极限状态设计法（共3篇）
极限状态设计法 篇1
0 引言
起重机被喻为“巨人之臂”, 广泛应用于对物料进行起重、运输、装卸、安装等作业的机械设备, 是国民经济各行业必需的机械设备, 也是组成生产流水作业线的重要设备。起重机的金属结构是起重机的重要组成部分, 是起重机的骨架, 其重量通常占到整机重量的60%~70%, 它的作用就是承受各种载荷以及自身和物体的重力[1]。起重机属于危险作业的特种设备, 而其应用又十分广泛, 一旦发生故障将会造成巨大的经济损失和人员伤亡。因此起重机金属结构的设计极为重要, 应用一种科学合理的结构设计方法来达到起重机设计的安全性和经济性成为当前起重机金属结构设计的迫切需求。
1 金属结构设计方法的发展
金属结构的设计方法经历了经验定值设计法、半经验半概率设计法和概率定值设计法3个阶段。金属结构的设计包括3个方面的内容:载荷、结构抗力、结构设计方法。19世纪后期, 金属结构开始广泛用于工程机械和工程结构中, 对其研究也进一步加深, 但是由于研究条件不足, 也没有足够反映金属材料内在规律的数据, 金属结构的设计基本上属于经验设计的范畴。直到20世纪初, 金属结构设计理论发展为基于弹性理论的许用应力设计法。许用应力法实际上是一种经验定值设计法, 得不到明确的可靠度概念。它将载荷和抗力均视为标准值来计算, 以规定的载荷标准值按线弹性理论来计算结构中的应力, 计算得到的应力应小于规范规定的许用应力。许用应力法将载荷和抗力均视为定值而未考虑其变异性, 这是不符合实际的, 而且当结构在外载荷作用下产生了较大的变形时, 内力与载荷呈现非线性关系, 基于线弹性理论的许用应力法对此并不适用。随着对载荷和抗力的不确定性研究, 前苏联于20世纪50年代提出了按极限状态的设计方法, 首次采用概率统计的方法确定材料强度和载荷统计特征, 但对安全度依然采用由经验得来的安全系数来控制, 该方法叫做半概率半经验的极限状态设计法。近年来, 我国在国内外研究的基础上, 通过对全国范围的起重机一些调查统计, 建立了基于分项系数表达式的概率极限状态设计法。该方法通过概率统计得到载荷与抗力的统计参数, 根据载荷与抗力的统计特征在概率分析的基础上选取适当的分项系数。把结构的极限状态方程和结构的可靠性指标联系起来, 在设计表达式中采用分项载荷系数与分项抗力系数来保证金属结构的可靠度。
2 概率极限状态设计法的理论基础
2.1 结构的极限状态
当结构在载荷作用下超过某一特定的状态后, 不能满足工作要求, 该特定状态就称为结构的极限状态[2]。它代表着结构可靠与不可靠之间的一个阀值。
影响结构功能的随机变量有很多, 包括金属材料的性能, 结构的尺寸, 作用在结构上的载荷等。设X1、X2…Xn是影响结构功能的n个基本随机变量, 可以建立结构的功能函数和极限状态方程。结构的功能函数为
当Z>0、Z<0、Z=0时分别代表了结构处于可靠状态、失效状态和极限状态。
结构的极限状态方程为
若这些随机变量的概率密度函数均已知, 理论上可以求出Z<0的概率。
假设R和S分别代表结构的抗力与载荷, 结构的极限状态方程为
假定R和S相应的概率密度函数分别为fR (r) 和fS (s) 见图1, 求解结构的失效概率方程为
2.2 结构的可靠指标
在使用直接积分法计算失效概率时, 不仅随机变量难以计算多重积分, 而且其联合概率密度函数也难以求得, 所以直接积分法在工程上基本难以实现。通过引入一个可靠度指标, 这个可靠指标与失效概率有着一一对应的关系, 这是一个计算失效概率的简单方法, 而且具有足够的精度。
