初中数学分类讨论专题

初中数学分类讨论专题（共9篇）

初中数学分类讨论专题 篇1

最新【精品】范文 参考文献

专业论文

分类讨论思想与初中数学教学

分类讨论思想与初中数学教学

摘 要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

关键词：数学 ；分类讨论

新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

最新【精品】范文 参考文献

专业论文 有意识地分阶段渗透分类讨论思想

启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

最新【精品】范文 参考文献

专业论文

------------最新【精品】范文

初中数学分类讨论专题 篇2

一、引起讨论的原因

初中数学中有许多问题需要讨论, 由于问题的不同引起讨论的原因各式各样。常见的有:

1、定义讨论:

即是由定义引发的讨论。数学中有许多定义都有范围或条件的限制, 当解题过程需要突破这些限制时, 必然引起讨论。

2、运算讨论:

即是由运算引发的讨论。有些运算实施时, 需要一定的条件。如实施除法运算, 除数不为零;实数开偶次方, 被开方数非负等。它们在实施运算时, 都需满足相应的条件, 故引起讨论。

3、位置讨论:

即由图形位置变化引发的讨论。平面几何中, 由于图形的位置不同而使结论差异时, 引起讨论。

4、实数性质的讨论:

即把实数分为正实数、零、负实数三类进行的讨论。

二、分类教学的模式

所谓分类教学, 就是教师在学生知识基础、智力因素和非智力因素存在明显差异的情况下, 有区别地设计教学环节和进行教学, 遵循因材施教原则, 有针对性地实施对不同类别学生的学习指导, 不仅根据学生的不同实际选择教法、布置作业, 还因材施。助”, 因材施“改”, 因材施“考”, 因材施“分”, 使每个学生都能在原有的基础上得以发展, 从而达到总体教学目标.简单地说就是根据不同类别学生进行“分槽喂养”、“因人施教”, 分类教学模式是多样化的, 在教学过程中我总结出了以下教学模式:

三、在初中数学教材中的分类思想方法

在义务教育初中数学教材中, 有许多教学内容蕴含着丰富的分类思想方法, 在代数中, 从数、式到方程都能看到分类思想方法, 以实数为例:

初中数学教材中除了显见的大量含有分类思想方法的教学内容, 还有许多潜在的含有分类思想方法的教学内容。由于这些内容, 教师应充分挖掘、并自觉地加以利用。例如, 《有理数的加法》的教学, 实际上运用了分类的思想方法, 教材通过6个运算的试验。得到如下结果:

由此归纳、概括出有理数的加法法则, 如果用分类的思想仔细观察以上6个等式, 便难看出:1和2, 实质上是同号两数相加;可分两种情况, 即正+正=正, 负+负=负;3、4、5是异号相加, 又可分为三种情况, 即按两个加数的绝时值大小分为三类:两加数绝对值相等时和为零, 正加数绝对值大于负加数绝对值时和为正, 正加数绝对值小于负加数绝对值时和为负, 6是有一加数为0的情况 (由于正数+零与零+零在小学已学过, 故未列出) 。这样, 把两个加数按符号进行了分类, 使学生在众多的数字中分辨清数的符种可能情况, 渗透了分类既小重复又遗漏的思想。

四、举例说明

含字母系数的方程, 因字母取值不同而导致方程种类和方程解的变化, 常会引发分类讨论。

例1解关于x的方程 (k一2) x2—2 (k一1) + (k+1) =0.

分析:对于含有字母系数的方程, 由于一元二次方程二次项系数不为0和求解过程中需实施开平方运算, 所以解题过程中, 需要对实数k进行讨论。

讨论步骤:

1、由分析知k为讨论对象, 而在初中教材中规定k属于实数集R, 因此k的范围是全体实数。

2、 (1) 为确定方程种类, 将k分为k:2和k≠2两类。符合分类条件:

(2) 当k≠2时, 为实施开平方运算, 再将被开方数4 (3一k) 分为4 (3一k) >/0和4 (3一k) <0

两类, 它们同样符合分类条件, 验证略。

3、步骤3及2中具体详情见下述解法.

解: (1) 当k一2=0, 即k=2时, 方程为一元一次方程:

一2 (2—1) X+ (2+1) =0即2X一3=0解得x={.

(2) 当k一2≠0, 即k≠2时, 方程为一元二次方程, (k一2) x2—2 (k一1) x+ (k+1) :0

此时△=[一2 (k一1) ]—4 (k一2) (k+1) =4 (3一k) ,

(1) 当4 (3一k) ≥0且k≠2时, 即k≤3且k≠2时,

(2) 当4 (3一k) <0且k:/:2时, 即k>3时, 方程无解。

浅析初中数学分类讨论思想 篇3

关键词：初中数学；分类讨论；培养

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-253-01

在初中数学的教材内容中，分类讨论的有关知识点分布十分广泛。分类讨论思想通过对实际问题进行分解，实现了分类的讨论，分解各种不同的问题，进而实现了对问题没有疏漏的解答，是一种较为实用和重要的数学思想。分类讨论思想的培养，可以让学生的综合学习能力得到良好的提高，并且让学生的创新精神和探索兴趣得到有效的保障。分类讨论思想的培养，也是数学教学中培养学生逻辑思维能力的重要方式。对于一些较为复杂的问题以及涉及范围较广的问题解答上，分类讨论思想用转化和分解的方法，实现了对复杂问题的解答。分类讨论是人们常用的重要思想方法，在初中阶段的数学学习过程中，其本质与其他生产、试验、生活中解决问题的方法有着异曲同工之妙。分类讨论思想的实质，是采用“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，对实际问题进行解答。

一、教师教学方面

开展教学的过程中，教师要对于初中阶段数学的有关概念进行系统、全面的掌握，并且对于一些涉及分类讨论思想的问题进行深入的研究，让学生正确的对其进行了解和认识。初中数学教学中，教师要对一些分类讨论思想有意识的进行渗透，让学生在学习的过程中得到思维方面的良好成长。作为一种有效的思考方式，分类讨论思想其本身具有严谨性和复杂性。在教学的过程中，教师要不断的强调分类讨论思想的重要性，并且培养学生的学习兴趣，让学生对这种数学思想产生良好的兴趣，通过不断的练习，提高学生的数学思维能力。在联系的过程中，教师要对于一些重点进行强调，并且针对学生解题过程中的不足和错误的习惯进行指正，提高学生的实际解题能力。例如，在江苏科学技术出版社初中数学九年级教材第八章 《统计的简单应用》一课教学的过程中，在讲解平均数这一概念上，教师要针对于日常生活中的实际问题和案例进行提出，在学生产生疑问时进行深入的讲解。通过对学生疑问的解答，让学生了解平均数这一知识概念的本质，认识到这种分类讨论思想应用于实际问题解决的真正意义。在我们日常生活的过程中，一组数据中不同数据其本身的重要性都有所不同，计算平均数的时候也要考虑到不同数据的重要性，进而引入“权”的概念。通过对不同数据的分类讲解和讨论，对于平均数求值中不同数据进行分类，进而让学生养成来良好的分类习惯。针对学习中一些难点的教学上，学生难免会产生厌烦和畏惧的心理，教师要避免学生这种情绪的扩散，并且积极的对学生的学习过程进行引导，让学生养成良好的观念，并且针对一些难题可以理性的对待，让学生的学习信心得到有效的培养。在对学生逻辑思维能力的培养让，也要注重对学生的假设能力的培养，让学生理清不同问题之间的关系，并且通过对不同关系的研究，得出结论。

二、学生学习方面

对于初中阶段的学生来说，收起学习能力和思维水平的限制，一些分类讨论的相关试题对于他们来说有一定的难度，并且在试卷中占有较高的比例。学生如果不能很好的完成相关试题的解答，就会直观的反映在数学成绩上，会影响学生的学习积极性。针对于这一问题，教师要对于学生的学习过程进行良好的知道。在遇到一些具有较高难度的问题时，教师要让学生耐心的进行对待，引导学生认清问题的本质和关键，清晰、有条理的对于问题进行分解和分类。通过对于已有知识点的良好运用，让学生理性的考虑眼前的问题，并且结合课堂学习的实际内容完成问题的解答。例如，在江苏科学技术出版社初中数学七年级教材第六章《平面图形的认识（一）》一课教学的过程中，学生对于线段、射线、直线的学习上，教师要对学生的学习过程进行深入的研究，并且对学生解题中错误的思路和不良的思维模式进行积极的改进。通过对不同平面图形的举例，将简单的平面图形和复杂的平面图形进行分类，让学生进行分组讨论，并且认识到不同图形之间的联系。进而通过对不同图形之间进行推导，让学生完成对这一章节知识点的学习。数学这一门学科与其他学科有很大的不同，其本身的理性思维特点较为明显。在进行分类讨论问题的解答上，学生要全面的对问题进行分析，并且以理性的数学思维对问题进行分类讨论，避免重复和遗漏。针对一些复杂的数学问题上，在进行解题时，要保证认真全面的渗透，并且保证思考过程具有足够的逻辑性和严谨性，进而更好的实现对同类问题的准确、快速的解答。

总而言之，在初中阶段的数学教学过程中，其教材本身内部很多内容都蕴含着深刻的数学思想。分类讨论思想作为一项重要的数学思想，在教学的过程中教师要以再高度的重视。在开展课堂教学时，教师要潜移默化的渗透分类讨论思想，培养学生良好的思维习惯，培养学生的发散思维，激发学生学习热情，提高课堂授课效率和学生学习效果。通过分类讨论思想的教学，让学生的思维严谨性得到良好的提高，并且真正的提高学生的学习热情和探索精神，为学生的成长奠定良好的思维基础。

参考文献：

[1] 沈国平.分类讨论思想在数学教学中的应用[J].语数外学习（数学教育），2013（05）.

