数列求和知识梳理

数列求和知识梳理（共12篇）

数列求和知识梳理 篇1

数列

一、数列

1、定义：按照一定顺序排列起来的一列数。

2、通项公式：

（1）定义：anf(n)

（2）求法：①观察法（注意观察项与项数、项与项、不变项与变项之间的关系）

如：根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：

101,7,13,19,

208,88,888,8888,

301,0,1,0,

① 累加法：如等差数列通项公式的推导

② 累乘法：如等比数列通项公式的推导。

③ 利用Sn与an的关系进行求解

如：已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式

10Sn2n23n；20Sn3nb

④ 取倒数

如：数列{an}中，an1an，a12，求a4（提示：通过取倒数构造新数13an

列，判断新数列是特殊数列进而求解）

⑤ 迭代法

已知数列{an}满足a11,an12an1(nN*)，求an

法10通过添加项构造新数列：an112(an1)，得{an1}是以a112为首项，2为公比的等比数列。

20an12an12(2an11)122an12122(2an21)21=23an222212na12n12n221=

22nn12n212n

1212n11，∴an2n1 1

2⑥ 设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的nN，都

有8Sn(an2)2，求数列{an}的通项公式。

分析：当n2时8Sn1(an12)2，∴有8

（SnSn1)=8an(an2)2(an12)2，∴（a(nan1)(anan14)0又{an}是正数组成的数列，∴anan140，∴anan14，∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，所以an4n2

一、等差数列

1、定义：从第二项起，每一项与其前一项的差是同一个常数。

符号语言：①an1and(nN)；②anan1d(n2,nN)； ③an1ananan1(n2,nN)

2、证明一数列是等差数列的方法：如证明数列{3n2}是等差数列。

3、通项公式：ana1(n1)d

①andn(a1d)，d0时表示n是 自变量an是函数值的一次函数，点(n,an)(nn)在以d为斜率，a1d为y轴上的截距的直线上，该数列的图象是一群孤立的点组成。

②(n,an),(m,am)(nm)共线，所以danam，从而有anam(nm)d nm

③等差中项：如果三个数x,A,y成等差数列，则三个数的关系是。

4、前n项和

① 推导方法：倒序相加法

举例：

（1）设f(x)

为。122x，则f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值

（2）若函数f(x)对任意xR，都有f(x)f(1x)

212n1)f(1)，数列{an}是等差数列吗？试证10anf(0)f()f()f(nnn

明你的结论。

20若{1}的前n项和为Tn，Tnan1对一切nN都成立，求的取值范anan

1围。

（3）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S636，Sn324，若Sn4144(n6)，则n=.②Snna1n(a1an)n(n1)d 22

121dn(a1d)n 22变形：10Sn

d0时点(n,Sn)都在一个二次函数的图象上。

20Snddn(a1)n22

Sn)(nN)共线 n点(n,思考：等差数列{an}的前m项和为20，前2m项和为100，求它的前3m项和。（用三种方法求解）

5、性质：

①如果m,n,s,tN且满足m+n=s+t，则am,an,as,at之间的关是。如果m,n,tN且满足m+n=2t，则am,an,at之间的关是 ② 若{an}是等差数列，ak,a2k,a3k,, 是否是等差数列？若是，公差是多少？

③ {an}是等差数列，若去掉前面几项，剩余的项组成的数列是否为等差数列？ ④ Sn是等差数列{an}的前n项和，Sk,S2kSk,S3kS2k,是否成等差数列？ ⑤ 前n项和公式SnAn2Bn（A、B为常数）{an}为等差数列

⑥ 三个数成等差数列该如何设最简单（前提知道该三数的和）？四个数成等差数列呢？

⑦ 若等差数列的项数为2n，则有：10S偶S奇S奇S偶。

若项数为2n+1，则有S奇S偶S奇S偶。

如：项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项之和为80，偶数项之和为85，求此数列的中间项与项数。

另外常见题型：

1、在等差数列{an}中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。

2、数列{an}的数列{an}的前n项和为Sn=100n-n2，（1）判断{an}是否是等差数列，若是，求其首项、公差；

（2）设bn|an|，求数列{bn}的前n项和。

（3）已知等差若m1,mN，且am1am1am0,S2m138，则m等

于。

（4）已知数列数列{an}的前n项和为Sn，且满足

an2SnSn10(n2),a1

10求证：{21 21}是等差数列； Sn

20求an的表达式。

等比数列

一、等比数列

1、定义：从第二项起，每一项与其前一项的比是同一个常数。符号语言：①an1aq(nN)；②nq(n2,nN)； anan

1③an1an(n2,nN)anan12、证明一数列是等比数列的方法：

3、通项公式：ana1qn

1①anamqnm

③等比中项：如果三个数x,A,y成等比数列，则三个数的关系是。思考：是否是任意三个数都有等比中项？

是否是所有的常数数列都是等比数列？

4前n项和公式

① 推导方法：乘公比错位相减法（思考：该方法适用的范围）123n举例：求和Sn23n aaaa

(q1)na1②Sna1(1qn)(q1)1q

3、性质：

①如果m,n,s,tN且满足m+n=s+t，则am,an,as,at之间的关是。如果m,n,tN且满足m+n=2t，则am,an,at之间的关是 ⑧ 若{an}是等比数列，ak,a2k,a3k,, 是否是等比数列？若是，公比是多少？ ⑨ {an}是等比数列，若去掉前面几项，剩余的项组成的数列是否为等比数列？ ⑩ Sn是等比数列{an}的前n项和，Sk,S2kSk,S3kS2k,是否成等比数列？ ⑪ 三个数成等比数列该如何设最简单（前提知道该三数的积）？四个数成等比数列呢？

另外常见题型：

练习：（1）等比数列{an}中，q2,S9977，求a1a6a99

（2）已知数列{an}是由正数组成的等比数列，且a2a42a3a5a4a625,则a3a5

（3）设等比数列{an}的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项为3280，且前n项和中数值最大项为27，求数列的第2n项。

数列求和

1、公式法

求和：Sn1111111111111(n个1)

2、错位相减法：

（09山东文）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数ybxr(b0,b1,b,r均为常数）的图象上；

（1）求r的值；

（2）当b2时，记bn

3、倒序相加法

4、裂项相消法

如：在数列{an}中，an

前n项和Tn5、分组法 111如：Sn(x)2(x22)2(xnn)2 xxx6、并项法 12n2，又bn，求数列{bn}的n1n1n1anan1n1(nn)，求数列{bn}的前n项和Tn 4an

如Sn15913(1)n1(4n3)

注意各种方法适用的范围。

数列求和知识梳理 篇2

一常用公式法

直接利用公式求和是数列求和最基本的方法。常用的数列求和公式有:

二乘比错位相减法

对于数列{na}, 若an=bn·cn且数列{bn}、{cn}分别是等差数列、等比数列时, 求该数列{an}前n项和时, 可用该方法。

说明:乘比错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。

三分组求和法

对于数列{an}, 若an=bn±cn±…且数列{bn}、{cn}…都能求出其前n项的和, 则在求{an}前n项和时, 可采用该法。

四倒序相加法和倒序相乘法

1. 倒序相加法

在教材上推导等差数列{na}前n项和Sn的公式: 使用的就是该法, 推导过程参看教材。

2. 倒序相乘法

例5:已知a、b为两个不相等的正数, 在a、b之间插入n个正数, 使它们构成以a为首项, b为末项的等比数列, 求插入的这n个正数的积pn。

例析数列求和 篇3

1. 直接求和法（或公式法）

将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前[n]项和公式求得.

