极限存在准则,两个重要极限

极限存在准则,两个重要极限（通用6篇）

极限存在准则,两个重要极限 篇1

第八节 极限存在准则

两个重要极限

分布图示

★ 夹逼准则

★ 例1 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例12 ★ 例15 ★ 例18 1★ lim1e

xnx★ 单调有界准则

sinx★ lim1

x0x

★ 例2 ★ 例5 ★ 例8 ★ 例11 ★ 例13 ★ 例16

★ 例3 ★ 例6 ★ 例9 ★ 例14 ★ 例17

★ 例19 ★ 例20

★ 例21 ★ 例24

★ 例22 ★ 例23 ★ 例25 ★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26）★ 内容小结

★ 课堂练习★习题 1-8

内容要点

一、准则I（夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:（1）ynxnzn(n1,2,3,);

（2）limyna,limzna，nn那末数列xn的极限存在, 且limxna.n注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求.二、准则II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限.三、两个重要极限：

sinx11.lim1；

2．lim1e.xx0xx

四、连续复利

设初始本金为p(元), 年利率为r, 按复利付息, 若一年分m次付息, 则第n年末的本利和为

rsnp1mmnx

如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m趋于无穷大时, t年末的本利和可按如下公式计算

rsplim1mmmtpert 若要t年末的本利和为s, 则初始本金psert.例题选讲

夹逼准则的应用

111.例1(E01)求 lim222nn2nnn1解

nnn21n121nn2nn12

又limnnnn2limn111n1,limnnn12limn1112n1，由夹逼定理得

1111.lim2nn22n2nn1

nn1/n例2 求 lim(123).n解 1nnn由(123)2131,易见对任意自然数n,有 3321113，33nnn1nn1故31n1213133n.33n1nn1而lim31nn3,1lim33nn3,所以

1nnn23)nlim(121lim313.n33n1nn

例3 求 lim解

设xn111.22nn2(n1)(nn)111.显然，n2(n1)2(nn)2n1111111n1x2 n22222224n(2n)(2n)(2n)nnnn又limn1n10,lim0,由夹逼准则知limxn0，n4n2nn2n1110.即lim22nn2(n1)(nn)

an(a0).例4 求 limnn!aaaaanaaaacac解 ，([a]2)([a]3)nn!123([a]1)([a]2)nnaaaancaanca,因此0,而lim0.其中c0,所以limnn!nn123([a]1)n!n

n!.nnnn!123n12nnnn!222解 由n2,易见0n2.又lim20.nnnnnnnnnnnnnnn!所以 lim20.nn 例5(E02)求 lim例6(E03)求极限limcosx.x0xx2x2解 因为01cosx2sin,故由准则I,得 22222lim(1cosx)0, 即 limcosx1

x0x0

例7 求 limnn.n解

令nn1rn(rn0),则

n(1rn)n1nrn2n(n1)2n(n1)2.rnrnnrn(n1),因此 , 0rnn12!2!由于limn20,所以limrn0.故limnnlim(1rn)1limrn1.nnnnn1

例8 求证limna1(a0).解

(1)n当a1时, n11,故limnalim11.nn(2)

当a1时,设xnna,显然xn1.当na时,xnnann.由例3知limnn1,所以

nnlimna1(a1).(3)

当0a1时，总存在一个正数b(b1),使得a1/b,由(2)知limnb1,所以

nnlimnalimnn1111, blimnb1n综合上述证明可知

limna1(a0).n

例9 求极限 limx.x0x1111解

当x0时, 1，因此，当x0时, 1xx1

xxxx11x0x1,1xx由夹逼定理可得lim当时，有x1 x0x11x1,limx由夹逼定理可得lim从而1.x0x0xx

例10(E04)设有数列x113,x23x1,,xn3xn1,,求

limx.nn证

显然xn1xn,{xn}是单调递增的.下面利用数学归纳法证明{xn}有界.因为x133,假定xk3,则xk13xk333.所以{xn}是有界的.从而limxnA存在.n222由递推关系xn13xn,得xn13xn,故limxn1lim(3xn),即A3A，nn解得A113113113,A.(舍去).所以limxnn222

例11 设 a0为常数, 数列xn由下列定义:

xn1ax(n1,2,)n12xn1其中x0为大于零的常数, 求limxn.n解

先证明数列xn的极限的存在性.1a22222xnxn1xn由xn即x(xx)xaxa.a,n1nn1nn12xn1由a0,x00,知xn0,因此xna,即xn有下界.又xn11a11a1,故数列xn单调递减，由极限存在准则知limxn存在.122nxn2xn22xn

1a1aAA不妨设limxnA,对式子xn两边取极限得:x.n1n2A2xn1解之得Aa,即limxna.n

tanx.x0xtanxsinx1sinx11.解 limlimlimlimx0xx0xx0x0cosxxcosx 例12(E05)求 lim例13 求 limtan3x.x0sin5xsin3x31tan3xsin3x1133解 limlim3xlim1.5x5co3x0sin5xx0sinsx155xco3sxx0sin55x

