高中数学-公式-数列

高中数学-公式-数列（通用14篇）

高中数学-公式-数列 篇1

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

(2) 任意两项am，an的关系为an=am・q^(n-m)

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1・an=a2・an-1=a3・an-2=…=ak・an-k+1，k∈{1,2,…,n}

(4)等比中项：aq・ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)

记πn=a1・a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

[高中数学公式：等比数列公式]

高中数学-公式-数列 篇2

数学新课程中的数学内容是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础, 其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的, 所以数学课堂教学的整个过程也要充分体现数学的自然性.本文选取“数列的概念与简单表示法中的第2课时——数列的递推公式 (人民教育出版社出版的A版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第32页) ”设计中的几个镜头谈谈笔者对自然的数学教学的体会.

镜头1 导入设计——自然地提出问题.

上课开始, 教师提出问题:

问题1 写出下列数列的一个通项公式

①2, 6, 10, 14, 18, 22, …;

$②\frac{3}{4}‚\frac{7}{8}‚\frac{15}{16}‚\frac{31}{32}‚\cdots$;

$③1‚\frac{3}{2}‚\frac{1}{3}‚\frac{5}{4}‚\frac{1}{5}‚\frac{7}{6}‚\cdots .$

问题2 你能否写出1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …的一个通项公式?如果能, 请你写出它的一个通项公式;如果不能, 请你仔细观察这个数列隐含的规律, 你能否根据观察到的规律用另外一种形式来表示这个数列?

“问题是数学的心脏”, 是教学的出发点.提出那种需要探索、思考、和讨论的问题, 能使学生自发地产生求知欲望.建构主义的学习观告诉我们:学习就是学生利用已有知识经验主动建构的过程.因此, 如果学生的头脑中没有适当的认知结构, 那么新知识的学习将不可能发生.问题1激活了学生数列的概念及求数列通项公式的基本方法, 是学习数列递推公式的“生长点”或“固着点”.另外, 学生还要具有接受新知识的心向, 即表现出一种在新学的内容与自己已有的知识之间建立联系的倾向.问题2具有开放性, 学生直接写出通项公式有困难, 于是他们自然地意识到自己的已有方法失去了效用, 无法或不能解决当前所面临的问题和困难, 从而在学生心理造成一种悬而未决但又必须解决的求知状态, 因而自然地产生了学习新方法的积极心向.问题1、问题2的提出合乎学生的认知结构, 合乎数学知识本身的逻辑结构和发展规律, 体现数学教学的自然性和合理性.

在新课的导入中, 自然地合理地提出问题, 通过问题激发学生的问题意识, 不仅能架设起新旧知识之间的桥梁, 给学生的后续学习提供理想的“固着点”, 而且能帮助学生建立有意义学习的心向, 增强学生思维活动的目的性、自觉性和主动性, 切实地促进学生的有效学习与迁移.

镜头2 引出数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …的背景——自然地引申问题.

经过学生的思考与交流, 教师点拨, 问题2得到了解决, 即这个数列的规律是:a1=1, a2=1, an=an-1+an-2 (n≥3) .接着, 教师先向学生介绍数列递推公式的概念及求数列递推公式的基本方法, 再请学生阅读课本第37页“斐波那契数列” (自然地引出斐波那契数列) , 并请有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书籍搜集资料, 进一步了解和研究斐波那契数列.

完美的数学符号、数学模型是数学界长期自然、合理“进化”的结果, 它的背景, 它的形成过程, 它的应用, 以及它与其他概念的联系, 你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物, 不仅合情合理, 甚至很有人情味.许多数学概念、数学模型的完善和扩展全依赖于一名或几名数学家的发明或创造, 在讲授此类知识时, 应有意识地、自然地引出它所形成的背景, 揭示其形成过程的必然性、合理性.数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …的背景——斐波那契数列的自然引出, 创设了数学学习的自然情境, 把抽象的难于理解的数学反璞归真, 将数学知识的获得赋予一定的生活意义, 回到真实的生活世界, 使数学课堂教学内容更加丰富、生动、有趣.同时教师让同学课外进一步研究斐波那契数列而产生悬念, 这自然地唤起了他们学习数学的好奇心和兴趣, 对于启发他们继续探索数学的奥秘, 无疑是大有裨益的.

自然地引申或推广问题, 对于探究数学概念的完整性与数学模型的普遍性, 提高学生的创造性思维能力十分有益.

镜头3 建立数列递推公式与数列通项公式的联系——自然地揭示知识之间的联系与转化.

