数列求和练习题及答案

数列求和练习题及答案（精选11篇）

数列求和练习题及答案 篇1

计算

（三）等差数列求和

知识精讲

一、定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。

二、表达方式：常用Sn来表示。

三：求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：

(思路1)1239899100

101505050

（1100）（299）（398）（5051）共50个101(思路2)这道题目，还可以这样理解：

和=12349899100+和100999897321 2倍和101101101101101101101101505050。即，和(1001)100

2四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

（436）922091800，譬如：① 48123236题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209；

（165）33233331089，② 656361531题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333。

例题精讲： 例1：求和：

（1）1+2+3+4+5+6 =（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋„＋85= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21（2）36（3）1247

例2：求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+4+„+199（2）2+4+6+„+78（3）3+7+11+15+„+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900（2）1160（3）5355

例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？

分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756

答案：56

例4：求1+5+9+13+17„„+401该数列的和是多少。

分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：

和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301

例5：有一串自然数2、5、8、11、„„，问这一串自然数中前61个数的和是多少？

分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182 根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612 答案：5612

例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；„

求：

（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？

（2）207排在第几排第几个数？

（3）第13排各数的和是多少？

分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列 若排数为n（n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。

（1）第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数

（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144（2）第十五排第10个数（3）3925

例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133，（158）147。所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332答案：147。

例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？ 分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。

即第1个数是15，第6个数是40。答案：第1个数：15；第6个数：40。

例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？

分析：公差=19-15=4 项数=（443-15）÷4+1=108 倒数第二项=443-4=439 奇数项组成的数列为：15，23，31„„439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35„„443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216 答案：216

例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？

分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991，最大的数是99911，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一

（999）112594． 共有：111111项，所以，所求数的和是：9182799也可以从找规律角度分析． 答案：594

例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6„„问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？

分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和

末项=6+3×（35-1）=108

和=（6+108）×35÷2=1995 答案：1995

16例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中

10、已经填好，这12个数的和为。

‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍16　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍10　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍

分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180。答案：180。

本讲小结：1.一个数列的前n项的和为这个数列的和，我们称为。

2.求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。

练习：

1.求和：（1）1+3+5+7+9=（2）1+2+3+4＋„＋21=（3）1+3+5+7+9＋„＋39= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）25（2）231（3）400

2.求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+„+100（2）3+6+9+„+39 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）5050（2）273

3.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少? 分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180 答案：180

4.所有两位单数的和是多少？

分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。

和=（11+99）×45÷2=2475 答案：2475

5.数列1、5、9、13、„„，这串数列中，前91个数和是多少？ 分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：

末项=1+（91-1）×4=361 和=（1+361）×91÷2=16471 答案：16471

6.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，2，an15，所以n（151）218，其中a11，d（18）8236 所以，白色方格数是：1238（17）7228。

黑色方格数是：1237答案：28（2005200620072008200920102011）2008。7.分析：根据中项定理知：200520062007200820092010201120087,所以原式 2008720087。

答案：7。

8.把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

分析：公差为2的递增等差数列。

平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。

即：最大的数为38。答案：38

9.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

分析：解法1：可以看出，2，4，6，„，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，„，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000 解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000 答案：1000

10.在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的12（1）001，自然数和了．9182799（999）112594，所有不能被9整除的自然数和：50505944456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。答案：594

11.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？

分析：观察发现，这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3，公差是1，末项是10，项数是8 根据求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根）

所以这堆钢管共有52根。



答案：52根。

12.求100以内除以3余2的所有数的和。

解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、„„98公差为3的等差数列，首先求出一3133，再利用公式求和(298) 3321650。共有多少项，(982)答案：1650。

数列求和练习题及答案 篇2

1.运用等差、等比数列的定义或性质求解:

例1: (2009湖南文) 设Sn是等差数列｛an｝的前n项和, 已知a2=3, a6=11, 则S7等于 ( )

A.13 B.35

C.49 D.63

2.拆项分组求和:观察数列的通项特点, 把各项分解成两项或几项, 转化为基本数列求和。

例1: (2009北京文) 设数列an的通项公式为an=pn+q (n∈N, p>0) 数列bn定义如下:对于正整数m, bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值。

