函数零点

函数零点（精选11篇）

函数零点 篇1

新课程改革为高中数学教学和研究带来了又一次发展契机, 数学教师应顺应时代发展趋势, 转变教育观念, 提高自身素质修养, 在改革中实践, 在实践中探索, 在总结中提高, 培养学生的创造性思维[1]. 其次, 很多专题首次引入高中数学课程, 其中, 一些内容是以前大学才会涉及的. 现在把它们纳入高中教学中, 并不是想把这些内容简化, 而是想抓住这些内容的主要精髓, 把它们的基本思想介绍给高中生, 从而来实践新课程改革的教育理念.

函数零点的性质原是大学的内容, 由于学生在求解函数零点时往往无从下手. 以原来的教学方法似乎不能达到新课程的要求, 希望能寻找更好的解决办法. 通过对大学函数的学习和研究, 结合新课程改革的教学思想发现: 高中解高次不等式会用到零点的性质, 那么令不等式等于0, 解出零点, 再用数轴画出示意图, 根据图像就可以得出答案[2]. 受此启发, 利用“函数零点”解出函数的零点个数, 在直角坐标系中标出零点, 根据最值, 画出示意图, 判断函数零点的情况, 简称“零点坐标法”, 似乎是一种新的求解函数零点的方法[3]. 不难看出函数零点体现了函数与方程的思想, 由于与高等数学相衔接, 利用函数零点解决函数问题已成为高考命题的一个热点.

例1 求证y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点.

解: 令f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2, 因为f ( 0) = - 1 < 0, f ( 2) = 2 + lg3 > 0,

则f (0) f (2) <0, 只需证明该函数在 (0, 2) 内单调性即可

即f ( x1) < f ( x2) , 则f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 单增,

所以y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点.

说明: 此例利用零点存在定理和单调性证明函数存在唯一零点, 如果函数存在多个零点, 此解法就比较繁琐.

例2 试求函数y = ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k的零点个数.

解法1: 函数零点等价于方程 ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k = 0 的根

令t = | x2- 1 | , k = - t2+ t.

利用复合函数函数单调性画出图3.

解法2:令f (x) = (x2-1) 2-|x2-1|, 则F (x) =f (x) +k.

则将空间分为6 个区间, 在各区间中代入一点可画出法一示意图, 则显然F ( x) = 0 可能有2 个零点, 5 个零点, 8 个零点.

说明: ( 1) 使用常规的换元法解此题思路繁琐, 计算量大, 易出错. ( 2) 用函数零点解题就简单方便, 只需求出函数的零点和最值, 然后画出示意图根据图像即可判断函数零点的个数, 此方法是否可以推广求多项式函数的零点个数?

例3 求f ( x) = ax2+ bx的零点.

说明: 此方法可以判断二次多项式的零点个数, 那么这样是否就可以求三次多项式的零点个数呢?

例4求y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的零点?

解:f (x) =ax3+bx2+cx=x (ax2+bx+c=0.

代入f ( x) = ax3+ bx2+ cx求出其最大值和最小值为k1和k2.

画出示意图4.

当d > - k2或d < - k1时, y =ax3+ bx2+ cx + d只有一个零点;

当- k1< d < - k2时, y = ax3+bx2+ cx + d只有三个零点.

说明: 此例通过设f ( x) = 0, 将三次多项式降次为二次, 再利用二次多项式求零点的个数的方法来求一般三次多项式的零点个数.那么, 我们是否可以通过这样来求四次多项式、五次多项式……的零点个数呢? 由上面的例子可以总结用“零点坐标法”求一般多项式的零点时, 通过降次, 求零点, 最值, 循环使用上面的步骤, 则可求解y = anxn+ an - 1xn - 1+ … + a1x + a0的零点个数.

摘要：“零点坐标法”, 是一种新的求解函数零点的方法, 函数零点体现了函数与方程的思想, 本文对高中数学中利用“零点坐标法”求解函数零点的题目的示范, 浅析此法在题目中的应用.

关键词：零点坐标法,函数,求解

参考文献

[1]阳志长.分析探讨, 零点突破[J].中学数学, 2012 (12) :32-34.

[2]赵霞.函数零点问题探讨[J].理科考试研究:高中版, 2015, 22 (5) :10-11.

[3]韩峰.函数零点在解题中的应用[J].中学生数理化:高一版, 2008 (9) :26-27.

函数零点 篇2

学习目标 1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法． 学习重点、难点

重点: 零点的概念及存在性的判定． 难点: 零点的确定． 学习过程

(一)课题

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

①方程x22x30与函数yx22x3 ②方程x22x10与函数yx22x1

③方程x22x30与函数yx22x3

（二）研讨新知

函数零点的概念：

对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点．

函数零点的意义：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点． 函数零点的求法： 求函数yf(x)的零点：

①（代数法）求方程f(x)0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 1．根据函数零点的意义，其求法有： ①代数法；

②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数

yax2bxc(a0)．

（１）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数f(x)x22x3的图象： ① 在区间[2,1]上有零点______；

． f(2)_______，f(1)_______,f(2)·f(1)_____0（＜或＞＝）② 在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数yf(x)的图象

① 在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞＝）． ② 在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞＝）． ③ 在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞＝）．

（三）、巩固深化，发展思维 1．例题

例1． 求函数f(x)=x22x3的零点个数。

问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数yx32x2x2，并画出它的大致图象． 2．P88页练习第二题的（1）、（2）小题

（四）、作业

P88页练习第二题的（3）、（4）小题。

4.1.2用二分法求方程的近似解(1)学习目标

理解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

学习重点、难点

重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)? 学习设想

（一）、创设情景

提出问题：

（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程 ㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？

（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？

（二）、新知

一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；

再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，即方程㏑x＋2x－6=0近似值。

这种求零点近似值的方法叫做二分法。

1．认真理解二分法的函数思想，根据课本上二分法的一般步骤，探索求法。2．为什么由︱a － b ︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？

说明：

设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则： 0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0； 由于︱a － b ︳＜，所以

︱x0 － a ︳＜b－a＜,︱x0 － b ︳＜∣ a－b∣＜, 即a或b 作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。㈢、巩固深化，发展思维

1．完成下面的例题 例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）

问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？

引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．

（四）、归纳整理，整体认识

在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：

（1）本节我们学过哪些知识内容？

（2）你认为学习“二分法”有什么意义？

（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？

（五）、布置作业

P92习题3.1A组第4题，第5题。

4.1.3用二分法求方程的近似解(2)学习目标

继续了解函数的零点与对应方程根的联系，理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质；通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。

学习重点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.学习难点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.学习过程

一、创设情景，引入新课

观察二次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?