初中数学分类讨论专题 篇4

摘 要：在中学数学教学中，分类讨论的重要性十分突出。要提高学生对分类讨论的重视，弄清楚引起分类的原因、明确分类讨论的标准、遵循分类讨论的步骤、掌握分类讨论的方法。分类讨论是解决数学问题的一种策略，也是训练学生思维方法、培养思维能力的重要手段。

关键词：分类讨论；重合面积；例题

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

数学学科十分重视不同解题思路和方法的探究和运用，根据不同题目的类型，采取最为合适的解题方法，同时探究其他解题思路，这有助于学生发散性思维的培养。分类讨论思想在初中数学教学中的应用就验证了这一种教学思路的渗透。

翻阅苏州各市区近几年一模卷和苏州市中考卷，发现那些开放性、探索性较强的试题往往会作为压轴题，而学生往往失分严重，究其原因，是由于考生逻辑推理能力不强，分类讨论思想缺失，或者解题不严密所致，因此训练这方面能力是非常必要的。

一、确立分?讨论思想的重要性

分类讨论是指在解决数学问题的过程中，根据问题中所出现的多种情况和可能性，分别进行研究的一种常用的数学思想方法。

分类讨论思想一旦以压轴题的形式出现，就会让学生无从入手。因此中考复习要到位，分类讨论这方面问题，必须在平时课上就加以铺垫，化整为零，让学生经常可以感受到分类思想，不要到临考前才临阵磨枪。

二、如何进行分类讨论的教学

分类情况可分为：数学概念的内涵需要分类讨论；问题中的条件需要分类讨论； 问题中的变量需要分类讨论；形状、位置的变化需要分类讨论。

教师必须能全面、熟练地掌握初中数学教材中的所有概念、性质、定理。只有这样，在教学的过程中教师才能更好地运用自己所掌握的东西，使学生对分类讨论思想有系统、全面的理解，让学生能掌握直至熟练运用分类讨论思想。

代数型分类讨论，如绝对值化简，方程根的个数，函数图像性质，二次函数最值等；几何型分类讨论，如求等腰三角形第三边，直角三角形的第三边，相似三角形的分类讨论等；以上问题通过例题、课后作业，可以有效解决，让学生轻松上手。但是综合起来以后，学生有时就很难理解，下面具体来谈一下，如何有效地让学生学会计算“几何重合面积”的方法。

对于几何类型的分类讨论，在课堂教学中，要训练学生，让他们画出几何图形，特别是训练读题画图，在做作业乃至考试的时候，涉及几何的题目，如果原题没有配图，一定要培养他们画图的习惯，对图形有很好的感觉，会对分类讨论有着最直接的帮助。课堂上，教师也应该经常在学生面前画图，并介绍如何利用直尺、圆规等工具，把几何图形画得尽量准确，不要为了省事，总放些课件，把很好的训练机会白白浪费掉。训练寻找题中的特殊角度、坐标、特殊的边的比值等。有时解题的关键就是这些容易疏忽的条件。运动的图形，必须从起点开始画，要学会画出分类情况的临界状况，这是求自变量取值范围的关键，这种过度图形都是很特殊的位置，对于计算是很有帮助的。

例1：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

分析：

（1）利用对称轴，可求出B坐标，用A、B、C坐标求抛物线解析式。

（2）关键要判断一组平行的对边是什么，因此先求出直线PB的解析式，可知与直线y=-2x的k相等，所以直线PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后检验是不是只有一组对边平行，当x=2时，OD=PB，此时四边形OPBD为平行四边形，舍去。

（3）做这小题时，有一条运动的直线，经过自己动手探索，发现△PMN翻折后，有两种情况，如图3、4，即重合部分是三角形或者是四边形。

有的学生画不出图，寸步难行，有的学生只会画出图，至于如何计算，无从下手。教师要先鼓励学生根据原图画出翻折图像，这样的全等图形，相信只要去尝试，可以临摹出一模一样的翻折图形，如果成功的话，接着可以让全班同学一起参与画出不一样的图像，并且一起分析这些“不同的图像”的相同之处，从运动的起点到终点，整个运动过程可总结出有两种重合部分的图像。下面要讨论出这两种情况的分界点，也就是重合部分是三角形的最后时刻，通过刚才画图的过程，可知点P翻折后正好落在x轴上。

分析完后，进入计算阶段，这条运动的直线，是以M为主体，画出的与x轴平行的直线，由速度可得PM=t，下面又是学生碰到的难题，其实，题中包含着很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者边的比值是定值的也算是特殊三角形），这是要告诫学生，必须根据条件，去探索题中是否有特殊三角形，经过（1）（2）题的计算，图3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因为相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角边也是1：2，用t可以表示MN、PH，面积也就迎刃而解了。

这道题的分类思想根据画图得出，因此，让学生从图像变化的起点出发，寻找临界状态，进而画出动起来后的不同形式，再经过分析完善分类，最后进行计算。计算过程一定要利用已知条件，寻找特殊图像。几乎所有类似的题目，都有可以利用的图形。

三、学生如何掌握分类讨论的思想

正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏。分类讨论的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个分类标准；分类讨论应该逐级进行。

分类的基本步骤为：明确分类主体；按条件合理展开分类；根据类型逐项进行讨论；归纳分类结果得出答案。通过平时课内和课后对画图的训练、压轴题中给出的点坐标、特殊三角形的寻找，通过从动点起止状态的分析的训练，学生可以逐渐掌握几何重合面积的解决方法。

四、教师要把主动权还给学生

学生之所以对分类讨论问题惧怕，无非是因为不知道什么题目要进行分类讨论，或分类不完全、漏解，只要突破这两个难点，学生以后碰到此类问题，就会迎刃而解了。在课堂教学中，教师要把主动权还给学生，要产生真切的师生互动，使讨论具有实效。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中。学生一旦尝到努力探索的成就感，久而久之，就会更加喜欢学习，愿意学习。

参考文献：

初中数学分类讨论专题 篇5

第一课时 单一标准

教学目标

1、引导学生根据给定的标准进行分类，掌握分类的方法，初步感知分类的意义。

2、经历简单的数据收集和整理过程，能够用自己的方式呈现收集的数据。

3、初步学会与他人合作交流。

4、体会到生活中处处有数学 教学过程

一、创设情景 探究新知

（一）、感知分类

出示两个文具店，提问：你喜欢哪一个，为什么？ 揭示课题，生活中把一样的东西放在一起就叫分类。

（板书课题：分类）

（二）、体验分类

教师（出示例1）：小朋友们到游乐园玩，买了许多气球。看，多漂亮！教师：这些漂亮的气球有什么不同的地方？（板书“形状、颜色”）。

1、按给定标准分类计数，探索记录方法

教师：能按照形状分一分并告诉大家每种气球有多少个吗？ 学生分组活动并想办法记录分类结果。

教师：现在请大家展示分类的结果，并讨论“你喜欢哪种记录结果的方式，为什么？”

教师小结：虽然大家记录结果的方式不同，但仔细观察整理的结果，你有什么发现？

教师：记录的形式多样，为什么整理的结果相同？ 教师结合不同的呈现方式，引导学生分析数据——哪种气球最多？哪种气球最少？使学生读懂各种呈现方式，体会不同呈现方式的特点。