(2) 若p=2, q=1, 求数列bm的前2m项和公式;

解析: (1) 略。

(2) 由题意an=2n-1, 对于正整数m, 由an≥m, 得

3.倒序相加法:

例1:已知函数和点P (1, 0) , 过点P作曲线y=f (x) 的两条切线PM、PN, 切点分别为M、N, 且

(1) 求函数f (x) 的解析式;

(2) 当x>0, n≥2, n∈N时, 求证:[f (x) ]nf (xn) ≥2n-2。

解析: (1) 略。

4.错位相减法:形如anbn数列的前项和求解问题, 其中an是等差数列, bn是等比数列。

例1: (2009山东文) 等比数列an的前n项和为Sn, 已知对任意的n∈N, 点 (n, Sn) 均在函数y=bx+r (b>0且b≠1, b, r均为常数) 的图像上。

(1) 求r的值;

(2) 当b=2时, 记求数列an的前n项和Tn。

解析: (1) 略.

例1: (2009年广东文) 已知点是函数f (x) 且ax (a>0且a≠1) 的图象上一点, 等比数列an≠≠的前n项和为f (n) -c, 数列bn≠≠ (bn>0) 的首项为c, 且前n项和Sn满足

(1) 求数列an≠≠和bn≠≠的通项公式;

(2) 若数列前n项和为Tn, 问的最小正整数n是多少?

解析: (1) 略。

6.综合使用上述方法:

例1: (2009全国卷Ⅰ理) 在数列｛an｝中,

(1) 设求数列bn≠≠的通项公式;

(2) 求数列an≠≠的前n项和Sn.

解析: (1) 略

数列求和练习题及答案 篇3

关键词：数列性质 通项 求和

类型一：数列性质

（一）等差数列性质

例1.已知a■为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因为a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考点：等差数列的性质。

变式：设等差数列a■的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因为数列a■为等差数列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，设S15=x，则10，20，x-30成等差数列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考点：等差数列的性质，等差中项。

变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，则使得■为整数的正整数的个数是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，为使■为整数，需n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。本题较为典型。

（二）等比数列性质

例2：在正项等比数列a■中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因为lga3+lga6+lga9=3，同底对数相加得a3a6a9=103，用等比数列的性质得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考点：对数的运算，等比数列的性质。

变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10应为log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故选B。

考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。

点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特别地，当m+n=2k，则am·an=a■■，然后利用对数的运算法则即可。

类型二：数列通项与求和的应用

例3：已知等比数列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

（1）求数列a■的通项公式；

（2）求数列na■的前n项的和。

解析：（1）根据a1，a2+1，a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。

（2）较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。

试题解析：（1）设数列a■的公比为q，a2=2q，a3=2q2，由题设知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）设数列na■的前n项的和为Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。

变式：已知数列{an}的前n项和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列■的前n项和Tn。

解析：（1）当n=k∈N*时，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，从而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。

点评：典型题，本题首先由Sn，an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。

（责编 金 东）

摘要：数列的基本性质、通项及求和是高考考查的基本内容，属于基础题，一般情况下客观题型小而巧，主要考查等差、等比数列的性质，难度中等。熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列通项与求和问题的基础。对于常见的数列的求通项、求和的类型题要善于分类归纳整理，掌握各种类型的通解通法。

关键词：数列性质 通项 求和

类型一：数列性质

（一）等差数列性质

例1.已知a■为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因为a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考点：等差数列的性质。

变式：设等差数列a■的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因为数列a■为等差数列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，设S15=x，则10，20，x-30成等差数列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考点：等差数列的性质，等差中项。

变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，则使得■为整数的正整数的个数是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，为使■为整数，需n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。本题较为典型。

（二）等比数列性质

例2：在正项等比数列a■中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因为lga3+lga6+lga9=3，同底对数相加得a3a6a9=103，用等比数列的性质得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考点：对数的运算，等比数列的性质。

变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10应为log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故选B。

考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。

点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特别地，当m+n=2k，则am·an=a■■，然后利用对数的运算法则即可。

