极限和连续习题

极限和连续习题（精选8篇）

极限和连续习题 篇1

多元函数的极限与连续习题

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0，有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30,1}，于是

0，min{



30,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且(x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在，kxy

因此limlim(xy)sisi不存在，x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0，x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21，x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysinx

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，x0y0

limlimysi0，limlimysi不存在。x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，sin(x2y2)sinr2

limlim21。22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.当x0时，f(x, y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0,y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0，取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，当0|x|,0|y|时，

ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2）在(0,)处。（0)

xy

当x0时，|f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

y1，于是，无论x0,x0，当0时lim|f(x,y)f(0,)|0，x0y即 f(x, y)在在(0,)处连续，综上，f(x, y)在其定义域上连续。

极限和连续习题 篇2

一、导函数极限和连续的特殊性概述

二、导函数极限和连续的特殊性应用

例1:如果f (x) 的导函数连续, 那f (x) 是否连续?f (x) 是否为f (x) '的原函数?

解答:可导必连续, 即使f (x) 有导函数, 那么f (x) 也必然连续的, 更别说f (x) 的导函数连续这么强的条件了。f (x) 当然是f (x) '的原函数了。

分析:如果f (x) 可导的前提是它必须得连续, 连续是可导的必要条件。所以f (x) 可导则f (x) 必连续。至于函数存在问题, 首先得弄清楚什么样的函数才存在函数, 只有两类函数才存在原函数, 一是连续函数, 一个是只存在振荡间断点的函数, 具有第一类间断点以及无穷间断点的函数是不存在原函数的。对于本题由于f' (x) 是连续函数所以它的原函数是存在的就是f (x) 。

1. 求常数a的值, 使f (x) 在x=0处连续。

解答:

1.因为这裏不知道φ (x) -cos x与谁等价, 所以我们无法用等价代换, 就是说, 现在我们不知道该用谁代换φ (x) -cos x, 而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”, 保证了“φ具有一阶导数”, 从而可以对φ求导数, 所以想到用洛必达法则解决问题, lim (x->0) f (x) =lim (x->0) (φ (x) -cos x) /x=lim (x->0) (φ' (x) +sinx) /1=lim (x->0) (φ' (x) +sin x) =φ' (0) , (此处lim (x->0) φ' (x) =φ' (0) 用到条件“φ具有一阶连续导数”, 这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证) 要使f (x) 在x=0处连续, 就要成立lim (x->0) f (x) =f (0) , (此处用到连续的定义) 所以要有a=f (0) =φ' (0) 。

三、总结

本文对导函数极限和连续的特殊性及其应用展开讨论, 从客观的角度来说, 导函数极限和连续的特殊性, 能够更好的解答函数习题, 对学生而言, 也具有较大的积极意义, 日后可深入教学, 促进学生更好的理解。另一方面, 在进行导函数极限和连续的特殊性教学时, 应加强类型题的练习, 帮助学生建立属于自己的解题思路, 尽量是将复杂的问题简单化, 通过运用合理的方法来解决, 而不是所有的问题都用一种方法来解决, 这对学生而言是非常困难的, 且不利于学生的逻辑思维发展。

摘要：在数学的学习过程中, 导函数的学习是重点的重点。一般而言, 导函数包含了很多的函数知识, 并且在具体的运用中, 会帮助学生提升逻辑思维能力, 以此来更好的理解导函数的相关知识, 无论是在解题过程中还是在未来的学习中, 导函数都是必不可少的基础部分。相对而言, 导函数的极限和导函数的连续性, 有着一般函数所不具备的特点, 为此应该在具体的教学中, 通过多种类型题, 帮助学生更好的理解和运用。同时, 应根据学生的理解程度和导函数的特点, 制定有效的教学方案, 促进学生更好的学习。

关键词：导函数,极限,连续,特殊性

参考文献

[1]范丽君, 郭挺.一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性[J].江西理工大学学报, 2010.

