数学分类思想刍议

数学分类思想刍议（共12篇）

数学分类思想刍议 篇1

1 数学模型分类

建立数学模型,可能会涉及许多数学分支,一个问题,往往可以利用不同方法建立不同的模型。因此绝对的分类,对于建立数学模型是不利的,但是大致的分类,对初学者,在确立原型所属系统或采用数学工具时,会有一定的帮助。数学模型按不同标准可分为不同的类型:

1.1 按时间变化对模型的影响,可分为时变与时不变模型,静态与动态模型等。

1.2 按变量情况可分为离散型与连续型模型,确定性模型或随机性模型等。

1.3 按实际系统与周围环境相互关系可分为自治的或非自治模型。

1.4 按研究方法和对象的数学特征,可分为优化模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。

1.5 按研究对象的实际领域可分为人口模型、交通模型、生态模型、经济模型、社会模型等。

2 数学建模的步骤

建立数学模型是一种积极的思维活动,从认识论角度看,是一种极为复杂且应变能力很强的心理现象,一般可分为以下几个步骤:

第一步:模型准备。建模的问题可能来自各行各业,而学生都不可能是全才。因此,当刚接触某个问题时,学生可能对其背景知识一无所知,这就需要学生想方设法地去了解问题的实际背景。通过查阅、学习,可能对问题有了一个模糊的印象。再通过进一步的分析,对问题的了解会更明朗化。模型准备跟炒菜前的准备一样,准备得越充分,解决问题就越得心应手。

第二步:模型的假设。现实世界的复杂性和多样性,使得学生不得不根据实际情况扩大思考的范围,再根据实际对象的特性和建模的目的,在分析问题的基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化,并使用精确的语言作出假设。如果假设过于详细,试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为。在假设中,应抓住问题的关键因素,抛弃次要因素。当然,如果假设不合理或过分简单,也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败。必要而合理化的模型假设应遵循两条原则:(1)简化问题;(2)保持模型与实际问题的“贴近度”。

第三步:模型的建立。根据所做的假设,利用适当的数学工具(应用相应的数学知识),建立多个量之间的等式或不等式关系,列出表格,画出图形,或确定其他数学结构。事实上,建模时还有一个原则,即尽可能采用简单的数学工具,以便使更多的人能够了解和使用模型。

第四步:模型的求解。对建立的模型进行数学上的求解,包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等,会用到传统的和近代的数学方法,特别是软件和计算机技术。目前有一些非常优秀的数学软件,如MATLAB、Mathematica、Maple、Lingo等,它将为学生求解数学模型提供方便快捷的手段和方法。

第五步:模型的分析。将求得的模型结果进行数学上的分析。有时根据问题的性质,分析各变量之间的关系和特定状态;有时根据所得的结果给出数学上的预测;有时则给出数学上的最优决策或控制。这一步有时视实际问题的情况也可以合并在下一步。

第六步:模型的检验。把模型分析的结果返回到实际所研究的对象中,如果检验的结果不符合或部分符合实际情况,那么必须回到建模之初,修改、补充假设,重新建模;如果检验结果与实际情况相符,则进行最后的工作———模型的应用。

当在面临新的建模问题时,这几个步骤具有指导意义,应当注意的是,这几个步骤的目的是指导更好地进行建模实践,其应用是可以有弹性的,切勿生搬硬套。也就是说,不是每个建模问题都要经过这六个步骤,其顺序也不是一成不变的。一个具体建模问题要经过那些步骤并没有一定的模式,通常与实际问题的性质、建模的目的等有关。因此,在建模过程中不要局限于形式上的按部就班,重要的是根据所研究对象的特点和建模的目的,去粗取精、去伪存真,不断完善。

摘要：本文按照不同的标准对数学模型进行了分类,并介绍了数学建模的步骤。

关键词：数学模型,数学建模,步骤

参考文献

[1]颜文勇.数学建模[M].高等教育出版社,2011.

[2]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,1993:125-126.

数学分类思想刍议 篇2

[摘 要] 数学思想是中小学数学教学的重要模块，贯穿整个数学知识体系始终.数学思想能够反映人分析和解决数学问题时的意识和思维逻辑，其是从大量复杂的数学信息中总结出的系统化的知识结构和解决问题的策略、关键.中小学数学教育重点要求学生掌握的数学思想包括数形结合思想、化归思想、函数思想以及分类讨论思想等.本文针对分类讨论思想进行论述.[关键词] 分类讨论；价值；误区；应用

分类讨论思想始于《九章算术》中对“盈亏问题”的探讨，该思想常常被运用于解决开放型数学问题，即解决思路不唯一的问题时，学生需根据问题所给的具体条件对问题中可能出现的所有情况逐一分析，再根据所学知识和逻辑思维判断，将问题条件划分为多个更加单一的细化条件，将大问题转化为多个小问题后逐一解决，最后进行综合分析，得出一个或多个答案.但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区.下面，笔者将以数学思想中的分类讨论思想为例，从其教学价值、教学误区以及教学应用三方面来谈一谈初中数学思想的高效教学策略.分类讨论思想的教学价值

1.形成分类思考意识，掌握信息分类方法

随着信息时代的快速发展，人们每天主动或被动接受的信息量与日俱增，想要不被杂乱的信息所困扰，就需自身具备对信息进行分类处理的能力.分类讨论虽为数学思想，但在运用该思想解决数学问题时，也能有效锻炼学生分类处理信息的能力，养成对各种信息进行分类的良好习惯，这样便能轻松应对日常学习和生活中对繁杂信息的处理问题，提高学习和工作效率.教师在引导学生运用分类讨论思想解决问题时，应当首先为学生介绍高效的分类技巧，即根据实际情况或已知条件自主制定分类标准，并针对各类信息做对应的分析和总结.2.培养思维发散意识，锻炼一题多解能力

思维定式是传统的数学教学模式对学生数学思维的不利影响.传统的以教师讲解为主的数学课堂，严重制约了学生对数学问题的自主思考方向，导致学生对同类题型产生定向思维，以单一的角度看问题，从而在面对新题型或变式问题时不知变通，无从下手.教师应当摒弃传统数学课堂教师主讲而学生被动学习的课堂模式，设计更多开放型问题供学生自主思考、合作学习，促使学生解决问题的角度更加具体、全面，这样有助于培养学生的发散思维意识和一题多解意识，从而更加全面、严谨地考虑问题.3.科学建构知识体系，形成良好认知结构

初中是学生数学知识学习从打牢基础到能力提升过渡的关键阶段.系统化的数学知识教学目标要求学生具备对不同知识进行分类、概括、总结的能力，从而实现对知识的自主消化，提升自主学习能力和思考能力.分类讨论思想的渗透有助于学生养成对不同信息进行分类的良好习惯，在个人数学知识体系的建构中，能够?⒏丛印⒎倍嗟闹?识点归类理解，从而大大提高学习新知和理解记忆的效率.教师应当注重引导学生理解各模块知识之间的联系，从而促使学生从知识之间的区别与联系这一方面来进行知识的分类汇总，形成一张更加趋于完整和实用的知识网络，便于学生搜索知识点及综合运用.分类讨论思想的教学误区

