分类讨论及其数学应用

分类讨论及其数学应用（精选12篇）

分类讨论及其数学应用 篇1

实施义务教育后, 小学毕业生全部升入初中学习。这样, 在同一班级里, 学生的知识、能力参差不齐, 为了使教育面向全体学生, 减轻部分学生过重的负担, 使他们在原有基础上有所提高, 全面提高教学质量, 又要使有特长的学生得到更进一步的发展。因此必须进行因材施教, 根据不同学生的具体情况, 确立不同的教学目标, 采取不同的教学方法。分类讨论是将研究对象的全体按照不重叠、不遗漏的标准, 划分为若干个部分以分析研究, 再把分析研究的结果综合起来, 从而使问题得以解决。由于考查问题的角度、方式方法不同, 同一问题的解决, 可以有不同的分类标准。分类讨论思想其实质是化整为零, 分而治之。它是学习和研究数学问题的一种重要的思想和方法。笔者通过实践, 认为分类教学就是一种行之有效的教学模式。

一、引起讨论的原因

初中数学中有许多问题需要讨论, 由于问题的不同引起讨论的原因各式各样。常见的有:

1、定义讨论:

即是由定义引发的讨论。数学中有许多定义都有范围或条件的限制, 当解题过程需要突破这些限制时, 必然引起讨论。

2、运算讨论:

即是由运算引发的讨论。有些运算实施时, 需要一定的条件。如实施除法运算, 除数不为零;实数开偶次方, 被开方数非负等。它们在实施运算时, 都需满足相应的条件, 故引起讨论。

3、位置讨论:

即由图形位置变化引发的讨论。平面几何中, 由于图形的位置不同而使结论差异时, 引起讨论。

4、实数性质的讨论:

即把实数分为正实数、零、负实数三类进行的讨论。

二、分类教学的模式

所谓分类教学, 就是教师在学生知识基础、智力因素和非智力因素存在明显差异的情况下, 有区别地设计教学环节和进行教学, 遵循因材施教原则, 有针对性地实施对不同类别学生的学习指导, 不仅根据学生的不同实际选择教法、布置作业, 还因材施。助”, 因材施“改”, 因材施“考”, 因材施“分”, 使每个学生都能在原有的基础上得以发展, 从而达到总体教学目标.简单地说就是根据不同类别学生进行“分槽喂养”、“因人施教”, 分类教学模式是多样化的, 在教学过程中我总结出了以下教学模式:

三、在初中数学教材中的分类思想方法

在义务教育初中数学教材中, 有许多教学内容蕴含着丰富的分类思想方法, 在代数中, 从数、式到方程都能看到分类思想方法, 以实数为例:

初中数学教材中除了显见的大量含有分类思想方法的教学内容, 还有许多潜在的含有分类思想方法的教学内容。由于这些内容, 教师应充分挖掘、并自觉地加以利用。例如, 《有理数的加法》的教学, 实际上运用了分类的思想方法, 教材通过6个运算的试验。得到如下结果:

由此归纳、概括出有理数的加法法则, 如果用分类的思想仔细观察以上6个等式, 便难看出:1和2, 实质上是同号两数相加;可分两种情况, 即正+正=正, 负+负=负;3、4、5是异号相加, 又可分为三种情况, 即按两个加数的绝时值大小分为三类:两加数绝对值相等时和为零, 正加数绝对值大于负加数绝对值时和为正, 正加数绝对值小于负加数绝对值时和为负, 6是有一加数为0的情况 (由于正数+零与零+零在小学已学过, 故未列出) 。这样, 把两个加数按符号进行了分类, 使学生在众多的数字中分辨清数的符种可能情况, 渗透了分类既小重复又遗漏的思想。

四、举例说明

含字母系数的方程, 因字母取值不同而导致方程种类和方程解的变化, 常会引发分类讨论。

例1解关于x的方程 (k一2) x2—2 (k一1) + (k+1) =0.

分析:对于含有字母系数的方程, 由于一元二次方程二次项系数不为0和求解过程中需实施开平方运算, 所以解题过程中, 需要对实数k进行讨论。

讨论步骤:

1、由分析知k为讨论对象, 而在初中教材中规定k属于实数集R, 因此k的范围是全体实数。

2、 (1) 为确定方程种类, 将k分为k:2和k≠2两类。符合分类条件:

(2) 当k≠2时, 为实施开平方运算, 再将被开方数4 (3一k) 分为4 (3一k) >/0和4 (3一k) <0

两类, 它们同样符合分类条件, 验证略。

3、步骤3及2中具体详情见下述解法.

解: (1) 当k一2=0, 即k=2时, 方程为一元一次方程:

一2 (2—1) X+ (2+1) =0即2X一3=0解得x={.

(2) 当k一2≠0, 即k≠2时, 方程为一元二次方程, (k一2) x2—2 (k一1) x+ (k+1) :0

此时△=[一2 (k一1) ]—4 (k一2) (k+1) =4 (3一k) ,

(1) 当4 (3一k) ≥0且k≠2时, 即k≤3且k≠2时,

(2) 当4 (3一k) <0且k:/:2时, 即k>3时, 方程无解。

实践表明, 研究引起讨论的因素比较困难, 忽视讨论比讨论时发生错误更加普遍, 这是初中数学教学要着重解决的问题。我坚信, 只要勤于探索与实践, 数学学科的分类教学将更趋规范、合理和科学。分类问题还有很多, 本文仅就初中数学常见的问题尝试作了一些肤浅的探讨。

分类讨论及其数学应用 篇2

摘要：作为高中教育一项重要的组成部分，数学在高考中占很大的分值重要，同时，在学生思维能力培养方面具有决定作用。高中数学内容有明线、暗线两条线：明线是指数学知识教学，暗线则是指数学思想方法的教学。作为数学精髓，数学思想方法不仅是促进学生将知识转化为能力、形成良好认知结构的桥梁与纽带，同时也是培养学生创新思维的重要载体本文就分类讨论的组成进行分析，对其重要性进行研究，并探讨高中数学教学分类讨论的应用，以便提高高中数学教学效率

关键词：高中数学；分类思想

高中数学学习是中学学习中一个关键环节。重视并认真完成这个阶段的教学任务，有利于学生为中学的数学学习打下好的基础，培养良好的数学兴趣。对数学教学有着至关重要的作用，在高中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a2时分a>0、a=0和aAC，则LC>LB，最后讨论C为锐角还是钝角的分类式的讨论。

4.创设情景提高学生的自觉应用能力

准确的运用分类讨论思想需要学生有过硬的学习能力，这就需要教师在课堂上不断加强学生的学习意识，还要学生在课外有意的做些相关的题目，不断的在解题中应用这一数学思想方法，不断的强化，并要克服学生在解题时的盲目性和随意性，要做到分类讨论思想的适应应用，从而提高学生的综合运用能力。

5.不断强化.形成习惯

有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识。学生在学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯。

例如：教师给出例1：解不等式a×20且a≠1），有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a>1，a0且a≠1）的单调区间，“一回生两回熟，三次见面就是老朋友。”在对数函数的学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1：解不等式loga（2x-1）0且a≠1）与例2：求函数loga（2x-1）（a>0且a≠1）的单调区间，目的就是使学生在不断的强化中，自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固。

6.结语

分类讨论及其数学应用 篇3

关键词：初中数学 解题教学 分类讨论 应用

分类讨论思想是数学解题思想的重要组成部分，通过分类讨论可以将原本复杂的数学问题变得简单，在一定程度上将抽象化的问题使之成为具体化。分类讨论教学还可以促进学生思维的进一步发展，提高学生的综合素质，为学生全面发展起到积极的促进作用。随着课程改革的发展和素质教育的推进，初中教学分类讨论思想的运用也越来越受到广大教师和学生的关注。

一、分类讨论思想

分类讨论思想就是将原本独立的一个问题转化成为一个个相对独立但又有联系的问题。在进行划分的时候可能需要我们再加设新的条件，但是其最终目的是将整个问题变成一个系列问题进行处理。当一个个问题得到解决的时候，整个系列的问题也就解决了。当然也可以这样说，在初中数学解题之中分类讨论思想的运用就是将抽象的问题变成具体的事物，在列举的时候尽可能将所有的情况都罗列出来，以保证能够全面呈现问题的性质。不重复、不遗漏和全面分析是分类讨论思想的基本要求。

