极限运算法则

2024-08-01

极限运算法则（精选7篇）

极限运算法则篇1

一引言

极限部分作为高等数学的基础部分, 对今后的学习有重要的基础意义, 在高等数学中占有十分重要的地位, 而极限的四则运算法则, 作为极限部分的重点与难点, 应该给予更多的重视。本文将针对极限四则运算法则进行研究与分析。

二极限的四则运算法则

极限的四则运算法则是在学习了极限概念和无穷小量与无穷大量之后的又一重要内容, 也是学习导数和微分的重要基础知识。

在进行极限的四则运算法则之前, 需要对极限的概念、无穷小量和无穷大量的概念、无穷小量的运算性质、无穷小量和无穷大量的关系等基本内容都有初步学习和了解, 而对于如何利用无穷小量的运算法则、无穷小量与无穷大量之间的关系求取函数的极限, 以及利用观察法求取数列的极限和简单函数的极限, 需要进行进一步的学习与掌握。

极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在, 并且分母的极限还不等于0的情况下, 当这两个条件都满足的, 那么两个函数在和、差、积、商的极限和这两个函数的极限的和、差、积、商都相等;对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况, 其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积;并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。在解决具体问题时, 需要根据实际情况进行运算和解答, 重视实际应用。

当极限的函数是一个整式, 可以直接运用极限的四则运算法则来进行计算。例如, 当x趋近于1时, 分母的极限不是0, 可以直接对法则进行运用和计算。

三极限的四则运算法则在进行函数极限求解时需要注意的事项

第一, 对于分式来说, 当其分母的极限不等于0时, 才能直接运用四则运算法则进行求解。

第二, 避免一些常见的错误的认识, 例如对c/0=∞, (c为任意的常数) , ∞-∞=0, ∞/∞=0等。

第三, 对于无穷多个无穷小量来说, 其和未必是无穷小量。

四极限的四则运算法则的归类

1. x→x0这种情况

第一, 当函数f (x) 是一个整式, 可以对极限的四则运算法则进行直接的运用和计算, 或是直接对f (x0) 进行求解。

第二, 当函数f (x) 是一个分式, 其分母的极限等于0, 而要注意分子的极限并不等于0, 那么便可以对极限的四则运算法则进行直接的运用并计算, 或者求出f (x0) 。

第四, 当f (x) 是个分式, 如果其分母的极限还有分子极限都等于0, 先让其分子和分母中的公因式进行约分, 或者是让含有根号的分子或分母有理化, 再进行约分, 然后利用极限的四则运算法则来进行计算, 从而得到正确的结果。

2. x→∞的情形

在x→∞的情形下, 函数的极限值主要是由分子、分母的最高次幂项的次数之间的关系来进行决定的, 需要对分子分母的最高次幂项进行分析。

3. 其他的情形

在进行求解的过程中有时用到有关无穷小量的运算性质, 对于代数和与乘积的极限而言, 要注意其所强调的“有限个无穷小量”, 但如果这个条件没有办法得到满足, 就不能用这个性质来进行极限的求解。

五运用极限四则运算法则求极限时常见的错误

在进行数列极限的计算中, 对于四则运算法则的运用, 需要注意一些问题:对数列极限的加、减和乘的运算法则能够把有限个数列进行推广, 在这种情况下, 不能对有限个数列的情况进行适用。在这个法则里还指出, “若两个数列都有极限的存在”, 这是对数列极限的四则运算法则运用的一个前提条件。在利用极限四则运算法则进行计算时, 注重两点, 一是法则对于每个参与运算的函数的极限都必须是存在的;二是商的极限的运算法则有个很重要的前提, 分母的极限不能为0。当这两个条件中任何一个条件不能满足的时候, 不能利用极限的四则运算法则进行计算。

六结束语

总之, 极限的四则运算法则作为极限内容中的重点与难点, 需要引起重视, 在实际运用时, 尤其要注意法则的使用条件, 从而避免错误的出现。

参考文献

[1]王仲英.电类高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2006

[2]马慧玲.极限的四则运算法则[J].科教文化 (上旬刊) , 2012 (2)

[3]伍庆成.用极限的四则运算法则、洛必达法则求极限的常见错误分析[J].重庆工学院学报 (自然科学版) , 2007 (2)

