数列通向公式的求法

2024-09-27

数列通向公式的求法（精选7篇）

数列通向公式的求法篇1

数列是高中数学中的重要内容, 求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一。由于求通项公式时会渗透多种数学思想方法, 因此求解过程中往往方法多, 灵活度大, 技巧性强。而且数列问题背景新颖, 综合性强, 能力要求高, 内在联系密切, 思维方法灵活, 致使很多考生在数列题当中失分较多。特别是已知条件以递推形式给出的数列———递归数列, 求其通项公式就更加感到困难。本文笔者总结出几种求解数列通项公式的方法, 希望能对大家有所帮助。

一、定义法

当已知数列为等差或等比数列时, 可直接利用等差或等比数列的通项公式, 这样只需求得首项及公差公比即可。

例1:设{an}是一个公差为d (d≠0) 的等差数列, 它的前10项和S10, 且a1, a2, a4成等比数列。 (Ⅰ) 证明:a1=d; (Ⅱ) 求公差d的值和数列{an}的通项公式。

证明: (Ⅰ) ∵a1, a2, a4成等比数列, ∴a22=a1a4。而{an}是等差数列, 有a2=a1+d, a4=a1+3d, 于是 (a1+d) 2=a1 (a1+3d) , 即a12+2a1d+d2=a12+3a1d, 化简得a1=d。

(Ⅱ) 解:由条件S10=110和得到10a1+45d=110, 由 (Ⅰ) 知a1=d, 代入上式得55d=110, 故d=2, an=a1+ (n-1) d=2n。

二、累加法 (也称逐差求和法)

形如且an+1=an+f (n) , f (n) 为可求和数列, 那么可用逐项作差后累加的方法求an。即

例2:已知数列{an}满足an+1=an+2n+1, a1=1求数列{an}的通项公式。

解:由an+1=an+2n+1, 得an+1-an=2n+1则

所以数列{an}的通项公式为an=n2。

评注:本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1, 进而利用逐差求和法求得数列{an}的通项公式。

三、累乘法 (也称逐商求积法)

形如an+1=an·f (n) , f (n) 可用逐项作商后求积得到。即于是只要f (n) 可以求积就行。

例3:已知数列{an}满足求an。

这种利用求通项公式的方法称为累乘法, 累乘法是求形如an+1=an·f (n) 的递推数列通项公式的基本方法, 适用于积为特殊数列的数列。

四、构造新数列

对于一些递推关系较复杂的数列, 可通过对递推关系公式的变形、整理, 从中构造出一个新的等比或等差数列, 从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。

1. 构造等差数列或等比数列

等差数列与等比数列是基本的两种数列, 对于一些递推数列问题, 若能构造等差数列或等比数列, 无疑是一种行之有效的构造方法。

(1) 将递推公式an+1=qan+d (q, d为常数, q≠0, d≠0, ) 通过an+1+λ=p (an+λ) 与原递推公式恒等变形, 构造等比数列为首项, q为公比的等比数列。

例4:在数列{an}中, a1=2, 且求{an}的通项公式。

(2) an=pan-1+f (n) 构造出与f (n) 相似的式子, an+m·f (n) =p[an-1+m·f (n-1) ]。通过待定系数法确定m的值, 转化成以a1+mf (1) 为首项, 以p为公比的等比数列。

如递推式an+1=Aan+Bn+C可构造为形如an+1=λ1n+λ2=A[an+λ1 (n-1) +λ2]的等比数列。

例5:设数列{an}中, a1=1, an+1=3an+2n+1, 求{an}的通项公式。

如递推式an+1=Aan+B·Cn (A、B、C为常数, 下同) 可构造为形如an+1+λ·Cn+1=A (an+λ·Cn) 的等比数列。

例6:设数列{an}中, a1=1, an+1=3an+2n, 求{an的通项公式。

解:设an+1+t2n+1=3 (an+t2n) , 展开后, 得an+1=3an+2n, 对比得t=1, ∴an+1+2n+1=3 (an+2n) 。令bn=an+2n, 则bn+1=3bn, 且b1=a1+21=3, ∴{bn}是b1=3为首项, 公比q=3的等比数列。∴bn=3·3n-1=3n, 即an=3n-2n。

