极限分析方法

2024-05-29

极限分析方法（精选12篇）

极限分析方法篇1

在荷载作用下，岩土结构由弹性状态进入到弹塑性状态，继续加载，结构将达到承载能力极限状态，此后进入破坏状态。地基极限承载力、边坡的稳定性和挡土墙土压力问题是三大经典土力学问题，是土工结构物极限分析的问题。

目前常采用四种方法进行求解：极限平衡方法、极限分析方法、有限元法、综合法。传统的极限平衡方法采用垂直界面的条块，假定沿滑裂面土体处处达到极限平衡，通过分析条块的静力平衡得到可行应力场和极限荷载的下限解。经典极限分析方法则假定土体为均质的理想弹塑性体或刚塑性体，滑动体内各点均达到极限平衡状态，通过求解虚功方程得到极限荷载的上限解。在上述两种方法中，通常要对滑动面的形状进行一定的假设。采用有限元法可以克服了破坏机制预先假定的缺陷，而且可以考虑复杂的边界和荷载条件、土体非线性本构关系，根据土体破坏的标准，通过强度降低或者荷载增加可直接求出岩土结构的极限荷载、安全系数和滑动面，同时还可以反映岩土结构的渐近破坏过程，但其失稳判据较难统一。综合法既可利用极限平衡方法求解边坡安全系数，又没有对强度参数进行折减，也可得到边坡的最小安全系数和临界滑裂面的位置。

但是，在地基和土坡中出现滑动面的过程中，土体由弹性状态逐渐进入到塑性破坏阶段，在滑动面附近的土体可能已进入软化阶段而产生局部化现象，而且位移场和应变场将不再连续。这种由变形局部化引起的材料不稳定性将导致偏微分控制方程的性质发生改变，如对于静力问题，控制方程将由椭圆型变为双曲型。当采用常规有限元进行数值求解时，由于无法正确反映能量的耗散而使得计算结果与网格的尺寸大小和排列方向相关。当采用极限分析有限元方法和综合法时，由于土体结构应力均由有限元分析得到，而且在滑动面未完全贯通之前，已有很多单元进入应变局部化状态，因此土体响应可能会受到网格尺寸的影响。另一方面，在承载力达到峰值之后的破坏阶段的响应和破坏路径的确定，也将是损失评估、破坏机理研究和加固设计的重要技术依据。因此很有必要采用更为精确的方法来研究岩土结构的失稳破坏过程和极限承载力。因而为了描述材料在失稳和局部化产生之后的变形行为，并保证边值问题的适定性、克服数值解的网格相关性等问题，学者们开展了对控制方程和材料本构进行修改来获得正则化机制的研究，其中包括：梯度塑性理论、Cosserat理论、非局部理论、强间断分析等方法。在梯度塑性、非局部化模型、Cosserat模型中，局部化带内的变形与材料的内部特征长度有很大的关系。但该参数很难从实验中确定，而且为了能够刻划应变或者位移的剧烈变化，这就要求在局部化区域网格尺寸比较小，如果局部化区域未知，那么就要对整个结构进行比较细的剖分。而且裂纹、剪切带是通过局部化区域表示的，无法给出裂纹或剪切带两侧的位移间断，属于弥散模型。强间断分析法允许单元内存在间断的位移场、应变场，而且无需重新剖分网格即可描述结构中不连续面的演化，较好地克服了标准有限元在模拟应变局部化问题所出现的数值解的网格依赖性和边值问题的不适定性问题，并可以跟踪结构在出现局部化变形后的破坏发展过程。

结论

以应变局部化为理论的有限元方法可作为传统极限平衡法进行稳定分析、承载力分析的有益补充，为探讨岩土结构破坏机理和加固方案设计提供技术依据。

摘要：土工结构物达到承载力极限时往往伴随着材料的破坏, 极限分析及破坏之后的分析是很困难的, 本文介绍了几种分析方法, 探讨了它们的优缺点, 为工程设计提供更为可靠的技术依据。

关键词：土工结构物,极限分析,破坏

参考文献

[1]郑颖人、赵尚毅:《岩土工程极限分析有限元法及其应用》, 《土木工程学报》, 2005, 38 (1) 91-104。

[2]J.C.Simo, J.Oliver, F.Armero.An analysis of strong discontinuities induced by strain softening in rate-independent inelastic solids[J].Computational Mech.1993, 12:277-296。

极限分析方法篇2

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a0)；极限严格定义证明，例如：lim

n当an0，|q|1时nlim(3x1)5；limq；等等 nx2不存在，当|q|1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

f(x)

g(x)AB（3）lim,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limsinx

xx01

11xxlim(1)elim(1x)e（2）；xxx0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx01，lim(12x)x02xe，lim(1x3)3e；等等。xx

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e

1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

xx0

存在时，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

xx0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

xx0，即lim

f(x)g(x)

xx0

=lim

xx0。

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：

（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）lim

f(x)g(x)

存在（或是无穷大）；

则极限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f(x)g(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f(x)g(x)。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

”型或“



”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕

后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注

意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间

内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

n

则极限limxn

n一定存在，且极限值也是a，即limxn

na。

二、求极限方法举例

1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1lim

3x12x1

x

1)2



2解：原式=lim

(3x1lim

3x3



3x1

(x1)(3x12)

x1

(x1)(3x12)。

注：本题也可以用洛比达法则。例2lim

n(n2

n1)n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

解：原式=limn

n2

n1

lim

3

3n

1

212

n



例3 lim

(1)n3n

n

3

(1上下同除以3

n)n

1解：原式



lim3

1n(2。3)n

12．利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2

x2

解：因为x2

02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=22

e24e。3．利用两个重要极限求极限

例5 lim

1cosxx0

2sin

x2sin

解：原式=lim221

x0

lim

x012(x6。

22)。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 lim(13sinx)x

x0

16sinx

6sinx

解：原式=lim(13sinx)

3sinx

lim[(13sinx)3sinx]

x0

例7 lim（n2n

n

n1)

3n13n

n1

3n解：原式=lim(1

3

n1



33

]n1

e

3

n

n1)lim[(1n

n1)

4．利用定理2求极限

例8 limx2

sin

1x0

解：原式=0（定理2的结果）。5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 lim

xln(13x)x0

arctan（x2)