例14(E06)求 lim1cosx.2x0x2xxxsin2sinsin221121.21lim21lim解

原式limx02x0x2x0x222x2222

例15

下列运算过程是否正确：

limtanxtanxxtanxxlim.limlim1.xxsinxxxxsinxxxxxxsinxtanxx1,1,本题x,所以不能应用上述xsinx解

这种运算是错误的.当x0时,方法进行计算.正确的作法如下：

令xt,则xt;当x时, t0,于是

tanxtan(t)tanttanttlimlimlimlim1.xsinxt0sin(t)t0sintt0tsint

例16

计算 lim解 lim cosxcos3x.2x0xcosxcos3x2sin2xsinx4sin2xsinx4.limlim22x0x0x02xxxxx2例17 计算 lim.x01xsinxcosxx2(1xsinxcosx)1xsinxcosx)lim解 lim limx0x01xsin1cosxxsinxx01xsinxcosxxcosx2xx2x2114.1132

xsin2x.x0xsin2xsin2xsin2x112xsin2xxlim2x121.解 limlimx0xsin2xx0sin2xx0sin2x123112x2x 例18(E07)计算 lim1例19(E08)

求 lim1nnn3.11nn1解 lim1nnn3lim1n1n311lim11e1e.nnnn3

1/x例20(E09)

求 lim(12x).x0解 1lim(12x)xx01lim(12x)2xx02e2.k例21(E10)求lim1.xxxxkkkkkk解 lim1lim1lim1e.xxxxxxxkkx1特别地，当k1时，有lim1e1.xx

3x例22(E11)求 lim.x2x3x解 limx2x2xxx2211lim1 lim1xxx2x2x24112lim11e.xx2x2222x2x x2.例23 求 limxx21xxx211lim解 lim12lim12xx21xxx1x1xxx21x12e01.x1/x例24 计算 lim(ex).x01(ex解 limx01x)x1lim(ex)x1x0exxxelim1xx0exe1xxex2eee.

tan2x.例25 求极限 lim(tanx)x/4解

令ttanx1,则tanxt1,当x4时,t0,又

tan2x2(t1)2tanx12(t1) 22tt21tanx1(t1)12(t1)lim(1t)tt2t012(t1)lim[(1t)t]t2t0故lim(tanx)tan2xx1[lim(1t)t]t0limt02(t1)t2e1.连续复利

例26(E12)

小孩出生之后，父母拿出P元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利，计算初始投资应该是多少？

解 利用公式SPe，求P.现有方程

rt100000Pe0.0820

由此得到

e

P1000001.620189.65

于是，父母现在必须存储20189.65元，到孩子20岁生日时才能增长到100000元.计算现值可以理解成从未来值返回到现值的指数衰退.一般地，t年后金额S的现值P, 可以通过解下列关于P的方程得到

SPekt，P

PktPe.ekt课堂练习

1.求极限 limtanxsinx.x0x2sinx2.求极限lim

x1(3x9x)x.

极限存在准则,两个重要极限 篇2

极限是高等数学的重要内容之一, 是贯穿高等数学始终的重要工具, 在数学和物理学中有重要的应用.在高等数学教学中, 求函数极限的常见的方法之一就是利用两个重要极限, 因此把两个重要极限进行拓广以求更方便的求函数极限也有十分重要的意义.

一、对$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{x}=1$的拓广

命题$1\underset{f(x)\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}f(x)}{f(x)}=1.$

例1 求$\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin {}^{2}x-\sin {}^{2}a}{x-a}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin {}^{2}a-\sin {}^{2}a}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{(\text{s}\text{i}\text{n}x+\text{s}\text{i}\text{n}a)(\text{s}\text{i}\text{n}x-\text{s}\text{i}\text{n}a)}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{4\sin \frac{x+a}{2}\cos \frac{x-a}{2}\cos \frac{x+a}{2}\sin \frac{x-a}{2}}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{(\text{s}\text{i}\text{n}x+a)\sin (x-a)}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin (x-a)}{x-a}\underset{x\to a}{{\displaystyle \lim }}\sin (x+a)\\ =\sin 2a.\end{array}$

命题$2\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{s}\text{i}\text{n}Ax}{Bx}=\frac{A}{B}.$

例2 求证:$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\sin 5x}{6x}=\frac{5}{6}.$

二、对极限$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e$的拓广

命题1 如果$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)=0‚\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}g(x)=\infty$且

$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)=A$, 则$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=e{}^A.$

证明 令$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=B$, 利用初等函数的连续性及对数的性质有

$B=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{g(x)}=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}\cdot f(x)g(x)}.$

两边取对数有

$\begin{array}{l}\ln B=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)\ln [1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}\\ =\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)g(x)\ln \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[1+f(x)]{}^{\frac{1}{f(x)}}\\ =A\ln e\\ =e{}^A.\end{array}$

例3 求$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1-\frac{2}{x}\right){}^{-x}.$

解$\because \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(-\frac{2}{x}\right)=0‚\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}(-x)=\infty$且

$\begin{array}{l}\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}(-x)\left(-\frac{2}{x}\right)=2‚\\ \therefore \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1-\frac{2}{x}\right){}^{-x}=e{}^2.\end{array}$

