函数分类讨论（共10篇）
函数分类讨论 篇1
在进行对高中生的数学函数教学过程中, 要充分的意识到, 函数内容对于学生的数学思维能力要求很高, 尤其是对学生的分类思想、逻辑思维能力要求很高. 与此同时, 随着高中数学教学体系的快速发展, 学校在进行高中数学函数教学的过程中, 可以进行对于高中数学函数分类方法的研究思考, 可以形成对于现有的高中数学教学方法的补充设计, 并丰富高中数学解题教学的教学形式, 让高中生在解决数学问题的过程中, 快速的找到函数习题的具体类型, 更加高效的解决高中数学函数问题, 提升学生的高中数学解题效率, 达到高中数学函数解题教学的教学目的.
一、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程的作用
1. 高中数学函数解题教学现状
函数是高中数学的主体内容, 它与高中数学很多内容都密切相关, 通过对函数的研究, 能够认识函数的性质、图象及其初步的应用, 因此函数思想在高中数学解题中的应用就显得尤为重要[1]. 高中数学学科对学生的逻辑思维能力要求较高, 尤其是高中数学知识中的函数知识, 这一部分知识十分抽象, 用明了的数轴来反映出一定的数学规律. 高中数学函数是在初中代数的基础上进行教学的, 这就表明了高中数学函数是代数的升华, 涉及到了函数的增长规律和解的分布规律, 在进行解题的教学过程中, 要帮助学生能够寻找到数轴的规律, 让学生更加全面的寻找到函数问题的结果.因此, 想要做好高中数学函数解题教学工作, 不仅仅要帮助学生树立良好的理科思维体系基础, 还要帮助学生形成深度剖析函数习题规律, 勤加练习函数习题的学习习惯. 但是, 在目前的高中数学函数解题教学过程中, 往往存在着数学教师的函数解题方法不够系统的情况, 这就导致高中数学教学过程只是单纯的沦为公式的背诵过程, 学生面对稍有难度的数学函数习题往往一筹莫展. 针对这样的情况, 就需要在对高中数学函数解题教学现状的总结基础上, 寻找出相应的改进手段.
2. 高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程作用
面对新时期教育部门提出的课程标准, 数学教育必须进行多方面的调整, 而教师将面对各种不同的考验与挑战[2]. 从高中数学函数解题教学现状, 可以看出, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要对高中数学函数分类讨论进行组合设计, 保证学生能够通过接受高中数学函数分类讨论思想, 开阔高中生的学习视野, 并帮助学生快速的明确一个数学函数问题的具体类型. 在这样的背景下, 通过进行高中数学函数分类讨论思想应用探究, 可以充分的发掘出该教学方式的优点, 让学生迅速的调用自己的知识储备, 迅速的找寻到解决这个函数问题的解题方法.
例1 令, 则x2+ 2y2= 16 ( 0≤x≤4, 0≤y≤2 槡2 ) , 则函数化为以u为参数的直线族y = x - u, 它与椭圆x2+ 2y2= 16 在第一象限的部分有公共点时直线y = x - u在y轴上截距的最大值与最小值为:.
分析: 等式右边根号内同为t的一次式, 如用简单的换元无法转化为二次函数求最值, 故用常规方法比较难. 如联想到直线的截距, 数形结合换元后, 以形助数, 则可轻松解决.
传统的函数的等式右边根号内同为x的二次式, 一般都是用简单的用换元法, 令很难用x表示t通过二次函数解决问题. 如果能引导学生学会借助于数形结合的方法来解决问题, 学生就容易理解, 也容易学会用换元的方法来解题, 效果就会更好.
二、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程策略探析
1. 利用高中数学函数分类讨论思想快速明确函数问题类型
为了让高中数学函数分类讨论思想发挥出应有的作用, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要为每一道数学函数问题进行深度的剖析. 具体的来说, 就是在进行一道数学函数问题的解题过程之前, 数学教师指引学生进行对函数习题的解读, 寻找到这一问题的解决途径, 进而在后续的过程更加高效的完成函数计算. 然后, 就可以帮助学生在解题的过程中, 形成自身的独特解题理念, 促进学生的函数解题效率提升. 与此同时, 教师可以利用高中数学函数分类讨论思想, 在传统的教学方法上添加自己的教学理念, 更加充分的调动学生学习的主观能动性.
例如, 在进行高中数学教学函数解题的教学过程中, 为了解决学生难以入手的问题. 高中数学教师就可以根据函数习题的类型, 对传统的函数问题分为“确定函数解的个数问题”“函数的单调性问题”“函数的间断点问题”, 并对这些不同类型的问题进行分类处理.通过这样的方式, 就可以让学生自主的进行函数解题方法的总结研究, 在课堂上营造浓厚的数学学习氛围, 促进高中生函数解题效率的提升.