2、按颜色分类计数，选择喜欢的形式记录结果 学生展示分类结果，教师组织交流、评价：你觉得他做的怎么样？说说理由。

3、在对比中体会

教师：刚才我们分的都是这些气球，为什么分类的结果不一样呢？ 教师:无论结果怎么样，什么应该是不变的？

二、巩固提升 发散创新

1、课件出示练习七

2、题。

（1）教师带领学生完成第（1）题。（2）学生自己完成第（2）题。

（3）讨论：分的都是这些卡片，为什么分类的结果不同？

2、课件播放生活中的分类（超市、图书馆）

初中数学专题讲座学习心得 篇6

李兴霞

通过对专题讲座初中数学复习课教学的研究的学习，我体会到了很多，对照王玉起教授的这堂讲座，我深刻的反思了一下自己，平常上复习课不就是像王教授说的那样在上吗？一上来不是总结罗列那些条条框框的定义、概念、性质等等就是搬出大量的练习题来进行练习，罗列那些东西要浪费至少半节课的时间，而我们知道一节课的时间非常有限，所以结果可想而知，会的同学早已会，不会的同学依然还是一头雾水，复习课的效果没有达到。

温故而知新自古以来就是书生一直秉承的良好学习习惯，那么复习课更是如此，不仅仅要达到“温故”的效果，更要力求“知新”，知什么新呢？知思想、知方法。如果说前面的零碎章节是在教学生做题，那么后面的复习课就是在教学生总结做题的思想和方法；如果前面是在授人以鱼，那么后面就是在授人以渔。我们教育的目的不就是如此吗？提供给学生答案不如教会他们寻求答案的方法。

通过学习，首先我知道了什么是复习课，复习课是根据学生的认知特点和规律，在学习的某一阶段，以巩固、疏理已学知识、技能，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决问题的能力为主要任务的一种课型。其目的是温故知新，查漏补缺，完善认知结构，促进学生解题思想方法的形成，发展数学能力，促进学生运用数学知识解决问题的能力。

其次我了解了上复习课应注意的问题，要上好一堂复习课，其难度绝不亚于一堂新课，所以备课一定要认真，决不能有敷衍了事或直接不备课、裸上等这些没有多大意义的心态或行为。上一堂复习课，最重要的是引导学生归纳总结一些数学思想和方法，掌握一定的技巧。对此我分析了一下自己以前上复习课存在的问题并把他们罗列如下： ．对知识的单纯重复，只 “ 温故 ” 而不 “ 知新 ” ； 3 ．对复习课没有明确、合理的设计理念； 4 ． 复习课与习题课混而不清； 5 ． 复习课的操作模式单一。

这样就会造成学生对知识得不到更深刻的理解，能力得不到更好的提高，学习效果无明显进展。在复习阶段，如果我能够转变教学理念，恰当地调整教学设计，帮助学生建立良好的知识体系，就能使复习课的效率 “ 事半功倍 ”。

针对这些问题，在王教授的启示下，我学习到了解决这类问题的一些方法。

（一）温故 复习课的教学要根据课程标准的要求，巩固基础知识，对学生掌握知识和技能情况进行查漏补缺，对学生的数学思想、思维方法等方面查漏补缺。以前的复习课占用大量时间采用背诵、默写、齐读、罗列等形式对概念、公式、法则、定理等进行简单重复和再现。这样不利于学生对所学知识的再认识和深入理解。那么如何进行“温故”呢？

1.以小题带概念

复习不是让学生简单重复、再现已学的概念、公式、法则、定理等，而是精心设置一些题组，以带动概念的复习，使学生在具体的题目情境中对所学知识进行再认识，同时加深对知识应用的理解。

例如：有理数的复习课(1)用数轴上的表示下列各有理数，并求其相反数和绝对值。-0.5，-3.5，-4.5,7，-4 通过做这么一个小题，学生就可以复习有理数及其分类，数轴，数轴的三要素，绝对值以及相反数，及复习了概念又练习了题目，一举两得。在做的过程中提示学生要注意的问题，能让全体学生轻松把好 “ 基础关 ” ． ． 展示学生近期作业、练习中的错误。

平时注意搜集学生解题时常犯的错误，复习课时以改错形式重现，通过辨别达到巩固基础，查漏补缺的目的，再类比改编题目，加强对知识的正确理解。通过这样的辨别，帮助学生查出漏洞，使他们进行正确计算。

（二）强化知识间的联系，使所学知识成为一体

以后的每节复习课都要引导学生按一定的标准对所学的零碎知识进行梳理、归纳、整合，作不同角度的分类，弄清它们的来龙去脉，沟通其纵横联系，从整体上把握知识结构。引导、帮助学生进行知识梳理，让学生课前采用结构框图、表格、树状图、大括号图等形式梳理知识，让学生了解所学的内容之间的联系，并发展其归纳能力。而我作为教师展示学生的梳理情况，并补充完善知识体系。

（三）深化提炼数学思想方法，亦即“知新”。

数学的学习是从厚到薄，又从薄到厚的过程，复习的目的不仅是要使知识系统化，还要对所学的知识有新的认识，对解题的思想方法进行归纳或提炼，使方法系统化，让不同层次的学生都有不同的程度的提高。例如： 七年级数学第三章的复习应深化转化思想、方程思想以及分类讨论思想。

（四）提高实践应用能力 学习的最终目的是为了实践。复习不是简单的重复，系统化不是复习的最终目的，它的最终目的是 促使学生将所学知识内化迁移、举一反

三、触类旁通，综合运用知识解决 实际问题，培养学生创新意识和实践能力，提高学生的数学思维品质。

此外我认识到复习课还应注意： 复习课教学目标的制定应该建立在对前期教学效果及学生学习现状的回顾与反思的基础上制定，目标要力求准确、具体、有针对性；要面向全体学生，教学设计的每个环节都要注意照顾各层次的学生，习题训练或考试最好有针对性的编制分层题目，让各类学生都能倾其所学、尽情发挥、各得其所； 留给学生思考的时间与空间，问题是思维的核心，只有提出了有一定深度的问题，才能引发学生的积极思维，思考需要时间，带有思考性的问题要给学生时间，先让他们独立思考，再进行师生、生生交流才能有效培养各类学生的数学能力。

初中数学分类讨论专题 篇7

一、分类讨论思想的应用方法

初中数学知识非常的复杂,而且知识面的涉及范围非常的广泛,学习难度很高,因此,许多初中学生在数学解题的过程中,面对题目条件较多,文字理解较为复杂,或者问题解法较多的初中数学题目,很容易出现逻辑思维混乱、无法统筹兼顾,以及无从下手等情况,因此,面对复杂的高难度初中数学解题,初中学生需要更加科学有效的解题方法来进行解题.分类讨论思想这一解题策略正好可以有效地满足其这一需求[1],分类讨论思想能够为初中学生在复杂的数学题目中提供有力的解题思路指引,帮助初中学生有效地进行解题.对于初中学生而言,分类讨论思想的应用方法主要分为以下三点:第一,明确分类讨论的目标.分类讨论的目标是初中学生开展分类讨论数学解题的基础和前提,只有首先明确了分类讨论的目标是什么,初中学生才能够在复杂的解题过程中,找到解题的前进方向,不会在复杂的解题公式中迷失方向,因此,初中数学教师首先应当指导初中学生明确分类讨论最终的目标是什么,才能够进行接下来的解题过程.第二,熟练掌握分类讨论思想的解题方法.分类讨论的解题方法是通过化整为零,最终进行整合的解题方法来进行解题的,因此,初中学生需要牢固掌握这一整体意识,不能在分类讨论之后,忘记了最终的整合,导致解题结论的零散情况.第三,重点做好分类讨论结论的整合.初中学生在进行了分类讨论的数学解题过程之后,会得出很多的不同条件下的数学结论,但这些结论中很多有可能都是重复的,或者相互矛盾或者不成立的,因此,面对这一问题,初中学生需要对这些结论进行最终的整合,形成一个完整、没有问题的最终答案.

二、分类讨论思想在初中数学解题中的具体应用分析

1. 在几何解题中的应用

初中学生在进行几何相关知识的解题过程中,很多题目可能包含和考验的不止一种几何知识,因此,初中学生要想有效地解答该类数学题目,其就必须借助分类讨论思想的帮助[2],通过对题目当中的各项解题对象来开展分类讨论,才能够有效地保证解题的逻辑思维清晰和答案的正确性.比如,以鲁教版初中一年级数学教科书中关于“钝角三角形”这一几何知识的例题教学为例.

例1有这样一个钝角三角形ABC,在它的三个内角当中,其中∠A=27°,请问它的另一个内角∠B不可能为以下哪一个度数?()

首先,分析该题题目条件,已知该三角形为钝角三角形,那么其必有一个内角大于90°,而另两个内角的度数之和应当小于90°,因此,结合分类讨论的思想方法,该题的解题方法为:

①若∠C为钝角,∠C>90°,则∠B<180°-27°-90°=63°,(A)、(B)选项均为合理.