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 原式=lim

x3xx

3。

x0

x例10 lim

ee

sinx

x0

xsinx

sinx

(exsinx

1)

sinx

解：原式=lim

xsinx)

x0

xsinx

lim

e(x0

xsinx

1。

注：下面的解法是错误的： xsinx

原式=lim

(e1)(e

1)

lim

xsinx1x0

xsinx

x0

xsinx。

正如下面例题解法错误一样：lim

tanxsinx

lim

xx0x0

x0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x0

sinx

e

6。

解：当x0时，x2sin

是无穷小，tan(xsin

1x)与xsin

等价，xsin

所以，原式=lim

x0

xlimxsin10

。（最后一步用到定理2）

x0xx

6．利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 lim

1cosx3x

x0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x0



。（最后一步用到了重要极限）

cos

例13 lim

x1

x

x1



sin

1x



。2

解：原式=lim

x1

例14 lim

xsinxx

x0

解：原式=lim

1cosx3x

x0

=lim

sinx6x

x0



。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15 lim解：

sinxxcosx

xsinx

x0

原式lim

lim

sinxxcosx

xxxsinx3x

x0

lim

cosx(cosxxsinx)

x0



3例18 lim[

x0



1ln(1x)

]

解：错误解法：原式=lim[

x0



]0。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xxln(1x)11x2x

1

x0

lim

x0

ln(1x)x

xx

lim

x0

lim

x2x(1x)

x0



12。

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 lim

x2sinx3xcosx

x

解：易见：该极限是“

”型，但用洛比达法则后得到：lim

12cosx3sinx

x，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

1

原式=lim

x

2sinx

（分子、分母同时除以x）cosxx

3

（利用定理1和定理2）

7．利用极限存在准则求极限

例20 已知x1

2,xn1

2xn,(n1,2,)，求limxn

n

解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0<设

xn<2），由准则1极限limxn存在，n

limxna。对已知的递推公式 xn1

n

2xn两边求极限，得：

a所以

2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

limxn2。n

1n1nnn

n

例21 lim(

1n2



1nn)

1nn

解：易见：

n1



1n2



nn1

因为 limn

nnn

1，lim

nn1



n

1

1nn

所以由准则2得：lim（n

n1

n2

复变函数求极限的方法篇3

关键词复变函数极限方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求。

解由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以在点 z=0连续,从而。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求。

解显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是的可去奇点、极点和本性奇点,则分别为、和既不存在也不为。

例5 求。

解因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

极限分析方法篇4

大量的边坡工程实例为我们研究边坡的破坏机理, 预测和评价边坡的稳定性提供了大量的基础信息资料, 这也为我们采用智能算法预测边坡的稳定性分析提供了样本数据和结果验证依据。各种智能算法如人工神经网络、遗传算法、支持向量机等都被专家学者们广泛应用到学术研究中, 尤其以人工神经网络为甚。但是传统的学习算法 (如BP神经网络等) 本身固有的训练速度慢、易陷入全局最小、学习率η的选择敏感等缺点, 使得探索一种学习速度快、泛化能力强的算法成为近年来的研究热点和难点。而极限学习机 (ELM, Extreme Learning Machine) 正是一种满足上述要求, 通过对单隐含层前馈神经网络 (SLFN) 进行了算法上的改进, 随机产生输入层与隐含层间的连接权值, 隐含层神经元的阈值, 且在学习过程中无需调整, 只需要设置隐含层神经元的个数, 便可以获得全局最优解。

1 ELM的基本原理

ELM是针对SLFN的一种新算法。SFLN由输入层、隐含层和输出层组成, 从映射的角度看, 是输入层与隐含层、隐含层与输出层神经元间全连接。

新加坡南洋理工大学的Huang G B等人[4,5,6]提出了以下两个重要定理, 成为ELM方法分析的理论基础。

定理一:给定任意Q个不同样本 (xi, ti) , 其中, xi=[xi1, xi2, …, xin]T∈Rn, ti=[ti1, ti2, …, tim]T∈Rm, 一个任意区间无限可微的激励函数g:R→R, 则对于隐含层神经元数为Q的单隐层前馈网络, 对任意赋值wi∈Rn和bi∈R, 均满足矩阵H可逆且有‖Hβ-T'‖=0。

定理二:给定任意Q个不同样本 (xi, ti) , 其中, xi=[xi1, xi2, …, xin]T∈Rn, ti=[ti1, ti2, …, tim]T∈Rm, 对于任意给定的小误差ε (ε>0) 和一个任意区间无限可微的激励函数g:R→R, 总存在一个含有隐含层神经元数为K (K≤Q) 的单隐层前馈网络, 对任意赋值wi∈Rn和bi∈R, 均满足‖HN×MβM×m-T'‖<ε。

基于上述理论, ELM分析问题的步骤主要归结为以下三个步骤:1) 随机选取输入层与隐含层间的连接权值w和隐含层神经元的阈值b;2) 计算得出隐含层输出矩阵H;3) 隐含层与输出层间的连接权值 (输出权值) β:β^=H+T'。

2 基于ELM的边坡安全系数分析

工程经验表明, 影响边坡稳定性的主要因素有岩石重度γ、内聚力c、内摩擦角、边坡角、坡高H、孔隙水压力比。边坡稳定性估计求安全系数的过程就是建立其与主要影响因素之间的函数关系即f=g (γ, c, φ, α, H, γu) 的过程。由于边坡的主要影响因素大部分都具有随机性、模糊性等不确定性特点, 边坡安全系数与这些因素之间的关系是高度非线性的, 很难用确定性的方法描述清楚, 所以本文采用ELM方法[7]来试着建立起这种函数关系。

为建立模型, 从文献[8]中摘取了60个比较有代表性的边坡安全系数 (见表1) , 选取其中的50组作为训练样本进行网络学习, 其他10组作为测试样本进行验证。

在产生训练样本和测试样本时, 为不失一般性, 采用随机法, 随机抽取55个样本作为训练样本, 剩余的5个样本自动作为测试样本。

为了降低变量之间差异较大对模型性能的影响, 需要首先对上面的训练样本和测试样本进行归一化。

由于用ELM对边坡稳定的安全系数进行预测本质上属于回归、拟合问题。设置隐含层神经元个数为30, 激励函数为sig, 分析类型TYPE根据ELM函数中的定义:0为回归问题, 1为分类问题, 此处应该选TYPE=0。

经过编写代码, 调试编译运行, 得到图1的结果。

标准差mse=0.000 469 96, 拟合优度。对照用BP神经网络模拟预测的结果, 拟合优度要高于BP神经网络。

同样地, 选取文献[1]中提供的苏家湾段边坡参数作为预测对象, 将分析边坡安全系数的参数列入表2。由表2参数, 基于之前训练完成的ELM网络, 对边坡安全系数进行回归预测, 得到Fs=1.364 6。按照GB 50021-2001岩土工程勘察规范 (2009年版) 第4.7.7条, 边坡稳定系数Fs的取值, 对于新设计的边坡、重要工程宜取1.30~1.50, 一般工程宜取1.15~1.30, 次要工程1.05~1.15。据此判断, 该边坡是稳定的。作为参照验证, 对比其他分析方法计算所求得的安全系数, 见表3。ELM法与BP神经网络计算的安全系数的相对误差不到1%。证明ELM预测的安全系数的结果是可接受的, 是比较可靠的。

