图形问题中的数学思想（共6篇）
图形问题中的数学思想 篇1
仔细分析《平面图形的认识(一)》这章内容,可以发现:对线段和角这两个最基本的平面图形的研究贯穿课本始终. 同学们在小学就接触过有关线段和角的问题,可你们知道吗?小小的图形问题里面蕴含着丰富的数学思想方法. 下面通过举例予以说明.
一、建模思想
例1甲、乙、丙、丁、戊、己六个足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出甲、乙、丙、丁、戊五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球,则还没有与乙队比赛的球队是().
A. 丙队B. 丁队
C. 戊队D. 己队
【解析】本题用算术或代数方法解,易陷入困境.用A、B、C、D、E、F六个点分别表示甲、乙、丙、丁、戊、己这六个足球队,若两队已经赛过一场,就在相应的两个点之间连一条线,将实际问题抽象成画线段这一数学模型,这样用图来辅助解题,形象而直观. 如图1所示,故选C.图 1
二、方程思想
例2已知线段AC∶AB∶BC=3∶5∶7,且AC+AB=16 cm,求线段BC的长.
【解析】方程思想是借助方程来求出未知量的一种重要策略. 在本题中,可设AC=3x cm,则AB=5x cm,BC=7x cm. 因为AC+AB=16 cm,所以3x+5x=16 cm,解得x=2,因此BC=7x=14 cm.
例3如图2,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=19°,求∠AOB的度数.图 2
【解析】方程思想是我们求解有关图形中线段和角的大小的重要方法. 在本题中,可设∠AOC=x,则3∠BOC=2x,∠AOD=∠BOD=3/2x,由∠AOD-23∠AOC=∠COD可知3/2x-x=19,解得x=38,2因此∠AOB=3∠AOC=114°.
三、分类思想
例4已知一条直线上有A、B、C三点,线段AB的中点为P,AB=10,线段BC的中点为Q,BC=6,则线段PQ长为 ______.
【解析】很多同学对“一条直线上有A、B、C三点”误解为“一条直线上顺次有A、B、··C三点”,造成答案的单一性. 事实上因未给出图形,故应考虑C点位置的多种可能进行分类解决. 本题分为两类(如图3、图4所示),不难求得PQ长为8或2.
C三点”,造成答案的单一性. 事实上因未给出图形,故应考虑C点位置的多种可能进行分类解决. 本题分为两类(如图3、图4所示),不难求得PQ长为8或2.
例5如图5,已知O是直线AB上一点,把直角三角板的直角顶点放在点O处,此时三角板可绕着点O旋转,请观察在运动过程中,∠AOC和∠BOD始终保持什么关系?为什么?图 5
【解析】显然,当三角板绕着点O旋转时,∠AOC和∠BOD的大小可以是锐角、直角和钝角,同学们如果没有意识到这一点,以为就图5这一种情形,就会造成答案的不完整. 实际上,除了图5外,图6、图7也是客观存在的,因此,当研究问题包含各种可能情况不能一概而论时,就要根据可能出现的各种情况进行分类讨论. 本题分如下三种情况讨论:(1)如图5,∠AOC和∠BOD互余 . 因为∠AOC + ∠BOD +∠COD=180°,而∠COD=90°,故∠AOC和∠BOD互余.
(2)如图6,∠BOD-∠AOC=90°. 因为一方面∠AOD=180°-∠BOD,而另一方面∠AOD=90°-∠AOC,所以180°-∠BOD=90°-∠AOC,整理得∠BOD-∠AOC=90°.
(3)如图7,类似于(2)的方法,可得∠AOC-∠BOD=90°.
四、数形结合思想
例6已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA=3AB.
(1)线段CB是线段AB的几倍?
(2)线段AC是线段CB的几分之几?
【解析】本题的呈现方式是图形式,而设问内容却是一个数量问题. 如果同学们不画出图形就不容易发现其数量关系,而一旦将画图视为自觉行为,其数量关系就会一目了然. 这正是数形结合思想的具体体现.
