二轮：等差、等比数列的计算与证明

二轮：等差、等比数列的计算与证明（通用11篇）

二轮：等差、等比数列的计算与证明篇1

专题三数列

第一讲等差、等比数列的计算与证明

一、选择题

1．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝()A．14B．21C．28D．3

5解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，7a1＋a7由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋„＋a7＝7a4＝28.2答案：C

2．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最

小值时，n等于()

A．6B．7C．8D．9

解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，a5－a1－3＋11则a5＝－3，d＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正 45－

1项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A.答案：A

3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是

A．T10B．T13C．T17D．T25

解析：a3a6a18＝a1 3q2＋5＋17＝(a1q8)3＝a9 3，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项积为定值，可知T17为定值．

答案：C

4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()

A．80B．26C．30D．16

3nS141－q解析： Sn21－q∴qn＝2.1－q4n

∴S4n＝Sn30.故选C.1－q答案：C

5．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()-1-

15313317B.C.2442

24解析：an>0，a2a4＝a1q＝1①

S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②

11解得a1＝4，q＝或－舍去)，2

3114×3231a11－qS5＝＝，故选B.141－q125

答案：B

二、填空题

6．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通

项公式an＝________.a11－q3－解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝21，∴a1＝1，∴an＝4n1 1－q

答案：4n1 －

7．(2009·辽宁理)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.5×43×2解析：由题意知65a1＋d－53a1＋＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，22

1故a4＝.313

8．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}的前10项和S10＝________.111解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得1，则1＋(n－1)＝n，所 anan＋1an

1111110以an＝，bn＝anan＋1＝＝－，故S10＝b1＋b2＋„＋b10＝1－.n1111nn＋1nn＋

110答案：11

9．已知数列{an}(n∈N*)满足：an＝nn＝1，2，3，4，5，6

－an－6n≥7，且n∈N* 则a2 007＝________.解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an

从而知当n≥7时有an＋12＝an

于是a2 007＝a167×12＋3＝a3＝3.答案：3

三、解答题

10．如图给出了一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．

(1)写出a45的值；

(2)写出aij的计算公式．

解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.∵a41＝13，a42＝22，∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列．

∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列． ∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

S(2)设bn＝n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n

a1＝2＋1，(1)解：由已知得∴d＝2，3a1＋3d＝9＋2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．

S(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2.n

2假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，2q－pr＝0，∴ 2q－p－r＝0，

∴p＋r2＝pr，(p－r)2＝0，2

∴p＝r.这与p≠r相矛盾

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

a＋1212．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝，4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn 均成立，求实数b的取值范围．

a1＋12解：(1)由a1＝a1＝1.4

an＋12－an－1＋12当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，4

得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又因为an>0，所以an－an－1＝2.因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝2n－1(n∈N*)．

(2)因为Sn＝n2，Tn＝b(2n－1)，所以Sn≤Tn对任意n∈N*恒成立，n12－1当且仅当≤对任意n∈N*均成立． bn2n－12n1－12n－1n2－2n－1·2n＋2n＋1令Cn＝Cn＋1－Cn＝＝，nnn＋1n·n＋1＋所以C1>C2，且当n≥2时，Cn

134因此b≤C2＝4，即b≥3

二轮：等差、等比数列的计算与证明篇2

一定义法

二函数法

等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) d=dn+ (a1-d) 是关于n的一次函数, 利用此性质, 在高考中, 我们不仅可以解决选择填空题, 还可以进一步解决解答题。

分析:本题第一问可利用定义法证明, 第二问可在第一问的基础上由累加法求出, 关键难点在第三问。

将以上各式相加得:上式从1到n-1累加得:

三等差中项法

要证明{an}为等差 (比) 数列, 只需证明它的任意三项an, an+1, an+2成等差 (比) 数列, 即2an+1=an+an+2 (an+12=an·an+2)