由于Z的分布形式决定了结构的失效概率Pf。假设Z服从正态分布, μZ、σZ分别为Z的均值和标准差, 即Z~ (μZ, σZ) 。Z通过标准正态分布变换Y= (Z-uZ) /σZ为Y~N (0, 1) , 此时Y的累积分布函数为
概率密度函数为
可以求得失效概率Pf:
定义结构的可靠性指标β为
失效概率pf和可靠概率pr均可由β表示:
2.3 一次二阶矩法
在已知结构功能函数的概率分布的前提下才可以计算结构的可靠度, 实际上由于较多的基本随机变量导致确定结构功能函数的概率分布比较难以实现。在工程上有一种较为实用的方法, 不需要确定功能函数的概率分布, 而是只需要知道较容易确定的各随机变量的统计参数, 根据各随机变量的均值与方差以及其概率分布函数进行结构的可靠度计算, 此即为一次二阶矩法的原理。在结构可靠度领域, 国际结构安全度委员会 (JCSS) 推荐的一次二阶矩法可以方便地求解结构件的可靠度[3]。
一次二阶矩法分可以为中心点法和验算点法两种[4]。中心点法将功能函数在各个变量的均值点 (中心点) 处展开成Taylor级数后, 可以得到功能函数Z的均值μZ和方差σZ2的近似值, 由结构可靠指标的定义通过式 (8) , 可以得到可靠指标β的值。中心点法计算简便, 所得到的用以度量结构可靠程度的可靠指标β具有明确的物理概念和几何意义[5]。它的不足之处在于没有考虑各基本随机变量的概率分布类型, 而只考虑了随机变量的均值和方差, 因此计算精度不高, 对非线性的功能函数有一定误差。验算点法在极限状态面上选取功能函数的线性化Taylor展开点, 同时又考虑了基本变量的实际概率分布类型, 从根本上解决了中心点法的不足之处, 故又称改进的一次二阶矩法。
在变量为独立正态分布的情况下, 验算点法的计算步骤如下:
现假设x*= (x1*, x2*, …, xn*) T是结构极限状态曲面上的一点, 此前已经给出结构的极限状态方程为式 (2) , 则有
在x*处将式 (2) 按Taylor级数展开并取至一次项, 有
方程ZL=0为通过验算点x*在曲面Z=gX (X) =0上的切平面方程。可以求得ZL的均值为
ZL的标准差为
从原点到通过验算点x*的切平面的距离即为可靠指标:
把ZL=0进行标准正态分布变换Yi= (Xi-μXi) /σXi, 转换到标准正态空间, 并将转换后的方程除以σZL, 得
由式 (16) 可知, 定义变量Xi的分离系数 (也称之为灵敏度系数) 如下, 分离系数在计算载荷分项系数和抗力分项系数时也会用到:
于是式 (16) 可以改写为
式 (18) 表示β的几何意义为在标准正态空间Y中, 原点到极限状态面之间最短的长度。β的计算就是求此段距离的长度。这段距离等于验算点p*到标准化空间中原点O的连线的长度, 此段连线的方向余弦为cosθYi。
验算点p*在原始X空间中的坐标为
将式 (11) 、式 (15) 、式 (17) 、式 (19) 联立可求解β和x*。由于上述方程相互关联, 可采用逐次迭代求解的方法求解, 其迭代步骤如下:1) 假定初始验算点值x*, 一般可设x*=μX。2) 计算cosθXi, 利用式 (17) 。3) 计算β, 利用式 (15) 。4) 计算新的x*, 利用式 (19) 。5) 以新的x*重复步骤2) ~4) , 直到前后两次‖x*‖之差<允许误差。
上述计算步骤是随机变量为正态分布变量的情况, 当随机变量为非正态分随机变量时, 需先将非正态随机变量当量正态化。当量正态化后依然以验算点法来求解结构的可靠度。
3 极限状态设计法的实用设计表达式