参考答案:(1)4倍;(2)3/4.
以上介绍了4种常见的数学思想方法,数学思想方法还有很多,限于篇幅,这里不再一一赘述,但需要提醒同学们的是,数学思想方法不是靠老师灌输的,而是由自己不断反思、体悟出来的,脱离了问题来谈数学思想方法是毫无意义的. 另外,各种思想方法并不是相互孤立地发挥作用,有时需要多种思想方法共同起作用才能解决问题.
同学们,数学思想方法是数学的精髓,只有掌握了数学思想方法,解题才能得心应手,效率才会事半功倍. 希望同学们在平时的学习中多反思、多总结、多提炼数学思想方法,不断增强自己可持续发展的实力.
图形问题中的数学思想 篇2
一、 分类思想
分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法.
例1 将图1所示的几何体进行分类，并说明理由.
【分析】 几何体的分类不是唯一的，我们首先观察各个几何体，努力发现其共同点，然后可根据其共同点进行适当的分类. 若按柱体、锥体、球体分：①③④⑤是柱体；②⑦⑧为锥体；⑥是球体. 若按几何体表面有无曲面分：①②④⑤⑧都是平面围成的几何体；③⑥⑦都是带曲面的几何体；若按有没有顶点分：①②④⑤⑦⑧都是有顶点的几何体；③⑥是无顶点的几何体.
【点评】 分类的原则是“不重不漏”. “不重”也就是说同一个几何体不能隶属于统一分类标准下并列的两个种类，“不漏”就是说题中所列举的所有图形都要能属于某个种类.
二、 转化思想
所谓“转化”就是将要解决的问题归结为另一个较易问题或已经解决的问题. 常见的转化有：未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面转化，多元向一元转化等，都是转化思想的体现.
例2 已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上. 一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点P时所爬过的最短路线的痕迹如图2所示. 若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）.
【分析】 蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误；又因为蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合.
【点评】 解决路线最短问题，应转化为“在同一平面内，两点之间线段最短”，也就是将原来的曲面或多面体表面展开成一个平面，然后连接需求最短路线的两点.
三、 数形结合思想
数形结合思想是一种通过数的抽象严谨、形的直观表意之间的相互转化来研究和解决问题的数学思想.
例3 在一个正方形的纸板内有若干个点（称为内点），用这些内点和正方形的4个顶点为三角形的顶点，能画出多少个不重叠的三角形？如图3中分别画出了正方形内有一个内点、两个内点、三个内点的情形.
（1） 根据上图，完成下表.
（2） 正方形内有100个内点，能画出多少个不重叠的三角形？
【分析】 （1） 有1个点时，内部分割成4个三角形；有2个点时，内部分割成4+2=6（个）三角形；那么有3个点时，内部分割成4+2×2=8（个）三角形；有4个点时，内部分割成4+2×3=10（个）三角形；有n个点时，内部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）（个）三角形；（2） 求出n=100时，2n+2的值即可解答问题.
【点评】 解决此类探究性问题，一方面观察图形，根据图形的形成过程探究规律，另一方面分析已知数据，根据数量特征探究规律，将数与形有效结合起来，寻找它们之间的联系，从而解决问题.
四、 类比归纳思想
归纳也叫做归纳推理，是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物判断的一种推理. 类比就是相似，换言之，类比就是类似比较.
例4 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1） 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
（2） 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______.
（3） 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
【分析】 第（1）题只要数一数即可；第（2）题利用表格中的数据类比归纳得出E=V+F-2；第（3）题要注意每个顶点引出3条棱，但每条棱都计算了两次，所以棱数实际只有36条.然后根据前面关系式求出面数即可.
【点评】 在“走进图形世界”这一章中，用类比归纳的思想去研究图形中的数量关系的问题有很多，希望同学们能仔细品味，领悟其真谛！
图形问题中的数学思想 篇3
一、分类思想
分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点, 然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法.
例1将图1所示的几何体进行分类, 并说明理由.