例3, (2006年福建) 已知数列{an}满足a1=1, a2=3, an+2=3an+1-2an (n∈N+) 。

(I) 证明:数列{an+1-an}是等比数列; (II) 求数列{an}的通项公式; (III) 若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1= (an+1) bn (n∈N*) , 证明{bn}是等差数列。

nn分析:本题和例2相仿, 第一问可用定义法证明, 第二问可在第一问的基础上由累加法求出, 这里从略。

证明 (III) :由 (I) (II) 可得:∴an=2n-1 (n∈N*)

摘要：对等差数列和等比数列的考查是近年来高考的一个新热点。本文从近年来高考试题入手, 分析此类题型的三种解法。

一轮复习等差等比数列证明练习题篇3

1．已知数列an是首项为a1，公比q141的等比数列，bn23log1an 44(nN*)，数列cn满足cnanbn．

（1）求证：bn是等差数列；

2ana2,aa6a6(nN)，n1nn2．数列满足1设cnlog5(an3)．

（Ⅰ）求证：cn是等比数列；

*3．设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)．（2）求证：数列Sn2是等比数列； 4．数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n（1）证明:数列{}是等差数列；

an2Sn25．数列an首项a11，前n项和Sn与an之间满足an(n2)

2Sn1（1）求证：数列1是等差数列

Sn2，an16．数列{an}满足a13，an1（1）求证：{an1}成等比数列； an2*7．已知数列{an}满足an13an4，(nN)且a11，（Ⅰ）求证：数列an2是等比数列；

答案第1页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

8．数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*（1）证明：数列{an}是等差数列； n9．已知数列{an}的首项a1=

22an，an1，n=1，2，… 3an1（1）证明：数列11是等比数列； an1,Snn2ann(n1),n1,2,L． 210．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）证明：数列n1Sn是等差数列，并求Sn； n11．（16分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn2ann（1）证明：an1为等比数列；

12．数列{an}满足：a12,a23,an23an12an(nN)（1）记dnan1an，求证：数列{dn}是等比数列；

13．已知数列{an}的相邻两项an，an1是关于x方程x22nxbn0的两根，且a11．（1）求证：数列{an2n}是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{an}中，a15且an2an12n1（n2且nN*）． 13a1（Ⅰ）证明：数列nn为等差数列；

215．已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3（1）求证:11是等比数列,并求an的通项公式an;an235，a3，且当n2时，2416．设数列an的前n项和为Sn，n．已知a11，a24Sn25Sn8Sn1Sn1．

（1）求a4的值；

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（2）证明：an11an为等比数列； 217．设数列an的前n项和为Sn，且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证：Sn3是等比数列； 18．（本小题满分10分）已知数列an满足a11，an1a2（1）求证：数列n是等比数列；

n(3n3)an4n6,nN*．

参考答案

1．（1）见解析；（2）Sn2(3n2)1n()；（3）m1或m5 3342n12．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．（1）

an511Tn2n.3.；459（Ⅲ）a24,a38；

（2）见解析；（3）5

2nn14．（1）详见解析；（2）an；（3）2n326

n11(n1)23． 5．（1）详见解析；（2）an；（3）2(n2)3(2n1)(2n3)6．（1）证明{an1}成等比数列的过程详见试题解析； an2答案第3页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）实数t的取值范围为7．详见解析

8．（1）见解析；（2）Sn1331． t222n13n13 49．（1）详见解析（2）Sn21nnn1 2n12n2210．（1）由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn，即(SnS(n1)n1)n(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以所以n1n11SnSn11，对n2成立．又S11，nn11n1n1Sn1(n1)1，即Sn是首项为1，公差为1的等差数列．所以nnn2Sn．

n1（2）因为

bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3，所以b1b2Lbn． 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，或或．

m5m2m1812．（1）dn12n1（2）an2n11

2n12n为偶数3313．（1）见解析；（2）Sn，（3）(,1)

n121n为奇数3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）Snn2n1 15．（1）证明详见解析；（2）23．

