极限求法

极限求法（共8篇）

极限求法 篇1

极限是高等数学的重点内容之一, 是贯穿高等数学始终的重要工具, 借助于极限进行推理是这门课程的基本手段, 因此掌握好极限的求法是学习高等数学的关键一环。极限的运算题目类型多, 而且技巧性强, 灵活多变, 难教也难学。极限被称为高等数学学习的第一个难关, 为此, 本文对极限的求法做了一些归纳总结, 希望对整个高等数学的教和学有一定的指导意义。

方法一、利用极限定义求解

例:求

解:任给ε>0, 由于

等价于, 而此不等式的左半部分对任何x都成立, 所以只要考察其右半部分x的变化范围。为此, 先限制ε<2, 则有

故对任给的正数, 只需取, 则当x<-M时便有成立, 所以

用定义求解比较繁琐, 不常用此方法。

方法二、利用无穷小量的性质求解

例:求

解:因为, 所以是有界变量;又, 所以当x→0时, 是有界变量与无穷小量的乘积。根0据无穷小量的性质可知, 是无穷小量。所以

注意: (1) 无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如, 当x→∞时, 是无穷小, 2x个这种无穷小之和的极限显然为2。

(2) 无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。

(3) 无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如, 当x→∞时, x2是无穷大量, 是有界量, 显然。

(4) x→*下, f (x) >0, 其极限未必大于0。例如, 显然f (x) >0, 但。

方法三、利用无穷大量与无穷小量的关系求解

例:求

解:因为, 所以我们可以求出

这就是说, 当x→2时, 为无穷小量, 由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量, 所以为x→2时的无穷大量, 即

方法四、利用初等函数的连续性质求解

例:求

解:因为是初等函数, 在定义域内是连续的, 所以在x=1处也连续, 根据连续的定义, 极限值等于函数值, 所以

方法五、利用运算法则求解

方法六、利用约零因子法求解

当分子和分母的极限同时为零时, 可以考虑约去分子、分母的零因子 (若不方便约分, 可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解) 。象例题这种含有根式型 (或差式∞-∞型) 求极限时, 一下看不出零因子, 常常需要分子、分母有理化 (或通分) , 然后再因式分解约去零因子进行求解。

方法七、利用同除法 (或化无穷大为无穷小法) 求解

解:通过观察, 我们发现分子和分母的极限都不存在, 不能直接利用四则运算法则。当然我们不能说此题额极限不存在, 我们可以对函数进行“同除”的变形, 然后再求极限。

分子、分母同除以2得

方法八、利用等价无穷小量代换求解

(注意:在利用等价无穷小做代换时, 一般只在以乘积形式出现时才进行互换, 而以和、差出现时, 不要轻易代换, 否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。

方法九、利用两个重要极限公式及其推导公式求解

1、第一个重要极限:;其变形为:

2、第二个重要极限;其变形为:;其变形为:

例:求

解:先判断类型, 是“”型, 含三角函数 (sin2→0) , 且不能消零因子, 现在我们利用第一个重要极限求解。

方法十、利用洛比达法则求解

洛必达法则是求“”型和“”未定式极限的有效方法, 但是非未定式极限却不能求。

(0·∞, ∞-∞, 00, 1∞, ∞0型未定式可以转化为“”型和“”未定式)

注意: (1) 并不是类似于“”或“”型的极限都能用洛必达法则。利用洛必达法则求解, 一定要先验证是否满足洛必达法则条件。

(2) 将等价无穷小量代换等等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用, 可简化计算。

方法十一、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限

方法十二、利用函数极限的迫敛性求解

方法十三、利用导数的定义求解

方法十四、利用泰勒公式求解

解:本题可以用洛必达法则求解 (较繁琐) , 在这里可应用泰勒公式求解。考虑到极限式的分母为x4, 我们用麦克劳林公式表示极限的分子 (取n=4)

总之, 求函数极限的方法很多, 灵活性强, 技巧性高, 同一个题目可能有很多种解法, 选择适合的方法去解决问题是很有必要的。需要在理解的基础上, 记熟极限方面的各个概念、性质、法则、公式等, 并适当地练一些有代表性的题目, 才能融会贯通, 真正掌握。

参考文献

[1]李德才, 张文军, 骆汝九.高等数学 (第一版) 【M】.北京:中国大地出版社, 2004.13-47, 87

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) 【M】.上海:高等教育出版社, 2001.43-85, 134-138

[3]同济大学应用数学系.高等数学 (第四版) 【M】.上海:高等教育出版社, 2003.35-40

[4]赵树嫄.微积分 (第二版) 【M】.北京:中国人民大学出版社, 1987.54-102

[5]贾定晖, 吉米多维奇数学分析习题解【M】.山东:山东科技出版社, 1980.41-50

[6]马敏, 冯梅.经济应用数学 (第一版) 【M】.苏州:苏州大学出版社, 2007.8-24

极限求法 篇2

和式极限的几种求法

和式极限是分析学的基础和重要工具--极限的一类,也是高等教学教学中的一个难点.如何正确地分析和探求和式极限,提高论证问题解决问题的`能力是教学过程中的关键所在.本文系统阐述了和式极限的几种经典的论证和探求的方法,以典型例题为主体介绍这些求法的具体应用.

