函数值域

2024-07-13

函数值域（精选12篇）

函数值域篇1

在函数的三要素中, 定义域和值域起决定作用, 而值域是由定义域和对应法则共同确定.研究函数的值域, 不但要重视对应法则的作用, 而且要特别重视定义域对值域的制约作用.确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环.对于如何求函数的值域, 是学生感到头痛的问题, 它所涉及的知识面广, 方法灵活多样, 在高考中经常出现, 占有一定的地位, 若方法运用适当, 就能起到简化运算过程、避繁就简、事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下, 供参考.

1. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.

例1求函数y=x2-2x+5, x∈[-1, 2]的值域.

解将函数配方, 得y= (x-1) 2+4.

∵x∈[-1, 2], 由二次函数的性质可知:

当x=1时, ymin=4;当x=-1时, ymax=8.

故函数的值域是[4, 8].

2. 根的判别式法

3. 反函数法

直接求函数的值域有困难时, 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.

4. 函数有界性法

直接求函数的值域有困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域.

故所求函数的值域为 (-1, 1) .

5. 函数单调性法

6. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用.

7. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式、直线斜率等等, 这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单, 一目了然, 赏心悦目.

解原函数可化简, 得y=|x-2|+|x+8|.

上式可以看成数轴上点P (x) 到定点A (2) , B (-8) 间的距离之和.

由上图可知, 当点P在线段AB上时,

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,

故所求函数的值域为[10, +∞) .

总之, 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法, 然后才考虑用其他各种特殊方法.

函数值域篇2

（1）观察法、直接法、配方法、换元法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y2x133的值域[,] x22x222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如yx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0)(0,4],求值x（9）对勾函数法像y=x+

域

（2）如 yx4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）x4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x

例1．

1、已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2．设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

三角函数求值域方法汇总篇3

一、配方法

∴f（x）≥4，即f（x）的最小值是4。

评注：本题的关键是将函数表达式转化为和“二次型”函数相关的形式，然后再利用二次函数的性质解决问题。

二、化为一个函数名的三角函数

评注：观察解析式的结构特征，统一角、次数，应用和差角公式将表达式化为一个函数名的三角函数，然后再利用三角函数的性质解决问题。

三、换元法

例3 已知y=sinxcosx+sinx+cosx（x∈R），求函数y的最大值。

评注：利用“平方法”将sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之间的关系连通起来，使之能互相转化，从而换元将函数表达式转化为“二次型”函数。

四、数形结合法

例4 求函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的值域。

解：f（x）=3sinx，x∈[0，π]，-sinx，x∈[π，2π]，

由图分析，得f（x）的值域为[0，3]。

评注：去掉绝对值符号，将函数用基本函数表示出来，从而观察出所求函数的各种性质。

函数值域的常见求法篇4

1. 观察法

对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察得到。

例1.求函数的值域。

显然函数的值域是: (-∞, 0) ∪ (0, +∞) 。

2. 二次函数法

例2.已知函数f (x) =lg[ (a2-1) x2+ (a+1) x+1]。

(1) 若f (x) 的定义域为 (-∞, +∞) , 求实数a的取值范围;

(2) 若f (x) 的值域为 (-∞, +∞) , 求实数a的取值范围。

解: (1) 依题意 (a2-1) x2+ (a+1) x+1>0对一切x∈R恒成立,

当a2-1≠0时, 其充要条件是

又a=-1时, f (x) =0满足题意, a=1时不合题意。

故a≤-1或为所求。

(2) 依题意只要t= (a2-1) x2+ (a+1) x+1能取到 (0, +∞) 上的任何值, 则f (x) 的值域为R, 故有为所求。

3. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数y=x2-2x+5, x∈[-1, 2]的值域。

解:将函数配方得:y= (x-1) 2+4, ∵x∈[-1, 2], 由二次函数的性质可知:

当x=1时, ymin=4

当x=-1时, ymax=8

故函数的值域是[4, 8]。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时, 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域。