【分析】几何体的分类不是唯一的, 我们首先观察各个几何体, 努力发现其共同点, 然后可根据其共同点进行适当的分类.若按柱体、锥体、球体分: (1) (3) (4) (5) 是柱体; (2) (7) (8) 为锥体; (6) 是球体.若按几何体表面有无曲面分: (1) (2) (4) (5) (8) 都是平面围成的几何体; (3) (6) (7) 都是带曲面的几何体;若按有没有顶点分: (1) (2) (4) (5) (7) (8) 都是有顶点的几何体; (3) (6) 是无顶点的几何体.
【点评】分类的原则是“不重不漏”.“不重”也就是说同一个几何体不能隶属于统一分类标准下并列的两个种类, “不漏”就是说题中所列举的所有图形都要能属于某个种类.
二、转化思想
所谓“转化”就是将要解决的问题归结为另一个较易问题或已经解决的问题.常见的转化有:未知向已知转化, 复杂问题向简单问题转化, 空间向平面转化, 多元向一元转化等, 都是转化思想的体现.
例2已知O为圆锥的顶点, M为圆锥底面上一点, 点P在OM上一只蜗牛从P点出发, 绕圆锥侧面爬行, 回到点P时所爬过的最短路线的痕迹如图2所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开, 所得侧面展开图是 () .
【分析】蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段, 因此选项A和B错误;又因为蜗牛从点P出发, 绕圆锥侧面爬行后, 又回到起始点P处, 那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后, 位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点 (P′) 重合, 而选项C还原后两个点不能够重合.
【点评】解决路线最短问题, 应转化为“在同一平面内, 两点之间线段最短”, 也就是将原来的曲面或多面体表面展开成一个平面, 然后连接需求最短路线的两点.
三、数形结合思想
数形结合思想是一种通过数的抽象严谨、形的直观表意之间的相互转化来研究和解决问题的数学思想.
例3在一个正方形的纸板内有若干个点 (称为内点) , 用这些内点和正方形的4个顶点为三角形的顶点, 能画出多少个不重叠的三角形?如图3中分别画出了正方形内有一个内点、两个内点、三个内点的情形.
(1) 根据上图, 完成下表.
(2) 正方形内有100个内点, 能画出多少个不重叠的三角形?
【分析】 (1) 有1个点时, 内部分割成4个三角形;有2个点时, 内部分割成4+2=6 (个) 三角形;那么有3个点时, 内部分割成4+2×2=8 (个) 三角形;有4个点时, 内部分割成4+2×3=10 (个) 三角形;有n个点时, 内部分割成4+2× (n-1) = (2n+2) (个) 三角形; (2) 求出n=100时, 2n+2的值即可解答问题.
【点评】解决此类探究性问题, 一方面观察图形, 根据图形的形成过程探究规律, 另一方面分析已知数据, 根据数量特征探究规律, 将数与形有效结合起来, 寻找它们之间的联系, 从而解决问题.
四、类比归纳思想
归纳也叫做归纳推理, 是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物判断的一种推理.类比就是相似, 换言之, 类比就是类似比较.
例418世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 (V) 、面数 (F) 、棱数 (E) 之间存在的一个有趣的关系式, 被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型, 解答下列问题:
(1) 根据上面多面体模型, 完成表格中的空格:
(2) 你发现顶点数 (V) 、面数 (F) 、棱数 (E) 之间存在的关系式是______.
(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体, 它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成, 且有24个顶点, 每个顶点处都有3条棱, 设该多面体外表三角形的个数为x个, 八边形的个数为y个, 求x+y的值.
【分析】第 (1) 题只要数一数即可;第 (2) 题利用表格中的数据类比归纳得出E=V+F-2;第 (3) 题要注意每个顶点引出3条棱, 但每条棱都计算了两次, 所以棱数实际只有36条.然后根据前面关系式求出面数即可.
