数列思想

数列思想（精选12篇）

数列思想 篇1

赫胥黎说过:“人们往往认为, 科学与常识是彼此对立的, 其实, 完整化了的常识就是科学.”科学上的每一步发展都在弥补着人们认识上的不足.运用数列思想解决问题, 给我们的又是一个个惊奇.

一、解决古老问题

乌龟与兔子赛跑, 兔子速度是乌龟的10倍, 乌龟在兔子前100米处, 同时起跑.当兔子跑到乌龟的起跑点时, 乌龟在兔子前10米处;当兔子跑完这10米时, 乌龟又在兔子前1米处……如此下去, 所以兔子永远追不上乌龟.

实际上, 我们知道兔子很快就可以追上乌龟.那么如何解释这种结果?

我们来计算一下兔子所跑的路程:

100+10+1+0.1+0.01+0.001+…= (米) .

显然, 路程是有限的 (速度一定, 所以时间也有限) .原题的分析是将兔子与乌龟限定在离起跑点米的这段距离内, 正是兔子追赶不上乌龟的这一段, 而实际上兔子与乌龟都会跑过米长, 所以当兔子离开起点米后, 兔子已在乌龟的前面去了.

这是哲学上的一个诡辩题目, 将有限的距离 (时间) 用无限的过程分析, 使人们的思维走上歧途.到此我们看到, 量化更容易认清事物.

二、解决现实问题

用一张报纸对折30次, 请想一想, 这叠纸大概有多厚?学生们估计厚度至多不会超过几米, 老师却说可能比我们这幢教学楼都高.于是师生一起来探求.

设一张纸厚为0.1毫米, 则对折30次后的厚度为h=0.1×230毫米.取对数得lgh=lg0.1+30lg2≈-1+30×0.3010=8.0300, 所以h≈108毫米=105米﹥8844米.由此可知, 这样对折的结果, 其厚度远远超过珠峰的高度8844米.

问题的解决使学生产生了强烈的震撼, 错觉是由直觉思维造成的, 但事实胜于雄辩!

三、解决特定问题

数列本身就有很大的魅力, 吸引着许多数学爱好者去学习和研究.这里我们将视角定位在如何利用Fibonacci数列去解决一些特定问题.

Fibonacci数列是指由下面的递推式定义的数列{Fn}:

可以利用特征方程的方法求出其通项公式, 也可以用数学归纳法证出其许许多多的性质, 但在这里我们更多的是用其本身, 而不是它的性质.

小张从{1, 2, …, 144}中任取一个数, 小王希望有偿地知道小张所取的数.小王每次可从{1, 2, …, 144}中取一个子集M, 然后问小张:“你取的数是否属于M?”如果答案是Yes, 则小王付给小张2元钱, 答案是No, 则付1元.问:小王至少需要支付多少元钱, 才能保证可以知道小张所取的数?

解答案是11元钱.

设f (n) 是从{1, 2, …, n}中确定小张所取的数所支付的最少钱数, 则f (n) 是一个不减数列.并且如果小王第一次所取的子集是一个m元素, 那么f (n) ≤max{f (m) +2, f (n-m) +1}.

下面我们利用Fibonacci数列, 证明下述结论:设x为正整数, 并且Fn

先证明:对任意n∈N*, 均有f (Fn) ≤n. (2)

事实上, 当n=1时, F2=2, 易知f (F2) ≤2.而f (F1) =0≤1是显然的.设对小于n的正整数, (2) 都成立.考虑n的情形, 小王第一次取一个子集, 使其元素个数为Fn-1, 就有f (Fn+1) ≤max{f (Fn-1) +2, f (Fn+1-Fn-1) +1}=max{f (Fn-1) +2, f (Fn) +1}≤max{n, n}=n, 所以 (2) 对一切正整数n成立.

再证明:对任意n∈N*, Fn

当n=1时, x=F1=2, 此时易知f (2) ≥2, 故对n=1成立, 设命题对小于n的正整数成立, 考虑n的情形.对任意x∈N*, Fn

如果小王第一次取的子集的元素个数≤Fn-2, 则小王至少应付的钱数≥f (x-Fn-2) +1≥f (Fn-1+1) +1≥n;如果小王第一次取的子集的元素个数≥Fn-2+1, 则他至少应付的钱数f (Fn-2+1) +2≥n-2+2=n, 所以f (x) ≥n.

综上可知, 结论 (1) 成立.利用这个结论, 结合144=F11, 可知小王至少要支付出11元才能保证找到小张所取的数.

从上面几个例题不难看出, 生活中的许多显而易见的事情都包含着科学原理, 所需要的就是观察、体会和研究.

参考文献

[1]高中数学题典[M].南京:江苏教育出版社, 1992.

[2]汪一敏.数学思维与解题基础[M].重庆:西南师范大学出版社, 2009.