3 结语

1) ELM经过学习训练, 可以快速和精确的预测边坡的安全系数, 对于高度的非线性力学问题表现出比传统的力学计算方法高速, 快捷。

2) ELM随机产生输入层与隐含层间的连接权值及隐含层神经元的阈值, 且在训练过程中无需调整, 只需要设置隐含层神经元个数, 就可以获得唯一的最优解。

3) ELM预测精度高, 误差小, 满足工程需要, 可以用于自然边坡的稳定性分析。

摘要：为了实现对边坡安全系数的预测, 选取了60组边坡稳定性影响因素和对应安全系数作为数据样本, 利用极限学习机 (ELM) 建立了边坡的稳定性分析模型, 指出实验结果与传统的BP神经网络和极限平衡法方法的计算结果非常接近, 表明极限学习机可以用来进行边坡稳定性预测和判断。

关键词：极限学习机,边坡,安全系数,稳定性分析,神经网络

参考文献

[1]冯夏庭, 王泳嘉, 卢世宗.边坡稳定性的神经网络估计[J].力学学报, 1995, 3 (4) :54-61.

[2]林鲁生, 冯夏庭, 白世伟, 等.人工神经网络在边坡滑移预测中的应用[J].岩土力学, 2002, 23 (4) :508-510.

[3]何翔, 李守巨, 刘迎曦, 等.岩土边坡稳定性预报的人工神经网络方法[J].岩土力学, 2003, 24 (Z2) :74-76.

[4]Huang G B, Zhu Q Y, Slew C K.Extreme learning machine:theory and applications[J].Neurocomputing, 2006 (70) :489-501.

[5]Lan Y, Soh Y C, Huang G B.Ensemble of online sequential extreme learning machine[J].Neurocomputing, 2009, 72 (13-15) :3391-3395.

[6]Huang G B, Zhu Q Y, Slew C K.Real-time learning capability of neural networks[J].IEEE Transactions on Neural Networks, 2006, 17 (4) :863-878.

[7]史峰, 王辉, 郁磊, 等.MATLAB智能算法30个案例分析[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2011.

1-1求极限方法小结篇5

求极限方法大概归结为：一利用单调有界数列有极限先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限。二转化为已知极限。这里通常利用如下手段进行转化。

（一）夹逼定理

（二）初等变形，如分解因式、有理化、换元等。其依据为极限的运算法则（四则运算法则、复合法则、有界乘无穷小、连续函数极限值等于函数值、将求数列极限有的可转化为求函数极限、泰勒公式）

（三）ana,等价无穷小替换

（四）洛必达法则及中值定理

（五）公式：limn

则limna1a2

ana；a

（六）转化为级数。三转化nn

为定积分。另外对分段函数在分段点的极限可能要考察左右极限。记

an0住以下极限是有好处的。limn

nxa

1；n1a

0；

1nsinx011lim11；lim，（型）；（型）1elim1ex0nxx0nx

一利用单调有界数列定理求极限

例 1 x1

3，xn1limxn n

练习x1，xn1limxn n

2x111，xn11xn，求limxn n22

n 例 2 已知0x1，xn1sinxn，求limxn

练习limsinsinsinn n

n例3已知方程xnxn1x1(n2)在0,1内有唯一正根记为xn，证明limxn

存在并求limxn。n

二转化为已知极限

（一）夹逼定理

例1 lim

n!，nnn



例limn

111

练习1 lim222 nn1n2nn

：n3

：

nx1lim(12例3(1)lim(2)xxx0

x

3).x

（二）初等变形

2n1)13

例1（1）lim(333n

nnn

)(1)(1练习1：lim(1

nx33x2

（2）lim x1x44x3

3161112)2：lim(12)(12)(12)n23nn(n1)

xx2x3xnn31

lim练习1：lim，2： 3

： 3x1x11xxx11x

（3）lim

x

2x1

2exex2exexln(12x)

练习1：xlim，2：xlim 3:lim ex2exex2exxln(13x)例2

（有理化）n

练习1

：x1

：x0x)tanx 例3（换元）lim(1

x1



2sinx

例4（有界乘无穷小）lim xx

arctanx lim练习1：lim 2：xx01cosxln(1x)x

sinxx2sin

11 例5（将求数列极限转化为求函数极限）lim

n1nsin

ntan

111cos练习1：lim2：limcos nnnnn

例6（两个重要极限的应用）

nsin（1）lim

n

练习1：lim

x0

sinxn

sinx

2：lim

xa

sinxsina

xa

x2

（2）lim xx1

1

练习1：lim12：limcosx x0x

x

ln1x1

cosx

xsinx2(1cosx)sinxtanx

lim练习1：lim2： 43x0x0xx

（三）等价无穷小替换

例7（泰勒公式）lim

x0



x22

x0时，sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1cosx

12x 2

ln(1x)x；ex1x；1x1x 例1 lim

x0



tanxsinx

sinx

练习1：lim

x1

1cosx

x1

：

x0

例2 lim

x0

lnxexxx

3x5x1sinxcosxlimlim练习1

： 2： 3: x0x01sinpxcospxx12

esinx1

例3 lim x0arcsinx2

ecosxe

练习limx0tan2x例4

x0ln1xe1

（四）洛必达法则

0xsinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2）x0x00xxcosxlncosbx

x0

练习1

：2：

x1sinx32

1

练习1：lim

xa

lnx

4：xlim

xn

(1x)eax12sinx

2：lim 3：lim x0xxxacos3xxn

n0 5：xlim

ex

0,n为自然数

例2（型）lim（11)x0x2xtanx

11111)2：lim(x)3：lim(xx2ln(1))练习1：lim（x1lnxx0xxx1e1x

xtan 例3（0型）limx2arcsinxcotx 2：limlnxln(x1)练习1：lim

x0

x1

x（2）lim1x例4（01型）（1）limx



cos

x

x1



x（3）limx1

11x

例5（微分中值定理）（1）lim

x0

tanxtansinxsectanxsecsinx

lim（2）33x0sin2xsinxcostanxcossinx



ab2lim练习1：lim 2：arctanxa0,b0 x0x2aa

an

a；a

（五）公式：limana,则lim12

nnnn

例

（六）转化为级数

1x1x

三转化为定积分

1n例 limnni1

1pnp练习1

：limln 2：lim

nnnp1n

p0

四考察左右极限

x2esinx 例 lim1x0xx

e1

五关于含参极限及已知极限确定参数

例1（含参极限）

x2(a1)xa1:limxax3a3

(xa)(x1)(x1)

limlim2xa(xa)(x2axa2)xa(xaxa2)a1

2a03aa0

1

练习limxsin

x0x

2（已知极限确定参数）（1）x0

求出a,b。

（2）limx)0求

,

x

并求limxx)（a0)

x

由limx)