解得-1

故所求函数的值域为 (-1, 1) 。

6. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用。

∴值域为 (-∞, 1]。

答案:A。

求函数值域的方法总结篇5

解：设t=√2x+1(t≥0),则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为{y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)

以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。

函数的值域为{z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

求函数值域的几种常用方法篇6

求函數值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。

一、配方法

例1求函数y=2x2-6x+3的值域

解：y=2（x-3）2-

函数的值域为【，

二、判别式法

对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。

例2求的值域

解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

当 y 时，

解得

当y=1时，x=0属于定义域

函数的值域为

三、非负数法

当函数的解析式中出现绝对值，偶次方幂，算数根和指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。

例3. 求函数的值域

解：原方程可化为

视为关于x的方程化为

所以函数的值域为

四、分部分式法

当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。

例4.求函数的值域

解：

因为

所以

故该函数的值域为[

五、换元法

对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。

例5. 求函数的值域

解：令

所以（当且仅当t=1时取等号）

故原函数的值域为

六、函数的单调性法

对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。

例6.求函数的值域

解：设

因为

当时，t有最小值

又因为是增函数

所以当

故原函数的值域为

七、反函数法

因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。

例7. 求函数的值域

解：求得的反函数为，

其定义域为

故所求函数的值域为

八、数形结合法

例8.求函数的值域

解：原函数化为

将此函数化为分段函数的形式

通过图像可知

故所求函数的值域为

函数值域的常见求法篇7

一、直接法 (观察法)

适用于较简单的函数, 从解析式观察, 直接得出它的值域。

例1求下列函数的值域:

解: (1) ∵x∈R且x≠0, 易知y∈R且y≠0, ∴函数的值域为{y|y∈R且y≠0}。

二、配方法

适用于解析式中含有二次三项式的函数, 同时要注意闭区间内的值域.

例2求函数的值域。

三、如要求解的题目是分式函数, 且

分子、分母次数相同时, 常采用变形分离常数的方法, 且使分子常数化。这是求分式函数的一种常用技巧。

四、利用函数单调性

求函数值域的方法归纳篇8

一、观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式求得函数的值域。

例1:的值域。

解：由算术平方根的性质知，故,

∴函数的值域为[3，+∞)。

二、反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。形如均可用。

例2：求函数的值域。

解：函数的反函数为，其定义域为x≠1的实数，故函数的值域为{y|y≠1, y∈R}。

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域。

例3：求函数的值域。

解：由-x2+x+2≥0可知定义域为x∈[-1, 2]，此时-x2+x+

∴即函数的值域为[0, ]。

四、判别式法

形如 (其中a、b不同时为零) 的函数, 可用判别式法求函数的值域。

例4：求函数的值域。

解：上式可化为(y-2) x2-(y-2) x+(y-3)=0(*)

当y≠2时，由方程有解△=(y-2) 2-4 (y-2) (y-3)≥0，解得

当y=2时，方程(*)无解。∴函数的值域为(2, ]。

五、单调法

利用函数在给定区间上的单调递增或单调递减求值域。

例5：求函数的值域。

解：设，易知它们在定义域内为增函数，从而，在定义域{x|x≤}上也是增函数，而且y≤f，故所求的函数值域为{y|y≤}。

六、换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例6：求函数的值域。

解：设，则x=t2+1。

于是

∴原函数的值域为{y|y≤}。

七、数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像来求函数的值域。

例7：求函数的值域。

解：原函数可化为，其几何意义是平面内动点p (x, 0)到两定点M (2, 3)、N (5，-1)的距离之和。(如下图示)所以，要求其值域，只要求其最值即可。易知当M、N、P三点共线时f (x)取得最小值，F (x) , 而无最大值, 故得函数的值域为[5, +∞) 。

八、比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例8：已知x, y∈R，且3x-4y-5=0，求函数Z=x2+y2的值域。