图形问题中的数学思想 篇4
【关键词】高中数学 数列问题 数学思想
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0161-01
数学思想贯穿于整个高中数学课本所有知识点中，应用内隐的方式使其融合在数学知识体系中。因此想要让学生能够自如的应用这种思想将数学问题有效解决，这就需要高中数学教师必须将所有知识中蕴含的数学思想进行表层化处理，只有这样学生才能体会到隐藏于数学中的数学思想，进而提高数学学习成绩。笔者以数列问题为例，探究了内隐在数列问题当中的一些数学思想，具体分析如下：
一、内隐在数列问题中的函数思想
一般情况下，我们可以把数学教学内容分成两个层次：第一个层次通常被称作表层知识，其中包括了定理、公式、性质、公理、法则及概念等一系列基本内容。第二个层次一般被称作深层知识，具备包括思想与方法。实际上表层知识可谓是深层知识的主要基础，并且其有着良好的操作性，而高中学生只有在学习教材过程中，理解并掌握了众多表层知识以后，才可以深入的领会及学习深层知识[1]。
其实数列是比较特殊的一种函数，我们可以把数列前n项和公式、通项公式看作是关于n的函数，此外，我们还可以将其看作是一个方程组或方程，尤其是等差数列，这个数列的通项公式其实就是一个一次函数，而它的求和公式则是二次函数，所以，我们可以应用函数思想去解决众多数列问题，一定会获得很好的效果。
二、内隐在数列问题中的方程思想
在数列前n项和公式、通项公式与n，a1，an，sn和d（q）这五个基本量密切相连，知道三个基本量，求解另外两个基本量是较为常见的一种运算方式[2]。所以，我们可以应用方程思想以及方法来解决这类数列问题。
例如：已知{an}是等差数列，其公差是一个整数，解这个数列的前n项和Sn。
此题主要就是对学生掌握的分类讨论思想进行考查，这里分别讨论了公比q等于1和不等于1这两种情况，在实际计算过程中，学生们很容易会忽视q等于1这种较为特殊的情况，数学公式、方法及结论有时较为适用于一般情形中，可是针对那些隐蔽或特殊情况却不一定适用，这就是必须要进行分类讨论的一个重要原因[3]。所以，在解题的过程中，必须重视某些特殊的情况加入深入讨论，以使问题得到真正的解决。
数学思想及方法实际上是数学的灵魂，其并不是极其抽象的一个事物，而是客观存在的一项数学内容，同时也是人们解决数学问题过程中积累的经验，以及归纳总结的解题方法，有着极强的指导性、概括性与应用性。所以在复习数列问题时，一定要在其中渗透一些数学思想及方法，带领学生一同对数学思想所体现出来的价值进行深入的领会，让每一名学生都可以具备一个较为个性的数学思维。这就需要高中数学教师要敢于实践和创新，在日常教学中多渗透数学思想，进而使学生的思维变得更加活跃，让数学素养水平变得更高。
参考文献：
[1]陈飞.高中数学数列试题教学中的解题思路与技巧初探[J].高考，2014（12）：104-104.
[2]帅敏.高考数学新题型特征分析——以数列不等式出题走向为例[J].中学教学参考，2014（23）：52，68.
[3]戴桂良.新课标下高中数学数列问题的探究[J].高中数理化，2015（8）：14-14.