0有0lim

x

x

x

lim)

xx得

lim)=lim

x

x

求limxx

)

x

limx

x

lim

x

lim

(c)x

x

b2c

2

(x21)2ab(x1)c(x1)2

活到寿命极限的12个方法（下）篇6

上一期《活到寿命极限的12个方法（上）》刊登后引起很多读者的关注，今天我们为大家分享余下的另外六种方法，一起来探寻自然长寿的奥秘。

7.坚固的牙齿——可以使你增加：6.4岁

牙齿松动脱落是老年人的普遍困扰，美国牙科研究中心的一项研究显示，有近80%的成年人都患有牙周疾病，而有牙病历史的男人患上胰腺癌的机率比普通人要高出63%。所以，经常漱口并使用牙线，保持牙齿清洁卫生，一年看两到四次牙医是大有益处的，拥有一口坚固健康的牙齿，可以使你更长寿。

8.集体运动——可以使你增加：11岁

老年舞团、广场舞……中老年人的集体活动项目这些年来逐渐增多，澳大利亚的一项对1400名老年人的研究显示：一个小社团的集体运动，可以有效缓解心理的衰老过程，并可以防止身体过早老化，有一批亲密的运动伙伴可使老年人可以活得比普通人久11岁。经常锻炼还可保持肌肉有力、关节灵活、心功能增强，以及肺活量增大等等。越来越多的退休老人把时间投入到了集体运动，既有和老朋友交流的机会，又让自己身体更强壮。

9.田园生活——可以使你增加：6.4岁

现在很多中老年人退休后，选择回到农村种菜种田，他们享受着山乡的清新空气，过着舒适惬意的田园生活。农家小院相比高楼广厦而言更适合老年人，新鲜的果蔬米油也让他们保持健康的饮食，适当的劳作既锻炼身体，又宁静身心，在这种环保绿色的生态环境下，百岁老人的情况更为健康，古稀之年，但腰不弯、背不驼，身体十分硬朗，劈柴锯木，浇水赶圩的长寿老人非常常见。

10.老来伴——可以使你增加9.5岁

俗话说：“少年夫妻老来伴，夫妻敬爱多长寿。”人老了，不可无伴；老夫老妻在一块，没事可以相互聊聊，相互安慰劝解，有个头痛脑热的也能互相照应，互相体贴，使爱情更加巩固与升华。即使是丧偶老人，也可争取或创造条件重新找个“老来伴”，重组一个家，使爱情得以延续与发展。

11.多动脑——可以使你增加：4.6岁

现代医学研究发现，机体衰老首先是从大脑开始的，但是如果注意脑运动和脑营养适当，可以有效延缓大脑的衰老，延长大脑细胞的寿命。那些中年就不愿意动脑子的人，大脑会加速老化，而经常用脑的人到了六七十岁，思维仍像中年那样灵敏，患上老年痴呆症的几率要小得多。

人们常说：“脑子越用越灵”，健脑的方法主要有：每天坚持学习；坚持看书读报、写作；食补健脑；多动手指；按摩头顶，多做头部按摩等都可促进大脑血液循环，延缓大脑衰老。

12.检查前列腺——可以使你增加：12岁

极限分析方法篇7

随着电力需求持续增加,电力传输随之不断加重,电网建设的相对滞后和电力的市场运营导致系统运行日趋紧张,因电压失稳导致的事故在一些大电网多次发生[1,2,3],电压稳定问题受到电力系统运行和研究人员的重视。求取正常运行和故障后工况下负荷极限是常见的电压稳定分析方法,中长期电压稳定中,负荷的持续增加和缓慢恢复是最重要的因素之一。求取稳定极限来评判电压稳定性是最为直观易用的方法之一[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14],一般的计算手段是连续潮流,在实际系统的电压稳定性分析中,利用时域仿真模拟负荷功率持续增加直至系统失稳的计算方式也较为常用[15,16]。

上述两种方法都存在一定程度的局限。连续潮流法必须进行PV和Vθ假设;平衡机承担所有功率不平衡量;不能详细考虑各元件的限制作用;难以计及中长期时域范畴中控制和元件的时间效应和负荷的动态恢复过程。常规时域仿真法因失稳点往往处于固定步长的跨度之间,采用更小的步长则可能导致计算时间过长、收敛性变差;发电机出力依靠其调差系数来分配,往往不考虑中长期过程的发电再调度措施;电压崩溃点附近,系统方程接近病态[17,18,19,20,21];传统仿真计算还存在速度较慢,耗时长的问题。这些都影响了计算的效率与准确性。

近年,Van Cutsem等学者提出将暂态过程用准稳态(QSS)平衡方程替代的概念,称为准稳态仿真[1,23,24,25],由于其计算速度快,物理概念明确,能贴切反映系统中长期动态特性,在中长期电压稳定分析中得到研究者的广泛关注[16,25,26,27]。本文以QSS仿真为基础,研究给定负荷需求和发电增长方式下的系统极限求取算法。与基于连续潮流和常规仿真的方法相比更贴近实际情况,极限点附近方程的病态问题也可得到处理。

1 准稳态仿真算法的基本原理

QSS仿真的基本思想是用一系列由长期动态过程驱动的短期平衡点来近似系统的长期动态过程[23],是潮流计算和全时域仿真的一种折衷。

电压稳定分析的系统DDAE方程组如下:

其中:式(1)表网络关系,还包含了负荷的静态电压和频率特性,y是由系统代数量组成的向量;式(2)代表系统中暂态范畴的动态过程,状态变量为x;式(3)与式(4)描述了系统的中长期的动态过程,如OLTC、发电机最大励磁限制器(MXL)以及二次电压控制等。zd代表离散变量,zc代表连续变量。

QSS近似基于如下假设:存在短期动态过程的稳定平衡点;短期动态过程在足够短的时间内达平衡点,将动态方程(2)由其平衡方程(5)代替[18]:

QSS仿真具有不存在PV和Vθ假设;能够较准确地计及各种限制作用;能够反映控制作用和元件动作的时域规律;计算速度快、收敛性好等优势,是中长期电压稳定分析的有力工具[23,24,25,26]。

2 含系统时变参数的QSS仿真模型

2.1 参数QSS仿真系统模型

在QSS仿真模型中加入参数项λ,如式(6):

参数λ(t)代表系统中负荷的需求变化,以及与此相关的发电再调度,假设λ(t)是与时间t相关的光滑函数。式(6)即为描述系统在负荷需求缓慢变化时的QSS轨迹方程。考虑了负荷需求持续增加、计及了系统中元件和控制措施在时域的作用效果,以及负荷自身的恢复特性。

对式(6)进行分析,将中长期过程的离散元件和限制器有关的动态方程单独列出,方程表示为:

其中,zl为中长期动态过程连续动作元件的状态量,如自恢复负荷的状态量zp和zq等。式(10)和式(11)描述离散元件和限制器的动态。式(7)~(9)和式(13)确定了系统随λ变化的连续轨迹,本文称之为系统的主导DDAE方程,在不考虑限制作用和离散元件的情况下,上述方程决定系统时域轨迹。式(10)和式(11)起到的是不连续的作用,其状态量的变化仍然是连续的,如MXL的内部状态量,但控制作用不连续,例如将励磁电流限制至额定值。

系统QSS方程在崩溃点附近存在病态问题:一种情况是由于连续变化的动态过程使得系统轨迹趋向分叉点;另一种情况是由于不连续变化导致突然失去运行点,有些文献称为极限诱导分叉[24]。第一种情况下,通过下面提到的算法可较准确地追踪到崩溃点,解决方程病态问题;第二种情况引起的系统崩溃,只需较准确模拟不连续动作时刻,保证时序正确,这可通过仿真步长控制策略达到[27]。

2.2 含参数的元件QSS模型

2.2.1 静态负荷

如负荷采用ZIP模型,则加入功率变化参数λ(t)后,母线i的负荷功率可以用式(14)来描述。

对于指数模型,带参数的负荷功率可表示为:

各参数含义可参见文献[3,23]。

2.2.2 发电机

对于发电机,λ(t)代表发电再调度,反映在原动机模型[18]出力设定值的变化上。如式(16)所示。

式中:Pmi为节点i上的发电机原动机出力;kpgi为该发电机的功率变化系数;γgi为调速器的静调差率。

与连续潮流不同,负荷无功需求的增加由各发电机有功出力的变化、AVR的设定及网络结构等条件自动分配,这与实际系统功率调节是一致的。

2.2.3 带自恢复的动态负荷

自恢复负荷是电压稳定研究的重要内容之一[3,18],在其中引入功率变化参数λ,则得到式(17)。

各参数含义可参见文献[3,23]。功率需求通过λ(t)的影响随时间变化,由于负荷端电压的变化,负荷需求有一个时间常数为Tp或Tq的恢复过程。

3 QSS功率极限计算

3.1 考虑负荷静态特性的QSS功率极限计算

考虑负荷为电压静特性负荷这种简化情况,中长期动态方程不包含负荷动态恢复,主导DDAE方程不含中长期过程的微分方程。离散元件如OLTC和可投切电容器组(ACS),控制作用如MXL等仍然有效。大量文献指出,负荷区OLTC的自动调节及发电机MXL的限制作用是中长期电压失稳的重要因素[3,22]。负荷采用电压静特性模型,由OLTC的自动调节来体现负荷长期动态恢复效应是常用的计算手段,在许多文献中都得到采用[1,17,19]。

连续法是解决崩溃点附近方程病态的一种实用方法,广泛应用在连续潮流的计算中。下面研究如何将其应用在本节讨论的QSS仿真中。如文献[23-25]中所述,基于牛顿法的QSS仿真将系统代数方程和微分方程/差分方程分开求解。首先求解QSS方程的代数平衡方程部分,然后求解由仿真步长约束的与长期动态相关的部分。在这个时间步长里,OLTC将按照与时间相关的逻辑规律进行差分变量zd的更新。本文研究的QSS仿真中采用的连续法计算有三个环节:预估、矫正和步长控制。采用连续法的QSS仿真的基本步骤如图1所示。

1)轨迹预估。QSS平衡方程从前一时步运行点对下一运行点进行估计,QSS平衡方程的切向量由式(18)求解得到。ek为列相量,除第k个元素为1外,其余为0,第k个元素对应选择的连续变量。

切向量T定义为:

T中变化率最大的元素作为新的连续变量,kt+Δt为连续变量在T中的位置,有:

一般来说,在正常计算过程中,k对应于矩阵的最后行列,即λ为连续参数。当系统濒临崩溃点时,k将对应于λ以外的变量,即连续变量为系统状态量。由此得到预估解如式(21)所示:

其中,σ为预估的步长,步长的控制是非常重要的,如果步长过大,可能造成矫正步骤难以实现,过小则降低计算效率,不同的系统通常采用不同的步长[28],可以通过经验根据系统实际状况选取[3],且由于T本身是与切向量变化率相关的,因此计算中系统变量的变化σT具有自动调整大小的能力。

2)轨迹矫正。采用牛顿法进行矫正环节的计算:

进行系统量矫正,得主导DDAE方程平衡点:

上述环节中都用到式(24)的矩阵,而fλ和gλ不同时为0,ek在连续参数的位置上总为1,因此可以通过选择连续变量避免雅可比矩阵的奇异问题。迭代算法采用不完全牛顿法以加速计算。

3)更新时间。得到由QSS平衡方程确定的轨迹点后,应计算中长期动态过程的状态量,指OLTC、ACS等离散元件及MXL等限制器的作用。通过设定的增长模式可得到本时步步长,λ的变化规律在式(6)中已列出,对于预估-矫正环节确定的λt+Δt:

因此可以得到步长:

在研究和计算中最常用到的参数变化情况为λ随时间均匀增长,步长的更新可以简单地表示为:

其中,δλ为参数单位时间的增量。Δt作为预置步长,控制中长期动态过程的计算,同样采用文献[23]的步长调整策略,如果当前时间加上Δt跨过了某元件动作时刻,则将Δt减小至元件的动作时刻。

3.2 考虑自恢复特性的负荷持续增长

如果考虑更为符合实际也更为复杂的情况,在负荷需求和发电出力按设定规律增长的情况下,同时考虑负荷的自恢复特性,这是最接近实际的与长期电压稳定相关的场景。除代数方程含有随时间变化的参数λ(t)外,主导DDAE方程还包含了描述负荷动态恢复过程的微分方程。通过如下算法可以同时考虑负荷需求的变化及其自恢复过程的影响,并能够同时确定仿真步长,追踪系统时域轨迹。

改写系统主导DDAE方程,增加zl的求取过程,得到关于x,y,zl,żl,t的代数方程组如式(28)所示。

其中,l为常微分方程的数值积分算法,如果为隐式梯形法,则l的形式如(29)所示。

在方程(28)中x,y,zl,żl,t各待求量之间不存在特殊性,即主导DDAE方程的求解可以不显示的以t的增加为驱动,称之为主导DDAE方程的同步追踪方程形式。本文下面章节将介绍如何通过预估矫正技术求解该方程,得到系统随λ变化的时域轨迹,避免崩溃点的病态问题。

首先假定在t时刻,点满足式(6)。以此为初始点,根据式(28)求解下一轨迹点的连续方法如下。T

1)轨迹预估。QSS平衡方程从对下一运行点进行估计,同步追踪方程的切向量由式(30)得到。ek为列相量,除第k个元素为1外,其余皆为0,第k个元素对应选择的连续变量。

