等比数列的性质教案

等比数列的性质教案（精选7篇）

等比数列的性质教案 篇1

等比数列的性质（第一课时）

惠来一中

方汉娇

一、【教学目标】

1.结合等比数列的性质，引导学生类比猜想等比数列的几个重要性质，并能初步应用等比数列性质解决相关的简单问题；

如：若数列an是等比数列，mnpq,m,n,p,qN*,则

anamapaq；

2、通过实例让学生明确等比数列性质应满足的条件，避免学生应用性质时由于自己的主观意识，导致性质的错用；

3、通过实例变式，提高学生举一反三的能力，渗透转化、类比的思想方法.二、教学重难点

1、【教学重点】理解掌握等比数列的几个重要性质，并能根据具体问题选择合适、有效的性质进行解题；

2、【教学难点】等比数列性质满足的条件及如何选择合适的性质解决具体的实际问题；

四、【教学过程】

1、回顾旧知，创设问题情境，引入新课。

知识回顾： aan11.q 定义nqn2an1an 2.ana1qn1anamqnm 通项公式

3、等比中项：若a,G,b成等比数列，2a与bGGab 则成为的等比中项，且有

2、新课讲解 已知an是一个无穷等比数列,公比为q.如果是,它的首项与公比分别是多少?

 2取出数列an中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果 ,它的首项与公比分别是多少?是 3在数列an中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果 是,它的首项与公比分别是多少?  1将数列an中的前k项去掉,剩余各项组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗? 1

性质1:对一个等比数列an进行等距离抽取,所得项组成一个新的等比数列

1:在等比数列an中,a22,a68,求a10例

若数列anmnpq,m,n,p,qN*,anamapaq问题1：是等比数列，: 是否成立？ 证明略

问题2：若数列an是等比数列，a3a1a2,a3a7a1a4a5是否成立？

上述结论成立需要什么条件？

性质2: 若数列an特例：当

是等比数列，时，mnpq,m,n,p,qN*,anamapaq:。

mn2panamap2注意：①左右两边各项的下标之和相等；②左右两边的项数相同；

③可以推广到多项

练习1：⑴ 在等比数列an中，若a1a1025,a415，求a7的值；

⑵ 在等比数列an中，若a915,求a3a15的值；

（3）在等比数列an中，若a2a6a101,求a3a9的值；

练习2：⑴ 在等比数列an中，若an0,a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值；

⑵ 在等比数列an中，求a7的值； a3和a9是方程7x18x70的两个根，练习3： 已知等比数列{an}满足an>0，n=1,2,且a5a2n522n(n3), 则当n1时,log2a1log2a3log2a2n1 2A.n2n1B.n1 C.n2D.n1

3、课堂小结：

⑴ 等比数列的性质：

性质1:对一个等比数列an进行等距离抽取,所得项组成一个新的等比数列

性质2: 若数列an特例：当是等比数列，时，mnpq,m,n,p,qN*,anamapaq:。

mn2panamap2注意：①左右两边各项的下标之和相等；②左右两边的项数相同；

③可以推广到多项

⑵ 解题思路总结

4、课后思考试题：

已知正数等比数列{an}中，若a1a2a37,a1a2a38,求数列通项公式.5、布置作业

6、板书设计（略）

等比数列的性质教案 篇2

与推广1不一样.当然也可以依照同样的办法写出与推广1类似的结论 (略) .

(b1b2…bt) (r-s) rs (b1b2…br) (s-t) st (b1b2…bs) (t-r) t=1, 所以得到类似的结论:已知等比数列{bn}, r, s, t是互不相等的正整数, Tn是前n项积, Tt (r-s) rsTr (s-t) stTs (t-r) t=1.

等差、等比数列作为江苏现高考的C级要求, 不少老师在钻研, 出了很多题目, 其中有不少类似上面性质运用的, 让我们学生觉得困惑, 下面来稍作分析.

分析有许多学生不知如何入手, 或者说得到的不是类似的性质, 不妨这样考虑:设an=lgbn, {an}成等差数列, {bn}成等比数列且bn>0,

上面的性质比较简单, 有一些学生是可以做的, 但遇到稍微复杂的就不行了, 如下例:

当然还有许多类似的性质, 这里就不再一一举例了, 总之等差数列有的性质等比肯定有与之相对应的性质, 反之一样.

