两个重要极限

两个重要极限（精选8篇）

两个重要极限 篇1

极限是高等数学的重要内容之一, 是贯穿高等数学始终的重要工具, 在数学和物理学中有重要的应用.在高等数学教学中, 求函数极限的常见的方法之一就是利用两个重要极限, 因此把两个重要极限进行拓广以求更方便的求函数极限也有十分重要的意义.

一、对$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$的拓广

命题$1\underset{f(x)\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}f(x)}{f(x)}=1.$

例1 求$\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin {}^{2}x-\sin {}^{2}a}{x-a}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin {}^{2}a-\sin {}^{2}a}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{(\text{s}\text{i}\text{n}x+\text{s}\text{i}\text{n}a)(\text{s}\text{i}\text{n}x-\text{s}\text{i}\text{n}a)}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{4\sin \frac{x+a}{2}\cos \frac{x-a}{2}\cos \frac{x+a}{2}\sin \frac{x-a}{2}}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{(\text{s}\text{i}\text{n}x+a)\sin (x-a)}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin (x-a)}{x-a}\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\sin (x+a)\\ =\sin 2a.\end{array}$

命题$2\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}Ax}{Bx}=\frac{A}{B}.$

例2 求证:$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{6x}=\frac{5}{6}.$

二、对极限$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e$的拓广

命题1 如果$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)=0‚\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}g(x)=\infty$且

$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)=A$, 则$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=e{}^A.$

证明 令$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=B$, 利用初等函数的连续性及对数的性质有

$B=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}\cdot f(x)g(x)}.$

两边取对数有

$\begin{array}{l}\ln B=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)\ln [1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}\\ =\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)\ln \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}\\ =A\ln e\\ =e{}^A.\end{array}$

例3 求$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1-\frac{2}{x}\right){}^{-x}.$

解$\because \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(-\frac{2}{x}\right)=0‚\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}(-x)=\infty$且

$\begin{array}{l}\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}(-x)\left(-\frac{2}{x}\right)=2‚\\ \therefore \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1-\frac{2}{x}\right){}^{-x}=e{}^2.\end{array}$

例4 求极限$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(\frac{1+x}{1-x}\right){}^{\frac{1}{x}}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\text{法}1\text{原}\text{式}=\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{2x}{1-x}\right){}^{\frac{1}{x}}\\ =\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left[\left(1+\frac{2x}{1-x}\right){}^{\frac{1-x}{2x}}\right]{}^{\frac{2}{1-x}}\\ =\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}e{}^{\frac{2}{1-x}}\\ =e{}^2.\end{array}$

命题$2\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{B}{Ax}\right){}^{Cx}=e{}^{\frac{BC}{A}}.$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}\because \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e‚\\ \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{B}{Ax}\right){}^{Cx}=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{A}{B}x}\right){}^{\frac{A}{B}x}\right]{}^{\frac{BC}{A}}=e{}^{\frac{BC}{A}}.\end{array}$

例5 求$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{3}{2x}\right){}^{4x}$的值.

解$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{3}{2x}\right){}^{4x}=e{}^{\frac{3}{2}\cdot 4}=e{}^6.$

由此可见, 从两个公式入手, 认清两个重要极限的前提和实质, 从公式形式进行拓广, 既开拓了思路, 也简化了解题过程, 应用起来更直接、更灵活.

两个重要极限 篇2

陈乙德

（河南大学 计算机与信息工程学院，开封 475001）

摘要：本文重点讨论了微积分中的两个重要极限，一是它在概念引出中的重要作用，二是两个重要极限的一般形式和应用 关键词：两个重要极限；一般形式；应用

中途分类号：O172文献标志码：A

1x在微积分的众多常用极限中之所以要把limsinxxx→x0=1, lim 1+x =e这两个极限称为重要极限是因为在x→∞

由导数概念到建立初等函数求导公式这一过程以及求函数极限中，这两个重要极限起了必不可少的纽带作用。

1．两个重要极限在微分学中的重要性

微分学的基础概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x的导数f′（x），就是计算极限limf x+△x —f（x）

△xx→x01），如果求函数导数都计算极限（1）的话，显然是非常繁琐的，势必限

制导数的广泛应用，事实上，在求函数导数时，只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。下面来看看正弦函数sinx的求导公式，(sinx)′=limf x+△x —f（x）