1.理念陈旧，缺少创新

新课程标准指出，教学应当符合学生的个性发展要求.随着中小学教育的不断发展，学生的个性发展要求也在不断地提升，传统模式的“教与学”课堂已经不符合对学生创新能力的培养.但在实际教学中，部分教师仍然秉持陈旧的教学理念，忽略学生的学习主体性，往往为了解题而解题，无法看到数学问题背后对学生数学思维和数学方法的引导，这样的陈旧观念无法促使学生对数学问题进行更加深入的思考.教师应当创新教学模式，如可以将分类讨论思想作为教学关键点，设计更多开放式的数学问题，引导学生自主思考，体现学生的学习主体性，有效培养学生的分类讨论思维.2.被动学习，效率低下

传统数学课堂教学模式除了教学理念陈旧，影响学生的个性发展而外，被动学习也使得学生探索数学知识的兴趣和热情消磨殆尽.学生处于被动学习的状态时，无法主动探索和发现数学问题，数学思维得不到有效运用，这样即使学生了解分类讨论等数学思想，也同样无法将其准确运用于数学问题的解决中，无法自主建立起知识之间的相互联系，从而无法实现数学思维和解决问题能力的有效提升.3.应试教育，能力不足

应试教育是当下中小学数学教育普遍存在的一个教学误区，面对升学压力和紧凑的课堂时间，教师往往会选择“题海战术”，要求学生通过练习大量的数学题型来形成思维习惯.表面上看，其同样是以锻炼学生的数学思维为目的，但实际上却是一味地通过练题来强迫学生在数学思维上达到熟能生巧的一种十分刻板的教学模式，并且频繁使用分数来衡量学生的数学思维和数学能力，这一做法不利于学生真正掌握和学会运用这些数学思想，甚至还会对学生的学习积极性造成反作用，降低学生的学习效率.分类讨论思想的教学应用

分类讨论思想可运用于解决不同知识模块的数学问题，笔者选择了以下四个方面的分类讨论思想教学应用实例加以阐述.1.绝对值运算

解决含有绝对值的问题时，有时需要应用分类讨论思想.做题的过程中，我们要善于分析问题，要考虑到绝对值具有非负性.例如，笔者在讲解含绝对值符号的加减运算时，给出了这样一道简单的例题：要使x+1-x=1，变量x应当满足什么条件？

这道例题出现了两个绝对值符号，因此笔者引导学生将两个含绝对值符号的式子分开讨论，于是有x+10四种情况，这四种情况经过一定的整合，最终将数轴分为了三段，即x0这三种情况，最后得出只有当x>0或x=0时，等式才成立，于是得出“当x≥0时，等式成立”的结论.2.与方程有关的问题

在解一元二次方程时，往往会出现题中某项系数未知的情况，而根据一元二次方程的定义和实根的判别方法，应当运用根的判别式来判断未知参数在什么范围下才能满足方程是否有实数根的条件.例如，教学“一元二次方程”时，笔者给出了这样一道例题：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围.在这道例题中，a是二次项和一次项系数中的未知参数，根据一元二次方程根的判别式，要想使方程有实数根，则Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本题还应当重点注意的是，题中未指明该方程是一元二次方程，因此当a=0时，该方程就变成一个一元一次方程，经检验，这样的情况显然是合理的，因此应当放入分类讨论中（即分a=0和a≠0两种情况进行讨论），实现该题的完整解答.3.函数问题

分类讨论问题在函数中的应用甚为频繁，函数的种类也十分繁多，尤其是当具体问题中并未指出函数类别时，更应当对函数的不同类别进行分类讨论.例如，讲解函数图像的有关知识时，笔者给出了这样一道例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标.与上一道例题相似，题中并未给出函数的具体类型，因此教师应当引导学生运用发散思维，对可能的函数类型进行分类?论.例如，k=1和k≠1是一次函数和二次函数的区别；当k≠1时，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函数与x轴是否有交点的区别.针对讨论情况较多的问题，教师应当引导学生理清思路，防止思维混乱，促使问题解决得更加有条理.4.几何问题

初中数学分类思想的应用 篇3

随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

例如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1、根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例：绝对值的代数定义：|a|=a（a>0）、|a|=-a（a<0）、|a|=0（a=0）

意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

例，解关于x的不等式：ax+3>2x+a

分析通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。

当a-2>0，即a>2时，不等式的解是x>

当a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=-1。因为0>-1，所以不等式的解是一切实数。

当a-2<0，即a<2时，不等式的解是x<

浅析中学数学分类思想方法 篇4

一、数学分类思想方法概念

分类是逻辑学中的一个基本概念. 所谓分类就是根据对象的某一属性特征把它们不重不漏地划分为若干类别［2］. 在中学教学阶段,对于数学思想和数学方法不加以区分,统称为数学思想方法. 数学分类思想方法作为中学数学常见的思想方法是指当所面临的数学问题不能以统一的形式解决时,可以把已知条件涉及的范围分解为若干个子集,在各个子集中分别研究问题局部的解,然后通过组合局部的解得到原问题的解［3］.

二、数学分类思想方法原则

1. 一致性原则

在将具体确定的问题进行分类之前,一定要对问题划分的分类标准进行分析,确保在每一次分类时,每一个分类子集的分类标准是同一个.

2.“不重不漏”原则

做到“不重不漏”是数学教师常提的话语,这里面实际上包含了两个原则,即“同一性原则”和“互斥性原则”,其中“同一性原则”用集合解释实际上指的就是在运用分类讨论方法时,应做到所有分类子集的并集是全集.“互斥性原则”是指每一个子集之间没有交集.

3. 层级性原则

若分类讨论不能一次完成,须遵循层级性原则,即需按层级依次讨论,不得越级讨论; 不同层级的分类不能混为一谈. 例如,当有理数按其正负划分时,可以分为正有理数,0和负有理数; 有理数按整数和分数划分时,可以分为整数和分数. 我们不能将两种情况划分为一个分类标准下考虑.

三、数学分类讨论方法的步骤

根据数学分类思想方法的概念和原则,数学分类讨论方法应包括以下几个步骤: 1. 对于确定的对象应确立同一分类标准2. 然后分层讨论,获得阶段性结果; 3. 最后进行阶段性的结果进行归纳总结,得出结论. 需注意,确立同一分类标准是进行分层讨论和结果总结的基础［2］.

如,求式子的所有可能的值有几种情况?由于a、b取值没有确定,其中该题的分类标准是a,b符号是否相同,分三种情况a、b同为正数; a、b同为负数; a、b异号讨论. 1a、b同为正数时,原式= 1 + 1 + 1 = - 1; 2a、b同为负数时. 原式= - 1; 3a、b异号时,分两种情况: 1) a > 0,b < 0时,原式= - 1; 2) a < 0,b > 0时,原式= - 1; 共有2种情况.