[2]赵志芳, 马艳园.多元函数极限的求法[J].宜春学院学报, 2011.

[3]陈龙卫.函数极限计算的一般步骤及其在考研数学中的应用[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2014.

极限和连续习题 篇3

6-1设YnXi,再对Yn利用契比雪夫不等式: ni1

nDXiDYi12nn0PYnEYn2n2222nn

故Xn服从大数定理.6-2设出现7的次数为X,则有

X~B10000,0.1,由棣莫佛-拉普拉斯定理可得

PX968P

6-3EXiEXnp1000,DX900 X100096810001610.14303015 1,2DXi1 12

Xi10

由中心极限定理可知, 101,所以

1010PXi61PXi611i1i1,6-4设报各人数为X,则EX100

由棣莫佛-拉普拉斯定理可得 0.136 DX100..XEX120100P{X120}PDX

120.0228

6-5设Xi第i个人死亡1

0第i个人没有死亡i1,2,,10000,则

PXi00.994 PXi10.006,总保险费为12100001.210(万元)5

(1)当死亡人数在达到1.2105/1000120人时,保险公司无收入.np1040.00660,所以保险公司赚钱概率为

0.1295

PX1X2X10000np0.129512060



7.771

因而亏本的概率为P1P0.(2)若利润不少于40000，即死亡人数少于80人时,PX1X2X10000np0.12958060



2.590.9952

若利润不少于60000，即死亡人数少于60人时,PX1X2X10000np0.12956060



00.5

若利润不少于80000，即死亡人数少于40人时,PX1X2X10000np0.12954060



2.5920.0048

6-6设总机需备Y条外线才能有95%的把握保证每个分机外线不必等候,设随机变量Xi1第i架电话分机用外线

0第i架电话分机不用外线,i1,2,则,260

PX10.04,EXi0.04,由中心极限定理可得 PX00.96 DXi0.040.00160.0384

260Y2600.04PXiY95% 2600.0384i1

Y16

6-7密度函数为fx1当0.5x0.5 其他0

故数学期望为EX0.5

0.5xdx0

20.5

0.5DXEX2EX

(1)设Xi为第i个数的误差,则 x2dx1 12

300PXi15Pi1Xi15i12(3)10.9973 3005DXii1300

300300PXi151PXi150.0027

i1i1

n(2)PXi10210.9n440.77 i1

300Y(3)PXiY210.997Y14.85 5i1

6-8EX5102kg,5103kg

(1)设Xi 为第i个螺钉的重量,则

nEX1005102,51030.05

100XnEXi1005.15i1PXi5.1P1(2)0.02280.05ni1 

1第i个螺钉的重量超过5.1kg(2)设Yi0第i个螺钉的重量不超过5.1kgi1,2,,500,则

np11.4np(1p)3.33

500Ynpi5002011.4i1PYi5004％P(2.58)0.9951 3.33i1np(1p)

6-9设随机变量Xi1第i个人按时进入掩体

其他0

n

ii1,2,,1000,按时进入掩体的人数为Y,则YX,Y~B10000,0.9,所以有 i1

EY10000.9900,设有k人按时进入掩体，则 DY9000.190

k9000.95

k9001.645 90

高等数学竞赛极限与连续真题 篇4

x211x2

1.计算：lim2 x22x0(cosxe)sinxx2x40(x4), 析：

1x1282x2111x2x40(x4)

又cosxex[14123x0(x2)][1x20(x2)]x20(x2)22x211x2故lim2 x22x0(cosxe)sinx10(x4)1444x0(x)21xx2188xlim2lim

x03212xsinx2x030(x2)sinx22x0(x)222x

nlnnlnn)的值。2.计算求lim(nnlnnn（选自广东省大学生高等数学竞赛试题）

nlnnlnn2lnn2lnnnlnn)=lim[(1)]析：lim（nnlnnnnlnnlnn1tt2t,则原式lim()e.令t0n1t1nnlnn2n

111(1)n1)

n23n111111111()