2. 优化高中数学函数分类模式
在进行高中数学函数分类讨论思想的插入过程中, 高中数学教师要有针对性的进行高中函数解题数学教学模式的更新, 让高中生倾向于在进行函数解题之前, 进行对函数问题的分析, 找寻出恰当的解题方法促进高中数学教学效率的提升.
例如, 在进行高中数学函数解题教学模式的研究过程中, 要充分的注意到对于传统的高中函数解题教学方式的改革和探索, 将总结出函数问题类型放置在高中数学解题过程的优先级地位, 通过持续优化的教学过程来激发对于高中数学函数解题过程中的独立意识, 切实提升高中数学函数解题教学能力.
例2 求函数的最小值
解: 把看作点A ( x, 0) 与点B ( 0, 2) 的距离, 看作是点A ( x, 0) 与点C ( 4, 1) 间的距离, 如图1, 不难得出, 这个函数的最小值是| B'C | =5.
分析: 如果仅从代数的角度此题很难入手, 因此思维就要大胆的突破.联想到像两点间距离公式求解.如果在教学中利用函数分类模式引导学生去思考和分析, 引导学生从图形角度思考走出局限于代数的思考范围, 就可以帮助学生很好的实现思维的突破.达到正确解题的目的.
3. 勾勒新型高中数学函数分类结构
为了发挥出高中数学函数分类讨论思想在函数解题中的作用, 提升学生的高中数学函数解题效率. 因此, 在进行高中数学函数分类结构设计过程中, 就要根据高中生的特点, 优化高中数学教学形式, 进而有效促进高中函数解题效率的提升.
例如, 在进行高中函数解题数学的“求函数的单调性”的教学过程中, 学生通过初中代数的函数基础学习, 已经掌握了一定的函数解题基础, 在这样的背景下, 教师就可以让学生自主思考相应的解题方法. 然后, 让学生利用合适的函数解题方法进行对后续问题的分析, 帮助学生快速提升自身的函数解题效率.
例3 (首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题) 若x、y为正实数, 且x + y = 4 求的最小值______.
解:设AB=4, AP=x, PB=y, AE=1, BD=2.因为, ED连线交AB与C.所以.故的最小值是5.
分析: 从代数式的形式可知, 求它们的和实际上是求两个Rt△的斜边的和, 所以转化为几何图形, 用数形结合求解.
综上所述, 在进行高中数学函数分类讨论思想在高中函数解题教学中的应用过程中, 可以通过更新高中数学函数解题教学方法, 对原有的高中数学教学模式进行小规模的优化设计, 让学生快速的找到函数问题的解决方法, 促进学生函数问题解决效率的提升.
摘要：高中数学的函数学习中, 要针对学习内容多, 难度大的特点, 把高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程, 启发学生思考并快速明确函数问题类型, 优化高中数学函数分类模式, 提高教学效果.
关键词：高中数学,函数分类讨论,解题,探析
参考文献
[1]刘见乐;罗敏娜;用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育, 2011 (10) :45-46.
[2]桑小波, 高中函数解题思路及方法之探讨[J].中学数学, 2014 (23) :83-84.
函数分类讨论 篇2
【关键词】分类讨论思想 函数单调性 应用
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）23-0071-02
一、分类讨论思想涵义概述
在我们遇到难解的问题时，首先要看的就是题目中所具备的条件是否能推论出一个确定答案，一旦出现无法求解的问题时，就要采用分类讨论的思想来将原问题分解成相对独立的“小问题”来逐步回答，通过解答这些小问题最终推证出原问题的答案，整个推论的过程就是分类讨论。分类讨论思想是一种至关重要的数学解题思想，秦九韶、刘微、康托、拉格朗日等许多著名的数学家都曾将分类讨论思想作为解决数学难题的重要途径，这些数学家的作答直接促进了分类讨论思想在数学领域的发展。
综上所述，分类讨论思想的实质就是将整体问题划分为部分问题，增加问题的定解条件，将问题化整为零、各个击破，然后再化积为整的解题策略。每个数学结论都是由其所成立的条件所决定的，按照问题的性质解题者需使用相应的解题策略。在面对有些问题结论的不确定性时，解题者要打破统一解题形式的枷锁，以分类转化等手段对各个问题一一击破。
二、分类讨论思想解答问题的步骤
1.确定分类讨论思想的对象
确定分类讨论思想的对象是分类讨论面临的首要问题，将引起分类讨论的原因找出对于分类讨论的论述来说是一个非常良好的开头。张红军曾在其《数学基本思想方法的探讨--分类讨论思想》一文中提出：分类讨论主要有概念分类型、运算需要型、参数变化型、图形变动型等五种讨论对象。在函数单调性问题上，函数分类讨论大致分为分段函数和函数性质问题两大类，前者是将问题分类讨论后才能进行解答，后者是将含有参数的问题进行解答。数学中常见的分类讨论思想对象有：按照函数性质中的奇偶性对区间上的单调性进行解答；函数参数k的情况与单调性问题解答；二次函数的对称轴以及参数讨论；对数函数对底数的分类；数学问题中参数的不确定性与导函数的单调性等等。