同样,切向量T由式(31)定义:

选择有最大切向量的变量作为连续变量,设ktn+1为切向量T中最大元素的位置,则有:

由此得到预估解如式(33)所示。

其中:σ是根据精度要求预先设定的控制步长变量;t作为待求量之一同时求解。

2)轨迹矫正。采用牛顿法进行计算,如式(34):

求解完毕后,进行系统量的矫正,得到tn+1时刻系统主导DDAE方程的轨迹点。

主导DDAE方程中所有待求量都得到更新,也包括系统时间t。t更新后即求解DDAE方程中的非主导部分,同样采用文献[24]的步长调整策略,如tn+1跨过了某元件动作时刻,则将其减小至元件的动作时刻。

4 算例

算例1:IEEE10节点系统如图2,节点7和10上的负荷为电压静特性负荷。节点5、6之间的5回并行线路中的一回0 s时跳开,负荷L1和L2的需求持续增加,采用本章提出的算法进行计算,并考虑OLTC1的电压调整作用,它将对L1起到恢复的效果,OLTC2和OLTC3的分接头闭锁。

节点7和10电压幅值的轨迹如图3,节点7的负荷功率与节点电压曲线如图4所示。可以看到,扰动后暂态过程很快平息,达到一个新的暂态平衡点,节点7和10的电压稳定在0.981 p.u.和0.983p.u.,由于负荷电压特性负荷量从3.0 p.u.减少至2.9p.u.。此后系统逐步向临界点逼近的驱动力即为OLTC的动作和由增长方式确定的负荷持续增加。

从图4中可以看到,故障后由于λ持续增长,节点电压开始下降,当下降到分接头设定档位以下时,OLTC1将调整以恢复副边电压。在本算例中,故障并未导致OLTC1动作,原因是故障对系统影响较小,电压下降未超过OLTC1死区。随后系统由于负荷需求增加而趋于紧张,节点7和10电压持续下降,OLTC1不断调整试图恢复节点7的电压,在开始一段时间内,节点7保持在原电压水平附近,几次调整后,OLTC1达到档位极限。大约73 s处,节点电压低于0.80 p.u.,认为不可接受。

本算例中电压失稳的主要原因是负荷需求的增加,同时OLTC的调整作用将系统推向紧张。从图3可以看到,系统在故障后86 s时完全崩溃,这里的崩溃点对应系统中长期过程的奇异诱导分叉(Singularity Introduced Bifurcation)点[1,21]。

算例2:计算条件与算例1相同,L1为具慢恢复过程的动态负荷。时间常数TP=TQ=100 s,负荷的瞬时功率特性为恒阻抗,即αt=βt=2,经恢复过程负荷功率向恒功率过渡,即αs=βs=0。同样在系统一回线路故障后,负荷需求持续增加。

采用本文算法,节点电压随时间变化曲线和功率与电压曲线图5和图6所示。在扰动后暂态过程也很快平息,新的暂态平衡点与算例1接近。此后系统逐步向临界点逼近的驱动力除OLTC的动作和由增长方式确定的负荷持续增加以外,另一个重要的因素是负荷自身的长期恢复。

故障后由于λ持续增长和负荷恢复作用,节点7电压下降。当电压下降到OLTC1设定值以下时,OLTC1调整以恢复副边电压。开始一段时间内,节点7保持在原电压水平附近,几次调整后OLTC1达到档位极限。由于负荷的恢复,大约41 s处,节点电压低于0.80 p.u.,认为不可接受,比算例1提前了约30 s。同时还可知道,系统崩溃点也比算例1提前了43 s,主要是由于负荷向恒功率特性的动态恢复过程,大大加快了系统临界点的到来。

节点PV曲线的讨论:

在算例1和2中,得到了节点7的PV曲线,刻画了系统由于故障、负荷增加及其他长期动态过程所决定的一系列系统运行点。以算例2的PV曲线为例,如图7。系统运行点的轨迹为:AA′,A为故障前系统运行点,A′为故障后系统运行点;A′C,系统OLTC1调节、负荷增加以及负荷恢复的过程,C为系统网络传输特性的鞍结点分叉;D为系统中长期动态的临界点,也是PV曲线与负荷特性的切点。在算例2中,系统故障后无长期动态平衡点,系统轨迹最终在D点终止。

5 结论

本文提出了采用连续法求解带参数QSS仿真的方法,避免了崩溃点附近系统方程病态,在考虑系统动态过程和较为实际的元件模型的基础上,能够较准确地得到确定过渡方式下的系统QSS轨迹。

在求取负荷需求随时间变化的QSS轨迹时,针对静态负荷模型和带慢恢复过程的动态负荷模型两种情况,分别提出了计算算法。

第二种算法在求解系统主导DDAE方程时,增加了维数,也就提高了计算量和牛顿法的计算复杂度,但是可以较准确地考虑负荷恢复的动态过程和负荷需求增加这两个因素的同时作用,更为普适。负荷模型为静态模型,通过OLTC的动态调整来模拟负荷恢复也是分析中常用的手段,在这种情况下,方法一可以提供一个不失一般性的简化方法。

极限的若干计算方法篇8

解:写出exsinx在x=0处的三阶泰勒公式

因此

例2:求

解:

例3:求极限

二、利用定积分求某些和式的极限

例4:求极限

解:把和式变形，提出因子

它是函数在区间[0, 1]上的一个积分和，即

解:因为

所以

类似地

由夹逼准则，知

三、利用递推数列求极限

例7:设数列xn满足

解:先设将方程两边取极限，得即a2=2。因为以下证xn是收敛的。为证xn的单调有界性，我们考察xn与的关系，由已知不等式所以xn单调下降有下界

四、利用函数极限求数列极限

例8:求

五、利用Stoltz公式求极限

例9:

例10:

解:令xn=15+35+…+ (2n-1) 5, yn=25+45+…+ (2n) 5，故{yn}单调上升趋于+∞，

例11:已知x1∈ (0, 1) 且xn+1=xn (1-xn) (n=1, 2, 3，…) ，求

解:由x1∈ (0, 1) 及x2=x1 (1-x1) ，知x2∈ (0, 1) ，xn∈ (0, 1) (n=1, 2, 3，…) ，则所以数列{xn}单调递减且有下界，所以nli→m∞xn存在极限.令nli→m∞xn=a，在xn+1=xn (1-xn) 的两边取n→∞时的极限，得a=a (1-a) ，所以a=0，即nli→m∞xn=0，又因为

六、利用级数收敛的必要条件求极限

例12:

例13:求

解:因为

故正项级数

例15:求极限

摘要：极限是数学分析中的一个基本而重要的概念, 极限的计算方法多种多样。介绍了利用泰勒公式求未定式的极限, 利用定积分求某些和式的极限, 利用递推数列求极限, 利用Stoltz公式求极限, 利用级数收敛的必要条件求极限, 以及利用函数极限求数列极限的几种不同方法, 并通过实例给出了一些计算技巧, 针对不同的题型采用不同的计算方法, 为极限的计算带来了方便。

关键词：极限,函数,数列

参考文献

[1]赵显曾.高等微积分[M].北京:高等教育出版社, 1991.