初中阶段开始，数学知识逐步走向抽象化，因此从小学阶段过来的学生在学习初中数学知识的时候遇到困难会比较多。为了帮助学生将抽象的问题转化成具体的问题，我们需要进行分类讨论。举个最简单的例子来讲，几何问题之中很多图形的位置和组成可能出现多种不同的情况，如果不使用分类讨论的话，那么问题就会变得更加复杂和难解。只有运用分类讨论思想将其可能出现的各种情况都罗列出来，才能真正解决好问题。这就是说，分类讨论思想可以对学生的解题的全面性和正确性给予保障。

二、帮助学生分类讨论

初中数学解题教学中包含有许多科学思想，而要做好分类讨论思想的应用工作，首先需要帮助学生摆正态度，引导学生正确认识分类讨论思想的重要性。分类讨论的目的是帮助学生在学习中将原本复杂无规律的问题变得有迹可循，探索数学知识的内在规律。简单地说，就是将复杂的问题按照问题的特点进行分类，然后根据每一个类别的特点，有针对性地对问题进行讨论和研究。这样一来解题的效率会明显提高，同时准确性和全面性也会有明显的提高。这在学生面对一类问题多种情况时，可以对学生解题方法的运用和发散性思维的培养起到积极促进作用。初中阶段学生的思维处于抽象思维萌发时期，面对复杂问题时缺乏整体分析和解决问题的全面性。这个时候分类讨论思想的运用，可以将一个复杂的大题目变成一个个相互有联系但同时又有一定独立性的小题目。如此，学生解题就能够做到按部就班，各个击破，不必担心出现忘记考虑某些情况的问题。

分类讨论思想的重要性需要学生亲身体验才能真正感受到，所以教师可以有意识地帮助学生感受分类讨论思想的积极作用。举个例子，在教学分类讨论思想之前，可有意为难一下。即在课堂开讲之后，笔者会给学生们布置一个小问题，问题虽然不难但是却需要考虑很多细节。如，一个三角形一条边是13，另一条边是19，那么其第三条边是多少呢？因为之前并没有告诉学生分类讨论思想，所以学生也并没有运用这一思想，而是直接按照自己的想法进行计算。有的想当然说这是锐角三角形，有的说是钝角三角形，有的说求的是最长边，有的说求的是最短边，等等。这些想法都没错，但是却都不全面，想要解答这个问题，学生需要运用分类讨论思想。因此，在学生都把自己的答案说出来之后，笔者点出他们思考问题时的漏洞和缺陷；然后，在学生都醒悟过来时，引入分类讨论思想，并且就这一个问题进行分类讨论。这样一来，学生很容易体会到分类讨论思想的重要性，在以后的学习过程之中学生的学习积极性都比较高，并且注意力也都比较集中。

三、分类讨论思想运用的注意事项

要让分类讨论思想发挥最大的作用，更好地为学生的解题工作服务，在实际运用中还需要学生注意以下几个方面。

首先，分类讨论思想的运用需要学生细心，掌握全面的信息。这不仅仅是运用分类讨论思想的前提条件，也是学生解决其他问题的前提条件。如果不能够全面掌握数学题目的信息，然后将这些信息作进一步的整合和再利用，那么学生很难做好解题工作。只有理解清楚了题目重点和要求，学生才能够进行有针对性的解题。

其次，在运用分类讨论思想时，学生要将可能出现的各种情况都列举出来，这是分类讨论思想的关键所在。只有将这些情况都列举出来才能够组成完整的问题，否则，如果出现遗漏的话那么就会前功尽弃。在分类讨论完后，学生还需要将每一个分类讨论的结果总结起来，这样才能够确保答案的完整性，确保答案不出现遗漏和重复。

四、运用分类讨论思想在教学中的建议

（一）渐进式进行分类讨论思想的渗入

学生在进入初中之后会遇到以前没有遇到过的问题，如数学问题复杂性的提升等，这些都对学生的学习提出了更高的要求。随着数学问题难度的逐渐提高，学生面对问题的复杂程度也会逐渐提高。此时教师要有意识地增加学生思维能力的训练，循序渐进。

在开始教学时，教师就可以有意识地将分类讨论思想渗入到教学内容之中。比如在教学整数、正数、负数，以及无理数、有理数等内容时，教师可以将分类讨论思想引入其中，让学生先了解一下分类讨论思想。在“数”的教学内容中，教师可以给学生不同的标准，让学生对数进行分类，这是分类讨论思想的一个简单应用。随着学习的深入，教师可以引导学生对分类讨论思想作进一步的了解和学习。

（二）用分类讨论思想启发学生思维

分类讨论思想可以对学生的思维发展起到积极的促进作用，广大教师利用分类讨论思想，在教学中启发学生，培养学生的创新思维。这样既可以训练学生的思维能力，同时能加深其对分类讨论思想的了解，一举两得。在课堂教学中，教师可以有意识的多出一些需要用到分类讨论思想的数学例题，同时还可以让学生自己提出问题。如在实际生活之中，有哪些需要分类讨论思想的？如果不使用分类讨论思想的话，那么问题的解决过程是变得复杂还是简单？这些都可以被教师用来提问。通过这样的方式可以更好地启发学生思维。

分类讨论思想在初中数学问题的解决过程之中可以对学生解题正确率的提高起到积极促进作用，广大数学教师要对此给予重视，并且在实际教学过程中体现出来。虽然当前分类讨论思想在初中数学问题的解题过程之中的实际运用还存在有待提高的地方，但是相信通过不断的努力，一定能够解决好这些问题，进一步促进学生的全面发展，为学生综合素质的提高提供积极的帮助。

参考文献：

[1]张继梓.初中数学教学中的分类讨论思想[J].陕西教育（教学版），2011（5）.

[2]丁守方.例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用[J].新课程学习（基础教育），2010（10）.◆（作者单位：江西省吉水县黄桥中学）

分类讨论及其数学应用 篇4

一、高中数学教材中涉及分类思想的内容

二、分类的标准

分类必须有一定的标准, 即必须根据对象本身的某种属性或关系进行分类, 由于客观事物有多方面的属性, 事物之间有多方面的联系, 因而分类的标准也是多方面的, 可根据不同的需要采用不同的分类标准对事物进行不同的分类。[6]一般来说, 对事物的认识是“由现象到本质, 由所谓初级的本质到二级的本质, 从不甚深刻的本质到更深刻的本质”的深化的无限过程。“分类”作为客观事物的反映, 也就有一个从现象分类到本质分类, 从不甚深刻的本质到更深刻的本质分类这样一个逐步深化的过程。

三、分类讨论的原则

1) 不遗漏原则:分类所得的各项外延的总和, 应当与被分类的概念的外延相等。

2) 不重复原则:分类所得的各事项, 应当是互相排斥的。

3) 同一标准原则:按照集合的分类或概念的划分可多层次地进行, 所以分类时也可多层次进行, 但每一次划分, 标准只能有一个。用数学语言表示为:若全域为集合A, 分类成子集应满足以下两个条件:

即将讨论的对象分成若干类, 其并集为全集, 两两的交集为空集。

四、常见的高中数学分类方法与策略

(一) 按变量或参数的范围划分

一般地, 对含变量或参数问题, 必须考虑变量或参数的不同取值对问题的不同影响, 根据问题的需要, 对变量或参数进行划分, 以便解决问题。

例6:角α的顶点与坐标原点O重合, 其始边与x轴的非负半轴重合, 若角α的终边上有一点, 求tanα, sinα。

分析:当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时, 要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论。

(二) 按题设条件或结论划分

对题设条件或结论中含有明显分类信息的题目, 在进行解题时, 要根据题设条件或结论所含有的类别进行划分, 以避免漏解。

例7:已知圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形, 要圆柱的体积。 (1984年高考试题)

分析:按题设条件分类, 因为以2为圆柱的高4为圆柱的底面圆周长可作一个圆柱, 以4为圆柱的高2为圆柱的底面圆周长也可作一个圆柱。

五、分类讨论思想在高考数学中的应用

从上面诸多讨论中可以看出, 分类讨论在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中有着广泛的应用, 而分类讨论是许多考生的弱点, 也是高考的热点和难点, 只有很好地掌握分类讨论的思想, 才能在高考中取得更好的成绩。

参考文献

[1]吴炯圻, 林培榕.数学思想方法:创新与应用能力的培养[M].厦门:厦门大学出版社, 2009.