(3) 若这种类型一般是等式两边取倒数, 运算中注意新数列的首项, 公差或公比的变化。

例7:已知数列{an} (n∈N*) 中, 求数列{an}的通项公式。

2. 构造对数式。

形如an+1=panr (p>0, an>0) 这种类型一般是等式两边取对数后得:lgan+1=rlgan+1gp。

例8:已知数列{an}, 其中a1=1, 且求通项公式an。

数列与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系, 因而在历年的高考试题中占有较大的比重。求解数列题往往涉及到重要的数学思想方法, 对学生的能力要求较高。所以求数列的通项往往是化归转化策略, 即数列问题常可化归为等差 (或等比) 数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解。

数列通项公式的基本求法篇2

一、知数列的前n项和Sn求通项公式an——公式法

形如Sn=f (n) (n∈N*) 之题型, 可直用公式:

an=S1;n=1 an=Sn-Sn-1;n≥2求出通项公式。

如例已知数列{an}的前n项和Sn, 且有Sn=n2-2n+1, 求数列的通项公式an;

分析:当时n=1, a1=S1=0;当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n-3, 知n=1不合,

则所求数列的通项公式为:an=0;n=1 an=2n-3;n≥2 (n∈N*) 。

二、知数列递推关系an=f (an-1) (n≥2, n缀N*) 求通项公式an.

1. 累加法。知数列的首项和递推关系, 形如关系式之题型。

如例已知数列{an}中, a1=1, an=an-1+3n-1 (n≥2) , 求数列的通项公式;

分析:用累加法:当n≥2时

an=an-1+3n-1, an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, …, a2=a1+3,

将如上的n-1个式子相加, 得:

an=a1+3+32+…+3n-1=1+3+32+…+3n-1,

则, 验n=1也适合, 则数列的通项公式为;

2. 累乘法。知数列的首项和递推关系, 形如关系式:an=f (n) an-1 (n∈N*, n≥2) 之题型。

通项如公式例;已知数列{an}中, a1=1, (n≥2) , 求数列的

分析:用累乘法:当 (n≥2) 时

将如上的n-1个式子相乘, 得:

则, 验n=1也适合, 则数列的通项公式为;

3. 构造法。知数列的首项和递推关系, 形如关系式:

an=kan-1+P (n∈N*, n≥2) (其中k、p为常数, 且k≠1, q≠0) 之题型, 可用待定系数法构造an+r=k (an-1+r) (其中r通过 (k-1) r=q解出, 从而转化成等比数列{an+r}, 然后得出数列{an}的通项公式。

4. 倒数法。

知数列的首项和递推关系, 形如关系式之题型, 可用倒数变换法将给出的递推关系变换为形如的形式。

三、知数列的前n项和Sn与通项公式an的关系求an——邻差法

知数列的通项an与前n项和Sn之间的关系, 通过转化将其化归为只关于Sn或只关于an的递归关系。先用“邻差法”——找出已知an与前n项和Sn之间的关系的前一个 (或后一个) 关系 (即邻舍) , 然后相减得出仅含有an递推关系的式子。

如例若数列{an}的前n项和为Sn, 且有, 求数列的通项公式;

论数列通项公式的求法篇3

例1写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

( 1) 1,-1 /2,1 /3,-1/ 4;

( 2) 2,0,2,0.

类型二前n项和法: 已知前n项和,求通项公式

例2设{ an} 的前n项和为sn,且满足sn= n2+ 2n - 1, 求{ an} 的通项公式.

类型三叠加法: 形如an+1- an= f( n) 的递推式

例3在{ an} 中,已知a1= 1,an- an-1= n( n≥2) ,求通项an.

类型四叠乘法: 形如的递推式

例3已知{ an} 中,a1= 2,an+1/an =n/( n + 1),求通项an.

类型五构造辅助数列

例5数列{ an} 满足a1= 1,an+1= 2an+ 1,( 1 ) 证明 { an+ 1} 是等比数列; ( 2) 求an.

∴ { an+ 1 } 是以a1+ 1为首项,以2为公式的等比数列.

∴ an= 2n- 1.

总结: 形如an+1= Aan+ B ( 其中A,B为常数,A≠1, B≠0)

总之,求数列通项公式的方法并不满足于以上所述,对于同一问题的求解也不仅是一种方法,只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结,将知识与方法学活,才可以做到游刃有余.

摘要：数列在理论上和实践中均有较高的价值,是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体,高考对数列知识的考查在20世纪80年代末发展到了极致,以后逐渐冷落,但最近几年又逐渐升温,随着与大学知识的接轨,竞赛题的释放,很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题,而数列通项公式的求法又成为一个热点.本文想总结一下,在高中阶段,求数列通项公式的常用方法和策略.