[4]杨树勍.数列极限四则运算的两个易错点[J].忻州师范学院学报, 2000 (1)

[5]孟凤娟等.计算极限的常用方法[J].科技信息, 2010 (7)

极限运算法则篇2

教学目标

1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．

2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．

3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．教学重点与难点

使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．教学过程

（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限

师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）来解决。

nnnn例1：求下列极限：

7n33n2n(1)lim 3n4n1

师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．

师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？

师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．

师：分子、分母同时除以2或2，能否求出极限？

1（二）先求和再求极限例2 求下列极限：

由学生自己先做，教师巡视．

判断正误．

生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．

师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？

生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．

=12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．

例3求下列极限：

师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．

生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．

生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．

例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，师：等比数列的前n项和Sn怎样表示？

师：看来此题要分情况讨论了．

师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：

师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同

（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：

例5计算：

题目不难，可由学生自己做．师：（1）中的数列有什么特点？

师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？

（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；

（四）利用极限的概念求数的取值范围

师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．

师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？生：先求极限．

师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？

|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．

解得0＜m＜4．

师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？生：主要有三种类型：

（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件．

生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．

上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．

（五）布置作业 1．填空题：

2．选择题：

则x的取值范围是[ ]．的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作业答案或提示

（7）a． 2．选择题：

（2）由于所给两个极限存在，所以an与bn的极限必存在，得方程

以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．课堂教学设计说明

1．掌握常用方法，深化学生思维．数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．

2．展示典型错误，培养严谨思维．第二课时

数列极限的运算性质

教学目标：

1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限

2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n)n=e 教学过程：

一、数列极限的运算性质

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(anbn)= liman limbn =AB（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B0，bn0）注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。

数列的和的极限的运算性质可推广为：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应各项的和所组成的数列也有极限，且极限值等于这有限个数列的极限的和。类似地，对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。注意：上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算，不能推广为无限个数列的和与积。

二、求数列极限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及lim(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接应用商的极限运算性质进行计算。为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。在变形时分子、分母同时除以分子、分母中含n的最高次数项。

4、一个重要的数列极限

我们曾经学过自然对数的底e2.718，它是一个无理数，它是数列(1+1/n)n的极限。lim(1+1/n)n =e（证明将在高等数学中研究）求下列数列的极限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n (1+1/n)n (1+1/n)=ee1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底数的两项中，一项为1，另一项为3/n，其中分子不是1，与关于e的重要极限的形式不相符合，为此需要作变形。其变形的目标是将分子中的3变为1，而不改变分式的值。为此可在3/n的分子、分母中同时除以3，但这样又出现了新的矛盾，即分母中的n/3与指数上的n以及取极限时n不相一致，为此再将指数上的n改成n/33，又因为n与n/3是等价的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

练习：计算下列数列的极限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=18=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2

怎样学好幂的的运算法则篇3

一、幂运算法则的结构特征

1、同底数幂相乘：am.an=am+n；（m，n都是正整数）

2、幂的乘方：（am）n=amn；（m，n都是正整数）

3、积的乘方：（ab）n=anbn；（n是正整数）

4、同底数幂相除：am÷an=am﹣n；（a≠0，m>n，m，n都是正整数）

5、商的乘方：（ba ）n=bnan ；（a≠0，n为正整数）

6、零次幂：a0=1；（a≠0）

二、理解幂的运算法则的内涵与外延

1、对于整数 m， n，幂的运算有如下法则： ① am# an= am+ n，② （ am）n= amn，

③ （ ab）m= ambm，④ am÷an= am- n（ a X ），学习时，要能熟练地将每条法则翻译成文字语言，如法则①可叙述为/ 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加0，进而弄清/ 同底数0幂的内涵与外延（即不仅仅是指底数同为“a”的幂，也可以是底数同为“b， ”“x ”，“x + y”， “ x2- y2” ，的幂），几个幂相乘，只要底数相同（不管底数是单项式或多项式）都可以利用这个法则进行计算.

2、明确运算法则的异同

法则的相同点：

①幂的运算法则的运算都是底数不变，只是对指数进行运算；

②法则中作为公式的底数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；

③指数都是正整数.