[2]欧阳维诚.初等数学解题方法研究[M].长沙:湖南教育出版社, 2007.

[3]张慧淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[M].天津:天津师范大学出版社社, 2012.

[4]鲍曼.中学数学方法论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2002.

[5]刘长柏.不等式与函数的综合应用[J].考试 (高中数学) , 2007.

高中数学教学论文 何处分类讨论 篇5

分类讨论思想是数学中的一种重要的思想方法和解题策略，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用，讨论时要注意“起点”的寻找和“层次”的划分，做到“起点”合理、自然，“层次”明确、清晰.分类的原则是“既不重复，也不遗漏.” 分类讨论在历年高考中，特别是在综合性的题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一.这种数学思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，点多面广、综合性强，不少学生在高考复习时，忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误的现象屡见不鲜.关于分类讨论的动因和方法，汪江松先生在其著作《高中数学解题方法与技巧》中已有精辟地阐述，本文就高中数学可能涉及分类讨论的主要知识点加以小结，期望对同学们的高考复习有所帮助.1 集合与简易逻辑

1.1 集合中的元素应满足互异性 例1 解析: 需分或

或,若,求实数a的值.三种情况讨论，且须检验所求a值是否能保证集合中的元素满足互异性.答案a=0.1.2 求集合或元素的个数 例2 已知非空集合_____.解析: M可能含

个元素，讨论后得不同的M

共7个.1.3 因的特殊性而引起的讨论 例3 值范围.解析：

需分

讨论.当

时，若,求实数m的取

为，且若

则,那么集合M的个数为,即.2 函数

2.1 含参数方程 例4 设______.解析： 此题应分

当时，即综上知，m的范围是使方程有唯一实数解,则A用列举法可表示为和两种情况讨论.答案.2.2 二次函数的对称轴与自变量区间相对位置的不确定性引起讨论 例5 设解析:（1）的最小值为的对称轴为直线x=1.分三种情况讨论：

即

在时，,求的表达式.（2）当t>1时，上单调递增，在上单调递减，（3）当t+1<1即t<0时，综上所述，.2.3 对于求含参函数的定义域，或已知其定义域，求参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行分类讨论 例6 已知函数解析:

①对的定义域为R，求a的范围.恒成立.当当时，应有时，若,则①为非绝对不等式;若

或.，则不等式①为

是绝对不等式，所以a的范围是2.4 涉及指数、对数函数，常对底数进行讨论 例7 求函数解析: 令则的单调区间，并指出其增减性.的递减区间是,递增区间是

.又当a>1时，在R上是增函数;当0

.时常需对

在R上是减函数，所以，当a>1时，函数的单

;当0

进行讨论

例8 已知解析: 时，,则不等式不等式变为x+x的解集为_________.,即不等式解集

x<0时，不等式变为即不等式解集2.6 求单调函数中参数的取值范围 例9 已知函数a的取值范围是___________.是在区间上的减函数，则解析： 当时，要使函数在区间上单调递减，则必有即当a=0时，函数3 数列 3.1 已知求,需分

和

显然符合题意.故a的范围是

讨论

例10 为数列的前n项和，且求数列的通公式.解析: n=1时，当时，则立，故

讨论

时，又n=1时也成3.2 等比数列求和时，常分q=1和例11 求和解析: x=1时，①，;时，②,①

②

得-3

=时仍成立).4 三角函数

4.1 三角函数中，涉及到形如的角，常分n 为奇数或偶数讨论

(x=0例12 化简：解析：当k为偶数时，值为-1;当k为奇数时，值也为-1.4.2 已知三角函数值求角，常需对角的位置讨论 例13 已知

求

.解析: 在第二或第四象限.讨论后得=或平面向量 5.1 考虑的特殊性 例14 若解析: 当是否一定有时，不一定有

;否则一定有

.5.2 已知两边和其中一边对角解三角形时，常需讨论解的个数 例15 解析: 中，解三角形.,三角形有两解.由正弦定理得,或.当时，当时，.5.3 使用定比分点公式时，常需分内、外分点两种情况讨论 例16 设,点P在直线

上，且,求P分

所成的比.解析: 当P是内分点时，P分所成的比为;当P是外分点时，P分所成的比为 不等式

6.1 使用均值不等式时，常因因子符号的不确定性而讨论

例17 求函数的值域.解析: x>3时，（x=4时取“=”）;x<3时，（x=2时取“=”）.综上函数值域为6.2 解含参数的不等式常需讨论 例18 解关于x的不等式

.解析: 原不等式等价于或

当时，解集为当时，解集为当时，解集为

.7 直线与圆的方程

7.1 求直线的斜率和倾斜角

例19 已知两点A(m,2)、B(3,1),求直线AB的斜率、倾斜角.解析: 设直线的斜率为k,倾斜角为.当m=3时，k不存在，当时，.7.2 求直线方程时，常需考虑截距是否为零，斜率是否存在

例20 求经过点A（-5，2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程.解析: 当截距为零时，直线方程为当截距不为零时，直线方程为

7.3 判断两条直线位置关系时，常需考虑斜率是否存在 例21 两条直线时，与(1)相交;（2）平行;(3)重合.当m为何值 5 解析:(1)(2)m=-1或m=0;(3)m=3.（过程略）.8 圆锥曲线方程

8.1 含参数的二元二次方程所表示曲线类型的讨论

例22 讨论方程所表示的曲线类型.解析:(1)当时，即时，方程所表示的曲线是圆;(2)当时，方程所表示的曲线是椭圆;(3)当,即

时，方程所表示的曲线是双曲线.8.2 求圆锥曲线方程时，常因焦点位置不确定而引起讨论 例23 已知双曲线C的两个焦点是、实半轴与虚半轴长的积为

直线过

且与线段夹角为,且与线段,求双曲线方程.垂直平分线交点为P,线段与双曲线的交点为Q,且解析: 当焦点在x轴上时，曲线方程为当焦点在y轴上时，曲线方程为（过程略）.8.3 在研究直线与圆锥曲线交点个数问题时，不仅要由数对交点个数的影响 例24 已知双曲线,直线

讨论直线与双曲线公共点个数.来判断，同时还要注意二次项系解析: 联立方程组(1)当即

消去y得时，方程

化为2x=5,方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.(2)当 即时，由得时，方程有两解，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)当，由得时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.(4)当与双曲线无交点.，由得方程组无解，故直线综上所述，当或时，直线与双曲线有一个公共点;当且时，直线与双曲线有两个公共点;当直线与双曲线没有公共点.9 直线、平面、简单几何体

9.1 由点与线、点与面、线与面、面与面的位置关系的不确定性而引起的讨论 例25 已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面.解析： 证明时需分有三线共点和无任何三线共点两种情形.例26 不共线的三点A、B、C到平面______________.的距离相等，则平面

与平面ABC的位置关系是解析: 需分A、B、C三点在的同侧和异侧两种情形，答案：平行或相交.9.2 关于棱柱、棱锥与球的切接问题，常因圆心与所接切体的位置关系不确定而引起讨论

例27 在半径为15的球内有一个底面边长为锥，求此正三棱锥的体积.的内接正三棱解析: 正三棱锥的底面半径为12，当球心在三棱锥内时，高h=24，当球心在三棱锥外部时，10 极限 10.1 求时常引起讨论

例28 已知常数均大于1，且都不等于2，求

解析： 当p>q时，所以

分类讨论及其数学应用 篇6

关键词：初中数学教学 分类讨论思想 原则

分类讨论思想其实就是一种重要的教学思想，也是一种重要的解题策略，因其不仅可以体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法，同时也揭示着数学对象之间的内在规律，以便让学生更好的掌握文化知识。将分类讨论思想有效的应用在解题当中，可以更好的提升我国初中化学教学教学效率。