问题3 设数列{an}满足写出这个数列的前5项.

变式1 如果将问题3中的递推公式换成a1=2, an+1=2an, 写出它的前5项, 并探究它的通项公式.

学生先独立思考, 再合作交流, 教师用多媒体展示学生不同的解答:

方法1a1=2, a2=4, a3=8, a4=16, …猜想an=2n.

方法2 由an+1=2an, 得$\frac{a{}_{n+1}}{a{}_n}=2‚n$分别取1, 2, 3, …, n-1, 得

$\frac{a{}_2}{a{}_1}=2‚\frac{a{}_3}{a{}_2}=2‚\frac{a{}_4}{a{}_3}=2‚\cdots ‚\frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}=2.$

将以上各式相乘得

$\frac{a{}_n}{a{}_1}=2{}^{n-1}‚a{}_n=a{}_{1}2{}^{n-1}=2{}^n.$

教师归纳方法:累乘法.

问题4 在问题1中得到了数列2, 6, 10, 14, 18, 22, …的一个通项公式an=4n-2.

①请根据这个数列隐含的规律写出它的递推公式;

②证明由通项公式可得到它的递推公式, 也可以由递推公式得到它的通项公式.

学生先独立思考, 再合作交流得到这个数列的递推公式a1=2, an-an-1=4 (n≥2) .

第②小题教师用多媒体展示学生的推理过程:

因为an=4n-2, 所以a1=2,

an-an-1=4n-2-[4 (n-1) -2]=4.

当n≥2, 由an-an-1=4, 可得

a2-a1=4, a3-a2=4,

a4-a3=4, …, an-an-1=4.

将上面各式相加得

an-a1=4 (n-1) ,

即 an=4n-4+a1=4n-2. (1)

当n=1时, a1=2符合 (1) 式, 故an=4n-2.

教师归纳方法:累加法.

接着, 教师引导学生反思:

1) 通过问题3和问题4的探索, 你知道数列的通项公式与数列的递推公式的区别和联系?

2) 在问题3和问题4的解决过程中, 涉及到了哪些数学方法? (归纳猜想, 从一般到特殊, 累加法, 累乘法) 这些数学方法起到了什么作用?

最后教师归纳:对递推公式进行赋值, 从一般到特殊, 再对这些特殊的等式进行相加或相乘得到通项公式.这是一种常用的求数列通项公式的方法, 从这里我们可以看出数学思想方法在知识的联系中到了“桥梁”的作用.

建立联系的本质是建立学习内容与学生所熟悉知识之间的合理的、实质的联系.数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系, 数学思想方法是把数学知识联系成一个系统的纽带.问题3和问题4的分析和解决, 教师将数学思想方法置于数学知识联系的中心位置.数学思想方法对数学活动的同化过程起着重要的作用.在这个思维活动中, 学生既理解了问题解决的过程, 又从中学习到数学思想方法和解题途径, 有效地帮助学生理解学习对象的本质属性以及建立学习对象与已有知识的内在合理联系, 促进新旧知识的自然同化, 也体现了自然地合理地分析问题和解决问题的思维过程.

数学知识产生与发展的自然性与合理性、数学教学的目的与功能共同决定了数学教学应该是自然的、合理的.即数学教学应合乎数学知识本身的逻辑结构和发展规律, 合乎学生的数学认知结构、年龄特征和认知规律, 顺自然而教之.

高中数学-公式-数列 篇3

教学是师生共同参与的活动过程，在这个过程中，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务，也就是就教师在使用讲授法的同时，必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥。通过学生自主的尝试活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使学生获取知识，提高能力，本堂课的设计正是以这个原则为主旨的。

二、学生情况与教材分析

1.学生通过上一节的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点。

2.几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习来理解数学，是数学学习中的重要方面。

3.本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1.知识目标

（1）了解等差数列前n项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式。

（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求和；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值。

（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究前n项和的最值。

2.能力目标

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比的思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式。

难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路。

五、教学方法

启发引导、交流讨论、合作探究。

六、教具准备

现代教育多媒体技术。

七、教学流程图

八、教学过程

1.引入新课

（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=______，通项公式an=______”（见黑板）

生1：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3…+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生2：5050

师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生3：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2…的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2.合作学习，探求新知

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。

（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生4：利用刚才的方法.（略）

师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生5：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为S8=

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和Sn等于多少？

生6：Sn=

解:钢管的数量为:S8=

等差数列前n项求和公式:Sn=

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：Sn=a1+a2+a3+…+an

即Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+［a1+（n-1）d］

把上式的次序反过来又可以写成：

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+［an+（n-1）d］

两式相加：

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…（a1+an）=n（a1+an）

所以Sn=

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3.合作学习，巩固并探求新知

学生练习一：（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求S10.