参考文献

[1]侯雪花.等差、等比数列的一个新的性质.数学通讯, 2007 (19) .

等差等比数列性质的延伸 篇3

关键词： 等差子数列 等比子数列 性质

数列在整个高中教学中占着重要位置.等差数列等比数列在历年的高考与高职高考中都是非常重要的题型.同时，等差、等比数列又是一种高等数学计算方式，可用在计算机编程等语言里面.

一、等差数列的子数列性质

（1）等差数列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中，去掉前m-1项后组成一个新数列：a■，a■，…，a■，…仍然是一个等差数列.

（2）等差数列中每隔相等的“距离”取出的项依次组成的新的数列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍然是公差为md的等差数列.如偶數列{a■}是公差为2d的子数列、奇数列{a■}是公差为2d的子数列.

（3）若数列{a■}是等差数列，则{a■+a■}，{a■-a■}，{a■+a■+a■，a■+a■+a■，a■+a■+a■，…}，…仍为等差数列，公差分别为2d，0，9d.

（4）若数列a■为等差数列，则依次每k项之和也是等差数列，即S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差数列.

性质（4）将题目求解简化，看以下例题.

例题1：已知一个等差数列的前10项和为310，前20项和为1220，

1.由此可以确定求其前n项和的公式吗？

2.S■，S■，S■这三者之间有何关系？

3.求S■.

解：1.由性质（4）可知：d■=S■-S■=k■d其中k=10

有（1220-310）-310=100d

得d=6带入10a■+10×92d=310

得a■=4，S■=3n2+n

2.S■，S■，S■这三者之间的关系.由性质4知S■，S■-S■，S■-S■这三者是等差数列，

公差d■=k■d=100×6=600.

3.求S■.已知（S■-S■）-（S■-S■）=d■，

有S■=600+2S■-S■=600+2×1220-310=2730.

可见，利用性质（4）解题大大简化了运算步骤，减少了运算量.

二、等比数列的子数列性质

（1）在公比为q的等比数列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中去掉前m-1项后，所得的数列：a■，a■，…，a■，…还是等比数列.

（2）等比数列a■，a■，…，a■，…中每隔相等的“距离”取出项，依次组成的新的数列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍为等比数列，公比为q■.

（3）若数列{a■}是等比数列，则{a■a■}，{a■a■}，{a■a■a■，a■a■a■，a■a■a■，…}仍为等比数列，公差分别为q■，q■，q■….

（4）若数列{a■}是等比数列，则依次每k项之和也是等比数列，即S■，S■，S■-S■，…也是等比数列.

例题2：已知公比是不为1的等比数列{b■}，若S■=48，S■=60，求S■.

解：S■，S■，S■这三者之间的关系由性质4知

S■，S■-S■，S■-S■是等比数，

公比q■=S■-S■S■-S■=S■-S■S■

于是S■-60×60-48=60-48×48

解得S■=63.

本文研究了等差、等比数列子数列的性质，便于学生在以后的学习过程中能从不同的角度看待问题、解决问题，从而提高学生的思维能力，培养学生的观察归纳能力.

参考文献：

[1]丁月娇.等差数列性质及其应用.南京师范大学泰州学院，2012.

等比数列前n项和的性质 篇4

2.5等比数列前n项和的性质

【使用说明及方法指导】

1、结合问题导学，回归课本48-50页，用红笔勾画出疑惑点，独立完成探究题，总结方法.2、针对预习自学及合作探究找出疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑.3、带（*）号的2,3,4班可以不做。【学习目标】

1.理解等比数列前n项和的性质，会运用性质解题。2.能用等比数列的知识解决一些综合性问题。【教学重难点】

重点：等比数列前n项和的性质。难点：等比数列的应用。【知识回顾】

等比数列的通项公式：或等比数列n项和公式：或【自学导引】

3、在等比数列an公比为q的前n项和的性质：

等比数列

an

nSnAqA 间隔相等、连续等长的片段和也成等比数列即：sn,s2nsn,s3ns2n,成等比

数列。

注：当 q-1且n为偶数时，sn,s2n

sn,s3ns2n,不是等比数列。

若等比数列的项数为2n，则s偶

s；若项数为2n+1，则奇

s奇-a1

s=。偶

【典型题一】等比数列n项和性质的应用

例

1、在等比数列

an中，s27,s691,求s4的值

变式1：设等比数列

as6n的前n项和为sn，若s3,则s

9s36

例

2、等比数列an共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q

【巩固训练】

1、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项为（）

A180B108C75D632、设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和，已知a2a41,s37,则s5