数列思想 篇2

1、在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝__________.2、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于()

3、等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝()

4、正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝72＋6，S7－S2＝142＋12，则公比q等于

5、等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()

探究点2 等比数列的判定

1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N.(1)求证：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小正整数n.122an是等比数列，－

12、已知数列{an}的首项a1＝an＋1，n＝1,2,3，…，求证：数列3an＋1an*S5S

2并求数列{an}的通项公式．

探究点3 等比数列的性质

1、已知等比数列{an}中, a1+a2+a3=－3，a1a2a3=8.则an2、各项都是正数的等比数列{an}的公比q1, a2=1，则a1a5a1a6=a4a

53.{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25则a3＋a5=

4.各项都是正数的等比数列{an}中,a1a2a3....a30230,则a2a5a8....a26a291、已知数列an通项公式：an4lg3n1lg9n1nN求证：数列an是等差数列

2、在等差数列{an}中，a2a810，log2a3log2a74，求an3、已知f(x)3x11，数列an满足 f()(n2)，且a11,求a8的值。x3anan

124、设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn＝3(bn－1)，若a2＝b1，a5＝b2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.5、已知等差数列{an}中的四项：1,a1,a2,4，等比数列{bn}中的四项：1,b1,b2,b3,4，（1）分别求出{an}与{bn}的公差和公比；（2）求出

6、已知数列｛an｝的前n项和为Sn，Sna2a1的值。b21(an1)(nN)3

（1）求a1,a2;（2）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通向公式.11例1 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，求an.2n＋n

例2 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.2n例3已知数列{an}满足a13，an＋1＝a，求an.n＋1n

数列中的数学思想 篇3

一、函数思想

利用函数的有关性质,解决数列的有关问题.即以运动和变化的观点,分析数列问题的数量关系,建立函数关系,运用函数的图象和性质求解,从而使问题获得解决.

例1 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范围;

(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大?并说明理由.

分析 对于(1)可考虑由S12>0,S13<0建立关于d的不等式组,然后求解;对于(2),由已知条件可知Sn是n的二次函数,转化为求二次函数的最值问题.

解 (1)由a3=a1+2d=12,得a1=12-2d.∴S12=12a1+66d=144+42d>0,S13=13a1+78d=156+52d<0.解得-247

(2)∵Sn=na1+12n(n-1)d=12dn2+12-52dn,而d<0,∴Sn是n的二次函数,其对称轴方程为52-12d.∵-247

评注 对于等差数列有Sn=an2+bn,一般可利用二次函数求解;对于等比数列有Sn=a1(1-qn)1-q=aqn+b(q≠1),一般可利用指数函数求解.

二、归纳思想

在解决某一数学问题时,如果采用不完全归纳法或完全归纳法来做,我们就称这两种思想方法为归纳的数学思想方法.归纳思想方法是数列解题的重要思想方法之一.

例4 设数列{an}的前n项和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1(1+b)n.

(1)求an与an-1的关系;

(2)写出用n和b表示an的关系式.

分析 (1)利用an=Sn-Sn-1求an与an-1的关系;(2)利用(1)的结果,分别计算当n=1,2,3,时的值,归纳、猜想an的关系式.

解 (1)∵Sn=-ban+1-1(1+b)n,①

∴Sn-1=-ban-1+1-1(1+b)n-1.(n≥2)②

①-②得an=Sn-Sn-1=ban-1-ban+1(1+b)n-1-1(1+b)n.

∴an=bb+1an-1+b(1+b)n+1.(n≥2)③

(2)当n=1时,a1=S1=-ba1+1-11+b,

∴a1=b(1+b)2;由③式,得a2=b1+b•b(1+b)2+b(1+b)3=b+b2(1+b)3;a3=b1+b•b+b2(1+b)3+b(1+b)4=b+b2+b3(1+b)4;……;

猜想an=b+b2+…+bn(1+b)n+1.④

(理科附加题)

用数学归纳法证明猜想④成立.

(Ⅰ)当n=1时,a1=b(1+b)2,即④式成立;

(Ⅱ)假设n=k时,④式成立,即ak=b+b2+…+bk(1+b)k+1;

当n=k+1时,由③式,得ak+1=b1+bak+b(1+b)k+2=b1+b•b+b2+……+bk(1+b)k+1+b(1+b)k+2=b+b2+…+bk+1(1+b)(k+1)+1.∴当n=k+1时,④式成立.

由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知,对一切正整数n,④式都成立,即通项公式为an=b+b2+…+bn(1+b)n+1=n2n+1(b=1)b-bn+1(1-b)(1+b)n+1(b≠1).

评注 这里先求得数列的前三项,由前三项的规律用不完全归纳法猜想出通项,然后再用数学归纳法证明猜想的正确性,这是运用归纳思想方法的全过程.

三、方程思想

在解数列问题时,经过一系列的数学变换把数列问题化为方程问题,并运用方程的有关性质求解,进而使问题得到解决.

例5 已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.

分析:利用{cn+1-pcn}为等比数列这一条件列出方程,从方程中就可求出常数p的值.