（2）求正整数列是前1000个数的和;

学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，a1=1，d=-2已知a1=1，d=-2，求S10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将S10求出，

那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：Sn=na1+d

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）。

学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4.总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

5.教学反思

高中数学-公式-数列 篇4

百度提升自我

本文为自本人珍藏

版权所有

仅供参考

an1panqr型数列通项公式的求解策略——分 消 化 迭 归

由递推公式求数列的通项公式是数列中的常见题型,也是高考考察的热点.本文就递推关系为an1panqr(p,q,r为非零常数)的数列通项公式的求法(或证法),谈以下几种求解策略,仅供nn参考.例 数列an中，a156，an113an12n1(nN)，求数列an的通项公式.

分析 构造等比数列是求解该题的有效途径.策略1 分——将确定x的值.解法1 由an113an12n112n1拆分成两部分,分配给an1与an.构造新数列anx,由待定系数法n2, 可设an1x2n11x11xaan.a, 即n1nnn36232由x62231n12n1,解得x3.∴an132n13133aaa, ∴数列是以 n1nnn232232n为首项,以13为公比的等比数列.∴an2133n123n, ∴an32n23n.11an1ann1132策略2 消——由,消去n1生成新的等比数列.21a1ann1n3211an1ann1(1)32解法2 由题意，，1a1a,n2(2)nn1n3212(1)－(2)×,得an112an11aa,n2.n1n32∴数列an11111an是以a2a1为首项,为公比的等比数列.2932n1∴an111an293113n1„„(3)将(1)式代入(3)式,整理得an32n23n.用心 爱心 专心 1

知识改变命运

百度提升自我

策略3 化——将解法3 将an1n1213n1化为常数.12n1an两边同乘以22n1,得2n1an1232an1.4n令bn2an,上式可化为bn1bn1,即bn132bn3.∴数列bn是以b13为

333首项,2为公比的等比数列.∴3b342n1nnn322233, ∴b2n33.n即2na232n323.∴an2n3n.策略4 迭——迭代法 解法4 ∵a111n113an12n1, ∴a1n3an112n13a1a3n22n12n32n211132a111a1111312n112n1113n32n232n12n33n3322n232n12n 11111113n1a113n222312n112n113n132113n22232n12n 1311112n23n13n1213n2122312n112n3n32n2133n.2策略5 迭——迭加法 解法5 ∵a111n13an12n1, ∴an13an2n1.∴a1nan3a1a13a1133a111n1n1an22n23an33n2a2313n1a1 12n111312n13212n213n21223n11321232n3n.策略6 归——数学归纳法 将本题中的“求数列an的通项公式”改为“证明 数列an的通项公式为a2n32n3n”,可采用此法证明如下：

解法6(证明)(1)当n1时,a3122356，结论成立.(2)假设当nk时, a3k2k23k.用心 爱心 专心 2

知识改变命运

百度提升自我

高中数学数列教学经验总结 篇5

3.1 分析学生学习情况。进入高中后，多数同学有了较为丰富的经验与知识，也具有了一定的抽象思维、分析概括、演绎推理能力，可通过观察而抽象出一定的数学知识。同时，学生思维也由逻辑思维发展为抽象思维，但需依靠一些感知材料。当然，也有部分同学的数学基础知识不牢固，对数学缺少学习兴趣。因此，在高中数列教学中，教师需要根据学生认知结构，考虑学生学习特点，以贴近学生生活实际的实例为出发点，注意适时引导与启发，加强学生思维能力训练，以适应学生学习心理发展特征。如教师可创设生活化的教学情境，引导学生由生活实际问题来学习数列知识，构建数学模型。