2.按照原则对讨论对象进行合理分类
在确定分类讨论思想的对象之后，我们需要按照原则对讨论对象进行合理分类。分类讨论思想的原则有：按统一标准对每一级别进行分类、逐级进行分类、不得进行越级分类。
3.总结分类讨论
分类讨论思想实际上就是要求解题者要以“合—分—合”的结构对讨论对象进行解答。在分类讨论之前，讨论的对象具有一定的完整性，解题者按照一定的标准对讨论对象进行分类，把整个问题化整为零、化难为易来解答。按照分类讨论逐步解答各项小问题的结论后，解题者还应对所有的结论进行总结归纳。一般来讲，分类讨论思想的总结有以下三种类型：首先是并列总结法；其次是并集归纳法；最后是交集归纳法。
三、分类讨论思想在函数单调性问题中的应用
分类讨论思想在函数单调性等问题中有着广泛的运用，在高考试卷上也占有很大的比例，但分类讨论却是很多考生的弱点。我们通过以下几个例子来探讨下分类讨论思想在函数单调性问题中的应用。
每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法。
在实际教学中，很多学生对题干中的隐含条件及可能性分析存在偏差，对参数a的分类难以做到不重不漏。因此在解决函数单调性问题时，一旦需要分类讨论，便感到困难。然而分类讨论作为一种重要数学思想，它的培养不是一朝一夕就能完成的，需要我们用较长时间持续渗透，让学生逐渐领悟。
教学启示：分类思想作为一种基本的逻辑方法适用于自然科学乃至社会科学研究之中，在数学教学中也发挥着至关重要的作用。学生在运用分类讨论思想解答函数单调性问题的过程中，可以将思考的周密性与条理性发挥到极致，有助于提高学生合理解题的能力。分类讨论思想与其他解题方法相比，最大的不同是它更依赖于经验和解题的习惯。所以教师在日常的授课中应注重培养学生的分类讨论思想，在解题教学中化隐为显、循序渐进，引导学生用分类讨论思想攻破问题，并在解题结束后，随机提问学生分类标准、分类优势等等问题，以提高学生的思维缜密性。
四、结语
分类讨论思想是高中数学中常用的解题思想方法之一，对培养学生解决问题的能力有很大的帮助，并且有利于提高学生数学思维的严谨性、填密性和灵活性。在日常教学过程中，教师应注重培养学生运用分类讨论思想解决问题的能力，引导学生总结解决问题的规律与共性，以达到迅速、准确解题的效果。
参考文献：
[1]吴炯折，林培榕.数学思想方法：创新与应用能力的培养[M].厦门：厦门大学出版社，2009
[2]慕泽刚.用函数思想解证不等式问题[J].数学大世界（高中生数学辅导版），2012（14）
[3]马士磊.浅析分类讨论思想[Jl.理化空间，2012（10）
作者简介：
函数问题中参数的讨论 篇3
例1:设函数, 对任意x∈ (1, +∞) , f (mx) +mf (x) <0恒成立, 则实数m的取值范围是.
[解析]在此, 我们将参数m分离出来, 得到关于m的不等式, 从而求出它的范围.
解:已知f (x) 为增函数且m≠0.若m>0, 由复合函数的单调性可知f (mx) 和mf (x) 均为增函数, 此时不符合题意.m<0时有.因为y=2x2在x∈ (1, +∞) 上的最小值为2, 所以, 解得m<-1.
例2:设函数f (x) =x2-1, 对任意恒成立, 求实数m的取值范围.
[解析]同例1, 我们将参数m分离出来, 得到在上恒成立, 然后将问题转化为求解不等式得到实数的m取值范围.
例3:已知函数f (x) = (a+1) 1nx+ax2+1.
(I) 讨论函数f (x) 的单调性;
(II) 设a<-1.如果对任意x1, x2∈ (0, +∞) , |f (x1) -f (x2) ≥4|x1-x2|, 求a的取值范围.
[解析]这是一道函数综合题目, 涉及求导, 构造函数, 时刻都伴随着对参数的讨论, 在解决此问题时, 求导是不难想到的, 但导函数中含有参数a即在求单调区间时, 如何对参数进行讨论是问题的关键, 已知函数的定义域为 (0, +∞) , 导函数分母恒正, 我们只需要讨论分子的正负, 而分子是含有参数的二次函数, 可结合抛物线的相关性质开口方向、对称轴、顶点进行分类讨论, 得到参数分为a≥0, a≤-1-1
在第二问中, 通过取x1, x2∈ (0, +∞) , f (x2) +4x2≥f (x1) +4x1, 想到构造函数g (x) =f (x) +4x, 问题转化为g (x) 在 (0, +∞) 上单调递减, 得到含有参数a的不等式我们又可以采取分离参数的方法, 将所得不等式进行变形得到得出参数a的范围 (-∞, -2].