7116．（1）；（2）证明见解析；（3）an2n18217．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(9,3)(3,)

n1．

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18．（1）详见解析（2）详见解析

等差数列的概念教学设计与反思篇4

天长市炳辉中学杨晓茂 2014年10月28日

【教学目标】理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会应用通项公式解决简单的计算；培养学生的观察、归纳、分析探索能力。

【教学重点】理解等差数列的定义，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决简单的计算。

【教学难点】探索推导等差数列的通项公式。【教学方法】尝试探究【教学过程】

一、尝试预习，以旧引新出示题目：观察下列数列，按规律填空

1）1，3，（），7，9，…… 2）2，5，8，（），14，…… 3）-2，3，8，（），18，…… 4）12，8，4，（），-4，……

师：这些数列共同的特点是什么？生：后一项减前一项的差相等。师：我们给这样的数列取个名字吧？生：等差数列。

师：很好，这节课我们就研究等差数列。板书课题：等差数列

二、师生互动，讲授新课

1.尝试举例，强化概念师：等差数列强调每相邻的两项，后一项减前一项的差相等，作为差的这个数对每个差式都是公共的，我们可以叫它什么？

生：公差。

师：很好，前面四个数列的公差分别是多少？

生：2，3，5，-4。

师：你能举出等差数列的例子吗？（学生举出3至5个例子，并说出它们的公差）

师：你在举例子时，最先确定哪些量，然后给出整个数列？生：首项和公差。2.尝试推导，应用概念师：如果给出等差数列的首项是

a1，公差是d，你能写出它的第2项、第3项、第4项、第5项……吗？生：a2=a1+d a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d a5=a4+d=（a1+3d）+d=a1+4d ……

师：按照这个规律，你能得出第n项吗？生：an=a1+（n-1）d 师：非常好，这就是等差数列的通项公式。板书通项公式：an=a1+（n-1）d 师：要确定通项公式，必须知道哪些量？生：首项a1和公差d。师：好，请同学们分组写出前面四个数列的通项公式。师：通项公式中都有哪些量？生：a1，d，n，an 师：下面针对通项公式中不同的量进行求解。例：在等差数列{an}中，①已知a1=5，d=3，求a10 ②已知d=3，a12=38，求a1（学生尝试完成例题并讲解）

教师点评：这两个题都是利用方程的思想对通项公式进行应用，通项公式中的四个量a1，d，n，an，已知任三个可求第四个。

3.尝试编题，深化概念对通项公式中的四个量a1，d，n，an，组织学生各

小组分任务编题，编好后每两个组交换题目，针对不同的量进行求解，各组选派代表讲解。

4.尝试提高，变通概念给出尝试练习：

（1）在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12 答案：a12=0（2）在等差数列｛an｝中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8 解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7 ∴ a1=1, d=2 ∴a6=a1+5d=1+5×2=11 a8=a1+7d=1+7×2=15 5.应用延伸

已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。

解：a12=30+11d＜0 a11=30+10d≥0 ∴-3≤d＜-30/11 即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11

三、教学反思

本节课是采用低起点的规律填空导入的，台阶低，学生抬脚即上，便于激发学生的上课热情，提高参与程度；开门见山的提问，激活学生思维，为学生指明思考的方向，明确学习的课题。

循序渐进的启发诱导学生，看似不经意的名词解释，实则诠释了概念的内涵。开放式的尝试举例，不禁锢学生思维，便于调动学生的积极性；问题的导引，为通项公式的尝试推导做好铺垫。

公式的推导是本节的难点，打破传统的教师讲授，采用尝试方式，让学生自主探究，学生便于体察公式推导的过程，记忆深刻，对下一环节的尝试具有促进作用。

打破以往的教师出题，学生做题，给学生一个完全开放的做题环境，让学生

等差、等比数列性质类比篇5

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

等差数列的应用举例教案篇6

教学目标：

在已经学过等差数列的基本概念以及等差数列的通项公式和前n项和的基础上对等差数列的进一步巩固，通过一些较为具体的应用题来提高学生对等差数列的进一步理解和掌握。培养学生学会运用学过的知识来解决实际生活中遇到的问题。