3.2 分析教法与学法。当了解学生学习特点后，教师则需要灵活运用不同教学方法，以诱导学生主动参与课堂活动，展开积极思索。在课堂教学中，问题教学法是较为常用的，其主导思想为探究式教学。即教师精设系列问题，让学生在老师指导与启发下，自主分析与探究，从中获得结论，增强体验，得到知识，提高能力。如学习《等比数列前项和》时，教师可提出问题：某厂去年产值记作1，该厂计划于今后五年内每年产值比上一年增加10%，那么自今年起至第5年，该厂总产值是多少?该厂五年内的逐年产值有何特点?通过什么公式可求出总产值?这样，通过问题将学生带入等比数列前项和的探究学习中。其次，诱导思维法。通过这一方法，可凸显重点，帮助学生突破难点。同时，可发挥学生主观能动性，使其主动构建知识，培养创造精神。再次，分组讨论法。利用这一方法，可加强了师生、生生间的交流互动，碰撞思维，启迪智慧，使学生自主发现与解决问题。另外，还有讲练结合法。对于一些重难点知识，还需要教师详细见解，并借助典型例题，让学生巩固知识，掌握解题方法。此外，教师还需要对学生进行学法指导。如引导学生由实际问题对数组特征加以抽象，从而得到数列、等比与等差数列概念;如根据等比数列概念特征对等比数列通项公式加以推导等。在教学过程中，教师还可让能力较强的学生拓展思维方法，运用不同方法来推导等差或等比数列通项公式。同时，教师还需为学生留出充足的思考空间与时间，让学生大胆质疑、自主联想与探究。

高中数学公式对数的性质及其公式 篇6

[标签：数学公式 公式]高考热点资讯 免费订阅

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

*表示乘号，/表示除号

定义式：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

3.与2类似处理

MN=M/N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)

4.与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性质：

性质一：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

推导如下

N=a^[log(a)(N)]

a=b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

性质二：（不知道什么名字）

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下

由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

-------------（性质及推导完）

公式三:

log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下:

由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)

还可变形得

:

log(a)(b)*log(b)(a)=1

三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ＝1/2[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα·sinβ＝1/2[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ＝1/2[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

高中数学中的数列问题 篇7

高中数学中数列知识体系包括了数列的基本概念、数列通项式和数列的扩展三个方面。数列的基本概念已经不需要赘言, 数列通项式是数列中知道数列中一个数来求取后一个数字的规律, 是一个重要的概念和知识要点。求取数列的通项式有很多的方法例如观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法等, 涉及到的数学思想主要包括函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

一、数列通项式的求解方法

函数通项式是数列的最重要的特点和概念, 就如一个数列的DNA一样, 用来表明数列之间本质上的不同, 同时也成为数列考试设计题目的一个重要方式。求解数列多项式的方法有很多, 包括观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法等。

1. 观察法求解通项式

给出多项式中的几个项, 然后根据这几个项求取中整个数列的通项式, 然后根据通项式来求解出任意的一个项, 这是最容易出题的一个思路和方面, 也是最基础最最重要的方法。

例:给出一个数列的几个项如下:1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55, 请跟据上面的几个项求出这列数中的x代表什么?

这个题目虽然简单, 却是学习数列最基础最重要的一个范例。事实上, 无论做任何关于数列的题目甚至求解任何数学题目, 对于题目的观察和对信息的抓取都是最重要的第一步。通过观察, 我们发现, 第三项2是第一项1和第二项1的和, 而第四项3又是第二项1和第三项2的和, 根据这个规律, 我们不难发现, 后一个是它本身前两个之和, 于是通项式可以写作:an=an-1+an-2 (n≥2) 。根据这一个范例我们可以举一反三列出更多的题目, 比如已知一列数为1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, x, 28, 41, 求解x。在这里, 我们必须先对数列中的项进行观察, 对于通项式大胆假设然后小心求证, 只要自己的假设能够满足数列中的规律, 那么自己的假设可以认为是正确的。观察法和假设法是求解数列问题的一个基本方法组合, 也是学生必须掌握的基本技能。

二、与数列相关的数学思想

在高中数学的学习过程中, 除了掌握一些基础的数学知识和解题技巧以外, 对知识和题目之后蕴含的数学思想进行掌握显得更加重要。那么, 与数列相关的数学思想包括函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

1. 函数与方程的思想

数列中蕴含的函数与方程的思想主要表现为在数列的一些未知项往往以多项式的方式表达出来, 而多项式的表达往往通过方程的方式, 从另一个角度来看, 数列与多项式又都是函数上的一些不连续的数值, 也就是函数图像上的一些散点, 这些散点又有着内在的规律, 这个规律就是前面说到的数列的通项式。数列与函数的结合通常出现在综合性较强的题目当中。

这不仅是一个函数的问题, 同时是一个函数与双曲线进行结合的题目, 这类题目通常第一问题都比较简单, 也是帮助解题者找到解题道路的一个思路。

通过函数与方程的思想将数列的问题转换为函数或者方程, 有时会转换成为不等式进行求解, 这是数学中的转换的方式, 当不同的数学知识进行相互装换的过程中, 对于高中数学整体的认识会进一步得到提升。