△x

2cos⁡(x+)sin

△x

△xsin△x2x→x0=lim△x2x→x0=limcos(x+2)△x→0△x

2=cosx·

1=cosx

其中应用第一个重要极限limsinxxx→x0=1，即：limsin△x→0△x2sinuu→0u2,△x→0时，u→0)。求得(sinx)′△x=cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可利用多个求导法则得到了。其次，对数函数logax的求导公式。由导数定义，（logax）′=limloga（x+△x）—logax

△x

△xx1△x→0=limloga（1+△x→0）

1xx=limloga（1+△x→0

1△xx△xx））x

△x=xlimloga（1+△x→0

=xlogae

作者简介：陈乙德（1991-），男，河南信阳人，在校本科生。E-mail:282143947@qq.com 1

=1

xlna

1x其中应用了第二重要极限lim 1+x=e，即 x→∞

△x→0limloga（1+△xx）=limloga（1+）logae（u=△x→0u

xlnax1ux△x，△x→0时，u→∞）求得了（logax）′=

可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式过程中，特别是涉及三角函数与对数函数的求导中起到了关键性作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。

2.两个重要极限的一般形式

2.1关于极限lim

在limsinxxsinxxx→x0=1 x→x0中，x只是一个符号，并没有具体意义。

sinf（x）

f（x）故将其变形为lim

lim

limsinf（x）x→x0，该式成立的条件是：当x→x0时，f（x）→0。将其推广后便有=1∙limf（x）x→x0g（x）x→x0g（x）x→x0g（x）f（x）=limsinf（x）f（x）x→x0∙f（x）g（x）=limf（x），该式成立的条件是当x→x0时，f（x)→0且

x→x0g（x）可求。

sinxx需要注意的是：应用limx→x0模型解题时符号x必须统一，包括系数、正负符号等。

00解题方法：凑出以下三点，①的未定式。②分母为关于x的幂指数。③sin函数内的式子要与分母的式子一致。

2.2关于极限lim 1+x=e x→∞1x

同样在lim 1+=e中，x也只是一个符号，没有具体意义。令y=x→∞时，y→0，那么xxx→∞

y→01x1lim 1+y =e。

故将其变形为lim 1+g（x）x→x01g（x）1=e，该式成立的条件是：x→x0时，g（x）→0。将其推广后便有

g（x）

x→x0lim 1+g（x）

g（x）

x→x0f（x）1f（x）=lim 1+g（x）x→x0g（x）1g（x）f（x）=limex→x0f（x）=ex→x0f（x）limg（x），该式成立的条件是当x→x0时，g（x）→0且lim可求。

