两个重要极限教法

两个重要极限教法（精选6篇）

两个重要极限教法 篇1

两个重要极限是《高等数学》第一章函数的极限与连续中的重要内容.它不仅是极限运算的重要工具,也是微分学中推导初等函数导数公式的工具,在整个高等数学课程中有着重要作用.本文既考虑到数学学科的科学性,又针对高职班学生的接受能力和理解程度,力求教学内容涵盖大纲,易学,实用.

一、学情分析

1.学生已经具备了函数的基本知识,掌握了函数极限的概念和极限的四则运算法则;

2. 学生基础参差不齐,思维不够灵活,求极限时思路混乱;

3.排斥过多的理论知识,更喜欢知识的应用.

二、新课引入

大学生是具备独立思考能力和分析问题能力的个体,相比被动的“填鸭式”的教学方法,启发式的教学方法更能吸引学生的学习兴趣.因此,本文将数学建模的思想融入到教学过程中,采用问题驱动法和案例教学法,以银行复利问题引入,激发学生学习兴趣,加强数学与实际生活的联系.

引例1求

思考:当“0/0”未定型不能约去含零因式时怎么求极限?

引例2假设有本金A0元,银行年利率为r,那么第t年末能得到本息和A为多少钱?

解:若每年结息一次,

第一年末的本息和为:A0(1+r)

第二年末的本息和为:A0(1+r)2

…

第t年末的本息和为:A=A(01+r)t

若每年结算m次,那么第t年末的本息和为A=A0(1+r/m)tm.该公式称为离散

若m→∞,那么第t年末的本息和为.该问题属于连续复利问题.

思考:此极限为“(1+0)∞”型,该极限怎么计算?

三、公式的证明

两个重要极限的数学证明较为复杂,结合高职高专学生实情,在教学中应淡化繁琐的推导和证明,以应用为向导,以能力为目标,使学生获得必需、够用的数学知识.淡化证明过程的同时,帮助学生理解两个重要极限.本文运用Matlab软件绘出函数和的函数图形,然后从极限的定义出发,引导学生探索得出两个重要极限的结论.

1.引导学生分析得出:当x→0时,sinx/x→1,由函数极限定义得.

2.从图(2)中可以看出,当x→+∞和x→-∞时,函数的值无限接近2.7182…即无理数e.由极限的定义知图(2)

四、应用举例

在学生掌握了两个重要极限的结论后,关键在于帮助学生学会应用公式来求“0/0”和“(1+0)∞”未定型的极限,这也是本教学内容的难点.本文提出“变量形式不变性”的思想,将重要极限结论进行推广,并引导学生对具体的应用情况进行总结.

1.可推广到———“变量形式不变性”.

这个重要极限公式可适用于求解多种含三角函数的“0/0”型的极限.

这个重要极限公式可适用于求解“1∞”型的极限.1

摘要：该文将数学建模的思想方法融入到两个重要极限的教学过程中,运用Matlab软件辅助公式的证明,强调知识的应用,体现了高职教学“以应用为向导,以能力为目标,理论知识以必需够用为度”的原则.

关键词：两个重要极限,形式不变性,连续复利

两个重要极限教法 篇2

陈乙德

（河南大学 计算机与信息工程学院，开封 475001）

摘要：本文重点讨论了微积分中的两个重要极限，一是它在概念引出中的重要作用，二是两个重要极限的一般形式和应用 关键词：两个重要极限；一般形式；应用

中途分类号：O172文献标志码：A

1x在微积分的众多常用极限中之所以要把limsinxxx→x0=1, lim 1+x =e这两个极限称为重要极限是因为在x→∞

由导数概念到建立初等函数求导公式这一过程以及求函数极限中，这两个重要极限起了必不可少的纽带作用。

1．两个重要极限在微分学中的重要性

微分学的基础概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x的导数f′（x），就是计算极限limf x+△x —f（x）