探究可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f（1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是方程x2－2x－3=0的一个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x2－2x－3=0的另一个根.我们能从二次函数的图象看到零点的性质：

1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.二、讲解新课 1.零点的性质

如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·

f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）= 0，这个c也就是方程f（x）=0的根.求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.2.应用举例

【例1】 教科书P88例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用.（1）函数f（x）=lnx+2x－6的图象可利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表3－1，可以用计算器或计算机得出，通过动手实践获得对表3－1的认同.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、h（x）=2x－6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+∞）上是增函数.【例2】 已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：

①对任意实数x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，满足x1+x2=2；

②对任意x1、x2∈（1，+∞），总有f（x1x2f(x1)f(x2)）＞.22则方程ax2+bx+1=0根的情况是

（）

A.无实数根

B.有两个不等正根 C.有两个异号实根

D.有两个相等正根 方法探究：（1）本题由条件①，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件②，知函数f（x）是凸函数，即a＜0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件②，知函数f（x）的图象开口向下，即a＜0.又由x1x2=＜0，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.方法技巧：解析（2）的求解过程明显比解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】 研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数.方法探究：纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x2－2x－3|与y=a的图象的交点的个数.解：设y=|x2－2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根.1a 方法技巧：有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个步骤：一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.三、课堂练习

教科书P88练习题1.（1）（2）

四、课堂小结

1.本节学习的数学知识：

零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.2.本节学习的数学方法：

归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.五、作业

函数零点 篇3

【例题】（2012年高考湖北文）函数f（x）=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】 D.

【解析】由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0.其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■(k∈Z)，故x=■+■(k∈Z).又因为x∈[0,2π]，所以x=■，■，■，■，所以零点的个数为1+4=5个，故选D.

【说明】函数f（x）=xcos2x=0在区间[0,2π]上的零点个数就是确定方程xcos2x=0在区间[0,2π]上根的个数，当这个方程容易求根时，可以通过直接求根来确定原函数的零点的个数.

【变式1】(2102年高考北京文)函数f（x）=x■■-（■）■的零点个数为（　　）

A． 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B.

【解析】因为函数f（x）=x■-（■）■在定义域[0,+∞）上是增函数，且f（0）=-1＜0，f（1）=1-■=-■＜0，所以由函数零点的存在性定理知f（x）=x■■-（■）■存在唯一的零点x0，且x0∈（0，1），故选B.

【说明】所谓函数零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是f（x）=0方程的根.当满足条件f（a）·f（b）＜0时，为了保证y=f（x）在区间（a，b）内只有一个零点，我们必须说明y=f（x）在区间（a，b）内单调.

【变式2】(2012年高考湖南)设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f ′（x）是f （x）的导函数，当x∈[0,π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π） 且x≠■时 ，（x-■）f ′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为（　　）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 8

【答案】Ｂ.

【解析】由当x∈（0，π） 且x≠■时 ，（x-■）f ′（x）＞0，知x∈[0,■)时，f ′（x）<0，f（x）为减函数：x∈（■,π]时，f ′（x）＞0，f（x）为增函数，又x∈（0,π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）的图像如下，由图知y=f（x）-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

【说明】当所给函数不单调且对应方程无法直接解出时，往往可利用函数性质画出函数图像，进而从图像中直接“读出”答案.本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.

【变式3】（2012年高考福建理）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab,a≤bb2-ab,a＞b设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________.

【答案】（■，0）．

【解析】由新定义得f（x）=（2x-1）2-（2x-1）（x-1），（x-1）2-（2x-1）（x-1），■=2x2-x，x≤0-x2+x，x＞0所以可以画出草图，若方程f（x）=m有三个根，则0＜m＜■，且当x＞0时方程可化为-x2+x-m=0，易知x2x3=m，当x≤0时方程可化为2x2-x-m=0，可解得x1=■，所以x1x2x3=m·■，又易知当m=■时m·■有最小值，所以■×■＜m·■＜0，即■＜x1x2x3＜0.

【说明】本题将方程的根的问题转化为两个两数图像的交点问题，求解这类问题的关键是构造函数，并作函数图像.本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大．

【变式4】（2012年高考天津文）已知函数y=■的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .

【答案】0＜k＜1或0＜k＜2.

【解析】 函数y=■=■，当x＞1时，y=■=x+1=x+1，当x＜1时，y=■=-x+1=-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1综上函数y=■x+1，x≥1-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1作出函数的图像，要使函数y与y=kx有两个不同的交点，则直线y=kx必须在深色或浅色区域（阴影部分）内（如图），B（1，2），D（-1，0），则此时当直线经过右上阴影部分（浅色）区域时，k满足1＜k＜2，当经过左下阴影部分（深色）区域时，k满足0＜k＜1，综上实数k的取值范围是0＜k＜1或1＜k＜2.

【说明】本题与变式3相似，两个函数一定一动，故只需将“定函数”图像做出后，再将另一个含参数的“动函数”的图像旋转，便可找到所求参数的取值范围.解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．

从以上分析可以看出，判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．

类题练习:

1.“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

答案：A；解析：f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点，则f（-1）f（-2）＜0，即（3-a）（2a+3）＜0，∴a＞3或a＜-■，∴“a＜-2”是“a＞3或a＜-■”的充分不必要条件，∴“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[1,2]上存在零点”的充分不必要条件.