教学重点、难点：

重点：熟练地使用等差数列的通项公式和前n项和公式。难点：学会分析实际问题，运用等差数列的相应知识点来解决应用问题等。

教学过程：

一、课前复习

师：在开始上课之前我们先回顾一下之前学习过的知识。大家回忆一下，什么是等差数列，什么叫做等差数列的公差。

生：从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数的数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。

师：等差数列的通项公式是什么呢？生：ana1(n1)d

师：那如果知道一个等差数列的第二项是a2，知道它的公差是d，那它的通项公式又是什么？这个时候我们可以代另外一条扩展的公式anam(nm)d 生： ana2(n2)d

师：前n项和公式有哪两个公式呢？

n(a1an)Sn2生：，Snna1n(n1)d2

二、新课导航出示课件的例题7 例7 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少座位？

就例7进行分析，适当引导学生探究此实际问题。

师：题中知道最后一排有70个座位，且共有25排座位，说明第25排有多少个座位？生：70个

师：那我们假设这25排的座位数构成一个数列，则设第一排为a1，第二排为a2，以此类推，那么a25等于多少？生：a25=70 师：题中还有一个条件说道后一排比前一排多两个座位，也就是说第二十五排比第二十四排多两个，第二十三比第二十二多两个，依此类推，是不是说明了这个数列满足每一项与前一项的差是一个常数？生：是

师：那公差d为多少？生：2 师：那么这个等差数列的通项公式是不是可以表示出来了？怎么表示？大家一起说一下！师（生）：

ana1(n1)d，其中第a2570a1(251)2，即可以解得a1=22

25项师：这里要求全部有多少座位，那就是将第一排的座位加上第二排的座位加上第三排的座位一直加到第25排的座位，也就相当于求aaaa12325，即等差数列的前25项和，那么等差数列的前n项和公式可以怎么求？两条公式都可以用！

三、解决问题

师：通过对这道题理解，大家一起做一下这一道练习题。

3.如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比它下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管。

a30

2a1

Snn(a1an)2，师：显然首项a1=1，an=30，公差d=1，若是用公式则需要知道n，a1，an，显然a1，an知道，那么欠个n，那么怎么知道n是多少？这里就可以用等差数列的通项公式来计算，即可以列出式子30=1+（n-1）×1，可以解得n=30。这个时候既可以用公式计算共放着多少根钢管。用另外一条前n项和公式也是同样的需要算出n是多少。

四、课堂巩固和总结

Snna1n(n1)d2，总结：面对一些求总和类的问题，大家首先观察一下题目所给的信息，有没有可以推出数和数之间的关系，通常就是数和数之间的差是一个固定的数值，那么它就是一个等差数列，这样，就可以直接运用等差数列的相应知识点去解决问题。

等差数列作业篇7

等差数列作业

1.在等差数列an中,若

a4a6a8a10a12120,则2a10a12__.2.等差数列an中,若a1510,a4590,则a60_.3.在等差数列中，已知a 5 10a，1231求首项与公差.4.梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级.各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度.5.已知三个数成等差数列,他们的和为15,平方和为83,求这三个数.6.2.成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.