析： S2n1232n32n1242n1111111112()

=1

232n242nn1n2nn3.计算：lim(11111)

=(12nn111nnn

最后一式是函数f(x)

故limS2n11在[0，1]区间上的积分和（n等份，取右端点）1x1dxln2 01xn1

又limS2n1lim(S2n)ln2

nn2n11n11)

因此lim(1(1)n23n

n 4.设lim2006，试求,的值。

nn(n1)nnn1n

析：= 111n(n1)1(1)1(10())n0()nnnn,n11

显然由条件知0；而lim,n1n0()n0, 因此有10,且

xx2n

5.计算：lim(12)

nn2n110,10, 10,2006，故20051, 20062006xxx(n)x(n)2xnxxn2)n121x 析：(1)(1)(12xnn2n2n2xn2n24nnx 易知:1ex，nx进行变量代换，令nxm,则当n时m,并且mx,对122nx2nnxxxxm2lim(1)(1)ex 因此有lim1nmxmmn2nxx2nx)e.由夹逼原理得lim(12nn2n

6.1.设当x1时,1m是x1的等价无穷小,则m______.1xxm1解 m3.7.13.已知曲线yf(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为1,则lim[1f(1)]n_____.nn1解lim[1f(1)]ne.nn 8.5.limnk1nkenn1k______.解 原式e1.1.设函数yy(x)满足y(x1)yx2yex,且y(0)1.9.y(x)x若lima,则a_______.x0x2解应填1.由题设y(0)y(0)1,于是y(0)2.y(x)xy(x)11所以alimlimy(0)1.2x0x02x2x

10.2.已知f(x)exb在xe处为无穷间断点,在x1处

(xa)(xb)为可去间断点,则b________.解应填e.由题意知必有a1,be或ae,b1.e,limf(x),符合题意;x1e1xe当ae,b1时,limf(x)limf(x),与题意不符.x1xe当a1,be时,limf(x)

11.7.已知lim1ln[1xx021f(x)f(x)]4,则lim_________.3x01cosxx解 应填2ln2.1f(x)f(x)limln[1]limlimx0x02x11cosx(2x1)(1cosx)x0f(x)2f(x)f(x)lim4lim2ln2.2x0xln2x0x3x3xln22

12.5.已知有整数n(n4)使极限lim[(xn7x42)x]存在且不为零,则__.x1.5因为lim[(xn7x42)x]lim[xn(17x4n2xn)x],所以由极限存在可得n1,解应填xx由极限不为零得4n1,因此1.5

