等比数列求和

等比数列求和（精选12篇）

等比数列求和 篇1

数列求和是高中数学知识中的一个重要内容, 其实质就是数列{Sn}的通项公式, 它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧, 对学生的知识和思维有很高的要求。

数列求和的常用方法有:公式法、分组求和、裂项相消法、倒序求和、错位相减法等, 这些方法具有一定的通性, 是必须掌握的, 下面笔者举例谈几点数列求和的方法:

例1:求和, 1+2·2+3·22+……+n·2n-1

解析:本题是典型的运用错位相减法的题型, 大多数学生看到此结构, 均会用错位相减进行求和, 还有其它方法吗?从形式上看, n·2n-1= (xn) 1 (x=2) , 由此得到另一种解法。

点评:本例运用导数, 进行数列求和, 其方法具有一定的迁移性, 对学生数学思维的提高有一定的帮助。

例2:求和, Sn=1-3+5-7+……+ (-1) n-1 (2n-1)

解析:本题解法多种多样, 由 (-1) n-1不难想到, 对n进行奇、偶性的讨论, 在教学发现大多数的学生, 分别计算n为奇数及偶数的情形, n为偶数, 计算不易出错, 但n为奇数时, 求和时次数是易错点。若能利用n为偶数时, n-1为奇数, 计算量会降低许多。

解:n为偶数时:

n为奇数时, Sn=Sn-1+an=- (n-1) + (-1) n-1 (2n-1) =n (n≥3)

例3:在一个圆直径的两端写上自然数1, 将此直径分得的两个半圆都对分, 在每一个分点上, 写上该点相邻两数之和, 然后把分得的四个1/4圆周各自对分, 在所得分点上写上该点相邻两数之和, 如此继续下去, 问这样做第几步后, 圆周所胡分点上数字之和Sn是多少?

解析:本题在实际教学中, 学生做对的人数极少, 大多数学生关注于分点的数字, 想将其通项写出, 但又不得其法, 若能注意到求Sn, 即其通项这一基本方法思想, 运用求通项公式中, 寻找递推式的方法可得下面的解法。

解:设第n步之后, 圆周所有分点上数字之和为Sn, 则第n-1步之后, 圆周所有分点之数字之和为Sn-1 (n≥2) 显然n=1时S1=2,

又Sn=Sn-1+2Sn-1=3Sn-1

∴{Sn}是以2为首项, 3为公比的等比数列

例4:推导等比数列求和公式

已知数列{an}为等比数列, 分比为q, 其前几项和为Sn, 求Sn

解析:教材中运用的是错位相减法, 求和, 在这里本文给出另一种常用方法, 裂项求和。

解:∵{an}是等比数列, 首项为a1, 公比为q

当q=1时, Sn=na1

等比数列求和 篇2

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，an为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列求和公式

(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N).

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);

(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比,n为项数)

(4)性质：

①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq;

②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=aq^2

(5)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G ≠ 0)”.

数列求和方法 篇3

数列是一个古老的数学问题。在我国古代，数学家对数列的认识特别早，《易经》中有这样的记载“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”[1]，这在世界数学史上都算得上是最早的相关等差数列记载。在国外，古印度宰相西萨发明国际象棋的故事就初步涉及到等比数列求和的问题；古巴比伦人很早就计算出了具体的等比数列之和；欧几里得在著作《几何原本》中对等比数列之和给出了具体的证明。固数列有着非常悠久的历史。

本文总结出高中教材涉及的几种数列求和方法：公式法，倒序相加法，错位相减法。这几种最为基础的求和方法一般用来解决规律性强的数列。对于以上的每种数列求和方法，在介绍、总结了计算法则之后，都用比较具有代表性的计算题或证明题来进行了例题示范。使用以上这些数列求和方法，可以解决生活中常见的比较多的数列求和问题。

2. 数列求和方法

生活中遇到的有关数列的问题，如果数列的规律性较强，比如等差数列、等比数列、等差与等比相乘的数列，如果对这类数列进行求和，可以用高中教材涉及的方法来计算，下面介绍中学教材中涉及的四种基础性的数列求和方法。

2.1 直接求和法

對于数列求和的题目，如果题目是对于等差或等比数列进行求和，可直接根据公式来进行求和。

直接求和法常用公式有：

，

，

，

等差数列前 项和公式：

，

等比数列前 项和公式：

.