需要注意的是：g（x）形式上一定要统一，括号内必须是“+”号，如果是“−”号，需要变形后放到分母上去。

一般解题方法：凑出以下三点，①注意x的趋向，始终保证极限式的形式。②构造“1+” ③括号内除去“1+”之外部分与指数上的式子要一致，互为倒数。

特殊解题方法：如果lim f（x）=0, lim g（x）=∞,且lim f（x）g（x）=A；则 x→x0x→x0x→x0

lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

g（x）证明：令lim1+f（x）x→x0=B.利用初等函数的连续性及对数性质有：

f（x）g（x）B=lim1+f（x）x→x0g（x）

=lim1+f（x）x→x01f（x）

两边取对数有，lnB=lim f（x）g（x）ln 1+f（x）x→x01f（x）

=Alne

=A

所以B=eA

即lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

特例见例5

3.两个重要极限在计算极限中的应用

经分析可得，limx→0sinxx=1为（0limx→∞ 1+x =e为（1∞）型未定式。在解题过程中也01x

可以用罗比达法则或等价无穷小求解。这里我们主要介绍如何在求解极限中应用这两个重要极限。例1：求limxsinx x→+∞

2x2解：令t=，可知t→0，limxsinx=limx→+∞2sinx2xx→+∞

sintt∙2 =limt→0∙2

=2

例2：求limx→0sinsinsinxx

解：设sinsinx=a，sinx=b，知a→0，b→0

limx→0sinsinsinxxlim（x→0sinsinsinxsinsinx∙

∙sinsinxsinxsinxx∙sinxx）=lim（x→0sinaa∙sinbb）

=1∙1∙1

=1

例3：求lim（1−x）x→∞

x2−x解：设-2=t，知t→∞，lim（1−）=lim1−xxx→∞x→∞2−x2−22

=lim1+tt→∞21t

=e2

例4：求lim3x−1x→+∞3x+22x−1

解：令3x−13=t，知t→+∞，3x+22x−1lim3x−1x→+∞=lim 1+ 3x−1x→+∞

lim3（2x−1）x→+∞3x−133x−13 2x−1= e

2−x=e2 例5：求lim 1−xx→∞

解：法一［普通法］

原式=lim1−x =lim1−x =e2 2x→∞−02−x22−x2

法二［特殊法］

因为lim（−x）（-x）=2，所以lim 1−xx→∞x→∞22−x=e2

两个幽灵，一段极限运动情史 篇3

老妖当然不是妖，就像小鬼也不是鬼，这类名字不过是如同X、Y一样的符号，每一个参加户外极限运动的人，在圈子里都会有一个ID，在一起的时候互相叫起来很有一家人的感觉。据老妖本人说，这个名字是因长相得名——太惊悚了。每每这个时候，小鬼就会踮起脚猛敲他的头一记，严正警告：“不许侮辱我的眼光!”然后冲旁人甜蜜一笑，“我觉得他还挺耐看的。”

俩人第一次见面是在一座野山的山腰上。

当时的小鬼也就是一个20岁出头、稚气未干的黄毛小丫头，却已是不一般的强悍了。没告诉父母友人，她一个人爬到北京郊外的山顶上迎接21世纪的第一场日出。广袤的天地，没有阻隔的视野，当一轮红日喷薄而出，世界瞬间被染红时，那种宿命般的感动让她差点失声痛哭。她当下没敢在山顶再呆下去，顺着盘山车道往下走，边走她边抹眼泪，一路跌跌撞撞，放纵自己抽噎的声音在空旷的山间游荡。

突然，她看到一个男人骑着拉风的山地车玩命蹬上坡，大冬天的汗珠还像下雨似的顺着脸往下淌。小鬼顿时忘记了哭，贪婪地盯着他的车，她的眼珠里放出兴奋的光芒，要是新世纪第一天的礼物是这玩意儿就太棒了。

没想到这家伙还真朝自己冲过来了，一收车闸，立定在面前。这个带着棒球帽、脑袋圆圆、眼睛炯炯，还有俩招风大耳的骑士，乍一看居然还有点像姜文。小鬼乐了，不会是真碰到电影明星了吧?

“姜文”上下打量了她一阵——哭红的眼睛和鼻子，被风吹得乱糟糟的头发，咬牙切齿地问：“你一个小姑娘在这里干什么?”

这就是小鬼和她的老妖闻者开心、见者笑掉大牙的相逢。也许就是这句话吧，让她的心里从此住进了一个很傻但是很善良、很勇敢、很正气的男人。没过多久，他们第二次偶遇在了广播电台的门口，做体育记者的小鬼没想到老妖就是她当天的采访对象。感谢老天的善意安排!当时，小鬼就下了一个决心，一定要把他拐到手。呵呵，这么傻的男生，应该比较好哄骗吧?小鬼站在电台门口，边憧憬着边与老妖相对傻笑。

像古时皇帝的龙虎符一般，两人是世上绝无仅有的一对，在一起之后马上就如胶似漆了。

他们有着相同的狂热爱好——极限运动，想当年，小鬼是想试试自己的胆量才一个人奔到山上看日出，老妖也是想练练他那花了2300块人民币自己组装的拉风山地车，才会出现在清晨的山上，没得说，极限运动成了这一对小冤家的媒人，不然，小鬼哪能如愿在二十一世纪拥有这么好一份礼物。

“做设计的人里骑行我最棒，骑行的人里设计我最棒”

老妖算是极限运动圈子里的老手了。最初，他的最爱是骑行，提起第一次骑行经历，他神采飞扬。“那时候叫什么极限啊，我上大学的时候就玩了，其实就是一小菜鸟，什么都想试试。”

1997年的某一个清晨，彼时的老妖还是个上大二的青涩小子，守着兜里仅有的500元钱在学校门口的自行车店里挑了一款台湾版斜梁的车子，“自己动手，丰衣足食”，他把车上能拆的全部卸光，后来陆续换了车座和车把，加装了黑色上翘的挡泥板，总共花了不到700。就这样，老妖踏着他的组装车开始了极限处女航——独自骑行去八达岭。

“那会儿我们学校在建国门，骑到八达岭还是蛮远的，我骑到昌平县城雕像广场就不行了，汗不停地掉，腿不停地抖，望了望头顶的太阳，我脑子里一阵晕眩!”老妖承认，菜鸟的处女航失败了，受不了了，就跑到昌平县城找了个便宜馆子吃了顿好的，又寻摸到一个地下室旅馆一直睡到第二天早上。