作者简介；
图形问题中的数学思想 篇5
一、转化思想在小学数学“空间与图形”教学中的重要意义
1.提高教学效率和教学质量。
小学数学是数学学习的关键时期, 在教学中采用转化思想十分重要。“空间与图形”这部分内容相比其他内容有更大程度上的抽象性,所以转化思想处处存在,在“空间与图形”的知识结构体系中,利用转化思想能够激发学生的学习兴趣,进而提高教学的整体效率和质量。比如在教学过程中,通过平移法、割补法、旋转等方式将各种新的图形转变成学生已掌握的图形,这样学生就可以通过对已知图形的理解加强新旧图形间的联系,加深对各种图形的认识。
2.将数学知识化难为易 。
从思维方式看, 小学生对于逻辑推理性较强的问题有一定的理解困难,但是通过转化思想,能够将复杂的空间转化成更为直观的图形, 并通过已掌握的数学图形知识帮助理解新的图形特点。从这个角度看,转化思想的教学在提高学生思维能力的同时能加强对学生知识迁移能力的培养。
3.深入理解和掌握数学教学思想和方法 。
转化思想的教学方法已经被广泛应用, 转化思想就是采用一些方法和手段,化抽象为具体,化难为易,化实际问题为数学问题,从而进一步解决问题。在“空间与图形”的学习过程中,转化思想更是无处不在。
二、转化思想在小学数学“空间与图形”的运用策略
1.深入挖掘教材 ,采用合理的教学方法。
小学数学所接触到的“空间与图形”相对比较基础,并且对图形思想也没有做到明确揭示, 所以在小学空间图形教学中,应当深入挖掘数学教材中的相关内容,对空间图形加以探究和分析,教师首先需要将课本内容整合成一个体系,构建知识框架,以便及时充分地把握学习内容。在挖掘出教材中的精髓之后就要有目的地设计教学内容,进而提高教学的整体质量。
“教材”不仅是课本上的内容 ,还应当充分挖掘生活教材 ,将生活之水引入空间图形中。比如在学习一些长方体、正方体、球类等空间图形的时候, 空间图形很难在书本上描述出来,教师就可以通过让学生观察建筑、桌椅、运动中的球类等生活和娱乐设施,运用转化思想将生活中的“图形”引入数学学习中, 通过生动形象的图标或者动态的画面使得学生能够得到更直观的认知。
2.科学转化平面图形和立体图形 。
让学生自主观察各种物体就是将立体图形转化为平面图形的具体体现, 在小学二年级至四年级的数学教材中均有一定体现,教师应当采取逐步渗透、深化和螺旋上升式的教学方式依次呈现给学生。在较高年级的教学过程中,数学教材中才更系统全面地讲解了长方体、正方体、圆柱、圆锥等相对较复杂的立体图形,教师应当采用先空间再平面的方法,将学生逐步引入平面图形和立体图形的转化中。
3.加强练习转化技能 ,充分运用转化思想 。
转化思想的技能也需要长期练习。比如,学习“不规则图形的面积”一部分内容时,在利用数方格计算面积时,学生会遇到一系列问题,这时,教师就应该及时教会学生将不规则的图形转化成规则的图形计算。这种及时转化的过程能够有效促进学生转化思维的培养, 从而让学生彻底理解转化思想在空间图形中的运用。另外,在动手操作的过程中也应当适当加入转化技能,有目的、有意识地采用转化思想,进而使学生更深刻理解转化思想。
但是,教师需要注意的是,转化思想并不是一蹴而就的这需要一个过程,教师需要加强对学生的练习,加强他们的转化技能,才能循序渐进地渗透和领悟转化思想,让学生主动加强知识技能训练,从而不断深化对图形的理解。
三、结语
小学数学 “空间与图 形”的教学 过程中 ,应当充分 利用转化思想, 适当引导学生掌握并领悟数学空间图形学习的精髓,转化思想作为小学数学教学中的一项基本技能,为学生的数学学习夯实了基础。教师在教学中应当充分强调和突出这一思想,将转化思想完美地运用于小学数学“空间与图形”教学中,提高课堂教学质量与教学效率。小学阶段是对学生进行数学启蒙的时期, 在数学教学中适当应用转化思想能够帮助老师达到更好的教学效果。在空间和图像教学中使用转化思想可以提高教学质量, 帮助学生更好地理解教学内容。
摘要：长久以来,由于受到传统教学思想的束缚,小学数学教学过于重视教学技巧和认识结构,严重忽略了转化思想在小学数学中的应用。转化思想是解决数学“空间与图形”学习的重要思维方法,也是分析和解决问题的一个重要基本思想,通过有效的思想转化,能够将“空间与图形”部分问题的难度降低,找到更有效的解题思路。随着新课程改革的深入,转化思想逐渐广泛应用于小学数学教学中,尤其是在“空间与图形”教学中,更是引导学生将复杂的新知识转化为已经学习的内容,所以将转化思想运用到“空间与图形”教学中有重要的现实意义。
