特点就是体现素质教育的要求, 重视人的发展, 提倡课程与生活的联系, 以数学源于生活又用于生活为主线, 着重培养学生的创新意识和动手能力, 培养学生学数学、用数学的意识, 使其养成良好的学习习惯。因此, 我们要鼓励学生主动参与, 主动思考, 主动探究, 主动实践;让学生真正成为学习的主人。

二、背景和遇到的问题

在八 (下) 第十一章反比例函数的教学中, 我给出的例1是:已知x1, y1和x2, y2是反比例函数y=-a2/x (a≠0) 的两对自变量与函数值, x1>x2>0, 则0____y1____y2 (填>、<、=) ;学生基本上能正确解决, 但我相信, 有许多同学都是一知半解的;所以例2 是:下列函数中, y随x的增大而减小的是____;

A.y=-3x+4 B.y=4/xC.y=-4/xD.y=3x-2

生1:B也对, A和B都对。

师:同意生1的观点吗?

生:同意!

师:那谁来帮老师分析一下, 为什么这两个解都对?

生2:因为一次函数y=kx+b, 当k<0 时, y必定随着x的增大而减少, 而A中, y=-3x+4, k=-3<0, 所以A正确。

师:对吗?

生:对。

师:B呢?

生3:反比例函数y=k /x与正比例函数y=kx的性质相反, 当k>0时, y的值随x的增大而减小。B中, y=4/x, k=4>0, 所以B也正确。

师:讲的很好。我们不妨回到书本第129 页, 一起仔细地研读反比例函数的性质。

生:反比例函数y=k /x (k≠0) 的性质:当k>0时, 在图象所在的每一象限内, 函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时, 在图象所在每一象限内, 函数值y随自变量x的增大而增大。

师:刚才生3 的表述与书本上的表述有什么不同?

生4:书上详细地讲到, 在图象所在的每一个象限内。

师:这句话到底有没有必要呢?我们一起来看反比例函数的解析式及其图象。y=k/ x (k≠0) 中, 自变量x必须满足什么条件?

生:x≠0。

师:一次函数有没有这样的限制条件?

生:没有。

师:体现在图象上又有什么区别呢?

生:一次函数的图象是一条直线, x可以取任意值。

师:对, 但反比例函数的双曲线呢?

如图, 当k>0时, 图象分布在一、三象限。试问:图象的两个分支可不可能与两线标轴相交?

生:不可能。因为x≠0, y≠0。

师:因此两个分支是独立的。k>0, y的值随着x的增大而减小, 但必须在同一分支上, 即在图象所在的每一个象限内才可以比较大小。所以例2 中, 该选择A。

师:若让B也正确, 该如何修改?

生:加上x>0 或x<0。

师:讲得很好, 回头来看例1, 你注意到例1 中x1>x2>0 了吗?让我们试一试。

图象分布在二、四象限, x1>x2>0, 说明图象只研究位于第四象限的那一支, y1>y2, 且0>y1>y2。

三、问题的解决

作为教师, 我们都知道, 思维的发展过程是从发现问题开始, 其次是回答问题;如郑板桥老先生说过“:学问二字, 需要拆开来看, 学是学, 问是问, 有学无问, 虽读万卷书, 只是一条钝汉耳。”所以学生对数学问题的发现, 可以说, 是数学创新教育的前提, 学生应成为“提出问题———分析问题———解决问题”这个认知过程的主体, 应享有这种思维活动的权利和机会。

《数学课程标准》明确指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”, 教师应当帮助学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。爱因斯坦说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”发现问题, 大胆怀疑, 课堂上把“提问权”还给学生, 并对他们的提问给予积极的鼓励、引导, 对激发学生的探索动机, 培养学生的思维能力会起到重要作用。

四、反思

在这次反比例函数的教学事件中, 我深刻地认识到了以下几点:

(一) 教材编写的严谨性, 上面例2 的教学就深刻地说明了一点, 虽然只是一个自变量x≠0 的取值, 但它们将会涉及到整个函数值的大小比较。

(二) 课堂模式, 更多地采取讨论、辩论等方式, 让学生积极主动地参与到教学中, 学习效果会更好。

(三) 在课堂教学中, 我们应积极主动地对课程进行适当的修正和调适, 设计出新颖的教学案例, 把枯燥的教学知识转化为激发学生求知欲望的刺激物, 引发他们的进取心, 这也是衡量课程实施效果的一个重要因素。

我相信, 通过不断地尝试和努力;我们总会有收获。

参考文献

[1]中考备战策略 (上) , 山西:书海出版社, 2008年

[2]数学教育新视野, 浙江:浙江大学出版社

[3]浙江省初中毕业生学业考试说明, 浙江:浙江摄影出版社

从一道高考题看函数值的大小比较篇6

分析本题主要考查指数式, 对数式的比较大小.要求考生借助指数函数 (或者幂函数) , 对数函数的单调性, 图象, 并且综合运用不等式的相关知识进行求解, 对考生的计算求解能力, 推理论证能力提出了较高的要求.试题虽然简短却内涵丰富, 集指数, 对数, 不等式等众多的知识点于一体, 体现了在知识交汇处命题的原则.

2.解法探究

(1) 比较ac和bc.

对于ac和bc, 观察到它们底数不同, 指数相同, 因而可以采用两种方法来进行比较.

解法1构造幂函数

令y=xc, 由c>0, 可知

该函数在 (0, +∞) 单调递增.

因为a>b, 所以ac>bc

故选项 (A) 错误.

解法2构造两个指数函数

令y=ax和y=bx,

因为a>b>1, 故如图1所示

由0<c<1得