()

A152B314C33D17

*

3、在公比为整数的等比

42

an中，已知a1a418,a2a412,则a

5a6a7a8

()A480B493C495D498

*

4、已知数列ann的前n项和为sn21,则此数列奇数项的前n项和为()

A1n113(21)B 32n12）C 1322n1D 13

22n2 *

5、已知等比数列

讲等比数列性质学案doc 篇5

学习目标：

1、理解等比数列的主要性质, 能推导证明有关性质；

2、能运用有关性质进行计算和证明.【温故知新】

1．已知数列{an}的前4项为2,6,18,54，则它的一个通项公式为.2．若数列{an}的通项公式为an－1n＝2)，则其前4项依次为，第10项为.3．若{an}满足a1＝5，an＋1＝－2an，则该数列的前4项依次为，a2a＝，a3a＝，a

4＝，其通项公式为.12a

3A【使用说明】

通过不完全归纳，类比等方法得出结论，再利用概念，已有公式证明结论，由感性认识到理性认识，完成以下的内容，做好疑难标记。【自学园地】

类比等差数列性质的学习，自学等比数列的常用性质：

1、等比数列{an}，推广式(项与项间关系式)：思路：

2、若b是a和c的等比中项，则b=，推广式：

思路：（参考教科书53页练习4）

3、等比数列{an}中,当m+n=p+q（m、n，p，q∈N+）时，有aman=apaq，成立吗？ 思路：

4、等比数列{an}中,当m，n，p，q…（m、n，p，q…∈N+）成等差数列时，am，an，ap，aq…

成等比数列。（即：下标成等差，对应项成等比）思路：（参考书上53页练习3）

5.先判断是否为等比数列，再计算公比。(1)若{an}是公比为q的等比数列，则

①{c·an}(c是非零常数)是公比为的等比数列； ②{|an|}是公比为的等比数列；

③{am

n}(m是整数常数)是公比为的等比数列；

④｛1a｝是等比数列吗？

n

⑤｛lnan｝是等比数列吗？

⑥每隔k项抽取一项组成的新数列是公比为的等比数列。

(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2，项数相同的等比数列，则数列{an·bn}是公比为的等比数列．an



b

是等比数列吗？

n



B【使用说明】

1、将自学中遇到的问题组内交流，标记好疑难点；

2、组内解决不了的问题直接提出来作为全班展示。例1：（等比数列的判定和证明）

数列{an}中，an73n，求证：数列{an}是等比数列。

【题后感悟】证明和判断数列是等比数列的常用方法：

【变式训练】

1.（1）｛an

｝是各项均为正数的等比数列，是等比数列吗？为什么?

（2）已知aan,bn是项数相同的等比数列，n是等比数列吗？

bn

例2:（等比数列的通项公式）

已知等比数列{an}，若a1a2a37,a1a2a38,求an。

【题后感悟】

【变式训练】

2.在等比数列中：(1)若a1a2a321,a1a2a3216,求an；

(2)若a3a518,a4a872,求公比q.例3:已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9.【题后感悟】

【变式训练】

3.(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝

()

(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a1

1例4：应用问题

某工厂2008年1月的生产总值为a万元，计划从2008年2月起，每年生产总值比上个月增长m ﹪，那么到2009年8月底该厂的生产总值为多少万元？

【题后感悟】

【变式训练】

4、完成书上53页2、5【课时小结】

【课堂检测】

1、在等比数列{an}中，已知a2= 5，a4 = 10，则公比q的值为________

2、2与8的等比中项为G，则G的值为_______

3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a42a3a5a4a636, 那么a3a5 =_________

