求极限方法总结全

求极限方法总结全（通用10篇）

求极限方法总结全 篇1

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

函数是表皮

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样

（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致

3复合函数之间是自变量与应变量互换的关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类和第二类剪断点

1第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点

地二类 间断点是震荡间断点或者是无穷极端点

（这也说明极限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型

1求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分如何解决类？？？？

说白了就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！！！！！！！！解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1积分函数能否求导？题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！

问题2被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法：就是方法2微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！

当x 与t是除的关系或者是加减的关系，就要 换元了！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！）

3求的是数列极限的问题时候

夹逼 或者 分项求和 定积分都不可以的时候

就考虑x趋近的时候函数值，数列极限也满足这个极限的当所求的极限是递推数列的时候

首先 ： 判断数列极限存在极限的方法是用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义！！应为是 离散的只能用前后项的 比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用 归纳法最后对xn 与xn+1两边同时求极限，就能出结果了！！！

4涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题

解决办法 ：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。应为例如当x趋近0时候f（x）比x =3的函数，分子必须是无穷小否则极限为无穷

还有落笔他法则的应用，主要是应为当未知数有几个时候，使用落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数但是不太会！！！！！！！！！！

:o最后 总结 一下间断点的题型

首先 遇见间断点的问题 连续性的问题复合函数的问题，在莫个点是否可导的问题。

主要解决办法是3个一个是画图，你能画出反例来当然不可以了

你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的！我就画图！我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应！！！！

（在这里尤其要注意分段函数！！！！！）（例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊！！应为一般的函数都是连续的）

方法2就是举出反例！（在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！）

例如 一个函数是个离散函数还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的类？？

答案是NO举个反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定义了主要是写出公式，连续性的公式求在抹一点的导数的公式

:o最后了

总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题

1首先 函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在（0，0）不可导，我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，应为他有个前提，在点的领域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等

1主要考点 1

函数在抹一点可导，他的 绝对值函数在这点是否可导 ？

解决办法：记住 函数绝对值的导数等于f（x）除以（绝对值（f（x）））再 乘以F（x）的导数。

所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊

考点2

处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断

直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f（x）连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候

f（x）在这点上的这2个极限乘以 g（a），当g（a）等于0的时候，左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f（a）导数乘以G(a)+ G(a)导数乘以F（a），应为f（a）导数乘以G(a)=0，前面推出来了，所以乘积函数

求极限方法总结全 篇2

后续内容 (连续、导数、积分等) 的学习, 还将影响到一些相关课程的学习。因此, 我们将对求极限常用的一些方法进行结归纳。

一、运用函数连续性求函数的极限

此方法和下面的极限的四则运算法则是我们用的最多但又好像是“在不知不觉中”用到的方法。例如:

二、运用极限的四则运算法则求极限

这也是我们常常在不知不觉中运用的一个法则, 笼统说来就是“和差积商的极限等于极限的和差积商”。要注意的是此方法适用的前提条件:各个极限都分别存在, 且运用除法法则时还需要分母的极限不为零。

三、洛必达法则

四、运用等价无穷小替换定理

我们常用的9个等价无穷小中的x是个模子, 如果把x换成任何能够趋向于零的函数那么仍然成立, 这也是此方法常用的原因。还有重要的一点是, 初学的同学经常分不清楚什么时候可以用等价无穷小替换, 什么时候不能用。通俗地不严格地讲, 如果这个无穷小是求极限函数的一个因子 (求极限的函数可以写成该无穷小乘以另外一个函数, 有时候该无穷小就是求极限函数的分子或分母, 这正是定理中描述的情况) , 那么一般说来我们就可以用它的等价无穷小替换以简化计算。

五、利用两个重要极限求极限

因为第一个重要极限其实和等价无穷小一致, 所以我们着重看第二个重要极限, 它也是个模子, 形象说来就是既然是个模子, 那就一定要符合这个模式的才能趋向于e, 这个公式是用来求1∞型未定式的, 而且它往往要比用洛必达法则要简单一些。