等差数列应用举例篇8

【教学题目】§6.2.4等差数列应用举例【教学目标】

1.掌握等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式； 3.掌握等差数列的前n项和公式；

4.会应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学内容】

1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式； 3.等差数列的前n项和公式；

4.应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学重点】

1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式； 3.等差数列的前n项和公式.【教学难点】

应用等差数列的相关知识解答实际问题.【教学过程】

一、知识点梳理

（一）等差数列的定义

an1and；

（二）等差数列的递推公式

an1and；

（三）等差数列的通项公式

ana1n1d；

（四）等差数列的前n项和公式

二、例题讲解 Snna1an2Snna1nn1d.2例

1、某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？

解法1：由题意可知，各排座位数成等差数列，公差d2,a2570于是

70a12512，解得

a122.所以 S25答：礼堂共有1150个座位.解法2：由题意可知，各排座位数成等差数列，将最后一排看作第1排，则a170，2522701150.2d2，n25，因此

S252570答：礼堂共有1150个座位.2525121150.2例

2、小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款.从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行一年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）是多少（精确到0.01元）？

说明：

（1）年利率1.71%，折合月利率为0.1425%.计算公式为月利率=年利率÷12；（2）年终结算时本金为1000*12；

（3）每个月产生的利息是不同的，第一个月到年底时产生的利息为：1000*0.1425%*12，第二个月到年底时产生的利息为：1000*0.1425%*11，以此类推.解：年利率1.71%，折合月利率为0.1425%.第1个月的存款利息为 1000×0.1425%×12（元）；第2个月的存款利息为 1000×0.1425%×11（元）；第3个月的存款利息为 1000×0.1425%×10（元）；

…

第12个月的存款利息为 1000×0.1425%×1（元）.应得到的利息就是上面各期利息之和：

Sn10000.1425%12312111.15（元）.故年终本金与利息之和为：

121000111.1512111.15（元）.答：年终结算时本金与利息之和（简称本利和）为12111.15元.三、学生练习

一个堆放钢管的V型架的最下面一层放1根钢管，往上每一层都比它下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V型架上共放着多少根钢管.分析：由题意知，V型架每一层放的钢管数构成等差数列，且a11，d1，an30.由等差数列的通项公式ana1n1d知：301n11，解得n30，故 S30

四、课堂小结

（一）等差数列的概念；

（二）等差数列的通项公式；

（三）等差数列的前n项和公式；

（四）应用等差数列的相关知识解答实际问题.五、作业布置

（一）课本P11练习6.2.4；

（二）课本P11练习6.2A组第9题、第10题、第7题，第8题.六、教学反思

等差数列教案2 篇9

（二）目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程：

一、复习：等差数列的定义，通项公式

二、例一在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq

求证：1 amanapaq 2 apaq(pq)d

证明：1 设首项为a1，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

∵ mnpq ∴amanapaq 2 ∵apa1(p1)d

aq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d

∴ apaq(pq)d

注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即：a1ana2an1a3an2

同样：若mn2p 则 aman2ap

例二在等差数列an中，1 若a5a a10b 求a15

解：2a10a5a15 即2baa15 ∴ a152ba 2 若a3a8m 求 a5a6

解：a5a6=a3a8m 3 若 a56 a815 求a14

解：a8a5(85)d 即 1563d ∴ d

3从而 a14a5(145)d69333

4 若 a1a2a530 a6a7a1080 求a11a12a1解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……

∴ 2a6a1a11 2a7a2a12 ……

从而(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130

三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例三《课课练》第3课例三

已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S1321

当n2时 anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n

5n1时亦满足 ∴ an6n5

首项a11 anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6 2．中项法：即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

例四《课课练》第4 课例一

已知111bccaab，成AP，求证，也成AP。abcbca11121

1证明： ∵，成AP ∴ 化简得：2acb(ac)

abcbac

bcabbcc2a2abb(ac)a2c22aca2c2 acacacac(ac)2(ac)2ac2 = b(ac)acb2bccaab ∴，也成AP

bca 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例五设数列an其前n项和Snn22n3，问这个数列成AP吗？

解： n1时 a1S12 n2时 anSnSn12n3

n12 ∵a1不满足an2n3 ∴ an

2n3n2 ∴ 数列an不成AP 但从第2项起成AP。

四、小结：略

五、作业：《教学与测试》第37课练习题

等差数列教学目标篇10

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； 2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．