四、数学分类思想方法在中学数学教学中的作用

中学数学阶段,数学知识具有由直观向抽象过渡阶段的特征,数学知识的分类和数学问题的复杂程度较小学逐年增加,中学数学知识点中,大部分的知识和问题解决中都离不开分类讨论方法和分类思想. 因此,对于学生学习数学分类思想方法很有必要. 学习数学分类思想方法的作用主要体现在知识,问题解决能力两个角度.

1. 从知识的角度来看,有利于学生把握数学知识的脉络. 学习数学分类思想方法,有利于学生弄清楚不同知识之间的区别与联系. 因此,在中学数学教学中,教师应注重培养学生的数学分类思想方法,不仅仅在解题中渗透分类讨论方法,在讲解数学知识的发生发展过程中,也应渗透数学分类思想［3］.

2. 从问题解决能力角度来看,有利于学生提高解题能力,培养逻辑思维能力. 对于复杂的计算题,论证题等,运用分类思想方法去解决,有利于学生更加全面的看待问题,理清思绪,培养学生的逻辑思维,从而快速而有效地解决问题. 不仅仅局限于数学学科,分类思想的学习,有利于学生解决其他学科和日常生活中的许多问题,有助于学生养成有条理的习惯.

分类讨论思想在解数学题中的应用 篇5

------分类讨论思想的应用

【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】分类讨论的思想分类的原则分类讨论的应用

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一． 分类讨论的思想

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。

案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的解：设店老板需购买领带x条

方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元）

假设 y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝ 4x－400（元）

（1）当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

（2）当y＝0时,即x＝100,方案一和方案二同样省钱

（3）当y＞0时,即x＞100,方案二比方案一省钱

答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二． 分类的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1.同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误

2.互斥性原则

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则

3.完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

三． 分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1）先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2）正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3）逐类讨论解决

（4）归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

1.分类讨论在应用题中的应用

案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？

分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论 解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

经检验，符合题意

长为10米，宽为7米，面积为70平方米

（2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

2x＋(x－3)=24

解方程得x＝9

经检验，符合题意

长为9米，宽为6米，面积为54平方米

答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况

而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解

2.分类讨论在绝对值方程中的应用

关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论

解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解

②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解

③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解

综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用

所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。

案例4：若关于x的分式方程xa31无解，求a的值 x1x

解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解

②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1

③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解

综上所述，a的值为1或﹣2

4．分类讨论在解几何题中的应用

分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？ 分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用

在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。

案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少

分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二

枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用

分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y=

2k﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，x二次函数y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要对a的取值范围进行分类讨论

案例7：求二次函数y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标

解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点，交点坐标是（－21，0）3

2②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）

当a＝9时,与x轴的交点坐标是（【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献：

（1）2011年版义务教育数学课程标准

（2）任百花：初中数学思想方法教学研究

（3）江国安：初中数学综合题的教学探索

（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用

初中数学分类讨论思想例析 篇6

【关键词】数学 分类讨论 原则

数学思想是数学的精髓，初中阶段常见的数学思想包括类比思想、数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。其中分类讨论思想贯穿于整个初中数学，它已经成为各地近年来中考命题的热点。

一、分类讨论的定义和意义

把所研究的问题根据题目的特点和要求，按照一定的标准，把有关问题分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称为分类讨论思想。分类讨论既是一种重要的数学思想方法，也是数学的一种基本解题策略。一方面它可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当地分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的意识，增强学生周密严谨的数学素养。

二、分类讨论的原则

1.同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据，否则在解题时会出现漏解的情况。

例如：化简：|X-3|-|5-X|

此题根据题意，把X的取值分为三段，都在同一标准进行分类讨论。

解：当X<3时，原式=（3-X）-（5-X）=-2；

当3≤X<5时，原式=（X-3）-（5-X）=2X-8；

当X≥5时，原式=（X-3）-（X-5）=2.

2.互斥性原则。分类后的每个子项应当互不兼容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项，否则在解题时会出现重复的情况。

例如：解不等式（a-1）x>a2-1

此题x的系数（a-1）应分成三种情况： a-1>0， a-1=0， a-1<0.这三种情况互相排斥。

解：（1）当a-1>0 即a>1时，则x>a+1；（2）当a-1=0即a=1时，原不等式为0·x>0，不等式无解；（3）当a-1<0 即a<1时，则 x1时，x>a+1；当a=1时，不等式无解；当a<1时，x

3.层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。

例如：已知在△ABC中，∠A=50°，当∠B=_____度时，△ABC是等腰三角形？

此题中的∠A有两种情况：∠A是顶角或底角。当∠A是顶角时，∠B必为底角；当∠A是底角时，∠B又有两种可能：顶角或底角，故又需进行分类讨论。

解：当∠A是顶角时，∠B必为底角，得65°；当∠A是底角时，∠B又有可能为顶角或底角，当∠B为顶角时，得80°，当∠B为底角时，得50°，故答案为50°、65°或80°。

三、分类讨论的常见情况

掌握用分类讨论思想解题的关键在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面笔者结合平时的教学实践举例说明引起分类讨论的一些常见情况。

1.由于分类概念或定义而需要分类讨论

有些数学概念是分类定义的。如实数的绝对值（正数、0、负数的绝对值），两圆相离（外离、内含） ，两圆相切（外切、内切）等，所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。

例如：已知|x+1|=3，y2=4，xy<0，求2x+y的值。

本题中的绝对值和偶次幂是分类定义的，x+1可能为正数或负数，y也可能为正数或负数，因此要进行分类讨论。

解：由题意得x+1=±3，y=±2，所以x=2或-4；y=2或-2。又因为xy<0，即x、y异号，所以有两种情况：（1）当x=2，y=-2时，2x+y=2 ；（2）当x=-4，y=2时，2x+y=-6.

又如：圆心距为5的两圆相切，其中一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为________。

本题中的两圆相切是分类定义的，因此要进行分类讨论。

解：当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即是3；当两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，即是7，故填7或3.

2.由于题设和结论有多种可能而需要分类讨论

例如：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为______。

本题的条件是不唯一的，这个等腰三角形腰为3还是7？问题中没有说明，所以要分为两种情况讨论。

解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，7，3+3<7，三边关系不成立；当等腰三角形的腰为7时，三边为3，7，7，三边关系成立，周长为3+7+7=17.故答案为17.

