一次函数中的数学思想

一次函数中的数学思想（精选12篇）

一次函数中的数学思想 篇1

数学思想方法是对数学规律的一种较为理性的认识, 自身带有一般意义和相对稳定的特征, 就是对数学的知识内容和被所使用的方法的本质性的认识。它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括, 而在后继的认识活动中被反复证实其正确性的一种认识。常用的数学思想有:化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程的思想、数形结合的思想等等。

本文主要就函数问题, 探究其数学思想在函数问题方面的解决。函数思想, 指运用函数的概念和性质, 通过类比联想转化合理地构造函数, 然后去分析、研究、转化问题并解决问题。

一、不等式问题

用函数思想分析不等式问题, 化为函数问题。通过构造函数解决不等式问题, 显得简洁。

例1:设实数a>1>b>0, 问a, b满足什么关系时, 不等式lg (ax-bx) >0的解集是 (1, +∞) 。

简析:欲设不等式的解集为 (1, +∞) , 只需构造函数f (x) =lg (ax-bx) , 使其在定义域上是增函数, 且f (1) =0。

二、三角函数问题

在研究三角函数相关问题时, 应该充分注意到三角函数本身就是一种特殊的函数, 利用函数的基本性质去解决有关问题。

例2:已知α, β, γ为任意三角形的三个内角, 求证:x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ对任意实数总x、y、z成立。

简析:由原不等式得x2+y2+z2-2xycosα-2yzcosβ+2zxcosγ≥0根据不等式的结构特点, 构造函数f (x) =x2+y2+z2-2xycosα-2yzcosβ+2zxcosγ, 证明函数在实数解至多有一解, 即△≤0即可。

三、数列问题

用函数思想解数列问题能够加深对数列概念的理解, 强化知识点间的联系。通过构造函数, 利用函数的性质解决数列问题, 是一种有效的方法。

例3:等差数列{an}的首项a1>0, 前n项的和为Sn, 若Sl=Sk (l≠k) 问n为何值时Sn最大?

简析:分析通项公式的特点, 把数列问题转化为相应的函数问题解决。

四、解析几何问题

解析几何问题中, 直线与曲线、点于曲线、曲线与曲线等的关系, 都是函数关系的具体反映, 因此用函数的思想处理这类问题是很有效的。

例4:设a>b>c, 且a+b+c=0, 抛物线y=ax2+2ba+c被x轴截得的弦长为l, 证明:。

简析:由于弦长l是与a, b, c有关的变量, 若能建立l=f (a, b c) 的表达式, 那么结论相当于确定函数l的值域。为确定函数的值域, 必须先求出变量l的解析式, 再确定解析式中的自变量及其取值范围。

五、某些求值问题

将问题中的代数式转化为函数式, 利用函数的性质, 可获得快捷解法。

例5:设实数x, y满足x3+2x+a=0, y3+2y-a=0, 试求x+y的值。

简析:如果直接解这两个方程, 过程冗繁, 观察两个方程可把他们变为:x3+2x=-a, y3+2y=a, 再构造函数f (t) =t3+2t (t∈R) , 利用此函数的性质易求x+y的值。

通过以上所举的几个例子可以看出, 函数思想是数学思想中重要的思想方法, 它在数学诸多知识中都有所体现。因此, 我们在对数学的学习过程中, 应该多挖掘、培养、训练并强化这种思想, 根据问题的特点应用这种思想转化为相应的函数问题, 利用函数的性质和方法去解决, 从而较快捷地解决问题。在教学中要注重培养函数方法的应用意识, 善于运用函数思想方法解决思想问题。

一次函数中的数学思想 篇2

摘要:数形结合是数学教学中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。

关键词:渗透数形结合思想以形助数以数解形 正文: 著名数学家华罗庚认为“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”。

数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来,使代数的问题几何化或几何的问题代数化,从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思想方法,主要表现在用代数的方法解决几何问题,或用几何的方法解决代数问题,以及代数与几何的综合问题解析。数形结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”。

数形结合方法是解决数学问题尤其是函数问题的一种重要方法,特别是二次函数,不仅是学生学习的难点之一,同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。用图形可以使抽象的数量关系变得直观形象;而一些图形的性质,又可以赋予其数量意义,通过数量的运算使问题得到解决。

一、利用数形结合思想,基于图像进行函数性质研究。

函数与其图像的数形结合浑然一体.一个函数可以用图形来表示,而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点,这为数学的研究与应用提供了很大的帮助.因此.函数及其图像内容突显了数形结合的思想方法.教学时我们应注重数形结合思想方法的渗透,这样会收到事半功倍的效果.如学习二次函数的性质时,采用如下数形结合的思想,使抽象的性质具体化,直观化,形象化。

解析式y=ax2y=ax2+k y=a(x-h2y=a(x-h2+k y=ax2+bx+c

图象

开口方向 a >0时,开口向上,(实线部分;a<0时,开口向下,(虚线部分 顶点(0,0(0,k(h ,0(h ,k(a b 2-, a b a c 442a <0时 y 最大=0 a <0时 y 最大=k a <0时 y 最大=0 a <0时 y 最大=k a <0时 y 最大= a b a c 442-与x 轴交于A B、两点,与y 轴交于点C ,连接B C A C、.(1求A B 和O C 的长;(2点E 从点A 出发,沿x 轴向点B 运动(点E 与点A B、不重合,过点E 作直线l平行B C ,交

A C 于点D.设A E 的长为m ,AD E △的面积为s ,求s 关于m 的函数关系式,并写出自变量m 的取值

范围;