△xx→x01），如果求函数导数都计算极限（1）的话，显然是非常繁琐的，势必限

制导数的广泛应用，事实上，在求函数导数时，只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。下面来看看正弦函数sinx的求导公式，(sinx)′=limf x+△x —f（x）

△x

2cos⁡(x+)sin

△x

△xsin△x2x→x0=lim△x2x→x0=limcos(x+2)△x→0△x

2=cosx·

1=cosx

其中应用第一个重要极限limsinxxx→x0=1，即：limsin△x→0△x2sinuu→0u2,△x→0时，u→0)。求得(sinx)′△x=cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可利用多个求导法则得到了。其次，对数函数logax的求导公式。由导数定义，（logax）′=limloga（x+△x）—logax

△x

△xx1△x→0=limloga（1+△x→0）

1xx=limloga（1+△x→0

1△xx△xx））x

△x=xlimloga（1+△x→0

=xlogae

作者简介：陈乙德（1991-），男，河南信阳人，在校本科生。E-mail:282143947@qq.com 1

=1

xlna

1x其中应用了第二重要极限lim 1+x=e，即 x→∞

△x→0limloga（1+△xx）=limloga（1+）logae（u=△x→0u

xlnax1ux△x，△x→0时，u→∞）求得了（logax）′=

可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式过程中，特别是涉及三角函数与对数函数的求导中起到了关键性作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。

2.两个重要极限的一般形式

2.1关于极限lim

在limsinxxsinxxx→x0=1 x→x0中，x只是一个符号，并没有具体意义。

sinf（x）

f（x）故将其变形为lim

lim

limsinf（x）x→x0，该式成立的条件是：当x→x0时，f（x）→0。将其推广后便有=1∙limf（x）x→x0g（x）x→x0g（x）x→x0g（x）f（x）=limsinf（x）f（x）x→x0∙f（x）g（x）=limf（x），该式成立的条件是当x→x0时，f（x)→0且

x→x0g（x）可求。

sinxx需要注意的是：应用limx→x0模型解题时符号x必须统一，包括系数、正负符号等。

00解题方法：凑出以下三点，①的未定式。②分母为关于x的幂指数。③sin函数内的式子要与分母的式子一致。

2.2关于极限lim 1+x=e x→∞1x

同样在lim 1+=e中，x也只是一个符号，没有具体意义。令y=x→∞时，y→0，那么xxx→∞

y→01x1lim 1+y =e。

故将其变形为lim 1+g（x）x→x01g（x）1=e，该式成立的条件是：x→x0时，g（x）→0。将其推广后便有

g（x）

x→x0lim 1+g（x）

g（x）

x→x0f（x）1f（x）=lim 1+g（x）x→x0g（x）1g（x）f（x）=limex→x0f（x）=ex→x0f（x）limg（x），该式成立的条件是当x→x0时，g（x）→0且lim可求。