以上的五大方法是我们最常用的求极限的方法, 此外还有很多其他的求极限的方法。

六、其他方法

(1) 利用数列极限与函数极限的关系, 把求数列的极限转化为求函数的极限。

(2) 利用变量代换简化计算。变量代换这一思想方法不但在求极限中, 在其它很多问题 (比如积分问题、微分问题、求解微分方程的问题等等) 中都扮演了很重要的角色, 用好这一技巧, 常常能简化计算, 减少计算量, 有时还会起到意想不到的效果。在例6中我们就应用了这一方法来减少计算量, 而且把“零乘无穷大”型的未定式转化成了能用洛必达法则的基本类型。在例4中我们也曾应用这一方法来减少计算量。

(3) 利用“无穷小量乘以有界变量仍然是无穷小量”来求极限。无穷小量的这一性质容易被我们忽略。我们在上面例1中就应用了这一性质。

(4) 利用夹逼准则求极限。这种方法技巧性较强, 我们常在求数列极限时考虑此类方法, 而且该数列的通项是由很多有规律的项组成的情况。比如我们通常用夹逼准则来求

除此之外, 还有利用单调有界准则、运用极限的定义、泰勒展开式、定积分的定义、中值定理、幂级数的和函数、收敛级数的性质等等许多方法求极限。在学习极限的过程中, 勤思考、多总结, 才可以熟能生巧, 将各种方法融会贯通、灵活运用。

摘要：极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。极限论是数学分析的基础, 极限问题是数学分析中困难问题之一, 微分学和积分学中许多概念都是由极限的定义引入的, 它是学好导数和积分等后续内容的基础。因此, 极限问题在微积分中占有很重要的地位。本文较全面地介绍了求数列与一元函数极限常用的几种方法。

关键词：极限,方法,洛必达,等价无穷小

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]吴赣昌.高等数学 (第四版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2011.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2010.

求极限方法的研究 篇3

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使 ，只要

所以， ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而 是有界函数

2.利用四则运算法则

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数 与函数 复合而成，f[g（x）]在点 的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则

例如 ， 是由 与 复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1） 时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设 ～ ， ～ 且 存在，则

例如计算

解：当 时， ～ ， ～ ，所以

六、按连续性质计算

设函数 在 的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系 高等数学 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京： 科学出版社，2009.

作者简介：

求极限方法 篇4

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

求极限注意的问题 篇5

几个无理函数的极限：

几个“”型的极限：

几个含有三角函数的极限：

几个幂指函数的极限：

等价无穷小在极限中的应用：

极限存在准则在求极限中的应用：

极限中的变量替换：

某些极限在进行了变量替换之后较容易求出。

分段函数的极限

分段函数的连续性

分段函数的导数

分段函数的积分

1.根的存在性证明

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－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

2.确定根的个数

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1.用单调性与最值证明不等式

2.用拉格朗日中值定理证明不等式

3.用柯西中值定理证明不等式

用定义证明函数极限方法总结 篇6

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa

不同。

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah()，从而得h()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xah()，从而得

h()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定0xa1，得f(x)cxa，解xa，得：xah()，取min1,h()。

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法： x

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh()，从而得Ah()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xh()，从而得

Ah()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定xA1，得f(x)cxa，解xa，得：xh()，取AmaxA1,h()。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：lim(2x3)7。x2