(3在(2的条件下,连接C E ,求C D E △面积的最大值;此时,求出以点E 为圆心,与B C 相

h x 3 3 2 2 1 1 4 1-1-2-O y 切的圆的面积(结果保留π.思路:(1由形转化为数:求二次函数与x轴y轴交点坐标即可求出AB和 OC的长。

(2由形DE∥BC,得△ADE∽△ACB,转化为数:面积比等于相似比的 M平方,从而可解答本题。

(3通过添加辅助线,可得△BEM∽△BCO,再把形转化为数:可求EM 即圆的半径。从而容易求出圆的面积。

数和形是初中数学内容的两大板块和两条主线。数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象

思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。

一次函数中的数学思想 篇3

关键词： 数学思想方法 高中数学 函数章节 应用策略

在高中数学函数教学中运用数学思想方法，有助于学生构建完善的知识体系，提高学生解决问题的能力。文中根据高中数学教学例题，对高中数学函数教学过程中渗透分类讨论、化归、数形结合等思想，不断提高学生的数学思维能力，为日后学习复杂的知识奠定坚实的基础。

一、数学思想方法的涵义及其重要意义

数学思想方法是指针对某一数学问题的分析及探索过程，形成最佳的解决问题的思想，也为准确、客观分析、解决数学问题提供合理、操作性强的方法。函数是高中数学的主要内容，也是考试的重点。高中数学学习过程中遇到函数的题目，复习时必须有针对性地了解高考常见命题和要点，重点进行复习，做到心中有数。将数学思想方法当做数学基础知识也是新课标提出的，新课标规定在教学过程中，要重视渗透数学思想方法。高中数学函数教学中应用数学思想方法是推进全面素质教育的重要手段。目前，从历年高考的试题来看，高考考试的重点是查看学生对所学知识的灵活应用及准确性。数学科目考查的关键点是学生数学思想方法及解题能力。因此，高中函数教学中应用数学思想方法发挥着重要作用。

二、高中数学函数章节中应用数学思想方法的策略

（一）函数与方程思想的应用

函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间却存在着密切联系，方程f（x）=0的根就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标。通过方程进行研究，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决。反之，许多函数问题也可以用方程的方法解决。

解析：这是一道较典型的函数与方程例题，老师根据数学思想的要求传授学生解题方法，也可以依据这一道例题对其他相关例题的解题方法进行概括性讲授，确保学生遇到这类题目可以快速、准确地找出解题方法。

本例题构造出函数g（x），再借助函数零点的判定定理解题非常容易。这道例题展现出函数与方程的数学思想，实际解题时我们一般会构造一个比较熟悉的模式，从而将不熟悉的问题转化为所熟悉的问题进行思考、解答。另外，我们还可以利用函数的图像和性质，用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，对拓展学生学习的深度和广度具有重要意义。

（二）数形结合思想的应用

数形结合作为数学解题中比较常见的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

解析：数形结合思想是数学教学的重要思想之一，主要包括“以形助数、以数辅形”这两方面的内容，求解几何问题也是研究数形结合的重要手段。同时，在求解方程解的个数及函数零点问题中也能应用。以形助数和以数辅形可以让繁杂的问题变得更直观、形象，增强数学问题的严谨性和规范性。因此，某些问题从数量关系观察无法入手解题时，如果将数量关系转变为图形，运用图形的性质规律更直观地描述数量之间的关系，从而将复杂的问题变得简单。因此，对部分抽象的函数题目，数学教师应正确引导学生运用数形结合的思想方法，使得解题思路峰回路转，变得清晰、简单。

（三）化归思想的应用

化归思想是指将抽象、复杂的数学问题转化成简单、熟知、直观的数学问题，提高解决问题的速度和准确性。函数章节中多数问题的解决都离不开化归思想的应用，其中化归思想是分析、解决问题的基本思想，从而提高学生的数学思维能力。

解析：這一例题解决过程将x<0转换成-x>0展现出化归的数学思想。化归是一种最基础、最重要的数学思想方法，高中数学老师必须熟悉化归思想，有意识地利用化归思想解决相关的数学问题，并将这种思想渗透到学生的思想意识中，有利于增强学生解决数学问题的应变能力，提高学生的数学思维能力。

（四）分类讨论思想的应用

分类讨论思想就是依据数学对象本质属性的共同点与不同点，把竖向对象划分成多个种类实施求解的一种数学思想。高中数学函数章节教学中使用分类讨论思想方法，有利于学生形成缜密、严谨的思维模式，养成良好的数学品质。解决数学函数问题时，如果无法从整体角度入手解决问题，就可以从局部层面解决多个子问题，从而有效解决整体问题。

分类讨论就是对部分数学问题，当所给出的对象不能展开统一研究时，必须依据数学对象本质属性的特点，把问题对象划分为多个类别，随之逐类展开讨论和研究，从而有效解决问题。高中数学函数教学中，经常根据函数性质、定理、公式的限制展开分类讨论，问题内的变量或包含需要讨论的参数时，必须实施分类讨论。高中数学教学中，必须循序渐进地渗透分类思想，在潜移默化的情况下提高学生数学思维能力和解决问题的能力。

解析：本例题可以借助二次函数图像解决，展现出分类讨论的思想，讨论对称轴x=a与区间[0，2]的位置关系。对复杂的问题进行分类和整合时，分类标准与增设的已知条件相等，完成有效的增设，把大问题转换成小问题，优化解题思路，降低解决问题的难度。分类讨论教学方法要求将各类情况各种结果考虑其中，依次研究各类情况下可能出现的结果。求解不等式、函数和导数是考查分类讨论思想的难点，为确保突出重点，日常教学中必须对学生渗透分类讨论思想方法。

三、结语

高中数学函数章节是整个数学教学的重要部分，对其日后学习高等函数发挥着重要作用。高中数学函数知识涵盖多种数学思想方法，数学思想方法是解决数学问题的钥匙和重要工具，因此数学老师必须对函数实施合理教学，让学生更全面地掌握数学思想方法，从而提高学生的综合思维能力。

参考文献：

[1]任潇.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用分析[J].现代妇女旬刊，2014，04：158-159.