2. 函数f（x）=x+2-2x在定义域内零点的个数是（　　）

Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ. 3

答案：D；解析：在同一坐标系中画出函数y=x+2与y=2x 的图像，可以看到2个函数的图像在第二象限有2个交点，在第一象限有1个交点，所以函数f（x）=x+2-2x在定义域内有3个零点.

3. 已知函数f（x）=ex，x≥0-2x，x＜0则关于x的方程f [ f（x）]+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有1个不同实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不同实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不同实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不同实根；其中假命题的个数是（　　）

A． 0 B． 1

C． 2 D． 3

答案：C． 解析： 当x≥0， f（f（x））=f（ex）=■，当x＜0，f（f（x））=f(-2x)=e-2x,当x≥0,y=■是增函数，x＜0,y=e-2x是减函数，由f [ f（x）]+k=0得f ( f（x）)=-k方程f ( f（x）)=-k解的个数即y=-k与y=f ( f（x）)的图像交点的个数，由图像得当1≤-k≤e，有1个解；当-k≥e时有2解.

4. 设函数f(x)（x∈R）满足f(-x)=f(x)，f(x)=f(2-x)，且当x∈[0，1]时，f (x)=x3. 又函数g(x)=xcos（πx），则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-■，■]上的零点个数为( )

A.5 B. 6 C. 7 D. 8

答案: B；解析：因为当x∈[0，1]时，f(x)=x3. 所以x∈[1，2]时，（2-x）∈[0，1]，f(x)=f(2-x)=(2-x)3，当x∈[0，■]时，g(x)= xcos（πx）;当x∈[■，■]时，g(x)= -xcos（πx），注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，g（■）=g（■）=0，作出函数f(x)、g(x)的大致图像，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间[-■，0]、[0，■]、[■，1]、[1，■]上各有一个零点，共有6个零点，故选B.

5.已知函数f(x)＝■,x≥2（x-1）3，x＜2若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

答案：(0,1).解析：f(x)=■（x≥2）单调递减且值域为

(0,1]，f(x)=（x-1）3（x＜2）单调递增且值域为（-∞，1），函数f(x)的图像如图所示，故f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）．

（作者单位：江苏省太仓高级中学）

函数的零点漫谈 篇4

关键词：函数的零点,数形结合,极值

对于函数y=f (x) , 我们把使方程的实数根f (x) =0的实数根x叫做函数y=f (x) 的零点。如果函数f (x) 在[a, b]上的图像是一条连续不断的曲线, 并且有f (a) ·f (b) <0, 那么函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内有零点 (称为函数的零点存在性定理) 。即:函数y=f (x) 的零点⇔方程f (x) =0的实数根⇔函数y=f (x) 的图像与x轴的交点。

下面归纳高考所涉及的三方面内容, 希望对大家有所帮助。

一判断函数的零点个数

例1:判断函数f (x) =|log2 (x+1) |+x-1的零点个数。

解析:函数f (x) =|log2 (x+1) |+x-1的零点个数等价于函数y=|log2 (x+1) |与y=-x+1交点的交点个数。在同一坐标系中作出函数y=|log2 (x+1) |与y=-x+1的图像 (如右图) , 结合图像易得两图像有两个交点。

所以函数f (x) =|log2 (x+1) |+x-1有2个的零点。

评注:判断函数的零点个数常用的方法有: (1) 直接求解法, 通过解出 (或判断出) 方程f (x) =0的实根确定函数y=f (x) 的零点个数; (2) 结合函数的单调性和极值, 转化为判断函数的图像穿过x轴的次数; (3) 对于复杂函数, 常将其分拆为两个易画出图像的函数, 转化为判断两个函数图像的交点个数。

二确定函数零点的范围

例2:函数f (x) =log3x+x-3的零点一定在区间 () 。

A、0, 1 B、1, 2 C、2, 3 D、3, 4

解析一:验证法。

由零点存在性定理可知, 在[a, b]上的连续函数f (x) , 若满足f (a) ·f (b) <0, 那么函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内一定存在零点。

因为f (1) =-2<0, f (2) =log32-1<0, 且函数f (x) 在区间 (1, 2) 上单调, 故函数在区间 (1, 2) 上一定无零点, 排除B, 同理可排除A、D, 而f (3) =1>0, 所以f (2) ·f (3) <0, 所以函数f (x) 的零点在区间 (2, 3) 上一定有零点, 故选C。

评注:连续函数f (x) 在区间 (a, b) 上满足f (a) ·f (b) <0, 是函数f (x) 在区间 (a, b) 上存在零点的充分非必要条件。当f (a) ·f (b) >0时, 不能确定函数f (x) 在区间 (a, b) 上是否存在零点, 还需结合函数的单调性 (单调函数) 或单调性与极值判断 (非单调函数) 。

解析二:利用二分法。

lim (log3x+x-3) →-∞, f (4) =log34+1>0, 所以函数在区间 (0, 4) 内有零点, 又f (2) =log32-1<0, 所以函数f (x) 在区间 (2, 4) 内有零点, 又f (3) =1>0, 所以函数f (x) 在区间 (2, 3) 内有零点, 故选C。

评注:“二分法”只能判断函数的图像在零点处连续且在零点左右函数值异号的零点 (称为变号零点) 的范围, 不能判断在零点处图像不连续或在零点左右函数值不变号的零点 (称为非变号零点) 的范围。

三求参数的范围

例3:若函数f (x) =x2+2mx+3在区间 (0, 2) 内有两个零点, 求实数m的取值范围。

方程根与函数零点教学设计 篇5

(1)知识与技能：

结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

(2)过程与方法：

培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

(3)情感态度与价值观：

在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点

重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念

难点：函数零点与方程根之间的联系

三、教法学法

以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台

四、教学过程

1.创设问题情境，引入新课

问题1求下列方程的根

师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。

问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的.交点的关系?