2. 数列中的分类与讨论思想

分类与讨论思想是数学严谨性的重要体现, 在数列中也时常体现。讨论的对象主要是一些比较特殊的函数例如对数中的底不能为1等, 或者分段函数等, 都对数列本身产生较大的影响。

例:已知数列{an}的前n项和为Sn=1+10n-n2, (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{|an|}的前n项和Tn;

数列{an}的前n项和为Sn=1+10n-n2是一个开口向下的一元二次函数, 那么在求取通项公式时就分为n=1和n≥2两种情况;由于函数的图像被x轴切割, 其绝对值也被分为两段, 这两段分别为不同的多项式来表示。

三、总结

高中数学中的数列问题是一个重点知识点, 对于很多学生而言数列与其他的知识点有形式上的不同, 于是就成为了一个难点。在掌握基础知识和数学思想的同时, 通过练习来积累解题的经验, 通过对这些经验的思考来感悟其中的数学思想, 两者相辅相成, 必然能够学好这部分的知识。

参考文献

[1]史立霞, 秦振.数列中的分类讨论问题[M].高中数学教与学, 2012 (19) .

高中数学数列试题解题技巧研究 篇8

【关键词】高中数学 数列试题 解题技巧

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0164-01

在高中数学教学的过程中，数列试题的解题技巧一直都被受关注，不仅是高中数学教师谈论的重点，也是教师们研究的重要话题。高中生对数学数列知识存在欠缺，也就是对一些知识没有完全的领会，致使他们在解题的过程中遇到了困难，因此需要找出解题技巧，帮助他们解决相应的难题，进而促进学生更好地学习数学数列试题知识。

一、数列在高中数学中的重要地位

高中数学在教学的过程中，数列是一个独立的教学版块，并且对数列还分章节进行了非常详细的讲解，由此我们可以看出，数列在高中数学教学过程中占据着重要的地位。数列知识与其他数学知识也有着紧密的联系，一些较为综合的解题技巧与解题思路大多都是在数列开始进行计算，将数列当做知识背景，对高中生进行其他数学相关知识的考查，例如，不等式、函数以及方程等数学知识都与数列有着密不可分的关联，如果高中生进入大学之后，还会学习极限知识，同样的它也与数列有着关联，所以在高中时期，高中生学会数列知识，掌握它的试题解题技巧是非常重要的[1]。

二、高中数学数列试题解题技巧研究

1.对数列基本概念进行研究

在高中数学数列试题解题的过程中，有一些试题需要利用通项公式以及求和公式等直接进行运算。对于这种类型的数列试题一般并没有任何详细的解题技巧，需要高中生直接将掌握的公式带到具体的试题中解题。例如：己知等差数列{an}，Sn是前n项的和，并且n*属于N，如果a3=5，S10=20，求S6。通过所知条件，可以将等差数列中的求和公式以及通项公式相互结合，先计算出数列试题中的首相与公差，再根据知道的条件，将结果直接带入求和公式里面，就可以算出正确的结果。这种类型的数列试题就是考查高中生对数列基本概念的理解。因此，教师在教学的时候，需要注意对数列概念的讲解。

2.通项公式

在最近几年的数学高考题目中，对数列通项公式考察的试题相对较多，因此对数列求和是掌握的重点内容，数列求和的方法分为三种，分别是错位相减法、合并求和法、分组求和法。

错位相减法是推导求和常用的方法，这种解法常会直接运用到数列前n项和的求和试题中。错位相减法适用于等差数列或者是等比数列前n项求和的过程中，所以教师在讲授解题技巧时，应当慢慢的引导高中生，让他们掌握基本解题规律。

合并法求和。在数列试题进行考察的过程中，一般会存在一些比较特殊的数列，如果将它们的个别项单独组合在一起，能够找到它存在的特殊性，如果是面对这种类型的题目时，它的解题技巧是高中生先将数列试题里面可进行组合的项找出来，然后求得它们的结果，在进行整体的求和计算，这样就能够顺利的计算出正确结果。例如，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。通过初步计算发现这个是试题中的数列不是等差数列，也不是等比数列，但是a6m+1=2、a6m+2=7一直到a6m+5=-7、a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2也就是a1999=2。