三角函数问题中的数学思想 篇4

一、三角函数的周期性性质

单位圆直观的表达了基本三角函数的周期特性, 周期性是对函数变化过程的归纳法描述, 有助于在研究函数性质时见微知著, 对函数做出精确的量化推导。

如, 用sinx推导以下函数的周期性:

解决这类周期性问题的方法, 一是利用基本性质, 二是作图。

二、三角函数的几何背景

我们从直角三角形中这种特殊情形出发, 可以得到三角函数的相互转化关系, 由此推导到在一般三角形中, 这些关系仍然适用, 从作图的观点看, 三角函数联系了迪卡尔坐标, 单位圆, 三角形等几何形状, 几何性质是研究三角函数的基本出发点。

如, 证明arcsinx+arcosx=π/2

可以想见, 命题人想表达的是两个角度之间的几何意义, 于是在单位圆内, 可以通过作图来描述这两个角度, 通过平面几何或者解析几何的方法来解决。

那么有:sinα=x;cosβ=x

三、三角函数的代数背景

正弦定理以及余弦定理揭示了三角形中边与角的量化关系, 将三角形的角度函数表达成三边的数量, 可以将三角函数完全转化为代数问题, 在代数的领域解决证明与计算。

在着手解决这个问题之前, 我们观察到题设仅仅给出了边的数量关系, 而要寻求的关系是三角函数, 两者之间的联系是正弦定理和余弦定理, 转化的方向就是表达成关于角的正余弦比例关系;于是有:

上式隐含的是三边的比例关系, 带入题设条件可求得5/9。

四、三角函数的函数背景

三角函数中的万能函数, 以及正余弦等函数之间的转化, 可以将因变量的数量减少, 通过代换, 三角函数也可以是纯粹的条件限制下的函数问题, 适用函数的各种分析方法。

如, f (x) =sin4x-sinxcosx+cos4x的值域

从上式的形式来看, 关键问题已经解决了, 只要把sin2x当作自变量, 该函数可以在一元二次函数的范畴解决。

五、三角函数的不等式背景

基本的三角函数大部分属于有界函数, 其取值在某闭合区间内, 通过放缩等不等式技巧, 可以对三角函数进行值域估计, 不等式证明等。

如, 证明:

六、三角函数综合问题

于是我们知道, 10, 11, 12是满足不等式关系的正整数。

摘要：三角函数在中学课本中内容相对独立, 是研究几何现象和周期性现象的基础数学工具, 同时三角函数又是6类基本的初等函数之一。三角函数因此同时具有了几何和代数的背景, 其研究方法也具备同样的特性, 三角恒等式揭示了各三角函数间的内在联系, 同时又是掌握三角函数的关键和难点所在。

关键词：三角函数,几何,周期性,初等函数,三角变换

参考文献

[1]钮兆岭.让概念教学变得更自然些——“三角函数的周期性”案例分析[J].中国数学教育, 2011 (10) :13-15.

[2]程新展.数学概念教学的十种常用策略[J].中国数学教育, 2010 (8) :13-14.

类比思想在二次函数教学中的运用 篇5

数学是一门严密性、逻辑性、方法性都很强的学科，在探寻问题解答方法和思路的进程中，需要运用到多种多样的解题方法和数学思想。作为初中数学解题思想策略之一的类比思想在数学问题解答中有广泛的运用。著名教育家、活动家刘文雅曾经对类似思想进行过形象生动的阐述：“类比就像一位伟大的领路人，引导人类由此及彼、由表及里，深挖事物、现象和规律的本质，搭建通向成功彼岸并获取胜利的‘桥梁’”。数学中的许多定理、性质、公式等，都是通过类比推理方法得到的。类比思想的有效运用能有效开启学生思路发展的“大门”，提升思维的灵活性和创造性。本文主要分析二次函数问题解答中类比思想的运用。

问题1：小明利用几何画板，将抛物线y＝x2+bx+c先向右平移了3个单位，然后又向下平移了2个单位，此时他得到抛物线y=x2-3x+5，试求出b,c的值。

分析： y=x2-3x+5变形为y=（x-■）2+5-■，即y=（x-■）2+■，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y=（x-■+3）2+■+2，即y=x2+3x+7，所以b=3，c=7。

解题策略：在解决此类问题时，应该使用逆推理，采用由表及里的方式类比推理，反向推导，从而得到向左平移3个单位，又向上平移2个单位的，可得到抛物线y=x2+bx+c的解析式．

问题2：现在知道有一个二次函数y=ax2+bx，它的函数图像分别经过两个点，分别是（2，0）和（-1，6）。（1）试求出这个函数的解析式；（2）根据问题条件，作出这个函数的图像，观察图像，当x在什么情况下，y＞0？

分析：由问题条件可以得知，解答需要运用到二次函数与一元二次方程以及一元二次不等式之间关系的知识，根据该问题所揭示的条件关系，采用类比推理的方法，第一小题可以通过列方程组解答，第二小题通过数形结合方法，观察图像得出x的取值情况。

解：（1）由待定系数法不难求出二次函数的解析式为y=2x2-4x。

（2）所做函数图像如图所示，通过观察此函数图像，可以知道y＞0时，曲线在（0,0）和（2,0）以上，因此x的取值范围是x＜0或x＞2。

解题策略：上述问题案例解答过程展示了关于二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间问题解答的一般方法，在解答过程中，应该采用转化类比的思维方法，将函数观点转化为解方程的解和不等式的解集思路进行解答。解题过程中，应注意解方程与解不等式之间的区别和联系，不能混淆，避免出现解题错误。

问题3：已知方程x2+bx-3=0的其中一根是-3，如果y=x2+bx-3图像分别经过三点A（-■，y1）、B（-■，y2）、C（■，y3），则y1、y2、y3三者的大小关系是什么？

分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系。

解答：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，∴y=x2+2x-3，观察该抛物线的开口方向特点，可以发现，该抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，A、B、C三点都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3。

点评：上述问题是关于二次函数图像点的坐标特点，解题的关键是求函数解析式来判定函数值的大小关系。

问题4：东方红玩具厂去年生产毛绒玩具，已知每件玩具的成本价是10元，它的出厂价是每件12元，该厂共销售此种玩具2万件。今年该厂准备提档升级该产品。已知该厂今年每件玩具的成本价要比去年增加0.7x倍，相应的出厂价就要提高0.5x倍，通过市场评估，今年的销售量将比去年增加x倍（0＜x≤11）。（1）用含x的代数式表示今年该厂毛绒玩具的成本和出厂价；（2）试求出今年该厂每一件毛绒玩具的利润函数关系式（用含x的代数式表示y）；（3）如果今年东方红玩具厂毛绒玩具的销售利润是W万元，如果今年年销售利润取得最大值时，则x的值为多少？并求出今年的最大销售利润。

