高中数学中的数列问题

2024-09-01

高中数学中的数列问题（精选12篇）

高中数学中的数列问题篇1

数列是高中数学知识体系中一个重要的知识点, 它不仅代表着高中数学一中与众不同的思维方式, 同时也是对高等数学中的矩阵或者行列式等进行一个基础的演示, 使学生提前获得一些最基本的概念, 为日后在数学方面的进一步学习打下一定的基础。

高中数学中数列知识体系包括了数列的基本概念、数列通项式和数列的扩展三个方面。数列的基本概念已经不需要赘言, 数列通项式是数列中知道数列中一个数来求取后一个数字的规律, 是一个重要的概念和知识要点。求取数列的通项式有很多的方法例如观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法等, 涉及到的数学思想主要包括函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

一、数列通项式的求解方法

函数通项式是数列的最重要的特点和概念, 就如一个数列的DNA一样, 用来表明数列之间本质上的不同, 同时也成为数列考试设计题目的一个重要方式。求解数列多项式的方法有很多, 包括观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法等。

1. 观察法求解通项式

给出多项式中的几个项, 然后根据这几个项求取中整个数列的通项式, 然后根据通项式来求解出任意的一个项, 这是最容易出题的一个思路和方面, 也是最基础最最重要的方法。

例:给出一个数列的几个项如下:1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55, 请跟据上面的几个项求出这列数中的x代表什么?

这个题目虽然简单, 却是学习数列最基础最重要的一个范例。事实上, 无论做任何关于数列的题目甚至求解任何数学题目, 对于题目的观察和对信息的抓取都是最重要的第一步。通过观察, 我们发现, 第三项2是第一项1和第二项1的和, 而第四项3又是第二项1和第三项2的和, 根据这个规律, 我们不难发现, 后一个是它本身前两个之和, 于是通项式可以写作:an=an-1+an-2 (n≥2) 。根据这一个范例我们可以举一反三列出更多的题目, 比如已知一列数为1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, x, 28, 41, 求解x。在这里, 我们必须先对数列中的项进行观察, 对于通项式大胆假设然后小心求证, 只要自己的假设能够满足数列中的规律, 那么自己的假设可以认为是正确的。观察法和假设法是求解数列问题的一个基本方法组合, 也是学生必须掌握的基本技能。

二、与数列相关的数学思想

在高中数学的学习过程中, 除了掌握一些基础的数学知识和解题技巧以外, 对知识和题目之后蕴含的数学思想进行掌握显得更加重要。那么, 与数列相关的数学思想包括函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

1. 函数与方程的思想

数列中蕴含的函数与方程的思想主要表现为在数列的一些未知项往往以多项式的方式表达出来, 而多项式的表达往往通过方程的方式, 从另一个角度来看, 数列与多项式又都是函数上的一些不连续的数值, 也就是函数图像上的一些散点, 这些散点又有着内在的规律, 这个规律就是前面说到的数列的通项式。数列与函数的结合通常出现在综合性较强的题目当中。

这不仅是一个函数的问题, 同时是一个函数与双曲线进行结合的题目, 这类题目通常第一问题都比较简单, 也是帮助解题者找到解题道路的一个思路。

通过函数与方程的思想将数列的问题转换为函数或者方程, 有时会转换成为不等式进行求解, 这是数学中的转换的方式, 当不同的数学知识进行相互装换的过程中, 对于高中数学整体的认识会进一步得到提升。

2. 数列中的分类与讨论思想

分类与讨论思想是数学严谨性的重要体现, 在数列中也时常体现。讨论的对象主要是一些比较特殊的函数例如对数中的底不能为1等, 或者分段函数等, 都对数列本身产生较大的影响。

例:已知数列{an}的前n项和为Sn=1+10n-n2, (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{|an|}的前n项和Tn;

数列{an}的前n项和为Sn=1+10n-n2是一个开口向下的一元二次函数, 那么在求取通项公式时就分为n=1和n≥2两种情况;由于函数的图像被x轴切割, 其绝对值也被分为两段, 这两段分别为不同的多项式来表示。

三、总结

高中数学中的数列问题是一个重点知识点, 对于很多学生而言数列与其他的知识点有形式上的不同, 于是就成为了一个难点。在掌握基础知识和数学思想的同时, 通过练习来积累解题的经验, 通过对这些经验的思考来感悟其中的数学思想, 两者相辅相成, 必然能够学好这部分的知识。

参考文献

[1]史立霞, 秦振.数列中的分类讨论问题[M].高中数学教与学, 2012 (19) .

[2]郭刚.等比数列的分类讨论[M].数理化学习, 2012 (9) .

高中数学中的数列问题篇2

本文列举几例分类剖析：

一、方程思想

1.知三求二

等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.

例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.

解(1)由a10=a1+9d=30，

a20=a1+19d=50，

解得a1=12，

因为n∈N*，所以n=11.

2.转化为基本量

在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.

例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.

解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)

由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.

将a1q3=―8代入(1)，

得q2=―2(舍去);

将a1q3=8代入(1)，得q=±2.

当q=2时，a1=1，S8=255;

当q=―2时，a1=―1，S8=85.

3.加减消元法利用Sn求an

利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.

例3(佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：

a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.

若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.

解将等式左边看成Sn，令

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)

又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)

两式相减可得

Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).