而今，他那辆自己组装的宝贝车，因为购置了汽车早已落满灰尘，一直舍不得扔，跟那些逝去的年华一样躺在记忆里，“毕业后也一直骑了几年，后来工作了，买车了也就不骑了，现在满是灰，回去得拉出来擦一擦”，老妖说。

对于早已经朝九晚五奔波在办公楼之间的老妖来说，骑行的时间都是挤出来的。他是一个平面设计师，无数个夜晚的绘图换出来了骑行的机会，在大山的怀抱中，他总是豪情万丈，意气风发。“做设计的人里骑行我最棒，骑行的人里设计我最棒”，老妖虽已很少骑行，却不忘再“秀”一次。

只要不窝在一个房子里，小鬼就很快乐

小鬼个头儿不高，白白净净，典型的江南女生。她一眨眼就可能冒出个新主意，那神情让人想起金庸老爷子笔下人见人爱的黄蓉。跟着她走，你一路都能听到欢快的脚步声。

她是一个“步行狂”。不喜欢家，不喜欢房子，只有在徒步旅行时，她才有一种生活的快感。

小鬼总是背着黑色的双肩包包走路，它像一个万能的百宝箱。有时窗外淅沥下着小雨，她便从包里掏出牛皮的日记本念道：“2004年X月X日，去年的今天也是下着雨呢。”她觉得自己的每一段旅程都值得被记录下来，因为目前为止的生命中遇到了太多的人和事，多得必须有东西来替她承载。，

她用了一年的时间，走遍了中国，燕赵故地、大兴安岭、内蒙草原、西北戈壁、大漠沙原、雪域圣地、南海渔村；借宿了200多户人家，多次穿越了无人区。这徐霞客式的漫漫长路，对她却是再平常不过的云淡风清，而湘西小城的萝卜片、平遥古城的红漆手镯，也是一生都难以忘怀的浓墨重彩。

这样的旅行总是让小鬼受很多伤，这样的娇妻总是让老妖很心疼。但她就是这样的一个女孩，伶俐的眼神欢快的脚步，狂热地喜欢着户外的一切，只要不在家，不窝在一个房子里面，她就很快乐。“你只要推开窗户那就是户外。”说这话的时候，小鬼的眼神是老妖从来没有看到过的认真。

在陕西的时候，小鬼看见路边的养蜂人跟着蜜蜂走，蜜蜂跟着花儿走，哪儿有花，哪儿就有蜜蜂也就会有养蜂人。一样极近漂泊的生活，小鬼产生了惺惺相惜的同情，她决定与养蜂人结伴而行，俩人一起伺候蜜蜂，一起采花采蜜，一起在夏天的夜晚点起篝火看银河，虽然离开的时间总是很快来临，虽然下一段旅程还未开始就注定要离别。

登黄山，鬼帮妖搞定了“恐高症”

非典肆虐的日子里，老妖和小鬼爱情终成正果，结婚了。婚后毕竟有个家，俩人单独外出的机会都少了，但丝毫不妨碍这一对爱挑战极限的人找新乐子。这不，没几天，俩人又爱上了攀岩。

普通的假日里，两人同去相熟的岩馆，那里的记录总是被老妖常刷常新。小鬼在下面看着老公上窜下跳的活跃身姿，特别骄傲。其实，老妖这堂堂七尺男儿，最初哪敢攀岩，连上个高楼都不敢往下看都恐高，全靠她有计划有步骤地引导，才练就了今天这份上天人地的能耐。

一年冬天，老妖被说服跟她一起上路，选择在除夕之夜登黄山。老妖背着所有的负重，穿着厚厚的冬衣开始了艰难的跋涉。“你不知道那个叫重啊，衣服穿得又厚，压得我重死了。”老妖手舞足蹈地形容他当年的惨象时，小鬼撇撇嘴：“我其实出去玩根本不喜欢别人帮我背东西。”继而转头一脸幸福地说：“你如果喜欢一个男孩子，一定要跟他一

起出去旅游，只有在路上，你才会真正了解这个男孩子。”

老妖的恐高症在黄山上展现得淋漓尽致，小鬼后来才知道，那居然是老妖长这么大第一次登高山。朋友们都说，你以前怎么玩骑行的呀，还骑上了八达岭呢。“那里又不像黄山那么高那么险，而且去黄山是冬天，路上满是结的冰，一看到那情境，我心都寒了。”老妖每次都不服气地大声辩解。

最美好的回忆是一段特别陡峭的路，老妖记不得地名儿了，两边都是悬崖，几乎所有的登山人都一直用双手在爬。事后老妖老实地承认当时吓得直哆嗦，小鬼偏偏不肯放过他，跑到前面的高处拿块巧克力引诱，笑靥如花。