等差数列的求和公式[Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d]，等比数列的求和公式[Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q≠1).]（切记：公比含字母时一定要讨论.）

如：已知等差数列[an]的通项公式为[an=3n-2]，求它的前[n]项和公式.

2. 倒序相加法

此方法源于等差数列前[n]项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 对某些具有对称性的数列，可运用此法.

例1 已知函数[fx=2x2x+2].

（1）证明：[fx+f1-x=1]；

（2）求[f110+f210+⋯+f810+f910]的值.

解析 （1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边.

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

[f110+f910=f210+f810=⋯]

[=f510+f510=1].

[令S=f110+f210+⋯+f810+f910]，

[则S=f910+f810+⋯+f210+f110].

两式相加得：

[2S=9×f110+f910=9,]所以[S=92].

3. 错位相减法

此方法源于等比数列前[n]项和公式的推导，对于形如[{anbn}]的数列，其中[an]为等差数列，[bn]为等比数列，均可用此法.

例2 已知数列[1,3a,5a2,⋯,(2n-1)an-1(a≠0)]，求前[n]项和.

分析 已知数列各项是等差数列1，3，5，…，[2n-1]与等比数列[a0,a,a2,⋯,an-1]对应项的积，可用错位相减法求和.

解 [Sn=1+3a+5a2+⋯+(2n-1)an-1①]

[aSn=a+3a2+5a3+⋯+(2n-1)an②]

[①-②得]

[(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+⋯][+2an-1-(2n-1)an.]

当[a=1时,Sn=n2.]

当[a≠1时,]

[(1-a)Sn=1+2a(1-an-1)(1-a)-(2n-1)an，]

[Sn=1+a-(2n+1)an+(2n-1)an+1(1-a)2.]

点拨 错位相减法的步骤是：（1）在等式两边同时乘以等比数列[bn]的公比；（2）将两个等式相减；（3）利用等比数列的前[n]项和公式求和.

4. 裂项相消法

如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前[n]项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻[k]项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.一些常见的裂项方法：

（1）[1nn+k=1k1n-1n+k]，

当[k=1]时，[1nn+1=1n-1n+1].

（2）[1n+k+n=1kn+k-n]，

当[k=1]时，[1n+1+n=n+1-n].

例3 数列[an]的通项公式为[an=1n(n+1)]，求它的前[n]项和[Sn].

解 [Sn=a1+a2+a3+⋯+an-1+an]

[=11×2+12×3+13×4+⋯+1n-1n+1nn+1]

=[1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1-1n]

[+1n-1n+1]

[=1-1n+1=nn+1].

点拨 裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

5. 分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

例4 求数列[214，418，6116，⋯，2n+12n+1]，[⋯]的前[n]项和[Sn]．

分析 此数列的通项公式是[an=2n+12n+1]，而数列[{2n}]是一个等差数列，数列[12n+1]是一个等比数列，故采用分组求和法求解．

解 [Sn=(2+4+6+⋯+2n)+(122+123+124]

[+⋯+12n+1)]

[=n(n+1)+12-12n+1]．

点拨 在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.

6. 分奇偶讨论

分奇偶讨论的关键是对数列的项数进行分类，然后按规律结合，另外套用公式时注意认清项数与项的关系.

例5 已知数列[an]的通项[an=6n-5(n为奇数),2n (n为偶数),]求其前[n]项和[Sn]．

解 奇数项组成以[a1=1]为首项，公差为12的等差数列. 偶数项组成以[a2=4]为首项，公比为4的等比数列.

当[n]为奇数时，奇数项有[n+12]项，偶数项有[n-12]项，

∴[Sn=n+12(1+6n-5)2+4(1-4n-12)1-4]

[=(n+1)(3n-2)2+4(2n-1-1)3].

当[n]为偶数时，奇数项和偶数项分别有[n2]项，

∴[Sn=n2(1+6n-5)2+4(1-4n2)1-4]

[=n(3n-2)2+4(2n-1)3].

[∴Sn=(n+1)(3n-2)2+4(2n-1-1)3(n为奇数)，n(3n-2)2+4(2n-1)3(n为偶数).]

求下列数列的前[n]项和[Sn]：

（1）5，55，555，5555，…，[59(10n-1)]，…；

（2）[11×3,12×4,13×5,⋯,1n(n+2),⋯]；

（3）[an=1n+n+1]；

（4）[a,2a2,3a3,⋯,nan,⋯]；

（5）[Sn=2-3×5-1+4-3×5-2+6-3×5-3][+⋯+2n-3×5-n]；

（6）[sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋯⋯+sin289∘]．

（1）[Sn=5+55+555+⋯+55⋯n个5]

[=59(9+99+999+⋯+99⋯n个9)]

[=59[(10-1)+(102-1)+(103-1)+⋯+(10n-1)]]

[=59[10+102+103+⋯+10n-n]]

[=5081(10n-1)-59n.]

（2）∵[1n(n+2)=12(1n-1n+2)]，

∴[Sn=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+⋯+]

[(1n-1n+2)]][=12(1+12-1n+1-1n+2)]．

（3）∵[an=1n+n+1]

[=n+1-n(n+n+1)(n+1-n)=n+1-n，]

∴[Sn=12+1+13+2+⋯+1n+1+n.]

[=(2-1)+(3-2)+⋯+(n+1-n)]

[=n+1-1]．

（4）[Sn=a+2a2+3a3+⋯+nan]，

当[a=1]时，[Sn=1+2+3+⋯][+n=n(n+1)2]，

当[a≠1]时，[Sn=a+2a2+3a3+⋯][+nan]，

[aSn=a2+2a3+3a4+⋯][+nan+1]，

两式相减得 [(1-a)Sn=a+a2+a3+⋯][+an-nan+1=a(1-an)1-a-nan+1]，

∴[Sn=nan+2-(n+1)an+1+a(1-a)2]．

（5）[Sn=2-3×5-1+4-3×5-2+6-3×5-3]

[+⋯+2n-3×5-n]

[=2+4+6+⋯+2n-35-1+5-2+5-3+⋯+5-n]

[=nn+1-3×151-15n1-15=n2+n-341-15n.]