[2]周述岐.微积分基本原理[M].北京:中国人民大学出版社, 1983.

[3]同济大学数学系.微积分[M].北京:高等教育出版社, 1999.

例谈极限计算的方法篇9

虽然不困难与复杂, 但可用多种方法计算, 很有代表性。

方法二:等价无穷小量替换法。

x→0时sinx~x, tanx~x, 又可计算如下:

此法计算极限时在乘除情况下基本无问题, 但加减时就要慎重。

方法三:利用Hospital法则求极限

方法一:应用数学归纳法并构造辅助函数可以计算该极限。

以上通过实例介绍了计算极限的几种常用方法。可以看出, 求极限方法灵活多样, 而且有些问题不只用到一种方法。因此, 要想熟练掌握各种方法, 必须多做练习, 在练习中体会, 做到具体问题具体分析, 善于总结归纳, 才能一题多解、举一反三, 也才能熟练掌握极限计算的方法。

摘要：极限概念是《高等数学》中最重要最基本的概念, 而极限的运算在学习《高等数学》中占有十分重要的位置。《高等数学》中许多重要的概念如函数的连续性、导数的定义、定积分的概念、无穷级数的敛散性及广义积分等都是用极限来定义的, 因此掌握好极限的计算方法是学习高等数学很重要的一个环节。本文通过具体实例介绍极限计算的几种方法。

关键词：极限,计算,方法

参考文献

求函数极限常用方法探析篇10

后续内容 (连续、导数、积分等) 的学习, 还将影响到一些相关课程的学习。因此, 我们将对求极限常用的一些方法进行结归纳。

一、运用函数连续性求函数的极限

此方法和下面的极限的四则运算法则是我们用的最多但又好像是“在不知不觉中”用到的方法。例如:

二、运用极限的四则运算法则求极限

这也是我们常常在不知不觉中运用的一个法则, 笼统说来就是“和差积商的极限等于极限的和差积商”。要注意的是此方法适用的前提条件:各个极限都分别存在, 且运用除法法则时还需要分母的极限不为零。

三、洛必达法则

四、运用等价无穷小替换定理

我们常用的9个等价无穷小中的x是个模子, 如果把x换成任何能够趋向于零的函数那么仍然成立, 这也是此方法常用的原因。还有重要的一点是, 初学的同学经常分不清楚什么时候可以用等价无穷小替换, 什么时候不能用。通俗地不严格地讲, 如果这个无穷小是求极限函数的一个因子 (求极限的函数可以写成该无穷小乘以另外一个函数, 有时候该无穷小就是求极限函数的分子或分母, 这正是定理中描述的情况) , 那么一般说来我们就可以用它的等价无穷小替换以简化计算。

五、利用两个重要极限求极限

因为第一个重要极限其实和等价无穷小一致, 所以我们着重看第二个重要极限, 它也是个模子, 形象说来就是既然是个模子, 那就一定要符合这个模式的才能趋向于e, 这个公式是用来求1∞型未定式的, 而且它往往要比用洛必达法则要简单一些。

以上的五大方法是我们最常用的求极限的方法, 此外还有很多其他的求极限的方法。

六、其他方法

(1) 利用数列极限与函数极限的关系, 把求数列的极限转化为求函数的极限。

(2) 利用变量代换简化计算。变量代换这一思想方法不但在求极限中, 在其它很多问题 (比如积分问题、微分问题、求解微分方程的问题等等) 中都扮演了很重要的角色, 用好这一技巧, 常常能简化计算, 减少计算量, 有时还会起到意想不到的效果。在例6中我们就应用了这一方法来减少计算量, 而且把“零乘无穷大”型的未定式转化成了能用洛必达法则的基本类型。在例4中我们也曾应用这一方法来减少计算量。

(3) 利用“无穷小量乘以有界变量仍然是无穷小量”来求极限。无穷小量的这一性质容易被我们忽略。我们在上面例1中就应用了这一性质。

(4) 利用夹逼准则求极限。这种方法技巧性较强, 我们常在求数列极限时考虑此类方法, 而且该数列的通项是由很多有规律的项组成的情况。比如我们通常用夹逼准则来求

除此之外, 还有利用单调有界准则、运用极限的定义、泰勒展开式、定积分的定义、中值定理、幂级数的和函数、收敛级数的性质等等许多方法求极限。在学习极限的过程中, 勤思考、多总结, 才可以熟能生巧, 将各种方法融会贯通、灵活运用。

摘要：极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。极限论是数学分析的基础, 极限问题是数学分析中困难问题之一, 微分学和积分学中许多概念都是由极限的定义引入的, 它是学好导数和积分等后续内容的基础。因此, 极限问题在微积分中占有很重要的地位。本文较全面地介绍了求数列与一元函数极限常用的几种方法。

关键词：极限,方法,洛必达,等价无穷小

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]吴赣昌.高等数学 (第四版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2011.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2010.

极限分析方法篇11

一、引言

在函数极限运算中，0/0型未定式型是一类重要的极限运算题型。虽然洛必达法则是解决此类问题的一种重要的数学手段，但是对于一些题型来说这并不是最为有效的方法，应根据问题的具体情况选取不同的方法。如换元法、取倒法、使用洛必达法则以及泰勒公式等。笔者在此对不同类型题型和方法做出相应的归纳和总结，这有助于提高解决该类型问题的能力。

二、0/0型未定式问题常见解题途径

1.0/0未定式题型首选洛必达法则

直接应用洛必达法则求解0/0型未定式问题是一个基本思路。但是在应用该方法时的一个前提条件是函数的求导计算不是太繁琐，同时在使用该方法时注意与其他方法如等价代换、代数式化简以及极限性质的结合，这种解题方式常常使得解题途径简单明了。

[例1]计算极限：■■，a≠0

分析：这是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求极限过程较为繁琐，使用洛必达法则很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先对代数式进行变形转换为■型不定式形式，再使用洛必达法则

[例2]计算极限：■x2（■-arctan2x2）

分析：这是0·∞型不定式。先将其转换为0/0型不定式形式，再使用洛必达法则求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必达法则题型使用洛必达法则能够使题目简化，但是对于有些类型的洛必达法则题型使用洛必达法则后却很复杂，这种情况下应考虑与其他方法如变量替换、极限基本性质、等价无穷小代换等结合使用。