证明：0，要使：

(2x3)72x2，只要 2x2，即0x2

取2，

2，即可。

x212。例2 证明：lim2x12xx13

x1x212x12分析：因为，放大时，只有限制22xx132x1332x1

0x1，即0x2，才容易放大。

证明：0，限制0x1，即0x2，要使；

x1x1x1x1x212x12

，只要

32x2x132x1332x132x13

即0x3，取min(1,3)，即可。

例3

证明：（a1）。

xa

证明：0，限制0xa

1a1a

1，要使：，所以x

22





，只要

1a,，即可。，取min，即0xa

22



x3,x1

例4 设f(x)，证明:limf(x)1。

x1

2,x1

证明：当x1时，f(x)1x1x1xx1

限制0x1，则xx112，xx17。0，要使：

f(x)1x1x2x17x1，只要7x，即x1



7，取



min，当0x1时，有：

7

f(x)，limf(x)1

x1

说明：这里限制自变量x的变化范围0x1，必须按自变量x的变化趋势来设计，xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设x1，则xx13，要使：

f(x)1x1x2x13x1，只要0x1

，取min1,，3

当0x1时，有：f(x)1。limf(x)1。

x1

例5 证明:lim

1。

x12x1

2x11

证明：考察，2x12x1112x1 1

2x12x1

限制0x1

111，则2x112x11。0，要使： 422

2x1

4x1，只要4x，即x1，42x12x1

1

44

1，2x1

取min,，当0x时，有：lim

x1

1。

2x1

1，则4

说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1

11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22

0x1或0x1，则不2x1x1112m（如果是限制0

例6 证明:lim

能达到以上目的）。

x

2。

x24x7

证明：考察

7x271x，仅在x的邻域内无界，所以，限制2

44x74x74x7

171

0x2（此邻域不包含x点），则4x74x2114x2。

842

0，要使：

7x27x2x

只要14x2，即x2，214x2，144x74x714x2

取min,x1，当时，有：2，0x2

4x7814

x

2。

x24x7

x0

lim

x

例7 用定义证明极限式：lima1，（a1）

证明：0（不妨1），要使：

ax11ax1loga1xloga1（由对数函数

。于是，取minloga1, loga10，f(x)logax是单调增函数）

xx

当0x0时，有：a1。故lima1。证毕

x0

例8 设f(x)0，limf(x)

A，证明：lim

xx0

xx0



n2为正整数。

证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，0，由limf(x)A，知：0，当0xx0时，有：f(x)A



xx0





f(x)A

n1





n2

n2



n1



f(x)A

n1





n1，故：lim

xx0



im(f)x0当A0时：0，由l

xx，知：

0，当0xx0时，有：

f(x)

 0lim

xx0

例举几种不同的方法求函数的极限 篇7

直接代入法是球函数极限的最基本的方法，这种方法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞的情况.

所以采用直接代入法.

二、最常用的方法:利用极限的四则运算法则来求极限

简单地说，极限的四则运算法则可以用一句话来概括:极限的四则运算等于四则运算的极限，或者说，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商，但是，这里要注意，前提条件是在同一变化过程中，并且函数的极限都存在的情况下.

三、最简单的方法:利用最高次幂系数比求极限

这种方法是求极限的最简单的方法，只需口算即可得出结果，只是，它只适用于分子、分母同时趋于∞的多项式比值的情况，即型未定式.

分析所给函数中，当x→∞时，分子、分母同时趋于∞，属于型未定式，因此我们可以利用这种方法来求极限.首先，通过观察，我们发现，分子、分母最高次幂为三次，因此，极限值就等于三次幂的系数比，即.

四、最固定的方法:两个重要极限

1. 第一个重要极限:lxi→m0xsinx=1例4求lxi→m0x21-cosx.

令t=2x，则x→0时t→0.

五、最易忽略的方法:利用无穷小量的性质

分析因为不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函数进行恒等变形.

解原式 (恒等变形) .

因为当x→∞时，，即是当x→∞时的无穷小，而|sinx|≤1，即sinx是有界函数，由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小，得.

六、最灵活的方法:无穷小等价代换

我们常用的等价无穷小有:当x→0时，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln (1+x) ，等等，在这里，我们需要注意，前提条件一定是当x趋于0时才成立.

事实上，我们的第一重要极限就可以用这种方法推导出来.

我们知道，当x→0时，x～sinx，所以上面的sinx可以直接替换为x，进而直接得出结论:1.