函数极限习题与解析 篇5

一、填空题

1、设f(x)2xlglgx，其定义域为。

2、设f(x)ln(x1)，其定义域为。

3、设f(x)arcsin(x3)，其定义域为。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为。

5、设yf(x)的定义域是[0，2]，则yf(x2)的定义域为。

x22xk4，则k=。

6、limx3x3x有间断点，其中为其可去间断点。sinxsin2x8、若当x0时，f(x)，且f(x)在x0处连续，则f(0)。

xnnn22)。

9、lim(2nn1n2nn7、函数y

10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的条件。

(x31)(x23x2)。

11、limx2x55x312、lim(1)n2nkne3，则k=。

x2113、函数y2的间断点是。

x3x

214、当x时，1是比x3x1的无穷小。x15、当x0时，无穷小11x与x相比较是无穷小。

16、函数ye在x=0处是第类间断点。

31x17、设yx1，则x=1为y的间断点。x118、已知f13，则当a为时，函数f(x)asinxsin3x在x处连续。

333sinxx02x19、设f(x)若limf(x)存在，则a=。

1x0(1ax)xx0xsinx2水平渐近线方程是。20、曲线yx221、f(x)4x21x12的连续区间为。

xa,x022、设f(x) 在x0连续，则常数

cosx,x0a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域（1）y

（3）ye ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？（1）f(x)lnx

（2）f(x)x

（3）f(x)1, 21 ；（2）ysinx ； 1x21x,g(x)2lnx ； ,g(x)x2 ；

g(x)sec2xtan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）yx2(1x2)；

（2）y3x2x3 ；

（3）yx(x1)(x1)；

4、求由所给函数构成的复合函数（1）yu

2（2）yu

（3）yu2,usinv,vx2 ； ,u1x2 ； ,uev,vsinx ；

5、计算下列极限（1）lim(1n111123(n1)n)；

（2）lim ；

n242n2

x25x22x1（3）lim ；

（4）lim ； 2x1x2x3x

111x32x2（5）lim(1)(22)；

（6）lim ； 2xx2xx(x2)

1x21（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x0x

（9）2xlimx(x1x)；

6、计算下列极限（1）limsinwxx0x ；

（3）limx0xcotx ；

（5）limx1x(x1)x1 ；

7、比较无穷小的阶

（1）x0时，2xx2与x2x3 ；

（2）x1时，1x与1(1x22)；

x13x1x2）limsin2xx0sin5x ；

4）lim(xx1x)x ； 16）lim(1x)xx0 ；

（（（8、利用等价无穷小性质求极限

tanxsinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx0x0(sinx)msinx39、讨论函数的连续性

(n,m是正整数)；

x1,x1 f(x)在x1。3x,x

110、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x)；

（2）lim(xxx2xx2x)；

6（3）limlnx0sinx12x ；

（4）lim(1)；

xxx

（5）设f(x)lim(1)nxnn,求limf(t11)； t

1（6）limxln(xx1)； x1

ex,x011、设函数f(x)

ax,x0应当怎样选择a，使得f(x)成为在(，)内的连续函数。

12、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

5（B）

1、设f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数定义域（1）yf(ex)

（2）yf(lnx)

0,xo2、设f(x)x,x0求

0,x0 g(x)2x,x0f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)]，3、利用极限准则证明：（1）lim1n11（2）limx[]1 ；

x0xn

（3）数列2,4、试比较当x0时，无穷小232与x的阶。

5、求极限

（1）limx(x1x)；

（2）lim(xx22,222,的极限存在 ；

xx22x3x1)； 2x

1（3）limx0tanxsinx ； 3x

axbxcxx（4）lim()x0

31(a0,b0,c0)；

1,x0xsin6、设f(x)

要使f(x)在(,)内连续，x2ax,x0应当怎样选择数a ？

x11,x0

求f(x)的间断点，并说明间断点类型。

7、设f(x)eln(1x),1x0

（C）

1、已知f(x)ex2,f[(x)]1x，且(x)0，求(x)并写出它的定义域。

2、求下列极限：

1x)coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milxx01xnisxcosx ；

xxax3x252)9，求常数a。sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x5x3xxax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)a,f(b)b，证明：在开区间(a,b)内至少存在一点，使f()。

第一章 函数与极限习题 解 析

（A）

一、填空题（1）(1,2]

（2）(1,)

（3）[2，4]

（4）x2kx(2k1)（6）-3

（7）xk,kz（10）充分

（11）,kz

（5）[2,;x0

（8）2（9）1

2]

3（12）

（13）x=1 , x=2（14）高阶 22（15）同阶

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2（20）y=-2

（21）[2,1](1,2]

（22）1

二、计算题

1、（1）

(,1)(1,1)(1,)

（2）

[0,)

（3）(,0)(0,)

2、（1）不同，定义域不同

（2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数

（2）非奇非偶函数

（3）奇函数

24、（1）y(sinx2)

2（2）[y1x]

（3）[ye2sinx] 

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2（6）

（7）0

（8）2（9）

6、（1）w

（2）2121 2212

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 5237、（1）2xx是xx的低阶无穷小

（2）是同阶无穷小

0,mn1

8、（1）

（2）1,mn

2,mn

9、不连续

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0e1 解得：x(,0]

（2）提示：由0lnx1解得：x[1,e]

2、提示：分成xo和x0两段求。f[f(x)]f(x)，g[g(x)]0，xf[g(x)]0 , g[f(x)]g(x)