一、初中数学中分类讨论思想的应用应该遵循的原则

1.互斥性与多层性原则

互斥性原则其实就是指在分类之后，各子项应相互排斥，不能够促使其中的部分事物同属于一个子项。用一个简单例子来说明：譬如，一个班学生参加快跑与篮球比赛的学生一共有8个人，其中参加快跑比赛有5人，而篮球比赛有5人，这些都是由于两人两项比赛都有参加，若将着8人分类为参加快跑与篮球比赛两类，其主要存在逻辑性错误。除此之外，在进行初中数学解题的过程中，分类讨论又一次与多次分类讨论之分，所以将讨论的对象分作两个层次性的相互矛盾的概念，以便于更好的将枯燥无味的数学知识展示给学生，从而将数学知识逐层。

2.同一性与相称性原则

要想把分类讨论思想有效的运用到初中数学解题当中，教师应该做到以下几步：第一步，要确定分类讨论的对象，从而进行分类，并且分类的过程中一定要做到，主次清晰，不叠加，不遗漏。譬如，在对三角形进行分类的过程中，教师可以将三角形分成等腰三角形、锐角、直角三角形以及钝角三角形等等。值的注意的一点就是分类要相称，换句话说其实就是在分类之后，分类子项的并集要与母项的子集相称。

二、探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用

1.分类讨论思想在应用题中的运用

譬如，某家具厂主要生产桌子和椅子，桌子的市场定价大概为每张200元，而椅子的市场定价为40元，厂家为了能够提升这月的销售额，给广大消费者提供了两种购买方案，其一方案：买一张桌子送一张椅子。其二方案：桌子和椅子均按照定位的90%付款，但是两种优惠方案不能同时使用。如果某家具店老板打算购买20张桌子和椅子若把，请给家具店老板制定出一个非常划算的购买方案。

分析：由于题中没有直接的给出家具店老板要购买椅子的数量，所以，在制定方案时难免会有些麻烦。解题方式如下：

解：设家具店老板需要购买的椅子为x张，则有两种方案分别是：第一种方案，200×20+x-20）x40=3200+40x（元），第二种方案，（200x20+40x）x90%=3600+36x（元）设y=（3200+40x）-（3600+36x）=4x-400（元）而当y>0时，4x-400>0，x>100，由此可看，两种购买方案中，第二种方案比较适合。如果当y=0时，4x-400=0，x=100则两种购买方案均可以使用。而如果当y<0时，4x-400<0，20

2.分类讨论思想在三角形问题中的应用

众所周知，初中数学教学中的三角形问题中，经常运用到分类讨论的思想，因可以让学生更好的掌握数学知识，以便于更好的提升数学课堂教学效率。譬如，在已知两边长且图形为等腰三角形，求该三角形面积为周长。在此条件下，并不明确已知条件下，不知道那条底为边长，那条为腰，这时就需要进行分类讨论，方可尽快找到答案，抓住题中的关键因素，如例题：已知3cm与4cm分别为直角三角形的两边长，求直角三角形的第三边长。解此题，需要把分类讨论思想有效的应用在教学中，把分为4cm为斜边长或者一直角边长这两种情况，从而分别求出第三边长为7cm，或5cm。

3.分类讨论思想在函数问题中的实际应用

譬如，已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）若函数的图像与x轴恰好有一个交点，求a的值是多少？

分析：当此函数为一次函数时，a=0，求得与x轴交点为（-1，0）而如果当此函数为二次函数时，a不能等于0，即a=0.25时，有一个交点为（-2，0）

综合以上分类，a=0，或者a=0.25。在面对此题时，教师一定要让学生知道考核点是根据一次函数与二次函数的变换而确定存在的分类讨论必要。因由于函数中x2前的变量a不定，换句话就是a有可能就是任何一个数字，因此，要首先对a的取值进行分类讨论，其实就是a=0时的讨论方案与a不能等于0时的讨论方案。然后，要引导学生要找准a的取值范围后，继而让学生快速进入到函数的变换中，由此可以得出，当a=0时，函数为一次函数，当a不等于0时，函数即为二次函数。从上述解题可以看出，将分类讨论思想有效的应用在函数解题当中，其不仅可以让解题内容更加简单，也可以促使学生能够更快的熟悉一次函数与二次函数的区别，最终在脑中有一个简单的架构，从中得出相应的解题方案。

4.分类讨论思想在不等式问题中的实际应用

就目前的发展趋势来看，分类讨论思想在初中数学教学中得到了广泛的应用，其在不等式问题中应用最为广泛。譬如，在八年级一例题中，解不等式（h-1）x>h2-1，若不加区分，得出x>h+1就错了。因为k-1的值可以是h-1>0，h-1=0，由此可以得出，分类情况不同时，讨论的结果也就不相同。解题过程如下：

解析：当h-1>0，即为h>1时，则x>h+1.如果当h-1=0时就是h=1时，则原不等式无解。而如果当h-1<0时，其h<1时，由此可以推断出x1时，x

5.分类讨论思想在圆中的应用

圆是初中数学教学最重要的教学内容，其主要包括圆的对称性，圆与直线，等等。而在圆的对称性及位置关系的解题过程中，分类讨论思想成为了主要的解题思想。其不仅可以让学生更加明白题目中的变量及图形与图形之间的距离，而且还可以让学生在解题的过程中更加清楚知道应该采取何种解题方法进行解题，更可以促使解题结果更加准确。譬如假设半径分别为6和4的两圆相切，求两圆之间的圆心距是多少？从题中可以分析出：如果两圆为外切，则两圆之间的圆心距就是10，而如果两圆为内切，则两圆之间的圆心距就是2。所以，两圆之间的圆心距为10和2.从上述解题可以看出，分类讨论思想确实应该在教学中得到广泛的应用，以便于更好的提高学生的学习效率。

三、结束语

综上所述，将分类讨论思想应用在初中数学教学中即是新课程理念的要求，也是学生发展的需要。所以，在进行数学教学的过程中，教师一定要根据实际的教学内容有效的将分类讨论思想应用在不等式、圆以及函数的解题中，以便于让学生更好的进行解题，从而提高学生的学习效率，促进初中数学教学效率得以提升。总地来说，分类讨论思想不仅是一种深化的数学思维方式，也是一种对数学的认知能力。

参考文献：

[1]刘江华.分类讨论思想在高一数学教学中逐步渗透的实践探究[D].河北师范大学，2013.

[2]李学.分类讨论思想在初中数学教学中的应用与实践[J].散文百家，2015，（05）：64+85.

分类讨论及其数学应用 篇7

关键词：分类讨论,数学思想,初中数学

在初中数学中, 数学教学不应该仅仅是单纯的讲授知识, 更应该注意对其中蕴含的数学思想的提炼和总结, 使其逐步让学生掌握并能对他们的成长发挥指导作用, 以便更好的理解数学的实质。分类讨论思想方法就是多种数学思想中的一种极其重要的思想方法, 它能使我们在分析问题, 研究问题时, 考虑的更全面, 使得研究的问题得到周全的解决。

一、分类讨论的几种情况

在初中数学中, 那些内容会应用到分类讨论呢?主要有下面四种情况:

1.有些概念是分类定义的, 遇到这些概念时, 往往需要分类讨论。比如, 绝对值是一个用分类思想定义的概念, 要去掉绝对值的符号, 就要分a>0, a=0, a<0三种情况进行分类讨论。

2.有些法则、性质、定理是分类给出的, 应用它们的时候, 要注意分类讨论。比如, 不等式的性质, 不等式的两边同乘于一个数时, 就要分正数, 负数两种情况分类讨论, 因为它们关系着不等号的方向变与不变。

3.有些方程、不等式、函数解析式的系数是以字母的形式给出的, 就要引起我们的注意。比如, 一元二次方程, 二次项系数中含有字母, 那么字母的取值变化, 会影响到方程的类型, 也会影响到方程的解, 就需要分类讨论。