3.换元法在0/0型不定式中的应用

借助于变量代换，同时与其他数学手段比如等价无穷小替换结合将题型转化为洛必达法则适用范围是求解0/0型不定式的常见思路，但是这种处理模式要求对极限基本概念、性质有深入理解。

[例3]计算极限：■（x-π）tan■

这是0·∞型不定式，考虑换元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的应用

借助因式分解求解0/0型不定型问题虽然是初等数学手段，但是在一些问题上比用导数工具求解却更加方便。

[例4]计算极限■■

分析：本题属于0/0型不定式，使用洛必达法则可以求解，但是不是最好的方法。事实上借助因式分解问题很快得以简化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的应用

初学高等数学的学生常常感到泰勒公式的应用比较困难，其实带有佩亚诺型余项的泰勒公式在0/0型极限运算中的应用常常使得问题得以简化。

6.等价无穷小替换在0/0型不定式中的应用

使用等价无穷小替换，将函数转化为两个重要极限题型或者符合洛必达法则的形式，可使题目简化，运算简捷。

[例5]求极限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入题中，配合洛必达法则，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、结束语

上节所列举的几种方法是求解0/0问题中常用的方法。随着大学数学学习过程的逐步深入，我们需要逐步掌握一些过去不熟悉的数学思想方法。对于综合题型往往需要多种方法的结合使用。但是对基本概念、基础知识的熟练掌握才是能够实现一题多解的关键所在。

一、引言

二、0/0型未定式问题常见解题途径

1.0/0未定式题型首选洛必达法则

[例1]计算极限：■■，a≠0

分析：这是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求极限过程较为繁琐，使用洛必达法则很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先对代数式进行变形转换为■型不定式形式，再使用洛必达法则

[例2]计算极限：■x2（■-arctan2x2）

分析：这是0·∞型不定式。先将其转换为0/0型不定式形式，再使用洛必达法则求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

3.换元法在0/0型不定式中的应用

[例3]计算极限：■（x-π）tan■

这是0·∞型不定式，考虑换元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的应用

借助因式分解求解0/0型不定型问题虽然是初等数学手段，但是在一些问题上比用导数工具求解却更加方便。

[例4]计算极限■■

分析：本题属于0/0型不定式，使用洛必达法则可以求解，但是不是最好的方法。事实上借助因式分解问题很快得以简化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的应用

初学高等数学的学生常常感到泰勒公式的应用比较困难，其实带有佩亚诺型余项的泰勒公式在0/0型极限运算中的应用常常使得问题得以简化。

6.等价无穷小替换在0/0型不定式中的应用

使用等价无穷小替换，将函数转化为两个重要极限题型或者符合洛必达法则的形式，可使题目简化，运算简捷。

[例5]求极限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入题中，配合洛必达法则，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、结束语

一、引言

二、0/0型未定式问题常见解题途径

1.0/0未定式题型首选洛必达法则

[例1]计算极限：■■，a≠0

分析：这是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求极限过程较为繁琐，使用洛必达法则很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先对代数式进行变形转换为■型不定式形式，再使用洛必达法则

[例2]计算极限：■x2（■-arctan2x2）

分析：这是0·∞型不定式。先将其转换为0/0型不定式形式，再使用洛必达法则求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

3.换元法在0/0型不定式中的应用

[例3]计算极限：■（x-π）tan■

这是0·∞型不定式，考虑换元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的应用

借助因式分解求解0/0型不定型问题虽然是初等数学手段，但是在一些问题上比用导数工具求解却更加方便。

[例4]计算极限■■

分析：本题属于0/0型不定式，使用洛必达法则可以求解，但是不是最好的方法。事实上借助因式分解问题很快得以简化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的应用

初学高等数学的学生常常感到泰勒公式的应用比较困难，其实带有佩亚诺型余项的泰勒公式在0/0型极限运算中的应用常常使得问题得以简化。

6.等价无穷小替换在0/0型不定式中的应用

使用等价无穷小替换，将函数转化为两个重要极限题型或者符合洛必达法则的形式，可使题目简化，运算简捷。

[例5]求极限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入题中，配合洛必达法则，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、结束语

高等数学中函数极限计算方法篇12

一、利用左、右极限求极限

左、右极限常用来求分段函数在分段点处的极限, 需要注意的是左、右极限也可以用来求含有绝对值表达式的函数的极限。

二、利用极限运算法则求极限

定理已知limf (x) , limg (x) 都存在, 极限值分别为A, B, 则

注意极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 常常要对函数进行恒等变形或化简。常用的方法有分式的约分或通分、分式有理化、三角函数的恒等变形等。

三、利用两个重要极限求极限

不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应注意运用它们的变形形式:

四、利用无穷小求极限

定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。

定理当x→0时, 下列函数都是无穷小且相互等价, 即有:

需要注意当上面每个函数中的自变量x换成g (x) 时 (g (x) →0) , 上面的价关系成立。

解:∵x→0时, 1n (1+3x) ~3x, arctan (x2) ~x2,

注:下面的解法是错误的:

要注意对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用等价无穷小代换。

五、利用连续性求极限

定理一切连续函数在其定义去间内的点处都连续, 即如果x0是函数f (x) 的定义去间内的一点, 则有

注意利用连续函数求极限时, 对于复合函数f (u) 在u=a处连续, 且则

六、利用导数的定义求极限

七、利用洛比达法则求极限

洛比达法则:当自变量x趋近于某一定值 (或无穷大) 时, f (x) 和g (x) 满足:

1) f (x) 和g (x) 的极限都是0或都是无穷大;

2) f (x) 和g (x) 都可导, 且g (x) 的导数不为0;

用该法则求极限时, 应注意条件是否满足, 只要有一条不满足, 洛比达法则就不能应用。特别要注意条件1) 是否满足, 即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件2) 一般都满足, 而条件3) 则在求导完毕后可以知道是否满足。洛比达法则可以连续使用, 但每次使用之前都需要注意条件, 且将极限中非零的乘积因式求极限后提出, 这样可以使计算简化。

正确解法:

解:该极限是“”型, 但用洛比达法则后:, 此极限不存在, 而原来极限却是存在的。正确做法如下:

由此可以看出, 求极限方法灵活多样, 要想熟练掌握各种方法, 必须多做练习, 在练习中体会。这对于掌握极限的运算是非常有帮助的。

参考文献

[1]姚允龙.数学分析[M].上海:复旦大学出版社, 2002.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版, 上册) [M].北京:高等教育出版社, 2005.

[3]田大增.极限计算中应注意的几个问题[J].河北大学成人教育学院学报, 2006.

【极限分析方法】推荐阅读：

配电网极限线损分析12-25

极限方法05-18

二重极限求解方法06-26

极限计算的方法11-23