需要注意的是：g（x）形式上一定要统一，括号内必须是“+”号，如果是“−”号，需要变形后放到分母上去。

一般解题方法：凑出以下三点，①注意x的趋向，始终保证极限式的形式。②构造“1+” ③括号内除去“1+”之外部分与指数上的式子要一致，互为倒数。

特殊解题方法：如果lim f（x）=0, lim g（x）=∞,且lim f（x）g（x）=A；则 x→x0x→x0x→x0

lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

g（x）证明：令lim1+f（x）x→x0=B.利用初等函数的连续性及对数性质有：

f（x）g（x）B=lim1+f（x）x→x0g（x）

=lim1+f（x）x→x01f（x）

两边取对数有，lnB=lim f（x）g（x）ln 1+f（x）x→x01f（x）

=Alne

=A

所以B=eA

即lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

特例见例5

3.两个重要极限在计算极限中的应用

经分析可得，limx→0sinxx=1为（0limx→∞ 1+x =e为（1∞）型未定式。在解题过程中也01x

可以用罗比达法则或等价无穷小求解。这里我们主要介绍如何在求解极限中应用这两个重要极限。例1：求limxsinx x→+∞

2x2解：令t=，可知t→0，limxsinx=limx→+∞2sinx2xx→+∞

sintt∙2 =limt→0∙2

=2

例2：求limx→0sinsinsinxx

解：设sinsinx=a，sinx=b，知a→0，b→0

limx→0sinsinsinxxlim（x→0sinsinsinxsinsinx∙

∙sinsinxsinxsinxx∙sinxx）=lim（x→0sinaa∙sinbb）

=1∙1∙1

=1

例3：求lim（1−x）x→∞

x2−x解：设-2=t，知t→∞，lim（1−）=lim1−xxx→∞x→∞2−x2−22

=lim1+tt→∞21t

=e2

例4：求lim3x−1x→+∞3x+22x−1

解：令3x−13=t，知t→+∞，3x+22x−1lim3x−1x→+∞=lim 1+ 3x−1x→+∞

lim3（2x−1）x→+∞3x−133x−13 2x−1= e

2−x=e2 例5：求lim 1−xx→∞

解：法一［普通法］

原式=lim1−x =lim1−x =e2 2x→∞−02−x22−x2

法二［特殊法］

因为lim（−x）（-x）=2，所以lim 1−xx→∞x→∞22−x=e2

两个重要极限的拓广 篇3

极限是高等数学的重要内容之一, 是贯穿高等数学始终的重要工具, 在数学和物理学中有重要的应用.在高等数学教学中, 求函数极限的常见的方法之一就是利用两个重要极限, 因此把两个重要极限进行拓广以求更方便的求函数极限也有十分重要的意义.

一、对$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$的拓广

命题$1\underset{f(x)\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}f(x)}{f(x)}=1.$

例1 求$\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin {}^{2}x-\sin {}^{2}a}{x-a}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin {}^{2}a-\sin {}^{2}a}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{(\text{s}\text{i}\text{n}x+\text{s}\text{i}\text{n}a)(\text{s}\text{i}\text{n}x-\text{s}\text{i}\text{n}a)}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{4\sin \frac{x+a}{2}\cos \frac{x-a}{2}\cos \frac{x+a}{2}\sin \frac{x-a}{2}}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{(\text{s}\text{i}\text{n}x+a)\sin (x-a)}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin (x-a)}{x-a}\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\sin (x+a)\\ =\sin 2a.\end{array}$

命题$2\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}Ax}{Bx}=\frac{A}{B}.$

例2 求证:$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{6x}=\frac{5}{6}.$

二、对极限$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e$的拓广

命题1 如果$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)=0‚\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}g(x)=\infty$且

$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)=A$, 则$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=e{}^A.$

证明 令$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=B$, 利用初等函数的连续性及对数的性质有

$B=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}\cdot f(x)g(x)}.$

两边取对数有

$\begin{array}{l}\ln B=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)\ln [1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}\\ =\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)\ln \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}\\ =A\ln e\\ =e{}^A.\end{array}$

例3 求$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1-\frac{2}{x}\right){}^{-x}.$

解$\because \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(-\frac{2}{x}\right)=0‚\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}(-x)=\infty$且

$\begin{array}{l}\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}(-x)\left(-\frac{2}{x}\right)=2‚\\ \therefore \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1-\frac{2}{x}\right){}^{-x}=e{}^2.\end{array}$

例4 求极限$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(\frac{1+x}{1-x}\right){}^{\frac{1}{x}}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\text{法}1\text{原}\text{式}=\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{2x}{1-x}\right){}^{\frac{1}{x}}\\ =\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left[\left(1+\frac{2x}{1-x}\right){}^{\frac{1-x}{2x}}\right]{}^{\frac{2}{1-x}}\\ =\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}e{}^{\frac{2}{1-x}}\\ =e{}^2.\end{array}$

命题$2\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{B}{Ax}\right){}^{Cx}=e{}^{\frac{BC}{A}}.$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}\because \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e‚\\ \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{B}{Ax}\right){}^{Cx}=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{A}{B}x}\right){}^{\frac{A}{B}x}\right]{}^{\frac{BC}{A}}=e{}^{\frac{BC}{A}}.\end{array}$

例5 求$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{3}{2x}\right){}^{4x}$的值.