(Ⅱ) 不妨假设, 而x1≥x2, a<-1, 由 (Ⅰ) 知在 (0, +∞) 上单调减少, 从而x1, x2∈ (0, +∞) , f (x1) -f (x2) ≥4 x1-x2.等价于x1, x2∈ (0, +∞) , f (x2) +4x2≥f (x1) +4x1, (1)
分类讨论思想精读 篇4
由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
（1）由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类. （2）运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以实数[a]，三角函数的定义域，去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.
例1 当[x∈[-2，1]]时，不等式[ax3-x2+4x+3≥0]恒成立，则实数[a]的取值范围是（ ）
A.[-5，-3] B. [[-6，-98]]
C.[-6，-2] D.[-4，-3]
解析 （1）当[-2≤x<0]时，不等式可转化为[a≤][x2-4x-3x3]，
令[f（x）=x2-4x-3x3（-2≤x<0）]，
则[f（x）=][-x2+8x+9x4]=[-（x-9）（x+1）x4]，
故函数[f（x）]在[-2，-1]上单调递减，在（-1，0）上单调递增.
此时有[a≤fmin（x）=f（-1）=][1+4-3-1]=-2.
（2）当[x=0]时，不等式恒成立.
（3）当[0 令[g（x）=x2-4x-3x3（0 则[g′（x）=-x2+8x+9x4]. 故函数[g（x）]在（0，1]上单调递增，此时有[a≥gmax（x）=g（1）=1-4-31]=-6. 综上，[-6≤a≤-2]. 答案 C 由图形位置或形状引起的讨论 求解有关几何图形问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化. 例2 已知变量[x，y]满足的不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数[k]等于（ ） A.-[12] B. [12] C.0 D.-[12]或0 解析 不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的可行域如图（阴影部分）所示. 由图可知若不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的平面区域是直角三角形，只有直线[y=kx+1]与直线[x=0]垂直（如图①）或直线[y=kx+1]与直线[y=2x]垂直（如图②）时，平面区域才是直角三角形. [① ②] 由图形可知，斜率[k]的值为0或-[12]. 答案 D 由参数引起的分类讨论 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论. 此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要适当地运用数形结合思想，分类要做到标准明确，不重不漏. 例3 已知函数[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=]2.71828…为自然对数的底数.设[g（x）]是函数[f（x）]的导函数，求函数[g（x）]在区间[0，1]上的最小值. 解析 由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得， [g（x）=f（x）=ex-2ax-b]. 所以[g（x）=ex-2a]. 因此，当[x∈[0，1]]时，[g（x）∈[1-2a，e-2a]]. （1）当[a≤12]时，[g（x）]≥0， 所以[g（x）]在[0，1]上单调递增， 因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b]. （2）当[a≥e2]时，[g（x）]≤0， 所以[g（x）]在[0，1]上单调递减， 因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b]. （3）当[12 所以函数[g（x）]在区间[[0，ln（2a）]]上单调递减，在区间[（ln（2a），1]]上单调递增. 于是，[g（x）]在[0，1]上的最小值是 [g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.] 综上所述，当[a≤12]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b]. 当[12 当[a≥e2]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b]. 常见的分类讨论问题 （1）集合：注意集合中空集的讨论. （2）函数：对数函数或指数函数中的底数[a]，一般应分[a>1]和[0 （3）数列：由[Sn]求[an]时分[n=1]和[n>1]讨论；等比数列中分公比[q=1]和[q≠1]讨论. （4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论. （5）不等式：解不等式时对参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. （6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论. （7）平面解析几何：直线点斜式中[k]分存在和不存在，直线截距式中分[b=0]和[b≠0]讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. （8）排列、组合、概率：分类计数问题. 