起重机金属结构的设计表达式应该考虑到实际应用的方便, 以及前人所累积的工程实践经验, 在起重机金属结构的可靠度设计上不采用结构概率可靠度的直接设计法, 不需要直接进行概率方面的计算, 而是采用分项系数的形式来保证结构具有目标可靠度, 在工程上较易理解和接受[6]。以多分项系数表达的近似概率极限状态设计法, 是目前世界上公认的先进设计方法, 它以具有概率意义的可靠指标度量和控制结构的可靠度, 从根本上克服了过去基于经验的单一安全系数许用应力法的不足。极限状态设计法的优点就是能够针对不同的载荷效应的变异性, 不同的载荷组合而采用不同的分项系数, 根据金属材料的性能选取更加准确的抗力分项系数, 从而达到规定的可靠度。
图2为极限状态设计法的典型流程图, 图中γpi为载荷分项系数, γm为抗力分项系数。将载荷分项系数与抗力分项系数应用到设计表达式中以使结构达到目标可靠指标即为极限状态设计法与传统许用应力设计法的不同之处, 也是概率极限状态设计法的精髓所在。极限状态法的设计步骤为:将每项载荷乘以相应的载荷分项系数γpi, 《起重机设计规范》中表G.2 (采用极限状态设计法设计时流动式起重机金属结构计算的载荷与载荷组合表) 给出了相应工况下的载荷组合和分项载荷系数的取值。得到载荷组合后乘以高度危险系数γn, 当结构破坏会造成极其严重的事故时取γn=1.10或γn=1.05, 一般情况下取γn=1.0。然后由设计载荷γnFj计算出载荷效应Sk。最后计算出的应力要小于材料的极限应力limσ, limσ由结构抗力除以抗力分项系数γm得到。
4 分项载荷系数γpi与抗力系数γm
4.1 分项系数求解方法
要设计达到目标可靠指标β的起重机金属结构, 首先应给出目标可靠指标β。β值依强度、疲劳强度、刚度要求而异。它应根据结构的重要性、失效造成的后果、破坏性质以及经济指标等因素以优化方法确定。现行的《起重机设计规范》 (GBT/T 3811———2008) 对不同的起重机规定了可靠指标值。给出目标可靠指标β的值就可以确定分项系数的值, 分项系数的确定方法如下:
分项系数设计表达式的一般形式为
假定设计中要考虑的功能函数为
则分项系数的设计准则为
由结构的验算点法, 之前已给出灵敏度系数αi的表达式 (17) , 和验算点的坐标表达式 (19) 。把式 (17) 和式 (19) 与式 (22) 进行比较, 可得出各分项系数如下:
只要事先应用验算点法迭代求解出分离系数αXi, 就可以利用分离系数αXi求解出载荷分项系数和抗力分项系数。由式 (23) 、式 (24) 可知分项系数主要与该变量的变异性大小有关。
4.2 分项系数实例分析
以桥式起重机为例, 其金属结构的功能函数为线性函数Z=R-G-L。式中:R为抗力, 为对数正态分布, 其均值为μR=1.13RK, 变异系数δR=0.1;G为自重载荷, 为正态变量, 其均值为μG=1.06GK, 变异系数δG=0.07;L为吊重载荷, 为极值I型变量, 其均值μL=0.7LK, 变异系数δL=0.288;RK、GK、LK为分别为抗力、自重载荷和吊重载荷的标准值。
在吊重载荷和自重载荷的标准值比值ρ=LK/GK=0.1的条件下, 为使可靠指标β=3.5, 求解相应的分项系数。
引用式 (20) , 对于本例其设计表达式为γ0GμG+γ0LμL=γ0R-1μR。
抗力R为对数正态分布, 对其进行当量正态变换, 得到其当量正态化变量的均值和标准差为:
吊重载荷L为极值I型分布, 对其进行当量正态变换, 得到其当量正态化变量的均值和标准差为:μL′=L*-Φ-1[F (L*) ]σL′;σL′=准{Φ-1[F (L*) ]}/f (L*) 。