分组法求和。在数列试题进行考察的过程中，有一些数列它本质上不属于等差数列，也不属于等比数列的范围，如果是将它拆开，可以将其划分到不同的等差数列或者是等比数列范围内，这类数列求和时的解题技巧，可以使用分组法求和来进行运算。然后再将其拆分成简单的求和数列，进行分别求和能得出的结构合并之后，就是我们解题的正确结果。例如，已知数列{an}，n为正整数，通项公式是an=n+3^n，要求计算出该数列前n项的和Sn，通过初步计算，我们可以得出，这个数列不是等差数列，也不是等比数列，但是经过仔细观察后可以发现，n+3^n的前半部分是等差数列，后半部分则是等比数列，因此可以将其分开进行计算，得到结果后在进行相加得出正确结果[2]。

三、结束语

通过上述内容，我们可以看出，高中数学数列试题因为其特殊性，与其他的数学知识联系密切，再加之近几年以来，数列试题频频出现在数学高考的试题当中，更是让高中数学数列成为了教师讲课、教学研究的重点，而为了有效提升高中生的解题效率，教师应在教学的过程中，教会高中生一些解题技巧，是高中生面临这类试题时，能够快速的计算出正确结构，提升他们的数学成绩。

参考文献：

数列通项公式方法总结 篇9

解：由an+1=2Sn+1

得an=2Sn-1+1(n≥2)

两式相减，得an+1-an=2an

∴an+1=3an (n≥2)

∵a2=2Sn+1=3

∴a2=3a1

∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列

∴an=3n-1

(3)an+1=an+f(n)，用叠加法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

得a2=a1+f(1)

a3=a2+f(2)

a4=a3+f(3)

……

+)an=an——1+f(n-1)

an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n

则{an}的通项公式=( )

解：∵an+1=an+2n

∴a2 =a1+2×1

a3=a2+2×2

a4=a3+2×3

……

+)an=an——1+2(n-1)

an=a1+2(1+2+3+…+n-1)

=2+2×(1+n-1)(n-1)

=n2-n+2

(4)an+1=f(n)an，用累积法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

得a2 =f(1)a1 a3=f(2)a2 a4=f(3)a3

……

×)an=f(n-1)an-1

an=a1·f(1)·f(2)·f(3)……f(n-1)

例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=( )

解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

a3=22a2 a4=23a3

……

×) an=2n——1·an——1

an=2·22·23·……·2n-1a1=2n(n-1)/2

(5)an=pan——1+q， an=pan——1+f(n)

an+1=an+p·qn(pq≠0)，

an=p(an——1)q， an+1=ran/pan+q=(pr≠0，q≠r)

(p、q、r为常数)

这些类型均可用构造法或迭代法。

①an=pan——1+q (p、q为常数)

构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。

将关系式两边都加上x

得an+x=Pan——1+q+x

=P(an——1 + q+x/p)

令x=q+x/p，得x=q/p-1

∴an+q/p-1=P(an——1+q/p-1)

∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。

∴an+q/p-1=(a1+q/p-1)Pn-1

∴an=(a1+q/p-1)Pn-1-q/p-1

迭代法：an=p(an——1+q)=p(pan-2+q)+q

=p2((pan-3+q)+pq+q……

例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n(n∈N+)求an

解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2,n∈N+)

两式相减得an=2an-1+1

两边加1得an+1=2(an-1+1) (n≥2，n∈N+)

构造成以2为公比的等比数列{an+1}

②an=Pan-1+f(n)

例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1(≥2，n∈N)

证明：an=(-2)n-1a1+3n+(-1)n·3·2n-1/5

分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。

方法一：构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}

用比较系数法可求得λ=-1/5

方法二：构造等差型数列{an/(-2)n}。由已知两边同以(-2)n，得an/(-2)n=an-1/(-2)n=1/3·(-3/2)n，用叠加法处理。

方法三：迭代法。

an=-2an-1+3n-1=-2(-2an-2+3n-2)+3n-1

=(-2)2an-2+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)2(-2an-3+3n-3)+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)3an-3+(-2)·3n-3+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)n-1a1+(-2)n-1·3+(-2)n-3·+32+……+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)n-1a1+3n+(-1)n-2·3·2n-1/5

③an+1=λan+p·qn(pq≠0)

(ⅰ)当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。

例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1

∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。

(ⅱ)当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，

得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

令an/2n=bn

则bn=3/2bn-1+1/2

④an=p(an——1)q(p、q为常数)

例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。

方法一：将已知两边取对数

得lgan=2lgan——1-lga

令bn=lgan

得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

方法二：迭代法

an=1/a a2n——1=1/a (1/a a2n——2)2=1/a3 a4n——2

=1/a3 (1/a a2n——3)4=1/a7·an——38=a·(an——3/a)23

=……=a·(a1/a)2n——1

⑤an+1=ran/pan+q(p、q、r为常数，pr≠0，q≠r)