关键词：复合函数,求导,分析 复合函数作为表达函数的一种重要形式，因为复合函数也由几个初等函数构成，所以对复合函数的求导比初等函数求导更为复杂.一般地，初等函数往往可以直接利用导数的四则运算法则，而复合函数的求导不但需要理解由哪些初等函数构成，而且求导时也要理清各初等函数之间的关系，这个过程往往需要若干步骤才能准确的求解.按照复合函数的求导法则，在计算复合函数时，最关键的是要找出一切中间变量及分解的初等函数，求导时要经过对中间变量的求导计算，这也构成了复合函数求导的难点. 对复合函数的定义的准确理解是掌握复合函数求导的根基，在此基础上，进一步的分析复合函数的求导方法及其推广应用，便于全面的理解复合函数的求导方法和培养严密的逻辑思维能力. 一、理解复合函数 遵循分析问题的规律，即分析问题首先是要认清问题的本质.在讨论复合函数求导问题时，首先应该理解复合函数的定义，便于认清复合函数的性质，以及对复合函数求导的关键点. 复合函数，从其字面意思理解可以表示为由多个函数通过复合的形式组成的新函数，即由多个简单的初等函数组合构成的复合型函数，那么要理解复合函数，就是要理解构成复合函数的初等函数.其中，初等函数是指幂函数、指数函数(y=xa,a为实数)、对数函数(y=ax,a>0且a≠1)、三角函数和反三角函数这五种函数.简单的初等函数是指对基本的初等函数和函数经过有限次的四则运算构成的函数，比如y=8+8sinx,y=ex-x+1等均为初等函数.复合函数则通过中间变量把有限个初等函数组合在一起的新函数.比如，有如下形式的复合函数: 这里的U,V依次称为一个中间变量、第二个中间变量，通过这两个中间变量的组合就构成了复合函数. 以上过程为正向分解复合函数的过程，若给定某个复合函数，要认识由哪几个简单初等函数构成，则需要逆向的分解复合函数，比如给定以下复合函数形式，y=ln(4+7x3)和y=5(cos6x)2，若分解成简单的初等函数，就可分别表示为y=lnu,u=4+7x3和y=5u2,u=cosv,v=6x.即一般方法是:从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析向里推进，最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.理解复合函数的逆向分解对复合函数的求导至关重要，并且是对复合函数求导的关键所在. 二、复合函数的求导 由于复合函数是简单的初等函数复合而成，所以，对其求导关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.在求导过程中，逐步对复合函数的中间变量求导，比如形如y=ecosx的复合函数的导数，就包括以下过程: 第一，分清中间变量.可以把y=ecosx看成是由以下过程构成的复合函数，y=eu和u=cosx; 第二，逐步求导.即首先需对整体求导，即.接着对中间变量求导，y'= 以上两步是求解复合函数导数的一般步骤，但是若复合函数由较多的简单初等函数构成，那么这个过程就比较复杂，就需要一个一般的过程实现.一般地，把复合函数的求导法则写成并将其成为链式法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数.根据复合函数中间变量的形式，可以把对复合函数的求导分为中间变量均为一元函数的情形，中间变量均为多元函数的情形，中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形. 三、复合函数求导的应用 复合函数求导在物理学中得到广泛的应用，特别力学问题，在对过程建立数学关系后，就需要对力学过程求解，而这个过程往往是一种复合函数的形式.而且，复合函数求导的能力掌握得如何，是判定对求导知识掌握程度的重要标志.因为复合函数的求导法则给出了一个相当一般的求导方法，许多求导公式都可以通过该法则逐步的推广得到，可以说其他的求导公式都可以看成是它的特例.并且，表达函数的三种形式(显示表达、隐士表达和参数表达)，虽然各有不同的应用场合，但是对它们的求导都可以利用复合函数的求导法则实现，而且运算的难易和繁简程度也大相径庭，比如引用较多的隐函数求导、复合函数的全微分等. 所以，在学习时，通过各种题型的反复训练，然后归纳总结复合函数的求导法则，最后形成严密的关于复合函数求导的逻辑思维关系，就可以全面的掌握复合函数的求导法则，并可根据实际情况选择使用不同求导的方式.这对进一步的掌握全微分、偏微分等知识至关重要. 参考文献 [1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2003. [2]孙家永.复合函数求偏导数法则的证明一般书中都有毛病[J].高等数学研究,2007,10(2):38-40. [3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2005. 一、在基础知识传授中渗透分类讨论思想 分类讨论是一种思想方法, 需要渗透到学生的意识中后, 才能有效指导实践。渗透的过程不是一蹴而就的, 而是需要教师将这种思维方式不断融入到知识学习的各个阶段。因此, 从基础知识传授开始, 这个工作就应当开始了。 例如, 在初中数学七年级上册第一章第一节中, 学生从正数和负数开始接触有理数的相关知识。