引用式 (17) 和式 (19) , 对于本例即为:
引用式 (23) 和式 (24) , 分项系数计算公式为:
先假定γ0G=γ0L=γ0R=1为初始值, 按上述公式利用逐次迭代法求解出最后系数, 经过4次迭代计算可求得:
由上述算例可知, 如果给定结构的整体或各处均匀的可靠指标值, 则结构对于不同载荷的分项系数随之可以确定;反之, 如果随意规定相应于各种载荷的分项系数, 则结构的可靠指标会有不同的结果。因此在现行的《起重机设计规范》 (GBT/T 3811———2008) 的分项系数设计表达式中, 仅对相应于不同安全等级和失效模式的结构规定不同的可靠指标, 则相应于此可靠指标的各分项系数取作相对固定的常值[7]。利用分项系数来保证结构的可靠度是一种有效的设计方法。
5 结语
起重机的金属结构设计方法由定值安全系数的许用应力法发展到分项安全系数的极限状态设计法是一个巨大的进步。以概率统计和可靠度性论为基础, 以可靠指标β间接衡量起重机的失效概率使设计变得十分科学方便。本文对一次二阶矩法求解可靠指标和利用目标可靠指标求解分项系数的步骤均做了较详细的介绍。给出了起重机金属结构极限状态设计法的设计流程。
在起重机金属结构的设计方面, 各种方法都有其优缺点随着社会的进步, 科学的发展, 新的设计方法必将越来越准确方便而逐步取代旧的设计方法。笔者认为极限状态设计法也有其缺陷性:一是对于载荷与结构抗力的统计数据随着时间的增长而增多, 随机变量的概率特性发生了一定的变化, 这种变化可能导致目前的分项系数不再适用, 但是现行的设计方法难以对分项系数进行合理调整。二是阻碍了新材料结构和新型结构的推广, 对于一些新材料, 如果其抗力不定性与传统结构存在较大差别, 需重新确定相应的分项系数。三是限制了对目标可靠指标、设计年限的不同选择。规范提出的设计方法其目标可靠指标已经确定, 若业主提出更高可靠指标的要求, 需对分项系数重新选取。以上是笔者的一点看法, 希望对起重机设计方法的进步提供些微的帮助。
参考文献
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极限状态设计法 篇2
金属结构是以型钢及钢板作为基本元件,采用铆、焊、拴接等连接方法,按照一定的结构组成规则连接构成的能够承受载荷的结构物。金属结构作为机械装备的骨架,承受和传递机械装备负担的常规载荷、偶然载荷及特殊载荷。例如A型双梁门式起重机的起升载荷是通过小车的车轮传给主梁,主梁再传给支腿,支腿传给大车车轮,最后由轨道传给地基来完成载荷的传递。金属结构是起重机械装备的主要组成,约占整机总重的60%～80%。
1 通用桥式起重机
1.1 通用桥式起重机桥架
通用桥式起重机的桥架一般采用箱形梁结构,其截面形式见图1(其中,H1为梁高,B1为腹板间距)。根据主梁和走台形式的不同可分为中轨箱形梁、半偏轨箱形梁和偏轨箱形梁。中轨箱形梁是把小车轨道布置在主梁上翼缘板宽度中心线上,在箱形梁内焊接大、小横隔板,与上翼缘板顶紧以支承轨道。半偏轨箱形梁是把小车轨道布置在主梁宽度中心线至腹板之间的翼缘板上,用以减小小车轮压对箱形梁产生的偏心扭矩并减小翼缘板的局部弯曲和腹板的局部压应力。偏轨箱形梁是把小车轨道布置在主腹板上,梁内省去小隔板。
1.2 通用桥式起重机极限状态法
1.2.1 极限状态法概述
传统的许用应力法采用单一的安全系数考虑结构所受的载荷、结构所用材料强度的不确定性对结构安全度的影响,难以处理在不同载荷作用下不同工况起重机结构的安全度问题。为使结构更加合理和发挥材料性能,采用基于概率论和数理统计的极限状态法设计桥架结构,根据对结构最不利的作用情况,将可能出现的载荷进行合理的组合,计算基于极限状态的各种载荷。