4、（1）提示：11111111

（2）提示：x(1)x[]x

xxxnn

（3）提示：用数学归纳法证明：an222

2x3x22x13x1x

5、提示：

令21t（同阶）

xxx（2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等阶无穷小代换 ；

26、（1）提示：乘以x21x ；axbxcxx（4）提示：()

33xxxxxxa1b1c1a1b1c113ax1bx1cx13x1（3abc）

7、提示：limf(x)limf(x)f(0)

（a0）

x0x0

8、x1是第二类间断点，x0是第一类间断点

（C）

1、解：因为fxe2(x)1x，故(x)ln(1x)，再由ln(1x)0，x0。得：1x1，即x0。所以：(x)ln(1x)1xsinxsin2x1xsinxcos2x2、解：原式=lim=lim

x0x0x(1xsinxcosx)2xsinx(xsinx)=0 x0x223、解：因为当x时，sin~，xx=lim123x2523x2526x2106sin=lim=lim2则lim=

x5x3xxx5x3x5x3x5a1xaxeax=a=e2a)=lim

4、解：因为：9=lim(aexxax1x所以e2ax9，aln3

5、证明：令F(x)f(x)x，F(x)在a,b上连续，且

极限和连续习题 篇6

一、选择题

－(x－1)－11＝lim ＝－.故选A.2x1(x－1)(x－2)(x－3)x→1(x－2)(x－3)

2.解析：若limf(x)和limg(x)都存在，则lim[f(x)－g(x)]＝limf(x)－limg(x)＝0，即limf(x)＝limg(x)． →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞1.解析：原式＝lim →xxxxxxx故选C.2－223.解析：已知x＝2是x＋ax－2＝0的根，则a1，故选D.22

122mma1CmxCmxCmx(1x)malimb 4解析：limx0x0xx

a101a=-1,b=m,故ab=-m选A Cbm

x1(x1)f(x)2xa(x1)且limf(x)存在，则a的值为_－1_______.5.如果函数x1

6．解：∵lim(x－x＋1－a1x－b1)＝lim →－∞→－∞xx22(1－a21)x－(2a1b1＋1)x＋1－b1x－x＋1＋a1x＋b1＝0，∴1－a21＝0①

1－b21－(2a1b1＋1)－2x－(2a1b1＋1)x＋1－b12a1b1＋1且lim lim ＝x→－∞1－a111bx－x＋1＋a1x＋b1x→－∞1－a1－xxx

从而2a1b1＋1＝0②

1－a1≠0③

1联立解①②③得a1＝－1，b12

1同理可求得a2＝1，b2＝－.2

x2＋cx＋2b27已知lim a，且函数y＝－alnx＋c在[1，e]上存在反函数，求b的取值范围． xx→－2x＋2

x2＋cx＋2解：∵lim a，x→－2x＋2x2＋3x＋22∴x＝－2为x＋cx＋2＝0的根，解得c＝3.又lim ＝lim(x＋1)＝－1，∴a＝－1.x→－2x→－2x＋2

b2lnxb2xlnx－b∴y＝ln2x＋＋3，y′＝－＝xxxxb∵y＝ln2x＋＋3在[1，e]上存在反函数，x

∴y′≥0或y′≤0在[1，e]上恒成立．

中心极限定理-第四章练习题 篇7

解：EXXi1108i 228的概率.108EX

i1108i216，DXDXi144.i

1由中心极限定理P{X228}12282161(1)0.16.12

2、已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为4:1．现种植杂

交种10000株，试求结黄果植株介于1960到2040之间的概率．（用(x)表示）

1142000,DX10000160055

52040200019602000P(1960X2040)2(1)14040

3、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育。今从中有放回地抽取1600人的随机样本，解： 设结黄果植株为X，EX10000求样本中受过高等教育的人在19%和21%之间的概率。（(1)0.8413）