解：由3x-4y-5=0变形得 (K为参数)，

∴函数的值域为{Z|Z≥1|}。

九、不等式法

将函数转化成形如y=x+，利用均值不等式求值域，注意不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”。

例9：求函数y=Log2x+Logx (2x)的值域。

如果x>1，则Log2x+Logx2≥2。

如果0

∴函数的值域为[3，+∞)∪(-∞，-1]。

十、利用某些式子的有界性

形如型函数的值域可利用|sinx|≤1的方法求值域。

例10：求函数的值域。

解：由已知得

由|sinx|≤1知，且y≠1，解得y≤或y≥3。

∴函数的值域是{y|y≤或y≥3}。

十一、复数法

用复数的方法解函数的最值，就是利用复数的模，以及绝对值的性质来解题。

例11：求函数的值域。

解：令Z1=x+i, Z2=12-x+4i,

则

其中当且仅当Z1=λZ2(λ>0)时，上述不等式取等号。

由两个复数相等的条件可求得时函数ymin=13。故函数的值域为[13，+∞)。

十二、导数法

要求三次及三次以上的函数的值域，以及用其他方法很难求得函数的值域通常都用该方法，导数法往往是最简便的方法，应该引起足够重视。

例12：求函数f (x)=x3-3x2+6x-2, x∈[-1, 1]的值域。

解：f′(x)=3x2-6x+6，令f′(x)=0方程无解。

∵f′(x)=3x2-6x+6=3 (x-1) 2+3>0，∴函数f (x)在x∈[-1, 1]上是增函数。

故当x=-1时，fmin (x)=f(-1)=-12。当x=1时，fmax (x)=f (1)=2。

∴函数的值域为[-12, 2]。

对函数值域问题的思考篇9

在中学数学教学中, 函数是一个非常重要的内容, 而函数的值域又是函数中的一个难点, 课本上只给出了函数的概念和基本函数的值域, 而几乎所有的资料书上都把求“函数的值域问题”的方法进行了总结, 如直接法、配方法、分离常数法、换元法 (整体换元法、三角换元法) 、判别式法、反函数法、三角函数的有界性、不等式法、单调性法、导数法等, 而对这些方法是怎么来的, 为什么要用这种方法, 没有作任何的指导思想.很多老师也把这些方法作了介绍, 而这么多方法, 遇到具体问题如何选用这些方法本身就是一个难题, 何况方法是死的, 所以最终掌握的学生寥寥无几, 而教材把它放在了必修1第一个模块, 于是使得学生进入高中就对数学产生了一种畏惧感.为此, 我纵观所有考查函数值域的题目以及对教材内容安排的理解, 在教学中尝试了利用化归的思想, 借助复合函数的观点求值域, 取得了良好的效果, 下面结合具体例子谈谈自己的做法与思考, 以供参考.

求值域的题目主要是复合函数, 分为两类:一、可化为内外层函数f[g (x) ]的形式, 约占90%;二、基本初等函数经过有限次的四则运算所生成的函数形如f (x) ±g (x) , f (x) ·g (x) 的形式等, 约占10%.

第一类:分内外层转化为基本函数, 利用图像法求解, 注意内层函数的值域是外层函数的定义域即可.首先了解几种基本函数的图像: $(1) y = k x + b ‚ (2) y = a x^{2} + b x + c ‚ (3) y = \frac{k}{x}$ , $(4) y = a^{x} ‚ (5) y = \log_{a} x ‚ (6) y = \sqrt{x} ‚ (7) y = | x | ‚ (8) y = a x + \frac{b}{x} (a > 0, b > 0) ‚ (9)$ 三角函数:y=sinx, y=cosx, y=tanx.

一、直接法

从自变量x的范围出发, 推出y=f (x) 的取值范围

例1 求函数 $y = \sqrt{x} + 1$ 的值域.

分析可分为两层: $μ = \sqrt{x} ‚ μ \geq 0$ ;y=μ+1 (μ≥0) 得y≥1.