4.在初中数学中, 一些几何图型位置关系是不确定的, 如圆与直线的位置关系, 直线与抛物线的关系等。这类问题通常涉及到圆的知识、一次函数, 二次函数的知识, 这类题目把许多知识串联起来, 带有一定的综合性。

二、分类讨论的步骤

在分类讨论中, 每次分类要按照同一个衡量标准进行研究, 要做到“不重不漏”, 保证分类讨论的全面性和严谨性。分类讨论的步骤, 可以概括成三句话:“确定研究目标, 分类讨论分析, 归纳综合结论”。下面具体的谈一谈:

首先, 应根据数学题目的要求, 确定分类讨论的目标, 即对谁进行分类讨论;然后针对研究的目标进行分类讨论, 其次, 对于一些繁琐复杂的问题, 为了问题的全面性, 还要进行深入的分类讨论;最后, 还要对讨论得到结果进行分析归纳、综合得出结论。在这三个步骤中, 第一步是分类讨论基础, 第二步是分析问题的关键, 第三步综合归纳得出的结论。这几步都应该重视到, 才能保证研究的问题得到全面解决。

三、分类讨论思想在初中数学解题中的应用

【例1】已知两个数a, b, 是的3倍, 且两数在数轴上的对应点之间的距离为8, 求这两个数.

分析:从题目中发现解题的“题眼”, “数轴上表示这两数的点是位于原点的同侧还是异侧”, 同侧则两数符号相同, 异侧意味着两数符号相反, 那么为了考虑到所有可能的情形, 这就需要用分类讨论的数学思想解决这一问题。

1.数轴上表示的这两点位于原点同侧:

如果a、b在原点左方, 即a<0, b<0, 则b-a=-2b=8, 所以b=-4, a=-12

如果a、b在原点右方, 即a>0, b>0, 则a-b=2b=8, 所以b=4, a=12.

2.数轴上表示的这两点位于原点异侧:

如果a在原点左方, b在原点右方, 即a<0, b>0, 则b-a=4b=8, 解得a=-6, b=2,

如果a在原点右方, b在原点左方, 即a>0, b<0, 则a-b=-4b=8, 所以b=-2, a=6.

【例2】已知关于x的方程kx2+ (2k-1) x+k-1=0只有整数根, 当k为整数时, 确定k的值;

解析 (1) 当k=0时, 方程 (1) 化为-x-1=0, x=-1, 方程有整数根;

当k≠0时, 方程 (1) 可化为 (x+1) (kx+k-1) =0.解得x1=-1, x2==-1+

∵k为整数, x2也为整数,

此时△= (2k-1) +2-4k (k-1) =1>0,

但当k=1时, (k-1) y2-3y+m=0不是一元二次方程, ∴k=1舍去,

该题既考查了判别式、根与系数的关系, 又考查了分类思想, 容易忽视k=0的情形。

【例3】解关于实数x的不等式:5 (b+1) x+4b 4bx+4.

分析:1.由于是关于x的方程, 所以x是未知数, 则把b看作常数, 先化简整理成最简形式;

2.因为b是任意实数, 所以要分情况讨论x前面系数的取值范围;

3.根据不同系数的取值范围, 系数再化为1, 得到相应解集。

解:去括号, 得:5bx+5x+4b 4bx+4

移项, 得:5bx+5x-4bx 4-4b

合并同类项, 得: (b+5) x 4-4b, 讨论x的系数b+5的正负性。

结束语

由上述的一些例题可以看出, 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法, 在解题过程中有着广泛的应用。因此, 在解题时, 要注意培养分类讨论的意识性, 培养思维的深刻性和严谨性。分类讨论是一种重要的解题策略和手段, 解题时要防止不必要的讨论, 简化分类讨论的过程, 提高分类讨论的效果。

参考文献

[1]赵颖.中学数学思想方法的教学实践和思考[D].沈阳:沈阳师范大学, 2005.

[2]宋凤英.分类讨论思想——解数学问题重要思想之三[J].数学大世界 (初中版) , 2013 (04) .

分类讨论及其数学应用 篇8

一、分类讨论思想的应用方法

初中数学知识非常的复杂,而且知识面的涉及范围非常的广泛,学习难度很高,因此,许多初中学生在数学解题的过程中,面对题目条件较多,文字理解较为复杂,或者问题解法较多的初中数学题目,很容易出现逻辑思维混乱、无法统筹兼顾,以及无从下手等情况,因此,面对复杂的高难度初中数学解题,初中学生需要更加科学有效的解题方法来进行解题.分类讨论思想这一解题策略正好可以有效地满足其这一需求[1],分类讨论思想能够为初中学生在复杂的数学题目中提供有力的解题思路指引,帮助初中学生有效地进行解题.对于初中学生而言,分类讨论思想的应用方法主要分为以下三点:第一,明确分类讨论的目标.分类讨论的目标是初中学生开展分类讨论数学解题的基础和前提,只有首先明确了分类讨论的目标是什么,初中学生才能够在复杂的解题过程中,找到解题的前进方向,不会在复杂的解题公式中迷失方向,因此,初中数学教师首先应当指导初中学生明确分类讨论最终的目标是什么,才能够进行接下来的解题过程.第二,熟练掌握分类讨论思想的解题方法.分类讨论的解题方法是通过化整为零,最终进行整合的解题方法来进行解题的,因此,初中学生需要牢固掌握这一整体意识,不能在分类讨论之后,忘记了最终的整合,导致解题结论的零散情况.第三,重点做好分类讨论结论的整合.初中学生在进行了分类讨论的数学解题过程之后,会得出很多的不同条件下的数学结论,但这些结论中很多有可能都是重复的,或者相互矛盾或者不成立的,因此,面对这一问题,初中学生需要对这些结论进行最终的整合,形成一个完整、没有问题的最终答案.

二、分类讨论思想在初中数学解题中的具体应用分析

1. 在几何解题中的应用

初中学生在进行几何相关知识的解题过程中,很多题目可能包含和考验的不止一种几何知识,因此,初中学生要想有效地解答该类数学题目,其就必须借助分类讨论思想的帮助[2],通过对题目当中的各项解题对象来开展分类讨论,才能够有效地保证解题的逻辑思维清晰和答案的正确性.比如,以鲁教版初中一年级数学教科书中关于“钝角三角形”这一几何知识的例题教学为例.

例1有这样一个钝角三角形ABC,在它的三个内角当中,其中∠A=27°,请问它的另一个内角∠B不可能为以下哪一个度数?()

首先,分析该题题目条件,已知该三角形为钝角三角形,那么其必有一个内角大于90°,而另两个内角的度数之和应当小于90°,因此,结合分类讨论的思想方法,该题的解题方法为:

①若∠C为钝角,∠C>90°,则∠B<180°-27°-90°=63°,(A)、(B)选项均为合理.

②若∠B为钝角,∠B>90°,则(D)选项97°合理.

因此,综上所述,(A)(B)(D)答案均可存在合理性,因此,该例题的答案为(B),∠B不可能为77°.

2. 在函数解题中的应用

初中学生在解题过程中,需要考虑到函数题目本身表明和提供的限制条件进行答题,这很大程度上会对初中学生的数学函数解题过程造成困扰.而分类讨论解题的方法的应用可以很好的解决这一问题,分类讨论的数学解题方法与初中数学知识中的函数解题需要不谋而合,分类讨论解题方法能够有效地帮助初中学生理清解题思路,开展限制条件的分类讨论,从而有效地计算出题目的最终答案.以鲁教版初中三年级数学教科书中关于“函数”知识的数学例题的解题为例.

3. 在方程解题中的应用

方程类型题是初中数学教学中重要的一种类型题,同时也是解题难度比较大的一种类型题,其是学习数学知识的重要基础.虽然在解决相关方程题的时候可以合理运用转化法、消元法以及位移法等解题法来达到求解的目的,但是在实际的解题过程中,学生经常会忽视相应参数取值的局限性.比如含绝对值的方程类型题和指数的幂等,这些常常是学生容易忽视的部分,并且没有明确其具体的取值范围.此外,在分式分母中含有字母的时候,也需要进行分类讨论,所以此时教师需要引导学生着重就这些类型题的求解方法和思路进行分析和探究,使学生逐步掌握分类讨论法的具体应用流程,从而逐步提升学生解决方程类型题的能力,同时也有利于使学生灵活运用分类讨论思想来解决有关的数学问题.