②若∠B为钝角,∠B>90°,则(D)选项97°合理.

因此,综上所述,(A)(B)(D)答案均可存在合理性,因此,该例题的答案为(B),∠B不可能为77°.

2. 在函数解题中的应用

初中学生在解题过程中,需要考虑到函数题目本身表明和提供的限制条件进行答题,这很大程度上会对初中学生的数学函数解题过程造成困扰.而分类讨论解题的方法的应用可以很好的解决这一问题,分类讨论的数学解题方法与初中数学知识中的函数解题需要不谋而合,分类讨论解题方法能够有效地帮助初中学生理清解题思路,开展限制条件的分类讨论,从而有效地计算出题目的最终答案.以鲁教版初中三年级数学教科书中关于“函数”知识的数学例题的解题为例.

3. 在方程解题中的应用

方程类型题是初中数学教学中重要的一种类型题,同时也是解题难度比较大的一种类型题,其是学习数学知识的重要基础.虽然在解决相关方程题的时候可以合理运用转化法、消元法以及位移法等解题法来达到求解的目的,但是在实际的解题过程中,学生经常会忽视相应参数取值的局限性.比如含绝对值的方程类型题和指数的幂等,这些常常是学生容易忽视的部分,并且没有明确其具体的取值范围.此外,在分式分母中含有字母的时候,也需要进行分类讨论,所以此时教师需要引导学生着重就这些类型题的求解方法和思路进行分析和探究,使学生逐步掌握分类讨论法的具体应用流程,从而逐步提升学生解决方程类型题的能力,同时也有利于使学生灵活运用分类讨论思想来解决有关的数学问题.

例2在讲解“一元一次方程”部分数学教学知识的时候,针对下述方程题的求解就是考察分类讨论思想的一种类型题,即:求解方程|3-x|+|x+2|=5.

解析:针对上述带有绝对值的方程类型题而言,其是分类讨论思想运用的典型类题,具体要将绝对值内部的数值依次划分成零、正数和负数三类来进行分类讨论.同理,在该道例题中,也需要将|3-x|和|x+2|分别划分成>0、<0、=0三类来进行讨论.由此可知,该道方程类型题可以转化成以下三种类型,即:

(1)x<-2,此时可以将上述方程转化为:3-x-(x+2)=5,由此可得x=-2,这和x<-2相矛盾,所以此时方程无解.

(2)-2≤x≤3,此时可以将上述方程转化为3-x+(x+2)=5,此时可知方程恒成立,所以可知该区间范围内的全体实数值均为方程的解.

(3)x>3,此时可以将上述方程转化为-(x-3)+(x+2)=5,可求出x=3,与x>3取值范围相矛盾,所以此时该方程无解.

基于上述所述,通过引导学生灵活运用分类讨论思想来解决相应的问题,可以合理对相应问题进行分类处理,并进行合理地讨论处理,从而使学生最终求出该道题的最终结果为:-2≤x≤3.

4. 在三角形问题中的应用

在初中数学教学中,分类讨论思想也经常出现于三角形类型题的求解中.在题目中,如果已知条件存在不确定因素,如已知两边长且图形为等腰三角形,求其周长和面积.在该条件下,我们无法得知已知条件中所指的边长和腰,此时就需要将其分别当作底边和腰来进行求解.

例3已知直角三角形的两边长分别为3 cm和4cm,求第三条边长的数值?

解析:针对该道例题,需要将其中的4cm边长分别当作直角边和斜边来进行考虑,此时可求出另一边长的尺寸分别为和5cm.如此一来,就可以使学生通过训练而逐步掌握分类讨论思想,从而可以不断提升学生的数学解题能力.

综上所述,分类讨论思想在初中学生的数学解题当中应用,可以很好地帮助初中学生锻炼其数学逻辑推理能力和解题能力,因此,初中数学教师应当积极采取有效的方法来帮助初中学生有效地掌握分类讨论思想的运用方法,从而科学地提高初中学生的数学解题能力和学习质量.

参考文献

[1]车树勤.分类讨论,如何化整为零(上)[J].数学教学通讯,2011(2):48.

初中数学分类讨论专题 篇8

关键词：初中数学 分类讨论 教学

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1673-9795(2012)03(c)-0000-00

1 分类讨论思想的重要性

分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方式去解决，是一种把整体问题分成若干问题，对问题中的各种情况进行分类讨论，最后做到无重复无遗漏地得到答案。

在初中数学的教材中无处不渗透着分类讨论的知识点。这不仅仅是教材大纲对素质教育的要求，同时也有利于提高学生的综合学习能力，培养学生的创新和探索能力。最重要的是能够增强学生思考问题、解决问题时逻辑思维的严密性、周密性。这对于学生将来的各种学习生活是一种很好的锻炼方式。

可在数学中为什么要进行分类讨论呢？这要归结于我们所要研究和解决的问题。当我们所研究和解决的问题涉及范围过广，各种分支问题之间过于复杂时，就必须采用分类讨论才能解决。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件，并逐类进行分析和讨论，无重复和遗漏，最后还必须注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。因此，面对过于复杂的试题只有这种方法才能得出答案。

2 如何在初中数学中实施分类讨论的教学

分类讨论思想充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。因此这是一种非常复杂的解题方法，却是在解决复杂问题时最行之有效的方法。一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。

2.1 教师必须系统地全面掌握初中数学概念

在初中数学中，教师如何实施分类教学成为各位老师最关心的问题，同时也是教学的难点。教师如何能让学生在解题时，对涉及到分类讨论思想的概念有正确的认知和理解，并且牢固地掌握这种解题的思想呢？首先，教师要对初中数学中的各种概念有一定的系统、全面的理解和掌握。这其中不仅仅包括涉及到分类讨论思想的概念，而是整个初中数学中所有的概念。这样，教师在教学的过程中才能很好地运用自己所掌握的东西，让学生对分类讨论思想有系统、全面的理解。

2.2 强化分类讨论思想

分类讨论思想是一种非常复杂和严谨的思考方式。因此，在教学的过程中，教师必须时刻向学生渗透这种思想，并不断地使之强化。勾起学生对其的兴趣，让学生自动地对其产生好感，并自发地进行探索和学习。而强化分类讨论思想意识最有效的方法，就是不断地练习。在练习的过程中，不怕学生漏掉假设命题，漏掉重点分析的结论，让学生在错误中改掉不正确的解题步骤，才能不断地总结学习分类讨论的各种方法，增强学生在逻辑思维方面的能力。

2.3 增强学生进行分类讨论的信心

基于分类讨论的各种难点，不仅教师在教学的过程中遇到过各种问题，学生也在此遇到很多难以解决的问题。于是，当有些同学遇到涉及分类讨论的试题时，会产生畏惧和烦躁的心理，甚至会放弃此题。可是这样的观念和做法是极其不正确的。实际上，解答这类的试题只要理解和掌握了分类讨论思想的实质就很好解决。教师要在教学的过程中，以鼓励的方式引导学生多多接触这类试题，并向他们灌输一种“其实这类试题并不是想象中的那么难”观念，帮助他们减少遇到此类问题的畏惧和烦躁感，增强学生解决分类讨论试题的信心。

2.4 培养纵观全局讨论的方式

实际上，解决分类讨论问题的关键是有要纵观全局的逻辑思维方式。能够应用到分类讨论思想的问题，往往其中都是有很多的假设性的前提，即问题。必须清楚地理解各个前提之间的关系，并逐一分类进行讨论得出各个问题的结论，再依据各个问题的结论得出最后的结论。因此，在这个过程中要求解答者需要具有纵观全局的逻辑思维方式，才能找到最想要的答案。教师在教学时，要注意培养学生这方面的能力，这不仅有利于解答分类讨论的试题，还有利于学生培养自主学习的能力，总结学习方法。

3 学生如何掌握分类讨论的思想

俗话说“师傅领进门，修行在个人”。教师在教学的过程中始终担当的角色是知识的传播者。学习的主体还是学生本身。如果一个学生没有时刻保有积极向上的进取心，没有很好的理解和掌握分类讨论思想，无论教师如何引导学生都不会有效地把握这部分知识。

3.1 运用已有的知识点进行分类讨论

分类讨论的试题往往会成为一份试卷的压轴题，从这点就可以看出这类试题对于初中生来讲具有一定的难度。当学生遇到这类问题时不要烦躁，看清问题的关键，条理清晰地进行分析讨论。其实，学生运用自己掌握的现有知识点就可以进行很好的讨论。尽管解答这样的试题有难度，可是它所涉及的知识点不会逾越初中数学教材。因此，学生应用已有的知识点完全可以解决这类问题。