法则的不同点：

①同底数的幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；

②幂的乘方是指数相乘；

③积（商）的乘方是每个因式各自乘方.

三、正确理解幂的各个法则的条件和结论

1、同底数幂相乘的首要条件是“同底”即相乘的几个幂的底数不论是有理数还是整式的形式，都必须相同才行.

例1、计算（-a ） 3.a.（-a）4

分析应先把底数分别是a.-a的幂统一成同底的幂

解，原式=（-a3）.a.a4=-（a3.a.a4）=a8

值得注意的是对于（1）34.23，（2）（2p+3q）2.（3p+2q）2

2、积的乘方要抓住结论中“每个因式分别乘方 ”这个要点

例2.计算（an+1bnc2）3

错解：原式=am+1bnc6，其错误原因是“因式”am+1及bn没有分别乘方。

正确解法：（am+1bnc2）3=a3m+3b3nc6

四、弄清幂的运算之间，以及它们与合并同类项之间的区别

同底数幂相乘与幂的乘方法则容易混淆. 因此，应通过比较加以区分.

例 3 下列计算是否有错，如果有错，指出错误原因.（ 1） 92×93= 96；（ 2） x8+ x8= x16

；（ 3）（ a2）3= a5；（ 4） 5m3- 2m3= 3.

解：都是错误的.理由：（ 1）、（ 3）是把同底数幂相乘与幂的乘方混淆了；（2）、（4）是把同底数幂相乘与合并同类项混淆了.错误的因都是概念不清 .

上例各题的正确结果是：（1） 92×93= 95；（2） x8+ x8= 2x8；（ 3）（ a2）3= a6；（4） 5m3- 2m3= 3m3

.为了防止出错，在解题时应首先搞清楚运算是“加”、“乘”，还是“乘方”，然后根据相应的运算法则计算.通过（2）、（ 4）的分析，搞清合并同类项不仅要求底数相同，而且指数也必须相同，才能应用法则“幂不变，系数相加”来计算.而幂的乘法只要“同底”就可以应用法则“底不变，指数相加”来计算. 由此可见，这两个法则中的“不变”与“相加”是截然不同的.

五、课后总结，归纳挂理，

知識系统化要求学生阅读三条法则及语言叙述的课本内容。指出本单元学习的三条幕的运算法则是进行整式乘除运算的基础，结合整式加减运算中的合并同类项，对幕的运算法则能区别理解，切实拿握，故要求学生认清不同的运算采用不同法则，计算时一定要养成每一步要有根据的良好思维习惯，这样才能防止出现差错，提高计算正确率.

关于极限的四则运算法则篇4

极限的四则运算法则为：设, A、B为有限常数，则：

以上四则运算法则对于自变量x的其它变化趋势也同样适用。

使用极限的四则运算法则时，我们应注意它们的条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则;当分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则。

为了使用极限的四则运算法则，我们往往需要对函数作代数或三角的恒等变形。例如：(1)当分子、分母的极限都是零时，有时可通过因式分解或有理化分子(或分母)消去分子、分母中极限为零的因式;(2)当分子、分母的极限都是无穷大时，分子、分母有时可同除以x(或n)的最高次幂;(3)作适当的变量代换;(4)利用三角公式变形，等等。

下面通过例题来展示以上情形。

例1:求极限。

解：由于，故不能直接使用商的极限运算法则。因此需把分子、分母分别有理化，得：

例2:求极限。

解：当x→0时，arcsinx2→0，故不能直接用商的极限运算法则。因为当x→0时，3tan2x→0，令t=3tan2x，利用ln (1+t)～t (t→0时)，于是有ln (1+3tan2x)～3tan2x～3x2。类似的，arcsinx2～x2，所以：

例3:求极限。

解：当n→∞时，分子、分母的极限都是无穷大(极限不存在)，故不能直接用商的极限运算法则。分子提取出因式3n，分母提取出因式3n+1，得：

注意，这里用到一个重要的结论：当|q|<1时，。

例4：求极限。

解：由于，故不能用差的极限运算法则。有理化后，得：

例5：求极限。

解：由于，故不能用差的极限运算法则。这时可先通分。

例6：求极限。

解：当n→∞时，乘积的项数在无限增多，故不能用积的极限运算法则。因为, 所以:

例7：求极限。

解：当x→+∞时，的极限都不存在，故不能用差的极限运算法则。利用和差化积的公式：，得：

由于不存在, 故不能用积的极限运算法则。但是，当x→+∞时，

, 它是无穷小, 而是有界函数 (因|

依照无穷小的性质(有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小)，当x→+∞时，是无穷小，所以：

对数运算法则是什么篇5

对数是什么

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字(基数)的指数。在简单的.情况下，乘数中的对数计数因子。一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。如果a的x次方等于N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=loga N。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

对洛必达法则求极限的探究篇6

关键词：洛必达法则,极限

洛必达法则是在一定条件下利用导数通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.这个法则是由瑞士数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)所发现的,因此也被叫作伯努利法则(Bernoulli's rule). 洛必达法则能解决一些常规求极限无法解决的极限问题.

一、0/0型未定式

二、∞/∞型未定式

三、其他类型的未定式

剖析等价无穷小代换求解极限运算篇7

1 无穷小定义及常用等价无穷小总结

1.1 无穷小定义

设函数f (x) 在x0的某一去心领域内有定义 (或x大于某一正数时有定义) 。如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小) , 总存在正数δ (或正数X) , 使得对于适合不等式0<|x-x0|<δ (或|x|>X) 的一切x, 对应的函数值f (x) 都满足不等式|f (x) |<ε, 那么称函数f (x) 当x→x0 (或x→∞) 时为无穷小。记作 f (x) =0 (或xli→n∞f (x) =0) 。

1.2 常用等价无穷小总结

通常所用的初等函数有这样五类:三角函数、反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数, 复杂方程式的求解中也为这五类初等函数的组合运算。以下列举出这五类初等函数的无穷小代换:

在当x→0时:

三角函数无穷小代换有:sinx~tanx~x;1-cosx~1/2x2;

幂函数无穷小代换: (1+x) a-1~ax (a可以取整数也可以取分数) ;

指数函数无穷小代换:ex~x+1, ax~lna×x+1;

对数无穷小代换:ln (1+x) ~x, loga (1+x) ~x/;lna;

差的无穷小代换:1-cosx~x2/2, x-sinx~x3/6, tanx-x~x3/3, xln (1+x) ~x2/2, tanx-sinx~x3/3, x-arctanx~x3/3, arcsinx-x~x3/6, arcsinx-arctanx~x3/2;前面两个代换后为二次函数, 后面代换为三次函数。而且从代换的等价无穷小方程式来看, 代换的方程式明显比前面未代换的方程式简单得多。

2 无穷小代换求极限运算与罗比达法则对比

使用洛必达法则进行求解极限运算, 是我们计算极限时的首选方式, 而且在绝大多数情况下, 确实也能够获得快而且准确的结果。但在一些复杂的求解中, 洛必达法则并不具有优势, 如带有三角函数和反三角函数的加减运算, 因为三角函数中sinx、cosx的两次导数就回到了本身。现举例说明无穷小代换求解极限运算与罗比达法则对比:

当x→0时, 求解方程式的值。

采用洛必达法则: 这样计算下去计算量很大, 如果这个时候采用等价无穷小替换, 结果很容易得到:

当然, 这需要熟记一些等价无穷小。需要注意的是, 等价无穷小的运用往往不止一次, 只要发现运用洛必达法则运算困难, 则可以尝试等价无穷小代换。

3 等价无穷小代换应注意问题

根据等价无穷小的定义, 当方程式的乘积因子为无穷小时, 则可利用等价无穷小进行代换。但如果方程式中有因子为无穷小, 但为加减法运算, 则需要考察代换的条件是否成立。

3.1 无穷小因子处于加减法运算中

在求解中, 因为无穷小因子tanx是作为乘积因子出现在方程式中。

3.2 在无穷小代换中需注意趋近的值

在进行无穷小代换中需确定的是:第一, 必须是无穷小;第二, 必须是等价无穷小之间才能进行替换。见下例:

设方程式f (x) = , 在当x→π时, 求方程式f (x) 的极限:

在本题中, 如果将用代换, 导致错误的结果为1。正确计算结果应当为:

4 等价无穷小代换总结