例2在讲解“一元一次方程”部分数学教学知识的时候,针对下述方程题的求解就是考察分类讨论思想的一种类型题,即:求解方程|3-x|+|x+2|=5.

解析:针对上述带有绝对值的方程类型题而言,其是分类讨论思想运用的典型类题,具体要将绝对值内部的数值依次划分成零、正数和负数三类来进行分类讨论.同理,在该道例题中,也需要将|3-x|和|x+2|分别划分成>0、<0、=0三类来进行讨论.由此可知,该道方程类型题可以转化成以下三种类型,即:

(1)x<-2,此时可以将上述方程转化为:3-x-(x+2)=5,由此可得x=-2,这和x<-2相矛盾,所以此时方程无解.

(2)-2≤x≤3,此时可以将上述方程转化为3-x+(x+2)=5,此时可知方程恒成立,所以可知该区间范围内的全体实数值均为方程的解.

(3)x>3,此时可以将上述方程转化为-(x-3)+(x+2)=5,可求出x=3,与x>3取值范围相矛盾,所以此时该方程无解.

基于上述所述,通过引导学生灵活运用分类讨论思想来解决相应的问题,可以合理对相应问题进行分类处理,并进行合理地讨论处理,从而使学生最终求出该道题的最终结果为:-2≤x≤3.

4. 在三角形问题中的应用

在初中数学教学中,分类讨论思想也经常出现于三角形类型题的求解中.在题目中,如果已知条件存在不确定因素,如已知两边长且图形为等腰三角形,求其周长和面积.在该条件下,我们无法得知已知条件中所指的边长和腰,此时就需要将其分别当作底边和腰来进行求解.

例3已知直角三角形的两边长分别为3 cm和4cm,求第三条边长的数值?

解析:针对该道例题,需要将其中的4cm边长分别当作直角边和斜边来进行考虑,此时可求出另一边长的尺寸分别为和5cm.如此一来,就可以使学生通过训练而逐步掌握分类讨论思想,从而可以不断提升学生的数学解题能力.

综上所述,分类讨论思想在初中学生的数学解题当中应用,可以很好地帮助初中学生锻炼其数学逻辑推理能力和解题能力,因此,初中数学教师应当积极采取有效的方法来帮助初中学生有效地掌握分类讨论思想的运用方法,从而科学地提高初中学生的数学解题能力和学习质量.

参考文献

[1]车树勤.分类讨论,如何化整为零(上)[J].数学教学通讯,2011(2):48.

分类讨论及其数学应用 篇9

一、初中数学中分类讨论思想的应用应该遵循的原则

1.互斥性与多层性原则

互斥性原则其实就是指在分类之后,各子项应相互排斥,不能够促使其中的部分事物同属于一个子项。用一个简单例子来说明:譬如,一个班学生参加快跑与篮球比赛的学生一共有8个人,其中参加快跑比赛有5人,而篮球比赛有5人,这些都是由于两人两项比赛都有参加,若将着8人分类为参加快跑与篮球比赛两类,其主要存在逻辑性错误。除此之外,在进行初中数学解题的过程中,分类讨论又一次与多次分类讨论之分,所以将讨论的对象分作两个层次性的相互矛盾的概念,以便于更好的将枯燥无味的数学知识展示给学生,从而将数学知识逐层。

2.同一性与相称性原则

要想把分类讨论思想有效的运用到初中数学解题当中,教师应该做到以下几步:第一步,要确定分类讨论的对象,从而进行分类,并且分类的过程中一定要做到,主次清晰,不叠加,不遗漏。譬如,在对三角形进行分类的过程中,教师可以将三角形分成等腰三角形、锐角、直角三角形以及钝角三角形等等。值的注意的一点就是分类要相称,换句话说其实就是在分类之后,分类子项的并集要与母项的子集相称。

二、探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用

1.分类讨论思想在应用题中的运用

譬如,某家具厂主要生产桌子和椅子,桌子的市场定价大概为每张200元,而椅子的市场定价为40元,厂家为了能够提升这月的销售额,给广大消费者提供了两种购买方案,其一方案:买一张桌子送一张椅子。其二方案:桌子和椅子均按照定位的90%付款,但是两种优惠方案不能同时使用。如果某家具店老板打算购买20张桌子和椅子若把,请给家具店老板制定出一个非常划算的购买方案。

分析:由于题中没有直接的给出家具店老板要购买椅子的数量,所以,在制定方案时难免会有些麻烦。解题方式如下:

解:设家具店老板需要购买的椅子为x张,则有两种方案分别是:第一种方案,200×20+x-20)x40=3200+40x(元),第二种方案,(200x20+40x)x90%=3600+36x(元)设y=(3200+40x)-(3600+36x)=4x-400(元)而当y>0时,4x-400>0,x>100,由此可看,两种购买方案中,第二种方案比较适合。如果当y=0时,4x-400=0,x=100则两种购买方案均可以使用。而如果当y<0时,4x-400<0,20<x<100,则第一种方案相对比较划算。从上述解题可知,如果家具老板购买的椅子在20张一张,但少于100张时,第一种购买方案比较划算,而如果购买的椅子张数是在100张以内,则两种购买方案均划算,同时,如果购买的椅子张数是在100张以上,则方案二比较划算。

2.分类讨论思想在三角形问题中的应用

众所周知,初中数学教学中的三角形问题中,经常运用到分类讨论的思想,因可以让学生更好的掌握数学知识,以便于更好的提升数学课堂教学效率。譬如,在已知两边长且图形为等腰三角形,求该三角形面积为周长。在此条件下,并不明确已知条件下,不知道那条底为边长,那条为腰,这时就需要进行分类讨论,方可尽快找到答案,抓住题中的关键因素,如例题:已知3cm与4cm分别为直角三角形的两边长,求直角三角形的第三边长。解此题,需要把分类讨论思想有效的应用在教学中,把分为4cm为斜边长或者一直角边长这两种情况,从而分别求出第三边长为7cm,或5cm。

3.分类讨论思想在函数问题中的实际应用

譬如,已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数)若函数的图像与x轴恰好有一个交点,求a的值是多少?

分析:当此函数为一次函数时,a=0,求得与x轴交点为(-1,0)而如果当此函数为二次函数时,a不能等于0,即a=0.25时,有一个交点为(-2,0)

综合以上分类,a=0,或者a=0.25。在面对此题时,教师一定要让学生知道考核点是根据一次函数与二次函数的变换而确定存在的分类讨论必要。因由于函数中x2前的变量a不定,换句话就是a有可能就是任何一个数字,因此,要首先对a的取值进行分类讨论,其实就是a=0时的讨论方案与a不能等于0时的讨论方案。然后,要引导学生要找准a的取值范围后,继而让学生快速进入到函数的变换中,由此可以得出,当a=0时,函数为一次函数,当a不等于0时,函数即为二次函数。从上述解题可以看出,将分类讨论思想有效的应用在函数解题当中,其不仅可以让解题内容更加简单,也可以促使学生能够更快的熟悉一次函数与二次函数的区别,最终在脑中有一个简单的架构,从中得出相应的解题方案。

4.分类讨论思想在不等式问题中的实际应用

就目前的发展趋势来看,分类讨论思想在初中数学教学中得到了广泛的应用,其在不等式问题中应用最为广泛。譬如,在八年级一例题中,解不等式(h-1)x>h2-1,若不加区分,得出x>h+1就错了。因为k-1的值可以是h-1>0,h-1=0,由此可以得出,分类情况不同时,讨论的结果也就不相同。解题过程如下:

解析:当h-1>0,即为h>1时,则x>h+1.如果当h-1=0时就是h=1时,则原不等式无解。而如果当h-1<0时,其h<1时,由此可以推断出x<h+1.综上所述,当h>1时,x<h+1,而如果当h=1时,不等式无解,当h<1时,x<h+1.从上述题可以看出,对于解不等式的问题,将分类讨论思想有效的应用在不定式问题中得到了广泛的支持与应用,其主要原因有以下两点:第一,不等式存在严重的不定性,给学生的解题带来了很大的困难。第二:不等式存在的变量非常多。因此,在进行数学教学的过程中,教师一定要引导学生具有分类讨论的思路,这样不仅可以帮助学生更好的解题,还可以促使解题结果鞥更加准确,从而减少错误率,提高学生的学习效率,进而提升我国初中数学数学教学效率。

5.分类讨论思想在圆中的应用

圆是初中数学教学最重要的教学内容,其主要包括圆的对称性,圆与直线,等等。而在圆的对称性及位置关系的解题过程中,分类讨论思想成为了主要的解题思想。其不仅可以让学生更加明白题目中的变量及图形与图形之间的距离,而且还可以让学生在解题的过程中更加清楚知道应该采取何种解题方法进行解题,更可以促使解题结果更加准确。譬如假设半径分别为6和4的两圆相切,求两圆之间的圆心距是多少?从题中可以分析出:如果两圆为外切,则两圆之间的圆心距就是10,而如果两圆为内切,则两圆之间的圆心距就是2。所以,两圆之间的圆心距为10和2.从上述解题可以看出,分类讨论思想确实应该在教学中得到广泛的应用,以便于更好的提高学生的学习效率。

三、结束语

综上所述,将分类讨论思想应用在初中数学教学中即是新课程理念的要求,也是学生发展的需要。所以,在进行数学教学的过程中,教师一定要根据实际的教学内容有效的将分类讨论思想应用在不等式、圆以及函数的解题中,以便于让学生更好的进行解题,从而提高学生的学习效率,促进初中数学教学效率得以提升。总地来说,分类讨论思想不仅是一种深化的数学思维方式,也是一种对数学的认知能力。

参考文献

[1]刘江华.分类讨论思想在高一数学教学中逐步渗透的实践探究[D].河北师范大学,2013.

[2]李学.分类讨论思想在初中数学教学中的应用与实践[J].散文百家,2015,(05):64+85.

分类讨论及其数学应用 篇10

一、分类讨论思想需遵守的原则

1. 一致性原则

分类应该按同一标准进行,也就是每次分类不能使用几个不同的分类根据。例如:把三角形分为等边三角形和不等边三角形是按边分类的。但是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,这种分类就不正确,此种分类既是按边分类也按角分类。

2. 相斥性原则

分类后的每一个子项应具备互不相容的原则,也就是不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会,规定每个学生只能参加一项比赛,初一三班的6名同学报名参加200和400米的赛跑,其中有4人参加200米比赛,3人参加400米比赛,那么就有1人既参加200米又参加400米比赛,这道题目的分类就违背了相斥性原则。

3. 完善性原则

分类应当完善,即划分后子项的总和应当与母项相等。如:有人把实数分为正实数和负实数两类,这个分类是不完善的,因为子项的总和小于母项。事实上实数中还包括零。

4. 递进性原则

分类后的子项还可以继续再进一步分类,直到不能再分为止,层次分明。例如实数可以分为无理数和有理数,有理数还可以分为整数和分数,整数又可以分为正整数,零和负整数。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素,进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏,另外还要逐一认真解答。

二、分类思想在初中数学教学中的应用

1. 概念分类

例如在学习完负数、有理数的概念后,针对于不同的标准,有理数有多种的分类方法,若按定义来分类有理数可以分为分数和整数,分数又可以分为正分数和负分数,整数又可以分为正整数、负整数和零;若按正负来分类有理数可以分为正有理数、负有理数和零,正有理数又分为正整数、正分数,负有理数又分为负整数、负分数。

2. 在解题方法上分类讨论

例如:解方程∣x+3∣+∣4-x∣=7

解析:对于绝对值问题,往往要对绝对值符号内的内容分为正数、负数、零三种,在此方程中出现两个数的绝对值;∣x+3∣和∣4-x∣,∣x+3∣应分为x=-3,x<-3,x>-3;∣4-x∣应分为x=4,x<4,x>4,在数轴上可见该题应划分为三种情形:(1)x<-3,(2)-3≤x≤4,(3)x>4。

解:(1)若x<-3,化简-(x+3)+4-x=7得x=-3,与x<-3矛盾,所以x<-3时方程无解。

(2)若-3≤x≤4,原方程x+3+4-x=7恒成立,满足-3≤x≤4的一切实数x都是方程的解。

(3)若x>4,化为x+3-(4-x)=7,得x=4,与x>4矛盾,所以x>4时无解。

综上所述,原方程的解为满足-3≤x≤4。

3. 在几何中图形位置关系不确定的分类:

例如:已知a的绝对值是b绝对值的3倍,且在数轴上a、b位于原点的同侧,两点之间的距离为16,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点两侧呢?

分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的同侧”意味着甲乙两数符号相同。那么究竟是正数还是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

解:由题意得:∣a∣=3∣b∣,∣a-b∣=16

(1)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:若a、b在原点左侧,即a<0,b<0,则-2b=16,所以b=-8,a=-24若a、b在原点右侧,即a>0,b>0,则2b=16,所以b=8,a=24。

(2)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若a在原点左侧,b在原点右侧,即a<0,b>0,则4b=16,所以b=4,a=-12若a在原点右侧,b在原点左侧,即a>0,b<0,则-4b=16,所以b=-4,a=12。

以上几个例子是我们在教学中碰到的一些运用分类讨论思想解决的较为简单的例子,但不难看出分类讨论思想在中学数学教学中起着非常重要的作用,运用好分类讨论思想,不仅仅有利于学生对所学知识的归纳总结,还有利于我们解决平常的学习难题,更为我们解决日常生活中实际问题提供了的帮助。同时,在分类讨论中还能够激发学生的学习兴趣,提高学生自主探究、合作学习的能力,培养学生创新思维的习惯。

参考文献

[1]彭林,刁卫东.中考数学命题热点与规律探折.中小学数学,2001专刊.

[2]刁卫东.如何运用分类讨论思想解题.中学数学,1997.5.

分类讨论及其数学应用 篇11

关键词：分类讨论思想；中学数学；应用

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.下面分析一下分类讨论思想在中学数学中的应用.

一、分类讨论思想在集合中的应用

例1.设A={[x] -2≤x≤a}，B={[y] y=2x+3，x∈A}，C={[z] z=x2，x∈A}，且C?B，求实数a的取值范围。

解∵A={[x] -2≤x≤a}，

∴B={[y] y=2x+3，x∈A}

={[y] -1≤y≤2a+3}.

（1）当-2≤a≤0时，C={[z] a2≤z≤4}，因为C?B，所以4≤2a+3，解得a≥，

与-2≤a≤0矛盾.

（2）当0

解得a≥，

故≤a≤2.

（3）当a>2时，C={[z] 0≤z≤a2}，因为C?B，所以a2≤2a+3，

解得-1≤a≤3，

故2

综上可得[a]

≤a≤3.

二、分类讨论思想在函数中的应用

例2.已知函数f（x）=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记作g（a），求g（a）的函数表达式.

解：原式配方得y=2（x-）2+3-，

其对称轴方程为x=，

（1）当≤-1时，即a≤-2时，y在[-1，1]上递增，

在x=-1时，g（a）=2a+5；

（2）当-1<<1时，即-2

在x=处有最小值，g（a）=3-；

（3）当≥1即a≥2时，y在[-1，1]上单调递减，

在x=1时，g（a）=5-2a；

综上所述可得g（a）=2a+5，（a≤-2）

3-

（-2

5-2a，（a≥2）.

三、分类讨论思想在不等式中的应用

例3.解关于x的不等式x2-（a+a2）x+a3>0.