寒风中老妖抬头看见小鬼的脸，缩在大衣和围巾的双重包裹里，冻得红苹果似的。身边的人不停地爬着走过，善意地提醒她不要停下来，不保持运动状态的话会冻坏的。小鬼笑着谢过，仍然站在那里不动，只是努力灿烂地笑着，冲他扬着巧克力的手臂动作有点僵硬。

他的眼睛有一点湿，喊着：“你先走吧，我在后面跟着，一定。”

她用力摇头，双手拢在嘴边，弯腰大声告诉他“我们要一直一直在一起，不分开。”

老妖的眼圈终于红了，不知是怕丢了男人的尊严，还是为了这份真挚的爱情，他一下子忘了恐怖，拼着力攀了上来，一把就把小鬼拉进怀里，紧紧抱住，在她耳边很虔诚地说子那三个字，然后任由自己的白色大衣被她的泪水浸湿。

在冬夜的寒风中坚持时，登上莲花顶时，快乐地冲下山坡时，老妖和小鬼忽然就醒悟了爱情——来时总是诚惶诚恐，惦念着适应着并且纠葛着，总以为就要停在这里，累了，倦了，算了，但是，只要被相伴的人期待、鼓励和信任，就可以双双拉着手走到天明，一步一步地看到美景，受了伤也是一种幸福。

夫妻双双把岩攀

“从黄山回来以后，我才真正接触攀岩。”

老妖的恐高真正完全克服，是在攀岩之后。大学时代的老妖一直对攀岩还有点兴趣，一些技术性的知识也大多看过。

2003年底，老妖被小鬼专门拖到工体岩馆的时候，对于攀岩还只是纸上谈兵。第一次攀岩，老妖只爬了三分之一就撤丁下来，不是体力不支而是不敢，双腿直抖，身体老是贴不着岩壁。放下来以后感觉还不错，于是有了再一次的尝试，第五次的时候，老妖终于登顶。说起攀岩，老妖和大多数人一样，喜欢那种向上的奋勇和到顶的喜悦，享受超越自我、挑战极限的满足感，最最关键的是，攀岩消灭了伴随老妖多年的恐高症。问他登顶的心情，“高兴呗，觉得自己还真不错!”

相比较而言，小鬼倒不能算喜欢攀岩的人，她攀岩更多的是享受到顶后下降的快感，巴不得有人在悬崖峭壁中把她给拉上去，然后她自己再跳下来。

心理障碍突破后，老妖水平长进极快。半年后，两人结伴参加培训，双双考取了国家级初级攀岩教练员证书。谈到考证的原因时，老妖依旧是不假思索的回答“玩呗”，他们周围的朋友已经对这样的回答习以为常，似乎这所有的一切完全是兴趣。

其实在岩场或者野外岩壁，你听到岩客们最多的一句话就是“享受生活”。的确，这个圈子的人大多都抱着这个想法，即使在岩壁上累得够呛，也是一种放松，下子岩壁，他们可以聊聊天喝喝酒打打牌，或是一个人坐在路边的岩块上静静地想想自己的心事。其实在有绳索和完整的保护系统的情况下，加上有经验丰富的教练在旁边指导，室内攀岩很安全，出现脱落并造成损伤的机会几乎是微乎其微，人们所要克服的不过是那种因为不了解而产生的恐惧心理。

“只有亲身玩过了野外攀岩，才会体验到在那种安全状态下的紧张和刺激，另外还有些平常人从未有过的超越平凡的感受。”老妖继续补充道。孩子们围着小鬼在一边，小鬼正在指导孩子们做手操进行攀岩后的放松。

“有兴致上墙露两手，玩累了下来喝两口，其实很多玩户外的朋友在相聚交流时更喜欢找一种‘吧’的感觉，我们现在就是在造这样的‘吧’。”岩馆老板在身后插话，“周末假期的时候，大家会背包上路进人大自然，去征服天然岩壁，平常幸亏有这些朋友帮我，我们一起攀岩，一起喝酒，一起玩色盅，一起打牌，一起玩跳棋，一起听许巍的歌……太多太多了。夜黑风高的夜晚靠着山岩围着篝火杀杀人，看看星星，这样的快乐只有亲身体会过才知道。”

在这个圈子里，攀岩只是作为一种业余爱好和结交朋友的手段，他们不为登顶不为路线只为快乐。他们不会为了攀岩而手指关节肿大，不会为了攀岩而节食几近崩溃，他们的攀岩是一种幸福生活。“没有什么能够阻挡你对自由的向往，天马行空的生涯，你的心了无牵挂……”岩馆里又响起许巍的音乐时，老妖第一个咆哮：“换碟换碟，腻死了!”