1.2.2 桥式起重机金属结构极限状态法
起重机在工作条件下,统计分析结构的受载情况及其材料性能的均匀程度。其必须满足两种极限状态:①在起重机寿命期间内,其在常规载荷重复作用下或在偶然载荷和特殊载荷作用下,结构构件或部件丧失强度或稳定性的承载能力;②结构受过大的弹性变形(下挠)或振动(自振频率)时,影响起重机的正常作业和工作人员的安全,导致起重机不能正常工作。
极限状态法是使外载荷在结构及连接接头中产生的应力和变形不超过结构及连接接头的极限承载能力的设计方法。其设计步骤为:
(1)计算各指定载荷fi,并乘以适当的动力系数φi。
(2)乘以该载荷相对应的分项载荷系数γpi,根据载荷组合表进行合理组合,得出组合载荷Fj。在高度危险的使用场合和工况下,应用高危险度系数γn乘以载荷Fj,得出设计载荷γnFj。
(3)由载荷γnFj计算结构的内力,确定设计载荷效应Sk。根据作用在构件或部件上的载荷效应计算出应力σ1l,并与局部效应引起的其他应力σ2l进行合成,以便得出组合设计应力σl。
(4)将组合设计应力σl与极限应力σlim相比较。极限应力σlim等于材料强度σs除以抗力系数γm。
2 通用桥式起重机结构分析
2.1 力学模型
以通用桥式起重机的主梁结构设计为例,来介绍极限状态法的应用。通用桥式起重机的主梁承受垂直载荷、水平载荷和扭转载荷。垂直载荷包括固定载荷和移动载荷,固定载荷有主梁均布载荷Fq、大车运行机构的重量PGi、司机室重量PGS、移动载荷为小车轮压集中ΣP,在这些载荷的作用下,主梁结构按简支梁进行分析计算。水平载荷有均布载荷FH、移动集中惯性载荷PH,在水平面内主梁与端梁刚性连接,形成一个刚架结构,水平载荷作用下的主梁结构按反对称水平刚架力学模型分析计算。
2.2 载荷计算
起重机在工作时其结构承受的各项载荷不可能同时出现,因此,在进行载荷计算的时候,应根据起重机的工作特点及其不同工况,考虑各项载荷实际出现的几率,按对结构最不利的作用情况,将可能出现的载荷进行合理的组合。然后根据载荷组合表求出相应的载荷,计算载荷对结构产生的内力是否满足材料的极限状态。表1列出了载荷组合A工况下的4种载荷组合,载荷组合A主要是常规载荷、工作状态风载荷及其他气候影响产生的载荷。表1中φ1是起升冲击系数,φ2是起升动载系数,φ3是突然卸载冲击系数,φ4是运行冲击系数,φ5是驱动加速力引起的载荷系数。表2给出了A4工况下垂直方向的载荷计算公式,水平方向的载荷计算公式请参考文献[1]。载荷组合A4用运行冲击系数φ4代替了起升冲击系数φ1和起升动载系数φ2,这种工况比较典型。表2中,L为起重机跨度;l1为大车运行机构至梁端的距离;l2为司机室至梁端的距离;ΣP=P1+P2,P1为小车主动轮产生的轮压,P2为小车从动轮产生的轮压;b1为小车的重心至主动轮的距离;c1为轮压P1至梁断的距离;Ix为箱型梁截面垂直方向的惯性矩;A0为箱形梁截面的净面积;Σδ为腹板厚度之和;hd为翼缘板的宽度;δ为腹板厚度;y为抗弯截面高度;y1为箱形梁截面形心坐标;Tn1跨中内扭矩;σs为材料的屈服强度。
3 结论
(1)以概率论为基础的极限状态法用载荷分项系数代替单一的安全系数,从实际应用中考虑了载荷的作用效应和结构抗力的变异性,通过对结构的主要承载部分所承受的载荷、结构材料的选用和实际工作情况的统计分析来计算结构强度的可靠度,比较符合起重机金属结构的实际工作情况,计算结果比较精确,设计更加经济合理,可以节省一定的材料。