2.2 倒序相加法

对于已知的数列 ，如果首尾两项之和等于所有与前后距离相等的项数之和，那么这样的数列 求和就可以采用倒序相加法，其具体操作就是：第一，把数列前 项和按顺序依次展开；第二，把数列的前 项和展开再按倒叙排列；第三，把两个式子对应相加，会发现相加后的数列每一项都相等，即转化为常数列，此时问题就可以迎刃而解了。

例2.2.1 假设已知有一个等差数列 ，此数列的首项和公差都为1，计算出这个数列的前100项之和。

解：由倒叙相加法可得：

由

，

，

.

2.3 错位相减法

给定一个数列 ，该数列的通项公式可以分解，分解后通项成等差与等比的乘积 ，中间 代表等差数列， 代表等比数列，那么求数列 的前 项和的时候可以采用错位相减法。

例2.3.1 已知数列 ， ，求

解： 时，该数列从第二项起都为零，

时，数列是一个常数列， ；

时，数列是一个合成数列，可拆为等差数乘以等比数列的形式

，其中， ，采用错位相减法可以得到如下结果：

，

，

，

.

数列求和方法初探 篇4

一、逆序相加法

在等差数列an中若非零自然数m、n、p、q满足:m+n=p+q, 则am+an=ap+aq.

设Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (顺序排列)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (逆序排列)

两式相加, 再利用上述性质得, 这就是逆序相加法的理论由来.

分析:S100=1C1100+2C2100+3C3100+…98 C98100+99C99100+100C100100

S100=99C99100+98C98100+97C97100+…+2C2100+1C1100+100C100100

两式相加:2S100=100 (C1100+C2100+…+C99100) +200

=100 (C0100+C1100+C2100+…+C99100+C100100) =100×2100

∴S100=50×2100

分析:此题看上去好像与数列求和无关, 但仔细观察:在要求的表达式中:正数第一个自变量与倒数第一个自变量相加和为1, 正数第二个自变量与倒数第二个自变量相加和为1…这与逆序相加法的表达结构惊人的相似, 由此猜测f (x) +f (1-x) 为定值, 经运算

二、错位相减法

例三: (2007年全国卷) 设数列an≠≠是等差数列, bn≠≠是正数构成的等比数列, 且a1=b1=1, a3+b5=21, a5+b3=13.

分析:由条件易得an=2n-1, bn=2n-1

三、分组求和法

一个数列的前n项从整体上无法求和, 但把它们分成两组或若干组转化为等差或等比数列就可以求和了。

例四:数列an≠≠中, an=n (-1) n, 求数列an≠≠前n项和Sn。

分析:Sn=-1+2-3+4-5+6-7+…+n (-1) n

若n为偶数则两项一组, 两项之和都为1, 共组, 得

若n为奇数, 则Sn=a1+a2+…+an-1-n

例五: (2007年浙江) 已知数列an姨≠中相邻两项a2k-1、a2k是方程x2- (3k+2k) x+3k·2k=0的两个根, 且a2k-1≤a2k (k=1, 2, 3, …)

(1) 求a1, a3, a5, a7及a2n (n≥4) (不必证明) .

(2) 求数列an姨≠前2n项和S2n.

分析: (1) a1=2, a3=4, a5=8, a7=12, 当n≥4时2n>3n∴a2n=2n.

(2) 当n≥4时;a2n=2n;a2n+1=3 (n+1)

所以S2n=2+3+4+6+9+12+16+15+32+…3n+2n

= (3+6+9+…+3n) + (2+4+8+…+2n) (分为两组, 一组等差, 一组等比)

四、裂项求和法

例六: (2008年江西) 数列an姨≠是等差数列, an为正整数, 前n项和为Sn;数列bn姨≠是等比为64的等比数列且a1=3, b1=3, b2S2=64。

分析 (1) 易得an=2n+1, bn=8n-1

数列求和问题 篇5

教学目标

1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．

2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．

教学重点与难点

重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和． 难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的． 教学过程设计

（一）复习引入

在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?