解 设Rn=cn+1-pcn=2n(2-p)+3n(3-p),由{cn+1-pcn}为等比数列,由题意,得R2n=Rn-1•Rn+1

∴2n-1•3n-1(2-p)(3-p)[2×3×2-32-22]=0,

∴(2-p)(3-p)=0,解得p=2或p=3.

评注 此题用方程的思想方法求解,思路清晰、过程简捷.当然,此题还可以由Rn+1Rn为与n无关的常数,确定p的值.或由R1,R2,R3为等比数列求出P的值,然后验证即可.

四、数形结合思想

数列的通项公式和前n项和公式可以看做关于正数n的函数,因此可以借助函数与图象的关系,利用“图形”讨论数列问题.

例6 已知{an}是等差数列,an>0,且公差d≠0;{bn}是等比数列,bn>0,且公比q>1.

(1)若a1=b1,a2n+1=b2n+1,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论.

图1-1图1-2

(2)若a1=b1,a2=b2,当n>2时,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论.

分析 由数列的通项公式,知等差数列{an}满足an=nd+(a1-d),所以点(n,an)都在同一直线上,等比数列{bn}满足bn=b1qqn,所以点(n,bn)都在一“指数函数型”图象上.借助函数图象讨论数列项之间的大小关系.

解 因为等差数列满足an>0,所以d>0,即{an}是单调递增数列;因为bn>0,且公比q>1,所以{bn}也是单调递增数列.根据(1)可得图1-1,此时an+1>bn+1;由(2)可得图1-2,此时an+1

(1)由a2n+1=b2n+1,得a1+2nd=b1q2n,nd=12(b1q2n-a1).an+1-bn+1=a1+nd-b1qn=a1+12(b1q2n-a1)-b1qn=a12(q2n-2qn+1)=a12(qn-1)2>0,所以an+1>bn+1.

(2)由a1=b1,a2=b2,可得a1+d=b1q,d=a1(q-1).bn+1-an+1=b1qn-a1-nd=a1qn-a1-na1(q-1)=a1[(qn-1)-n(q-1)],因为1+q+q2+…+qn-1=1-qn1-q,所以qn-1=(q-1)(1+q+q2+…+qn-1).所以bn+1-an+1=a1[(q-1)(1+q+q2+…+qn-1)-n(q-1)]=a1(q-1)(1+q+q2+…+qn-1-n).因为q>1,所以qi>1(i=0,1,2,…,n-1).所以1+q+q2+…+qn-1>1+1+…+1=n.所以bn+1-an+1>0,即bn+1>an+1.

评注 本题是先利用函数的图象判断出an+1和bn+1的关系,得到结论后,给出证明.

数列中的建模思想 篇4

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适用于已知数列类型的题目.

点评:利用定义法求数列通项时要注意不能用错定义, 应先设法求出首项与公差 (公比) 后再写出通项.

二、公式法

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解, 通常可以通过递推公式的变换, 转化为等差数列或等比数列问题, 有时也会用到一些特殊的转化方法与特殊数列.

类型1:递推公式为an+1an+f (n)

解法:把原递推公式转化为an+1-an=f (n) , 利用累加法 (逐差相加法) 求解.

类型2: (1) 递推公式为an+1=f (n) an

(2) 递推式:an+1=pan+f (n)

解法:只需构造数列{bn}, 消去f (n) 带来的差异.

类型3:递推公式为an+1=pan+q (其中p, q均为常数, pq (p-1) ≠0) .

类型4:递推公式为an+1=pan+qn (其中p, q均为常数, pq (p-1) (q-1) ≠0) . (或an+1=pan+rqn, 其中p, q, r均为常数)

类型5:递推公式为an+2=pan+1+qan (其中p, q均为常数) .

数列是研究数字分布规律的一门科学, 高中数学数列知识中有关如何由数列前几项推导出其通项公式介绍了如上很多方法, 但这些方法都只能解决一些简单的、数字规律相对明显的问题, 对于一些复杂的数字规律难以确定.为此笔者专门对其进行了研究, 得到一种行之有效的利用构建函数模型的方法解决此类问题.

例1:a1=2, a2=4, a3=9, a4=17, a5=28, a6=42…, 求an的通项公式.

解:a2-a1=2, a3-a2=5, a4-a4=8, a5-a4=11, 所得数2, 5, 8, 11恰成等差.

此题如果用我们常用的叠加法解决, 则比上面的方法来得快捷, 请看下面的变式题:

变式题:a1=3, a2=4, a3=7, a4=14, a5=27, a6=48…, 求an的通项公式.

此题用叠加法显然很有挑战性.

综上得到一般性结论1:定义ai1=ai-ai-1为一次裂差, ai2=ai1-a (i-1) 1为二次裂差, aii=ai (i-1) -a (i-1) (i-1) 为i次裂差, 若i次裂差为等差, 则an=b1n0+b2n1+b3n2+...+bi+2ni+1.