(2)在满足材料强度的前提下,由极限状态法算出的计算值稍大,但从评价指标来看,其设计裕度更大,更加安全。
参考文献
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岩土问题极限状态分析方法探讨 篇3
目前常采用四种方法进行求解：极限平衡方法、极限分析方法、有限元法、综合法。传统的极限平衡方法采用垂直界面的条块，假定沿滑裂面土体处处达到极限平衡，通过分析条块的静力平衡得到可行应力场和极限荷载的下限解。经典极限分析方法则假定土体为均质的理想弹塑性体或刚塑性体，滑动体内各点均达到极限平衡状态，通过求解虚功方程得到极限荷载的上限解。在上述两种方法中，通常要对滑动面的形状进行一定的假设。采用有限元法可以克服了破坏机制预先假定的缺陷，而且可以考虑复杂的边界和荷载条件、土体非线性本构关系，根据土体破坏的标准，通过强度降低或者荷载增加可直接求出岩土结构的极限荷载、安全系数和滑动面，同时还可以反映岩土结构的渐近破坏过程，但其失稳判据较难统一。综合法既可利用极限平衡方法求解边坡安全系数，又没有对强度参数进行折减，也可得到边坡的最小安全系数和临界滑裂面的位置。
但是，在地基和土坡中出现滑动面的过程中，土体由弹性状态逐渐进入到塑性破坏阶段，在滑动面附近的土体可能已进入软化阶段而产生局部化现象，而且位移场和应变场将不再连续。这种由变形局部化引起的材料不稳定性将导致偏微分控制方程的性质发生改变，如对于静力问题，控制方程将由椭圆型变为双曲型。当采用常规有限元进行数值求解时，由于无法正确反映能量的耗散而使得计算结果与网格的尺寸大小和排列方向相关。当采用极限分析有限元方法和综合法时，由于土体结构应力均由有限元分析得到，而且在滑动面未完全贯通之前，已有很多单元进入应变局部化状态，因此土体响应可能会受到网格尺寸的影响。另一方面，在承载力达到峰值之后的破坏阶段的响应和破坏路径的确定，也将是损失评估、破坏机理研究和加固设计的重要技术依据。因此很有必要采用更为精确的方法来研究岩土结构的失稳破坏过程和极限承载力。因而为了描述材料在失稳和局部化产生之后的变形行为，并保证边值问题的适定性、克服数值解的网格相关性等问题，学者们开展了对控制方程和材料本构进行修改来获得正则化机制的研究，其中包括：梯度塑性理论、Cosserat理论、非局部理论、强间断分析等方法。在梯度塑性、非局部化模型、Cosserat模型中，局部化带内的变形与材料的内部特征长度有很大的关系。但该参数很难从实验中确定，而且为了能够刻划应变或者位移的剧烈变化，这就要求在局部化区域网格尺寸比较小，如果局部化区域未知，那么就要对整个结构进行比较细的剖分。而且裂纹、剪切带是通过局部化区域表示的，无法给出裂纹或剪切带两侧的位移间断，属于弥散模型。强间断分析法允许单元内存在间断的位移场、应变场，而且无需重新剖分网格即可描述结构中不连续面的演化，较好地克服了标准有限元在模拟应变局部化问题所出现的数值解的网格依赖性和边值问题的不适定性问题，并可以跟踪结构在出现局部化变形后的破坏发展过程。
结论
以应变局部化为理论的有限元方法可作为传统极限平衡法进行稳定分析、承载力分析的有益补充，为探讨岩土结构破坏机理和加固方案设计提供技术依据。
摘要：土工结构物达到承载力极限时往往伴随着材料的破坏, 极限分析及破坏之后的分析是很困难的, 本文介绍了几种分析方法, 探讨了它们的优缺点, 为工程设计提供更为可靠的技术依据。
关键词：土工结构物,极限分析,破坏
参考文献
[1]郑颖人、赵尚毅:《岩土工程极限分析有限元法及其应用》, 《土木工程学报》, 2005, 38 (1) 91-104。