二、复习预习

通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容

三、知识讲解 考点

1、公式法

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1

2、等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1qn113、Snkn(n1)

4、Snk2n(n1)(2n1)

26k1k1n15、Snk3[n(n1)]2

2k1n

考点

2、分组求和法

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例求和：Sn2351435263532n35n 解：Sn2351435263532n35n

2462n35152535n

4，6，，2n练习：求数列2，14181161，的前n项和Sn． 2n111{2n}，而数列是一个等差数列，数列n1是一个等比

2n12分析：此数列的通项公式是an2n数列，故采用分组求和法求解．

111111解：Sn(2462n)234n1n(n1)n1．

222222小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.考点

3、、倒序相加

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).例求sin21sin22sin23sin288sin289的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289„„„„.①

将①式右边反序得

Ssin289sin288sin23sin22sin21„„„„..②（反序）

又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1

①+②得（反序相加）

2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴ S＝44.5

2x练习：已知函数fxx 22（1）证明：fxf1x1；

1（2）求f102f108f109f的值.10解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1f1092ff10108f108f102f105f105f1 101令Sf109则Sf102f108f109f 101f 10两式相加得：

2S9

1f1099f9 所以S.210小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.考点

4、裂相相消法

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似

（其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

1，求它的前n项和Sn

n(n1)例、数列an的通项公式为an解：Sna1a2a3an1an

11111 122334n1nnn1111111111 =1

22334n1nnn11n n1n1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.1针对训练

5、求数列 1111，,，的前n项和Sn.122332nn1练习：求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n（裂项）

1nn1则 Sn12312（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

作业：基本练习

2221、等比数列{an}的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12a2＝________________.a3an2、设Sn1357(1)n(2n1)，则Sn＝_______________________.3、111.1447(3n2)(3n1)

4、1111=__________ ...243546(n1)(n3)

5、数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an，前n项和Sn 综合练习1、1222324252629921002＝____________；

2、在数列{an}中，an1，.则前n项和Sn；

n(n1)(n2)n2an(n1)(n2)，n3、已知数列{an}满足：a16，an1（1）求a2，a3；（2）若dn an，求数列{dn}的通项公式；

n(n1)

考点5错位相减

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若anbncn，其中bn是等差数列，cn是公比为q等比数列，令

Snb1c1b2c2bn1cn1bncn

则qSnb1c2b2c3bn1cnbncn1 两式相减并整理即得

例4 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1„„„„„„„„„①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn„„„„„„„„„.②（设制错位）

①－②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)∴ Sn 2(1x)小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{bn}的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.2462n练习：

1、求数列,2,3,,n,前n项的和.22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n„„„„„„„„„„„„„①

222212462nSn234n1„„„„„„„„„„„„②（设制错22222位）

1222222n①－②得(1)Sn234nn1（错位相减）

222222212n2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

2、已知 ann2n1，求数列｛an｝的前n项和Sn.解：Sn120221(n1)2n2n2n1 ①

2Sn121222(n1)2n1n2n ②

②—①得

Snn2n120212n1n2n2n1

1352n13、6、,2,3,,n,;的前n项和为_________ 222264、数列{an}中, a11,anan1n1,nN*，则前n项和S2n=；

55、已知数列annn!，则前n项和Sn=；

关于数列求和问题的一些思考 篇6

在中学数学的教学中，求数列各项和的问题是我们不容忽视的教学重点内容，依据《课程标准》的要求，高中阶段的学生应该掌握等差数列，等比数列前n项的求和公式，还应该会采用这些简单的公式去解决生活中一些常见的简单问题。

一、关于数列求和问题的认识

与数列有关的题目是我们在中学阶段重点学习的内容，一般使用公式法、通项分析法、错位相减法、裂项相消法、递推法和阶差法等方法进行数列的求和，在这些方法中公式法是最基本的方法。我们在学习数列的时候首先学习的就是等差数列和等比数列，公式法的本质就是一定要记清楚、记准确公式，能够准确地通过分析数列的特征给出其通项公式，然后求出数列前项和。

