求值域方法

求值域方法（精选9篇）

求值域方法 篇1

函数是中学数学的重要基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的关系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等都是难点，是高考的常见题型考查的知识点。下面列出函数值域的十二种求法，以便于广大师生系统掌握求函数值域的初等求解方法。

一、观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式求得函数的值域。

例1:的值域。

解：由算术平方根的性质知，故,

∴函数的值域为[3，+∞)。

二、反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。形如均可用。

例2：求函数的值域。

解：函数的反函数为，其定义域为x≠1的实数，故函数的值域为{y|y≠1, y∈R}。

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域。

例3：求函数的值域。

解：由-x2+x+2≥0可知定义域为x∈[-1, 2]，此时-x2+x+

∴即函数的值域为[0, ]。

四、判别式法

形如 (其中a、b不同时为零) 的函数, 可用判别式法求函数的值域。

例4：求函数的值域。

解：上式可化为(y-2) x2-(y-2) x+(y-3)=0(*)

当y≠2时，由方程有解△=(y-2) 2-4 (y-2) (y-3)≥0，解得

当y=2时，方程(*)无解。∴函数的值域为(2, ]。

五、单调法

利用函数在给定区间上的单调递增或单调递减求值域。

例5：求函数的值域。

解：设，易知它们在定义域内为增函数，从而，在定义域{x|x≤}上也是增函数，而且y≤f，故所求的函数值域为{y|y≤}。

六、换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例6：求函数的值域。

解：设，则x=t2+1。

于是

∴原函数的值域为{y|y≤}。

七、数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像来求函数的值域。

例7：求函数的值域。

解：原函数可化为，其几何意义是平面内动点p (x, 0)到两定点M (2, 3)、N (5，-1)的距离之和。(如下图示)所以，要求其值域，只要求其最值即可。易知当M、N、P三点共线时f (x)取得最小值，F (x) , 而无最大值, 故得函数的值域为[5, +∞) 。

八、比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例8：已知x, y∈R，且3x-4y-5=0，求函数Z=x2+y2的值域。

解：由3x-4y-5=0变形得 (K为参数)，

∴函数的值域为{Z|Z≥1|}。

九、不等式法

将函数转化成形如y=x+，利用均值不等式求值域，注意不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”。

例9：求函数y=Log2x+Logx (2x)的值域。

如果x>1，则Log2x+Logx2≥2。

如果0

∴函数的值域为[3，+∞)∪(-∞，-1]。

十、利用某些式子的有界性

形如型函数的值域可利用|sinx|≤1的方法求值域。

例10：求函数的值域。

解：由已知得

由|sinx|≤1知，且y≠1，解得y≤或y≥3。

∴函数的值域是{y|y≤或y≥3}。

十一、复数法

用复数的方法解函数的最值，就是利用复数的模，以及绝对值的性质来解题。

例11：求函数的值域。

解：令Z1=x+i, Z2=12-x+4i,

则

其中当且仅当Z1=λZ2(λ>0)时，上述不等式取等号。

由两个复数相等的条件可求得时函数ymin=13。故函数的值域为[13，+∞)。

十二、导数法

要求三次及三次以上的函数的值域，以及用其他方法很难求得函数的值域通常都用该方法，导数法往往是最简便的方法，应该引起足够重视。

例12：求函数f (x)=x3-3x2+6x-2, x∈[-1, 1]的值域。

解：f′(x)=3x2-6x+6，令f′(x)=0方程无解。

∵f′(x)=3x2-6x+6=3 (x-1) 2+3>0，∴函数f (x)在x∈[-1, 1]上是增函数。

故当x=-1时，fmin (x)=f(-1)=-12。当x=1时，fmax (x)=f (1)=2。

∴函数的值域为[-12, 2]。

以上就是本文整理出的有关求函数值域问题的十二种解法，当然求函数值域问题的方法不止这些，还有分离函数法、三角换元法等。这里只是对求值域问题方法作部分的归纳，具体的方法还有待读者进一步地发现和总结。由于值域问题的解题方法的灵活多样性，因此教师在对值域问题的教学活动中应重视思想方法的渗透，把发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务。