例2:a1=3, a2=5, a3=11, a4=29, a5=83…, 求an的通项公式.

变式题:a1=1, a2=3, a3=10, a4=24, a5=25, a6=109, a7=252…, 求an的通项公式.

数列思想 篇5

参考答案

一、选择题：

21.已知a01,a13,anan1an1(1)n,(nN),则a3等于（A）

(A)33(B)21(C)17(D)102.中,有序实数对(a,b)可以是(D)41114111(A)(21,-5)(B)(16,-1)(C)(-)(D)(,-)222

23.等差数列an中,a1a(a0),a2b,则此数列中恰有一项为0的充要条件是(C)

(A)(a-b)N（B）(a+b)N（C）abN（DN

abab

4.设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（B）

(A)1(B)2(C)4(D)6

5.若等差数列的前n项和为48，前2n项和为60中,则前3n项的和为（C）

（A）84（B）72（C）36(D)-2

46.已知135（2n-1）115(nN),则n的值为（C）2462n116

（A）120(B)121(C)115(D)116

7.等差数列an中，a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20项和等 于（B）

（A）160(B)180(C)200(D)220

8.若等差数列an中，已知a3:a53:4,则S9:S5的值是（D）

279412（A）（B）（C）（D）2043

59.将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和为781，则k的值为（A）

（A）20(B)21(C)22(D)2410.一个等差数列共2n1项,其中奇数项之和为276,偶数项之和为241,则这个数列的第n+1项等于(C)

(A)31(B)30(C)35(D)28

11.数列anb中，a,b为常数，a0,该数列前n项和为Sn,那么n2时有（C）（A）Sn（na+b）(B)Snan2bn

（C）an2bnSn（na+b）(D)（na+b）

12.设yf(x)有反函数yf1(x),又yf(x2)与yf1(x1)互为反函数,则

f1(2004)f1(1)的值为（B）

（A）4008（B）4006（C）2004（D）2006

二、填空题：

13.已知an是等差数列，且a511,a85,则这个数列的通项公式是an=-2n+21.14.在等差数列an中,a11,当a1a3a2a3取得最小值时公差d=-.15.在等差数列an中,a10,S160,S170,则当nSn最大.16.设一等差数列前m项的和Smm2p(pZ),前n项的和Snn2p,则其前p项的和Spp3.三、解答题：

7an2b13

17.已知数列2，2,的通项公式为an,求这个数列的第四项和第五项,4cn4

和是否为这个数列中的一项?

abc2

aR且a0

4ab7

解得b3a解：将n=1,n=2,n=3代入可得 2c4c2a

9ab

3c2

n231914an,a4,a5

2n85

1n2313n2319得n=6,或n=(舍)，而方程无正整数解，由

22n42n4

因此

1319

是这个数列中的第6项，不是这个数列中的一项。44

18.在等差数列an中,(1)已知d2,an11,Sn35,求a1,n;(2)已知a610,S55,求a8和S8;(3)已知a3a5a12a19a2115,求S23;

ana1(n1)da12(n1)11

a11a13

解：(1) 或1

Snna1n(n1)dna1n(n1)35n7n52

aa15d10a5

(2)61a816,S844

S55a110d5d3

(3)a3a5a12a19a2115a123S23

23(a1a23)

23a1269

19.数列an的前n项和Sn

a112

n2n(nN),数列bn满足bnn(nN).2an

(1)判断数列an是否为等差数列，并证明你的结论；

解：(1)当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1n）

(2)求数列an的前n项的和；(3)求数列bn中值最大的项和值最小的项.35

a1满足（）式，annnN）

anan11(常数)an是等差数列。

12

n2n,1n22

（2）设an的前n的和为Tn,Tn

1n22n4,n32

11155

1,函数f(x)1在区间及，

55an22nx22

上分别为减函数，当n2时，bn最小为b21,当n3时，bn最大为b33(3)bn1

n1



,20.已知数列通项anlg1002

（1）写出这个数列的前三项；（2）求证这个数列是等差数列；

（3）这个数列的前多少项之和最大？求出这个最大值.解(1)anlg100(n1)lg

2(lg2)(n1), 22

a3,2 lg2a12,a22lg2

21)anan1lg2n(2数列)a(2n为等差数列

（3）由

an02(n4

0n1n14 lg2

an102n40nn13 lg2

lg2 2

当n=14时，Sn的值最大，即前14项之和最大，且S1428

21.已知函数f(x)

（1）求f(x)的反函数f1(x);（2）设a11,x2).f1(an)(nN),求an;an1

m

成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.25

（3）设Sna12a2an,bnSn1Sn,问是否存在最小正整数m,使得对任意

nN有bn

解：(1)设y

x2,x1

y=f(x)x0)

(2)