师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律

问题3完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系?

师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。

2.建构函数零点概念

函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

思考：

(1)零点是一个点吗?

(2)零点跟方程的根的关系?

(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数?(投影问题2的表格)

师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。

3.知识的延伸，得出等价关系

(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点

也谈函数的零点问题及解法 篇6

1 水尽疑无路

笔者根据题型一的解法求解题1（2011年山东卷理16题）：

已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），当2<a<3<b<4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*.则n= .

解答明显是“小题大做”，且计算过程繁琐;题解过程也不显有优势.顿生疑惑：为何不能顺利解决？

2 花明又一村

探究发现，利用零点的存在性定理解决该类问题，特别是零点所存在区间的这类开放性问题时，应适当辅以数形结合思想，如此才能使区间的确定更直观自然、快捷准确.

题1可以如下分析：将问题转化为方程logax=-x+b的根所在区间问题，若令g（x）=logax，h（x）=-x+b，从而就可以转化为函数y=g（x）与y=h（x）图像交点问题.简图如图1：

图1

由图可知零点在（1，3）中，另得f（1）<0，f（2）<0，f（3）>0;故可得函数的零点x0∈（2，3），即n=2.

简评 针对这类函数零点存在的区间问题，利用数形结合思想将函数对应的方程进行恰当变形，构造出相对简单的两个常见函数.然后绘出两端的函数图像，通过这两个函数交点的情况来判断，使得复杂的零点存在区间问题简单化.

另反思文[1]中题型五根据零点求参数，采用分离变量的常规处理方法，将含参的复杂函数f（x）的零点问题，巧妙借零点与根之间的关系等价转化.

文中例5：（2011年辽宁卷文第16题）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是 .

解题思路是：f（x）=ex-2x+a的零点可以转化为ex-2x+a=0的根的问题，从而最终等价转化为a=-ex+2x的存在性问题.

若借鉴题1的解法，函数f（x）=ex-2x+a有零点方程ex-2x+a=0有实根函数y=ex与y=2x-a图像有交点.借图2：

图2

分析可得：若直线l：y=2x-a0与y=ex相切于P（x0，y0），利用导数可求其切点P的坐标，不难求得是（ln2，2）;此时-a0=2-2ln2，得a0=-2+2ln2.

根据图2可以判断只要在y轴上的截距-a≥-a0，就可得两函数图像必然有公共点;即a≤2ln2-2为所求.

类似文[2]中二次函数在有限开区间内的零点问题，高考常有所考查;也可以利用上述的思路解答.有兴趣的读者可以研究2009年全国高等学校招生统一考试数学浙江卷理科第22题第（Ⅰ）问的具体的解题过程，在此不作赘述.

3 更上一层楼

零点问题是高考的热点问题，常出现于涉及利用函数的导数研究单调性的问题中;是每年的必考知识点.要确定区间上导函数的正负，则导函数的零点是关键.而有时导函数对应的方程是一个超越方程，高中生的知识能力水平，非常规方程的根求而不得;这种“隐零点”问题，可以单独作为一种重要的函数零点的问题类型.“隐零点”问题常规的处理方式是：一阶求导求不到，借高阶研究;或者是设而不求，适时回代.笔者选例2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学理21题（Ⅱ）问：已知函数f（x）=ex-ln（x+m），（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

解答如下：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2）.故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，函数f′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上单调递增;又f′（-1）<0，f′（0）>0，故f′（x）=0在（-2，+∞）有唯一实根x0∈（-1，0）.

当x∈（-2，x0）时，f′（x）<0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）>0;从而当x=x0时f（x）取得最小值.

由此得ex0=1x0+2ln（x0+2）=-x0，故f（x）≥f（x0）=1x0+2+（x0+2）-2≥0

综上可证明：当m≤2时，f（x）>0.

简评 导函数存在零点即方程存在实根，但是无法求解出;故先暂且设而不求，等到求最值时，代入替换达到预期的证明效果.

零点是函数部分的常考知识点，厘清问题类型，针对性突破，使解题有的放矢;但也不可思维定势，限制了学生数学思维的灵活性.高考注重对学生数学思维能力的综合考查，学生只有通过解题后反思、探究、总结，才能对知识点理解透彻、方法掌握灵活、解题融会贯通、智能获得提升;从而获得处理问题的数学思想，提高思维的严密性、灵活性和创造性.

参考文献

[1] 梁建.零点问题的类型及解决方法[J].中学数学（上），2014（3）：45-46.

[2] 杨华.二次函数在有限开的区间内有零点的条件[J].中学数学教学参考（上旬），2013（6）：44-45.

例解函数零点问题 篇7

一、求函数零点

函数f (x) 的零点是使y=f (x) 的值为0的实数x的值, 即函数y=f (x) 的零点就是方程f (x) =0的实数根, 所以我们可以直接利用方程思想求出方程f (x) =0的根, 从而解决函数零点问题.

【例1】 (2012年湖北高考试题) 函数在区间[0, 4]上的零点个数为 () .

A.4B.5C.6D.7

解析:因为f (x) 解析式是因式之积的形式, 所以应分类讨论其中的每个因式为0的情况, 即可求出函数的零点, 从而确定函数零点个数.

解:因为x=0∈[0, 4], 且f (0) =0, 所以0是函数f (x) 的一个零点.

【例2】 (2009年广东高考试题) 已知二次函数y=g (x) 的导函数的图像与直线y=2x平行, 且y=g (x) 在x=-1处取得最小值m-1 (m≠0) .设函数

(1) 若曲线y=f (x) 上的点P到点Q (0, 2) 的距离的最小值为, 求m的值;

(2) k (k∈R) 如何取值时, 函数y=f (x) -kx存在零点, 并求出零点.