从这部分基础概念的传授开始, 教师便开始以分类的思想贯穿其中。学生除了知道3、1.8%、3.5等是正数, -3、-2.7%、-4.5等是负数, 0既不是正数也不是负数之外, 还应当从宏观上看到, 这个过程是在将全部有理数按照正数、负数、0的标准分为三类, 从而使学生对有理数的划分与认知清晰了很多。 很多教师认为, 只有在具体数学问题的解答过程中才会应用到分类讨论思想。实际上, 这是一个普遍的误区。从基本定义、计算公式等基础知识的传授开始, 分类讨论的思考方式便已经出现了。教师一定要及时发觉并从开端处向学生渗透。 二、在具体问题解答中运用分类讨论思想 对基础知识学习过后, 学生便要开始接触一些具体的有理数问题了。虽然在学习之初, 学生练习解答的问题难度不会太大, 但并不妨碍分类讨论方法的加入。教师要时刻树立起应用分类讨论方法的意识, 并在具体问题的解答过程中随时加以运用。 例如, 在初中数学七年级上册第一章第三节中, 开始学习有理数的计算, 这也增加了更多融入分类讨论学习的机会。在有理数的加法学习完毕后, 教师向学生提出了这样一个问题:小明在一条南北向的笔直公路上行走, 他先走了10米, 又走了20米, 请问他现在距离出发点有多远呢?题目并不难, 却需要学生有一个清晰的分类讨论思路, 以先10米的行走方向为正方向进行分类, 便可以得出10+20=30 (米) 与10-20=-10 (米) 两个答案, 从而全面考虑小明的行走方式。 以上问题难度虽然不大, 却很好地融入了分类讨论的思考方式。也正是由于题目的整体解答比较容易, 学生才的注意力得以更加集中地放在分类讨论上。多加训练, 这种思维方式便能够迁移至其他复杂问题的解答当中。 三、在相关情境创设中深化分类讨论思想 当然, 除了通过具体问题进行反复实践之外, 教师也可以从整体教学的方向考虑, 深化分类讨论思想。教师所采用的方式, 是通过创设相关问题的具体情境, 激发学生思考, 使其主动应用分类讨论方法解决问题。 例如, 在初中数学七年级上册第一章第四节的教学过程中, 教师便为学生创设出了一个有理数乘法的计算情境, 促使学生自主展开分类讨论。学生们得到的问题如下:一条小狗在一条南北向的笔直道路上奔跑, 奔跑速度为每分钟5米, 并且以这个速度跑了2分钟。请问, 2分钟后, 小狗距离原点多远。学生们很快便反应出应用乘法进行计算, 并且结合两个方向得出了不同答案:5×2=10 (米) , (-5) ×2=-10 (米) 。在此基础上, 我又要求学生继续计算5× (-2) 以及 (-5) × (-2) 两个算式, 并且由此探究出有理数的乘法规则。学生自然而然地通过分类讨论的方法得出了“同号相乘得正, 异号相乘得负”的结论。 在成功的情境创设之下, 学生对问题的思考自由主动了很多。在这个思考过程当中, 分类讨论不再是教师对于学生的要求, 而是学生们解决问题的必需。大家在潜移默化中明确了何时使用分类讨论以及如何使用分类讨论。 四、在知识应用总结中升华分类讨论思想 任何知识的熟练掌握都离不开应用之后的全面总结, 有理数的学习也不例外。在有理数的每个知识阶段教学结束之后, 教师都会带领学生针对分类讨论方法的运用进行总结, 实现思想方法的升华。 例如, 在初中数学七年级上册第一章第五节学习结束之后, 教师带领学生进行了一个简单的总结。总结的重点并不是知识点的罗列, 而是如何利用字母将有理数乘方的运算法则表示出来。当一个个具体的数字变成了an时, 如何准确进行分类讨论呢?最关键的是找到分类的标准。在当前学习范围之内, n属于正整数范围, 因此, 我们只需对a的取值进行分类讨论。显然, 以a>0、a=0与a<0三种情况进行分类是最为合理的。于是我们得出, 当a>0时, an>0 (n是正整数) ;当a=0时, an=0 (n是正整数) ;当a<0时, a2n>0 (n是正整数) , 而a2n-1<0 (n是正整数) 。 阶段性的总结并不复杂, 却能够达到巩固知识、提升思想的效果。通过总结发现问题、完善方法, 并将有益的思想方法系统地串连起来, 明确清晰又便于复习。 教育教学的实践表明, 引导学生学习分类讨论的思想与方法, 逐步养成分类讨论的习惯与素养, 需要我们长期计划、系统安排, 由浅入深, 适时总结, 不断强化. 【例1】 实数a对应的点与原点的距离为3, 求a的值. 分析: (1) 在数轴上表示数a的点, 可能在原点左侧, 也可能在原点右侧.根据数形结合、分类讨论的思想, 可得a=3或a=-3. (2) 由题意得|a-0|=3, 当a=0时, 显然不合题意;当a>0时, |a|=a=3, 即a=3;当a<0时, |a|=3, 即a=-3. 启发:在进行有理数概念数学时, 引入这两种分析方法, 本身就是引导学生进行分类讨论的思想与方法, 学生较易接受. 【例2】 已知某个等腰三角形, 其中一个角为50°, 求其余的两个角的度数. 分析:根据等腰三角形的特性, 很自然地可以想到: (1) 当这个等腰三角形的顶角为50时, 它的其余两个角均为底角, 均为65°; (2) 当这个等腰三角形的一个底角为50°时, 它的其余两个角分别为50°与80°. 启发:对于这个问题, 有些学生不会分类讨论, 常源于对等腰三角形的基本特性认识不清;不常运用分类讨论的方法去思考问题. 【例3】 已知圆的半径为5 cm, 圆心为点O, 圆内有两条平行弦AB、CD, AB=8 cm, CD=6 cm, 求AB与CD的距离. 分析:学生初学时, 常常在画出示意图时, 将两弦画在圆心的同侧或画在圆心的异侧, 且仅画出了一种情形, 丢了另一种情形. 