七、最广泛的方法:洛必达法则

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:

1. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足型，否则滥用洛必达法则会出错.

2. 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

3. 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果

仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换，等等.

例7 . (使用一次的情况)

(多次使用的情况)

总之，函数的极限问题是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.因此，对学生而言，学好函数的极限可以为他们今后的学习打下必要的基础.

摘要：“高等数学”就是以函数为主要研究对象的一门数学课程, 而函数的极限则是贯穿“高等数学”始终的一个重要概念, 是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念, 同时, 极限是微分的理论基础, 研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限, 如连续、导数、定积分等, 由此可见极限的重要性.本文将通过一些例题列举几种求函数极限的不同方法.

关键词：函数,极限,方法

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 1991.

[2]人民教育出版社中学数学室.数学及解题指导[M].北京:人民教育出版社, 2002.

函数求极值的方法总结 篇8

(y-1)x 求函数极值的若干方法 -2yx-3y=0

∵x∈R，且x≠3，x≠-1，

∴上方程在实数范围内一定有解。

△= (-2y) 求函数极值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0

解之得 y≤0 或 y≥ 求函数极值的若干方法

这里虽然y无最大(小)值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法 的x分别为x=0和x=-3，

所以当x=0时，y有极大值0，当x=-3时，y有极小值 求函数极值的若干方法 。

例2、求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x

∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1

∴函数y= 求函数极值的若干方法 值域为[-1，1]