3.由于参数取值范围不同而需要分类讨论

对于具体问题，如求函数解析式、方程的解、不等式的解集等问题中随着参数取值不同而变化，这时要对参数的取值进行讨论。

例如：已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-1≤x≤1，相应的函数值的取值范围是3≤y≤-1，求这个一次函数的解析式。

本题中的一次函数y=kx+b中的k有可能>0，也可能<0，两种不同的取值范围导致y随x的变化不同，所以要分类讨论。

解：（1）当k>0时，y随x的增大而增大，把x=-1，y=-1；x=1，y=3代入一次函数的解析式y=kx+b中，运用待定系数法即可求出函数的解析式为y=2x+1；（2）当k<0时，y随x的增大而减小，把x=-1，y=3；x=1，y=-1代入一次函数的解析式y=kx+b中，运用待定系数法即可求出函数的解析式为y=-2x+1.

4.由于位置或形状不确定而需要分类讨论

对于条件中没有明确图形在什么位置或是什么形状时，应根据不同位置或形状进行分类讨论。

例如：在直角边分别为3cm和4cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长。

本题中的菱形与三角形公共的内角不确定，公共的内角可能是直角，也可能是两个锐角中的其中一个，所以要需要进行分类讨论。

解：（1）如图1，当公共的内角是直角时，菱形是正方形， 设正方形的边长是x，则上面的小三角形与原三角形相似，得到， 解得x=， 则菱形的边长是cm； （2）如图2，当公共的内角是∠C时，△BDF∽△BAC，根据勾股定理求得AC=5， 设菱形的边长是x，得到，解得x=，则菱形的边长是cm.（3）当公共的内角是∠A时，△CEF∽△CAB， 设菱形的边长是x，得到，解得x=，即菱形的边长是cm.

由此可见，分类讨论思想是解决数学问题常用的一种方法，对学生的能力要求较高，是一个难点，学生在解答此类问题时极易漏解。我们应在教学中有目的、有计划地对学生渗透和强调，加强这方面题型的训练、强化，巩固知识点，让学生逐渐产生分类讨论的意识，解题中仔细分析题意，挖掘题目中可能出现的不同情况，然后采用分类讨论的思想加以解决，使一些错综复杂的问题变得简单，解题思路变得清晰，提高分析、解决问题的能力。

【参考文献】

[1]刘贻阁.分类讨论的三原则四步骤[J].中学数学，2005（2）.

[2]陈敦峰.浅谈数学中的分类讨论思想. 理科爱好者，2011（3） .

谈学生数学分类讨论思想的培养 篇7

七年级的学生,刚从小学毕业,而小学生主要学习非负数的运算,无需考虑符号问题,进入七年级,数的范围迅速扩大到负数,负号的出现就为分类讨论埋下了种子,只需老师适时的培养,分类讨论的种子就会发芽.

问题1:数a的相反数是-a,问-a是什么数?

分析:对于七年级的学生来说,他们会异口同声地说是负数.对于刚学习了负数和相反数的他们来说,带有“-”号的表示都是负数.这里-a中的负号“-”是表示求相反数,a可代表任何有理数,可能是正数、零、负数三种情况,并不是学生们理解的正数.正数的相反数是负数,0的相反数是0,负数的相反数是正数,用数学符号表示出来,也是一个难点.用字母表示数,对于算数而言,是一个巨大的进步.

解:当a>0时-a<0当a=0时-a=0当a<0时一a>0

这是刚入中学不久,就涉及到的分类讨论,很快到绝对值概念同样也要用到分类讨论,同时也是数形结合思想的体现.

问题2:—个数的绝对值几何意义是:在数轴上,表示数的点到原点的距离.问:到数字1距离为2的数是几?

分析:说到距离,大多数学生会想到3,这只看到了正方向,也就是在数轴上向右数了两个单位长度,而忽略了也可向左数两个单位长度,另一个数是-1.

解:这个数是3或-1.

这个问题中,绝对值的几何意义用代数式来表示是高中的带绝对值的方程,即lx-1l=2.如果是方程|x+1l=3，你会用数轴上绝对值的几何意义求出它的解吗?

以上两个问题是代数概念方面,那么几何是否也有分类讨论的问题呢?有,而且很多.

问题3:在直线m上,线段AB长5cm,线段BC长3cm,问线段AC长多少厘米?

分析:此问题与问题2类似,学生会很快回答线段AC长8cm,而忽略了线段BC可以有两种画法,与线段AB方向相同和相反两种.

解:线段AC长8cm或2cm.

探讨七年级的知识后,我们再问八年级、九年级的知识有分类讨论的问题吗?下面就略举几个问题来讨论.

在八年级勾股定理的应用中,三角形高的位置就是一个分类讨论问题.

问题4:在三角形ABC中,AC=10,AB=17,BC边上的高AD=8,求三角形ABC的面积.

分析:做此题,多数同学只考虑高在三角形内部,即锐角三角形的情况,而忽略了高在三角形外部,即钝角三角形的情况.

解:

Rt△ACD中,AC2=AD2+DC2,102=82+DC2,

∵DC>0,∴DC=6

在Rt△ABD中，AB2=AD2+DB2,172=82+DB2，

∵DB>0，∴DB=15

图1:BC=6+15=21，

图2:BC=15-6=9,

在九年级的学习中,三角形高的情况的分类讨论同样在锐角三角函数中出现.

问题5:等腰三角形的腰长8cm,一腰上的高长4cm,求等腰三角形顶角的度数.

分析:等腰三角形可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.因此,三角形的高可能在三角形内,也可能在三角形外.

解:如图1:在Rt△ABD中,,

∴∠A=30°

如图2:在Rt△ABD中,，

∴∠BAD=30°,∴∠BAC=150°,

∴等腰三角形的顶角为30°或150°.

高中数学中分类讨论思想的探究 篇8

一、弄清分类讨论的原因

( 1) 由数学概念而引起的分类讨论: 如绝对值的定义, 不等式的定义, 二次函数的定义, 直线与平面所成的角, 直线的倾斜角, 两条异面直线所成的角等问题.

( 2) 由数学运算引起的分类讨论: 如导数的正负号, 除法运算中除数不为零, 偶次方根为非负数, 不等式两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域, 对数运算中真数与底数的要求等问题.

( 3) 由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论: 如函数的单调性、等比数列的前n项和公式等问题.

( 4) 由参数的变化而引起的分类讨论: 如含参数的方程、不等式, 含参数的函数的单调性、值域 ( 最值) 等问题.

( 5) 由图形不确定引起的分类讨论: 如角的终边所在的象限, 点、线、面的位置关系等问题.

( 6) 其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论: 如排列组合, 概率等实际问题.

二、确定分类讨论依据

实质上, 分类讨论是“化整为零, 各个击破, 再积零为整”的数学策略. 对于何时需要分类讨论, 则要视具体问题而定, 并无规定. 但可以在解题时不断地总结经验. 常见的情形略举以下几例:

1. 依据数学概念分类讨论

解析由已知并结合集合的概念, C中的元素分两类:①属于A元素; ②不属于A而属于B的元素. 并由含A中元素的个数1、2、3, 而将取法分三种.