（6）设[S=sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋯+sin289∘]，

又∵[S=sin289∘+sin288∘+sin287∘+⋯+sin21∘]，

数列求和方法总结 篇4

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;

项数：等差数列的所有数的`个数，一般用n表示;

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公

式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)d;

通项=首项+(项数一1)公差;

数列和公式：sn，=(a1+an)n2;

数列和=(首项+末项)项数2;

项数公式：n=(an+a1)d+1;

项数=(末项-首项)公差+1;

公差公式：d=(an-a1))(n-1);

公差=(末项-首项)(项数-1);

等比数列求和教案 篇5

教材：人教版必修五§2.5.1

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前

n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方

法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；

（2）等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程：

一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式。

（1）等比数列定义：（2）等比数列通项公式：

（，（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算

引出课题:等比数列的前n项和。

三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式

回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。

倒序相加法。

等差数列

根据等差数列的定义

它的前n项和是

（1）

（2）

（1）+（2）得：

探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？

学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。

构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：

变形：

具体：

„„

学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。所以将这一特点应用在前n项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

（1）

（2）

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

当q=1时，当时，学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当

四.知识整合:

时，1．等比数列的前n项和公式：

当q=1时，当时，2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑

与

两种情况。

⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，五个量中“知三求二”（方程思想）。3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

五、例题精讲：

例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。

变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8„的前多少项和是63.⑵求等比数列1,2,4,8„第4项到第7项的和.，例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？

⑵若已知所画正方形的面积和为画的最后一个正方形的面积。，求一共画了几个正方形，及所 解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且

（1）

（2）

答：（1）第七个正方形的面积是。

（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是。

巩固练习：⑴已知等比数列中，,求。

⑵已知等比数列

六、课堂小结：

中，,，求n。

1、等比数列的前n项和公式：

当q=1时，当时，2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。

3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。

七、课后作业：

基础题：课本P61习题2.5 A组1，2

数列求和的听课反思 篇6

10月19日下午第二与第三节课，我们学校举行了《数列求和》的同课异构活动。我有幸听到了知名教师杜锡金和过月圆老师的课，受益匪浅。

（一）课堂设计

数列在数学高考文科中所占的位置为17题，难道为中等，对于一般同学而言，是十有八九要做全对的。两位老师整堂课都通过一系列变式讲了数学求和法中的公式法、分组求和法、错位相减法及裂项相消法。目标明确，重点突出，完全符合高考的命题走向。

杜老师由2015年的浙江文科高考卷入手，既体现了对高考命题的关注，也让学生对此题引起一定的重视。同样的.，过老师通过这五年浙江文科数学的高考题目剖析，说明数列求和的重要性。又通过绍兴市期末考试作为例题及引申，从简到难地介绍了公式法，错位相减法及裂项相消法。过老师主要通过对近五年试题的研究来决定数列求和的方法的讲解及其顺利，让我觉得很敬佩。

(二)师生互动

整堂课中，两位老师始终以学生为主体，主动叫学生来回答，并且让学生到黑板上进行板演。两位老师都对学生的板演做出了详细的评价，并且指出在解题过程中应注意的部分及学生容易犯错的地方，给学生指出了一条“光明之路”。

(三)教学素养

两位老师上课激情，声音抑扬顿挫，让我自愧不如。回想我自己上课的样子，有时候语速过快，很多时候语调平，没有重点突出，需要改进的地方还很多。尤其让人敬佩的是两位老师的板书，干净、整洁、漂亮，恰到好处。

数列求和方法及数学归纳法 篇7

一、常用公式法

直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：

等差数列求和公式:

等比数列求和公式:

二、错位相减法

可以求形如 的数列的和，其中

为等差数列，为等比数列.例1：求和：.设

减法求和.解：，其中 为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相，两端同乘以，得，两式相减得

于是.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.三、裂项相消法

适用于 阶乘的数列等 例2

求数列{1/（＋)}的前n项和 其中{

}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含解： ∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/（＝

＝＋)＋1/(－－1

＋)＋…＋1/(－

－)－1＋＋…＋说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列，利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从

而Sn又因中间项相消而可求。

四、分组转化法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个

等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．

n例3 已知集合A＝{a|a＝2＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和

1011解： 由 2＝1024，2＝2048 1010－4＜2000

知 2＋9×1110－4＞2000

2＋9×

∴ A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则

(首项为9，公差为9的等差数列)

2310

S10＝2＋2＋2＋…＋2＋9＋18＋…＋90－4×

(首项为2，公比为2的等比数列)

5－40＝2501

＝2(210－1)＋99× 说明：本题中A是一个集合，集合中的元素是不可重复的，也是没有顺序，所以集合与数列是不同的，但在求和时与10个元素的顺序无关，所以可借用数列的方法求和。

五、配对求和法

对一些特殊的数列，若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 设数列的首项为，前项和

（1）求证：数列是等比数列。

满足关系式：

（2）设数列的公比为，作数列使，求。（3）对（2）中的数列求和：。

（1997年上海高考试题）

解: 1）略；（2），（提示：）

（3）

（提示：配对求和）

六、数学归纳法

第一数学归纳法：（1）已知命题P(1)成立；

（2）若命题P(k)成立，则P(k1)成立；

由（1）（2）可知命题P(n)都成立。

简单实例：证明12342n22n12n1(nN*)； 第二数学归纳法：（1）已知命题P(1)成立；

（2）若当nk时命题P(k)都成立，则P(k1)成立；

由（1）（2）命题P(n)都成立。

应用的注意点：

（1）两步缺一不可

（2）第二步证明是必须利用归纳假设；

例5．用数学归纳法证明：。

证明：i)当n=2时，左式=，右式=，∵，∴，即n=2时，原不等式成立。

ii)假设n=k(k≥2, k∈Z)时，不等式成立，即 ，则n=k+1时，左边=

右边=，要证左边>右边，只要证，只要证

2，只要证 4k+8k+4>4k+8k+3

只要证4>3。

而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式>右式。

由i), ii)可知，原不等式对n≥2，n∈N均成立。

七.倒序相加法：

如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。

例6.求和

解析：据组合数性质，将倒序写为

以上两式相加得：

八.待定系数法

类似等差数列，如果是关于的次式，那么它的前项和

次式的各项系数即可。

是关于的次式，且不含常数项。因此，只要求出这个例7.求和解析：由于通项是的二次式，则是的三次式，且不含常数项。

设，令得

解得

所以

九．无穷等比数列各项和

符号：Sa1a2...an...limSn

nnn显然：1）q1，limSnlimna1不存在

2）q1,，Sn,1a1，n2milSn不存在(mN*)mn0,n2ma1(1qn)3）q1，limSnlim不存在

nn1qa1(1qn)a4）q1，limSnlim1

nn1q1q定义：我们把q1的无穷等比数列前n项的和Sn当n时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即S=

a1(q1)。1q注：1.无穷等比数列前n项和Sn与它的各项和S的区别与联系； 2.前n项之和Sn是数列中有限个项的和,而无穷等比数列各项的和Sn是数列中所有的项的和,它们之间有着本质的区别。