所以函数 $y = \sqrt{x} + 1$ 的值域为[1, +∞) .

二、配方法

针对形如y=ax2+bx+c (a≠0) , F (x) =a[f (x) ]2+bf (x) +c (a≠0) 类.

例2 求函数的值域: $y = \sqrt{- x^{2} - 6 x - 5}$ .

分析可分为两层:μ=-x2-6x-5 (μ≥0) , 由图像得0≤μ≤4; $y = \sqrt{μ} (0 \leq μ \leq 4)$ , 由图像得y∈[0, 2], 分别画图像可求.所以, $y = \sqrt{- x^{2} - 6 x - 5}$ 的值域为[0, 2].

三、分离常数法

针对分子、分母是一次函数的有理函数, 如 $y = \frac{c x + d}{a x + b}$ 类, 此类问题一般也可以利用反函数法或有界性.

例3 求函数 $y = \frac{1 - x}{2 x + 5} (x \in [1, 2])$ 的值域.

分析 $∵ y = \frac{1 - x}{2 x + 5} = \frac{- \frac{1}{2} (2 x + 5) + \frac{7}{2}}{2 x + 5} = - \frac{1}{2} + \frac{\frac{7}{2}}{2 x + 5}$ , 可分为三层:μ=2x+5 (x∈[1, 2]) , 由图像知μ∈[7, 9]; $t = \frac{\frac{7}{2}}{μ} (μ \in [7, 9])$ , 由图像知 $t \in [\frac{7}{18}, \frac{1}{2}]$ ; $y = - \frac{1}{2} + t (t \in [\frac{7}{18}, \frac{1}{2}])$ , 由图像知 $y \in [- \frac{2}{18}, 0]$ .所以函数 $y = \frac{1 - x}{2 x + 5} (x \in [1, 2])$ 的值域为 $[- \frac{2}{18}, 0]$ .

四、换元法

运用代数代换, 形如 $y = a x + b \pm \sqrt{c x + d} (a, b, c, d$ 均为常数, 且a≠0) 的函数常用此法求解.

例4 求函数 $y = 2 x + \sqrt{1 - 2 x}$ 的值域.

分析设 $t = \sqrt{1 - 2 x} (t \geq 0)$ , 则 $x = \frac{1 - t^{2}}{2}$ .

可分为三层:μ=1-2x, 由图像知μ∈R (可以不考虑定义域) ; $t = \sqrt{μ}$ , 由图像知t≥0;y=-t2+t+1 (t≥0) , 由图像知 $y \leq \frac{5}{4}$ .所以函数 $y = 2 x + \sqrt{1 - 2 x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{5}{4}]$ .

五、判别式法或不等式法

针对形如 $y = \frac{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}}{a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}} (a_{1}, a_{2}$ 不同时为零) 的函数的值域, 常用此方法求解.

例5 求函数 $y = \frac{2 x^{2} - x + 1}{2 x - 1} (x > \frac{1}{2})$ 的值域.

分析可分为:设 $μ = 2 x - 1 (x > \frac{1}{2})$ , 由图像知μ>0; $y = \frac{μ^{2} + μ + 2}{2 μ} = \frac{μ}{2} + \frac{1}{μ} + \frac{1}{2} (μ > 0)$ .

设 $t = \frac{μ}{2} + \frac{1}{μ} (μ > 0)$ , 由图像知 $t \geq \sqrt{2}$ ;

$y = t + \frac{1}{2} (t \geq \sqrt{2})$ , 由图像知 $y \geq \sqrt{2} + \frac{1}{2}$ .

所以原函数的值域为 $[\sqrt{2} + \frac{1}{2}, + \infty)$ .

第二类:基本初等函数经过有限次的四则运算所生成的函数, 主要是利用复合函数法或是导数法判断其单调性.

六、函数的单调性法

确定函数在定义域 (或某个定义域的子集) 上的单调性, 求出函数的值域.