解：（1）当0a2，不等式的解集为{[x] xa}；

（2）当a=0时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x≠0}；

（3）当a≠1时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x≠1}；

（4）当a>1或a<0时，a

四、分类讨论思想在排列组合中的应用

例4.在正方体的顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？

解：依题意，共线的三点组可以分为三类：

（1）两端点皆为顶点的共线三点组，共有=28（个）；

（2）两端点皆为面的中心的共线三点组，共有=3（个）；

（3）两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有=18（个）

所以总共有28+3+18=49（个）。

五、分类讨论思想在数列中的应用

例5.已知数列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n项和.

分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑x=0这一情况.

解：设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

（1）当x=0时，Sn=1；

（2）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=；

（3）当x≠0且x≠1时，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，

两式相减：

（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=-nxn，

∴Sn=.

综上所述：

Sn=1，（x=0）

（x=1）

，（x≠0且x≠1）.

通过探讨分类讨论思想在中学数学中集合、函数、不等式，排列组合等中的应用，我们应用正确的分类讨论思想，对不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.所以，在教学中教师应该渗透分类讨论的思想，让学生充分感受并掌握这种思想.

参考文献：

[1]郭可银.谈分类讨论思想方法在解题中的应用：高中版[M].高等教育出版社，2005-04.

[2]刘文武.中学数学中重要的数学思想：分类讨论思想[M].科学出版社，2003-11.

高中数学函数分类讨论解题探析 篇12

一、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程的作用

1. 高中数学函数解题教学现状

函数是高中数学的主体内容, 它与高中数学很多内容都密切相关, 通过对函数的研究, 能够认识函数的性质、图象及其初步的应用, 因此函数思想在高中数学解题中的应用就显得尤为重要[1]. 高中数学学科对学生的逻辑思维能力要求较高, 尤其是高中数学知识中的函数知识, 这一部分知识十分抽象, 用明了的数轴来反映出一定的数学规律. 高中数学函数是在初中代数的基础上进行教学的, 这就表明了高中数学函数是代数的升华, 涉及到了函数的增长规律和解的分布规律, 在进行解题的教学过程中, 要帮助学生能够寻找到数轴的规律, 让学生更加全面的寻找到函数问题的结果.因此, 想要做好高中数学函数解题教学工作, 不仅仅要帮助学生树立良好的理科思维体系基础, 还要帮助学生形成深度剖析函数习题规律, 勤加练习函数习题的学习习惯. 但是, 在目前的高中数学函数解题教学过程中, 往往存在着数学教师的函数解题方法不够系统的情况, 这就导致高中数学教学过程只是单纯的沦为公式的背诵过程, 学生面对稍有难度的数学函数习题往往一筹莫展. 针对这样的情况, 就需要在对高中数学函数解题教学现状的总结基础上, 寻找出相应的改进手段.

2. 高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程作用

面对新时期教育部门提出的课程标准, 数学教育必须进行多方面的调整, 而教师将面对各种不同的考验与挑战[2]. 从高中数学函数解题教学现状, 可以看出, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要对高中数学函数分类讨论进行组合设计, 保证学生能够通过接受高中数学函数分类讨论思想, 开阔高中生的学习视野, 并帮助学生快速的明确一个数学函数问题的具体类型. 在这样的背景下, 通过进行高中数学函数分类讨论思想应用探究, 可以充分的发掘出该教学方式的优点, 让学生迅速的调用自己的知识储备, 迅速的找寻到解决这个函数问题的解题方法.

例1 令, 则x2+ 2y2= 16 ( 0≤x≤4, 0≤y≤2 槡2 ) , 则函数化为以u为参数的直线族y = x - u, 它与椭圆x2+ 2y2= 16 在第一象限的部分有公共点时直线y = x - u在y轴上截距的最大值与最小值为:.

分析: 等式右边根号内同为t的一次式, 如用简单的换元无法转化为二次函数求最值, 故用常规方法比较难. 如联想到直线的截距, 数形结合换元后, 以形助数, 则可轻松解决.

传统的函数的等式右边根号内同为x的二次式, 一般都是用简单的用换元法, 令很难用x表示t通过二次函数解决问题. 如果能引导学生学会借助于数形结合的方法来解决问题, 学生就容易理解, 也容易学会用换元的方法来解题, 效果就会更好.

二、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程策略探析

1. 利用高中数学函数分类讨论思想快速明确函数问题类型

为了让高中数学函数分类讨论思想发挥出应有的作用, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要为每一道数学函数问题进行深度的剖析. 具体的来说, 就是在进行一道数学函数问题的解题过程之前, 数学教师指引学生进行对函数习题的解读, 寻找到这一问题的解决途径, 进而在后续的过程更加高效的完成函数计算. 然后, 就可以帮助学生在解题的过程中, 形成自身的独特解题理念, 促进学生的函数解题效率提升. 与此同时, 教师可以利用高中数学函数分类讨论思想, 在传统的教学方法上添加自己的教学理念, 更加充分的调动学生学习的主观能动性.

例如, 在进行高中数学教学函数解题的教学过程中, 为了解决学生难以入手的问题. 高中数学教师就可以根据函数习题的类型, 对传统的函数问题分为“确定函数解的个数问题”“函数的单调性问题”“函数的间断点问题”, 并对这些不同类型的问题进行分类处理.通过这样的方式, 就可以让学生自主的进行函数解题方法的总结研究, 在课堂上营造浓厚的数学学习氛围, 促进高中生函数解题效率的提升.

2. 优化高中数学函数分类模式

在进行高中数学函数分类讨论思想的插入过程中, 高中数学教师要有针对性的进行高中函数解题数学教学模式的更新, 让高中生倾向于在进行函数解题之前, 进行对函数问题的分析, 找寻出恰当的解题方法促进高中数学教学效率的提升.

例如, 在进行高中数学函数解题教学模式的研究过程中, 要充分的注意到对于传统的高中函数解题教学方式的改革和探索, 将总结出函数问题类型放置在高中数学解题过程的优先级地位, 通过持续优化的教学过程来激发对于高中数学函数解题过程中的独立意识, 切实提升高中数学函数解题教学能力.

例2 求函数的最小值

解: 把看作点A ( x, 0) 与点B ( 0, 2) 的距离, 看作是点A ( x, 0) 与点C ( 4, 1) 间的距离, 如图1, 不难得出, 这个函数的最小值是| B'C | =5.

分析: 如果仅从代数的角度此题很难入手, 因此思维就要大胆的突破.联想到像两点间距离公式求解.如果在教学中利用函数分类模式引导学生去思考和分析, 引导学生从图形角度思考走出局限于代数的思考范围, 就可以帮助学生很好的实现思维的突破.达到正确解题的目的.

3. 勾勒新型高中数学函数分类结构

为了发挥出高中数学函数分类讨论思想在函数解题中的作用, 提升学生的高中数学函数解题效率. 因此, 在进行高中数学函数分类结构设计过程中, 就要根据高中生的特点, 优化高中数学教学形式, 进而有效促进高中函数解题效率的提升.

例如, 在进行高中函数解题数学的“求函数的单调性”的教学过程中, 学生通过初中代数的函数基础学习, 已经掌握了一定的函数解题基础, 在这样的背景下, 教师就可以让学生自主思考相应的解题方法. 然后, 让学生利用合适的函数解题方法进行对后续问题的分析, 帮助学生快速提升自身的函数解题效率.

例3 (首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题) 若x、y为正实数, 且x + y = 4 求的最小值______.

解:设AB=4, AP=x, PB=y, AE=1, BD=2.因为, ED连线交AB与C.所以.故的最小值是5.

分析: 从代数式的形式可知, 求它们的和实际上是求两个Rt△的斜边的和, 所以转化为几何图形, 用数形结合求解.

综上所述, 在进行高中数学函数分类讨论思想在高中函数解题教学中的应用过程中, 可以通过更新高中数学函数解题教学方法, 对原有的高中数学教学模式进行小规模的优化设计, 让学生快速的找到函数问题的解决方法, 促进学生函数问题解决效率的提升.

摘要：高中数学的函数学习中, 要针对学习内容多, 难度大的特点, 把高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程, 启发学生思考并快速明确函数问题类型, 优化高中数学函数分类模式, 提高教学效果.

关键词：高中数学,函数分类讨论,解题,探析

参考文献

[1]刘见乐;罗敏娜;用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育, 2011 (10) :45-46.