3.对有无穷多项的等比数列,我们是不可能把它们所有的项一一相加的,而是通过对它的前n项之和取极限运算而求得,是用有限的手段解决无限的问题。

4.求和前提：0q1,q0；公式表明它只求公比0q1,q0 的无穷等比数列各项的和.数学归纳法

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

ancnacn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用数学归纳法证明：

a2c2ac2()①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22akckack(), ②设n=k时成立，即

22ak1ck11(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)则当n=k+1时，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44ackacack+1＞()·()=()

2221［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.2

22命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=－

1应舍去，这一点往往容易被忽视.2k3111}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得SnS12技巧与方法：求通项可证明{通项公式.11成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n1)1 2同理可得：a4=－,由此可推出：an= 2(n1)35(2n3)(2n1)(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.2②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

(2k3)(2k1)故Sk2=－21·(Sk－)

2(2k3)(2k1)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk2k12k311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak1ak11122aaak1k1k12k12k12(2k1)2

2ak1,即nk1命题也成立.[2(k1)3][2(k1)1]1(n1)由①②知，an=对一切n∈N成立.2(n2)(2n3)(2n1)(3)由(2)得数列前n项和Sn=

1,∴S=limSn=0.n2n1数学归纳法的应用

数列求和知识梳理 篇8

基础教育一直是最受学校和家长关注的，最为基础教育重中之重的初等教育，更是得到更多的重视。查字典数学网小升初频道为大家准备了小学数学毕业总复习，希望能帮助大家做好小升初的复习备考，考入重点初中院校!小学数学毕业总复习：数列求和考点 数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d;通项=首项+(项数一1)公差;数列和公式：sn,=(a1+ an)n 数列和=(首项+末项)项数

第 1 页 项数公式：n=(an+ a1)项数=(末项-首项)公差+1;公差公式：d =(an-a1))(n-1);公差=(末项-首项)(项数-1);关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;小升初考试是小学生进入初等重点初中院校的一次重要考试，希望大家都能够认真复习，同时也希望我们准备的小学数学毕业总复习能让大家在小升初的备考过程助大家一臂之力!

数列求和知识梳理 篇9

1．倒序相加法：将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式Sna1ann2的推导。

2．错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。例1求数列n

23．分组求和法：将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和 n的前n项和Sn

1例2 ann2

n1，求数列an的前n项和Sn

4．公式法：利用已知的求和公式来求积，如等差数列与等比数列的求和公式。再如下面几个重要公式

nn12；（2）135...2n1n 212222（3）246...2nnn1；（4）123...nnn12n1

6（1）123...nnn1（5）132333...n3 22例3求数列1n,2n1,3n2,...n1的和

5．拆项（裂项）相消法 例4 an

例5 an

1，求数列an的前n项和Sn

nn114n21，求数列an的前n项和Sn

常用技巧：（1）

111111（2）；nnkknnknknknkn

（3）

1111 nn1n22nn1n1n2111，...,的前n项和Sn 12123123...n6．通项化归法 例6．求数列1,练习：求数列5，55，555，5555，…前n项和Sn

7．奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n为奇数、偶数进行讨论，一般地，先求S2n，再求S2n1，且S2n1S2na2n1 例6若an1

8．利用n14n3，求数列an的前n项和Sn

20n1符号求和：

ai1nia1a2a3an

例7（1）

12n

数列求和知识梳理 篇10

一、文学常识

1苏轼，字子瞻，号东坡居士，追谥号“文忠”。北宋著名文学家、书画家。苏轼是的唐宋八大家之一，他的散文代表了北宋古文的最高成就；其诗与江西诗派的开创者黄庭坚齐名，并称“苏黄”；其词与南宋著名爱国诗人辛弃疾齐名，并称“苏辛”，他们两人的词风同属豪放派；其在书法上造诣颇深，与黄庭坚、蔡襄、米芾并称书法“宋四家”。北宋文学家黄庭坚、秦观、晁补之和张耒都曾得到他的培养、奖掖和荐拔，故称苏门四学士。在政治上属旧党，与王安石政见不合，反对推行新法，自请外任，出为杭州通判。迁知密州，移知徐州。元丰二年因讽刺新法的诗句，而被捕下狱（“乌台诗案”），后贬为黄州团练副使，因筑室于东坡而自号东坡居士。哲宗继位，一度被召回家，等哲宗亲政，苏轼再一次遭贬到惠州，后又到琼州。徽宗即位后，遇赦北还，途中在常州病逝。

2赋，是介于诗歌和散文之间的一种文体，讲究词采、体物、铺陈；这种文体起源于《诗经》、兴于《楚辞》，而盛于汉代。汉赋分为骚体赋、四言诗体赋和散体赋（或称大赋）。赋，除了它的源头楚辞阶段外，经历了骚赋、汉赋、骈赋、律赋、文赋几个阶段。司马相如、杨雄、班固、张衡四人被后世誉为汉赋四大家。我们在高一学过一篇同一体裁的文章《阿房宫赋》。

二、词语解释 实词 1.七月既望

（农历每月十六日；望，农历每月十五日）2.清风徐来（缓缓地）

3.举酒属客 / 举匏樽以相属（通“嘱”，劝人饮酒）4.纵一苇之所如（任凭）（往）5.凌万顷之茫然（越过）

6.浩浩乎如冯虚御风（通“凭”，乘）（驾）7.飘飘乎如遗世独立（离开）8.扣舷而歌之

（同“叩”，敲）

9.击空明兮溯流光（指月光下的清波）（逆流而上）10.渺渺兮予怀（悠远的样子）/ 渺沧海之一粟（渺小）11.倚歌而和之（循、依）（应和，唱和）12.余音袅袅（形容声音婉转悠长）13.不绝如缕（细丝）

14.苏子愀（qiǎo）然（忧愁变色的样子）15.正襟危坐（端正）

16.山川相缪（通“缭”，盘绕）17.方其破荆州（当）

18.酾酒临江，横槊赋诗（斟酒）（长矛）19.固一世之雄也（本来）

20.寄蜉蝣于天地（一种小虫，这里用来比喻人生短促）21.挟飞仙以遨游（携同）22.知不可乎骤得（屡次，多次）23.盈虚者如彼（满）（缺）

24.而卒莫消长也（最终，到底）（增减）25.则天地曾不能以一瞬（连„„都„„）26.而吾与子之所共适（享用）27.杯盘狼藉（凌乱）

28.相与枕籍乎舟中（枕着、靠着）29.不知东方之既白（已经）

30.舳舻（zhú lú）千里：战船前后相接。这里指战船。31.郁乎苍苍（茂盛的样子）

32.举匏（páo）樽以相属（葫芦，用葫芦做成的酒器）（酒杯）33.哀吾生之须臾（片刻，时间极短）34.托遗响于悲风（余音，指箫声）（秋风）35.逝者如斯（往）（此，指水）