解析: (1) 由导函数和两直线平行关系等知识, 可求出二次项系数, 再利用二次函数图像的对称性及最值等知识求出一次项系数和常数项, 即得函数y=g (x) 的解析式, 然后利用可得y=f (x) 的解析式, 利用P、Q两点之间的距离公式和基本不等式可以求出P、Q两点距离的最小值, 从而得到m的值; (2) 要研究函数y=f (x) -kx的零点, 根据第 (1) 问可得函 数y=f (x) -kx的解析式, 利用等价转化的思想, 可以把函数y=f (x) -kx存在零点转化为方程根的问题, 再利用分类讨论的思想来解决.

二、研究整数零点

要求零点是整数, 那么就必须先利用方程思想求出零点, 然后根据“零点为整数”这一性质, 探求满足条件的参数的值, 最后再代入原方程进行检验.

【例3】 (2011年陕西理科高考试题) 设n∈N+, 一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_____.

解析:本题中一元二次方程已知, 可以直接利用求根公式求出根, 然后用完全平方数、整除等进行判断计算.

三、研究函数零点所在范围

要研究函数零点所在的区间, 通常是不便直接求出零点, 常用如下两种方法进行处理.第一, 利用零点存在性定理, 考查函数图像与x轴的交点;第二, 把函数拆成两个函数, 从而利用两个图像交点来估计零点存在的范围.

1f (0) f (1) >0;2f (0) f (1) <0;3f (0) f (3) >0;4f (0) f (3) <0.

其中正确结论的序号是 () .

A.13B.14C.23D.24

解析:本题研究三次函数的零点, 利用导数的知识可得函数的单调区间和极值点.因为函数f (x) 有三个零点, 所以极大值大于0, 极小值小于0, 可得a、b、c的取值范围, 从而得到f (0) 、f (1) 、f (3) 的符号.

四、研究函数零点个数

要研究函数零点个数, 通常利用函数图像交点个数来观察图像得到函数零点个数.当函数是复合函数时还需要利用函数图像和函数概念考查函数值所对应的x的个数, 进而解决函数零点个数问题.下面就复合函数的零点问题进行探讨.

解析:本题研究复合函数的零点, 由条件得到函数的解析式后, 利用导数的知识可得函数f (x) 的单调区间和极值点, 解决第 (1) 问和第 (2) 问.要研究函数h (x) 的零点个数, 那么需要利用函数的定义, 先讨论函数f (x) 的单调性和x在对应法则的作用下y值的情况, 即研究不同的函数值y有几个自变量x与其对应, 然后利用整体思想、数形结合思想和函数f (x) 的图像与性质研究函数h (x) 的零点个数.

所以当x=-1时, 函数f (x) 有极大值f (-1) =2;当x=1时, f (x) 有极小值f (1) = -2, 且f (-2) =-2, f (2) =2.根据函数f (x) 的性质作出函数的图像, 如图3所示.

当|d|=2时, 由图3知, 方程f (x) =d有两个实数根, 且两个实数根为-1、2或-2、1;

综上所述, 当|c|=2时, 函数y=h (x) 共有5个零点;当|c|<2时, 函数y=h (x) 共有9个零点.

函数零点一题多解 篇8

解决二次函数的零点问题常用的方法:

(1) 可利用一元二次方程的求根公式.

(2) 利用一元二次方程的判别式及根与系数的关系列不等式组.

(3) 利用二次函数图像列不等式组.

在这一类型题中我们经常会用第三种方法, 用图像解决问题形象直观, 计算简单, 此题很多同学会不假思索地用图解.

解法一如下:

解: (1) 当a=0时, ∴a≠0

(2) 当a>0时

(3) 当a<0时

从同学们上述解题思路来看, 用二次函数的图像解题已经很熟练了, 但从过程来看有点繁, 分段讨论步骤多, 易错, 请看这道题的另一种解法.

解法二如下:

解:由解法一知a≠0

解法二还是用二次函数的图像来解题, 但比第一种解法要简单多了, 因为经过等价变形使二次函数的开口确定了, 知需讨论两次就行了, 此题除了用二次函数的图像解题外, 还可以用下面的方法解决.

解法三如下:

解:由题知

f (t) 在为减函数, 在为增函数.

解法四如下:

这两种方法都是用了函数值域的等价性来解题, 所求的字母放一边, 另一边是关于x的函数, 最后只要求此函数的值域即可, 只是求值域的方法不一样, 一种是用导数, 一种是用构造函数, 这两种方法共同点都不需要讨论, 它们也是在某区间存在零点求字母的取值范围的常用方法, 这种方法不太适合求零点的个数, 求零点的个数用图解方法更好.

浅析函数零点在解题中的应用 篇9

一、巧化零点

例1 (2009年海南卷)已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x

(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)上单调递增,在(α,2),(β,+∞)上单调递减,

证明:β-α>6.

(1)解:略

(2)证明:f'(x)=-(x3+3x2+ax+b) e-x+(3x2+6x+a) e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a],由f'(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a,从而f'(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a].

由题意f'(α)=f'(β)=0,所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)[x2-(α+β)x+αβ]

将右边展开,与左边比较系数得α+β=-2,αβ=a-2,故:

又(β-2)(α-2)<0,即αβ-2(α+β)+4<0.

由此可知a<-6,于是β-α>6.

评注:本题的关键是由函数f(x)在相应区间上的单调性转化为导函数f(x)的两个零点α,β即f'(α)=f'(β)=0,利用多项式恒等的关系,将β-α转化为关于a的代数式.

二、巧设零点

例2 (2012年苏州市模考题)已知函数

(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;

(2)当x>0时,恒成立,求正整数k的最大值.

解:(1)略.