通项分析法是相对灵活多变的方法，首先分析数列各项的特征，观察有没有什么共同的特点，例如各项是否可以分解，局部是否可以先求和等等，分组求和然后再整体求和。遇到这种题目，我们要灵活面对，方法不唯一，具体情况还得具体分析，上面我们只是介绍了通项分析法运用的一部分，也是我们常见的一类题目，必须要牢牢掌握。

错位相减法是我们常用的方法，值得注意的是在解题过程当中一定要自仔细认真，因为在解题过程当中数列的项数是繁多的，稍微不注意就容易写错。

裂项相消法就是把一项分解成两项甚至是多项，然后采用消除的办法求得前项和。用这种方法解决数列问题的类型有很多，其中包括等差型、无理型、指数型、对数型、三角函数型等等，其中三角函数型是不常见的，但是我们在遇到的时候要会解，以上介绍的几种类型一定要牢牢的掌握，在解题过程当中我们经常会遇到，每一种类型都有自己鲜明的特点，同学们要在理解的基础上加以记忆，灵活多变的去解决遇到的不同问题。

递推法大体上在解决自然数平方和、立方和的题目时常常会用到。采用递推法解决数列题目，起初我们要知道数列的通项公式，求通项的办法就是要先找到数列各项间的规律，继后化难为易，在中学课本上等差数列和等比数列其通项的求法就可以通过递推公式的形式来求出。上文我们已经介绍了等差数列其通项通过递推公式的办法证明了出来。我已经介绍了三种用递推法去解决问题的类型，这三种类型是我们在解决数列问题时经常会遇到的问题，希望读者可以理解并牢牢的掌握。

阶差法是求通项公式常用的方法，我们知道数列是由一项一项构成的，其排列有一定的次序，这里的一定次序是关键，换句话说这里的一定次序就是数列的通项，而阶差法就是在通项公式不是很容易看出来的情况下采用的办法。上文中我所介绍的那道例题就是一道很典型的例题，充分理解这道例题，分析阶差法的微妙之处是解决这种类型的关键。

归纳、猜想、证明这种类型的题目一般情况下我们是可以通过分析数列各项的共同特征归纳出其前项和，然后猜想通项和公式，最重要的一点就是证明，证明方法一般采用假设法，假设法就是假设当时等式成立，我们来推当时等式也成立。采用这种方法的题目都有自己和鲜明的特点，读者通过分析上文所介绍的例题可以很快的理解什么时候采用这种方法。关键的一点就是假设法的运用，读者一定要牢牢地掌握。多做一些与此相关的例题，千锤百炼。

与组合数有关的数列的求和法和特殊的三角数列求和法是不常见的一类题目解法，在此我们要了解这两种方法，在遇到这种题目的时候要会用、会解。

二、一些思考

以上讨论的是数列求和问题常用到的一些解题方法，而数列求和类的题目其解法灵活多变，不限于一种方法。对于较复杂的的数列求和题目需要在掌握基本或者说是根本方法的基础上进行更进一步的探究，并在处理数学问题时，摸索求解规律的过程之中，努力培养剖析问题和解决问题的本领，逐步养成勤于思考，善于动手的良好习惯。很多学生在遇到数列问题时常会感到特别棘手，或者是一看到数列求和问题就头大，就害怕，我觉得这完全是没有必要的行为，只要我们掌握了数列的最基本的方法，把其他方法好好地理解，我想在以后再次遇到数列求和问题时就会得心应手。

对一道等比数列求和题的几点思考 篇7

下面给出两种解法:(一种是学生的解法,一种是参考答案上的解法)看看谁是谁非?

解法1:(学生解法)由题意得:S10=10,S30=130,

若q=1,则S30=3S10,这与已知S30=13S10矛盾,所以q≠1.从而

将上面两个等式的两边分别相除,得

化简整理,得q20+q10-12=0.

解得q10=3,q10=-4 (舍去)

把q10=3代入,可求,于是.