例6 求函数y=x2+log2x (x∈[2, 8]) 的值域.

分析函数在该区间上单增, 所以值域为[5, 67].

总之, 求值域的方法就两类:图像法和单调性法, 学会把一个复合函数分为内外层的形式, 每一层都必须是前面的基本初等函数, 这样就可以借助于图像, 只需找图像的最高点和最低点, 判断是否能取等号即可, 这是大部分学生都能够做到的, 同时借助这里的方法, 函数的另一性质——单调性也得到了很好的解决.

求解函数值域的常用方法篇10

关键词：反函数,常数分离,判别式法,数形结合,换元法,有界性

直接求解复合函数的值域比较困难, 本文主要解决不能用直接法求解值域的复合函数, 本文主要讲解了七种常用的经典方法, 分别是求导法、反函数法、常数分离法、判别式法、数形结合法、换元法和有界性.

一、形如 y = x -k/x ( k > 0) 与 y = x +k/x ( k > 0) 两类函数的值域

y = x-k/x ( k > 0) 与y = x +k/x ( k > 0) 两个函数形式很像, 但是性质差异却很大, 下面我们来分别讲解下这两种函数求解值域的方法.

对于y = x-k/x ( k > 0) , 我们用直接法去求解它的值域, 可以把它看成两个单调递增函数y = x与y =-k/x ( k >0) 的和, 其中y = x在实数上单调递增, y =-k/x ( k > 0) 在 ( - ∞ , 0) 和 ( 0, + ∞ ) 两个区间上分别单调递增的, 因此两个函数的和在 ( - ∞ , 0) 上和 ( 0, + ∞ ) 两个区间上分别也是单调递增的.

例1求y = x-6/x在[1, 7]上的值域.

解析因为y = x-6/x在x≠0上是单调递增函数, 因此它在[1, 7]的值域为 [- 5, 43/7].

对于y = x +k/x ( k > 0) , 它在定义域x≠0上没有单调性, 可求导判断单调性.

y' = 1-k/x2, 当 y' > 0 时, 它不是连续函数, 在零点间断, 所以分别在各区间上单调递增和单调递减.

例2求y = x +6/x在 ( - ∞ , - 1]上的值域.

解析因为y = x +6x在上单调递增, 在这个区间上的值域是

点评这种类型的题, 主要看x和1/x前面的系数是否同号, 如果异号就直接判断它的单调性, 如果同号就是分段的单调性. 同样地, y = - x +k/x ( k > 0) 两个系数异号, 直接考虑单调性, 它相当于y = x-k/x ( k > 0) 函数取负, 所以它在 ( - ∞ , 0) 和 ( 0, + ∞ ) 两个区间上分别单调递减; y =- x-k/x ( k > 0) 两个系数同号, 所以考虑分段单调性, 它相当于y = x +k/x ( k > 0) 函数取负, 所以它的单调递减区间是. 一般形式, y = ax +k/x, 其中a, k为任意常数, 如果a, k异号, 则直接判断函数的单调性; 如果a, k同号, 则可以变形为) , 然后分别得出单增区间和单减区间.

二、反函数法和分离常数法求解形如 y = (cx + d) / (ax + b) ( a≠0) 的值域

首先介绍反函数法.

若f ( x) 与g ( x) 互为反函数, 则f ( x) 的定义域就是g ( x) 的值域, 而f ( x) 的值域就是g ( x) 的定义域, 所以如果要求一个函数的值域, 可以通过求它的反函数的定义域得到.

例3求y = (x - 1) / (2x + 3) 的值域.

所以反函数为f-1 ( x) = (3x + 1) / (1 - 2x) , 可得反函数的定义域为 (- ∞ , 1/2) ∪ (1/2, +∞) , 所以原函数的值域为 (-∞ , 1/2) ∪ (1/2, +∞) .

现在介绍分离常数法.