反比例型函数求值域的应对策略 篇2

关键词：反比例函数;值域;反解法

中图分类号：G632                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-251-02

高中数学所有章节中，函数作为学习的核心内容，也是高中数学的灵魂，函数的内容辐射面广，其蕴涵的思想方法对其它章节的学习影响深远。而作为函数三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能够掌握几种典型的求值域问题，由此解决类似问题，便可轻松驾驭求值域问题。函数求值域常以几个重要的函数作为模型，以几种不同思想方法为工具，操作起来便捷有效。本人在长期的教学工作中对反比例函数进行了不断认识，本文通过以反比例函数为模型的实例展现给读者，希望能与大家共同学习与探讨。

一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域

反比例函数一般形式为，图像如下：

由图知函数的值域为。

反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：

1

-1

故此函数的值域为。

反比例型函数一般形式为

，

而，设，则，故值域为

注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。

二、反比例型函数在限定范围上的值域

例题：求的值域。

应对策略一

【解】设代入原题得，而，

①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。

1

-1

③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。

1

-1

综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

初探求函数值域的方法 篇3

观察法是求一些简单的函数的值域的最基本的方法，它只须通过对函数的解析式进行简单的变形和观察即可.诸如下面这些函数：

例1.求下列函数的值域：

解：(略)

二、配方法

求二次函数在其定义域内的值域最基本最常用的方法就是配方法.像y=af2 (x)+bf (x)+c (a≠0)类型的函数值域问题均可用配方法.同时要结合二次函数的图像来求解，解决这类问题要从两个方面考虑：对称轴和区间端点处.

例2.求函数的值域.

∵-1≤sinx≤1令t=sinx则t∈[-1, 1]

∵t对=2埸[-1, 1]且开口向上，

∴函数在[-1, 1]上为减函数

例3.求函数y=x2-2x+3, x∈[0, a]上的值域;

∵x对=1且开口向上(定对称轴，变区间)

(1)当0

(2)当1

(3)当a≥2时，f (x)在[0, 1]上为减函数，在[1, a]上为增函数

综上知，当0

当1

当a≥2时，函数的值域为[2, a2-2a+3].

三、分离常数法（把分子变成常数）

四、反解法

例5.求函数y=4x+5x-21, x∈[-3，-1]的值域.

五、判别式法

若一个函数能整理成一个关于x的一元二次方程(y出现在方程的系数位置)，由方程有实数解的条件△≥0，得到一个关于y的不等式，解出y的范围即为函数的值域.

当y-1=0即y=1时，(*)为y=0，无解∴y≠1

当y≠1时，(*)式有实数解即x∈R得

六、换元法

运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.

七、图象法（数形结合法）

有的函数(如：分段函数、含绝对值的函数等)往往利用函数的图象即函数所表示的几何意义，借助于几何方法来求函数的值域会比较形象直观、容易快捷，这样的方法就叫做图象法.

例8.已知实数x、y满足的最值.

解：如图所示可看作是动点P (x, y)与原点O (x, y)连线的斜率，而动点P (x, y)在圆(x-2) 2+(y-1) 2=4上

八、函数的单调性法

确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法.

九、均值不等式法

利用均值不等式求函数的值域时要注意“一正、二定、三相等”.

例10.求函数y=log3x+logx3-1的值域.

解：原函数可化为(题目隐含条件x>0且x≠1)

当00,

综上知，函数的值域为(∞，-3]∪[1，+∞).(体现分类讨论的思想)

十、利用导数确定极值、最值或判断函数单调性，从而得值域

解：(略)

综上知，f (x) max=f(-1)=f (2)=1, f (x) min=f (1)=f(-2)=-1

∴函数的值域为[-1, 1].