1111

224,是公差为4的等差数列。2

an1an1anan4(n1)4n3,且a0,ann22

ana1

a11,(3）假设满足题设的m存在bnSn1Sna

n1

1m25

,由bn得m对nN恒成立4n1254n1

数列思想 篇6

【关键词】高中数学 数列问题 数学思想

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0161-01

数学思想贯穿于整个高中数学课本所有知识点中，应用内隐的方式使其融合在数学知识体系中。因此想要让学生能够自如的应用这种思想将数学问题有效解决，这就需要高中数学教师必须将所有知识中蕴含的数学思想进行表层化处理，只有这样学生才能体会到隐藏于数学中的数学思想，进而提高数学学习成绩。笔者以数列问题为例，探究了内隐在数列问题当中的一些数学思想，具体分析如下：

一、内隐在数列问题中的函数思想

一般情况下，我们可以把数学教学内容分成两个层次：第一个层次通常被称作表层知识，其中包括了定理、公式、性质、公理、法则及概念等一系列基本内容。第二个层次一般被称作深层知识，具备包括思想与方法。实际上表层知识可谓是深层知识的主要基础，并且其有着良好的操作性，而高中学生只有在学习教材过程中，理解并掌握了众多表层知识以后，才可以深入的领会及学习深层知识[1]。

其实数列是比较特殊的一种函数，我们可以把数列前n项和公式、通项公式看作是关于n的函数，此外，我们还可以将其看作是一个方程组或方程，尤其是等差数列，这个数列的通项公式其实就是一个一次函数，而它的求和公式则是二次函数，所以，我们可以应用函数思想去解决众多数列问题，一定会获得很好的效果。

二、内隐在数列问题中的方程思想

在数列前n项和公式、通项公式与n，a1，an，sn和d（q）这五个基本量密切相连，知道三个基本量，求解另外两个基本量是较为常见的一种运算方式[2]。所以，我们可以应用方程思想以及方法来解决这类数列问题。

例如：已知{an}是等差数列，其公差是一个整数，解这个数列的前n项和Sn。

此题主要就是对学生掌握的分类讨论思想进行考查，这里分别讨论了公比q等于1和不等于1这两种情况，在实际计算过程中，学生们很容易会忽视q等于1这种较为特殊的情况，数学公式、方法及结论有时较为适用于一般情形中，可是针对那些隐蔽或特殊情况却不一定适用，这就是必须要进行分类讨论的一个重要原因[3]。所以，在解题的过程中，必须重视某些特殊的情况加入深入讨论，以使问题得到真正的解决。

数学思想及方法实际上是数学的灵魂，其并不是极其抽象的一个事物，而是客观存在的一项数学内容，同时也是人们解决数学问题过程中积累的经验，以及归纳总结的解题方法，有着极强的指导性、概括性与应用性。所以在复习数列问题时，一定要在其中渗透一些数学思想及方法，带领学生一同对数学思想所体现出来的价值进行深入的领会，让每一名学生都可以具备一个较为个性的数学思维。这就需要高中数学教师要敢于实践和创新，在日常教学中多渗透数学思想，进而使学生的思维变得更加活跃，让数学素养水平变得更高。

参考文献：

[1]陈飞.高中数学数列试题教学中的解题思路与技巧初探[J].高考，2014（12）：104-104.

[2]帅敏.高考数学新题型特征分析——以数列不等式出题走向为例[J].中学教学参考，2014（23）：52，68.

[3]戴桂良.新课标下高中数学数列问题的探究[J].高中数理化，2015（8）：14-14.

作者简介；

函数思想在数列中的应用 篇7

下面结合几个实例谈谈函数思想在数列中的应用.

一、函数的定义在数列中的应用

等差、等比数列作为两个特殊的数列,其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系.充分挖掘二者的联系,可以加深对等差、等比数列的理解.

例1给出以下三个结论:①{an}是等差数列的充要条件是an是n的一次函数;②{an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn是n的二次函数;③{bn}是等比数列,则bn是关于n的指数函数.其中正确的个数为().

A.0 B.1 C.2 D.3

例2在等比数列中,前n项和为Sn,已知S2=3,S4=15,求Sn.

组解(1)(2)得:A=1,q=±2.

∴Sn=2n-1或Sn=(-2)n-1.

评述此类题目如果注意到等比数列前n项和Sn可写成Sn=Aqn-A(A为待定系数)的形式,解题方法就显得巧妙一些.同样,等差数列的前n项和Sn可写成Sn=an2+bn(a,b为待定系数)的形式,有时也能给我们解题带来方便.

二、函数的性质在数列中的应用

函数的性质,如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.

分析此数列不是等差(等比)数列,但利用研究函数单调性的方法去研究数列的单调性,问题不难解决.

评述本题也可以化归为不等式组:an≥an+1且an≥an-1来解决.但对于这类探索性问题,利用函数的单调性更能体现数列的变化趋势,显得更为简捷直观.

三、函数图像在数列中的应用

因为等差、等比数列的通项及求和公式与一次函数、二次函数、指数函数都有联系,所以应用这些函数的图像能直观有效地解决某些数列问题.