类型二：数列通项与求和的应用

例3：已知等比数列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

（1）求数列a■的通项公式；

（2）求数列na■的前n项的和。

解析：（1）根据a1，a2+1，a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。

（2）较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。

试题解析：（1）设数列a■的公比为q，a2=2q，a3=2q2，由题设知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）设数列na■的前n项的和为Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。

变式：已知数列{an}的前n项和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列■的前n项和Tn。

解析：（1）当n=k∈N*时，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，从而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。

点评：典型题，本题首先由Sn，an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。

（责编 金 东）

摘要：数列的基本性质、通项及求和是高考考查的基本内容，属于基础题，一般情况下客观题型小而巧，主要考查等差、等比数列的性质，难度中等。熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列通项与求和问题的基础。对于常见的数列的求通项、求和的类型题要善于分类归纳整理，掌握各种类型的通解通法。

关键词：数列性质 通项 求和

类型一：数列性质

（一）等差数列性质

例1.已知a■为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因为a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考点：等差数列的性质。

变式：设等差数列a■的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因为数列a■为等差数列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，设S15=x，则10，20，x-30成等差数列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考点：等差数列的性质，等差中项。

变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，则使得■为整数的正整数的个数是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，为使■为整数，需n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。本题较为典型。

（二）等比数列性质

例2：在正项等比数列a■中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因为lga3+lga6+lga9=3，同底对数相加得a3a6a9=103，用等比数列的性质得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考点：对数的运算，等比数列的性质。

变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10应为log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故选B。

考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。

点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特别地，当m+n=2k，则am·an=a■■，然后利用对数的运算法则即可。

类型二：数列通项与求和的应用

例3：已知等比数列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

（1）求数列a■的通项公式；

（2）求数列na■的前n项的和。

解析：（1）根据a1，a2+1，a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。

（2）较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。

试题解析：（1）设数列a■的公比为q，a2=2q，a3=2q2，由题设知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）设数列na■的前n项的和为Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。

变式：已知数列{an}的前n项和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列■的前n项和Tn。

解析：（1）当n=k∈N*时，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，从而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。

点评：典型题，本题首先由Sn，an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。

数列求和教案 篇4

教学目标

（一）知识与技能目标

数列求和方法．

（二）过程与能力目标

数列求和方法及其获取思路．

教学重点：数列求和方法及其获取思路． 教学难点：数列求和方法及其获取思路．

教学过程

1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）Sna1a2an2Snn(a1an)

Snanan1a112223210222 例1．求和：2110222923282101分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．

小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：

（2）Sna1a2a3an(1q)Sna1an1 qSaaaa23nn1n23n例2．求和：x3x5x(2n1)x(x0)

3．分组法求和

1的前n项和； 161例4．设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100

2例3求数列1,2,3,4（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。例5．求数列 1, 1a, 1aa,,1aaa121418,的前n项和Sn.n(n1)解:若a1,则an111n, 于是Sn12n;2 n1a1 若a1,则an1aan1 (1an)1a1a1a1a21an11a(1an)2n于是Sn [n(aaa)][n]

1a1a1a1a1a1a111 1212312n22n14．裂项法求和 例6．求和：12112()，n(n1)nn11111112n Sna1a2an2[(1)()()]2(1)223nn1n1n1解：设数列的通项为an，则an例7．求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n

（裂项）

1nn1则 Sn12312

（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

三、课堂小结：

1．常用数列求和方法有：

(1)公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2)化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3)倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；

(4)错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；(5)并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和；(6)分部求和法：将一个数列分成n部分求和；

(7)裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、课外作业： 1．《学案》P62面《单元检测题》 2．思考题

11146前n项的和.481612n2（2）．在数列{an}中，an，又bn，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan12（1).求数列：（3）．在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq

（找特殊性质项）和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN

得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)