分析：本题是关于二次函数的应用题，该问题解答时应该运用二次函数的最值求法，解题时应类比推导出二次函数的最值解答方法。（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10?0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12?0.5x）元/件；（2）今年毛绒玩具出厂价减去成本价即是该件玩具的利润，即可得到y=（12+6x）-（10+7x）函数关系式；（3）今年的销售量应该是（2+2x）万件，从而得到W=-2（1+x）（x-2），再利用二次函数的最值问题进行求解。

解答：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），∴y=2-x（0＜x＜2）；

（3）∵W=2（1+x）2y=-2（1+x）（2-x）=-2x2+2x+4，∴W=-2（x-0.5）2+4.5∵-2＜0，0＜x≤11，∴W有最大值，∴当x=0.5时，W最大=4.5（万元）

答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元。

小学数学教学中的函数思想的研究 篇6

关键词：小学数学；教学行为；函数思想

本文对目前数学学习过程中的各种教学方式进行整理分析，把激发小学生数学学习兴趣以及提高其思维能力作为主要目标，利用多种方法将函数思想融入实际的教学过程中，从而促进学生思考问题能力的提升。

一、小学数学教学中函数思想的应用意义

利用变与不变、数形结合、对应等思想将相关问题转换为一定的数量关系就是我们所说的函数思想，同时通过揭露数量关系之间的本质，构造出函数，通过对函数的运用，实现了分析、解决问题的目的。之所以说函数思想极为重要，不但是因为其是数学的基本思想，在后续的数学学习中会经常用到，而且其还具备极强的普适性，与生活联系紧密且范围很广。在授课的过程中，书本上的数学概念、定义以及公式等都是有形的，但是函数却是无形的，教师必须帮助学生进行知识渗透，而这也是对教师自身专业水平的挑战。因此，教师必须采取科学合理的方式将基础的数学知识与函数思想融合在一起进行讲解，加深学生对函数思想的理解和认识。

二、小学数学函数思想的具体应用

1.正反比例的应用

小学数学学习的基础函数关系就是正比例和反比例。小学生在了解正反比例之间的关系时，可以将其与路程和时间、工作时间和工作效率、价格和数量等问题相结合进行研究。而教师在进行正反比例教学的过程中，一般都是通过绘制两者之间此消彼长的关系图，引导学生发现和观察两者的变化过程，同时对其进行任意两点数值的取值分析，深入了解正反比例在数学学习中的应用。

2.统计图表的应用

小学数学教学过程中经常用到的统计图表有折线统计图、条形统计图和扇形统计图。直观感受较强是统计图的主要特点，学生通过统计图表的绘制就可以充分了解数量间存在的变化关系。另外，折线统计图和条形统计图相比较而言，整体性强是其主要优势，可以将其以图形的方式表示函数思想。在讲解折线统计图表的过程中，教师穿插讲解函数思想。比如，在绘制气温变化的折线统计图表时，可以通过折线高低数值的不同，表现气温变化的实际情况，从而使学生更加直观地看到不同时间点所对应的气温。

3.对应关系的应用

函数所要表达的主要思想就是变化和对应的关系。在讲授小学数学时，学生自身的理解能力和想象力有限，而数学教材一般都是以抽象的方式进行函数内容的讲解，而学生则通过具体的实物感受到函数之间存在的对应关系。比如，在讲解正方形的四条边相等时，就可以发现其边长和周长存在着一对一的关系；相反，因为长方形的周长受长和宽多种组合形式的影响，存在多对一的关系。

4.计算公式的应用

很多问题的计算是小学生学习数学时不可避免的。比如，在进行几何图形的学习时，经常会进行长方形、三角形、梯形甚至是不规则图形的面积的计算。而所有計算过程中的变量都是通过函数关系表达出来的。如圆周长的计算，将其看作一元函数我们就可以得出C=2R。知道长与宽之间的函数关系，就可以推出面积和周长的计算，而这就是二元函数形成的过程，而我们就可以得出公式：S=a×b，C=2（a+b）。学生利用相关的数学公式进一步明确了函数和因变量之间存在的各种关系，从而建立函数思想。另外，寻找其中的运算规律也有助于问题的解决，而这对于小数数学的学习具有极为重要的作用。

作为基础教育的小学数学，虽然其内容较为简单但是十分的重要，是小学生全面认识数学的重要学科，正是因为小学数学中蕴藏了大量的函数思想，因此教师与学生不能只满足于学习教材的知识，而是应该用长远的眼光去看待问题，使学生可以真正体会到数学的魅力所在，不但有效地减轻了其课业负担，还充分激发了其学习数学的兴趣。

参考文献：

[1]田润垠，胡明.小学数学“数的运算”教学中渗透数学思想方法的实践研究[J].西北成人教育学院学报，2015（4）：93-99.

[2]汤卫红.初步的函数模型：模型思想在教学中的渗透[J].小学数学教育，2015（12）：16-18.