将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。

例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

解：∵an+1=an/an+2

∴1/an+1=2·1/an+1

两边加上1，得1/an+1+1=2(1/an+1)

∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列

∴ 1/an+1=2×2n-1=2n

∴an=1/2n-1

高中数学公式 篇10

第一，在理解中记忆。把一个公式的背景理解了，再记公式。比如，等差数列求和公式，你得会自己推导，把它当一个例题来做。就这个公式而言，也可形象地把等差数列看阶梯，象个梯形面积公式。

第二，多背。只有多看多记才行。这是最基本原理，放之四海而皆准。重点就是一个“多”字。

第三，做题中记忆理解公式。千万不要“简单题不用做，难题不会做”，简单题做一做，为了记公式。要准确，不能老是翻书。

关于高中数学数列的解题技巧分析 篇11

一、错位相减

例如，已知数列{an}，n是正整数，a1=1，an+1=2sn，求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn。令n=2、3、4…可求得a2=2、a3=6，a4=18、54…，可知数列{an}在n>1时是等比数列，an=2×3n-2;n=1时，an=1。则Sn=1+2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-3+2×3n-2，3Tn=3+2×31+2×32+2×33+…+（n-2）2×3n-3+（n-1）2×3n-2+2×3n-1，则数列{an}的前n项和=（3Tn-Tn）/2=3n-1（n>1）;1（n= 1）。由于数列{an}并不是等比数列，所以等比数列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q）在此并不适用，不过我们发现当n>时，数列{an}是等比数列，且公比是3，这是我们取3倍Sn的原因，也是运用错位相减法求Sn的关键。

二、分组法求和

例如，已知数列{an}，n是正整数，通项公式an=n+3n，求数列{an}的前n项和Sn。令n=1、2、3……可得a1=4、a2=11、a3=30…，那么可知数列{an}既不是等比数列也不是等差数列。不过经观察可发现，n+3n的前半部分n是等差数列，后半部分3n是等比数列，设bn=n，cn=3n，那么an=bn+cn。等差数列{bn}的前n项和Ln=n+n（n-1）/2;等比数列{cn}的前n项和Mn=3（3n-1）/2，则Sn=Ln+Mn =（3n+1+n2+n-3）/2。对于不用性质组成的数列，进行拆分后求各个子数列的前n项和，然后把各个字数列的前n项和相加即为原来的数列的前n项和。解答这类数列的关键是拆分，可拆封成等差数列+等差数列、等差数列+等比数列、等比数列+等比数列的形式，不要拘泥于一种拆分形式，可灵活运用。

三、合并法求和

例如，已知数列{an}，n是正整数，a1=2、a2=7，a3=5，an+2=an+1-an，求S1999。令n=4、5、6…，可得a4=-2、a5=-7、a6=-5…，那么可知数列{an}既不是等比数列也不是等差数列。不过经观察可发现，a6m+1=2、a6m+2=7、a6m+3=5、a6m+4=-2、a6m+5=-7、a6m+6=-5（k为正整数），也就是说S1998=0，则S1999=0+a1999。因为1999= 6×333+1，所以a1999=2，则S1999=2。运用合并法求和的关键是找出数列中特殊项，然后合并特殊项，使其相互消减，然后把剩下的各项相加即求出前n项和，最终顺利地解决这个数列问题。

四、反序相加法求和

例如：求cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，设式①：S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，把式①右边反过来得式②：S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°，式①式②相加得：2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°。因为cosx=sin（90°-x），cos2x+sin2x=1，所以2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°=cos21°+sin21°+cos22°+sin22°+cos23°+sin23°+…+cos289°+sin21°=89，所以S=44.5，即求出cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°的值。应用反序相加法求和的关键是正序公式的各项与其对应的反序各项的和是固定值，然后求出总值并除以2即为所求数列的和。

五、裂项法求和

例如，已知数列{an}，n是正整数，an=              ，求{an}的前n项和Sn。

对an=            进行裂项可得：

an=

则Sn=

运用裂项法求和的关键裂项的形式要对，以确保除了除公式中间的数据相加等于固定数值，与首数值和末尾数值相加后，求出前n项和。

六、通项求和

例如，求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n项的数值的位数是n。因为1…111=   （9…999）=   （10k-1）（k 等于1…111的位数），所以

1+11+111+1111+…+1…11

=  （101-1）+  （102-1）+  （103-1）+  （104-1）+…+  （10n-1）

进行分组求和后：

1+11+111+1111+…+1…11

=  （101+102+103+104+…+10n）-  （1 +1+1+1+…+1）（1的个数是n）

=    （10n-1）-

=    （10n+1-10-9n）

运用通项求和的关键是把一个数值拆成两个数值，以便把遵循一个规律的数值集合一起进行求解。

对于数列试题的解答，应在掌握基本概念和性质的基础上进行，否者任何的解题技巧都将无有武之地。此外，也应学习一些经典的数列模型，以便更快地完成试题的解答。

高中数学-公式-数列 篇12

类型1 an+1=pan+q (p, q为常数) , 可构造新数列{an+x}求解.