解$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{3}{2x}\right){}^{4x}=e{}^{\frac{3}{2}\cdot 4}=e{}^6.$

由此可见, 从两个公式入手, 认清两个重要极限的前提和实质, 从公式形式进行拓广, 既开拓了思路, 也简化了解题过程, 应用起来更直接、更灵活.

两个重要极限教法 篇4

一第一个重要极限

其推广式为

1. 应用第一个重要极限求极限时需要注意的问题

需要注意: (1) α (x) 是连续的函数; (2) 分子分母的比值是“0/0”型; (3) 正弦后面的表达式和分母的表达式是相同的。

2.举例说明

例1:求 的值。

例2:求 的值。

例3:求lxim→06xsin5x的值。

二第二个重要极限

其推广式为

1.应用第二个重要极限求极限时需要注意的问题

需要注意: (1) 此极限是“1∞”型; (2) 极限符号下方是一个式子或是一个函数的变化趋势, 而不仅是自变量的变化。

2. 举例说明

例1:求 的值。

例2:求 的值。

例3: 的值。

参考文献

[1]翟步祥.高等数学基础[M].北京:北京交通大学出版社, 2012

两个重要极限教法 篇5

从上述分析和过程可知, 若能实现分母中u与分子中sinu中u的统一, 则可直接用第一个重要极限的结论得:

u可以是有关于x的整体, 即:

由上述例题可知, 当分子、分母极限为0, 且分子是与sinx有联系的三角函数时, 应考虑把分子尽量化为正弦函数, 凑分母, 从而实现分子分母中有关于x整体的统一, 同时保证整体趋近0, 再利用第一个重要极限的结论求极限。

第二个重要极限的另外一种表达形式是:

分析可知:两种形式的共同特点是:底数中的第二项与指数互为倒数, 且指数均趋近无穷大, 与第一个重要极限分析思路相似, 根据第二个重要极限的特点, 可知:

从上述例题可知, 在求极限过程中, 当函数底数与指数上都有变量且形式与第二个重要极限形式形似时, 考虑把底数化为1加某部分的形式, 再凑指数, 把指数凑成与底数中的第二项互为倒数的形式, 并保证指数趋近无穷大, 其他多余的指数部分由幂函数的运算性质分开计算, 最后利用第二个重要极限的结论求极限。

3结语

运用两个重要极限的结论求与之相似函数的极限时, 应仔细分析条件是否满足, 掌握不满足然后凑的具体思路和技巧, 同时应多练习, 才能做到“熟能生巧”。

摘要：本文从两个重要极限的结论和特点出发, 总结了应用它们的结论求其他函数极限的技巧, 并举例进行了说明。

关键词：重要极限,结论,应用

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社, 2007:23-31.

两个重要极限教法 篇6

在高等数学中, 两个重要极限是极限理论的一个重要组成部分, 学生在学习有关知识时常常觉得公式记得很容易, 但应用起来常常是无从下手.其原因主要是教材中对两个重要极限的内容采取的是由特殊到特殊的论述方法, 而没有介绍出公式应用的一般规律, 学生看到的都是个别类型习题, 而不清楚公式应用的一般规律是什么, 教师的教与学生的学都感觉非常困难.

辩证唯物主义认为, 人们对客观事物的认识都是要经历从特殊到一般, 再从一般到特殊的过程, 下面我谈一谈在教学过程中, 两个重要极限公式应用的一点体会.

一、关于$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$的应用

教师在给出$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$公式中的同时, 先让学生观察几道相关的习题.

$1.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 2x}{2x}$;$2.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{\text{π}-x}$;$3.\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}.$

然后引导学生如何用公式求函数的极限.