求函数的值域常见类型 篇4

（1）观察法、直接法、配方法、换元法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y2x133的值域[,] x22x222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如yx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0)(0,4],求值x（9）对勾函数法 像y=x+

域

（2）如 yx4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）x4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x

例1．

1、已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2． 设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

求函数值域的几种方法 篇5

方法一:利用值域的定义来求函数的值域

例1 求函数y=3-2x (-3≤x≤2, x∈Z) 的值域.

解 将函数的定义域x=-3, -2, -1, 0, 1, 2分别代入函数解析式y=3-2x, 求得相应的y值为9, 7, 5, 3, 1, -1, 所以, 函数的值域为{9, 7, 5, 3, 1, -1}.

方法二:利用互为反函数的函数定义域、值域之间的关系来求函数的值域

例2 求函数undefined的值域.

解 由undefined求得undefined, 交换x, y的位置得函数undefined的反函数undefined.而undefined的定义域为x≠-2的一切实数, undefined的值域为y≠-2的一切实数.

方法三:利用函数的单调性来求函数的值域

例3 求函数undefined的值域.

解 容易求出函数的定义域为undefined

设undefined,

则它们都是区间undefined上的减函数.

∴函数undefined在区间undefined上也是减函数.

∵当undefined时, y=2;当x→0时, y→+∞,

∴函数的值域为[2, +∞﹚.

方法四:利用一些非负数undefined等) 的概念来求函数的值域

例4 求函数undefined的值域.

解undefined

即函数的值域为[1, +∞﹚.

方法五:利用求函数的最大值、最小值来求函数的值域

例5 求函数y=sinx+cosx-1的值域.

解undefined,

undefined

即函数的值域为undefined

方法六:利用一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有实数根的充分必要条件是Δ=b2-4ac≥0来求函数的值域

例6 求函数undefined的值域.

解 将undefined变形成一元二次方程形式为 (y-2) x2+ (2y+1) x+ (2y+1) =0, (y≠2) .

当y≠2时, 要使方程有实数根, 必定有

Δ= (2y+1) 2-4 (y-2) (2y+1) ≥0,

解此不等式得undefined, 且y≠2.

又 ∵函数的定义域为 (-∞, +∞) , 而当x=-1时, y=2,

∴函数undefined的值域是undefined

使用此方法时, 要注意函数的定义域和对一元二次方程中二次项系数不为零的y值要进行检验确定.

求函数值域的十种方法 篇6

对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。

由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。

例1：求函数y=(x-3)的值域。

解：∵函数定义域为-1≤x<1，又∵≥0, x-3<0，∴y≤0，即函数值域y∈(-∞，0]。

2. 反函数法

如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。

即由y=f (x)，反解出求函数x=f-1 (x)，原函数值域包含在f-1 (y)的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。

例2:求函数, x∈ (0, 1]的值域。

错解一：∵，∴函数值域y∈[2，+∞)。

剖析：当x=(0，+∞]时，结论x=[2，+∞)才是正确的。但当x∈(0, 1)，这个结论就不可靠了。

错解二：,

∵x∈R，∴△4y2-16≥0，解得y≤-2或y≥2。

函数值域为(-∞，-2]∪[2，+∞)。

剖析：以上求出的结果，只能是x∈(-∞，0)∪(0，+∞)时函数的值域，解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件，而x∈(0, 1]的值域用“判别式法”是无法解决的。

正解：(反函数法)