所以满足集合C的个数有C110·C62+ C210·C61+ C310·C06=540.

点评 本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题, 正确地解题的前提是合理科学的分类, 达到分类完整及每类互斥的要求, 还有一个关键是要确定C中元素如何取法.

2. 依据数学运算分类讨论

例2 已知a∈R, 讨论函数f ( x) = ex ( x2+ ax + a + 1 ) 的极值点的个数.

①当 Δ > 0, 即a < 0 或a > 4 时, 方程x2+ ( a + 2 ) x + ( 2a + 1) = 0 有两个不同的实根x1, x2, 不妨设x1< x2.

于是f' ( x) = ex ( x - x1) ( x - x2) , 从而有下表:

即此时f ( x) 有两个极值点.

②当 Δ = 0, 即a = 0 或a = 4 时, 方程x2+ ( a + 2 ) x + ( 2a + 1) = 0 有两个相同的实根x1= x2.

于是f' ( x) = ex ( x - x1) 2,

故当x < x1时, f' ( x) > 0; 当x > x1时, f' ( x) > 0.

因此f (x) 无极值点.

③当 Δ < 0, 即0 < a < 4 时, x2+ ( a + 2) x + ( 2a + 1) > 0恒成立,

故f ( x) 为增函数, 此时f ( x) 无极值点.

综上所述: 当a < 0 或a > 4 时, f ( x) 有两个极值点; 当0≤a≤4 时, f ( x) 无极值点.

点评 本题分类有两层, 先依据方程的根的情况进行分类讨论, 然后分区间讨论f' ( x) 的符号, 来确定f ( x) 取极值的情况.

3. 依据数学中的定理、公式和性质分类讨论

例3 设等比数列{ an} 的公比为q, 前n项和Sn> 0 ( n = 1, 2, 3, …) .

( 1) 求q的取值范围;

解析 ( 1) 由{ an} 是等比数列且Sn> 0, 可得a1= S1>0, q≠0.

当q = 1 时, Sn= na1> 0;

解①式得q > 1,

解②式, 由于n可为奇数, 可为偶数, 得- 1 < q < 1.

综上所述:q的取值范围是 (-1, 0) ∪ (0, +∞) .

又∵ Sn> 0, 且- 1 < q < 0 或q > 0.

点评本题涉及等比数列前n项和公式的合理选取, 要注意对公比q的两种情况①q = 1, ②q≠1 讨论.

4. 依据题目中字母的取值范围分类讨论

例4 设函数f ( x) = ax2- 2x + 2, 对于满足1 < x < 4 的一切x值都有f ( x) > 0, 求实数a的取值范围.

解析 本题应先对二次项系数a分a > 0, a < 0, a = 0三种情况讨论, 再在a > 0 时将对称轴相对于闭区间的位置关系分: 在闭区间左边、右边、中间三种情况讨论.

①当a = 0 时, f ( x) = - 2x + 2, f ( 1) = 0, f ( 4) = - 6, ∴不合题意.

综上所述: 实数a的取值范围是a >1/2.

点评含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题, 要先对开口方向讨论, 再对对称轴相对于闭区间的位置关系进行分类讨论.

5. 依据图形位置或性质变动分类讨论

例5 已知矩形ABCD中, AB = 1, BC = a ( a > 0) , PA⊥平面ABCD, 问BC边上是否存在点Q, 使得PQ⊥QD并说明理由.

解析由于矩形是变动的, 在BC边上是否存在Q使PQ⊥QD与a的取值有关, 因此需分类讨论. 建立空间直角坐标系如图所示, 设Q ( 1, y, 0) , P ( 0, 0, c) , D ( 0, a, 0) , 则

整理, 得y2- ay + 1 = 0, 判别式 Δ = a2- 4, 且a > 0.

①当a2- 4 < 0, 即0 < a < 2 时, BC边上不存在点Q满足PQ⊥QD;

②当a2- 4 = 0, 即a = 2 时, BC边上有且只有一点满足PQ⊥QD, 此时y = 1, 即Q为BC边的中点;

点评当已知条件不能确定图形的位置时, 在求解或证明过程中, 则需根据可能出现的图形位置进行分类. 此类问题在立体几何和解析几何中较为常见.

三、把握分类讨论应遵循的原则和步骤

1. 原则: 分类的对象是确定的, 标准是统一的, 其中最重要的一条是“不漏不重”.

2. 基本步骤: ( 1) 分类转化, 结合已知所涉及的知识点, 找到合理的分类标准; ( 2) 依次求解, 在每一类所满足的条件下, 逐类求解; ( 3) 汇总作答, 汇总分类结果, 得出结论.

四、分类讨论应注意的问题

在运用分类讨论解题时, 我们要明确分类的原因是什么? 对象是什么? 分几个类别? 不仅要掌握分类的原则, 而且要把握分类的时机, 重视分类的合理性与完整性.

数学分类思想刍议 篇9

一、在分类思想的渗透中激发创新意识

分类思想是根据教学对象本质属性的不同划分成不同的种类,即根据客观事物的相同之处以及不同之处,将其归为不同的种群属类。分类行为本身就是学生通过仔细观察对客观事物的本质进行洞察、把握的过程,更是学生自主发现、自主创造的过程。运用分类方法,可以使得学生的思维更具序列性和细致性, 激发其创新能力。比如“三角形分类”一课中,教材进行了如下安排:首先,出示众多三角形,要求学生进行分类,并及时汇总交流。这样,通过三角形图形给学生以“序”的直观感受。接着引导学生思考:三角形的分类可否按照角的分类进行?最后,通过角的定义,将三角形的分类进行及时归纳总结。整个教学过程,为学生呈现了观察、思考以及交流的时空,并在此基础上引导学生通过对三角形最大一个角的辨析,对三角形的分类进行认知,极好地更新了三角形的认知结构,把握了数学本质,激发了学生的创新意识。

二、在分类思想的渗透中提高思维品质

分类思想更多地指向事物的本质属性,以本质属性的异同进行事物的分类。但从数学教学的角度出发,分类思想也需要关注量性特征,才能更好地完善课堂教学结构,提高数学思维能力。

1. 优化分类方法,聚焦数学本质

分类作为一种数学思想,其逻辑性较强,知识点涵盖较广。 在教学过程中,教师不能仅仅停留于对分类方法的渗透和指导, 而要根据学生的分类,引导学生在实践中不断优化,从而以数学的思维和眼光看待这个事物,培养学生分析问题和解决问题的能力。一年级上册“统计”一课中,提出“大象家来了哪些客人” 的问题,就是引导学生以分类的新视角学习内容,让学生经历信息收集、整理、分析的思维过程,更好地实现教学目标。