可以经过一系列变形, 首先把分子和分母上x的系数提出来, 如不可能为零, 所以函数值不可能为c/a, 所以值域为 (- ∞ , c/a) ∪ (c/a, +∞) . 在例3中, a = 2, c = 1, 所以值域为 (- ∞ , 1/2) ∪ (1/2, +∞) .

点评对于此类题目, 分离常数法比较容易, 计算量小并且速度快, 的值域只与a, c两个常数有关, 与b, d两个常数无关.

三、判别式法和分离常数法求解

形如的值域

例 4 求3的值域.

例 5 求在[7, + ∞ ) 上的值域.

解析除了判别式法, 还可以联合分离常数法和y =x +k/x ( k > 0) 的性质求解.

点评注意分子和分母的函数形式. 当分子和分母至少有一项为二次函数时均可用判别式法求值域, 其中如果分子和分母一个是二次函数, 一个是正比例函数, 则可利用y = x +k/x ( k > 0) 的性质求解值域问题, 如果分子和分母一个是二次函数, 一个是一次函数, 则利用分离函数法和y =x +k/x ( k > 0) 的性质求解值域问题. 当分子和分母都是一次函数, 则用分离常数法求值域.

四、数形结合法求解函数的值域

形如 (y2- y1) / (x2- x1) 可联想两点 ( x1, y1) 与 ( x2, y2) 连线的斜率, 而形如可联想到一个点分别与 ( x1, y1) 和 ( x2, y2) 的连线和.

例6求y =sinx/ (2 - cosx) 的值域.

解析可把原来的函数看成y = (0 - ( - sinx) ) / (2 - cosx) , 可看作 ( 2, 0) 和 ( cosx, - sinx) 连线的斜率, 而点 ( cosx - sinx) 的轨迹方程为x2+ y2= 1, 是圆心在原点, 半径为1的圆, 而 ( 2, 0) 与圆上的点连成的直线方程, 斜率取到最大值和最小值是过 ( 2, 0) 这个点引圆的两条切线方程的斜率, 所以问题就转化为求过 ( 2, 0) 点引圆的两条切线的斜率为多少, 设斜率为k, 切线方程为y = k ( x - 2) , 即kx - y - 2k = 0. 因为圆心到切线的距离为1, 所以所以 ( 2, 0) 和 ( cosx, - sinx ) 连线的斜率最大值为

例7已知x, y满足5x + 12y - 60 = 0, 求的取值范围

解析可看作直线5x + 12y - 60 = 0上的点到原点的距离, 易知这个距离可以无限大, 而距离最小就是过 ( 0, 0) 引垂线交于直线5x +12y - 60 = 0, 这条垂线段距离最短, 即, 所以的范围是[60/13, +∞ ) .

五、换元法求解函数的值域

利用代数或三角换元求解值域. 形如

例 8 求的值域.

例 9 求的值域.

解析令x = cosθ, θ∈[0, π]. 原函数变为y = cosθ +sinθ, θ∈[0, π].

变形为所以

六、利用有界性求解函数的值域

例10求y =sinx/ (1 + cosx) 的值域.

解析原函数可变形为

浅谈函数值域及最值应用题的求解篇11

关键词：值域；最值；应用；解法

函数值域和最值问题是高中数学的一个重点内容，也是中学数学教学中的重点和难点之一，这类问题在近几年的高考试题中频繁出现．如2012年江苏普通高校数学高考试题中有这样一道填空题（填空第12题）：在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．

函数的值域和最值问题，其知识不仅运用了函数、方程、变换、消元、数形结合等数学思想，而且有助于培养学生的运算、逻辑思维等基本数学能力，特别是随着导数思想由高校下移中学后，更让此类问题的解答焕发出新的活力.