36.是造物者无尽藏（zàng）也（天地自然）（佛家语，指无穷无尽的宝藏）虚词 之

纵一苇之所如 / 哀吾生之须臾（助词，取独）凌万顷之茫然（助词，定语后置的标志词）扣舷而歌之（音节助词）倚歌而和之（代词，代“歌”）苟非吾之所有（助词，的）于

苏子与客泛舟游于赤壁之下（介词，在）

月出于东山之上（介词，从）

此非孟德之困于周郎者乎（介词，被）

托遗响于悲风（介词，给）其

而不知其所止（代词，它，指“一苇”）

其声呜呜然（代词，那）何为其然也（代词，指箫声）

方其破荆州（代词，他，指曹孟德）而

固一世之雄也，而今安在哉（连词，表转折，可是）侣鱼虾而友糜鹿（连词，表并列）耳得之而为声（连词，表顺承）

下江陵，顺流而东也（连词，表修饰）

三、词类活用 1.名词作动词

①方其破荆州，下江陵（下，攻下）②顺流而东也（东，向东进发）③歌窈窕之章（歌，吟诵）④扣舷而歌之（歌，歌唱）2.形容词作动词

①白露横江（横，笼罩）②方其破荆州（破，攻占）③横槊赋诗：（横，横执）④不知东方之既白（白，发白）⑤而吾与子之所共适（适，享用）⑥哀吾生之须臾（哀，哀叹）⑦肴核既尽（尽，吃完）3.名词作状语

①西望夏口（西，向西）②东望武昌（东，向东）

③乌鹊南飞：（南，向南，因为直接引用，可不译）4.使动用法

①舞幽壑之潜龙（舞，使„„起舞）②泣孤舟之嫠妇（泣，使„„哭泣）

③正襟危坐（正，使„„正，或形作动，整理）5.意动用法

侣鱼虾而友麋鹿（侣，以„„为伴侣；友，以„„为朋友）

四、特殊句式 1判断句：

固一世之雄也

本是一代豪杰

是造物者之无尽藏也

这是大自然的无穷无尽的宝藏 2被动句： 此非孟德之困于周郎乎 这地方不就是曹操被周瑜打败的地方吗？ 3倒装句： ⑴主谓倒装

渺渺兮吾怀

我的心啊悠远茫茫 ⑵宾语前置

何为其然也

曲调为什么这样（悲凉）呢？ 而今安在焉

如今在哪里呢？ 而又何羡乎

我们又羡慕什么呢？ ⑶定语后置

凌万顷之茫然

越过那茫茫的江面 客有吹洞箫者

有个会吹洞箫的客人 ⑷状语后置（介词结构后置）

苏子与客泛舟游于赤壁之下

我和客人荡着船儿，在赤壁下游玩。

月出于东山之上

月亮从东边山上升起 徘徊于斗牛之间

在斗宿、牛宿之间徘徊 不绝如缕

如同细丝一样长而不断 况吾与子渔樵于江渚之上

何况我和你在江边捕鱼打柴 寄蜉蝣于天地

在天地之间寄托蜉蝣一般短暂生命 4省略句：

(予)举酒属客

我举起酒杯，劝客人同饮

五、成语

1、沧海一粟：大海里的一颗谷粒，形容非常渺小。

2、正襟危坐：理好衣襟端端正正地坐着，形容严肃或拘谨的样子。

3、遗世独立：脱离社会，独自生活，不跟别人往来。

4、不绝如缕：像细线一样连着，差点就断了。多用来形容局势危急或声音细微悠长。

第三单元知识梳理 篇11

相逢是首歌

(知识梳理)第五课 友情伴我同行

1．为什么生活需要友情？/友情在我们成长道路上有什么作用?(3条)答：（1）友情是一种心理需要，是我们健康成长中不可缺少的精神营养。

（2）友情能使我们互相启发、取长补短、互相激励，有助于我们增长智慧和才干，更快的进步和发展。

（3）友情给我们温暖和力量，让我们获得更多的幸福和快乐。2．怎样克服闭锁心理，积极寻找朋友?(2条)答：（1）消除闭锁心理，敞开自己的心扉，以积极开放的心态主动与他人沟通、交往，培养热情、开朗的性格。

（2）应慎交友，努力做到善交益友，乐交诤友，不交损友。3．你对闭锁心理有什么样的认识？

答：进入青春期后，有些同学容易产生闭锁心理。这虽然是从不成熟走向成熟过程中的正常心理反应，（危害/影响）但若任其发展下去，会影响同学、朋友的正常相处和交往，容易形成自我封闭、自我孤立的孤僻性格，影响正常的学习生活。

4．怎样让友谊之树常青？/怎样建立起真挚持久的友情？(6条)答：（1）平等待人是人际交往的重要原则，是建立和发展友情的前提。（2）朋友之间，需要彼此尊重。（3）朋友相交，贵在真诚。

（4）对朋友某些方面的过失，要持谅解和宽容的态度。（5）朋友之间的理解、宽容，要讲原则。

（6）当朋友遇到困难和不幸时，应主动伸出援助之手，尽自己所能给予帮助。5．朋友之间的理解、宽容，可以不讲原则吗？（理解与宽容要坚持哪些原则?）

答：朋友之间的理解、宽容，要讲原则。建立真正的友谊必须以分清正确与错误、正义与邪恶为前提。只有这样，才能保证友谊的纯洁性，使友谊沿着正确的方向发展。那种不分是非善恶、只讲“哥们儿义气”的所谓友谊，绝不是真正的友谊。第六课 师爱助我成长

1．为什么要热爱尊敬老师？/老师在我们成长的过程中有哪些作用？/老师给予我们的爱体现在哪些方面？（4条）答：（1）老师是我们学习的指导者。（2）老师是我们成长路上的引路人。（3）老师的爱给了我们温暖和力量。

（4）老师是人类文明的传播者，是“人类灵魂的工程师”。2．怎样热爱尊敬老师？（3条）答：（1）尊敬老师最重要的是尊重老师的劳动。

（2）应该虚心听取老师的教诲，正确对待老师提出的要求，真诚地接受老师的批评。（3）尊敬老师，还要对老师有礼貌。

3．现代提倡一种什么样的师生关系？/新型的师生关系是一种怎样的关系？（3条）答：（1）平等的（2）民主的（3）和谐的 4．怎样建立新型的师生关系？（4条）答：（1）师生之间要平等相待、互相尊重、互相学习、教学相长。（2）要主动、热情地与老师进行思想、感情上的交流。