＝log39log39log39

《数列求和》教学设计 篇5

一、教学目标：

1、知识与技能

让学生掌握数列求和的几种常用方法，能熟练运用这些方法解决问题。

2、过程与方法

培养学生分析解决问题的能力，归纳总结能力，联想、转化、化归能力，探究创新能力。

3、情感,态度,价值观

通过教学，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。

二、教学重点：

非等差,等比数列的求和方法的正确选择

三、教学难点：

非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和

四、教学过程：

求数列的前n项和Sn基本方法：

1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=

1、q≠1的讨论； 2.分组求和法：把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列，再求和； 3.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和.如:

设计意图：

让学生回顾旧知，由此导入新课。

[教师过渡]：今天我们学习《数列求和》第一课时，课标要求和学习内容如下:(多媒体课件展示)导入新课：

[情境创设](课件展示): 例1：求数列 112,214,318,,101210,,n1n,2 的前n项和。

[问题生成]：请同学们观察否是等差数列或等比数列？

设问：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公 式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征

111111，3，5，7，9，的前项和。2481632n 练习1.求数列

22n-1 练习2.求数列1，1+2，1+2+2，···，1+2+2+···+2，···.的前n项和。

例2：求数列1111，…的前n项和。，,......122334n(n1)[教师过渡]：对于通项形如an裂项相消求和方法

练习3.求和

练习4..求和sn1（其中数列bn为等差数列）求和时，我们采取

bbbn11121231nn1

[特别警示] 利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相同。

五、方法总结：

公式求和：对于等差数列和等比数列a的前n项和可直接用求和公式.分组求和：利用转化的思想,将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和.裂项相消：对于通项型如an1（其中数列bn为等差数列）的数列,在求和时

bbbn1将每项分裂成两项之差的形式,一般除首末两项或附近几项外,其余各项先后抵消,可较易求出前n项和。

数列求和教学设计 篇6

铜仁一中 吴 瑜

【教学目标】 1、知识与技能

掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围，进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。2、过程与方法

经历数列几种求和方法的探究过程、深化过程和应用过程，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。3、情感与价值观

通过数列几种求和法的归纳应用，激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。【教学重点】

本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、分组求和、错位相减求和的方法和形式，能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。【教学难点】

本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。【课堂设计】

一、知识回顾

1、等差数列通项公式ana1(n1)d，前n项和公式Snn(a1an)

2na(1q)1n1(q1)

2、等比数列通项公式ana1q，前n项和公式Sn1q

二、合作探究

1、倒序相加法：

例

1、求和：snsin21sin22sin23sin289 设计意图：应用倒序相加并感受此种方法的优越性——简洁美、对称美。

2、裂项相消法： 例

2、求数列 1111，,, 的前n项和。122334n(n1)一般化：1111()

n(nk)knnk设计意图：体验通分和裂项这对运算的互逆关系以及相消过程的简洁美、对称美。【变式1】已知数列{an}的通项公式为an2n1,求数列

1的前n项和。

anan1【变式2】求和：sn

3、分组求和法：

1111 1447710(3n2)(3n1)例

3、求和：sn123456(2n1)2n 【变式1】求和：sn

14、错位相减法：

例

4、求和：sn12222323n2n

三、归纳小结 数列求和常用的方法：

1、倒序相加法：数列an中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，求和时可把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

2、裂项相消法：设法将数列an的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和。

3、分组求和法：an，bn是等差数列或等比数列，求数列anbn的前n项和。

4、错位相减法：an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和。思考题：

1.求数列1,12,122,,122222n1111135(2n1)n 2482前n项的和。

等差数列求和公式的 篇7

问题2：1+2+3+…+n=?

在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡

设 =1+2+3+…+n ,又有 = + + +…+1

= + + +…+ ，得 =

问题3：等差数列 = ？

学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到 = = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q

问题4：还有新的方法吗？

（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（ ）++…+[ ]

= = （这里应用了问题2的结论）

问题5： = = ？

学生容易从问题4中得到联想： = = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。

高三等差数列求和七大方法 篇8

1.公式法

2.错位相减法

3.求和公式

4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

5.裂项相消法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1、余下的项前后的位置前后是对称的。

2、余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

(1)证明当n取第一个值时命题成立;

(2)假设当n=k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.并项求和法

(常采用先试探后求和的方法)

例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一：(并项)

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三：

构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。

六年级奥数之数列求和测试题 篇9

1.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

2.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

3.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位?