图形问题中的数学思想 篇6
关键词：计算机,数学教学,几何画板,平移,重叠,面积
传统教学媒体使用历史悠久, 是无数教育工作者通过开发、实验、积累研究出来的一系列行之有效的工具, 具有简便易行, 经济实惠的特点。讲授数学中的几何图形问题利用传统教学方法, 多数是在黑板 (或小黑板) 上画图讲解, 不仅费时, 图形不准, 课堂密度小, 而且不能很好地体现图形间的变化规律及运动过程。
随着计算机在课堂中的应用越来越多, 一些相应的软件也不断开发出来, 常用的有Powerpoint, Authorware, Flash、方正奥思等, 还有些软件具有图像、文字、声音、动画等功能, 这些都对教学起到了良好的辅助作用。但并不是什么学科、什么内容都适合用这些软件的。本人从多年教学实践经验看, 觉得“几何画板”软件更适合数学中的图形教学, 此软件功能齐全, 使用方便, 画图准确、直观。下面通过几个数学实例, 浅谈利用计算机及“几何画板”软件解决数学综合题中的图形平移运动问题以及求重叠部分图形面积等问题。
例1:如图1, 直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B两点, 点M是线段AB上任意一点 (A、B两点除外) , 过M分别作MC⊥OA于C, MD⊥OB于D。
(1) 当点M在AB上运动时, 你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由;
(2) 当点M运动到什么位置时, 四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?
(3) 当四边形OCMD为正方形时, 将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动, 设平移的距离为a (0<a<4) , 正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S。试求S与a的函数关系式。
在讲此题的第 (1) 问时, 先让学生讨论, 有的学生说周长会变化, 有的说不会变化。为了验证四边形OCMD的周长是否会发生变化?我用“几何画板”软件在电脑上画了个图, 然后用鼠标拖动点M在AB上运动, 同时电脑显示四边形OCMD周长的度量结果, 发现:不管M点怎样移动, 周长的值恒等于8不变 (如图2、如图3、如图4) 。这时, 同学们的意见统一了, 周长是不变的。接下来再讨论怎么证明。
在做此题第 (3) 问时, 学生出现了以下几种情况:图形没画对, 做不出;图形不规范, 影响分析;图形规范、准确, 但只考虑了一种情况, 画了一个图, 求出一个解析式;少数同学画了两个图, 求出两个解析式。
我在总结讲解此题时, 首先强调一点:当重叠部分的图形的形状、位置发生根本性的变化时, 对应的函数关系式肯定也变了。本着这一原则, 我把图形用“几何画板”软件画在电脑上, 坐标系和直线AB固定, 正方形做成可以来回拖动的, 内部涂上颜色。从起始位置开始, 向右拖动正方形OCMD, 然后让同学们仔细观察重叠部分的图形的形状和位置, 结果发现:刚开始重叠部分的图形是一个五边形O1CQPD (图5) , 当C与A重合时, 重叠部分的图形变成了△O1CD (图6) , 再继续向右拖动正方形OCMD, 重叠部分的三角形变得越来越小 (图7) , 直至消失。因此, 分以下两种情况讨论求解:
例2:如图1, 小明将直角梯形纸片沿虚线剪开, 得到矩形和三角形两张纸片, 测得AB=5, AD=4。在进行如下操作时遇到了下面几个问题, 请你帮助解决。
(1) 将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处, 再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上, 此时EF恰好经过A, 请你求出△ABF的面积。 (图略)