3.2 深入理解，全面分析

学生在解答分类讨论的试题时，要明确分类讨论的原因与讨论的方法。而解答初中数学中分类讨论问题的方法也是基于这点出发。首先，学生要清楚地明白为何要进行分类讨论，以及如何讨论。然后在进行分类时要条理分明，必须做到既不重复也无遗漏。

面对复杂的分类讨论题，要有纵深思考的逻辑性。只有这样才能对问题有一定的理解，从而对问题进行全面的分析。这样，学生才会找到解答这类时最有效的方法，解答时也会更加地得心应手。

4 结语

纵观初中数学教材内容，里面的一个概念，甚至是概念中的一句话、一个词都隐含着分类讨论的思想。试卷中涉及分类讨论的试题也逐渐增多。因此，对于教师而言，在教学的过程中要时刻向学生渗透分类讨论的思想，让学生在潜移默化中理解并掌握这方面的知识。这不仅能帮助学生取得很好的成绩，更有利于培养学生逻辑思维的严密性，以及激发他们对求知的渴望。從长远的角度来看，拥有良好的分类讨论能力，也会具备很好的逻辑思维能力。这对于学生而言，是一种非常重要的能力。

参考文献

[1] 杨继梓.初中数学教学中的分类讨论思想[J].陕西教育(教学版),2011(05) .

[2] 吴立宝,赵思林.例谈中考数学创新型试题的立意[J].中学数学,2009(14).

[3] 陈荣忠.例析初一数学中的分类讨论问题[J].初中数学教与学,2011(16) .

[4] 程雪英.例说分类讨论[J].中学生数理化(教与学),2011(05).

初中数学分类讨论专题 篇9

初中数学数与代数

綦春霞（北京师范大学，教授）

史炳星（北京教育学院，副教授，教研员）王瑞霖（北京师范大学教育学部，博士）

数与代数在这一部分内容主要涉及到 6 个话题，前三个是和内容有关系的，第一个话题是数与式，第二个话题方程与不等式，第三个话题是函数；另外三个话题，是基于知识之上侧重培养学生的一些方面的能力，一是运算能力，一是符号意识，再一个是模型思想。

话题一 数与式

一、重点

关于数与式的主要内容，包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。

二、内容的变化

（一）降低了对于实数运算的要求。比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。

（二）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。例如 “能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。

（三）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。

（四）在具体情境中理解字母表示数的意义。例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。”

（五）注重代数式的实际应用和实际意义。例如要求“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。”

（六）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。

（七）强调几何直观的作用。

（八）知道｜a｜的含义（这里 a 表示有理数）。

三、价值及作用

数与式这部分内容，在代数当中甚至在整个数学领域当中，都是非常重要的。具体的来讲，有下面的几点：

第一点，通过数与式的学习，使学生体会到数学与现实生活的密切联系，感受到数学的价值，能够培养学生对数学学习的兴趣，增强学生的应用意识。关于数学和生活的联系，以及培养学生具有应用意识，可以举如下的例子：在我们学习数轴的时候，学生通过观察温度计、天平的标尺以及常见的两个相反方向行走的例子，能够从这些现象当中得到数轴、抽象出数轴的这样一个概念。接下来我们就可以利用数轴联系数学内部的一些知识，即应用于数学内部。同时数轴作为一种工具，它又能很好地帮助学生理解其他生活中的问题，比如时区问题，化学中的一些常见的问题等等。

这就是我们说的核心的概念：几何直观。从温度计抽象出数轴来，同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念。学习有理数之后数轴还不能被充满，但是学了实数之后这个数轴就被充满了。这样直观的一个工具，对于学生来理解实数是非常有帮助的。

第二点，我们来谈谈关于数的概念和运算、代数式的建立、以及推导与探究性的活动，有利于学生形成数感、符号感的问题。学习数的概念和数的运算，除了学生会运算之外，数感和符号感也都是在这个过程当中逐渐发展起来的，而且通过学习数的概念和数的运算，不仅能够提高学生的运算能力，同时也能够发展学生的推理能力，对于提高学生的思维水平都是非常重要的载体。如：对于一般化的处理方法，因为字母表示数，实际上就是把数的概念和运算进行了一般化的处理，这样就把学生的思维水平提高到抽象化的水平，同时也会逐渐通过式的建立以及对式的进一步学习，逐步形成模型的思想。

我们在学习幂的运算这一部分内容时，教师们通常是让学生在原有的一些知识基础之上，猜想观察猜想出幂的运算规律，从数的计算开始，103 × 102 = 10 5 =10 3+2，a 4× a 3 =a 7 =a4+3，a m· a n ＝ a m + n 逐步地提升到用字母来表示。再将这个公式应用于数学问题，这样的话，学生经历了从特殊到一般，再从一般到特殊这样一个过程，体会了这样一个数学思想。但这个过程我想其实充分体现了符号对数学学习的意义。

我们观察幂的运算公式，会发现幂之间所做的运算，如果幂之间做的是乘除运算，到了指数上它就会变为加减运算，运算等级降了一级，幂做乘方的运算，在指数上就变为了乘法的运算，其实也是降了一级。而学生无论通过观察，还是在教师的适当引导下，他都能够认识这样的规律，产生这样的意识，这正是学生积累了一定的符号感。符号感的获得一方面基于对算理的理解，也是基于学生不断的归纳和类比和各种方法的运用，就可以逐步获得这样一种意识。

这个例子挺好，里面就体现了符号表示的一般化作用，因为在前面通过具体的数字产生了一种猜想，有可能这个同底的幂做乘法是指数相加，然后再根据指数幂的意义进行计算，就得到一个一般化结论，所以这个过程中除了有符号感，也有合情推理的成分。因此我们认为，这部分内容不仅能够发展学生的运算能力，而且也发展了学生的符号感还有推理能力。

第三点价值，体现在数学里面，我们经常看到一些对立统一思想。例如在一些概念、一些量中我们会发现，正数与负数，精确与近似，还有已知与未知之间的转换等等这些概念中都蕴含着统一思想。这些内容的学习确实有助于学生提高他们用唯物主义的思想和科学的观点来认识客观事件的能力。而且也体现模型思想，比如正数与负数，在生活中我们表示东与西就用正数与负数，所以正数负数它不单纯就是我们所学的计算等等，最后它已经成为表示具有相反意义的量的一个数学模型。

话题二 方程与不等式

一、重点

方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，一个就是关于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程。不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式组。

方程和不等式这个话题里面，这部分内容一个我们强调方程和不等式的模型思想，也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象，用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来，然后进行讲学，最后运用到现实问题。所以这一部分内容就是一个重点，还是突出它的模型思想，当然另外一个部分，也是我们在这部分内容所突出的一个重点，那就是如何解这个方程和不等式。

二、内容的变化

在方程部分变化的内容为：

（一）与实验稿相比，有些内容适当增加：如一元二次方程的根与系数的关系，但不要求应用这个关系解决其他问题，了解就可以了，不要深挖洞。

（二）三元一次方程组作为选学内容。

（三）一些具体要求，如一元二次方程只要求解数字系数的一元二次方程；分式方程只要求解可化为一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超过两个。

（四）删除了部分内容，如由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法；由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。这是与大纲相比发生的变化。在不等式部分变化的内容为：

（一）强调结合具体问题，在具体情境中探索不等式的意义。而且强调了过程目标“探索”，强调对于不等式组解的几何意义的理解。

（二）删除了一元一次不等式组的应用。

（三）解不等式中对相关的内容作出了限定。如能解数字系数的一元一次不等式。

三、价值及作用

这里想突出方程与不等式的三个主要的作用，第一个是模型思想。这点非常重要。另外涉及到的一点就是化归的思想方法，我们解方程组等等一系列过程都涉及到化归。第三点，这部分内容对后续学习是一个非常重要的内容，因此我们说它在整个数与代数里面有着非常重要的作用和价值。

首先，方程与不等式的学习，有助于学生形成建模思想。

方程的模型思想主要是指根据具体问题中的数量关系，经过必要的抽象，提炼出未知数与已知数之间具有的等量关系，列出方程（组）；在列出方程后，再运用方程（组）求解的各种方法，求出方程（组）的解，进而解决问题，从而体会方程（组）是刻画现实世界的一个有效的数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线。

“相等”与“不等”是数学中两种基本的数量关系，二者相辅相成，形成对数量关系的完整认识，是进一步学习数学不可缺少的基础知识和有效工具，也是分析和解决一些实际问题的重要方法。