2. 凸显分类层面,完善认知结构

对数学对象的划分标准应该科学统一,且每一次分类具有绝对的唯一性,否则分类对象就会出现重复或者遗漏的现象。例如, 四年级下册中的“倍数和因数”,对除了零之外的非自然数的划分,出现了两种情况:(1)是否被2整除,分为奇数和偶数;(2)约数的个数分为素数、合数以及1。此种分类虽然有两种情况,但是每一次都将所有数包含其中,且无遗漏。数学教学中的分类,凸显了教学对象的各自特点,便于学生对知识的整理和建构。

3. 扎实有效训练,促进严谨思考

数学分类思想要求以一定的原则和要求对教学对象进行分类,然后引导学生对每个分类进行讨论,最后交流进行汇总,从而得出最终的整体认知。在教学中,教师要依循学生的年龄特征循序渐进,对学生进行扎实有效的训练,从而积累活动经验, 提升数学素养。例如,教学“分数的乘法”一课,有这样一道题目: 同样长度两块布,第一块用去了三分之一米,第二块用去了三分之一,哪一块用去的长些?这里需要将布的长度分为“大于1米” “等于1米”“短于1米”三种情况来引导学生分别思考。如此化整为零、各个击破,正是源于分类思想的指导。分类思想,引领着学生进行严谨有效的深入思考。

三、在分类思想的渗透中提升解题能力

1. 思维推理能力在分类思想的指导下发展

教材的编排过程中,编著者十分重视结合学生的实际认知能力,让学生在各个数学知识点学习的过程中学习分类思想,丰富分类思想的内涵。在教学实践中,教师应该注重以具体的数学问题为桥梁,借助对这些问题的思索探究进行回顾和反思,提升学生对分类思想的感悟深度,体验分类思想的价值和内涵,提升数学解题能力。五年级上册“解决问题的策略”单元中,有一道题目:订阅杂志,最少订阅1本,最多订阅3本,有多少种不同的订法?教学中,教师引领学生从只订阅1本开始进行分类推理,继而依次出现2本和3本。在这一过程中,教师指导学生关注有无遗漏和重复。这种基于分类思想的问题解决策略,对于培养学生思维的严密性、深刻性、灵活性和创新性,具有无可替代的重要作用。

2. 数据分析意识在分类思想的指导下提升

现实生活丰富多彩,五彩缤纷。学会运用分类思想,能够促使学生对数据有效地进行整理和分析,对事物进行综合考虑,做出较为准确和科学的判断,真正深刻把握事物的本质。二年级上册“统计”单元中,有众多关于分类思想的内容。例如“动物运动会”中,要求学生按照项目统计只数、按照动物种类统计只数, 并在两次统计结束之后,思考两次统计存在着怎样的不同之处。 在这一内容的教学中,教师要让学生知道统计分类思想往往可以借助不同的需要凸显统计分类的必要性和适切性,从而让学生明白同样的内容可以根据不同的需要选择不同的分类统计方法,提升学生的数据分析意识,提高学生的数学解题能力。

四、结束语

中学数学思想方法的分类及教学 篇10

关键词：中学数学,方法教学

一、中学数学思想方法的分类

中学数学中所涉及的数学方法大体上可分为三种类型:第一类是技巧性方法。第二类是逻辑方法。第三类是宏观性方法。

著名的美籍数学家G·波力亚说:“一个想法使用一次是一个技巧, 经过多次的使用就可以成为一种方法。”中学数学中常常可见这种方法, 例如消元、换元、降次、配方、分项与添项、待定系数法等等。这类方法具有一定的操作步骤, 我们把这一类方法称为技巧性方法, 也就是低层次数学思想方法。

逻辑方法包括分类、类比、归纳、演绎、分析、综合、特殊化方法、反正法、科学猜想等。这类都具有确定的逻辑结构, 是普通适用的推理论证模型, 此类方法也称较高层次数学思想方法。

宏观性方法也称高层次数学思想方法。包括以字母代数、数形结合、归纳猜想、化归、数学模型、坐标方法、极限方法等。这些方法的出现, 是数学学科或是开拓了新的方向, 或是极大的提高了研究的科学程度。这类方法较多的带有思想观点的属性, 揭示数学发展中普遍方法, 对数学发展起导向功能, 影响着数学发展的大局。

二、中学数学教学中为什么要进行数学思想方法的教学

中学数学教学不只是数学知识的教学, 而且还应该包括数学方法的教学。我们知道, 知识是形成能力的基础, 但知识不等于能力。知识多, 能力未必强。现代数学教学论认为, 掌握数学思想方法是形成能力的必要条件, 对于提高学生的数学素质乃至科学素质都有着重大的作用。因此, 要全面提高学生的数学素质, 在教学中, 除了知识的教学外, 更要注意加强数学思想方法的教学。加强数学思想方法的教学, 有利于培养学生运用数学知识的能力;有利于激发学生的学习兴趣;有利于提高学生的学习自觉性;有利于把学生和教师从题海中解放出来, 减轻教与学的负担;有利于中学数学教学质量的提高。

三、怎样进行数学思想方法的教学

1. 从思想上提高对数学思想方法教学的认识。

数学思想方法是基础知识的组成部分, 它的教学不仅决定着数学基础知识教学的水平, 而且还影响着数学基本技能的培养和能力的形成。因此, 作为数学教师必须更新观念, 思想上不断提高对数学思想方法教学重要性的认识, 把学生掌握数学方法和掌握数学知识都纳入教学目标, 把数学方法教学内容写进教案, 并在教案中设计好数学方法的教学过程。这样, 在教学过程中就不会忽视数学思想方法的教学。

2. 把握《课标》对数学方法的要求层次。

新的课程标准对同一数学思想方法在不同内容中的要求层次是不同的。有“了解”“理解”“掌握 (或会用) ”“灵活运用”“体验”等目标层次。因此, 作为数学教师必须认真钻研《课标》, 准确把握《课标》对数学思想方法的要求层次。随便提高或降低要求层次, 都会影响基础知识的掌握。

3. 注意挖掘教材内容中蕴含的思想方法。

数学知识, 如概念、定理、公式、法则等, 都明显的写在教科书上, 是有“形”的, 而基本的数学思想方法却隐含在知识的教学过程中, 是无“形”的, 并且不成体系地散见于教材各章节中。传统的数学教学, 备课时几乎把全部精力投在对知识钻研和如何讲授, 很少注意蕴含于知识中的数学思想方法。而现在的素质教育则要求我们在备课时, 除了钻研数学知识外, 还应该注意从知识中发掘、提炼出数学方法, 明确的告诉学生, 阐述其作用, 引起思想上的重视, 就是说, 既备知识, 又备思想方法。