(2) 在 (1) 的条件下, 小明先将三角形的边EG和矩形的边AB重合 (图2) , 然后将△EFG沿直线BC向右平移, 至F点与B点重合时停止。在平移时过程中, 设G点平移的距离为x, 两纸片重叠部分的面积为y, 求在平移的整个过程中, y与x的函数关系式。
此题 (1) 问不特殊, 属于正常的几何计算题。
此题 (2) 问采用了例1的分析讲解方法, 学生很快就画出了图形, 可分两种情况求解:
(1) 当0≤x≤4时, y=S梯形BGEM, 求得y=-x2+5x。 (图10)
(2) 当4<x≤10时, y=S梯形BCNM, 求得y=-2x+24。 (图11)
例3:如图12, 在平面直角坐标系中, 直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上, 且AB∥OC, BC⊥OC, AB=4, BC=6, OC=8。正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上, 且它的面积等于直角梯形ABCO的面积。将正方形ODEF沿x轴的正方向平行移动, 设它与直角梯形ABCO的重叠部分的面积为S。
(1) 分析与计算:求正方形ODEF的边长;
(2) 操作与求解:
(1) 正方形ODEF平行移动的过程中, 通过操作、观察, 可判断S (S>0) 的变化情况是 ()
A.逐渐增大B.逐渐减小C.先增大后减小D.先减小后增大
(2) 当正方形ODEF的顶点O移动到点C时, 求S的值。
(3) 探究与归纳:设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x, 求重叠部分的面积S与x的函数关系式。
此题 (1) 、 (2) 问学生容易接受, 基本上会做。但学生在做 (3) 问时, 情况就不一样了:大约20%的学生没思路, 无从下手, 放弃做;大约50%~60%的学生有大概思路, 但考虑不全面, 图形画的也不规范, 结果不是不完整, 就是不准确;大约20%左右的学生思路清晰, 图形也规范, 有的求出两个解析式, 有的求出三个解析式, 最多的求出四个解析式 (很少几个人) 。
我在总结讲评此题时, 采取上述拖动图形的方法在拖动过程中不但让学生观察重叠部分的图形的形状和位置, 还让学生观察正方形ODEF的边DE与y轴的位置关系, 边OF与直角梯形的直腰BC的位置关系, 最后师生共同认定应该分为五种情况:
(1) 当0≤x<4时, 正方形的边OF在y轴右侧、点A的左侧, 重叠部分面积就是△OO1G的面积。求出函数关系式为:S=3/4x2 (图13) 。
(2) 当4≤x<6时, 正方形的边OF在点A的右侧, 边DE在y轴左侧, 重叠部分的面积就是四边形DO1FA的面积。求出函数关系式为:S=6x-12 (图14) 。
(3) 当6≤x<8时, 正方形的边OF在点A的右侧BC左侧, 边DE在y轴右侧点A左侧, 重叠部分面积就是五边形DO1EAG的面积。求出函数关系式为:S=-3/4x2+15x-39 (图15) 。
(4) 当8≤x<10时, 正方形的边OF在BC的右侧, 边DE在y轴右侧点A左侧, 重叠部分面积就是五边形DCBAG的面积。求出函数关系式为:S=-3/4x2+9x+9 (图16) 。
(5) 当10≤x≤14时, 正方形的边OF在BC的右侧, 边DE在点A右侧BC左侧, 重叠部分面积就是矩形DCBE的面积。求出函数关系式为:S=-6x+84 (图17)
求出四个解析式的同学是把当6≤x<8时和当8≤x<10时 (上面图15、图16) 两种情况合为一种情况了。当电脑演示完以后, 大家都恍然大悟。
传统的数学教学基本上是粉笔加三角板、圆规, 顶多再加上有色粉笔, 讲解生硬、乏味, 学生没兴趣。以上三例如果用传统的教学方法, 由于受教具的限制及缺乏动态的想象力, 学生无从下手和丢解现象不可避免。我个人通过这些年的教学经验, 把“几何画板”软件应用于数学课堂教学, 觉得效果很好, 老师讲课轻松了, 学生听课也有兴趣了, 知识变得容易接受, 且大大提高了课堂效率, 增加了课堂的知识密度。
通过以上三例用电脑软件辅助数学教学, 现在学生做类似题时得心应手了, 思路明确、速度快、准确性全面性都有所提高。计算机确实是教学的好帮手, 而“几何画板”软件更是数学教学的必备教具。
参考文献