一次函数中的数学思想 篇7

数学知识的学习与掌握必须由听讲、练习、复习等过程巩固, 数学思想方法必须经过反复的练习才能让学生真正领悟。通过反复的练习、逐步完善才能让学生形成利用数学思想方法解决问题的意识, 构建自我数学思想方法解题系统。函数章节作为高中数学教学的重要组成部分, 开展函数教学, 重点培养学生的分析、综合思维方法, 有利于学生依据已知条件, 分析、讨论对知识进行整合, 帮助学生建构整体的数学思维, 提升学生进行自主学习获得的成就感。

解析: 这是一道较为典型的函数例题, 老师根据数学思想的要求传授学生解题的方法, 也可以依据这一道例题对其它相关例题的解题方法进行概括性的讲授, 确保学生遇到这类题目可以快速、准确的找出解题方法。

本例题构造出奇函数g ( x) , 再借助奇函数定义解题非常容易。这道例题也展现出构造的数学思想, 实际解题时, 我们一般会构造一个比较熟悉的模式, 从而将不熟悉的转化为所熟悉的问题进行思考、解答。例如, 学习三角函数时, 经常会运用辅助角公式构造一角一函数已有的模式。由此可知, 构造法有助于学生多方位的思考问题, 对提升学生学习的深度和广度具有重要意义。

二、应用数形结合思想

数形结合作为数学解题中比较常见的思想方法, 运用这种方法可将部分抽象的数学问题转变成可直观的内容, 促使问题求解的问题更加简洁。

解析: 数形结合思想是数学教学的重要思想之一, 主要包括“以形助数、以数辅形”这两方面的内容, 求解几何问题也是研究数形结合的重要手段。同时, 在求解方程解的个数及函数零点问题中也能应用。以形助数和以数辅形可以让繁杂的问题变得更加直观、形象, 提升数学问题的严谨性和规范性。因此, 对部分抽象的函数题目, 数学教师应正确引导学生运用数形结合的思想方法, 使得解题思路峰回路转, 变得清晰、简单。

三、应用分类讨论思想

分类讨论思想就是依据数学对象本质属性的共同点与不通电, 把竖向对象划分成多个种类实施求解的一种数学思想。高中数学函数章节教学中使用分类思想方法, 有利于学生形成缜密、严谨的思维模式, 养成良好的数学品质。解决数学函数问题时, 如果无法从整体角度入手解决问题, 可以从局部层面解决多个子问题, 从而有效解决整体的问题。

分类讨论就是对部分数学问题, 但所给出的对象不能展开统一研究时, 必须依据数学对象本质属性的特点, 把问题对象划分为多个类别, 随之逐类展开谈论和研究, 从而有效解决问题。对高中数学函数进行教学过程中, 经常根据函数性质、定理、公式的限制展开分类讨论, 问题内的变量或包含需要讨论的参数时, 必须实施分类讨论。高中数学教学中, 必须循序渐进的渗透分类思想, 在潜移默化的情况下提升学生数学思维能力和解决问题的能力。

解析: 本例题解法可以根据函数图象, 借助偶函数图象关于y轴对称进行解决, 也可以根据两个变量所处的区间, 展现出分类讨论的思想。对复杂的问题进行分类和整合时, 分类标准与增设的已知条件相等, 完成有效的增设, 把大问题转换成小问题, 优化解题思路, 降低解决问题的难度。

四、结语

总之, 高中数学函数章节是整个数学教育的重要部分, 对其日后学习高等函数发挥着重要作用。高中数学函数知识涵盖多种数学思想方法, 数学思想方法是解决数学问题的钥匙和重要工具, 因此, 数学老师必须对函数实施合理的教学, 让学生更全面的掌握数学教学思想方法, 从而提升学生的综合思维能力。

摘要：在高中数学函数教学中运用数学思想方法, 有助于学生构建完善的知识体系, 提升学生的解决问题的能力。根据高中数学教学例题, 分析高中数学函数教学过程中渗透分类讨论、化归、数形结合等思想, 不断提升学生的数学思维能力, 为日后学习复杂的知识奠定良好的基础。

关键词：数学函数,数学思想,渗透

参考文献

[1]李玉萍.高中数学“函数”章节教材分析和教学研究[D].西北师范大学, 2005.

一次函数中的数学思想 篇8

关键词：数学思想方法,高中数学,函数教学

函数是高中数学的重点教学内容, 也是学生重点掌握知识, 函数知识具有独特的整体性与逻辑性. 再加上函数知识在生活中常常遇到, 函数知识能够帮助学生解决生活中遇到的问题, 从而有效显示数学知识的价值. 因此, 作为数学重要知识的函数, 在教学过程中教师应该注重培养学生数学思想, 有利于学生运用数学知识有效解决函数问题.

一、渗透举一反三的数学思想方法

在学习高中数学的时候, 有效的解题方法是培养学生数学思想方法的基础, 因此在学习高中函数的过程中就可以采用举一反三的方式培养学生解题的思路, 针对一些典型的数学例题进行重复练习, 增强学生对这类型题目理解和掌握程度!

在高中数学学习过程中, 科学合理的解题方法是培养学生数学思想的基础, 所以在高中函数教学过程中可以渗透举一反三的数学思想, 重复练习一些典型的数学立体, 提高学生对这一类型函数题目的理解与掌握. 例如, 在讲解“求y = x2+ 4x - 2 同横坐标存在几个交叉点”时, 老师讲解完这一类型题目的知识点后, 便基于这一知识点设计一系列有关问题, 例如, “求y = x2+ 4x - 2 与x = 4 的交点”和“求y = x2+ 4x - 2 与横坐标存在几个交点”等各种问题, 要求学生根据所学知识进行解答, 从而培养学生举一反三的数学思想.

二、渗透化归数学思想方法

化归数学思想是指把未知的问题转变为已有知识范围内能够解决问题的一种数学思想方法, 这一思想方法能够把陌生、抽象、复杂的问题转变为熟悉、具体、简单的问题.化归思想方法是高中数学函数教学和学习的主要方法, 其应用于整个函数学习过程中, 引导学生合理转化问题, 剖析出已知条件同结题目标之间的关联. 渗透化归数学思想, 有助于培养学生抽象思维、创造性思维、发散思维与想象思维, 从而提高学生分析与解决问题的能力.