4、已知数列1，a2,a3,4是等比数列，则a2a3=_________

5、在等比数列中a76,a109，那么a4=_________.1、已知{an}是等比数列a2=2，a6=18，则公比 q=（）A、11

2B、-

2C、或-

2D、1

42．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数是(A．0B． 1C．2D．0或

23、已知等差数列的公差不为0，且第2，3，6项构成等比数列，则公比为（）A、1B、2C、3D、44、已知等差数列a，b，c，三项之和为12，且a，b，c+2成等比数列，则a＝（A、2或8

B、2C、8

D、-2或-85、在等比数列{an}中，a3a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11的值为（）A、48

B、7

2C、14

4D、1926、在等比数列an中，a3+a10=a（a≠0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）9

A、b9

a

8B、ba

C、b10

a

等差数列运算与性质专项训练 篇6

1.在等差数列an中,a22,a34,则a10()

(A)12(B)14(C)16(D)18

2．将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和是781，则k的值为()A．20B．21C．22D．24

3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝ A．7B．6C．3D．2

4．在等差数列{an}中，已知a1＝1，S5＝35，则a8＝________.5设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k()（A）8（B）7（C）6（D）5 n－1(n为奇数)6.已知数列an＝

n(n为偶数)

等差数列的性质

1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于______． 2．在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A.3B．±3

D．－3 3

4.在等差数列an中, a3a737,则a2a4a6a85.等差数列{an}中，2(a1＋a4＋a7)＋3(a9＋a11)＝24，则此数列的前13项之和等于()(A)13(B)26(C)52(D)156

6.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()(A)14(B)21(C)28(D)35

7.在等差数列{an}中，a9＋a11＝10，则数列{an}的前19项之和是.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＝15－a5，则S9等于()A．18B．36C．45D．60

9．在等差数列{an}中，an＜0，a23＋a8＋2a3a8＝9，那么S10等于()A．－9B．－11C．－13D．－15

10．在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，则a5＋a6＋a7＝________.11.已知等差数列共有10项，奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____ 12.在等差数列an中，已知a

A．4

4，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝()

(A)4 800(B)4 900(C)5 000(D)5 100

S41S8

7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且.S83S16

8．设等差数列{an}的前 n项和为Sn，若S3＝9，S5＝20，则a7＋a8＋a9＝()

A．63B．45C．36D．27

9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为()A．－2B．－3C．－4D．－6 10．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.11．在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，则a5＋a6＋a7＝________.12.已知一个数列的通项公式是an

30nn

a2a3a4a520，那么a3

等于（）

D．10

B．5C．8

13.在等差数列an中，aa512，那么它的前8

项和S等于（）

．

A．12B．24C．36D．48 14.等差数列{an}中，已知公差d

12

⑴ 问60是否是这个数列中的项？

⑵ 当n分别为何值时，an0，an0，an0？ ⑶ 当n为何值时，an有最大值？并求出最大值．，且a1a3a99

60，则a1a2a100



A．170B．150C．145D．120

15.在递减等差数列{an}中，若a1＋a100＝0，则其前n项和Sn取最大值时的n值为()(A)49(B)51(C)48(D)50

16.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0；Sn是数列{an}的前n项和，则()(A)S5>S6(B)S5

高三数学文第1页

求最值

5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是()

A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值

C．S30＝0D．S60＝0

9．(2010·广西南宁模拟)已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；

(2)求{an}前n项和Sn的最大值．

6.(2012·保定模拟)在递减等差数列{an}中，若a1＋a100＝0，则其前n项和Sn取最大值时的n值为()

(A)49(B)51(C)48(D)50

等差数列的证明

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，判断满足下列条件的数列是否是等差数列：

(1)Sn＝n2；(2)Sn＝n2＋n＋1.等差数列的通向公式

*6．(2011·四川高考)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N)．若

b3＝－2，b10＝12，则a8＝()

A．0B．3

C．8D．11

10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；

数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN),若b32,b1012,则a8（）.（A）0（B）3(C)8（D）11

11.已知数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；

抓住性质巧解数列 篇7

例1 等差数列{an}中, 若a1+a4+a7=39, a3+a6+a9=27, 求S9.