说到模型思想，我们在教学当中曾经用到这样一个案例：一位同学小明，如果给出了他的走路速度和跑步速度：走路平均速度为 6km/h，跑步平均速度为 10km/h，又给出了从家到学校的距离为 2km，有了这样的条件，可以提出什么样的一些问题呢？在和同学们讨论之后，学生反应非常热烈。这里我们拿出一个例子跟老师们分享：有的学生提出了这样一个补充条件，说他走在路上，走着走着突然发现自己有东西落在家里了，于是就赶紧跑回去，跑回家去取东西，接下来又跑到学校，跑到学校发现所用的时间和走到学校的时间是一样，也就是说到校的时间是没有变化，那问小明是在什么地方或者走了多久发现自己落了东西？ 学生在提出这样一个问题之后，要想确定出这个问题的模型，首先就要考虑，小明走到学校到底要花多长时间？通过计算得出用 20 分钟。接下来在这次上学的过程中，到底发生了一些什么样的事情，先走了一段路，接下来往回折返跑回去，相当于从家又跑到了学校，这个过程当中学生们通过分析通过画图通过各种各样的方法，发现他跑的这一段路程实际上走路的路程多出来的就是家到学校的距离，即 2 公里。如果设未知数，我们就可以利用等量关系列出方程： 设 t 分钟之后返回，用 2 公里这个路程作为等量关系可以列出这样的方程：，进而解决问题。

当然学生还可以改变条件，或提出各种各样的补充条件，在这样一个问题的基础上，寻找“等量”“不等”这样不同的关系，建立各种各样的模型，用方程或不等式等多种方法来表述问题、解决问题，这个案例我想供老师们参考，希望能给大家一些启发和思考。

关于列方程解决实际运用问题，有很多老师反应比较难，找等量关系方面学生就比较有困难；找出等量关系了方程却列不出来。像刚才的问题，有没有什么好的建议？即怎么使学生能够在分析实际问题的过程中抓住主要的关系，怎么能够读懂题目？怎么能够提高他们分析问题和解决问题的能力？

这确实是老师们比较头疼的一个问题。学生在面对数学和生活联系的时候，往往很难直接找到它们之间的联系建立模型。实际上学生在生活当中，本身就应用着数学，经常面对数学，而教师们在设计问题或者说设计教学的时候，有的时候会忽略学生和实际数学之间的联系。如果说利用刚才这样的案例，给学生一个比较开放性的平台，即给出的条件是不充足的，你再补充其他条件，这样，问题也许会比较简单，也许会比较复杂，也许有解也许没有解，不同的阶梯性补充，可能对水平存在差异的同学来说，确实是有很好的帮助。

有经验的教师也会发现，在解决方程与不等式建立模型或者说是列方程解决问题的时候，往往是在教师的引导下把问题简化，指出主干让学生去抓住问题当中最基础的这样一个关系，这样会使问题变得简单，如果说一上来问题就比较复杂的话，往往会挫伤学生的积极性，并且再处理起来，也确实无从下手。第二方面，当学生学方程和不等式的时候，对形成化归的思想非常有帮助，我们知道，化归就是把你原来不会的问题转化成你能够解决的问题，把复杂的问题变成一个简单的问题。我们在求解方程的过程当中，我们经常用到合并同类项，移项去括号去分母等等，这样一些方法来解决一元一次方程，以及可化为一元一次方程的分式方程，这是老师都比较熟悉的这样一个解方程的步骤。再一个当学二元一次方程组求解的时候，就可以通过消元，即把两元变成一元，转化成已经学过的内容。当我们再学到一元二次方程的时候，我们也是想办法降次，降次我们可能用到配方法，因式分解法，其实这些都体现了我们所说的化归思想。第三方面，方程不等式同样也是后面学习高等数学一个非常重要的基石，例如我们谈到根与系数的关系这部分内容。当然在一元二次方程中，只要学生能够体会这种关系，而不需要他去扩展解决其他问题。实际上根与系数的关系，作为一个普遍的规律在高次方程，一元 n 次方程的情况还是有适用性的。所以，学生通过这样一个探索会发现一般性的规律。一次方程，二次方程，高次方程等等这些方程，甚至是将来高等数学以及经济学当中，根与系数关系都体现了一个很好的应用，都体现了方程的模型思想，不同的只是解法不同。初中阶段学习的方程和不等式其实对后续的学习是有非常大的帮助。

话题三 函数

一、重点

初中阶段函数部分的内容，主要包括一次函数、二次函数、反比例函数，在这个阶段学习函数，重点就是要借助现实背景，在现实情景中理解函数的概念。而且在研究函数的性质过程当中，重点应该是要利用图象的方法直观地发现函数。例如一次函数有什么特点？二次函数有什么特点？反比例函数呢？此外还有一个非常重要的方面，就是体会函数各种表示之间的联系。例如函数的表示法，我们有表格表示，就是具体的看有一个 x 怎么和 y 对应，另外就是有解析式表示，还有图象表示。以前在传统的教学当中，可能这个解析式的表示我们用的比较多，表格、图象表示用的比较少，不管在标准的实验稿当中还是修订稿中，我们都要关注函数的图象表示，借助函数的图象来研究函数的性质，这是一种非常直观的办法。同时在这个修订版的标准当中，也强调了对自变量取值范围的讨论，应该结合具体的实际问题，在实际问题中讨论自变量取值范围，而不是说泛泛地、一般性地讨论自变量的定义域、值域。

二、内容的变化

（一）强调一次函数的现实意义。如要求“结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。”

（二）强调一次函数与二元一次方程的关系，但不要求用图象法求二元一次方程组的近似解。

（三）强调对于一次函数图象变化的探索。例如“根据一次函数的图象和表达式 y = kx + b(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 时，图象的变化情况。”

（四）强调用反比例函数解决实际问题。如要求在具体情境中理解反比例函数的意义。

（五）突出反比例函数的图象功能。能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 时，图象的变化情况。

（六）强调用函数解决实际问题。如要求在实际问题中分析体会二次函数的意义，并运用于实际，在实际问题中考虑自变量的取值范围。

三、价值及作用

函数是非常有价值的内容，首先变量之间的关系在现实世界当中就是普遍存在的，如何研究变量之间的关系，从数学上解决这个问题，它的工具就是函数。所以对于学生来讲，利用函数的方法解决现实问题，实际上是从常量的数学走到变量的数学，像在方程中，x 表示未知数，它实际上不是变量，其实它是一个常量。在函数当中就不一样，它可能是自变量，也可能是因变量，所以从这个角度来讲，从学生的思维角度来讲，它是一种飞跃，而且通过变量的学习，学生可以逐渐地形成辩证唯物主义的思想。

通过变量之间关系的学习有助于培养学生的理性思维，因为学习函数，就要表示变量之间的关系，它有一个很重要的作用，就是利用函数的关系进行预测，或利用函数的关系进行计算，未知的点可以通过函数关系把它计算出来。我们预测人口，如中国二十年以后的人口数量问题，可以根据对以前人口的统计、对数量进行分析，根据它的变化规律来进行预测。进行计算也是函数非常重要的一个应用，我们根据函数的变化规律，看其中某一些位置的点的函数值是多少等等。另外由于在函数学习的过程当中，我们非常重视函数的图象表示，所以对培养学生的几何直观函数也是非常重要的载体。通过直观分析函数的性质，学生可以对函数的增减性，或者是周期性等等都能够有很好的认识。

从常量到变量数学的过渡阶段，学生从小学阶段就已经开始。到了初中阶段，学生又接触到一些新的知识，他们逐渐在丰富的自己的认识。如我们在教学中也曾经向学生出示这样的一些图象，向学生提出问题：这些图象都可以刻画什么？

不同的学生有着不同的一些想法。你能不能够在现实生活中找到这样的函数的一个实际背景或实例？例如第一个图象，学生可能会说是匀速行驶的汽车的时间和路程之间的关系，也有学生会举例子说，如果苹果一斤是 2 元钱，这个图表示的是苹果斤数和总价的关系，这些例子都是比较朴素的。不妨再来看看第八个图，有的学生会说，这个是向水桶中注水，最后达到了上限还要再注，时间与水面高度的关系；还有同学举例子说，将 20 度的水加热，加热到沸腾；有的学生是说从甲地出发到了某地之后，这个车坏了怎么修也修不好；还有的说是弹簧的承重有一个限度，但它超过这个限度之后，长度就已经超过了弹簧的承受能力，长度就不变了。当然这些所举的例子都还需要再斟酌。有的学生会说是小明的体温，开始逐渐上升，最后持续高烧，这也是一种可能的情境。有非常多的学生都提出自己的想法，用来解释以上图象，即是说他们能够从现实生活中挖掘出丰富的现实情景，去解释各种各样的函数关系，我想在这样一个过程中学生们就能真正体会到函数图象的价值。这是在用解析式表达、学习函数性质、应用函数解决问题等等之外的收获。可能我们首先应该让学生感受到的就是：函数离我们这么近，其实它就是这么普通。这样，函数的连续性、函数的取值范围等在学生的理解中也就更简化，更容易被他们所接受。