由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。

二、利用倒数关系求极值

对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

例3、求函数y=2- 求函数极值的若干方法 的最小值。

解：∵x 求函数极值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函数极值的若干方法 +5>0

∴函数的定义域为一切实数， 又由 x 求函数极值的若干方法 -2x+6=(x-1) 求函数极值的若干方法 +5 知

当x=1时， 求函数极值的若干方法 取最小值 求函数极值的若干方法 ,

∴ 求函数极值的若干方法 取最大值 求函数极值的若干方法 ,

此时 y=2- 求函数极值的若干方法 取最小值 2- 求函数极值的若干方法 ,

即 当x=1时，有y的最小值是 2- 求函数极值的若干方法 。

三、利用重要不等式求极值

对于相互作用参数求值方法总结 篇9

1、内聚能理论计算：

其中：、为珠子 A、B 的体积分数

内聚能密度CED（Cohesive energy density）

用混合物中纯组分的CED来计算溶解度参数

Flory-Huggins interaction parameter,χ 用以下式子计算

Z-配位数

（value for cubic lattice model立方体模型框架）

R-摩尔气体常

T-开式温标、绝对温标

临界χ值计算：、-A与B的聚合度（实际重复单元数目）

超过这个临界值则不易混合，小于则易混，若值小一点点则是部分互混 混合能计算用atomistic simulation（原子模拟）

相互作用参数通过分子动力学（MD）计算及结合分子结构数据（如摩尔数、分子长度、聚合物特征比等）得到并应用于介观模拟

2、蒸气压和表面张力实验

可以由蒸发摩尔热或蒸气压温度函数简单地算出，而对于，因为饿类似这些物质并不蒸发。

对于液体（分子质量小），大分子质量物质难以用实验求得

溶解度参数和界面张力有一个方程关系，中间用自由能计算

材料每摩尔内部能量，排除分子内作用力

内聚能密度： 物资单位体积破坏分子内链与链的能量，利用可以计算溶解度参数，预测关联其他性质，如玻璃转化温服，界面张力，介电常数，力学性质，小分子渗透性；

=++

：极化

：氢键 ：离散度

还可用基团贡献法计算，不过相对很复杂（我就不是很懂）溶解度参数 ==

是实验在室温下测得的

在室温左右计算是简单直接也是可靠的，因为

（聚合物的溶解性取决于聚合物和溶剂值有多接近，交联、结晶、增大分子量都会减少聚合物溶解度）

3、χ值和混合焓是成比例

：两聚合物总体积

物来说）

：聚合度

求极限方法总结全 篇10

随着电力需求持续增加,电力传输随之不断加重,电网建设的相对滞后和电力的市场运营导致系统运行日趋紧张,因电压失稳导致的事故在一些大电网多次发生[1,2,3],电压稳定问题受到电力系统运行和研究人员的重视。求取正常运行和故障后工况下负荷极限是常见的电压稳定分析方法,中长期电压稳定中,负荷的持续增加和缓慢恢复是最重要的因素之一。求取稳定极限来评判电压稳定性是最为直观易用的方法之一[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14],一般的计算手段是连续潮流,在实际系统的电压稳定性分析中,利用时域仿真模拟负荷功率持续增加直至系统失稳的计算方式也较为常用[15,16]。

上述两种方法都存在一定程度的局限。连续潮流法必须进行PV和Vθ假设;平衡机承担所有功率不平衡量;不能详细考虑各元件的限制作用;难以计及中长期时域范畴中控制和元件的时间效应和负荷的动态恢复过程。常规时域仿真法因失稳点往往处于固定步长的跨度之间,采用更小的步长则可能导致计算时间过长、收敛性变差;发电机出力依靠其调差系数来分配,往往不考虑中长期过程的发电再调度措施;电压崩溃点附近,系统方程接近病态[17,18,19,20,21];传统仿真计算还存在速度较慢,耗时长的问题。这些都影响了计算的效率与准确性。

近年,Van Cutsem等学者提出将暂态过程用准稳态(QSS)平衡方程替代的概念,称为准稳态仿真[1,23,24,25],由于其计算速度快,物理概念明确,能贴切反映系统中长期动态特性,在中长期电压稳定分析中得到研究者的广泛关注[16,25,26,27]。本文以QSS仿真为基础,研究给定负荷需求和发电增长方式下的系统极限求取算法。与基于连续潮流和常规仿真的方法相比更贴近实际情况,极限点附近方程的病态问题也可得到处理。

1 准稳态仿真算法的基本原理

QSS仿真的基本思想是用一系列由长期动态过程驱动的短期平衡点来近似系统的长期动态过程[23],是潮流计算和全时域仿真的一种折衷。

电压稳定分析的系统DDAE方程组如下:

其中:式(1)表网络关系,还包含了负荷的静态电压和频率特性,y是由系统代数量组成的向量;式(2)代表系统中暂态范畴的动态过程,状态变量为x;式(3)与式(4)描述了系统的中长期的动态过程,如OLTC、发电机最大励磁限制器(MXL)以及二次电压控制等。zd代表离散变量,zc代表连续变量。

QSS近似基于如下假设:存在短期动态过程的稳定平衡点;短期动态过程在足够短的时间内达平衡点,将动态方程(2)由其平衡方程(5)代替[18]:

QSS仿真具有不存在PV和Vθ假设;能够较准确地计及各种限制作用;能够反映控制作用和元件动作的时域规律;计算速度快、收敛性好等优势,是中长期电压稳定分析的有力工具[23,24,25,26]。

2 含系统时变参数的QSS仿真模型

2.1 参数QSS仿真系统模型

在QSS仿真模型中加入参数项λ,如式(6):

参数λ(t)代表系统中负荷的需求变化,以及与此相关的发电再调度,假设λ(t)是与时间t相关的光滑函数。式(6)即为描述系统在负荷需求缓慢变化时的QSS轨迹方程。考虑了负荷需求持续增加、计及了系统中元件和控制措施在时域的作用效果,以及负荷自身的恢复特性。

对式(6)进行分析,将中长期过程的离散元件和限制器有关的动态方程单独列出,方程表示为:

其中,zl为中长期动态过程连续动作元件的状态量,如自恢复负荷的状态量zp和zq等。式(10)和式(11)描述离散元件和限制器的动态。式(7)~(9)和式(13)确定了系统随λ变化的连续轨迹,本文称之为系统的主导DDAE方程,在不考虑限制作用和离散元件的情况下,上述方程决定系统时域轨迹。式(10)和式(11)起到的是不连续的作用,其状态量的变化仍然是连续的,如MXL的内部状态量,但控制作用不连续,例如将励磁电流限制至额定值。