数列通项公式求法的一些建议篇4

1通过实例, 理解等差数列、等比数列的概念。

2探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。

3能在具体的问题情境中, 发现数列的等差关系或等比关系, 并能用有关知识解决相应的问题。

4体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

现我就数列通项公式求法的几个方面谈几点自己的看法:

一、直接利用等比与等差数列的通项及求和公式进行求解 (利用基本量进行解方程) , 参考课标要求②中的通项与前n项和公式的掌握

例题1: (2008 年新课标2 理科17) 已知数列{an}是一个等差数列, 且a2=1, a5=-5。

(1) 求{an}的通项an;

所以an=a1+ (n-1) d=-2n+5。

二、构造等比数列求通项公式 (这种题型现在弱化为证明某个数列是等比数列, 相当于给学生一种提示, 难度较之以前直接求通项公式简单很多) , 参考课标要求①中通过实例, 理解等差数列、等比数列的概念

例题3: (2014新课标2理科17题)

例题4: (2016 年乌鲁木齐市二模17 题)

在数列{an}中, 已知:2an=Sn+1, (1) 求:通项公式an

四、构造等差数列求通项公式 (这种题型现在弱化为证明某个数列是等差数列, 相当于给学生一种提示, 难度较之以前直接求通项公式简单很多)

例题5:2015 安徽高考17

六、利用“累加法”求通项公式, 递推公式形如an+1-an=f (n) 或an=an-1+f (n) 这种形式

例题7: (2010 新课标2 理科17)

综上所述, 数列通项公式的求法是历年高考重点的考察内容, 常见的方法有很多种, 以上是现在新课标考察的方向, 还有些方法现在不常考, 弱化了如利用“累积法”“待定系数法”等求通项公式。

参考文献

[1]新课程标准

数列通项公式的几种求法篇5

关键词：求数列的通项公式

高中数学中的通项公式是历年高考中常考的问题, 也是学生感到棘手的问题, 在数列求和、极限中也经常用到通项公式, 现就将数列通项公式的几种常用的求法介绍于下:

1.公式法

当一个数列是等差数列或等比数列时直接用公式求得.

2.叠加、叠乘法

当一个数列{an}中an-an-1=f (n) 或 $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = f (n)$ 时可用叠加或叠乘的方法求得.

例1 已知数列{an}中, a1=1, an=an-1+n2-n (n≥2) , 求数列{an}的通项公式.

分析 ∵an-an-1=n2-n (n≥2) 与n有关, 但不是等差数列, 因此可用叠加方法予以求得.

$\begin{array}{l} 解 ∵ a_{n} - a_{n - 1} = n^{2} - n ‚ a_{n - 1} - a_{n - 2} = (n - 1)^{2} - (n - 1) ‚ \dots ‚ a_{2} - a_{1} = 2^{2} - 2 ‚ \\ ∴ a_{n} - a_{1} = (2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}) - [2 + 3 + \dots + n] = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{n (n + 1)}{2} ‚ \\ ∴ a_{n} = \frac{n (n + 1) (n - 1)}{3} + 1 . \end{array}$

3.构造法

若一个数列是连续两项或三项的递推数列, 则可构造成等差数列或等比数列, 再求其通项.

(1) a1=a, an=pan-1+r (p≠1, p, r为常数) 型, 它可构造成公比为p的等比数列.

例2 已知数列{an}中, a1=1, 3an=4an-1+5 (n≥2) , 求数列{an}的通项公式.

解答 $∵ a_{n} = \frac{4}{3} a_{n - 1} + \frac{5}{3} ‚ ∴ a_{n} + m = \frac{4}{3} (a_{n - 1} + m) ‚ ∴ m = 5$ , 即数列{an+5}是以a1+5=6为首项, 公比为 $\frac{4}{3}$ 的等比数列,

$\begin{array}{l} a_{n} = 6 \times (\frac{4}{3})^{n - 1} - 5 . \\ (2) a_{1} = a ‚ a_{2} = b ‚ a_{n + 1} = p a_{n} + r a_{n - 1} (n \geq 2) \end{array}$

型, 它可构造成形如{an+man-1}的等比数列 (但公比不一定为p) .