例4 求极限$\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(\frac{1+x}{1-x}\right){}^{\frac{1}{x}}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\text{法}1\text{原}\text{式}=\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{2x}{1-x}\right){}^{\frac{1}{x}}\\ =\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}\left[\left(1+\frac{2x}{1-x}\right){}^{\frac{1-x}{2x}}\right]{}^{\frac{2}{1-x}}\\ =\underset{x\to 0}{{\displaystyle \lim }}e{}^{\frac{2}{1-x}}\\ =e{}^2.\end{array}$

命题$2\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{B}{Ax}\right){}^{Cx}=e{}^{\frac{BC}{A}}.$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}\because \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{1}{x}\right){}^x=e‚\\ \underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{B}{Ax}\right){}^{Cx}=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{A}{B}x}\right){}^{\frac{A}{B}x}\right]{}^{\frac{BC}{A}}=e{}^{\frac{BC}{A}}.\end{array}$

例5 求$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{3}{2x}\right){}^{4x}$的值.

解$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1+\frac{3}{2x}\right){}^{4x}=e{}^{\frac{3}{2}\cdot 4}=e{}^6.$

由此可见, 从两个公式入手, 认清两个重要极限的前提和实质, 从公式形式进行拓广, 既开拓了思路, 也简化了解题过程, 应用起来更直接、更灵活.

极限存在准则,两个重要极限 篇3

关键词：重要极限；应用；方法

高等数学中有两个重要极限公式 ， ，这两个重要极限的变形推广，在求解极限问题时有一些重要应用。

一、第一个重要极限 的推广及应用

1.第一个重要极限的推广式

若 ，则 .

2.应用第一个重要极限求极限需要注意的问题

①推广式中的“ ”可换成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

② 是连续函数；

③此重要极限主要解决含有三角函数的“ ”型未定式极限。

3.求解方法

首先将所求极限变形为“推广式”，然后还原即可得出结果。

4.举例说明

例1.求 .

解：

例2. .

解：

例3.求 .

解：

二、第二个重要极限 的推广及应用

1.第二个重要极限的推广式

若 ，则

2.应用第二个重要极限求极限需要注意的问题

①推广式中的“ ”可换成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

②此重要极限主要解决“ ”型幂指函数的极限。

3.求解方法

一变二配三还原。具体如下：

①将幂底数变形为“ ”形式；②配幂指数：将幂指数配成“ ”；

③还原幂指数：通过加、减、乘、除常数的方法还原幂指数。

注：利用此方法时②③步要一起做，即配完幂指数后要立即还原幂指数。

4.举例说明

例4.求 .

解：

例5.求 .

解：

例6.求 .

解：

例7.求 .

解：

例8.求 .

解：

参考文献：

[1]李心灿.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003

证明极限不存在 篇4

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在4

如图用定义证明极限不存在~谢谢！

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

极限存在准则,两个重要极限 篇5

讨论了具有功能反应函数x1/n的捕食系统=x(a-bx1/n-h(x))-cyx1/n,=y(-d+ecx1/n) (n>1),得到系统正平衡点存在性和稳定性的充分条件及极限环的存在性与唯一性条件.

作 者：徐芳 袁彦东 XU Fang YUAN Yan-dong 作者单位：徐芳,XU Fang(河北师范大学,数学与信息科学学院,河北,石家庄,050016)

袁彦东,YUAN Yan-dong(沧州师范专科学校,数学系,河北,沧州,061000)

极限存在准则,两个重要极限 篇6

从上述分析和过程可知, 若能实现分母中u与分子中sinu中u的统一, 则可直接用第一个重要极限的结论得:

u可以是有关于x的整体, 即:

由上述例题可知, 当分子、分母极限为0, 且分子是与sinx有联系的三角函数时, 应考虑把分子尽量化为正弦函数, 凑分母, 从而实现分子分母中有关于x整体的统一, 同时保证整体趋近0, 再利用第一个重要极限的结论求极限。

第二个重要极限的另外一种表达形式是:

分析可知:两种形式的共同特点是:底数中的第二项与指数互为倒数, 且指数均趋近无穷大, 与第一个重要极限分析思路相似, 根据第二个重要极限的特点, 可知:

从上述例题可知, 在求极限过程中, 当函数底数与指数上都有变量且形式与第二个重要极限形式形似时, 考虑把底数化为1加某部分的形式, 再凑指数, 把指数凑成与底数中的第二项互为倒数的形式, 并保证指数趋近无穷大, 其他多余的指数部分由幂函数的运算性质分开计算, 最后利用第二个重要极限的结论求极限。

3结语

运用两个重要极限的结论求与之相似函数的极限时, 应仔细分析条件是否满足, 掌握不满足然后凑的具体思路和技巧, 同时应多练习, 才能做到“熟能生巧”。

摘要：本文从两个重要极限的结论和特点出发, 总结了应用它们的结论求其他函数极限的技巧, 并举例进行了说明。

关键词：重要极限,结论,应用

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社, 2007:23-31.