∵x∈(0, 1]，y≥2，∴，∴方程(1)的根只能是，由，解得，∴函数值域为。

3. 转化法

利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。

例3：求函数的值域。

解：由函数表达式得：，其中θ由和确定。

, 即原函数值域y∈[，+∞)。

4. 不等式法

运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。

例4：已知α∈(0，π)，求函数y=的值域。

错解：∵α∈(0，π)，∴sinα>0, , sinα+≥2

，函数值域为[，+∞)。

剖析：由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等号，至少应有y≠2。

正解：∵α∈(0，π)，∴sinα>0, >0, sinα+=sinα+

当且仅当sinα=1sinα，即sinα=1时，上式能全取等号。

小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。

5. 最值法

由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。

例5：求函数y=的值域。

解：由函数定义域知，cosx∈[-1，)∪(, 1]。

(1) 当cosx∈) 时, ∵y=x+, ∴, 注意到cosx) , ) , y→-∞∴-∞

(2) 当cosx∈]时, ∵ (1+2cosx) 最大) =-1, ∴, 注意到cosx→) , y→+∞, ∴

故函数值域为(-∞，-1]∪[，+∞).

一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。

6. 判别式

根据一元二次方程ax2+by+c=0有实根时，△=b2-4ac≥0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。

例6：求函数y=2x2-7x+3的值域。

解：∵2x2-7x+3-y=0，且x∈R，∴△=b2-4ac=49-8 (3-y)≥0, y≥，∴该函数值域为[，+∞).

此法可用于行如：y= (A, P不同时为零，分子分母无公因式)的函数的值域。但必须强调：(1)是既约公式;(2)验证端点值是否能取到;(3)整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论;(4)若定义域人为受限，则判别式法失效。

7. 换元法

通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。

例7：已知函数f (x)的值域是，求y=f的值域。

解：∵f (x)∈，∴≤f (x)≤，故。令，则t∈。有f (x)=(1-t2), y=g (t)= (1-t2)+t=- (t-1) 2+1，由于g (t)在t∈[]时单调递增

∴当t=, ymin=, 当t=, ymax=,

∴y=f (x) +的值域是

8. 图像法（数行结合法）

通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致图形，从定函数的值域。

例8：求函数y=|x2-1|+x的值域。

解：原函数可以表达成：当x≤-1或x≥1, y=|x2-1|+x=(x+2) 2-;当-1≤x≤1, y=|x2-1|+x=-(x+) 2+。

作出函数图像(见图1)

由图像知函数值域为[-1，+∞)。

9. 单调性法

利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。

例9：求y=x-的值域。

解：∵y1=x和y2=-均为单调增函数，

∴y=y1+y2=x-为增函数, 由定义域x≤知y最大=, 故y≤。

1 0. 配方法

如果给定一个复合函数，y=f[g (x)]，若g (x)或f (x)可以视为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。

例10：求y=x+的值域。

解：∵y=x+=1-，在定义域x≤内，显然有≥0，∴y≤1，函数值域为(-∞，1]。

本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起，在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。

参考文献

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[9]赵振威.中学数学方法指导[M].北京:科学出版社, 1999:71-75.

求函数值域的五种基本方法 篇7

例1求下列函数的值域:

⑴y﹦x2﹢4x-2, x∈R;

⑵y﹦x2﹢4x-2, x∈[-5, 0];

⑶y﹦x2﹢4x-2, x∈[-6, -3];

⑷y﹦x2﹢4x-2, x∈[0, 2]。

分析:这些函数都是二次函数且解析式相同, 但各自的定义域不同, 应该通过“配方”同时借助二次函数的图象来求函数值域。

解:

⑴配方, 得y﹦ (x﹢2) 2-6, (如图 (1) )

因为x∈R, 所以当x﹦-2时, ymin﹦-6, 无最大值。故函数的值域是[-6, ﹢∞) 。

⑵配方, 得y﹦ (x﹢2) 2-6, (如图 (2) )

因为x∈[-5, 0], 所以当x﹦-2时, ymin﹦-6, 当x﹦-5时, ymax﹦3。

故函数的值域是[-6, 3]。

⑶配方, 得y﹦ (x﹢2) 2-6, (如图 (3) )

因为x∈[-6, -3], 所以当x﹦-3时, ymin﹦-5, 当x﹦-6时, ymax﹦10。故函数的值域是[-5, 10]。

⑷配方, 得y﹦ (x﹢2) 2-6, (如图 (4) )