$1.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 2x}{2x}\underset{}{\overset{\text{设}t=2x}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}t}{t}=1$;

$2.\underset{x\to \text{π}}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{\text{π}-x}=\underset{x\to \text{π}}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin (\text{π}-x)}{\text{π}-x}\underset{}{\overset{\text{设}t=\text{π}-x}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}t}{t}=1$;

$3.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\underset{}{\overset{t=\frac{1}{x}}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}t}{t}=1.$

然后让学生观察, 能用$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$计算函数的极限.

教师提出问题:

(1) x的变化趋势是否仅局限于x→0

(2) 函数形式有什么共同点?

(3) 正弦符号后面的函数, 当x→α时, 极限是多少?

引导学生得出结论是:

(1) x的变化是任意的, 我们记为x→α的形式;

(2) 利用诱导公式sin (π-x) =sinx, 结论同上;

(3) 令$f(x)=\frac{1}{x}$, 当x→∞时, f (x) →0, 则有$\underset{f(x)\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}f(x)}{f(x)}=1$的形式.

对上述结论进行分析可以得到一个一般公式$\underset{f(x)\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}f(x)}{f(x)}=1$, 这就是有几个特殊的例题得到的一般公式, 使学生对$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$有一个更深刻的理解.再计算有关函数的极限, 就会运用自如了.

再提出几个相关的问题:

$\begin{array}{l}1.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{\sin 3x}=\frac{5}{3}\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{3x}{\sin 3x}\\ =\frac{5}{3}\left(\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{5x}\right)\frac{1}{\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 3x}{3x}}=\frac{5}{3}；\end{array}$

$2.\underset{x\to 4}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin (x-4)}{(x-4)}\underset{}{\overset{\text{设}u=x-4}{=}}\underset{u\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}u}{u}=1$;

$3.\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}x\sin \frac{2}{x}\underset{}{\overset{\text{设}u=\frac{2}{x}}{=}}2\underset{u\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}u}{u}=2$;

$4.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{1-\text{c}\text{o}\text{s}x}{x{}^2}=\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{2\sin {}^2\frac{x}{2}}{x{}^2}=\frac{1}{2}\underset{\frac{x}{2}\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right){}^2=\frac{1}{2}.$

二、关于$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e$或$\underset{\alpha \to 0}{{\displaystyle \lim }}(1+\alpha ){}^{\frac{1}{\alpha }}=e$的应用

先讲解公式$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e$, 然后, 令$\alpha =\frac{1}{x}$, 则x→∞和α→0是等价的, 很自然地推出$\underset{\alpha \to 0}{{\displaystyle \lim }}(1+\alpha ){}^{\frac{1}{\alpha }}=e$.再向学生举几个特例:

$\begin{array}{l}\lim 【math60z】\left(1+\frac{2}{x}\right){}^{\frac{x}{2}}\underset{}{\overset{\text{设}t=\frac{x}{2}}{=}}\underset{t\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{t}\right){}^t=e\text{或}\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{2}{x}\right){}^{\frac{x}{2}}\underset{}{\overset{\text{设}t=\frac{2}{x}}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(1+t\right){}^{\frac{1}{t}}=e‚\\ \underset{x\to -3}{{\displaystyle \lim }}[1+(x+3)]{}^{\frac{1}{x+3}}\underset{}{\overset{\text{设}t=x+3}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(1+t\right){}^{\frac{1}{t}}=e.\end{array}$

然后, 让学生考虑, 利用第二个重要极限计算函数极限时, 要注意的几个条件:

(1) x的变化趋势是x→∞或x→0

(2) 函数的特点是什么?

(3) 在函数底数中, 1后面的函数极限是多少?

引导学生得到结论:

(1) 函数具有$[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}$的形式, 其中f (x) 是x函数;

(2) 在极限$\lim [1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}$中, 只要在自变量x的某一变化过程中f (x) 是无穷小, 就有$\lim [1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}=e$, 即$\underset{x\to \alpha }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}\underset{x\to \alpha }{{\displaystyle \lim }}f(x)=0}=e.$

摘要：两个重要极限是极限理论的一个重要组成部分, 在教学中如何运用正确的方法引导学生理解和运用, 是本文的关键.