三、渗透数形结合数学思想方法

数形结合是数学中常见的思想方法之一. 其能够采用直观的方法将抽象的数量关系在空间或平面上表现出来, 能够巧妙地将抽象思维和形象思维集合起来处理各种数学问题的解题方式. 伟大数学家华罗庚曾讲到“数缺形时少直观, 形少数时难入微, 数形结合百般好, 割裂分家万事休. ”如果只是凭借数量关系难以着手解决问题, 如果把数量关系转变为相对应的图形, 同时利用其图形规律性来进行确定, 借助直观易懂的图形来秒回出数量之间的关系, 能够将复杂难懂的函数问题转变为简单、容易的图形问题进行解决. 因此, 对于一些抽象的函数题, 教师在讲解过程中应该引导学生采用数形结合的思想方法, 轻松解答出答案. 例如, 求y = ( cosθ - cosα + 3) 2+ ( sinθ - sinα - 2) 2的最值 ( θ, α∈R) , 能够利用距离函数模型来解答该题.

四、渗透分类讨论数学思想方法

分类讨论数学思想是一种“化整为零为整”的方法. 在解决和分析数学问题时, 研究对象难以进行统一研究的情况下便可以按照数学对象的本质属性的不同之处, 把问题对象划分为不同的类别, 然后再一一进行研究讨论, 从而最终有效解决整个数学问题.

在高中数学函数教学过程中, 常常会进行函数相关性质、定理、公式等相关分类讨论, 这些问题中均存在各种变量或需要讨论的参数, 这便要求我们进行分类讨论. 在教学过程中有计划、有目的地渗透分类思想, 在潜移默化中增强学生数学思维能力.

一次函数中的数学思想 篇9

一、“消元”思想

消元思想是解方程组的基本思想,其实质就是由构成方程组的多个方程经过变形、代换、加减运算等,最终得到一个一元一次方程,解出一个未知数,再逐渐解出其他未知数,从而得到方程组的解. 深刻领会这一思想是灵活、简捷地解方程组的关键.

例1求下列两个二元一次方程组的解.

根据方程组中y的系数互为相反数,用加减消元法求解即可.

1+2得,4x=12,消去了未知数y,解得x=3.

把x=3代入1得3+2y=1,解得y=-1.

∴方程组的解是

方程2中x恰好用y的代数式表示,

所以可将x=2y+1代入到方程1中,

得到2y+1+y=34,从而消去了x,解得y=11.

把y=11代入2得,x=23,

∴方程组的解是

【感悟】本题考查的是二元一次方程组的解法. 当方程组中一个未知数的系数较小且可以由另一个未知数的整系数代数式表示出来时,通常用代入消元法解比较简便;当某个未知数的系数相等或互为相反数时,用加减消元法解较简单.

二、“转化”思想

转化思想,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达到解决问题的目的的一种方法. 一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题;将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 在解二元一次方程组中就渗透着这一类重要的思想方法.

例2已知

则x ∶ y ∶ z=______.

【解析】此方程组中含有三个未知数,只有两个方程,是一个不定方程组,要直接解出三个未知数的值,无法实现. 我们可以化“未知”为“已知”,把它转化成关于x、y的二元一次方程组,将字母z看作“已知数”来解决该问题.

【感悟】本题借助了转化的数学思想,采取化未知为已知,化三元为二元,化复杂为简单等一系列转化方法,从而很简捷地解决问题. 由此我们可以发现,转化是一种重要的思想方法,能把生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗,是我们学习和生活中都要经常使用的思想方法.

化归思想在高中函数数学中的应用 篇10

化归思想是一种有效地解题策略,将化归思想应用在高中数学教学中,能让学生更加轻松、简单的解决高中数学问题,可以说化归思想对高中数学教学有十分重要的意义函数是高中数学的重要组成部分,化归思想的应用能有效地提高学生解决函数问题的能力,下面就化归思想在高中函数教学中的应用进行分析.

一、化归思想的相关概述

化归思想是指在解决一些未知的问题时,将想要解决的问题转换为已经掌握的知识,从而得出问题的解. 化归思想的最大优点是能实现问题的模式化和规范化,将未知的问题转化成已知的问题进行处理,在对问题进行划归时,需要转换问题的条件,将其改变成有利于问题解决的形式,从而简化问题,这种问题条件的转化是化归的途径,而化归的目的是归一.

化归思想具有复杂性和多向性,只有对问题的条件进行合理的转化,才能有效地解决问题. 这里的问题条件转化,可以是对题目中的条件进行转化,也可以是对问题的结论进行转化,同时也能对问题内部的结构形式进行转化,这就是化归思想多向性的特点. 将化归思想应用在高中数学函数教学中,能综合运用各种数学方法和解题技巧解决函数问题,能极大的提高学生的解题能力.

学生在进行函数学习时,如果想要解决A问题,可以运用化归思想将问题A转化为问题B,而问题B属于学生当前掌握的知识,这样学生就能很轻松的解决问题B,然后学生能根据问题B的答案来解决问题A. 整个解题过程虽然比较复杂,但是每一个解题步骤都在学生的掌控范围,从整体上看,这能极大的提高学生的解题效率.

二、化归思想在高中函数教学中的应用

1. 将未知的问题转化为已知的问题

高中数学教师在进行函数教学时,有很多知识是学生没有掌握的,在这种情况下,教师可以应用化归思想,在未知的知识和已知的知识之间建立联系,然后让学生利用已知的知识去解决问题,这样就能快速的解决函数问题. 例如教师在讲解三角函数的最值求解时,可以利用化归思想,将三角函数转换为学生熟悉的二次函数,这样就能解决三角函数的问题.

2. 正面问题与反面问题的化归

对于高中函数,有很多问题很难从正面进行解决,但能根据问题的条件,从问题的反面进行思考,这种正反面化归的思想在高中 函数教学 中也会经 常用到. 例如在函 数f( x) = 4x2- ax + 1中,如果函数在( 0,1) 之间至少有一个零点,那么a的范围是多少? 对于这个问题,如果根据题目条件求解a值会很麻烦,这时可以从问题的反面进行思考,也就是该函数在( 0,1) 之间没有零点,然后根据这个条件求出没有零点的a范围,最后在求出所得a范围的相反值,就能得出本函数的答案.

假设该函数在( 0,1) 中没有零点,然后也就是函数f( x) =0在( 0,1) 中没有实数根,也就是a≠4x +1/x,由于x∈( 0,1) ,4x +1/x≥2 = 4,则4x +1/x∈[4,+ ∞ ) ,所以当a < 4时,a≠4x +1/x不正确,因此,在本题目中,函数f( x) = 4x2- ax + 1在( 0,1) 之间至少有一个零点,a的取值范围为[4,+ ∞ ) .