（3）正确处理与老师之间的矛盾。当我们被老师误解或与老师发生矛盾时，要学会冷静思考，通过恰当的方式与老师坦诚交流，用正确的方法解决矛盾。（4）对待老师的错误，要用恰当的方式，态度诚恳的给老师提出来。结论：

1． 生活离不开朋友，人生离不开友情。2． 每个人在人格和法律地位上都是平等的。3． 友谊的根基是真诚的对待朋友。

4． 老师是我们成长道路上的引路人。老师教我们学会做事，学会做人，引导我们走好人生之路。

招投标知识梳理 篇12

第一章

1、招投标的特点：1）通过竞争机制，实行公开交易；2）鼓励竞争、防止垄断、优胜劣汰，能较好地实现投资效益；3）通过科学合理的监督机制和运作程序，可有效的杜绝不正之风，保证交易的公平公正。

2、建设工程招投标的分类：1）按工程建设程序分类：建设项目可行性研究招投标；勘察、设计招投标；监理招投标；施工招投标；设备、材料采购招投标。2）行业：勘察设计招投标；土建施工招投标；设备安装招投标；装饰装修招投标；货物采购招投标；工程咨询、工程监理招投标。3）建设项目组成：建设项目招投标；单位工程；单项工程；分部分项工程。4）工程承发包范围：工程总承包招投标；工程分包招投标。5）工程投标范围：全过程招投标；单项招投标；专项招投标。6）按有无涉外关系分类：国内工程招投标；境内国际工程招投标；国际工程招投标。

3、建筑工程承包的方式：1）按照承发包范围：建设全过程承发包、阶段承发包、专项承发包；2）按承发包人所处的地位：总承包、分承包、联合体承包、独立承包、直接承包；3）按合同价方法：固定总价合同、计量估价合同、单价合同、成本加酬金合同（注：

1、总承包形式：设计—采购—施工—EPC ； 设计—施工—DB；设计—采购—EP;采购—施工—PC

2、违法分包：未经建设方允许；发包给没有相应资质的分包商;将主体工程分包；分包商再分包。

3、违法转包：全部分包、支解分包）

6、资质管理（5年）：1）建筑业企业资质序列：施工总承包（特级，一二三级）、专业承包、劳务分包；2）工程监理资质等级：甲乙丙级；3）工程造价咨询单位：甲（可跨省）乙级；3）招标代理：甲乙（跨省）

特级、一级、甲级

均要报国务院审批

9、必须进行招投标：1）关系社会公共利益、公众安全的基础设施（生态环境保护项目）或公用事业；2）使用国有资金投资项目3）国家融资项目；4）使用国际组织或国外政府资金项目；5）其他：施工单项合同200万以上、设备材料采购，单项合同估价100万以上、勘察设计监理党项合同估价50万以上、低于以上三种标准，但项目总投资3000万以上 一）建设工程施工招标

2、资格审查内容：具有独立签订合同的权利：具有良好的履行合同的能力；以往承担类似项目的业绩情况；没有处于被责令停业和财产被接管、冻结、破产状态；在最近几年内（三年）没有与合同有关的犯罪或严重违纪、违法行为。

3、不得进入评标：1）招标文件未按照招标文件的要求予以密封；2）招标文件中的投标函未加盖投标人的企业及企业法人的印章的；3)投标文件关键内容字迹模糊、无法辨认；4）投标人未按照招标文件的要求提供投标保函或投标保证金；5）组成联合体投标的，投标文件未附联合体各方共同投标协议 二）建设监理招标，1、监理招标的范围：国家重点工程、大中型公用事业工程、成片开发建设的住宅小区工程、利用外国政府或国际组织贷款、国家规定必须实行监理的其他工程

2、资格预审：资质、能力和资源、经验、社会信誉 总则

3、招标文件内容：招标公告（投标邀请赛）、投标人须知、评标办法、合同条款及各式、工程量清单、图纸、技术标准和要求、投标文件格式、投标人须知前附表规定的其他材料

4、投标有效期：1）在投标人须知前附表规定的投标日期内，投标人不得要求撤销或修改其投标文件；2）出现特殊情况需要延长投标有效期的，招标人以书面形式通知所有的投标人延长投标有效期。投标人同意延长的，应相应延长其投标保证金的有效期，但不得要求或允许修改或撤销其投标文件；投标人拒绝延长的，其投标失效，但投标人有权收回投标保证金。

5、重新招标：投标截止日止，投标人少于3个的；经评标委员会评审后否决所有投标的 第三章

1、投标报价：单项报价；单位报价；分部分项工程费、措施项目费、其他项目费计价表；综合单价分析表、措施项目分析表、领性工作费分析表（后两项一一对应）

2、投标报价的技巧：1）确定报价的高低；2）不平衡报价发；3）其他报价法：多方案报价法、突然袭击法、联合体法 第五章

施工合同

1、《建设工程施工合同（示范文本）》：1999.12.24组成：协议书、通用条款、专用条款、并有三个附件：承包人承揽工程项目一览表、发包人供应材料设备一览表、工程质量保修书；适用范围：各类公用建筑、民用住宅、工业厂房、交通设施、线路、管道的施工合同和设备安装合同的编制。

2施工合同组成及解释顺序：1）施工合同协议书；2）中标通知书；3）投标书及附件；4）施工合同专用条款5）施工合同通用条款；6）标准、规范及有关技术文件；7）图纸；8）工程量清单；9）工程报价单或预算书 施工过程

3、暂停施工：工程师认为确有必要暂停施工时，应当以书面形式要求承包人暂停施工，并在提出要求后48小时内提出书面处理意见。承包人实施工程师做出的处理意见后，可以书面形式提出复工要求，工程师应在48小时内给予答复。工程师未在规定时间内提出处理意见，或收到承包人复工要求后48小时内未予以答复，承包人可以自行复工。由发包人造成的停工，由发包人承担所发生的追加合同价款，赔偿损失，相应顺延工期；承包人原因造成停工，有承包人承担发生的费用，工期不予顺延。

4、工期延误：一周内非承包人原因停水、停电、停气造成停工累计8小时——工期顺延

5、工程量确认：工程师接到报告后7天内按设计图纸核算已完工程量，并在计量前24小时内通知承包人，否则第八天起，承包人报告中列出的工程量即视为被确认。

6、支付管理：1）允许调度合同价款的情况：法律、行政法规和国家有关政策变化影响合同价款；工程造价管理部门公布的价格调整；一周内非承包人原因停水停电停气造成停工累计8小时；双方约定的其他原因。（承包人应在上述情况发生后14天内，将调整原因、金额以书面形式通知工程师，工程师确定调整金额后作为追加合同价款，与工程款同期支付。工程师收到承包人通知后14天内不予确认也不提修改意见，视为已经同意该项调整。）