两个重要极限教法探究 篇4

一、学情分析

1.学生已经具备了函数的基本知识,掌握了函数极限的概念和极限的四则运算法则;

2. 学生基础参差不齐,思维不够灵活,求极限时思路混乱;

3.排斥过多的理论知识,更喜欢知识的应用.

二、新课引入

大学生是具备独立思考能力和分析问题能力的个体,相比被动的“填鸭式”的教学方法,启发式的教学方法更能吸引学生的学习兴趣.因此,本文将数学建模的思想融入到教学过程中,采用问题驱动法和案例教学法,以银行复利问题引入,激发学生学习兴趣,加强数学与实际生活的联系.

引例1求

思考:当“0/0”未定型不能约去含零因式时怎么求极限?

引例2假设有本金A0元,银行年利率为r,那么第t年末能得到本息和A为多少钱?

解:若每年结息一次,

第一年末的本息和为:A0(1+r)

第二年末的本息和为:A0(1+r)2

…

第t年末的本息和为:A=A(01+r)t

若每年结算m次,那么第t年末的本息和为A=A0(1+r/m)tm.该公式称为离散

若m→∞,那么第t年末的本息和为.该问题属于连续复利问题.

思考:此极限为“(1+0)∞”型,该极限怎么计算?

三、公式的证明

两个重要极限的数学证明较为复杂,结合高职高专学生实情,在教学中应淡化繁琐的推导和证明,以应用为向导,以能力为目标,使学生获得必需、够用的数学知识.淡化证明过程的同时,帮助学生理解两个重要极限.本文运用Matlab软件绘出函数和的函数图形,然后从极限的定义出发,引导学生探索得出两个重要极限的结论.

1.引导学生分析得出:当x→0时,sinx/x→1,由函数极限定义得.

2.从图(2)中可以看出,当x→+∞和x→-∞时,函数的值无限接近2.7182…即无理数e.由极限的定义知图(2)

四、应用举例

在学生掌握了两个重要极限的结论后,关键在于帮助学生学会应用公式来求“0/0”和“(1+0)∞”未定型的极限,这也是本教学内容的难点.本文提出“变量形式不变性”的思想,将重要极限结论进行推广,并引导学生对具体的应用情况进行总结.

1.可推广到———“变量形式不变性”.

这个重要极限公式可适用于求解多种含三角函数的“0/0”型的极限.

这个重要极限公式可适用于求解“1∞”型的极限.1

摘要：该文将数学建模的思想方法融入到两个重要极限的教学过程中,运用Matlab软件辅助公式的证明,强调知识的应用,体现了高职教学“以应用为向导,以能力为目标,理论知识以必需够用为度”的原则.

两个重要极限 篇5

一第一个重要极限

其推广式为

1. 应用第一个重要极限求极限时需要注意的问题

需要注意: (1) α (x) 是连续的函数; (2) 分子分母的比值是“0/0”型; (3) 正弦后面的表达式和分母的表达式是相同的。

2.举例说明

例1:求 的值。

例2:求 的值。

例3:求lxim→06xsin5x的值。

二第二个重要极限

其推广式为

1.应用第二个重要极限求极限时需要注意的问题

需要注意: (1) 此极限是“1∞”型; (2) 极限符号下方是一个式子或是一个函数的变化趋势, 而不仅是自变量的变化。

2. 举例说明

例1:求 的值。

例2:求 的值。

例3: 的值。

参考文献

[1]翟步祥.高等数学基础[M].北京:北京交通大学出版社, 2012

两个重要极限 篇6

从上述分析和过程可知, 若能实现分母中u与分子中sinu中u的统一, 则可直接用第一个重要极限的结论得:

u可以是有关于x的整体, 即:

由上述例题可知, 当分子、分母极限为0, 且分子是与sinx有联系的三角函数时, 应考虑把分子尽量化为正弦函数, 凑分母, 从而实现分子分母中有关于x整体的统一, 同时保证整体趋近0, 再利用第一个重要极限的结论求极限。

第二个重要极限的另外一种表达形式是:

分析可知:两种形式的共同特点是:底数中的第二项与指数互为倒数, 且指数均趋近无穷大, 与第一个重要极限分析思路相似, 根据第二个重要极限的特点, 可知:

从上述例题可知, 在求极限过程中, 当函数底数与指数上都有变量且形式与第二个重要极限形式形似时, 考虑把底数化为1加某部分的形式, 再凑指数, 把指数凑成与底数中的第二项互为倒数的形式, 并保证指数趋近无穷大, 其他多余的指数部分由幂函数的运算性质分开计算, 最后利用第二个重要极限的结论求极限。

3结语

运用两个重要极限的结论求与之相似函数的极限时, 应仔细分析条件是否满足, 掌握不满足然后凑的具体思路和技巧, 同时应多练习, 才能做到“熟能生巧”。

摘要：本文从两个重要极限的结论和特点出发, 总结了应用它们的结论求其他函数极限的技巧, 并举例进行了说明。

关键词：重要极限,结论,应用

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社, 2007:23-31.

两个重要极限 篇7

在高等数学中, 两个重要极限是极限理论的一个重要组成部分, 学生在学习有关知识时常常觉得公式记得很容易, 但应用起来常常是无从下手.其原因主要是教材中对两个重要极限的内容采取的是由特殊到特殊的论述方法, 而没有介绍出公式应用的一般规律, 学生看到的都是个别类型习题, 而不清楚公式应用的一般规律是什么, 教师的教与学生的学都感觉非常困难.

辩证唯物主义认为, 人们对客观事物的认识都是要经历从特殊到一般, 再从一般到特殊的过程, 下面我谈一谈在教学过程中, 两个重要极限公式应用的一点体会.

一、关于$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$的应用

教师在给出$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$公式中的同时, 先让学生观察几道相关的习题.

$1.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 2x}{2x}$;$2.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{\text{π}-x}$;$3.\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}.$

然后引导学生如何用公式求函数的极限.

$1.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 2x}{2x}\underset{}{\overset{\text{设}t=2x}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}t}{t}=1$;

$2.\underset{x\to \text{π}}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{\text{π}-x}=\underset{x\to \text{π}}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin (\text{π}-x)}{\text{π}-x}\underset{}{\overset{\text{设}t=\text{π}-x}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}t}{t}=1$;

$3.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\underset{}{\overset{t=\frac{1}{x}}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}t}{t}=1.$

然后让学生观察, 能用$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$计算函数的极限.

教师提出问题:

(1) x的变化趋势是否仅局限于x→0

(2) 函数形式有什么共同点?

(3) 正弦符号后面的函数, 当x→α时, 极限是多少?

引导学生得出结论是:

(1) x的变化是任意的, 我们记为x→α的形式;

(2) 利用诱导公式sin (π-x) =sinx, 结论同上;

(3) 令$f(x)=\frac{1}{x}$, 当x→∞时, f (x) →0, 则有$\underset{f(x)\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}f(x)}{f(x)}=1$的形式.

对上述结论进行分析可以得到一个一般公式$\underset{f(x)\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}f(x)}{f(x)}=1$, 这就是有几个特殊的例题得到的一般公式, 使学生对$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$有一个更深刻的理解.再计算有关函数的极限, 就会运用自如了.

再提出几个相关的问题:

$\begin{array}{l}1.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{\sin 3x}=\frac{5}{3}\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{3x}{\sin 3x}\\ =\frac{5}{3}\left(\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{5x}\right)\frac{1}{\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 3x}{3x}}=\frac{5}{3}；\end{array}$

$2.\underset{x\to 4}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin (x-4)}{(x-4)}\underset{}{\overset{\text{设}u=x-4}{=}}\underset{u\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}u}{u}=1$;

$3.\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}x\sin \frac{2}{x}\underset{}{\overset{\text{设}u=\frac{2}{x}}{=}}2\underset{u\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}u}{u}=2$;

$4.\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{1-\text{c}\text{o}\text{s}x}{x{}^2}=\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{2\sin {}^2\frac{x}{2}}{x{}^2}=\frac{1}{2}\underset{\frac{x}{2}\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right){}^2=\frac{1}{2}.$

二、关于$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e$或$\underset{\alpha \to 0}{{\displaystyle \lim }}(1+\alpha ){}^{\frac{1}{\alpha }}=e$的应用

先讲解公式$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e$, 然后, 令$\alpha =\frac{1}{x}$, 则x→∞和α→0是等价的, 很自然地推出$\underset{\alpha \to 0}{{\displaystyle \lim }}(1+\alpha ){}^{\frac{1}{\alpha }}=e$.再向学生举几个特例:

$\begin{array}{l}\lim 【math60z】\left(1+\frac{2}{x}\right){}^{\frac{x}{2}}\underset{}{\overset{\text{设}t=\frac{x}{2}}{=}}\underset{t\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{t}\right){}^t=e\text{或}\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{2}{x}\right){}^{\frac{x}{2}}\underset{}{\overset{\text{设}t=\frac{2}{x}}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(1+t\right){}^{\frac{1}{t}}=e‚\\ \underset{x\to -3}{{\displaystyle \lim }}[1+(x+3)]{}^{\frac{1}{x+3}}\underset{}{\overset{\text{设}t=x+3}{=}}\underset{t\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(1+t\right){}^{\frac{1}{t}}=e.\end{array}$

然后, 让学生考虑, 利用第二个重要极限计算函数极限时, 要注意的几个条件:

(1) x的变化趋势是x→∞或x→0

(2) 函数的特点是什么?

(3) 在函数底数中, 1后面的函数极限是多少?

引导学生得到结论:

(1) 函数具有$[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}$的形式, 其中f (x) 是x函数;

(2) 在极限$\lim [1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}$中, 只要在自变量x的某一变化过程中f (x) 是无穷小, 就有$\lim [1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}=e$, 即$\underset{x\to \alpha }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}\underset{x\to \alpha }{{\displaystyle \lim }}f(x)=0}=e.$

摘要：两个重要极限是极限理论的一个重要组成部分, 在教学中如何运用正确的方法引导学生理解和运用, 是本文的关键.

两个重要极限 篇8

为加深学生对乘积和商的极限运算法则的理解, 并学会逆向使用它们, 本文接下来给出乘积和商的极限运算法则的两个重要推论, 这两个推论虽简单却经常使用, 而且在一般的高等数学教材里看不到它们。另外, 在每个推论后面举了两个例子以说明它们的用法。

证明:首先注意到, 两端同时取极限, 利用乘积的极限运算法则即得证。

注:本文中出现的极限符号lim表示自变量的七种变化过程中的任意一种, 以下同.

分析:这道题表面上看是商的求极限问题, 但实质上用的是乘积的极限运算法则。

解:首先, 注意到待求极限的函数可以恒等变形为

两端同时求极限, 得

已知均存在, 利用乘积的极限运算法则, 得

分析:这道题的已知条件表面上看是分母极限为0, 属于商的极限运算法则不适用的情形, 但实质上这是型未定式, 不过很少学生能意识到这一点, 因为他们不清楚分子的极限。如果利用乘积的极限运算法则, 很容易求出分子极限也为0.

解:首先, 注意到已知条件中的函数可以恒等变形为

两端同时求极限, 得

已知均存在, 此时利用乘积的极限运算法则, 得

再由加减的极限运算法则, 得

推论2:若极限limg (x) 存在, 且limg (x) =A≠0, 则

“左右”:直接利用乘积的极限运算法则即得证。

注:1.在使用洛必达法则求极限时, 有一个技巧:可以先把函数中极限非零的乘积因子或商因子的极限求出来, 再对函数的剩余部分使用洛必达法则, 这样求导就会变简单许多。这个技巧的依据就是上面的推论2。

2.推论2中第二条结论实际上蕴含了无穷大变量的性质。关于无穷小变量, 一般高等数学教材中会列出若干条性质, 比如无穷小乘以有极限的变量仍为无穷小, 而关于无穷大变量只说有类似性质, 没有给具体列出来。那关于无穷大相应的结论到底是什么样的呢?对此, 推论2中第二条结论可以解释为:无穷大乘以或除以极限非零的变量仍为无穷大。对于这个结论, 许多工科大学生是不太清楚的, 更别提会应用了。而事实上, 在求未定式极限时这个结论对于判别未定式的类型是很重要的。

此时利用两次洛必达法则, 得

此时利用洛必达法则, 得

注:此解法中的第二个等号的依据就是推论2。

总结:学习上面两个推论, 可以帮助工科大学生进一步理解和灵活使用乘积和商的极限运算法则, 而且加深对无穷大变量的性质和求极限的一些常用技巧的理解。

摘要：本文给出了乘积和商的极限运算法则的两个推论, 它们实质上是乘积和商的极限运算法则的逆用, 最后举了四个例子来说明上述两个推论的应用。这对工科大学生深入理解并灵活应用乘积和商的极限运算法具有启发意义。

关键词：极限,乘积和商的极限运算法则,未定式,洛必达法则,无穷大

参考文献

[1]范周田, 张汉林.高等数学 (上) [M].北京:机械工业出版社, 第二版, 2012.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上) [M].北京:高等教育出版社, 第四版, 2010.