作 者：臧雨亭 李艳军  作者单位：安阳工学院 刊 名：科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009 “”(12) 分类号：G64 关键词：和式极限   夹逼准则   定积分   无穷级数  

一类数列极限的求法 篇3

参考文献

一类待定型极限的求法 篇4

在利用洛必达( L'Hospital) 计算极限时,等价无穷小代换是一种非常有效的方法,恰当使用可使问题变得简明、易解. 同时,在求极限过程中,利用极限的四则运算,分离极限为非零的表达式也可以简化计算.

对于某些具有一定特征的数列的极限,可以通过令n =x或其他变换转化为函数的极限,利用洛必达法则求出其极限,通过海涅定理得到相应的数列的极限.

摘要：在高等数学和数学分析教学中,极限计算是最基本的技能之一,而待定型极限是函数极限的重要类型.本文对近几年高等数学竞赛中出现的幂指函数类的待定型极限问题进行了探讨、归纳和总结.

略谈和式极限的求法 篇5

1利用和式的和求极限

2利用两边夹定理求极限

对于不容易求出和的和式, 如果经过适当地放缩后符合两边夹定理的条件, 那么问题也就迎刃而解了.

3利用定积分求极限

4利用级数求极限

5利用欧拉公式求极限

分析此题中的和式是个连续正整数的倒数之和, 是前个连续正整数的倒数之和减去前个连续正整数的倒数之和的差, 可以用欧拉公式来求极限.

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2008.

谈“分式函数极限”的求法 篇6

(极限的除法运算法则) 设极限都存在, 且, 则极限也存在, 且有

例1

分析

通过计算可得:, 故可直接利用 (1.1) 式.

解

例2

求极限, 其中a为常数.

分析

通过计算可得:, 由于分母的极限与a有关, 故求此分式函数的极限需对a分情况讨论.

解

(ⅰ) 当a≠2时, 分母的极限不为零, 由 (1.1) 式得：

(ⅱ) 当a=2时, 分母的极限为零, 不能利用 (1.1) 式, 但可考虑此分式函数的倒函数的极限:

于是, 由无穷小与无穷大的关系, 有:

例3

分析

通过计算可得:在计算此分式函数的极限之前, 我们先介绍一个定理:

定理 (洛必达法则)

设函数f (x) 与g (x) 满足条件:

解

由洛必达法则可得:

通过上面的三个例子, 对于求的极限我们总结如下:

(ⅰ) 若分母的极限不为零, 直接利用极限的除法运算法则求此极限;

(ⅱ) 若分母的极限为零, 但分子的极限不为零, 可通过求倒函数的极限, 再根据无穷小量与无穷大量的关系, 求得此极限为∞;

(ⅲ) 若分子、分母的极限都为零 (或∞) , 可采用洛必达法则.

例4

求下列极限:

分析

本例中三个待求极限的分子、分母极限均不存在, 不能利用极限的除法运算法则.但分子、分母同除以x的最高次幂将其变形, 并利用无穷小与无穷大的关系即可求解.

解

(1) 分子、分母同除以x4, 可得:

(2) 分子、分母同除以x3, 可得:

(3) 我们看此分式的倒数, 分子、分母同除以x4, 可得:

通过总结以上例子, 有如下的结论:

其中ai (i=0, 1, 2, …, n) , bj (j=0, 1, 2, …, m) 为常数且a0≠0, b0≠0, 为非负整数.

“0/0”型函数极限的导数求法 篇7

一、法则

二、范例

现通过下面这两个例子来说明法则的应用。

比较1:常规方法中要用到的公式较多, 有立方和公式、二倍角公式, 计算量也比较大, 学生要得到准确答案需要较强的技巧和运算能力;而用导数方法求解则较为简便。

比较2:常规方法中要用到二项展开式公式, 计算量也比较大, 特别是把xm拆成[ (x-1) +1]m技巧性很强, 学生要得到准确答案实属不易;而用导数方法求解则思路清晰, 运算简便。

点评:通过上面两例说明应用导数求 型函数极限, 不仅避开了繁杂的运算, 高难度的技巧, 而且思路明确, 可操作性强, 还体现了导数在数学中的工具作用。

三、注意

用导数法 (洛比达法则) 求函数极限也不是万能的, 在应用法则时必须注意以下几点:

1.用导数法 (洛比达法则) 求函数极限值只适应于 型的函数极限, 而对其他类型的函数极限不适应;

2. 用导数法 (洛比达法则) 求函数极限, 是对函数的分子函数f (x) 、分母函数g (x) 分别求导。而非对整个函数求导, 即非商的导数;

3. 如果应用一次法则后, 函数极限还是 型函数极限, 则可继续应用法则, 直到转化成“直接代入”型函数极限。

一个数列极限的几种求法及其应用 篇8

关键词：数列极限,单调有界,级数,递推数列

本文给出该命题的四种证法, 之后给出该命题的应用.

一、四种证法

证法2:由证法1知存在且x≥0.若x≠0, 则

证法3:设y>x>0, 记u=y-x.由伯努利不等式

(1+x) α≥1+αx, α≥0, x>-1.

如果γ和δ都是大于1的整数, 则

这个不等式对于大于三个数1中最大者的一切实数γ, δ都成立.

在上式中, 依次取:

x=a, a+d, a+2d, …, a+nd;y=b, b+d, b+2d, …, b+nd, 则可得到一系列不等式:

由题意知, 证明无穷乘积收敛于零即可.因为部分乘积是正的, 且递减, 所以只需证明它的收敛即可, 令pn=1+αn, 则

二、应用实例

证明:易见

所以结论成立.

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[2]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社, 2005.

[3]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析 (上) [M].北京:高等教育出版社, 2002.