$\begin{array}{l}\text{解}\text{方}\text{法}\text{一}:\because a{}_1+a{}_4+a{}_7+a{}_3+a{}_6+a{}_9=66=3(a{}_1+a{}_9)‚\\ \therefore a{}_1+a{}_9=22‚S{}_9=\frac{9(a{}_1+a{}_9)}{2}=99.\end{array}$

方法二:a1+a4+a7=3a4=39,

a3+a6+a9=3a6=27, 得

$a{}_4=13‚a{}_6=9‚S{}_9=\frac{9(a{}_1+a{}_9)}{2}=\frac{9(a{}_1+a{}_9)}{2}=99.$

例2 已知Sn是等差数列{an}的前n项和, S6=36, Sn=324, Sn-6=14 (n>6) , 求n.

分析 等差数列中, Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, …也是等差数列.

解 Sn-Sn-6=180.

∵S6, S12-S6, …, Sn-Sn-6是等差数列,

$\begin{array}{l}\therefore S{}_{n^{\prime }}=\frac{n^{\prime }(36+180)}{2}=324‚n^{\prime }=3‚\\ \therefore n=3\times 6=18.\end{array}$

例3 已知两个等差数列{an{和{bn}的前n项和分别为An和Bn, 且$\frac{A{}_n}{B{}_n}=\frac{7n+45}{n+3}$, 求使得$\frac{a{}_n}{b{}_n}$为整数的正整数n.

解 ∵{an}, {bn}是等差数列,

$\begin{array}{l}\therefore \frac{a{}_n}{b{}_n}=\frac{a{}_n+a{}_n}{b{}_n+b{}_n}=\frac{\frac{2n-1}{2}(a{}_1+a{}_{2n-1})}{\frac{2n-1}{2}(b{}_1+b{}_{2n-1})}\\ =\frac{A{}_{2n-1}}{B{}_{2n-1}}=\frac{7(2n-1)+45}{(2n-1)+3}=7+\frac{12}{n+1}‚\end{array}$

因此当n=1, 2, 3, 5, 11时符合题意.

例4 已知在等比数列{an}中, an>0, 且有am·am+10=a, am+50·am+60=b (m∈N+) , 求am+125·am+135.

分析 等比数列{an}中, 有an=amqn-m成立.

$\begin{array}{l}\text{解}\because \frac{a{}_{m+50}a{}_{m+60}}{a{}_{m}a{}_{m+10}}=q{}^{100}=\frac{b}{a}‚\frac{a{}_{m+125}a{}_{m+135}}{a{}_{m+50}a{}_{m+60}}=q{}^{150}‚\\ \therefore a{}_{m+125}\cdot a{}_{m+135}=\frac{b{}^2}{a{}^2}\sqrt{ab}.\end{array}$

例5 已知正项等比数列{an}的公比q=2, 且a1a2a3…a30=230, 求a2a5a8…a29, a3a6a9…a30.

解 ∵{an}是等比数列, 且若m+n=p+h, 则

aman=ap+ah.

又 ∵a1a30=a2a29=…=a15a16,

∴a1a2a3…a30= (a1a30) 15=230,

a1a30=22,

a2a5a8…a29= (a2a29) 5= (22) 5=210,

a3a6a9…a30= (a2a5a8…a29) q10=210·210=220.

结束语 上述问题若用等差、等比数列的通项或它们的求和公式去解方程或方程组的话, 计算非常的复杂, 费时费力, 特别是例题2是个非常鲜明的例子, 若用等差数列前n项和公式去解方程组的话, 计算非常棘手, 而上述解法非常巧妙地用性质去处理, 使问题解答非常的简捷.因此, 同学们在平时的学习过程中要学好、学牢基础, 达到融会贯通、举一反三的效果, 这样, 即使题目形式千变万化, 我们解题时也能够对症下药, 找到方子.

摘要：数列是高中数学的难点, 也是历年高考中的必考题, 当其在选择题或填空题中出现时, 常常都是以等差、等比数列为载体, 都属于中档题, 难度不会很大, 但是如果不掌握运算方法和解题技巧的话, 学生往往会事倍功半, 耗费时间, 这时候如果我们考虑用等差、等比数列的基本性质去解题, 问题就迎刃而解了.下举例说明等差、等比数列的性质在解题中的巧用.