启发:学生初学时, 假如我们不是引导学生逐步思考, 引导学生去亲历思考, 而仅仅是将所有情况统统画在黑板上, 和盘托出, “赏赐”给学生, 学生的收获自然不会很多. 【例4】 如图1, 梯形ABCD中, AD//BC, AD=8 cm, BC=14 cm, 腰AB=CD=5 cm.设动点P沿着B→C→D→A→B的路线运动, 设P点运动速度为2 cm/s;当P点运动xs时, 由B、C、P三点决定的图形面积为y (cm2) , 求y与x之间的函数式. 分析: (1) 点P在线段BC上运动时, 即0≤x≤7, 这时y=0; (2) 当点P运动到C、D之间 (不包括C、D两点) 时, 作PQ⊥BC于Q, HD⊥BC于 (2) 当点P位于线段AD上 (包括A、D两点) 时, 由平行线间的距离处处相等, 得: (3) 当点P位于A、B两点之间, 所讨论的图形是以BC为底边、P点到BC距离为高的三角形.PB=32-2x, 相应的高为 这时, 显然, 当点P重合于B点时, x=16也满足此时的函数关系式. 综合得: 的全体函数所成的函数类。 在以上定义的基础上,我们给出新的定义。 定义1对于内的函数,我们定义 1 引理 证明:用数学归纳法来证明。 当K=2时, 所以当k=m+1时等式成立。因此结论成立。引理2([6])若形如2)的函数p∈Pn,则Pk≤2(k=n,n+1,n+2,…)。 2 关于Knλ(α)的系数关系 摘要：引入了解析函数类Knλ(α),利用复分析中的一些方法,讨论了这类函数的系数估计。 关键词：解析函数,系数估计,数学归纳法 参考文献 [1]H.Silverman,Unibalent functions with negative coefficients,Proc.Amer.Math.Soc.51,1975. [2]EKR EM KADIOGLU.On Subclass of Univalent Functions with Negative Coefficients[J].Applied Mathematics and Computation,2003. [3]洪敏.关于具有正系数的某一类解析函数[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版),2008. [4]LIU Ming-Sheng,ZHU Yu-Can,SR IVASTAVA H.M.Properties and characteristics of certain subclasses of starlike functions of order[J].Math.Computer Modelling,48,2008. [5]GR AHAM I,KOHR G.Geometric function theory in one and higher dimensions[M].New York:Marcel Dekker Inc,2003. 关键词：高考；数学；思想方法；分类讨论 中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）10-063-01 分类讨论在数学的解题中具有十分重要的作用，在历年的高考中都有考到，各题型都有出现，现就对其进行简单小结，希望大家在此基础上更加丰富数学思想方法的内容。 一、分类讨论的概念 1、所谓分类讨论。就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要根据问题的条件和结论所涉及到的概念、定理、公式、性质以及运算的需要、图形的位置等进行科学合理的分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后汇总各类的结果，得到整个问题的解答.分类讨论思想本质上是一种“逻辑划分思想”，即把所要研究的数学对象划分成若干不同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想，同时它也是一种重要的化难为易，化繁为简的解题策略和方法，体现了化整为零，集零为整的思想。 2、分类原则。标准统一、不重不漏、分清主次 3、分类讨论的步骤。（1）判断是否需要分类讨论，明确讨论的对象，确定所讨论对象的取值范围；（2）确定分类标准，进行科学合理分类，注意做到不重不漏；（3）逐类进行讨论，分级进行，获取阶断性结果及得出各类结果；（4）归纳各类结果，总结出结论。 三、归纳小结 分类讨论问题一般涵盖知识点较多，具有明显的逻辑特点，需要一定的分析能力和分类技巧，是历年高考考查的重点。解决分类讨论问题时，一般抓住引起分类讨论的原因，把握分类标准，进行合理分类。分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一，不重不漏，分类互斥（没有重复）；再对分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 一、三角形的形状不明确或图形不明确时需要分类讨论 三角形可以分为锐角三角形,直角三角形和钝角三角形,如果题目中没有明确指出是何种三角形是需要分情况说明。 例1,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其底边上的高为()。分析:此题中等腰三角形是何种三角形?未明确。不同类型的三角形一腰上的高与腰的关系不同,因此需要进行分类讨论。 解:显然,此三角形不可能为直角三角形。有两种可能: 1,此三角形为锐角三角形。如图,△ABC中,AB=AC=a,CD⊥AB,∠ACD=30° ∵∠ACD=30°,CD⊥AB ∴,∠A=60° ∴ABC为等边三角形,∴高 2,此三角形为钝角三角形。如图,⊿ABC中CD⊥AB,∠ACD=30°。 