系统QSS方程在崩溃点附近存在病态问题:一种情况是由于连续变化的动态过程使得系统轨迹趋向分叉点;另一种情况是由于不连续变化导致突然失去运行点,有些文献称为极限诱导分叉[24]。第一种情况下,通过下面提到的算法可较准确地追踪到崩溃点,解决方程病态问题;第二种情况引起的系统崩溃,只需较准确模拟不连续动作时刻,保证时序正确,这可通过仿真步长控制策略达到[27]。

2.2 含参数的元件QSS模型

2.2.1 静态负荷

如负荷采用ZIP模型,则加入功率变化参数λ(t)后,母线i的负荷功率可以用式(14)来描述。

对于指数模型,带参数的负荷功率可表示为:

各参数含义可参见文献[3,23]。

2.2.2 发电机

对于发电机,λ(t)代表发电再调度,反映在原动机模型[18]出力设定值的变化上。如式(16)所示。

式中:Pmi为节点i上的发电机原动机出力;kpgi为该发电机的功率变化系数;γgi为调速器的静调差率。

与连续潮流不同,负荷无功需求的增加由各发电机有功出力的变化、AVR的设定及网络结构等条件自动分配,这与实际系统功率调节是一致的。

2.2.3 带自恢复的动态负荷

自恢复负荷是电压稳定研究的重要内容之一[3,18],在其中引入功率变化参数λ,则得到式(17)。

各参数含义可参见文献[3,23]。功率需求通过λ(t)的影响随时间变化,由于负荷端电压的变化,负荷需求有一个时间常数为Tp或Tq的恢复过程。

3 QSS功率极限计算

3.1 考虑负荷静态特性的QSS功率极限计算

考虑负荷为电压静特性负荷这种简化情况,中长期动态方程不包含负荷动态恢复,主导DDAE方程不含中长期过程的微分方程。离散元件如OLTC和可投切电容器组(ACS),控制作用如MXL等仍然有效。大量文献指出,负荷区OLTC的自动调节及发电机MXL的限制作用是中长期电压失稳的重要因素[3,22]。负荷采用电压静特性模型,由OLTC的自动调节来体现负荷长期动态恢复效应是常用的计算手段,在许多文献中都得到采用[1,17,19]。

连续法是解决崩溃点附近方程病态的一种实用方法,广泛应用在连续潮流的计算中。下面研究如何将其应用在本节讨论的QSS仿真中。如文献[23-25]中所述,基于牛顿法的QSS仿真将系统代数方程和微分方程/差分方程分开求解。首先求解QSS方程的代数平衡方程部分,然后求解由仿真步长约束的与长期动态相关的部分。在这个时间步长里,OLTC将按照与时间相关的逻辑规律进行差分变量zd的更新。本文研究的QSS仿真中采用的连续法计算有三个环节:预估、矫正和步长控制。采用连续法的QSS仿真的基本步骤如图1所示。

1)轨迹预估。QSS平衡方程从前一时步运行点对下一运行点进行估计,QSS平衡方程的切向量由式(18)求解得到。ek为列相量,除第k个元素为1外,其余为0,第k个元素对应选择的连续变量。

切向量T定义为:

T中变化率最大的元素作为新的连续变量,kt+Δt为连续变量在T中的位置,有:

一般来说,在正常计算过程中,k对应于矩阵的最后行列,即λ为连续参数。当系统濒临崩溃点时,k将对应于λ以外的变量,即连续变量为系统状态量。由此得到预估解如式(21)所示:

其中,σ为预估的步长,步长的控制是非常重要的,如果步长过大,可能造成矫正步骤难以实现,过小则降低计算效率,不同的系统通常采用不同的步长[28],可以通过经验根据系统实际状况选取[3],且由于T本身是与切向量变化率相关的,因此计算中系统变量的变化σT具有自动调整大小的能力。