函数还有一个作用，体现在解方程中。即方程可用函数的方法去解，如果一个方程，我们不能用已学的的方法去解。例如三次方程，我们的学生还没有学，就不会解，但是我们可以画一下它的图象，然后就可以以此来大致的估计一下它的解的范围，对它的解形成一些初步的认识。实际上在初中，方程、不等式还都可以看成函数的一种特殊情况。

另外函数这一研究变量关系的方法，实际上对于其他的学科，如物理、化学、经济及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。因此学好函数这部分内容，搞好函数这部分的教学，在初中代数中是非常重要的。

话题四 运算能力

一、意义及作用

运算能力是一项基本的数学能力，初中数学中大多数问题的解决，都离不开运算。但是，教学中常常出现学生在计算时机械地搬用运算公式、盲目推算，缺乏合理选择简捷运算途径的意识等。因此，《课程标准修改稿》将“运算能力”作为一项重要的内容，同时提出运算能力培养的价值，即“有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。”由此可见，运算能力在学生的数学学习，尤其是数与代数的学习中具有重要的价值和意义。

二、在标准中的含义

《课程标准修订稿》将“运算能力”界定为“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”“正确”是对运算结果的要求，这是进行一切运算最终的也是最根本的要求。“根据法则和运算律”也就是运算的依据和运算的前提。这要求学生要理解运算时所用的法则和运算律，不仅如此，还要求会正确、恰当地应用这些运算律、运算法则。

此外，《课程标准修订稿》还指出了 “培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。”因此，运算能力不仅包含对运算意义、法则、公式、运算程序的正确理解，还包含对简捷的运算途径的合理选择。这要求学生能够根据问题的不同条件和不同目标，灵活地运用公式、法则和有关的运算律，能够掌握同一个问题的多种运算方法，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。也就是说，运算能力中包含着对思维能力的要求。因而，在运算过程中，学生的思维能力会受到检验，并得到锻炼。

三、与内容的联系

与运算能力相关的内容，一个是有理数的运算。还有实数的运算，但由于解决实际问题取近似值，落脚点还是有理数运算，带根号的无理数的运算实际上是恒等变形。关于式的运算，实际上就是恒等变形。运算在解决问题中是必须的，运算能力的培养是重要的。还有方程或不等式的求解，都有式的运算，都要求其结果具有正确性、采用简便算法，及选择最佳途径。

四、如何培养

关于运算能力的培养有四点，即关于态度、知识、能力，以及应用。

第一在学生的态度上，首先要让学生重视数学运算，让他们意识到数学运算是非常重要的，需要在态度上面有一个非常正确的认识，不要认为这个运算可有可无，或者把丢一个数或者错一个数，看成一个非常不重要的事情。所以第一点就是强调态度，必须重视运算。

第二个运算不是凭空建立起来，它是基于一定的知识背景的，这种知识是什么？首先必须要让学生要掌握好运算过程中的一些概念，性质，以及用到什么样的公式，用到什么样的法则。因此我们认为，在学习这些知识的时候，应该给学生强化，让他意识到这是一个最根本的东西。

其实在学生运算过程中运算能力与推理能力直接关系。为什么这么说呢？因为学生在运算的时候需要一步一步地去进行，前一步是后一步的前提，运算不是凭空建立起来，必须有充分的理由才能够做后面的运算，才能够实现前后的这种连贯。因此在这个过程中一定要让学生理解运算的性质和公式，以提高他们进行推理的能力。

比如我们在学习乘法公式的时候，学生经常爱犯的错误中，比较典型的就是将这两个公式混淆了，认为(a+b)2 =a2 +b2。这是一个常见的错误，不利于今后的学习和使用以上知识点。这个错误产生原因我们可以分析，可能是一些知识的负向迁移。我们到底如何避免这样的错误？老师们不妨在教学中不断的回到最初，不断地追本溯源让学生重新认识公式是如何得来的。

公式得来其实有两个方面：一个是代数推导，一个是几何直观推导。它的代数推导就是我们之前的所学的知识：多项式乘多项式。这个乘法的运算中，共得出四项，再合并同类项得到了三项。在这个方法之外，其实几何也非常重要，而且是完全不同的一个途径呢。

对于这个图，我们还是很熟悉的，在几何图形中，(a+b)2 可以理解为边长为 a+b 的正方形的面积，而它是在两个小正方形 a2 和 b2的基础之上，还要算上两个矩形的面积，这样我们就完全否定了刚才的错误。学生在有了数、形两个方面对这个公式的认识之后，对这个公式的正确掌握会得以提高。在此给大家一个建议，此处很好地体现了几何直观的作用，利用几何直观纠正学生这个错误很有效。这个问题也是大家一直谈论的：我们算的目的是什么？其实我们在培养学生运算能力的时候，可能有的时候又要考虑到算的原因和它将来的发展。在学生出现问题的时候，我们怎么去给它克服思维的定势，找到错误的根源，以及解决它。所以运算能力的培养不仅要关注在解决问题的过程中，考虑要解决一些纯数学问题，也要考虑解决其他知识这方面的问题。这个例子一方面反应了对运算的理解，另一个方面有一些运算也可以运用到其他的知识中去，这其实也加深了学生对运算知识的一些理解，同时也培养他这方面的能力。所以运算能力的培养其实是一个大家比较关注的话题，当然也是一个非常重要的话题，但是我们也注意到，运算能力的培养不是一下子能够到位，我们应该循序渐进，随着知识的学习和深入把它要渗透到我们教学过程里面去，这样的话才对学生真正的发展起作用。

话题五 符号意识和代数的思维特点

一、意义及作用

学生一进入初中，首先学的代数内容就是用字母表示数。用字母表示数一般被认为是学习代数的开始。用字母表示数把小学所学的关于数的内容进行了一般化的表示。用符号是数学的一个特点，符号实际上是数学的语言，数学可以说是一个符号化的世界，在数学当中，人们用符号来进行表示，而且用符号来进行交流，所以学生具有符号意识是非常重要的。逐步形成符号或感受符号的作用是非常重要的，没有符号在一定意义上来说就没有近代和现代的数学，所以符号的产生，用符号来进行表示非常重要，标准指出，建立符号意识有助于学生的理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形成就是从用字母表示数开始，学生就应该用符号来进行表示，用符号来进行思考。

二、在标准中的含义

在课程标准的修订稿中，将“符号意识”界定为：主要是指学生能够理解，并且运用符号来表示数，数量关系和变化规律，知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。这里所提到的运用符号来表示数，数量关系和变化规律，其实也像刚才所提，在小学字母表示数的基础之上，进一步建立比较复杂一些的数量关系和尽可能地用符号刻画事物发展的趋势和变化规律。符号可以进行一般性的运算和推理，也就是涉及到我们用基础的符号来不断构建数学、代数部分的运算大系统。其实符号可以表示，也可以运算，也可以去转换。课程标准修订稿中特别突出符号的作用，它可以进行数学表达和数学思考。这里面我们所理解的数学表达，其实对学生来说就是能够建立初步的符号意识，用符号和其他的一些手段，用数学的方式表达现实生活，这其实是一种对学生来说比较基本的要求。在此基础之上，他能够用符号进行思考，其实更是对他理性思维和在数学能力上的一个要求的体现。

三、与内容的联系

与符号意识相关内容，第一个要考虑的是符号的表示。第二点是对符号的解释。还有一点，在符号意识中还有一个符号的运算，以及符号之间的转换。

四、如何培养

首先应该让学生在实际的问题情景中理解符号以及表达式、关系式的意义。也就是说我们培养符号意识和具体问题应该是发生联系的。

其次也是非常重要的，我们经常说数学是一种语言，其实是强调数学的符号也是一种语言，因此我们要培养学生的自然语言和数学语言的转换能力。我们知道学生自然语言能力非常好，因为这是他的母语，我们在数学学习中培养学生符号意识的过程中，让他实现这两种语言之间的转换也非常重要。有学者认为，在解决问题的过程中，他的符号感通常和数感、函数感、图表感相互联系。笛卡尔也指出，任何问题都可以转化成数学的问题，任何的数学问题，都能够转化成代数问题，任何的代数问题又可以转化成解方程的问题。通过数学化思想来实现问题的解决，我们现在且不说这个论述是不是完全正确，但从某种意义上说，数学化是一个非常重要的过程。在方程学习过程中，他如何实现这种数学化？方程就是把文字表达的一些条件，改用了数学符号，其实这是利用数学知识来解决实际问题所必须的一个程序。