解法2:(参考答案上的解法):

解:由题意得:S10=10,S30=130,

由于{an}是等比数列,则S10,S20-S10,S30-S20,也成等比数列.即10,S20-10,130-S20,也成等比数列.

故(S20-10)2=10(130-S20)

整理,得

解得S20=40或S20=-30.

刨根问底:什么原因导致两种解法结果不一样呢?

笔者认为参考答案有问题,下面我们看

由于q10>0,所有S20-S10与S10同号.

于是S20-S10>0,从而S20=40.

通过以上分析两种解法结果就一致了.

小结:当求相差奇数个项时,不易出错;但当求相差偶数个项时,要注意取舍否则容易出错.

点评:解法1虽然繁琐但是不容易出错,解法2虽然简洁但是容易出错.

追根溯源:解法2中运用了“由于{an}是等比数列,则S10,S20-S10,S30-S20,也成等比数列;”这结论一定成立吗?

思考:{an}是等比数列,Sn是其前n项和,数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(k∈N+)是否仍成等比数列?

解:设{an}首项是a1,公比为q,

①当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k不是等比数列.

因为此时,Sk=S2k-Sk=S3k-S2k=0.

例如,数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=S4-S2=S6-S4=0,

②当q≠-1或k为奇数时,

Sk=a1+a2+a3+…+ak≠0,S2k-Sk=qk(a1+a2+a3+…+ak)≠0.

S3k-S2k=q2k(a1+a2+a3+…+ak)≠0⇒Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(k∈N+)成等比数列.

数列求和的常见方法 篇8

一、通项分解法

将数列中的每一项拆成几项, 然后重新分组, 将一般数列的求和问题转化为特殊数列的求和问题, 把这种方法称为通项分解法, 运用这种方法的关键是通项变形.

例1 ( 2010. 全国卷Ⅱ文) 已知{ a n } 是各项均为正数的等比数列, 且a1+ a2= 2 (1/a1+1/a2) , a3+ a4+ a5= 64 (1/a3+1/a4+1/a5) , 1求{ an} 的通项公式;

②设b n = (a n + 1/a n ) 2 , 求数列{ b n} 的前n项和T n .

解析①设公比为q, 则a n = a 1 qn - 1, 由已知有

所以an= 2n - 1.

二、裂项相消法

裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项, 使这些拆开的项出现有规律的相互抵消, 把没有抵消掉的合并化简, 从而达到求和目的.

例2 ( 2010山东理) 已知等差数列{ an } 满足: a3 = 7, a 5 + a 7 = 26, { a n } 的前几项和为Sn . ①求an 及Sn , ②令bn =1 / (a2 n - 1) ( n∈N+) , 求数列{ bn } 的前几项和 Tn .

解①设等差数列{ an } 的首项为a1 , 公差为d, 由于a 3 = 7, a 5 + a 7 = 26.

由公式知an= 2n + 1, Sn= n ( n + 2) .

②因为a n = 2n + 1, 所以a2 n - 1 = 4n ( n + 1) ,

因此b n =1/ 4n ( n1 + 1) = 1/4 (1/ n - 1/ (n + 1 ) )

故 T n = b 1 + b 2 + … + b n = 1/4 ( 1 - 1 /2 + 1/ 2 - 1/3 + … +1/ n - 1/n + 1 ) =1 /4 (1 - 1 /n+ 1 ) = n/4 ( n + 1 ) .

所以数列{ b n } 的前几项和T n =n/ 4 ( n + 1) .

三、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成, 则求和可采用错位相减法. 运用此方法时, 一般和式比较复杂, 运算量大, 易会不易对, 应特别细心, 解题时若含参数, 要注意分类讨论.

例3 ( 09山东) 等比数列{ an} 的前n项和为Sn, 已知对任意的n∈N+, 点 ( n, Sn) 均在函数y = bx+ r ( b > 0且b≠1, b、r均为常数) 的图像上, 1求r的値;

2当 b = 2 时, 记 bn=n + 1/4a n ( n∈N+) , 求数列{ bn} 的前几项和T n .