2)轨迹矫正。采用牛顿法进行矫正环节的计算:

进行系统量矫正,得主导DDAE方程平衡点:

上述环节中都用到式(24)的矩阵,而fλ和gλ不同时为0,ek在连续参数的位置上总为1,因此可以通过选择连续变量避免雅可比矩阵的奇异问题。迭代算法采用不完全牛顿法以加速计算。

3)更新时间。得到由QSS平衡方程确定的轨迹点后,应计算中长期动态过程的状态量,指OLTC、ACS等离散元件及MXL等限制器的作用。通过设定的增长模式可得到本时步步长,λ的变化规律在式(6)中已列出,对于预估-矫正环节确定的λt+Δt:

因此可以得到步长:

在研究和计算中最常用到的参数变化情况为λ随时间均匀增长,步长的更新可以简单地表示为:

其中,δλ为参数单位时间的增量。Δt作为预置步长,控制中长期动态过程的计算,同样采用文献[23]的步长调整策略,如果当前时间加上Δt跨过了某元件动作时刻,则将Δt减小至元件的动作时刻。

3.2 考虑自恢复特性的负荷持续增长

如果考虑更为符合实际也更为复杂的情况,在负荷需求和发电出力按设定规律增长的情况下,同时考虑负荷的自恢复特性,这是最接近实际的与长期电压稳定相关的场景。除代数方程含有随时间变化的参数λ(t)外,主导DDAE方程还包含了描述负荷动态恢复过程的微分方程。通过如下算法可以同时考虑负荷需求的变化及其自恢复过程的影响,并能够同时确定仿真步长,追踪系统时域轨迹。

改写系统主导DDAE方程,增加zl的求取过程,得到关于x,y,zl,żl,t的代数方程组如式(28)所示。

其中,l为常微分方程的数值积分算法,如果为隐式梯形法,则l的形式如(29)所示。

在方程(28)中x,y,zl,żl,t各待求量之间不存在特殊性,即主导DDAE方程的求解可以不显示的以t的增加为驱动,称之为主导DDAE方程的同步追踪方程形式。本文下面章节将介绍如何通过预估矫正技术求解该方程,得到系统随λ变化的时域轨迹,避免崩溃点的病态问题。

首先假定在t时刻,点满足式(6)。以此为初始点,根据式(28)求解下一轨迹点的连续方法如下。T

1)轨迹预估。QSS平衡方程从对下一运行点进行估计,同步追踪方程的切向量由式(30)得到。ek为列相量,除第k个元素为1外,其余皆为0,第k个元素对应选择的连续变量。

同样,切向量T由式(31)定义:

选择有最大切向量的变量作为连续变量,设ktn+1为切向量T中最大元素的位置,则有:

由此得到预估解如式(33)所示。

其中:σ是根据精度要求预先设定的控制步长变量;t作为待求量之一同时求解。

2)轨迹矫正。采用牛顿法进行计算,如式(34):

求解完毕后,进行系统量的矫正,得到tn+1时刻系统主导DDAE方程的轨迹点。

主导DDAE方程中所有待求量都得到更新,也包括系统时间t。t更新后即求解DDAE方程中的非主导部分,同样采用文献[24]的步长调整策略,如tn+1跨过了某元件动作时刻,则将其减小至元件的动作时刻。

4 算例

算例1:IEEE10节点系统如图2,节点7和10上的负荷为电压静特性负荷。节点5、6之间的5回并行线路中的一回0 s时跳开,负荷L1和L2的需求持续增加,采用本章提出的算法进行计算,并考虑OLTC1的电压调整作用,它将对L1起到恢复的效果,OLTC2和OLTC3的分接头闭锁。