(2)当x>0时恒成立,分离参数得恒成立,则k<[g(x)]min

,令h(x)=x-1-ln(x+1)(x>0),则,所以h(x),在(0,+∞)上单调递增,又h(2)=1-ln3<0,h(3)=2-ln4>0,故h(x)在(2,3)内有唯一零点,设为a,则a∈(2,3)且满足

当0a时,g'(x)>0,即当0a时,g(x)递增,故

由①得1+ln(a+1)=a代入上式得[g(x)]min=a+1,所以k

评注:本题的关键是巧妙设出h(x)在(2,3)内的唯一零点a,将恒成立问题转化关于a的不等式k

三、巧造零点

例3 (2011年天津卷)已知a>0,函数f(x)=lnx-ax2,x>0(f(x)的图象连续不断)

有关函数零点判定的几种常用方法 篇10

函数是中学数学的核心概念, 核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性, 而函数的零点就是其中的一个链结点, 它从不同的角度将数与形, 函数与方程有机地联系在一起.从函数的角度来看, 零点就是使得函数值为0的实数 ;从方程的角度来看, 零点就是相应方程f (x) =0的实数根;从函数的图像来看, 零点就是函数f (x) 的图像与x轴交点的横坐标.

如何由函数零点的概念过渡到函数零点的判定是一个难点, 在解题中经常用到的数学思想方法有: 函数方程思想, 数形结合思想, 分类讨论思想等等.由于函数与方程的特殊关系, 因此在解题过程中要结合函数的图像以及性质来解题, 并学会用多种方法求方程的根与函数的零点.下面来谈一下有关函数零点判定的几种常用方法.

一、 解方程求根法

对于函数y=f (x) , 使f (x) =0的实数x叫函数y=f (x) 的零点.即函数y=f (x) 的零点就是方程f (x) =0的实数根.要注意零点并不是点, 而是一个实数.方程f (x) =0有实数根⇔函数y=f (x) 与x轴有交点⇔函数y=f (x) 有零点.

例1 求下列函数的零点.

(1) f (x) =x-3;

(2) f (x) =x2-5x+4;

(3) f (x) =x3-2x2+x

(4) f (x) =2|x|-2

分析: 根据函数零点的定义可知, 函数f (x) 的零点就是方程f (x) =0的根, 因此判断一个函数是否有零点, 有几个零点, 就是判断方程f (x) =0是否有实数根, 有几个实数根的问题.

解: (1) 令f (x) =0, 即x=3, 故所求函数的零点为3.

(2) 令f (x) =x2-5x+4=0⇒ (x-1) · (x-4) =0即x=1或4 .

所以, 所求函数的零点为1或4.

(3) 令f (x) =x3-2x2+x=0⇒x (x-1) 2=0即x=0或1.所以函数的零点为0或1.

(4) 令f (x) =2|x|-2=0⇒2|x|=2⇒x=±1. 所求函数的零点为-1或1.

评注:求函数f (x) 的零点, 就是求该函数对应的方程f (x) =0的实数根.一般可以借助求根公式或因式分解等办法求出方程的根, 从而得到函数的零点.另外对于函数f (x) =x2-2x+1, 在求函数的零点时, 令f (x) =0, 即 (x-1) 2=0, 此时方程有两个相等的实数根1, 但所求函数的零点只有1个, 因为函数的零点就是函数的图像与x轴交点的横坐标.

变式:若函数g (x) =ax2+2bx-12的零点是2, -3, 求函数f (x) =3x2-ax-b的零点.

分析: 由已知得2, -3是方程g (x) =ax2+2bx-12=0的两个根,

根据韦达定理可得,

此时, f (x) =3x2-2x-1.令f (x) =0, 即3x2-2x-1=0⇒ (3x+1) · (x-1) =0即$x=-\frac{1}{3}$或1.综上所述, 所求函数f (x) 的零点为$-\frac{1}{3}$和1.

二、 数形结合法

例2 求函数y=lgx-x2+4的零点个数.

分析: 按照常规思路, 通过解方程f (x) =0求出方程的根, 从而求得零点.令y=lgx-x2+4=0, 即

lgx=x2-4 ①

直接解此方程很难求出方程的根, 我们常见的解方程的类型有一元一次方程, 一元二次方程, 指数方程或对数方程等, 而方程①以上都不是.方程①的左边是对数函数, 右边是二次函数, 两边是不同类型的函数, 这种方程我们称为超越方程. 超越方程一般没有解析解, 而只有数值解或近似解, 只有特殊的超越方程才可以求出解析解.对于超越方程的求解, 我们可以采用数形结合法, 根据函数的图像来确定方程根的个数或近似解.

解:令y=lgx-x2+4=0, 即lgx=x2-4

令y1=lgx, y2=x2-4在同一个直角坐标系中, 分别作出函数y1=lgx和函数y2=x2-4的图像, 因为两个函数图像交点的个数就是方程根的个数, 因此问题转化为求两个函数图像交点的个数问题.根据图像可得, 函数y=lgx-x2+4有2个零点.

变式: 已知函数f (x) =|x2-2x-3|-a, 当函数f (x) 分别满足下列条件时, 求实数a的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2) 函数有三个零点; (3) 函数有四个零点.

例3 已知函数f (x) =ax2+3x-1在[0, 1]上有且仅有一个零点, 求a的取值范围.

分析:对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 零点的判断, 可根据判别式来判断.

Δ=b2-4ac.

① 若Δ>0, 则方程有两个不等的实数根, 即函数有2个零点; ②若Δ=0, 则方程有两个相等的实数根, 即函数有1个零点; ③若Δ<0, 则方程无实数根, 即函数无零点. 但已知条件给出的函数f (x) =ax2+3x-1不一定是二次函数, 另外还要注意条件 “在[0, 1]上有且仅有一个零点”该如何使用.

解法1: 由题意得, f (x) =ax2+3x-1=0 有且仅有一个实数根

所以, $\Delta =9+4a=0\Rightarrow a=-\frac{9}{4}.$

正解: 由题意得, 方程f (x) =ax2+3x-1=0在[0, 1]内有且仅有1个根.

(1) 当a=0时, $f(x)=3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\in [0,1]$, 满足题意.