4.某建筑工地堆放着一些钢管，最上面一层有3根，最下面一层有29根，而且下面的每一层比上面的一层多2根，这些钢管一共多少根?

5.巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100

6.已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大 .

1.求首项是13，公差是5的`等差数列的前30项的和。

2.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位?

3.巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下。问：时钟一昼夜打多少?

5.已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大 .

6.将自然数如下排列，

1 2 6 7 15 16 …

3 5 8 14 17 …

4 9 13 18 …

10 12 …

11 …

…

在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列?

7.(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛)在11-45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少?

8.(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷)下面的数的总和是 ____ .

0 1 2 …49

1 2 3 … 50

48 49 50 …98

数列求和练习题及答案 篇10

【摘要】本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，阐述了对微课设计进行的研究与探索。

【关键词】C语言；循环结构；微课

当今，信息化高速发展，数字技术正在影响和改变着我们生活中的各个领域，其中也包括教学模式的改变。微课作为数字时代的一种新型课程表现形式，以其主题明确、短小精悍、交互效果好等优点，在各个学科的教学中正被积极地推广和应用。在我院的C语言课程教学中，微课设计被应用于很多较难理解的知识点讲解中，经过实践发现教学效果良好。本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，对微课设计进行研究与探索。

一、微课的介绍

1.微课的定义。

微课是以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或技能点的教学环节开展的精彩教与学活动全过程，具有目标明确、针对性强和教学时间短的特点。

2.微课的组成。

（1）围绕某个知识点或技能点的教学视频和微课设计脚本；

（2）微课教学相关的教学设计方案和教学课件；

（3）微课相关素材、练习题、测试题、教学反思等辅助性教学资源。

3.微课的主要特点。

（1）教学时间较短：时长一般为8―10分钟。

（2）教学内容较少：主要是突出课堂教学中某个知识点，内容十分精简。

（3）资源容量较小：学生可以在线观看视频学习，也可查看相应教学资料。

（4）主题突出：一个微课就只包含一个主题任务，内容明确。

（5）自主学习为主：学生可以使用微课完成自主的、一对一的学习。

二、应用C语言循环结构解决等差数列求和问题微课设计

1.微课名称：应用C语言循环结构解决等差数列求和问题。

2.所属专业：软件技术专业。

3.所属年级：高职一年级。

4.所属课程：C语言。

5.知识点。

（1）掌握while循环语句的格式和执行过程；

（2）学会分析循环结构程序的设计思路；

（3）熟练应用while循环语句来编写程序。

6.技能点：能够通过while循环语句编写程序来解决实际问题。

7.教学类型：讲授型。

8.设计思路。

（1）微课设计目标：通过微课交代出课程的基本知识点（包括理论部分与实践部分）、课程的整个教学环节以及所实现的具体任务。

（2）教学情境设计：在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。

（3）微课基本思路：在微课设计中，通过教学情境的引入，向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。学生在分组完成具体任务后要进行讨论，能够总结出while循环应用于实际问题中的设计思路和分析方法，之后能够举一反三合理解决其它问题。本次课程结束前，要求各项目组对项目成果进行演示和阐述，并进行评分。最后总结归纳本次课的主要内容。

9.教学过程。

（1）片头（20秒以内）

通过画面展示“微课”名称、“微课”所支持的课程名称、“微课”教学内容简介、“微课”主讲教师简介。可以添加适当的背景音乐。

（2）正文（8分钟）

①画面1：通过课件展示教学情境，引入具体研究任务。（30秒）

具体展示内容：各位同学，在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。

②画面2：讲解循环结构的特点、while循环的语法格式和执行过程。（220秒）

具体技术指导内容：学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程。

③画面3：分析等差数列求和问题中所使用的变量、设计流程，并进行程序编写。（300秒）

具体操练内容：向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。

（3）小结（20秒）

通过画面展示总结本微课重点。

（4）片尾（10秒）

通过画面展示“微课”制作者信息、相关“微课”信息、“微课”应用信息和必要的内容注解。

三、结语

本微课在C语言教学中已经应用，并取得了较好的教学效果，学生通过微课的学习对C语言循环结构的理解更加深刻了。张一春教授认为，对于老师而言，最关键的是要从学生的角度去制作微课，而不是在教师的角度去制作，要体现以学生为本的教学思想。因此，在今后的微课设计中，我们还要不断地探索，真正使微课成为学生自主学习的重要资源。