例1 (2006年福建卷) 已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1 (n缀N*) . (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 略; (3) 略.

解:设an+1+x=2 (an+x) ,

则an+1=2an+2x-x=2an+x

an+1=2an+1

∴x=1, an+1+1=2 (an+1)

构造新数列{an+1}, 它是以a1+1=2为首项, 2为公比的等比数列

∴an+1=2·2n-1=2n

∴an=2n-1

类型2an+1=pan+qn+c (p, q, c为常数) , 可构造新数列{an+xn+y}求解.

例2 (2008年湖北卷) 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ, an+1=2an/3+n-4=… (下略) .

解:an+1+x (n+1) +y=2 (an+xn+y) /3

则an+1=2an/3-xn/3-y/3-x

结合已知递推式可得x=-3, y=21,

故有an+1-3 (n+1) +21=2 (an-3n+21) /3.

构造新数列{an-3n+21}, 它是以a1-3n+21=λ+18为首项, 2/3为公比的等比数列

∴an-3n+21= (λ+18) (2/3) n-1

∴an= (λ+18) (2/3) n-1+3n-21

类型3 an+1=pan+qn (p, q为常数) , 可构造新数列{an+xqn}求解.

例3 (2003年天津卷) 设a0为常数, 且an=3n-1-2an-1 (n缀N*) (1) 证明对任意n≥1, an=1/5[3n+ (-1) n-1·2n]+ (-1) n·2na0; (2) 略.

解:设an+x·3n=-2 (an-1+x·3n-1)

则an=-2an-1-5x·3n-1

∵an=3n-1-2an-1,

∴x=-1/5, an-3n/5=-2 (an-1-x·3n-1/5)

构造新数列{an-3n/5}, 它是以a1-3/5=1-2a0-3/5=-2a0+2/5为首项, -2为公比的等比数列

∴an-3n/5= (-2a0+2/5) (-2) n-1,

∴an=[3n+ (-1) n-1·2n]/5+ (-1) n·2na0

类型4 (p, q, c为常数) , 可两边同时取倒数后转化为类型1求解.

例4 (2008年陕西卷) 已知数列{an}的首项a1=3/5, , n=1, 2, … (1) 求{an}的通项公式; (2) 略.

把看做是一个数列的第n项, 则上式就是类型1型的递推式, 仿照例1的方法即可求解.

等比数列.

分析:此题若照搬类型4的方法, 两边直接取倒数显然不行, 若用“特征方程”知识来解, 理论性又较强, 中学生不易掌握.下面用构造新数列的方法将此题转化成与类型4类似的形式.

高中数学排列组合公式 篇13

计算公式：

此外规定0! = 1

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：;C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)

高中数学-公式-数列 篇14

1．倒序相加法：将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式Sna1ann2的推导。

2．错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。例1求数列n

23．分组求和法：将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和 n的前n项和Sn

1例2 ann2

n1，求数列an的前n项和Sn

4．公式法：利用已知的求和公式来求积，如等差数列与等比数列的求和公式。再如下面几个重要公式

nn12；（2）135...2n1n 212222（3）246...2nnn1；（4）123...nnn12n1

6（1）123...nnn1（5）132333...n3 22例3求数列1n,2n1,3n2,...n1的和

5．拆项（裂项）相消法 例4 an

例5 an

1，求数列an的前n项和Sn

nn114n21，求数列an的前n项和Sn

常用技巧：（1）

111111（2）；nnkknnknknknkn

（3）

1111 nn1n22nn1n1n2111，...,的前n项和Sn 12123123...n6．通项化归法 例6．求数列1,练习：求数列5，55，555，5555，…前n项和Sn

7．奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n为奇数、偶数进行讨论，一般地，先求S2n，再求S2n1，且S2n1S2na2n1 例6若an1

8．利用n14n3，求数列an的前n项和Sn

20n1符号求和：

ai1nia1a2a3an

例7（1）

12n