(2) 当a≠0时, 以下分为两种情况:

① 若方程ax2+3x-1=0 (*)

有两个相等的实数根,

即$\Delta =9+4a=0\Rightarrow a=-\frac{9}{4}$. 将$a=-\frac{9}{4}$代入到方程 (*) 中, 可得, 9x2-12x+4=0⇒ (3x-2) 2=0即$x=\frac{2}{3}\in [0,1]$, 满足题意.

② 若方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根, 但在区间[0, 1]上有且仅有一个实数根, 结合二次函数的图像可得,

f (0) ·f (1) <0⇒- (a+2) <0

即a>-2.

综合①②可得, a>-2或$a=-\frac{9}{4}.$

(3) 若f (1) =0即a+2=0⇒a=-2, 此时, f (x) =-2x2+3x-1=0⇒2x2-3x+1=0即 (2x-1) · (x-1) =0, 所以$x=\frac{1}{2}$或1∈[0, 1]即函数f (x) 在[0, 1]上有2个零点, 不符合题意.

综上所述, 所求实数a的取值范围为:

a>-2或$a=-\frac{9}{4}.$

评注: 有些同学可能会认为解法1是正确的, 事实上是错误的, 原因在于对零点的概念理解不够.已知条件给出函数f (x) =ax2+3x-1在[0, 1]上有且仅有一个零点, 等价于函数f (x) =ax2+3x-1的图像在[0, 1]上与x轴有且仅有1个交点, 即方程

f (x) =ax2+3x-1=0 (*)

在[0, 1]内有且仅有1个实数根.因此问题转化为方程根的分布问题. 而一元二次方程根的分布问题就是二次函数与x轴的交点在x轴上的位置问题.不妨设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1, x2, m, n, k为常数, 令f (x) =ax2+bx+c, 结合二次函数的图像, 以a>0情形为例, 对于一元二次方程根的分布常见的几种情况总结如下:

(1) 若方程有两个均大于m的实根.即

x1, x2∈[m, +∞) , 则

(2) 若方程在[m, n]内有两个实根, 即x1, x2∈[m, n], 则

(3) 若方程有两个根, 一根比m大, 一根比m小, 即x1<m<x2, 则f (m) <0.

(4) 若m<x1<n<x2<k, 则

(5) 若方程在 (m, n) 内有且仅有一个根, 则f (m) ·f (n) <0或f (m) =0, 另一根在 (m, n) 内, 或f (n) =0, 另一根在 (m, n) 内.

另外在解题中还要注意方程 (*) 不一定是一元二次方程, 因为方程中的二次项系数含有字母a, 应分类讨论.

三、 零点存在判定法则

零点存在判定法则: 如果函数y=f (x) 在区间[a, b]上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有f (a) ·f (b) <0, 那么函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内有零点, 即存在c∈ (a, b) , 使得f (c) =0, 这个c也就是方程f (x) =0的根.对于零点存在判定法则的理解有以下几点:

(1) 函数y=f (x) 在区间[a, b]上的图像是连续不断的一条曲线, 若函数y=f (x) 是分段函数, 则函数f (x) 不一定存在零点, 因为此时函数的图像与x轴不一定有交点.如函数在区间

[-1, 1]内满足f (-1) ·f (1) <0, 但此函数在区间[-1, 1]上不存在零点.

(2) 若函数y=f (x) 在区间[a, b]上满足f (a) ·f (b) <0, 则函数f (x) 在 (a, b) 内存在零点, 即至少存在一个零点.如函数f (x) = (x-1) · (x-2) · (x-3) , 在区间 (0, 4) 上满足f (0) ·f (4) <0, 此时函数f (x) 在区间 (0, 4) 上有3个零点. 因为令f (x) =0, 容易得到, x=1或2或3.

(3) 若x0是函数f (x) 在区间[a, b]上的零点, 则不一定满足f (a) ·f (b) <0.也就是说, 若f (a) ·f (b) >0, 则函数f (x) 在 (a, b) 上也可能存在零点.如函数f (x) =x2, 虽然f (-1) ·f (1) >0, 但函数f (x) 在 (-1, 1) 内也存在零点0, 因为f (0) =0.

例4 求函数y=lnx+2x-6的零点个数.

解法1: (图像法) : 让学生利用计算机或计算器作出函数y=lnx+2x-6的图像, 发现函数的图像与x轴有一个交点, 因此所求函数有一个零点.

解法2: (数形结合法) 令y=lnx+2x-6=0即lnx=6-2x.在同一个直角坐标系中分别画出函数y1=lnx和y2=6-2x的图像, 根据图像可得, 两个函数的图像有一个交点, 即方程有一个实数根, 所以所求函数有一个零点.

解法3: (零点存在判定法则) 利用计算器或计算机作出自变量与函数值的对应值表, 结果发现f (2) =ln2-2<0, f (3) =ln3>0⇒f (2) ·f (3) <0, 根据零点存在判定法则可得, 函数f (x) 在区间 (2, 3) 内有零点.容易判定函数y=lnx+2x-6在定义域 (0, +∞) 内是增函数, 所以所求函数有且仅有1个零点.事实上, 设0<x1<x2, 则f (x2) -f (x1) = (lnx2+2x2-6) - (lnx1+2x1-6) = (lnx2-lnx1) +2 (x2-x1)

因为0<x1<x2⇒x2-x1>0, lnx2>lnx1⇒f (x2) -f (x1) >0.

即f (x2) >f (x1) 所以函数y=lnx+2x-6在定义域 (0, +∞) 内是增函数.

评注: 零点存在判定法则给出了连续函数在某个区间上是否存在零点的判定方法, 若函数f (x) 在区间[a, b]内满足f (a) ·f (b) <0, 即函数f (x) 在区间端点上的函数值异号, 则函数f (x) 在区间 (a, b) 内存在零点.例题4中的函数满足f (2) ·f (3) <0, 则在区间 (2, 3) 内存在零点, 即至少存在1个零点, 然后再根据函数的单调性, 易证得函数y=lnx+2x-6在定义域 (0, +∞) 内是增函数, 从而可以判断出函数f (x) 在区间 (2, 3) 内有且仅有一个零点.