解析①由题意, S n = bn+ r, 当n≥2时, S n - 1 = bn - 1+ r,

解析①由题意, S n = 所以a n = S n - S n - 1 = bn - 1 ( b -1) .

由于b >0且b≠1, 所以当n≥2时, { a n } 是以b为公比的等比数列

又 a 1 = b + r, a 2 = b ( b - 1) , a 2 /a 1 = b, 即b ( b - 1) / (b + r) = b.

∴ r = - 1.

②由①知, n∈N+, a n = ( b - 1 ) bn - 1, 当b = 2时, a n = 2n - 1.

常见数列求和七法 篇9

1. 直接法

就是直接用等差、等比数列的求和公式求和 (但要注意等比时讨论q=1和q≠1的情形) .

例1设{an}是等差数列, {bn}是等比数列, a1=b1=1, a2+a4=b3, b2b4=a3, 分别求{an}及{bn}的前10项和S10和T10.

解∵{an}是等差数列, {bn}是等比数列,

2. 分组转化法

就是把数列的每一项分成两项或若干项, 使其转化为几个等差、等比数列, 再求和.

3. 错位相减法

就是主要用于由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.

例3求数列a, 2a2, 3a3, …, nan, … (a为常数) 的前n项和.

解析当a=0时, Sn=0.

4. 裂项相消法

就是把数列的通项拆成两项之差求和, 正负相消剩下首尾若干项.

常见拆项公式有下面几个:

例4求数列的前n项和Sn.

5. 倒序相加法

就是把数列正着写和倒着写再相加时, 有公因式可提, 并且剩余的项之和可以求出来, 就可用倒序相加法求和.

例5已知lg x+lg y=a, 且Sn=lg xn+lg (xn-1y) +lg (xn-2y2) +…+lg yn, 求Sn.

6. 公式法

就是用已经证明过的正整数方幂和公式求和的方法, 常用公式有:

例6求数列1×2×3, 2×3×5, 3×4×7, …, n (n+1) (2n+1) , …的前n项和Sn.

数列求和的常用方法 篇10

一、公式法

利用以下公式求数列的和:

二、分组求和法

对于数列{an}, 若an=bn±cn且数列{bn}、{cn}都能求出其前n项的和, 则在求{an}前n项和时, 可采用该法.

三、倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (倒序) , 再把它与原数列相加, 就可以得到n个 (a1+an) .

四、错位相减法

错位相减法求和在高考中占有相当重要的地位, 近几年的高考题中都出现了这方面的内容, 因而需要学生掌握好这种方法.这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法, 主要用于求数列{an·bn}的前n项和, 其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q;然后将得到的新和式和原和式相减, 转化为同倍数的等比数列求和, 这种方法就是错位相减法.

例4:已知数列{an}的通项公式是an= (2n-1) ·3n, 求数列{an}前n项和Sn.

五、裂项相消法

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项, 使得前后项相抵消, 留下有限项, 从而求出数列的前n项和.

常见的裂项方法有:

六、并项法

数列的求和方法多种多样, 它在高考中的重要性显而易见.学生在学习中必须掌握好几种最基本的方法, 才能比较容易地解决数列问题.

摘要：数列是高中代数的重要内容, 在高考中占有重要地位.数列求和是数列的重要内容之一, 除了等差数列和等比数列求和可直接用对应的求和公式外, 大部分数列的求和都需要运用一定的技巧.本文介绍求一个数列的前n项和的几种方法:公式法, 倒序相加法, 错位相减法, 裂项相消法, 分组求和法, 并项法等.