3. 函数与图形的化归转换

对于一些函数,可以通过图形将题目变得可视化,从而帮助学生解决函数问题,在高中函数教学中,函数与图形的化归转换应用十分广泛.

例如: 在求解函 数,这时就可以将这个式子当成抛物线上点P( x,x2) 到点A和点B的距离差,如图所示:

由于点A的坐标为( 3,2) ,点B的坐标为( 0,1) ,而PA - PB≤AB,只有P点在AB的延伸线P0处,才能得出函数的最大值| AB| ,此时,对于这类题型,教师可以引导学生采用化归思想,将函数问题转换为图形问题,这样通过绘制图形,能让学生直观的解决函数.

在高中函数教学过程中,教师还可以应用常量与变量的化归、特殊与一般的化归、相等与不等的化归等方式,这些化归思想的应用,能有效地提高学生的学习能力,帮助学生深入理解函数知识,同时还能培养学生的数学思维,有利于学生的全面发展,因此,高中数学教师在进行函数教学时,要特别注重化归思想的应用,从而有效地提高高中函数教学质量.

三、总 结

一次函数中的数学思想 篇11

【关键词】数形结合 高中数学 函数教学

1数形结合思想在高中数学函数教学中的作用

1.1将数形结合思想应用与函数教学能够提升学生对于知识的理解掌握

函数的特征是具体参数在一定的对应关系下随着另一个参数的变化而产生变化，而这种变化如果基于相关的数字符号进行理解则相对抽象，高中生往往不能准确把握各类函数的要点。将数形结合思想应用于高中函数教学能够将抽象的数字符号转化为具体的图像，通过对于图像的讲解与阐述能够更为有效的进行知识点教学。另一方面，高中生往往不能很准确的掌握记忆高中阶段基本函数的变化规律，在实际应用中往往出现偏差，而采用数形结合思想展开教学后，学生对于这部分知识的记忆更加形象化，能够通过图像的联想调动起函数对应关系，从事实现有效的转化与解答。

1.2将数形结合思想应用与函数教学能够提升问题解答的速度和效率

高中阶段函数部分的题目，在解答过程中仅仅根据对应关系和参数特征进行处理往往较慢，尤其对于部分填空或判断性质的题目，完成整个参数代入求解过程将占用大量时间。将数形结合思想应用与函数解题教学，能够将具体题目中包含的函数直观的转化为图像，学生针对图像进行分析，往往能够直接获得答案。这种由抽象到具象、由数字向图像的转化方式，大大提升了函数题目的解题效率。

1.3将数形结合思想应用与函数教学能够培养学生的数学思维水平

数形结合思想是综合了多种数学思维的问题分析研究方法，在高中函数教学过程中应用数形结合思想，能够帮助学生树立转化意识，在面对数学问题时能够将相对复杂抽象的问题转化为易于理解的形式，从而有效提取信息，展开学习或解答。对于同类型函数，在图像上存在一定的相似性，学生在掌握了某一特定函数的特征与应用方法后，能够通过类比的形式将其拓展到陌生函数知识的学习中，在一定程度上提升了学生的发散性思维能力。

2数形结合思想在高中数学教学中的应用分析

2.1在集合相关知识点教学中运用数形结合思想

集合知识点教学是高中数学科目教学的第一堂课，也是形成高中数学知识和方法体系的基础。集合的内涵是在一定约束条件下一个同类型元素的整体，这体现的是一种对应关系，与函数的内涵相契合。教学实践表明，在集合教学过程中，很多刚刚步入高中阶段的学生面对这一抽象知识点往往表现除了理解困难或学习心态上的畏惧。应用数形结合思想进行集合教学，能够在基础上帮助学生更好的理解集合概念，同时拓展到对应关系层面上，进行函数概念的深化阐述。这样学生在进行集合知识的学习时，便能够将抽象的集合数据和具象的图形结合起来，各元素之间的关系一目了然。不会再出现面对集合知识无从理解，面对集合问题无从下手的问题。

3.在函数相关知识点教学中运用数形结合思想

函数题目在数学科目中所占的比重较大，是影响学生高考成绩的关键内容。应用数形结合思想进行函数相关知识点教学，能够帮助学生更好的获取题目中的关键信息，准确把握对应关系、定义域、值域等要点，找准切入角度顺利高效解答。函数知识点的教学效果贯穿于整个高中数学阶段，对于其他部分知识也有着一定的影响。学生掌握函数知识点的数形结合思想后，能够将其有效应用与多种题目的解答过程中，提升学习兴趣和自信心，对于部分数学学困生，这种提升效果是十分明显的。此外，在解决函数的相关问题时也可以充分发挥数形结合思想的优势，提高解题效率。比如，在求某一式子在某一取值范围内的最值时，就可以先将该代数式转换成一个函数式，将其图像画出来，然后标出取值范围，在该区域中的最大值和最小值就一目了然了。

4.在方程解答相关知识点教学中运用数形结合思想

方程式的解答是高中数学教学中的又一大重点和难点。在高中数学中，方程大多是要求求未知数的一个取值范围，这样相对于初中的方程式来说，难度又上了一个台阶。在高中方程式的解答过程中仍然适用数形结合思想。比如，求Sin2x =Sinx在区间（0，2）中有几个解，这时老师就可以引导学生将这个方程式变为两个函数式，然后要求它的解有几个，只要在坐标中将两个函数式画出来，然后找到在取值范围内的交点个数就可以了。这样就把复杂计算的题目变得简单化了。

5.结语

综上所述，作为高中数学学习的基础性思维，数形结合思想的应用能够帮助学生更好的理解函数变化规律，掌握函数应用的具体方法，将函数转化为图形进行数学问题的分析，从而找准问题关键点准确解答。高中数学教师应对数形结合思想进行深入的研究分析，在数形结合思想的阐述和讲解上下功夫，在学生头脑中树立明确的数形结合意识，使学生在面对陌生问题时能够更多的从图形的角度展开分析研究，更为便捷准确的完成学习任务。

【参考文献】

[1]刘桂玲.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].中国校外教育，2015，13：106.