因为x∈[0, 2], 所以当x﹦0时, ymin﹦-2, 当x﹦2时, ymax﹦10。

故函数的值域是[-2, 10]。

总结:上述四个题目中函数相同但所给的定义域不同, 因为二次函数在不同区间上的单调性不同, 所以得到的值域也不同。因此在给定区间上求二次函数值域时一定要结合图象。

例2求函数的值域。

分析:函数的解析式中分子、分母都含有变量, 通过“分离常数”使分子为常数而分母没变化, 从而由分母的范围来确定函数值的范围。

方法三:换元法

例3求函数

分析:此题的函数值是由x和共同决定的, 所以要将根号去掉。

总结:这种方法主要是将含根号形式化为无根号形式, 但同时一定要注意换元时必换域。

方法四:判别式法

例4求函数

分析:由于x∈R, 函数的解析式变形后, 得到关于x的一元二次方程, 因为此方程一定有解, 故通过△≥0来求函数值的范围。

解:因为去分母整理,

得2 (y﹣1) x2-6 (y-1) x+6y-5﹦0,

(1) 当y﹦1时, 6-5﹦0不成立, 此时x无解, 不满足题意。

(2) 当y≠1时, 此时方程2 (y﹣1) x2-6 (y﹣1) x﹢6y-5﹦0是关于x的一元二次方程, 因为方程有实根, 所以△﹦36 (y-1) 2-8 (y-1) (6y-5) ≥0,

解不等式得

综合 (1) (2) 知函数的值域是[13, 1) 。

总结:形如: (x∈R, a1、a2不全为0) 的函数求值域就用判别式法。

方法五:图象法

例5:求函数y﹦│x+1│-│x-2│的值域。

解:利用绝对值的几何意义可知│x+1│表示数轴上点x到点-1的距离, │x-2│表示在数轴上点x到点2的距离, │x+1│-│x-2│表示在数轴上点x到点-1的距离与点x到点2的距离的差。在数轴上任取三个点xA≤-1, -1

可以看出│xA+1│-│xA-2│=-3, -3<│xB+1│-│xB-2│<3, │xC+1│-│xC-2│﹦3, 由此可见对于任意实数x都有-3≤│x+1│-│x-2│≤3, 所以函数的值域是[-3, 3]。

常用求函数值域的几种方法 篇8

一、直接法

通过对函数定义域、性质的观察和不等式的性质应用, 结合函数的解析式, 求得函数的值域.

例1.求函数的值域

二、换元法

换元法分代数换元和三角换元. 代数换元是将一个整式用一个变量代换, 转化为受限的二次函数等求值域, 三角换元是利用三角代换, 根据三角函数间的关系及其有界性求值域.

例2.求函数的值域

例3.求函数

三、解析几何法

利用转化为解析几何中的距离、斜率、截距等求值域.

例4.求函数的值域

四、判别式法

将原函数化为关于x的二次函数的形式, 根据二次方程有根的Δ≥0二次项系数不为0得出函数值域, 但要注意二次项系数的讨论.

例5.求函数的值域

五、均值不等式法

将原函数化为f (x) +a/f (x) , (a>0) 型, 应用均值不等式及其条件求函数的值域.

例6.在平面直角坐标系xoy中, 过原点的一条直线f (x) =2/x的图像交与P, Q两点, 则线段PQ长的最小值是__.

分析:由已知可知两点P, Q必关于原点对称, 从而设出交点代入两点间距离公式, 整理后用均值不等式求得.

六、分离法

点评:将受限的整体分离出来, 根据它的取值范围进而求出函数值域.

例7.求函数的值域

七、导数法

利用函数求导判断其单调区间和极值 (或最值) .

例8.已知, 求f (x) 的单调区间和极大值.