节点7和10电压幅值的轨迹如图3,节点7的负荷功率与节点电压曲线如图4所示。可以看到,扰动后暂态过程很快平息,达到一个新的暂态平衡点,节点7和10的电压稳定在0.981 p.u.和0.983p.u.,由于负荷电压特性负荷量从3.0 p.u.减少至2.9p.u.。此后系统逐步向临界点逼近的驱动力即为OLTC的动作和由增长方式确定的负荷持续增加。

从图4中可以看到,故障后由于λ持续增长,节点电压开始下降,当下降到分接头设定档位以下时,OLTC1将调整以恢复副边电压。在本算例中,故障并未导致OLTC1动作,原因是故障对系统影响较小,电压下降未超过OLTC1死区。随后系统由于负荷需求增加而趋于紧张,节点7和10电压持续下降,OLTC1不断调整试图恢复节点7的电压,在开始一段时间内,节点7保持在原电压水平附近,几次调整后,OLTC1达到档位极限。大约73 s处,节点电压低于0.80 p.u.,认为不可接受。

本算例中电压失稳的主要原因是负荷需求的增加,同时OLTC的调整作用将系统推向紧张。从图3可以看到,系统在故障后86 s时完全崩溃,这里的崩溃点对应系统中长期过程的奇异诱导分叉(Singularity Introduced Bifurcation)点[1,21]。

算例2:计算条件与算例1相同,L1为具慢恢复过程的动态负荷。时间常数TP=TQ=100 s,负荷的瞬时功率特性为恒阻抗,即αt=βt=2,经恢复过程负荷功率向恒功率过渡,即αs=βs=0。同样在系统一回线路故障后,负荷需求持续增加。

采用本文算法,节点电压随时间变化曲线和功率与电压曲线图5和图6所示。在扰动后暂态过程也很快平息,新的暂态平衡点与算例1接近。此后系统逐步向临界点逼近的驱动力除OLTC的动作和由增长方式确定的负荷持续增加以外,另一个重要的因素是负荷自身的长期恢复。

故障后由于λ持续增长和负荷恢复作用,节点7电压下降。当电压下降到OLTC1设定值以下时,OLTC1调整以恢复副边电压。开始一段时间内,节点7保持在原电压水平附近,几次调整后OLTC1达到档位极限。由于负荷的恢复,大约41 s处,节点电压低于0.80 p.u.,认为不可接受,比算例1提前了约30 s。同时还可知道,系统崩溃点也比算例1提前了43 s,主要是由于负荷向恒功率特性的动态恢复过程,大大加快了系统临界点的到来。

节点PV曲线的讨论:

在算例1和2中,得到了节点7的PV曲线,刻画了系统由于故障、负荷增加及其他长期动态过程所决定的一系列系统运行点。以算例2的PV曲线为例,如图7。系统运行点的轨迹为:AA′,A为故障前系统运行点,A′为故障后系统运行点;A′C,系统OLTC1调节、负荷增加以及负荷恢复的过程,C为系统网络传输特性的鞍结点分叉;D为系统中长期动态的临界点,也是PV曲线与负荷特性的切点。在算例2中,系统故障后无长期动态平衡点,系统轨迹最终在D点终止。

5 结论

本文提出了采用连续法求解带参数QSS仿真的方法,避免了崩溃点附近系统方程病态,在考虑系统动态过程和较为实际的元件模型的基础上,能够较准确地得到确定过渡方式下的系统QSS轨迹。

在求取负荷需求随时间变化的QSS轨迹时,针对静态负荷模型和带慢恢复过程的动态负荷模型两种情况,分别提出了计算算法。

第二种算法在求解系统主导DDAE方程时,增加了维数,也就提高了计算量和牛顿法的计算复杂度,但是可以较准确地考虑负荷恢复的动态过程和负荷需求增加这两个因素的同时作用,更为普适。负荷模型为静态模型,通过OLTC的动态调整来模拟负荷恢复也是分析中常用的手段,在这种情况下,方法一可以提供一个不失一般性的简化方法。