2）工程进度款支付：通过确定核实的完成工程量对应报价单的相应价格计算应支付的工程款；设计变更调整的合同款；本期应扣回的工程预付款；根据合同的允许调整合同价款的原因，应补偿承包人的款项和应扣减的款项；经过工程师批准的承包人赔偿款等。（在确定计量结果后14天内，发包人应向承包人支付工程款。按约定时间发包人应扣回的预付款，与工程款同期结算。工程变更调整的合同价款、约定的追加合同价款以及其他确定调整的合同价款，应与工程款同期调整支付。）

7、因不可抗力事件导致的费用和延误工期由双方按以下方法分别承担：1）工程本身的损害、因工程损害导致第三人人员伤亡和财产损失以及运至施工用地用于施工的材料和待安装的设备的损害，由发包人承担；2）发承包人人员伤亡由其所在单位负责，并承担相应费用；3）承包人机械设备损害及停工损失，由承包人承担；4）停工期间，承包人应工程师要求留在施工场地的必要的管理人员及保卫人员的费用由发包人承担；5）工程所需清理、修复费用，由发包人承担；6）延误的工期相应顺延。

8、工程保修最低保修期限：1）地基基础工程和主体工程为设计文件规定的该工程的合理使用年限；2）屋面防水工程、有防水要求的卫生间、房屋和外墙的防渗漏，为五年；3）供热、冷系统，为2个采暖期和供冷期：；4）电气管线和给排水管道、设备安装和装饰工程，为2年。

第六章

工程索赔

1、施工索赔：还在施工合同履行过程中，承包人根据合同和法律的规定，对并非由于自己的过错，而是由对方承担责任的情况所造成的损失，或承担了合同规定之外的工作所付的额外支出，承包人向业主提出在经济或时间上要求补偿的权利。

2、索赔的起因：1）合同内容变更；2）合同文件（包括技术规范）缺陷；3）发包人货工程师违约；4）第三方原因；5）政策、法规的变化。

案例2-1 某住宅楼的招标人于2006年10月11日向具备承担该项目能力的ABCDE5家施工单位发出投标邀请书，其中说明，10月17~18日9~16时在该招标人总工程室领取招标文件，11月8日14时为投标截止时间。该5家施工单位均接受邀请，并按规定时间提交了投标文件。但A单位在送出投标文件后发现报价有较严重的失误，遂赶在投标截止时间前10分钟递交课一份书面申请，撤回已提交的投标文件。

开标时，由招标人委托的当地公证处人员检查投标文件的密封情况，确认无误后，有工作人员当场拆封。由于A单位已撤回投标文件，故招标人宣布有BCDE4家施工单位投标，并宣布该4家单位的投标价格、工期和其他主要内容。

评标委员会由招标人直接确定，有七人组成，其中招标人代表2人，本系统技术专家2人、经济专家1人，外系统技术专家1人、经济专家1人。

在评标过程中，评标委员会要求BD两家投标人分别对其施工方案作详细说明，并对若干技术要点和难点提出问题，要求其提出具体、可靠地实施措施。作为评标委员会的招标人代表希望B单位在做适当考虑一下降低报价的可能性。

按照招标文件中确定的综合评标标准，4个投标人综合得分从高到低顺序为BDCE，故评标委员会确定承包商B为中标人。由于B为外地企业，招标人于11月10日将中标通知书以挂号方式寄出，B单位于11月14日收到中标通知书。

从报价看，由于四个投标人的报价从低到高DCBE，因此，从11月17日~12月11日招标人又与B单位就合同价格进行了多次谈判，结果B单位将价格降到略低于C单位的报价水平，最终双方12月12日签订书面合同。问题：哪些方面不符合《招投标法》？

答：

1、招标人不应仅宣布四家施工单位参加投标。《招标投标法》规定：招标人在招标文件要求提交投标文件的截止日期前收到的所有投标文件，开标时都应当众拆封、宣读。按照国际惯例，虽然A单位在投标截止时间前撤回投标文件，但仍应作为投标人宣读其名称，但不宣读其投标文件的其他内容。

2、评标委员会成员不应全部由招标人直接确定。按规定，评标委员会中的技术、经济专家，一般招标项目应采取从专家库中随机抽取方式，特殊招标项目可以由招标人直接确定，本项目明显采用一般招标项目。

3、评标过程中不应要求承包商考虑降价问题。按规定，评标委员会可以要求投标人对投标文件中不明确的内容作必要的澄清或说明，但澄清或说明不得超出投标文件的范围或改变投标文件的实质性内容；在确定中标人之前，招标人不得与投标人就投标价格、投标方案的实质性内容进行谈判。

4、中标通知发出后，招标人不应与中标人就价格进行谈判。按规定，招标人和中标人应按照招标文件和投标文件订立书面合同，不得再行订立背离合同实质性内容的其他协议

5、订立书面合同的时间过迟。按规定，招标人和中标人应当自中标通知书发出日起30日内签订书面合同，而本案例为32天。

注：

1、中华人民共和国招标投标法，1999年8月30日颁布 案例6-1 某厂（甲方）与某建筑公司（乙方）订立某工程项目施工合同，同时向某降水公司订立了工程降水合同。甲乙双方合同规定：采用单价合同，每一分项工程的实际工程量增减超过招标文件中的工程量的10%以上时调整单价；工作BEG作业使用的施工机械一台（乙方自备），台班费为400元/台，其中台班折旧费为50元/台:施工网络图如图。

甲乙双方合同约定8月15日开工。施工过程中发生如下事件：1）降水方案错误，致使工作D推迟2天，乙方人员配合用工5个工日，窝工6个工日；2）8月21日至22日，场外停电，停工2天，造成窝工6个工日；3）因设计变更，工作E招标文件内工程量的300m³增至350m³，超过了10%，原该工作的综合单价为55元/m³，经协商调整后综合单价为50元/m³。4）为保证施工质量，乙方在施工中将工作面B设计尺寸扩大，增加工程量15m³，综合单价为每立方米78元。5）在工作DE均完成后，甲方指令增加一项临时工作K，经审核，完成该项工作需要1天时间，机械1台班，人工10个工日。

问题：

1、哪些事件乙方可以提出索赔要求？哪些事件不能？说明原因

2、每项事件工期索赔各多少？总工期多少天了？

3、工作E结算应为多少？

4、假设人工工日单价25元/工日，合同规定窝工费补偿标准12元/工日，如用所需管理费为增加人工费的20%，试计算除事件3外合理的费用索赔总额（不含税）。

答案：问题1事件1：可提出索赔要求，因为降水工程由甲方另行发包，是甲方的责任 事件2：可以，因为因降水、停电造成的人员窝工是甲方的责任

事件3：可以，因为设计变更是甲方的责任，且工作E的工作量增的超过招标文件中工程量的10%

事件4：不应，因保证施工质量的技术措施费应由乙方承担 事件5：可以，因为甲方指令增加工作，是甲方的责任

问题2 事件1：工作D不在关键线路上，总时差为8天，推迟2天，尚有总时差6天，不影响工期，以此不可索赔工期

事件2:8月21至22日停工，关键线路延长，可索赔工期：2天 事件3：因为E为关键线路，可索赔工期：（350-300）m³/(300m³/6天)=1天 事件5：因G为关键线路，在此增加K，K也为关键线路，索赔工期：1天。总计索赔工期：2+1+1=4天