求和问题，数列教学的“重头戏” 篇11

【关键字】高中数学；数列；求和；转化

中图分类号：G633.6

数列是一种特殊的函数，其应用在高考中占有重要的地位，考察了同学们的逻辑思维能力、推理能力、谨慎性以及灵活性。笔者作为教学中的主导，在教学过程中引导同学们探究数列求和的技巧与关键，促进教学目标高效的完成。

一、叠加叠乘，引导转化

数列求和有很多求解的方法，包括倒序相加法、拆项重组法、裂项相消法、错位相减法、叠加法、叠乘法等等。为了深化同学们对每一种求和方法的应用，在教学时可以开展专题性的讲解，本文以叠加叠成这一专题教学为例，重点进行探讨。

在数列的学习中，等差数列与等比数列是可以直接根据公式进行运算的，借助公式能够使运算变得非常简单。对于一些特殊的数列，同学们通过叠加或叠乘这样转化，能够将递推數列转化为可以直接应用公式的等差或等比数列，或一些求和简单的数列，根据其通项公式进行求解。然而同学们总是不能避免走一些弯路，没有进行正确转化，造成运算非常复杂，解题思路不对。因此，我通过让同学们练习一系列的求和问题，去领悟运用叠加叠乘的方法及相关类型数列的特点。例如，已知a1=1，an+1=an+2n，求数列的和Sn。对于这道问题，直接利用递推公式求解Sn是非常困难的。首先应当根据递推公式求出an的通项公式，这里就用到的是叠加法。由递推公式可得a2-a1=2，a3-a2=2*2，a4-a3=2*3，……，an-an-1=2n-1，将这n-1个式子相加可得an=1+2+2*2+2*3+……2n-1，化简得到an=1+2（1+2+3+……n-1）= n（n-1）+1=n2-n+1。Sn=（12+22+32+ ……+n2）-（1+2+3+……+n）+n=n（n+1）（n+2）/6-n（1+n）/2+n，得解。通过对若干运用累加法求和问题，我引导同学们去探究总结其中的规律，最终同学们发现，对于an+1=an+f（n）这种形式的递推数列，应当通过叠加法求其通项公式，当f（n）是一个常数时，数列是等差数列。同样的方式，我再引导同学们进一步探究叠乘法的应用。

在上述教学活动中，我通过展开专题讲解，引导同学们去深入探究每一种求和的方法，有助于促进同学们扎实基础，落实基本功，从而灵活的运用这些方法解决综合性问题，提高解决问题的能力。

二、自行编纂，凸显层次

教师的教学要注重层次性，每个同学的理解能力有高有低，对知识的吸收程度不同，因此教师在让同学们进行习题练习时，也要注重层次性，从易到难，从浅到深，使不同层次的学生都有所收获。

比如，我通过自行编纂习题，充分注意题目的难易程度，使同学们一步一步的获得能力提升。最开始我会要求同学们能够充分的理解与运用等比数列及等差数列的公式，严格遵守公式应用的条件。例如在求等比数列的和时，如果公比不是一个已知的常数，那么同学们在求和时一定要分为公比为1和公比不是1这两种情况。接下来同学们需要学会通过进行一定的变形进而应用等比数列或等差数列的求和公式求解。例如一些数列既不是等差数列，也不是等比数列，但是通过将数列进行适当的拆分，可以分为几个等差数列、等比数列或者常见的数列，这种方法即为分组求和法，是比较简单的变形。其次还有错位相减求和这一方法，同学们通过设置错位，相减之后得到一个等式，等式一边是含有Sn这一参数的简单式子，通常为（1-x）Sn，等式右边可以利用等比数列求和公式进行化简，最终得到Sn。接下来同学们需要掌握一些复杂的变形求和，例如裂项相消法的运用。

在上述教学活动中，我通过有层次性和递进性的开展教学内容，使不同水平的同学都尽可能的学到知识，水平低的同学可以掌握求和的基本方法，会求解简单例题，而水平高的同学在教学中不断地获得提升，很大程度上提高了课堂的效率。

三、高度预见，对症下药

根据历年的教学经验，教师是可以预见性的估计同学们可能会出现问题，发现那些知识是同学们的薄弱之处。教师通过有针对性的对症下药进行设计，可以有效的促进同学们攻克重点难点，提高数学知识水平。