作AE⊥BC,垂足为E。 综合1,2.此三角形底边上的高是或。 在有的问题中,虽然在题目中给出有关条件,但没有明确的给出有关图形,导致了多中可能,仍需要分类讨论。 例2,已知等腰三角形中,腰上的中线把三角形的周长分为,两部分。则此三角形的腰长为______。 分析:画出图形,如图在⊿ABC中,D为AC为中点,△ABC的周长被BD分为AB+AD,BC+CD两部分。 但哪一部分是24cm,哪一部分是18cm没有确定,因此需要分类讨论。 解:设AD=CD=xcm,BC=ycm,有两种可能: 1,AB+AD=24cm,BC+CD=18cm.由题意2x+x=24,x+y=18.解之得:x=8,y=8.此时腰长为16cm,底边长为10cm,△ABC存在。 2,BC+CD=18cm,AB+AD=24cm由题意2x+x=18cm,x+y=24cm.解之得:x=6cm,y=18cm,此时腰长12cm,底边长18cm,△ABC存在综合1,2.此三角形腰长为16cm或12cm. 学生在解决此类问题时,常常由于不能熟练掌握分类讨论的方法,往往忽略两种情况中的一种,导致问题漏解。 当顶角,底角不明确时,需分类讨论。 例3.等腰三角形ABC中∠A=50,则另外两角分别为() 分析:A有两种可能,顶角或底角。如果不明确,需分类讨论。 解:1,∠A为顶角,则另外两角分别为65°,65°. 2,∠A为底角,则另外两角分别为50°,80°. 综合1,2.另外两角分别为65°,65°或50°,80°. 类似练习:等腰三角形ABC中,∠A=100°.则另外两角分别为() 二、当腰与底不明确时,需分类讨论 在此类问题中,腰与底没有明确指出,需分类讨论。有两种分类方法:1,按底边分;2,按腰分。这两种分类方法在实质上是一致的,一般的按底分类比较清晰,易于理解。 例4.等腰三角形ABC中,有两边长分别为6cm,8cm,则此三角形的周长为()。解:有两种可能:1,底为6cm,则腰为8cm,此时三角形三边长分别为8cm,8cm,6cm. 周长为22cm. 2,底为8cm,则腰为6cm,此时三角形三边长分别为6cm,6cm,8cm,周长为20cm. 综合1,2.三角形周长为20cm或22cm. 三、利用顶角的不同进行分类讨论。 利用腰与底的分类可以解决大多数与边有关的等腰三角形分类讨论问题,但在解决一些问题时会显得麻烦或易混淆,甚至会出现遗漏。三角形有三个角,每一个角都有可能是顶角,此时如果利用顶角不同的情况进行分类讨论,则问题会变得简单。 1. 已知两点,寻找第三点。 此类问题,往往给出等腰三角形的两点,要求找出符合条件的第三点,大多数出现在网格中或平面直角坐标系中。 例5,如图,已知直线y=x-2与双曲线y=k/x(x>0)交点为A(3,m). (1)求m,k的值 (2)连接OA,在x轴上是否存在点Q,使AOQ是等腰三角形,若存在,请写出所有符合条件的点Q的坐标,若不存在,请说明理由。分析:如果凭感觉寻找,能找到一些点,但容易出现遗漏。如果理由顶角的不同情况进行分类,则不易遗漏。有三种可能:1,以∠QOA为顶角,2,∠以QAO为顶角,3,以∠AQO为顶角。解:1(略解)m=1,k=3 2. 分三种情况: 1.以∠AOQ为顶角,则OQ=OA。或 2.以∠QAO为顶角, 3. 以∠AQO为顶角,则QA=QO,Q在AO的中垂线上。 作CQ垂直平分AO,垂足为C,交x轴于点Q。易证△OCQ∽△OBA 综合1,2,3,Q点坐标为或或或(5/3,0)。 2.与动点问题向结合 动点问题是近年来中考命题的热点,对学生而言也是难点,它考查学生分析问题的能力,也考查学生运算的能力。当它与等腰三角形问题结合在一起的时候,往往令考生感到畏惧。在2008,2009年中考很多地区竟然不约而同的出现,更多的出现在压轴题中,此类问题牵涉的量较多,如果能做好有关等腰三角形的分类讨论,则问题会变得很清晰。例6.(江苏2009中考数学压轴题)如图,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒. (1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标; (2)以点C为圆心、个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB. ①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值范围; ②当△PAB为等腰三角形时,求t的值. 分析:最后一个问题与等腰三角形有关,牵涉到三条线段:PA,AB,PB。有三种不同的可能,需要分类讨论。我们先用t表示出各线段或各线段的平方: 利用顶角分类讨论即可。 解:(1)C(5-t,0),. (2)①,略解 当⊙C与射线DE有公共点时,t的取值范围为. ②分三种情况,当PAB为顶角时,PA=AB,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,有 当APB为顶角时,有PA=PB,有PC⊥AB, 【函数分类讨论】推荐阅读： 函数分类08-24 2024年高考数学试题分类：三角函数07-31 分类讨论10-23 分类讨论的思考08-25 分类讨论及其数学应用06-29 相似三角形的分类讨论08-03 vlookup函数函数10-22 复变函数实函数05-31 函数性质与基本函数09-28 构造函数与析构函数09-20关于复合函数求导的讨论 篇5
函数分类讨论 篇6
分类讨论 贵在自然养成 篇7
关于一类新的解析函数的讨论 篇8
分类讨论使用类型小结 篇9
等腰三角形与分类讨论 篇10