另外就是数学当中除了字母表示数之外，还有一些其他的符号，如∥、⊥、∵、∴、≌ 等等。我们在引入这些符号的时候可以联系一些数学史，给学生增加一些数学文化方面的知识，使学生感到数学既有价值又非常有意思，愿意学，我们课程目标的一个目标是态度情感价值观的，在这个方面应该使学生产生对数学的热爱，体会到数学本身也是有意思的，这方面老师在教学当中也可以尝试做一下。

话题六 模型思想

一、意义及作用

数学与现实生活紧密相连。随着科学技术的发展，特别是信息技术的发展，通过构造数学模型来解决实际问题的方法正广泛应用于科学、工程和社会学科等多个领域。因此，模型思想作为重要的数学思想方法之一，对 7 ～ 9 年级学生思维能力的发展和问题解决能力的培养都具有重要的作用。

二、在标准中的含义

《课程标准修订稿》将“模型思想”界定为“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习兴趣和应用意识。”由此可见，模型思想有这样几层含义：首先其来源于现实生活和问题情境；其次，用数学的方式进行表述，将问题转化成数学问题，并加以解决；最后，还原到现实问题，去解释数学解的合理性。

三、与内容的联系

1．方程模型

一个长为 10 米 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米。如果梯子的顶端下滑 1 米，那么梯子的底端滑动多少米？

2．不等式模型 模型：某地出租车费用是这样计算的 :（1）每公里 2 元, 基价为 3 公里, 起价 10 元；（2）15 公里以上的部分加收 50% 空驶费； 请分析里程为多少公里时更换出租车更划算？

设里程为 x km(x>15)，超过 15 公里时两种方案的费用分别为：

时，即 x>19 时，更换出租车更划算 3．函数模型

某书定价 8 元。如果一次购买 10 本以上，超过 10 本部分打 8 折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。

四、如何培养

首先，数学教学应贴近学生的生活。其次，注意引导学生建立模型。

最后，结合综合实践活动的开展，进一步发展学生的数学建模能力。

课程《初中数学数与代数》

运算能力、符号意识、模型思想与数学内容的联系是什么？教学中应如何去培养？请结合个人教学实践谈一谈。

作业要求：

（1）字数要求：不少于300字。字体要求宋体，大小medium，word文档字体大小三号。（2）作业内容如出现雷同，该作业成绩为不合格。

（3）为方便批改，请尽量不要用附件的形式提交。（最好先在文档编辑word软件里编辑好，再将内容复制到答题框提交，提交的操作时间不要超过20分钟）

初中数学作业二

初中数学数与代数部分

与运算能力相关的内容，一个是有理数的运算。还有实数的运算，但由于解决实际问题取近似值，落脚点还是有理数运算，带根号的无理数的运算实际上是恒等变形。关于式的运算，实际上就是恒等变形。运算在解决问题中是必须的，运算能力的培养是重要的。还有方程或不等式的求解，都有式的运算，都要求其结果具有正确性、采用简便算法，及选择最佳途径。

1、经历过程，理解运算的意义。《标准》降低了对有理数运算的要求，降低了式的运算和变形的难度和技巧，并不代表现在不需要重视学生运算能力的培养，而是结合时代特点对运算的内涵及其重点进行必要的调整。重要的不再是计算的熟练程度和技巧，而是对运算意义的理解。如乘法公式现在只要求两个：平方差公式和完全平方公式。但对其理解的要求更高了：会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。在教学中通过学生自己的发现过程，可以体会到数与代数中公式的这一本质。而且如果真的碰到(a+b)3 的话，也会用类似的方法计算或推导出新的公式。因此最主要的还是对“公式”本身的意义和作用的理解，体会公式的发现和推导过程，懂得怎么应用公式。

2、讲究策略，优化运算的过程，强化一题多解。运算过程可以理解为是根据运算定义及其性质从已知的运算对象推导出结果的过程，因此，运算过程的实质是一种推理过程。例如，在教学1+2+3+„+99+100= 有些学生是想的：1+100=2+99=3+98=„=50+51=101，所以答案101×50=5050；也有的是，两次题目中的加数、颠倒相加而得；还有的学生用的是另外的方法。不论哪种策略方法，但用了推理能力这一点则是无疑的。

3、学会反思，提高运算的准确性（养成良好的习惯）。例如在教学整式的加减法时，例题教学结束后，提出如下问题：怎样能够准确的进行整式的运算？学生在结合自己的做法讨论交流后得出：在掌握去括号和合并同类项的法则后，还要每做完一步就回过头快速的检查自己是否正确，当确信准确无误后再继续进行下面的计算，经过了这样的过程，学生的计算准确性就大大的提高了。这是对运算过程的反思。还有就是对运算结果的反思。在教学一元一次方程的解法和应用时，除了要求学生在解的过程中反思外，还要求对计算的结果进行反思，不仅是检验结果正确与否，更重要的是考察结果是否合理，是否符合实际。

与符号意识相关内容，第一个要考虑的是符号的表示。第二点是对符号的解释。还有一点，在符号意识中还有一个符号的运算，以及符号之间的转换。

1．学生学习数学的目的就是要懂得符号的意义和会用符号来解决问题。作为我们数学教师特别要重视符号教学在实践当中实施的过程。符号虽然很抽象，但它来源于实际，我们在教学过程当中应该从实际问题当中去抽象，让学生感觉到这些符号有用。例如：每千克苹果a元，那么3千克苹果多少元？学生明确后，进而提出问题：你能利用生活中的实际赋予3a其它的意义吗？学生经过几分钟的思考给出了很多如：每只钢笔a元，3支钢笔多少元等的不同解释。通过这样一个问题，不仅让学生感受到了数学的实际价值，而且在举例的过程中真正理解了符号的意义并会应用符号来解决问题。

2．建立学生的符号感实际上是一个渐进的过程，不能一步到位。我们在教的过程中必须要考虑学生的每个年龄段的心理和认知规律，要科学，重视情境教学，帮助学生去认识与理解符号感。通过创设问题的情境让学生进行合作学习、共同探索，使其充分认识所学知识的优越性和必要性，从而激发学生的求知欲，调动他们学习数学的兴趣。如：在引入建立符号感的过程中，采用了学生最熟悉的情境一个篮球比赛。学生熟悉这个情境，非常容易建立式子，自然而然地渗透了符号，包括表格、式子一系列的应用。非常自然对于学生建立符号感，感悟这个问题是有好处的。

3．体验情境中对符号的需求，引导学生去感知、去顿悟。在讲字母表示数、用代数式来表示我们生活当中一些关系的时候，或者想出一些关系式的时候都应该让学生从一些自己身边的最熟悉的自己最感兴趣的、身边的东西去出发，让学生去体会用这样一些代数式和字母来表示这样一些关系的事。它实际上是一个必要性、简洁体验情境中对符号的需求，引导学生去感知、去顿悟简洁性与一般性。

4．遵循认知规律，渗透数学思想方法，循序渐进地，让学生建立并发展符号感。对字母表示数的情境是有层次性的。应因材施教。课堂上问题的设置都要贴近学生的认知规律，教学过程中必须遵循认知规律，循序渐进，既要考虑它的长期性，又要考虑它的层次性，应循序渐进的从简单到复杂，从特殊到一般。必须是自始至终的，抓住主要的课时进行符号感的教学，才是最有效的。

5．让学生努力地去观察生活、让他主动的去发现。加深对实际情境的了解，增加我们学生的生活经验和阅历。6.把抽象的符号语言转换为直观的图形语言，就可把数量关系问题化为图形性质去讨论，形成“以形助数，数形结合”的数学思想。在教学“数a的绝对值的化简时”如果就单纯的通过具体的数发现正数、负数、零的绝对值的情况，用文字语言叙述也会非常熟练，但是在化简a的绝对值时，还是会忘记考虑要分类讨论，直接将绝对值符号去掉，就等于a，如果此时教师能利用数轴学生很容易就会考虑到a的情况，也就不会出现上述的错误了。可见有机地利用图形语言，可提高学习兴趣，增强记忆效果,又可以加强理解。如果在教学时结合图形和文字语言加强理解和记忆，学生则大大的减少错误。

与模型思想相关内容：方程模型、不等式模型、函数模型。

教师要建立以人为本的教育观，以实际应用问题教学为突破口,逐步培养运用数学模型方法的意识。数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。因此必须改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。