例3 已知数列{xn}满足 $x_{2} = \frac{x_{1}}{2} ‚ x_{n} = \frac{1}{2} (x_{n - 1} + x_{n - 2}) (n \geq 3)$ , 若 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = 2$ , 求x1.

分析此数列显然要求出xn, 再求出x1, 构造新数列即得解.

解 $∵ x_{2} = \frac{x_{1}}{2} ‚ x_{n} = \frac{1}{2} (x_{n - 1} + x_{n - 2}) (n \geq 3) ‚$

∴设xn+mxn-1=p (xn-1+mxn-2) , 即得一组解为数列 ${x_{n} + \frac{1}{2} x_{n - 1}}$ 是以 $x_{2} + \frac{x_{1}}{2} = x_{1}$ 为首项, 公比为1的等比数列 (常数数列) , 即 $x_{n} + \frac{1}{2} x_{n - 1} = x_{2} + \frac{1}{2} x_{1} = x_{1}$ .又设 $x_{n} + t = - \frac{1}{2} (x_{n - 1} + t) (n \geq 2)$ , 即 $t = - \frac{2}{3} x_{1} ‚ ∴ 数$ 列 ${x_{n} - \frac{2}{3} x_{1}}$ 是以 $x_{1} - \frac{2 x_{1}}{3} = \frac{x_{1}}{3}$ 为首项, 公比为 $- \frac{1}{2}$ 的等比数列, $∴ x_{n} = \frac{x_{1}}{3} (- \frac{1}{2})^{n - 1} + \frac{2 x_{1}}{3}$ .又 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \frac{2 x_{1}}{3} = 2 ‚ ∴ x_{1} = 3 .$

4.和差法

若一个数列知其Sn与an的递推关系, 则可用Sn-Sn-1=an (n≥2) 得解.

例4 已知数列{an}中, Sn是它的前n项和, 并且Sn+1=4an+2 (n∈N*) , a1=1, 求{an}的通项公式.

分析求由递推关系给出的数列通项公式时, 先对递推关系变形, 构造出一个与所求数列有关的且为等差数列或等比数列的新数列, 再根据新数列的通项公式求出所求数列的通项公式

解 ∵Sn+1=4an+2, ①

∴Sn+2=4an+1+2. ②

②-①, 得an+2=4an+1-4an.

∴an+2-2an+1=2 (an+1-2an) ,

∴数列{an+1-2an}是首项为a2-2a1=3, 公比为2的等比数列,

$∴ a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} ‚ ∴ \frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}} - \frac{a_{n}}{2^{n}} = \frac{3}{4} ‚$

∴数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是首项为 $\frac{a_{1}}{2} = \frac{1}{2}$ , 公比为 $\frac{3}{4}$ 的等差数列,

$\begin{array}{l} ∴ \frac{a_{n}}{2^{n}} = \frac{1}{2} + (n - 1) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} n - \frac{1}{4} ‚ \\ ∴ a_{n} = (3 n - 1) \cdot 2^{n - 2} . \end{array}$

5.猜测法

若一数列可用递推关系求出数列的a1, a2, a3, a4等, 则可用观察数列项与项数的关系, 猜测出an, 再用数学归纳法证明.

例5 已知数列{an}满足a1=1, an=3n-1·an-1 (n≥2) .

(1) 求a2, a3, a4.

(2) 求{an}的通项公式.

解答 (1) 易得a2=3, a3=27, a4=729.

(2) 由 (1) 可猜测 $a_{n} = 3^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ , 下面用数学归纳法证明.

①当n=1时显然成立.

$\begin{array}{l} ② 假设 n = k 时成立 ‚ 即 a_{k} = 3^{\frac{k (k - 1)}{2}} (n \geq 2) . \\ ∵ a_{k} = 3^{k - 1} \cdot a_{k - 1} ‚ ∴ a_{k + 1} = 3^{k} \cdot a_{k} = 3^{k} \cdot 3^{\frac{k (k - 1)}{2}} = 3^{\frac{k (k + 1)}{2}} = 3^{\frac{(k + 1) [(k + 1) - 1]}{2}} . \end{array}$

这就是说当n=k+1时成立, 由①②可知对于n∈N*都成立.

数列通项公式的常见题型及求法篇6

由等差数列的定义,可以判断数列{an}为等差数列 ,故可用公式法.

例1:已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,(n∈N+),求这个数列的通项公式an.

解:∵an+1-an=2

∴数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.