比如，在对数列的求和问题进行教学时，我发现同学们对数列的性质掌握的并不是很好，经常会混淆。为了使同学们充分的吸收这部分知识，我对症下药，就这部分知识有针对性的进行了备课，以帮助同学们有效的梳理。我首先出了一道典型例题让同学们自主解答，例如，等差数列的{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和。通过观察同学们的解题过程，我发现有部分同学果然按我所预计的，将通项性质与前n项和的性质混淆了。我采用不点名的方式将其错误答案在黑板上板书出来，让同学们来分析一下错误之处。错误答案如下：由于Sm，S2m，S3m成等差数列，所以2S2m=Sm+S3m，S3m=2*100-30=170。同学们纷纷回答是错的，Sm，S2m，S3m并不成成等差数列。我对同学们说 ：“那同学们能用具体的数据告诉我为什么不成等差数列吗？”同学们是通过举例的方法说明了这一问题，Sm=m（a1+am）d/2，S2m= 2m（a1+a2m）d/2，S3m=3m（a1+a3m）d/2，给m、d、a1赋予具体的数值可以计算出三者并不成等差数列。我继续提问：“那么这道题应该怎么做呢？”同学们回答到，Sm，S2m-Sm，S3m- S2m成等差数列，公比为m2d，所以2（S2m-Sm）= Sm+S3m- S2m，代入数值得S3m=210。为了让同学们都能深入的理解这一性质，我引导同学们再一次证明了 Sm，S2m-Sm，S3m- S2m为何成等差数列，以及公差的公式，有助于同学们对其产生更深的记忆。

在上述教学活动中，我通过设计问题，让同学们先出现错误，然后对其进行针对性的讲解与指导，使同学们意识到求和问题的关键，从而产生更深的理解与认识，高效的达成了教学目标。

综上所述，教师在教学过程中，通过对重点的求和方法进行专题讲解、选配具有层次性的典型例题进行训练、对可能出现的问题进行针对性的设计等策略，能够有效的提高教学效率，让同学们更好的吸收和运用数列求和的知识，实现高效的数学课堂。

参考文献：

[1]岳玉科.《数列求和》教学案例谈新教材的有效研究探索[J].昭通师范高等专科学校学报，2011（S1）.

浅谈数列求和的方法 篇12

一、用通项公式法

规律:能用通项公式写出数列各项, 从而将其和重新组合为可求数列和.

例1 求undefined之和.

解:由于undefined

undefined

二、错位相减法

一般地形如undefined的数列, {an}为等差数列, {bn}为等比数列, 均可用错位相减法求和.

例2 求数列undefined前 n 项的和.

解:由题可知, undefined的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列undefined的通项之积.

①-②得undefined,

所以undefined

三、裂项抵消法

这一类数列的特征是:数列各项是等差数列某相邻两项或几项的积, 一般地, {an}是公差为 d 的等差数列, 则:

undefined

即裂项抵消法, 多用于分母为等差数列的某相邻 k 项之积, 而分子为常量的分式型数列的求和, 对裂项抵消法求和, 其裂项可采用待定系数法确定.

例3 求数列undefined的前 n 项和.

解:设undefined,

undefined

四、分组法

某些数列, 通过适当分组, 可得出两个或几个等差数列或等比数列, 从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和, 从而得出原数列之和.

例4 求数列的前 n 项和:undefined

解:设undefined

将其每一项拆开再重新组合得

undefined

undefined

undefined

五、倒序相加法

等差数列前 n 项和公式的推导, 是先将和式中各项反序编排得出另一个和式, 然后再与原来的和式对应相加, 从而解得等差数列的前 n 项和公式, 利用这种方法也可以求出某些数列的前 n 项和.利用这种方法求和要求第一项与最后一项的和等于第二项与倒数第二项的和, 即要满足当 m+n=p+q 有 am+an=ap+aq.

例5 求证:Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…+ (2n+1) Cundefined= (n+1) 2n.

证明:设Sn=Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…+ (2n+1) Cundefined, ①

把①式右边倒转过来得

Sn= (2n+1) Cundefined+ (2n-1) Cundefined+…+3Cundefined+Cundefined.

又由Cundefined=Cundefined可得

Sn= (2n+1) Cundefined+ (2n-1) Cundefined+…+3Cundefined+Cundefined. ②

①+②得2Sn= (2n+2) (Cundefined+Cundefined+…+Cundefined+Cundefined) =2 (n+1) ·2n,

所以Sn= (n+1) ·2n.