4. 在知识的形成过程, 体现基本的思想方法。

(1) 注意知识的发生过程, 体现基本的思想方法。对数学而言, 知识的发展过程, 实际上就是思想方法的发生过程。因此, 概念的形成过程, 结论的推倒过程, 方法的思考过程, 规律被揭示的过程等都是向学生渗透数学思想方法的好机会。 (2) 运用对比手法, 显示方法的优越性。一道数学问题, 往往有多种不同的解法, 教学时, 教师应引导、启发学生多方面、多角度去考虑、去分析, 这样既可以发展学生的思维能力, 又可以通过对比, 使学生体会到方法的优越性。 (3) 互相关联, 前后照应, 注意同一方法在不同教材内容中的作用。有些数学方法, 如换元法、待定系数法、配方法等, 它们不只适用于某段特定的教材, 而且适用于许多不同性质的问题。例如, 配方法可用于方程的求解、求函数的极值、证明不等式;换元法可用于方程求解、条件等式的证明, 求函数的极值等。在不同性质问题的解决中, 遇到了相同的方法, 就可以加深对这一种方法的认识, 提高运用方法的技能。因此, 教师在教学中, 应引导学生回忆以前使用这种方法的地点与情况, 以便使学生加深对这钟方法的认识, 提高灵活运用的能力。

5. 对不同的数学思想方法应采取不同的教法。

初中生数学分类思想的建立 篇11

关键词：分类；初中数学；思维素质

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）07-085-2

在自然科学的研究中，人们通常采用分类的思想方法，透过事物的各种表象，提示事物的本质特征，从而达到真正认识该事物的目的。作为自然科学之一的数学，分类方法的运用尤其突出，可以说是学习数学最基本的方法，作为数学基石的初中数学，更是如此。因此，教学应注重对学生分类思想的培养，让他们获取研究问题的“钥匙”。在知识的接收和技能的形成过程中，更透彻、全面地认识数学概念、公式、定理等，以养成科学的思维习惯，给问题的解决带来方便。我在平时教学中，在学生分类思想的确立方面作了一些有益的探索，谈点粗浅的看法。

纵观现行初中数学教材，不难发现，一到三年级的相关内容里，多处出现分类讨论的问题。分类定义绝对值的概念；一次函数y=kx+b、正比例函数y=kx、反比例函数y=k/x的性质，分k>0与k<0两种情况讨论；关于一元二次方程的根的情况分Δ>0，Δ=0，Δ<0三种情况讨论，关于点与圆的位置关系性质，分点在圆内，点在圆上，点在圆外三种情况讨论等。这些都充分体现了初、高中数学在知识与方法上的有机衔接，而且分类思想在中考与高考中也经常出现，因此，在教学中，对学生适时地，有意识地加强引导，逐步渗透，强化分类讨论意识是十分必要的。

一、按概念分类

初中数学课本里的有些数学概念是分类定义的。

例1实数a的绝对值，即分a>0，a=0，a<0三种情况定义的。所以，当解决式子中含绝对值的题目时，就应该分类处理。

设a是任意实数，求a与它的相反数的差的绝对值的2倍的值。

解：依题意，则：2|a-（-a）|=2|2a|，然后分a>0，a=0，a<0三种情况讨论。

二、按运算分类

我们知道，在除法运算中规定：除数不能为0。因此，对一次方程，当化为最简形式ax=b后，若未知数系数含选定字母，则须就系数分a=0与a≠0进行讨论。有些运算性质，如：不等式的基本性质2、3条，在使用是时，须分不等式两边都乘以（或除以）同一个正数与同一个负数，来决定不等号的方向是否改变。所以，对一次不等式，在化为最简形式后，若未知数系数中含待定字母，须分系数大于0，等于0，小于0三种情况讨论。

例2解关于y的不等式：m（2y-m）>2（y-3m）+5

解：原不等式变形为：2（m-1）y>（m-1）（m-5）；

（1）当m>0时，不等式解集为y>（m-5）/2；

（2）当m=0时，不等式无解；

（3）当m<0时，不等式的解集为y<（m-5）/2，通过这类题目的练习，让学生感受逻辑思维的层次性与知识的系统性，培养严谨、全面处理问题的能力。

三、按不确定分类

教学中，常遇到一些几何命题，题目本身并没有给出图形，依据条件及结论，若题图的位置或形状不止一种可能，则应全面考虑，逐个分类讨论。如：（1）直角三角形的三边为3、4、x，求x。即应分x作斜边与4作斜边两种情况求解。（2）等腰三角形周长为15，一边长为7，求另两边的长。即应分已知边作腰与作底边两种情况求解。（3）⊙O的半径是5，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离。即要分弦AB、CD在图⊙O的两侧与同侧两种情况求解。（4）两圆相切，一圆的半径是2cm，圆心距是5cm，求另一圆的半径。应分内切与外切两种情况考虑。

四、按取值分类

对于有些具体的数学问题，如：图象位置、不等式的解集、代数式的值等，它们的结果会因题中字母的不同取值而各异，此时，需对字母的取值分类讨论，方可得到正确的答案。如：

（1）已知一次函数y=（k-3）x-9，试判断直线经过的象限，就要分k>3与k<3进行讨论。

（2）在同一直角坐标系中，表示函数y=k/x，y=k（x2-1）的图象大致位置。这类图象的位置与k的符号有关，依题意需分两种情况讨论。通过作这几类的题目，让学生感受思维的深刻性与广阔性，从而培养他们合理、灵活地解决问题的能力。

五、按几何位置分类

1.与线段有关的问题，如：线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC=。

2.与等腰三角形有关的问题。

例3已知平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，-3），试在坐标轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。求出P点的坐标。

析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能呢？我们可以按腰的可能情况加以分类：

（1）∠A为顶角则AP=AB；以A为圆心以AB为半径画圆可以得到除B以外的三个交点；

（2）∠B为顶角则BA=BP；以B为圆心以BA为半径画圆可以得到除A以外的三个交点；

（3）∠P为顶角则PB=PA；P在AB的垂直平分线上画图可以得到与坐标轴的两个交。综上所述可以得到坐标轴上符合条件的八个P点。

3.与直角三角形有关的问题，如：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）个。

4.与圆有关的问题，如：点与圆、直线与圆、两圆的位置关系。

（1）半径分别为10、17的两圆相交，公共弦长为16，求圆心距。

析：本题极易漏解，原因是没有想到本题要分类讨论。实际上本题的图形是不确定的，有两种可能：①两个圆心分别在公共弦的两侧；②两个圆心在公共弦的同侧。分类画出图形，利用勾股定理，可分别解得圆心距为21或9。

（2）点M到⊙O的最长距离为5，最短距离为1，则圆的半径为。

（3）⊙O半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则AB和CD的距离为cm。

（4）相切的两圆半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距为cm。

六、按应用分类

例4某批商品，一个月仅能月初进货一次，如月初售出可获利润1000元，再将成本和利润一起投资，月末可得05%回报，如月末售出可获利1100元，但需付50元保管费，问这批货物是月初还是月末售出好？

析：应用题中的分类讨论都是在解题过程中的讨论，这时应有分类讨论的意识，需认真分析产生不同影响的因素，明确讨论对象，使题目解答完整。由本题意可知，利润与成本有关，因此有必要对成本进行讨论，当成本x=9000元时，两者均可，当成本x>9000元时，月初出售好，当成本x<9000元时，月末售出好。

分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。

数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。总之，在初中各个模块的教学中，逐步渗透用分类讨论等数学思想的去解决问题。分类讨论覆盖的知识点较多，有利于考查学生的知识面、分类思想方式多样，具有较高的逻辑性和较强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论，分级进行，获取阶段性结果。综上所述，应将分类讨论思想贯穿于教学始终，针对初中生的年龄特点，在充分发挥形象思维的同时，尝试引导他们多运用抽象思维，去解决较复杂的数学问题，久之，便会形成高级创造性思维，获得研究问题的科学思维方法，让学生更得心应手地学习数学。

[参考文献]

[1]刁卫东.如何运用分类讨论思想解题.中学数学，1997（05）.