函数值域篇12

关键词：函数,方程思想,数学教学

文献中, 原题是求一个函数y = x +槡x ( 2 - x) 的值域.作者给出了四种解法, 有通法, 也有精妙的构思. 但笔者在看到第一种解法, 即利用函数与方程的关系, 将函数问题转化为二次方程判别式问题的方法时, 觉得这种解法的解释不够完美, 不能很好地解释函数与方程的关系. 所以希望能做补充和解释, 不当之处, 望各位同行批评指正. 现将原解答摘抄如下:

但函数的定义域为{ x|0≤x≤2} , 而Δ≥0仅保证关于x的方程1在实数集R上有实数根, 但不能确保实数根在区间[0, 2]内, 即不能确保方程1在[0, 2]上有实数根, 因此, 由Δ≥0求出的y的范围可能比y的实际范围大, 故函数的值域不一定恰好是[1 -21/2, 1 +21/2], 因此采取以下的方法进一步确定原函数的值域.

∵ 0≤x≤2,

∴ ymin= 0.

把y = 1 +21/2代入方程1,

解得x = 1 +21/2/2∈[0, 2].

即当x = 1 +21/2/2时, y取得最大值1 +21/2.

∴原函数的值域为[0, 1 +21/2].

在评注中, 作者提到该解法是学生容易想到的方法, 但若考虑不细致, 容易将值域求错.

笔者认为, 这个思路虽然能解决此题, 但若换成另一题, 未必适用. 同时, 对于错误的形成, 分析得不够明确, 事实上, 学生易错此题并不只是考虑不细致, 而是对函数与方程思想理解得似是而非. 笔者接下来举例, 说明上述方法的缺点.

变式: 求函数

此题若仍按上述解法, 得到方程两边平方得

又由Δ≥0, 解得y≥3或y≤ - 3, 又此函数定义域为R,

按上法分析, 值域即为{ y| y≥3或y≤ - 3} .

而此题正确答案是[3, + ∞ ) .

为什么会出现这样的答案? 原题给出的解答是:故 y > x, 当 x > 0 时, y > 0; 当 x < 0 时, . 因此, 原函数的值域为[3, + ∞ )

事实上, 等价条件转化中, 学生为什么总会漏掉条件?往往是因为对于条件转化中两个条件是否等价并不明确, 包括这两道题的作者的解法对此问题阐述得也不够明确.这样去找条件限制值域, 显得目标不够明确, 往往只是抓住题目中的一个必要条件, 这样的条件如何找? 学生往往会很迷茫. 那么, 这种题目产生错解的原因究竟是什么呢? 我们先以原题举例.

( y - x) 2= x ( 2 - x) 已经包含着函数的定义域为{ x | 0≤x≤2} 这一事实. 所以, 错解的原因并不是定义域的问题.

的等价形式明显不是, 因为含有两个方程, 使得有根的y才是使得值域范围变大的原因.

笔者给出的解答如下:

这样, 我们就可以将一个函数求值域的问题, 转化为一个含参数y的关于x的二次方程有解的问题, 而由等价条件, ( y - x) 2= x ( 2 - x) 不但应该有解, 解的范围还应该满足y≥x.

那么, 这就变成了一个一元二次方程根的分布的问题.

两边平方整理得

若方程的根均满足x > y, 则根据根的分布的知识, 有, 解得y < 0.

即若要保证x≤y时有根, 需要同时满足

即原函数的值域为[0, 1 +21/2].

注意到, 笔者的任何转化都是等价的, 所以求出的结果当然无需检验或者细致地重新考虑各个条件, 结果一定是正确的. 首先的值域问题即为关于x的方程中使得方程有根的y的范围的问题, 这属于函数与方程思想的范围. 而接下来我们只需要研究无理方程有根的问题, 即转化为等价形式

笔者在教学过程中发现, 学生在解题时, 对于判别式法这一求值域的有力工具往往用不好, 只能注意到Δ≥0这一个条件, 这就导致了往往结果是正确的, 但求值域的过程是有问题的. 笔者上面列举的思路其实可以作为解决这一类型函数的通法. 这样就避免了前面原题和变式作者给出的解答学生无法理解的情况.

我们用同样的思路解答笔者给出的变式.