参考文献：

数列求和练习题及答案 篇11

高考网=2·3n-1,故cn=

n1bn23(n2).故c1+c2+c3+…+c2007=3+2×3+2×32+…+2×32006=32007.10．（1）由(3m)sn2manm3得(3m)sn12man1m3，两式相减得(3m)an12man,m3,an12m,∴an是等比数列。anm3（2）b1a11,qf(m)2m,nNn2 m3bn332bn1111f(bn1)bnbn13bn3bn1.22bn13bnbn1311是1为首项为公比的等差数列3bn1n1n21,bn33bn3.n23Sn1，an3Sn4(n2)2

11．（1）由题意知2an3Sn42由a11可得a2111,a3,a4 248(2)当n2时,an3Sn4,an13Sn14,两式相减得an1an3an1 an11 为常数a2,a3,a4,成等比数列an2(n1)111其中a2,q,an 1n122()(n2)212．（Ⅰ）由2an1anan2得an2an1an1an，则数列{an}是等差数列． a12d5,a11, 

因此，an2n1．

6a115d36.d2.（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q，学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 b1(1q)1a由得qa，b11． 33b1q(1q)a(1a)则bnb1qn1an1，anbn(2n1)an1．

Tn13a5a27a3(2n1)an1

………………①

当a1时，aTna3a25a37a4(2n1)an ………… ② 由①-②得(1a)Tn12a2a22a32an1(2n1)an

2(1an)1(2n1)an，1a2(1an)1(2n1)an所以，Tn．

21a(1a)当a1时，Tnn2．

a1d813．（1）设{an}公差为d,有 10910a1d1852解得a1=5,d=3，∴an=a1+(n－1)d=3n+2(2)依题意 bna2n322

∴Tn=b1+b2+…+bn=(3×21+2)+(3×22+2)+…+(3×2n+2)=3(21+22+…+2n)+2n=6×2n+2n-6.14．(Ⅰ）解：设数列{an}公差为d，则 a1a2a33a13d12,又a12,所以d2.所以an2n.（Ⅱ）解：令Snb1b2bn,则由bnanxn2nxn,得

Sn2x4x2(2n2)xn12nxn,①

xSn2x24x3(2n2)xn2nxn1,②

n

当x1时，①式减去②式，得

n(1x)Sn2(xx2xn)2nxn12x(1x)2nxn1，1xnn1

所以S2x(1x)2nx.n2(1x)1x当x1时, Sn242nn(n1)学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网

nn1综上可得当x1时,Snn(n1)；当x1时，S2x(1x)2nx.n2(1x)1x15．（I）Sn1(an1)2

① 41(an11)2

②

411(an1)2(an11)2，44Sn1①－②得anSnSn1整理得(anan1)(anan12)0

an0anan10anan120即anan12(n2)

{an}是等差数列.又a1S11(a11)24a11, an2n1

（II）bn11111()

anan1(2n1)(2n1)22n12n1Tn11n111111).[(1)()()](122n12n123342n12n116．（Ⅰ）∵Sn是各项均为正数的等比数列.∴SnS1qn1(q0).当n=1时，a1=S1，当n2时,anSnSn1S1(q1)qn2.∴anS1n2(n1)(n2)S1(q1)q

（Ⅱ）当n=1时，33a1a32a2S1S1(q1)q2S1(q1)S1[(q)2]0.24当n2时，anan22an1S1(q1)qn2S1(q1)qn2S1(q1)qn1S1(q1)3qn2

因为S10,qn20.所以

①当q=1时，(q1)30,anan22an1.学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 ②当0q1时,(q1)30,anan22an1.③当q1时,(q1)30,anan22an1.综上可知：

当n=1时，a1a32a2 当n2时,若q1,则anan22an1;

若0q1,则anan22an1;