例4等差数列{an}中,a1>0,前n项和为Sn,且S9>0,S10<0,则n=__时,Sn最大.

分析等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数,常数项为0,因此函数的图像是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点.由题意可知该数列公差小于0.

如图对应的抛物线,所以开口向下,与横轴的一个交点的横坐标为0,另一个交点的横坐标在区间(9,10)内,可见其顶点横坐标在区间(4.5,5)内,故当n=5时,Sn最大.

得a1>a2>…>a5>0>a6>a7>…,故当n=5时,Sn最大.

“坐标化”思想求等差数列和 篇8

例1设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,求S110.

分析:结合等差数列的概念和基本性质,极易找到本题的多种解题思路,但换个角度,从等差数列前n项和定义的变式:入手,可知,最(n,)在直线上.即(10,),(100,),(110,)三点共线,所以(10,10),(100,),(110,)三点共线,即,

解得S110=-100.

例2在等差数列{an}中,a1=12,S3=S10,求前n项和Sn.

分析S1=a1=12,S3=S10,且四点(1,12),(3,),C(10,),(n,)在一条直线上,所以有:消去S3,可得:Sn=-n2+13n.

点评:因为{an}是等差数列,所以点(n,)在直线上,由此可实现数列“坐标化”,将等差数列求和问题转化为点共线问题,从新角度形成解题方案.

类型题:(1)等差数列{an}中,,求Sp+q.(答案:)

(2)等差数列{an}中的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项和.(答案:210)

通过“坐标化”思想挖掘知识的内涵,实现知识之间的融合.如果说“一题多解”训练思维的深度,则“多题一解”是训练思维的广度,多层次多角度地分析同一个问题固然重要,但从问题解决过程中总结出具有一般性的典型方法,然后用这种方法指导我们解决一类问题同样重要.正如华罗庚教授的名言:“数学是一个原则,无数内容;一个方法,到处有用”.

函数思想在数列中的应用 篇9

一、用函数的观点来求数列的项

例已知{an}是等差数列, 且满足am=n, an=m (m≠n) , 则am+n等于________.

分析根据等差数列的函数性质:an=a1+ (n-1) d=dn+ (a1-d) , 当d≠0时, an是n的一次函数, 对应的点 (n, an) 是位于直线上的若干个点.可知 (n, an) , (m, am) , (m+n, am+n) 三点共线, 故有

二、用函数的观点判断数列的单调性

例已知函数f (x) =2x-2-x, 数列{an}满足f (log2an) =-2n, 判断数列{an}的单调性.

分析这是一道关于数列的单调性题目, 我们可以通过an+1-an的符号来判断是递增数列还是递减数列, 如果用这种方法来解这道题比较困难, 可将an视为n的函数, 用函数的方法来判断数列的单调性.

∴数列{an}是单调递减数列.

三、用函数的观点求数列值域

1. 用函数图像求值域

例已知d<0的等差数列{an}, S5=S11, 问数列前多少项和最大?

分析等差数列, d<0, 一元二次函数图像开口向下, S5=S11说明函数图像对称轴是8, 所以前8项和最大.

2. 用函数的单调性求值域

例已知数列{an}中, , 求数列中最大项与最小项.

分析这里求数列的最值, 不妨我们就用函数的思想来讨论最值.

解数列可以看作函数, 函数在上单调递减, 又因为n∈N*, 故当n=3时, 数列取得最小值-1;n=4时, 数列取得最大值3.

四、用函数的观点解决数列恒成立问题

例已知数列an=2n-1, 是否存在正整数k, 使对一切n∈N*均成立, 若存在, 求出k的最大值并证明, 否则说明理由.

分析这是一道求数列恒成立的题目, 实际上也就是将数列视为n的函数, 求函数的恒成立问题.一般先构造函数f (n) , 利用k≤fmin (n) 来求解.

∴f (n) 单调递增, ∴f (1) 为f (n) 的最小值.

由f (n) ≥k恒成立, 得

∴k的最大值是

五、用函数的观点去研究探索性问题

例函数f (x) 定义在[0, 1]上, 满足且f (1) =1, 在每个区间上, y=f (x) 的图像都是平行于x轴的直线的一部分.

(1) 求f (0) , f (21) 及f (41) 的值, 并归纳出的表达式;

(2) 设直线, x轴及y=f (x) 的图像围成的矩形的面积为ai (i=1, 2…) , 求的值.

分析本题考查函数、数列、极限等基本知识的综合问题, 考查了学生分析问题和解决问题的能力.

解 (1) 由f (0) =2f (0) , 得f (0) =0.

∴所以{an}是首项为, 公比为的等比数列,

高考数列通项的解题思想 篇10

1. 数学猜想

例1已知数列 { an} 满足, 求数列{ an} 的通项公式.