问题3 按原价结算的工程量：300m³*（1+10%）=330m³ 按新单价结算的工程量：350-330=20m³总结算价=330*55+20*50=19150元

问题4 事件1：人工费：6工日*12元/工日+5工日*25元/工日*（1+20%）=222元（注意新增用工要增加管理费）事件2：人工费16工日*12元/工日=192元，机械费2台班*50元/台班=100元 事件5：人工费10工日*25元/工日*（1+20%）=300元

机械费1台班*400元/台班=400元

索赔总额=222+192+100+300+400=1214元

1、建筑市场体系：概念： 建筑市场是进行建筑商品和相关要素交换的市场；是工程建设生产和交易关系的总和。

构成：1）市场主体：建设单位、施工单位、咨询服务机构、设备材料供应机构、金融机构、市场组织管理者；2）市场客体：有形建设产品（建筑物、构筑物）、无形建设产品（技术服务、场所服务）

2、招投标的意义：1）有利于打破垄断、开展竞争、促进企业转变经营机制，提高企业的管理水平；2）促进建设工程按客观规律办事，客服建筑市场的混乱现象；3）招标人可以通过对各投标竞争者的报价、工期和其他条件进行综合比较，从中选择较好的单位，以保证招标项目的质量；4）促进经济体制的改革和市场经济体制的建立；5）促进我国建筑企业进入国际市场，参与国际市场竞争

3、建设工程交易中心：1）性质：是依据我国法律法规成立，为建设工程活动提供先关服务，依法自主经营、独立核算、自负盈亏，具有法人资格的服务性经济实体，有形建筑市场。2）具备的功能：场所服务的功能、信息服务、集中办公、咨询服务。3）管理：省辖市、地区和县级市以及固定资产投资规模较大和工程数量较多的县，应建设施工程服务中心。

4、施工招标程序流程（15条）：投标资格与备案、确定招标方式、发布（送）招标公告或投标邀请、编制、发放资格预审文件或递交资格预审申请书、资格预审，确定合格的投标申请人、编制、发出招标文件、踏勘现场、答疑、接受投标、开标、组建评标委员会（甲方代表、经济和技术类专家五人以上单数）、评标、招标投标情况书面报告及备案、发出中标通知书、签署合同（担保金合同价的10%）

5、索赔程序：1）索赔事件发生后28天内，向工程师发出索赔意向通知；2）发出索赔意向通知后28天内，向工程师提出延长工期或补偿经济损失的索赔报告及有关资料；3）工程师在收到承包人送交的索赔报告和有关资料28天内给予答复，或要求承包人进一步补充索赔理由和证据；4）工程师在........28天内未给予答复,或。。，视为该项索赔应经认可；5）当该索赔事件持续进行时，承包人应当阶段性向工程师发出索赔意向，在索赔事件终了28内，向工程师送交索赔的有关资料和最终索赔报告。索赔答复程序与（3）（4）规定相同。

6、招标方式：1）公开招标（无限竞争性招标）----优点：招标人可以在较大范围内选择承包单位，投标竞争激烈，择优率更高，有利于招标人将工程项目的建设交给可靠地承包商实施，并获得有竞争性的商业报价避免了贿标行为。——缺点：工作量大，招标时间长，费用高。同时投标者多，中标机会小，风险大，损失的费用也就越多。——范围：全部使用国有资金，或者国有资金占控制地位或主导地位的项目。因此，投资额度大、工艺或结构复杂的较大型工程建设项目，实行公开招标；2）邀请招标（优先竞争性招标）-----优点：不发布招标广告，不进行资格预审，简化了招标的程序，节约招标的费用，缩短招标时间。减少合同争执中承包商违约的风险。——缺点：有可能提高中标的合同价，也有可能排除了某些在技术上或报价上有竞争力的潜在投标人参与竞争。——范围：全部使用国有资金，或国有资金占控制地位或主导地位项目，必须经国家发改委批准方可实行邀请招标；其他建设单位可自行选用邀请招标或公开招标方式。

7、建设工程招标代理的概念：指建设工程招标人（建设单位、业主）将建设工程招标事务委托给相应的中介服务机构，由该中介服务机构在招标人授权的范围内，以委托的招标人的名义，同他人独立进行建设工程招投标活动，由此产生的法律效果直接归属于委托的招标人

8、不平衡报价：1)含义：是相对通常的平衡报价(正常报价)而言的，是在工程项目的投标总价确定后，根据招标文件的付款条件，合理地调整投标文件中子项目的报价，在不抬高总价以免影响中标(商务得分)的前提下，实施项目时能够尽早、更多地结算工程款，并能够赢得更多利润的一种投标报价方法。应用：1）对能先拿到钱的项目的单价可定的高一些，有利于资金周转，存款也有利息；对后期的项目单价可适当降低；2）在清单工程量不准确的情况下，估计到以后会增加工程量的项目单价可以提高；工程量会减少的项目单价可降低。3）图纸不明确或有错误的、估计今后修改的项目，如果预计工程量将增加单价可提高，反之则降低单价；4）有时在其他项目费中有暂定工程，这些工程还不能确定是否施工，也有可能分包给其他施工企业，或者在招标工程中的部分专业工程，业主也有可能分包。5）有些工程要求投标人报单价分析表，如果合同中规定材料价一律用预算价或暂定价，结算时可调整，人工和机械费高报，材料费低报。6）对于工程量不明的项目，如果没有工程量，只填单价其单价宜高，以便以后结算时多盈利，又不影响报价；如果工程量有暂定值，需具体分析，再决定报价，方法同清单工程量不确定的情况。7）在议标时业主一定会要求压低报价，无论总价合同还是单价合同，都应压低工程量小的项目单价。

9、不可抗力：指不能预见、不能避免并不能克服的客观情况。

10、合同价款：指发承包人在协议书中约定，发包人用以支付承包人按照合同约定完成承包范围内全部过程并承担质量保修的款项

11、缺陷责任期含义：实质上就是指预留质保金的一个期限，缺陷责任期一般为六个月、十二个月或二十四个月，具体可由发、承包双方在合同中约定

12、标底：指招标人根据招标项目的具体情况，依据国家统一的工程量计算规则、计价依据和计价办法计算出来的工程造价，是招标人对建设工程的预期价格。注：