解： 设X表示抽取的1600人中受过高等教育的人数，则X~B(1600,0.2)，EX320,DX=162 则：P{0.191600X0.211600}P{304320X320336320X320}P{11}(1)(1)16161216

2(1)1 20.841310.6826。

4、某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率

为0.8，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97.5%的概率保证不会脱销？（(1.96)0.975.假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。

解： 设应预备n件，并设X表示某地区10000人需要件数，则X~B（10000，0.8），由中心极限定理得P{Xn}

由n80000.97540n80001.96,n8078.4，即应预备8079件。405、某商店出售某种贵重商品。根据经验，该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布。假定各周的销售量是相互独立的。用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。（用(x)表示）

解：设 Xi为第i周的销售量, i1,2,,52 Xi~P(1)，则一年的销售量为Y52X

i1i，E(Y)52,D(Y)52

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

P(50Y70)P



极限和连续习题 篇8

习题1.5 1.试用说法证明(1)1x在x0连续(2)sin5x在任意一点xa连续.证(1)0,要使|x,|x|221x210|2x22.由于22x22x,只需221x11x110|,故1x在x0连续.5(xa)2|.,取,则当|x|时有|1x5x5a2||sin(2)(1)0,要使|sin5xsin5a|2|cos由于2|cos取5x5a2||sin5(xa)2|5|xa|,只需5|xa|,|xa|5,5,则当|xa|时有|sin5xsin5a|,故sin5x在任意一点xa连续.2.设yf(x)在x0处连续且f(x0)0,证明存在0使得当|xx0|时f(x)0.证由于f(x)在x0处连续,对于f(x0)/2,存在存在0使得当|xx0|时f(x)f(x0)|f(x0)/2, 于是f(x)f(x0)f(x0)/2f(x0)/20.3.设f(x)在(a,b)上连续,证明|f(x)|在(a,b)上也连续,并且问其逆命题是否成立?证任取 x0(a,b),f在x0连续.任给0,存在0使得当|xx0|时|f(x)f(x0)|,此时||f(x)||f(x0)|||f(x)f(x0)|,故|f|在x0连续.其逆命题1,x是有理数不真,例如f(x)处处不连续,但是|f(x)|1处处连续.1,x是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 2ln(1x), x1,1x,x0,(1)f(x)(2)f(x)aarccosx,x1.ax x0;解(1)limf(x)limx0x0x1x11x21f(0),limf(x)f(0)a1.x0x1x1(2)limf(x)limln(1x)ln2f(1),limf(x)limaarccosxaf(1)ln2,aln2.5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:(1)limcosx1xx22xcoslimx1xxxcos01.(2)limxx2x.sin2xsin3x2sin2x(3)limex0sin3xelimx0e3.arctanlimx(4)limarctanxx8x124x8x124arctan14.1(5)limx(x13|x|x122x2)|x|2x2xx02lim(xx122x2)|x|limxxx03lim22x11/x12/xg(x)32.6.设limf(x)a0,limg(x)b,证明lim)f(x)xx0lim[(lnf(x))g(x)]a.a.bb证lim)f(x)xx0g(x)lim)exx0(lnf(x))g(x)exx0eblna7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:(1)f(x)cos(x[x]),间断点nZ,第一类间断点.(2)f(x)sgn(sinx),间断点n,nZ,第一类间断点.x,x1,(3)f(x)间断点x1,第一类间断点.1/2,x1.x1,0x1(4)f(x)间断点x1,第二类间断点.,1x2,sinx11,0x1,2x(5)f(x)x,1x2,间断点x2,第一类间断点.1,2x3.1x22

8.设yf(x)在R上是连续函数,而yg(x)在R上有定义,但在一点x0处间断.问函数h(x)f(x)g(x)及(x)f(x)g(x)在x0点是否一定间断?解h(x)f(x)g(x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续,g(x)(f(x)g(x))f(x)将在x0点连续,矛盾.而(x)f(x)g(x)在x0点未必间断.例如f(x)0,g(x)D(x).