点评不完全归纳是数学的主要猜想方法, 根据递推关系和a1=8/9, 得 a2=24/25, a3=48/49, ……所以猜 测

例2在数列{ an} 中, 已知a1= 1, 当n≥2时, 有an=an-1+ 2n - 1 ( n≥2) , 求数列的通项公式.

例3在数列 { an} 中, 已知a1= 1, 有nan-1= (n + 1) an, ( n≥2) , 求数列{ an} 的通项公式.

解根据数列{ an} 的递推关系得它的前几项依次为:我们看出这个数列是一个周期数列, 三项为一个周期, ∴a20= a2=5/7.

点评三个试题都以归纳为方法, 通过累加、累乘等方法探寻规律性问题.

2. 方程思想

例5 ( 2013年新课标Ⅱ卷) 等比数列{ an} 的前n项和为Sn, 已知S3= a2+ 10a1, a5= 9, 则a1= ( ) .

例6 ( 2013年高考辽宁卷) 已知等比数列{ an} 是递增数列, Sn是{ an} 的前n项和. 若a1, a3是方程x2- 5x + 4 = 0的两个根, 则S6= .

点评两个试题都以方程思想构题, 侧重双基的培养.

3. 函数思想

例7 ( 2010年江西高考) 等比数列{ an} 中, a1= 2, a8= 4, 函数f ( x) = x ( x - a1) ( x - a2) ·…· ( x - a8) , 则f' ( 0) = ( ) .

例8 ( 2011年江苏高考) 设1≤a1≤a2≤…≤a7, 其中a1, a3, a5, a7成公比为q的等比数列, a2, a4, a6成公差为1的等差数列, 则q的最小值是 .

点评数列是特殊的函数, 因此数列的单调性、周期性、最值性成为高考的热点命题之一.

4. 整体与局部

例9 ( 2010年浙江理数) 设Sn为等比数列{ an} 的前n项和, 8a2+ a5= 0, 则S5/S2=________ .

例10 ( 2013年湖南高考) 设Sn为数列{ an} 的前n项和, , 则: ( 1) a3=________ ; ( 2) S1+S2+ … + S100=_________ .

点评局部化思想考查学生分析问题的能力, 整体与局部转化是重要的解决问题的手段.

参考文献

[1]秦德生, 郭民, 等.高考与大学自主招生考试数学考点大全与真题解析[M].东北师范大学出版社, 2013.

数列思想 篇11

一、用函数观点认识数列

数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。

对于等差数列{an},它的通项公式an=,an可以看作关于n的一次函数(特殊地,公差为0时是常数函数)图像上的离散点;当d≠0时,前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数的图像上的离散点(特殊地,当公差为0时,Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点)。对于等比数列的通项公式n,前n项和公式的图像是类似于指数函数图像上的离散点。在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征,对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助,同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。

二、用函数的方法解决数列问题

1.用函数观点研究数列前n项和问题

例1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn,且S10=100,S100=10试求S110。

分析:由于等差数列前n项和的表达式可变形为

当d≠0时,Sn是n的二次式,所以当d≠0时,可看成为n的一次函数图象上的离散点,因此{}也是等差数列。

解:已知{}是等差数列,所以点(10,),(100,),及(110,)三点共线,

-110。

例2.已知数列{an}是等差数列,公差d≠0,a1>0,若SK=Sl(K≠1,K,L∈N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn取最值时,n的值。

分析:由于公差不为0的等差数列的前n的项和可看成为关于n的且常数项为0的二次函数图象上的离散点,因为图象经过原点,且,可判断其图象开口向下,所以可以利用二次函数的对称性求出SK+i的值和Sn取最值时n的值。

解:由题意知,可设{an}的前n项和,

其相应的二次函数f(n)=的图像的对称轴是,

所以,,

当k+l为偶数时,时,Sn取最大值,

当k+l为奇数时,时,Sn取最小值。

2.用函数观点研究数列的单调性与最值问题

单调性和最大(小)值是数列教学的重要内容,分析和解决这一类问题,更需要利用函数的思想方法。大部分学生在理解和接受上有一定障碍,因此在教学中一定要循序渐进,不断渗透。

由于数列自变量n的取值为自然数,自然数本身是有序的,因此数列单调性的确定与实数集上的函数合乎单调性的确定虽然在实质上是一致的,但也有一定区别,只需对任意的自然数n,确定相邻两项an与an+1的大小即可。

例3.已知an=中的最大项和最小项。

分析:此题直接求an最值很困难,可联系到函数,利用f(x)图像的单调性则可直观顺利地解决本例。

解:因为 ,

而上是减函数,又因为,{an}是f(x)图像上的一些孤立点,所以,a8、a9分别是{an}的最小项和最大项。

例4.已知数列{an},,若恒成立,求实数a的取值范围。

解:因为,-()

所以,是递增数列,

所以,的最小值是 ,

由题意知:,所以,即为所求的a的取值范围。

3.用函数观点研究数列的周期

函数的周期性是函数的一种重要性质,对于任意的定义域),如果存在一个非零常数T,恒有,则称T为f(x)的一个周期,f(x)也就是以T为周期的周期函数。同样对数列{an}来说,如果对于任意自然数n,存在一个常数),恒有,则称{an}是以T为周期的周期数列。