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[3]温洪.高中数学中的数形结合思想——高中数学数形结合思想教学分析[J].新课程学习（中），2014，11：65.

一次函数中的数学思想 篇12

1.正反比例

正比例与反比例在小学数学中是常常见到的, 同时其也是最基础的函数关系, 正比例与反比例是渗透函数思想的重要部分。 在苏教版小学数学中, 学生能够了解这两种相关联的量和成正比例量的含义, 这两种相关联的量有总价、数量和单价;路程、时间和速度;工作总量、工作时间和工作效率等。 而后在绘制图像时可以让学生充分感受到正比例关系中两种量的变化是有持续性的, 两个量可以取图形上任意对应的数值。同时, 学生可通过正反比例的关系, 在有坐标系的方格图上进行画图, 通过一个量的值估算出另外一个量的值。

2.计算公式

从小学三年级开始, 就要求学生会一些正方形 (体) 、长方形 (体) 、圆 (圆柱) 等面积与体积的计算公式, 这些计算公式是运用解析式表示各变量之间的函数关系。 如圆的周长与半径的一元函数C=2R; 长方形的面积和周长是长与宽的二元函数, 如S=a × b , C=2 (a+b) ;长方体的表面积和周长是长宽高的多元函数, 如S= (a×b+a×h+b×h) ×2, V=abh等。 这些计算公式给学生带来多元函数与因变量关系的感受。

3.统计图表

统计图有折线与条形统计图。 通过统计图可以展现出数量变化的方向;表示数字的变化趋势, 常使用折线统计图, 其可以让数字的变化显得直观与全面。 因此折线统计图可作为函数表达式。 苏教版四年级数学教学中, 气温变化可用通过折线统计图表示, 通过折线下降的倾斜程度反映气温的变化程度, 让学生对气温变化观察全面。 滴水量与时间的关系通过折线统计图表示, 可以观察到滴水量的变化随着时间的变化而变化, 还可以扩展问题:比如1小时可以浪费多少水?滴水量和时间的关系是什么?同时可以对学生进行节约用水的教育, 可见涉及的范围较广。

4.用字母表示数

函数解析式常常以字母表示, 利用字母体现数的变化关系与规律, 所以用字母表示数很好地体现了函数思想。 如:苏教版五年级教材第99页例1通过用小棒摆三角形的直观操作, 先让学生用乘法算式分别表示摆2个、3个、4个三角形所用的小棒的根数, 再通过对题中数量关系及所列乘法算式共同特点的分析和比较, 引导学生用字母a表示三角形的个数, 并尝试用乘法算式表示摆a个三角形所用小棒的根数, 从而体会到a×3既表示摆a个三角形所用的小棒根数, 又表示所用的小棒的根数与摆出的三角形个数之间的函数关系, 从而感受用字母表示数的特点。

5.运算规律

在小学数学教学中, 运算也是教学中的一部分。 在运算中也有着许多函数思想。 在苏教版小学数学里, 利用运算使学生认识加法、减法、乘法口诀中的规律。 高年级通过小数加减、乘除运算让学生学会自主探究。

6.对应关系

函数的思想中, 有着变化和对应的关系。 在苏教版小学数学课本里, 用事物与模型进行教学, 可以使知识更直观, 并让学生明白其的对应关系。 例如正方形, 其边与周长属于一对一的关系, 在长方形中, 其的周长、长和宽属于多对一的关系, 在统计图里, 数据对统计图上的点, 都是非常抽象的, 而这些抽象关系, 都是数学里所体现出来的函数思想。

7.图形 (数) 的排列规律

在新课程数学的数与代数中, 探索规律是其核心内容, 而发现规律也是一个模式, 因此, 可以培养学生的模式化思想。在苏教版小学数学课本里, 这些规律有着各式各样的变化模式, 例如:利用图形的周期性排列、颜色变化规律、边数变化, 相邻数的规律等。 能够让学生体会到数列与排列的规律。 这些规律可以让学生用语言表达再用字母表示。

通过实践, 笔者发现在苏教版小学数学教材中渗透函数思想的素材众多, 关键需要教师精选一些具有价值的问题进行探索, 将看不到的知识进行挖掘, 充分展现出来, 善于发现函数的利用价值, 将数学知识充分渗透到函数思想中。 从而让学生真正掌握函数的基础知识。

在苏教版小学数学, 有“变化”地方都蕴藏着函数思想, 它不仅让学生获得知识, 还使学生的思维得到活跃。 在函数中, 其他表达方式非常多, 由于其变量概念非常抽象, 还有一定的逻辑性, 这也会加大学生学习数学的难度, 因此学习函数思想可以提高学生的理解能力, 让学生更好地掌握数学知识。 有相关的研究发现, 其实在小学低年级进行函数思想渗透, 是非常可行的。 由于小学阶段学生发展的特点, 其辩证逻辑能力不强, 对函数的变化与联系似懂非懂。 这时, 教师应对教材深入分析, 通过掌握学生个体差异的情况, 进行知识链接, 通过渗透函数思想, 从而让学生充分理解函数思想。

为了让函数思想渗透得到落实, 不是一两节课就能达到的, 函数渗透是通过循序渐进、潜移默化的方法进行的, 是在长期的学习中理解的一个过程, 通过长时间学习, 从而提高学生的理解能力与思维能力, 更好地掌握数学知识。 而在这个过程中, 也是教师自我提升的一次机会, 加强函数思想的认识, 才能更好地在教学中渗透函数思想, 让小学数学与初中数学更好地衔接。

参考文献

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[2]张丽芳.小学数学教学中函数思想的渗透[J].北京教育学院学报 (自然科学版) , 2011, 03:52-57.

[3]种洋洋.函数思想在小学数学教学中的渗透[J].赤子 (中旬) , 2014, 03:323-324.