求值域方法 篇9

一、用观察法求函数的值域

例1求函数y=3sinx+1的值域。

解:∵x取实数时有-1≤sinx≤1

∴sinx=1时, y取得最大值4,

时, 取得最小值0。3

所以, y的值域为[0, 4]。

注意:一些学生常易误为当sinx取最小值-1时, y也取得最小值3 (-1) +1=2而把y的值域写成2≤y≤4, 忽视了绝对值的概念。

二、利用配方法求函数的值域

例2求函数y=x2-4x+6, x∈[1, 5) 的值域。

分析:这是一元二次函数的x∈[1, 5) 范围内求值域的问题, 可利用配方法并结合二次函数图象求解。

解:配方, 得y=x2-4x+6= (x-2) 2+2,

∵x∈[1, 5)

∴函数的值域为[2, 11]。

三、反解法求函数的值域

例3求函数的值域。

分析:这是关于x的一次分式函数, 它是一个单值函数, 一定有反函数。类似于这种类型的题可通过反解x进一步求原函数的反函数的定义域的办法求原函数的值域, 但不必变换x, y。

解:把函数看做x的方程, 有

(x-3) y=2x+1 (x≠3)

整理得 (y-2) x=3y+1

所以当y-2≠0时, 有

这样, 我们就找到了使x在定义域内有解的条件,

故所示函数的值域是:y∈R且y≠2。

注意:关于x的一次分式函数都可以用此例的方法。当然还有其它形式的函数也可使用类似的方法。如函数可反解求出x2, ex。再利用x2, ex的非负性求得y的范围, 即值域。

四、利用一元二次函数的判别式求函数的值域

若函数y=f (x) 可以转化为如下的隐函数形式:

a (y) ·x2+b (y) ·x+c (y) =0 (1)

则可将上面的等式看做x的二次方程。

因为x应取实数值, 即这方程应有实数解,

故其判别式△=[b (y) ]2-4a (y) c (y) ≥0 (2)

解不等式 (2) 所得到的y值的范围可导出函数y的值域。

例4求函数的值域。

解:因为, 即分母不为0,

函数式可变为y (x2+x+1) =x2-x+1,

整理得 (y-1) x2+ (y+1) x+ (y-1) =0,

因为x应取得实数, 所以判别式△= (y+1) 2-4 (y-1) 2≥0,

即3y2-10y+3≤0, (3y-1) (y-3) ≤0。

解之得

注意:用判别式求值域的方法并非总是可靠的, 因为求解过程的变形可能会改变函数的范围。

五、用换元法求函数的值域

例5求函数的值域。

解:函数的定义域是x≥1, 令,

则t∈[0, +∞) , x=t2+1

y=2 (t2+1) -t=2t2-t+2 (t≥0) 这是关于t的二次函数, 配方得。

∵t≥0

六、利用函数的单调性求值域

例6求函数的值域。

解:由2x-x2≥0得函数定义域为0≤x≤2,

而2x-x2=- (x-1) 2+1易知的值域为0≤y1≤1, 再利用函数单调性即可得出原函数的值域为

注意:利用单调性求值域时要注意定义域与单调区间的关系。如此例有些学生往往由而得出原函数的值域为0≤y≤1的错误结论。

七、利用导数求函数的值域

我们知道, 很多较复杂的函数的极值可以利用导数求得, 这也是求某些函数值域的十分有效的方法。

例7求函数y&apos;=x2e-x2的值域。

解:∵y&apos;=2xe-x2-2x·x2e-x2=2xe-x2 (1-x2)

令y=0得x=-1, 0, 1不难判定x=±1时, y都取得最大值;x=0时取得最小值y=0, 所以y的值域是[]。

此外还有一些求函数值域的方法, 如借助一些不等式的性质、利用函数的图象、代数式的几何意义等等。

总之, 对于一个具体的函数, 需要根据它的特点从上述的几种方法中选择用哪一种求值域, 这要因题而异。有些函数求值域的方法较多, 当然要选择简便的方法。