例5.设数列{an}中,,且对,=,()成立,试求该数列前100项和S100。

分析:从递推式不易求出通项,观察前若干项a1=1,a2=1,a3=2,a4=4,a5=1,a6=1,a7=2,a8=4,a9=1,…可猜想它是以4为周期的周期数列。

解:由已知条件,对任何自然数N,

=,

=。

两式相减得:

因为an+1+an+2+an+3≠1,所以,an+4=an(n∈N)

所以,{an}是以4为周期数列,

又a1+a2+a3+a4=8,所以,s100=25×8=200。

数列作为一种特殊的函数,与函数思想密不可分,而现行教材中对于函数思想在数列中的应用涉及较少,但这一点对于加深学生对数列的认识,提高学生分析问题、解决问题的能力是十分重要的。

数列求和问题的几种基本思想 篇12

在数列求和问题的解决中, 蕴含着几种最为基本的思想 (方法) , 揭示这些思想方法, 并将其恰当地运用于数列求和问题的解决中, 可以起到启迪思维、促进发展的功效.

一、由整体表达局部的思想

一般地, an是组成Sn的基本要素, 由an表达Sn是常见的思维方式, 即Sn=a1+a2+…+an.

但是, 用Sn表达an也是一种重要的思想, 即

undefined

这个思想的本质在于Sn=a1+a2+…+an的逆向运用.

这个思想构成数列问题的主要思想之一.

例1 已知数列{an}的前n项和为Sn=abn+c (a≠0) , (b≠0, b≠1) .求an并说明数列{an}是何数列.

解 当n=1时, a1=S1=ab+c;

当n≥2时, an=Sn-Sn-1= (abn+c) - (abn-1+c) =abn-1 (b-1) .

undefined

.当n≥2时, undefined

当undefined, 即c=-a时, {an}为等比数列;

当undefined, 即c≠-a时, {an}从第二项开始为等比数列.

二、错位相减思想

在等比数列求和公式的推导过程中, 有一种非常重要的思想就是错位相减思想, 即在同等比数列的求和公式

undefined;Sn=na1 (q=1) .

的推导过程中, 一个非常重要的思想就是用Sn-q·Sn.这种思想不仅可以运用于等比数列, 也同样适用于一般数列.在实际应用中, 有时也可以变形为用等式Sn=a1+a2+……+an的若干倍 (未必是等比数列的公比) 减去Sn=a1+a2+…+an, 进而化解问题.

例2 求数列undefined的前n项和Sn.

解undefined, 于是

undefined

故undefined

n的多项式数列与等比数列积数列的求和也可以考虑倍差法, 若n的多项式数列的次数较高, 有时往往需要连续多次倍差法.

例3 已知数列{an}通项公式为an=n22n, 求数列{an}的前n项和Sn.

解 an=n22n.

Sn =12×2+22×4+32×8+…+n2×2n. ①

2Sn=12×4+22×8+32×16+…+ (n-1) 2×2n+n2×2n+1. ②

①-②, 得 (-Sn) =[1×2+3×4+5×8+…+ (2n-1) 2n]-n2×2n+1, ③

令Sundefined=1×2+3×4+5×8+……+ (2n-1) 2n. ④

则2Sundefined=4+3×8+5×16+……+ (2n-3) 2n+ (2n-1) 2n+1. ⑤

④-⑤, 得

-Sundefined=2+2×4+2×8+…+2×2n- (2n-1) 2n+1

= (3-2n) 2n+1-6.

∴Sundefined= (2n-3) 2n+1+6.

代入③, 得-Sn= (2n-3) 2n+1+6-n2×2n+1.

∴Sn= (n2-2n+3) 2n+1-6.

三、倒序相加思想

在等差数列求和公式undefined的推导过程中, 有一种非常重要的思想就是倒序相加思想, 即

Sn=a1+a2+…+an-1+an. ①

Sn=an+an-1+…+a2+a1. ②

把①和②式两边分别相加, 得

undefined

这种思想实际上是利用一个“和式”与它的倒序排列的和式相加, 相应项的和是结果特别简单的式子.其实质在于等差数列的一个重要性质:对于等差数列{an}, 若m+n=p+q, m, n, p, q∈N+, 则am+an=ap+aq.

对于等差数列求和问题, 适当运用这个特点, 往往可以化繁为简.

例4 已知函数undefined, 当x1+x2=1时, undefined, 设undefined, 求an.

解undefined,

又undefined,

两式相加, 得

undefined

仔细体会不难发现, 上面的三种思想, 其实源于一种思维方式, 这就是逆向思维, 更进一步说, 就是针对核心数学内容逆向思维的结果.可见, 要想获得更深刻的理解, 必须深思、慎思.