四、分段函数的零点

例5 设函数

, 则函数y=f (x) -3的零点为____.

分析: 分段函数是一类表达形式特殊的函数, 在它的定义域中, 对应于自变量的不同取值范围, 对应关系也不同. 分段函数的图像一般是由几个不同的部分组成, 求分段函数的零点, 需在每段上分别求出零点.

解: (1) 当x≥1时, f (x) =2x-1, 令y=f (x) -3=0, 即2x-4=0⇒x=2;

(2) 当x<1时, f (x) =x2-2x, 令y=f (x) -3=0, 即x2-2x-3=0⇒ (x-3) · (x+1) =0, 即x=3或-1. 又x<1, 所以

x=-1.

综上所述, 所求函数y=f (x) -3的零点为2和-1.

函数零点 篇11

本节是在学习了基本初等函数基础上, 学习函数零点概念、函数零点存在性判断定理.函数y=f (x) 的零点, 是中学数学的一个重要概念, 从函数值与自变量对应的角度看, 就是使函数值为0的实数x, 从方程的角度看, 即为相应方程f (x) =0的实数根, 从函数的图形表示看, 函数的零点就是函数y=f (x) 与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念, 核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性, 而函数的零点就是其中的一个链结点, 它从不同的角度, 将数与形, 函数与方程有机的联系在一起.

如果函数y=f (x) 在区间[a, b]上的图象是一条连续不断的曲线, 且满足f (a) ·f (b) <0, 则函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内至少有一个零点, 但零点的个数, 需要结合函数的单调性等性质进行判断.反之, 不成立.所以, 零点存在性定理, 是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.

方程的根与函数零点的研究方法, 符合从特殊到一般的认识规律, 从特殊的、具体的二次函数入手, 建立二次函数的零点与相应二次方程的联系, 然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形;零点存在性的研究, 也同样采用了类似的方法, 同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”.

二、教学目标分析

通过本课教学, 要求学生:理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系, 在此基础上, 学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题;理解零点存在性定理, 并能初步确定具体函数存在零点的区间.

(一) 知识目标

1. 能够结合具体方程 (如二次方程) , 说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系.

2. 正确理解函数零点存在性定理:

了解图象连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点可能不止一个.

3. 能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数.

4. 能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题, 写出与方程对应的函数;并会判断存在零点的区间.

(二) 过程与方法

自主发现、探究实践, 使学生体会函数的零点与方程的根之间的联系.

(三) 情感、态度、价值观

在函数与方程的联系中, 使学生体验数学转化思想的意义和价值.重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系, 掌握零点存在的判定条件.难点:函数零点存在性的探究.

三、教学过程设计

(一) 问题引入

问题1:一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象有什么关系?

问题2:先观察下表, 求出表中一元二次方程的实数根, 画出相应的二次函数图象的简图, 并写出函数图象与x轴交点的坐标

问题3:若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0) 及相应的二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图象与x轴交点的关系, 上述结论是否仍然成立?

(二) 总结归纳, 形成概念

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与x轴交点的横坐标, 是使得函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的函数值为零的自变量x的取值.推广到一般情况, 给出函数零点概念.

1. 函数的零点

对于函数y=f (x) , 把使f (x) =0的实数x叫做函数y=f (x) 的零点.

辨析练习:函数y=x2-2x-3的零点是 ()

(A) (-1, 0) , (3, 0) (B) x=-1

(C) x=3 (D) -1和3

注意:零点不是点.

2. 三个等价关系

方程f (x) =0有实数根 (数) 函数y=f (x) 的图象与x轴有交点 (形) 函数y=f (x) 有零点 (数)

(三) 初步运用, 示例练习

例1求函数f (x) =lg (x-1) 的零点.

(四) 分组讨论, 探究结论 (零点存在性)

问题4:函数y=f (x) 在某个区间上是否一定有零点?怎样的条件下, 函数y=f (x) 一定有零点?

(1) 观察二次函数f (x) =x2-2x-3的图象.

问题5:发现函数y=x2-2x-3的零点左右两侧函数值有什么特点?

学生发现:

(2) 观察下面函数y=f (x) 的图象 (如图1)

(3) 零点存在性定理

由以上探索, 得到:零点存在性定理:如果函数y=f (x) 在区间[a, b]上的图象是连续不断一条曲线, 并且有f (a) f (b) <0, 那么, 函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内有零点.即存在c∈ (a, b) , 使得f (c) =0, 这个c也就是方程f (x) =0的根.

讨论: (1) 从这一结论中可看出, 函数具备了哪些条件, 就可断言它必有零点存在呢? (2) 如果函数具备上述两个条件时, 函数有多少零点呢? (如图2)

(3) 如果把结论中的条件“图象连续不断”改为“图象不连续”, 又会怎样呢?

(4) 如果把结论中的条件“f (a) f (b) <0”改为“f (a) f (b) >0”, 定理是否还成立? (如图5)

(5) 若函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内有零点, 一定能得出f (a) ·f (b) <0的结论吗? (如图6)

(6) 在什么样的条件下, 就可确定零点的个数呢, 零点的个数是惟一的吗?

(五) 观察感知, 例题学习

例2 (教材第88页) 求函数f (x) =lnx+2x-6的零点个数.

分析:用计算器或计算机作出x, f (x) 的对应值表和图象.

由表可知, f (2) <0, f (3) >0, 则f (2) f (3) <0, 这说明函数f (x) 在区间 (2, 3) 内有零点.结合函数f (x) 的单调性, 进而说明f (x) 零点是只有唯一一个.

设计意图:学生应用零点存在定理说明零点存在性, 并结合函数的单调性, 判断零点的个数问题.

(六) 反思小结, 提升能力

1. 函数零点的定义

2. 等价关系

函数y=f (x) 的零点函数y=f (x) 的图象与x轴交点的横坐标方程f (x) =0的实数根.