故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)·2=2n-1

二、an+1-an=f(n)型

f(n)是以n为自变量的函数 ,此时可以用累加法 :

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

例2:已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n, 求这个数列的通项公式an.

解:∵an+1-an=2n

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2×1+2×2+…2×2(n-1)=1+2[1+2+…+(n-1)]=n2-n+1

由等比数列的定义,可以判断数列{an}为等比数列 ,故可用公式法.

例3:已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N+),(n∈N+),求这个数列的通项公式an.

∴数列{an}是首项a1=1,公比q=2的等比数列.

故an=a1qn-1=2n-1

例4:已知数列{an}满足a1=1,an+1=2n·an,(n∈N+),求这个数列的通项公式an.

五、an+1=Aan+B型 ,其中A,B∈R

若A=1,则为上述的第一、二类题型.

若A≠1,则用构造法,即想方设法构造为一个新的数列,使这个新的数列为我们所熟悉的等差数列. 此时构造的新数列是首项为,公差为A的等差数列.

例5:已知数列{an} 满足a1=1,an+1=2an+3,(n∈N+),求这个数列的通项公式an.

解:设an+1+t=2(an+t),即an+1=2an+t

又∵an+1=2an+3

∴t=3

故有an+1+3=2(an+3)

∴数列{an+3}是首项为4,公差为2的等差数列

因此an+3=4+(n-1)·2=2n+2

即an=2n-1为所求.

六、Sn=f(n)型

例6:已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n. (n=1,2,3… ),则其通项公式为an=▁▁.

解:当n=1时,a1=S1=-9

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11

∵a1=-9适合上式

∴an=2n-11,n≥1

七、Sn=f(an)型

利用转化为递推公式, 即为上述的前五类题型来求解.

例7:已知数列{an}的前n项和为,求通项公式an.

八、周期数列

由此可看出数列 {an} 是一个周期数列 , 其最小正周期为3,

摘要：数列通项公式的求解是高考的常考点,常见的题型主要有八种:给出递推关系型,给出前项和型,周期函数型.其基本的解法有:公式法,累加法,累乘法,构造法.

递归数列通项公式的几种求法篇7

一、公式法

(1) 设{an}是等差数列, 首项为a1, 公差为d, 则其通项为an=am+ (n-m) d;

(2) 设{an}是等比数列, 首项为a1, 公比为q, 则其通项为an=amqn-m;

(3) 已知数列的前n项和为sn, 则

例1.已知正项数列{an}的前n项和sn满足, 求数列{an}的通项公式。

化简得即 (an+1+an) (an+1-an-1) =0

二、迭代法

迭加恒等式:an= (an-an-1) + (an-1-an-2) +…+ (a2-a1) +a1;

选乘恒等式:迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题:

类型一:已知a1=b, an+1=an+f (n) , 求通项an;

例2.在数列{an}中, a1=1, an=an-1+2n (n≥2) , 求{an}的通项公式。

当n=1时, a1=1也符合上式, 故an=n (a+1)

类型二:已知a1=b, an+1=f (n) an, 求通项an;解法从略。

三、待定系数法

其特例为: (1) an+1=pan+q (p≠0)

解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

例3.已知数列{an}中, a1=1, an+1=2an+3, 求an

解:设an=bn+c, 则bn+1+c=2 (bn+c) +3

bn-1=2bn+c+3令c+3=0则c=-3

此时, , 即数列{bn}是以2为公比的等比数列。又b1=a1-c=1+3=4, 所以bn=b1×2n-1=4×2n-1=2n+1, 即an=bn+c=2n+1-3

四、特征方程法

类型四:设二阶常系数线性齐次递推式为an+2=pan+1+qan (n≥1, p, q为常数q≠0) , 其特征方程为x2=px+q, 其根为特征根。设特征根α, β, 则α+β=p, αβ=-q, 所以an+2-αan+1=pan+1-αan+1+qan= (p-α) an+1+qan=βan+1+qan=βan+1-αβan=β (an+1-αan)

∴{an+1-αan}是以β为公比, 以a2-αa1的等比数列。

所以an+1-αan= (a2-αa1) βn-1

例4.已知数列{an}中, 满足a1=1, a2=2.4an+2=4an+1-an, 求an

解:其特征方程为4x2=4x-1, 解得

∴是以为首项, 为公比的等比数列

【数列通向公式的求法】推荐阅读：