[2]王燕春.学会分类方法，提高分类意识.中学生数学，1998（05）.

[3]彭林，刁卫东.中考数学命题热点与规律探折.中小学数学，2001.

[4]罗德成.初中数学自主学习教法初探[A].国家教师科研基金十一五阶段性成果集[C]，2010.

刍议初中数学“思想和方法”教学 篇12

邓小平提出:“教育要面向现代化, 面向世界, 面向未来。”因此, 数学教学也要适应这种形势发展的需要, 把数学知识融进思想教育之中, 在“解决问题”过程中不断地深化教学思想, 以便达到全面提高学生数学素质的目的。

初中数学思想主要有:换元思想、方程思想、化归思想、转换思想、集合思想、数形结合思想、类比思想、分类思想、函数思想、统计思想、优化思想及极限思想等。因此教师在备课时, 要认真理清知识结构和数学思想方法体系。授课时, 要结合教材采用不同方法, 精心提炼, 以使学生达到掌握和运用数学思想方法的目的。基于此, 要注意以下几个问题。

一、概念形成过程要渗透思想方法

概念是最基础的知识点, 它是由感性认识到理性认识的产物。它的实现要依据数学思想和方法的指导, 要经过分析、综合、比较、归纳、抽象、概括等思维的逻辑加工。概念教学中要完整地体现这一过程, 引导学生揭示隐藏在知识之中的思维内核, 让学生弄清知识的发生、发展过程, 了解它的来龙去脉, 从而真正理解所学概念。

例如, 教材中引入用字母表示数之“代数式”的教学。教师首先可让学生复习小学的各种运算律公式, 初步认识用字母表示数的意义, 然后引入具有共性的实例:

(1) 长为a cm, 宽为b cm的长方形的周长是__cm。

(2) 每支铅笔a角, 每支圆珠笔b角, 买2支铅笔, 2支圆珠笔共需__角。

让学生认识这两个问题有一种共同的数量关系——— (2a+2b) , 进而使其进一步联想到相同的数量关系, 即由数到式过渡的优越性及必要性, 从而让其掌握“代数式”这一概念。这样做就能够达到运用数学符号来表达思想方法之目的。

二、法则的建立要体现思想方法

在建立法则时如果能体现数学思想方法, 那么就能使学生较好地掌握数学法则。例如, 对于有理数加法的教学, 教师首先要结合教材举出“一人两次运动, 结果在何处”的具体事例, 并要利用数轴直观显示出来, 然后把两数的和分为“正+正, 负+负, 正+负, 负+正, 正+零, 负+零”这六种情况, 让学生观察、判断、分类、比较、归纳、抽象概括出三种不同的情况:同号两数相加, 异号两数相加, 一个数同零相加。最后师生共同总结出有理数加法法则。这样一来, 教师在教学中不仅渗透了数形结合的思想, 也体现出了一种分类方法, 从而使学生受到了这两个方面的训练。

三、解决问题时要突出思想方法

数学问题的解决过程是活化数学思想方法的重要环节。因此, 在分析解决问题的过程中如能突出思想方法, 便可找到解题的策略和手段。例如, 关于“a为有理数, -a是负数吗”的问题, 教师可引导学生思考, 首先让学生判断出“当a是有理数时, -a也一定是有理数”, 然后按a的正负情况分类:a是正数时, -a是负数;a是负数时, -a是正数;a是零时, -a是零。从以上分析中, 我们可以概括得出“a是有理数时, -a不一定是负数”的结论。

四、揭示解题规律要应用思想方法

数学思想比教学方法抽象概括, 具有应用上的普遍性。因此, 在揭示解题规律时, 我们要应用正确的数学思想。例如, 利用数轴解一元一次不等式组后, 归纳、总结一元一次不等式组解集规律, 可以用学生较感兴趣的通俗语言概括为“大大取较大, 小小取较小, 大小小大中间找, 大大小小无解了”。这会使得学生易于接受和掌握, 从而能够准确地求解。

又如, 在“四边形”的教学中, 教师可把四边形通过作对角线转化为“三角形”的问题来解决。从三角形过渡到四边形, 内在联系更加明朗, 体现了由简到繁, 由具体到一般的原则。这种化未知为已知的思想方法具有普遍的意义, 学生掌握了其思想方法就能自觉地促进其思维能力的发展。在研究梯形问题时, 我们可以化梯形为四边形和三角形来研究, 同样的思想方法, 能使学生比较容易地总结出在梯形中作辅助线的规律。

五、利用知识小结概括思想方法

同一内容可以表现不同的思想方法, 而同一思想方法又分布在不同的知识之中。知识小结有揭示知识点之间内在联系的功能, 故在教学中, 我们可通过课时小结、单元小结、章后小结用思想方法概括和联系教材, 理清知识的来龙去脉、内涵和外延及作用功能等等。这样做可使学生进一步认识和揭示知识间的内在联系, 在头脑中形成系统的知识网络。例如, 学解一元一次方程, 一般通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形转化为最简方程, 而达到求解的目的。另外, 研究二元一次方程组解法后小结:求解的基本思想是逐步“消元”, 即由“多元”向“一元”转化。这些都体现了化归思想方法在具体问题中的应用。

总之, 教师在数学教学中如能注意到上述几个方面, 将数学的思想和方法融入到平时的教学中去, 使学生掌握它, 运用它, 让他们不仅具备初步的数学思想, 而且又能基本上掌握解题的方法。这样就能使学生学会数学学科的学习思维方式和方法, 从而全面提高其数学学习能力和水平。

摘要：初中数学的主要任务不仅要使学生掌握好基础知识, 而且要学生具备数学思想和方法。数学教学应把数学知识融进思想教育之中, 在“解决问题”过程中不断地深化教学思想, 以便达到全面提高学生数学素质的目的授课时, 教师要结合教材采用不同方法, 精心提炼, 以使学生达到掌握和运用数学思想方法的目的。笔者从概念的形成过程, 法则的建立数学问题的解决过程, 揭示解题规律和利用知识小结等方面融进思想方法进行了阐述。