3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．【教学重点】

等差数列的概念及其通项公式．【教学难点】

等差数列通项公式的灵活运用．“等差”的理解

【教学方法】

本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．【教学过程】

问题1 某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材P39图2-6），共堆放了8层，试写出从上到下列出每层钢管的数量．

问题 2.小明目前会100个单词，但她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，试写出在今后的五天内他的单词量从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为（1）4、5、6、7、8、9、10、1（2）100，98，96，94，92 1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 练习一

抢答：下列数列是否为等差数列？ 1，2，4，6，8，10，12，„； 0，1，2，3，4，5，6，„； 3，3，3，3，3，3，3，„； 2，4，7，11，16，„；－8，－6，－4，0，2，4，„； 3，0，－3，－6，－9，„．注意：求公差d 2．常数列

特别地，数列3，3，3，3，3，3，3，„

也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列． 3．等差数列的通项公式（引导学生推导）4.例题讲解

例1 求等差数列8，5，2，„的通项公式和第20项．

例2已知一个等差数列的公差为d,第m项是am，试求第n项an

5.练习

（1）求等差数列3，7，11，„的第4，7，10项．（2）求等差数列10，8，6，„的第20项．小结

1．等差数列的定义及通项公式． 2．等差数列通项公式的应用．an= a1+(n-1)d会知三求一作业

教材P38，习题A第1(3)，2，4题．

变式1：若数列{an} 是等差数列,若 bn = k an，（k为常数）试证明：数列{bn}是等差数列变式2：已知等差数列{an}的首项a１=-24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。【教后反思】

信息技术与数学课程的整合要求数学教师必须有更高素质，这就要求我们平时加强对教材、教法、学生等方面的研究，同时加强对信息技术的进一步学习，能够进一步运用现代教育理论和现代科技成果，实现对课堂教学的优化。还要联系生活，降低难度，切记不要简单问题复杂化。

四、教学程序

本节课的教学过程由

（一）复习引入

（二）新课探究

（三）应用例解

（四）反馈练习

（五）归纳小结

（六）布置作业，六个教学环节构成。

(一)复习引入：

1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______。（N﹡；解析式）

通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备。

2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92

① 3.小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，10，15，20，25

②

通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。(二)新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d

(n≥1)同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9，8，7，6，5，4，„„；√ d=-1 2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74„„；√ d=0.01 3.0，0，0，0，0，0，„„.;√ d=0 4.1，2，3，2，3，4，„„；× 5.1，0，1，0，1，„„×

其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0 由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是02、第二个重点部分为等差数列的通项公式在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d, 则据其定义可得： a2-a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d „„

猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d 此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： a2 – a1 =d a3 – a2 =d a4 – a3 =d „„ an+1 – an=d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到

an– a1=(n-1)d即 an= a1+(n-1)d（1）当n=1时，（1）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。

对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求

接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2，即an=2n-1

以此来巩固等差数列通项公式运用

同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

（三）应用举例

这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

例1（1）求等差数列8，5，2，„的第20项；第30项；第40项

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，„的项？如果是，是第几项？

在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an 例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固例3 是一个实际建模问题

建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5.8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型------等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用课件展示实际楼梯图以化解难点）

设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力，2.通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣；3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法(四)反馈练习

1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

2、书上例3）梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。目的：对学生加强建模思想训练。

3、若数例{an} 是等差数列,若 bn = k an，（k为常数）试证明：数列{bn}是等差数列此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

（五）归纳小结（由学生总结这节课的收获）1.等差数列的概念及数学表达式．强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1)d会知三求一 3．用“数学建模”思想方法解决实际问题

(六)布置作业

必做题：课本P114习题3.2第2，6 题

选做题：已知等差数列{an}的首项a１=-24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）

五、板书设计

在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。§3.2 等差数列

一、等差数列

1、定义