又因为数列{bn}的通项公式为

bn=2n―1，

所以an=n (n≥2).

当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.

从而对一切n∈N*，都有an=n.

所以数列{an}的通项公式是an=n.

4.等差、等比的综合问题

这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.

例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.

解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.

由已知得a1+a2+a3=7，

(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

解得a2=2.设数列{an}的公比为q，

由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

又S3=7，可知2q+2+2q=7，

即2q2―5q+2=0，

解得q1=2，q2=12.

由题意得q>1，所以q=2.

可得a1=1，

从而数列{an}的通项为an=2n―1.

二、函数思想

数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式

an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，

前n项和的公式

Sn=na1+n(n―1)2d

=d2n2+(a1―d2)n，

当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.

1.运用函数解析式解数列问题

在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.

例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.

分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.

解设Sn=an2+bn(a≠0)，则

a×102+b×10=100，

a×1002+b×100=10.

解得a=―11100，

b=11110.

所以Sn=―11100n2+11110n.

从而S110=―11100×1102+11110×110

=―110.

函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为

n=111102×11100=55211=50211.

因为n∈N*，

所以n=50时Sn有最大值.

2.利用函数单调性解数列问题

通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.

例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.

解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，

则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，

所以x1+x<1，ln(1+x)>1，

所以f ′(x)<0.

即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.

故当n≥2时，an>an+1.

例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.

(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;

(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.

(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.

解由题设易得an=n―72，

所以bn=2n―52n―7.

由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.

当x<72时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>72时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.

(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.

由于bn=1+1n―1+a1，

故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.

解由题，得an=n―1+a1，

所以bn=1+1n―1+a1.

考察函数f(x)=1+1x―1+a1，

当x<1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，

所以a1的取值范围是―7

3.利用函数周期性解数列问题

例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.

分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.

解由已知

两式相减得

通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.

高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

数学思想方法是对数学及规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是数学认识过程中提炼上升的数学观点方法。学生大脑中若不蕴含数学思想方法，会导致数学学习缺乏自主性，往往就成为离不开教师这个拐棍的被动学习者，学的数学知识不能用数学思想方法有效连接，支离破碎。所以，学生在数学学习中，大脑有了数学思想，学习才有方向导引，心中有了明确方向，才能主动思考，才有利于对数学本质的认识，才能知道如何去思考和解决问题。

高中数学基本数学思想

1.转化与化归思想：

是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程，就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此，化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为：化未知为已知，化难为易，化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证

2.逻辑划分思想(即分类与整合思想)：

是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时，而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥，不重复，不遗漏，最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是：有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑，而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证

3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想)：

就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.

4. 数形结合思想：

将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化，从而使隐蔽的条件明朗化，是化难为易，探索解题思维途径的重要的基本数学思想.

5. 整体思想：

处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发，分析条件与目标之间的结构关系，对应关系，相互联系及变化规律，从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论，信息论，系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中，为了便于掌握和运用整体思想，可将这一思想概括为：记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?)，想着目标(向着目标步步推理，必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系，抓变化，或化归;或数形转换，寻求解答.一般来说，整体范围看得越大，解法可能越好.

在整体思想指导下，解题技巧只需记住已知，想着目标，步步正确推理就够了.

中学数学中还有一些数学思想，如：

集合的思想;

补集思想;

归纳与递推思想;

对称思想;

逆反思想;

类比思想;

参变数思想

有限与无限的思想;

特殊与一般的思想.

高中数学中的数列问题篇3

【关键词】高中数学数列探索新问题

探索性问题不仅仅意味着问题的思维量会很大，这种形式的问题通常也可以帮助学生更充分的理解与分析问题的实质，能够让学生对于问题后涵盖的知识点有更充分的掌握。在高中数学数列知识的教学中，教师可以多将探索性问题的教学引入课堂，在引导学生层层剖析问题的过程中让学生领会到探究问题的一些基本方法，让学生的思维广度和深度都得到有效的挖掘与锻炼，这才是数学课程教学的内在目标的实现。

一、让学生有充裕的问题探究空间

探索性问题通常有着一定的思维量，问题的综合程度也比较高，对于这样的问题学生不可能马上就找到解决方案，很可能需要更充裕的思考空间。教师要明确这一点，如果是课堂上引入的一些探究问题可以给予学生相应的思维上的点拨，学生还是没有马上找到突破口，可以鼓勵学生课下进行一些资料的查阅，再来找寻解答方案。探索性问题的教学不能操之过急，教师要留给学生更充裕的探究空间，让学生真正弄懂问题，并且透过问题的解答牢固的掌握其中的知识要点。经历了这样的过程后学生今后再碰到同类型问题时也能够更好的将其化解，这才是需要达到的更为理想的教学效果。

例题：设a1=1，a2=4，当n≥3时，an-4an-1+4an-2=0。问是否存在等差数列{bn}，使an=b1cn1+b2cn2+…+bncnn，对一切自然数n都成立？并证明你的结论。对于这道题来说，在进行解答的时候，首先要考虑的就是要求出通项公式为bn=n，只有求出这个通项公式才可以带入n进行相应的证明。然而这对于刚刚接触数列的学生却并不容易。很多学生在课堂上碰到这个问题后都表现出困惑，学生解题的掌握也比较大。这时，教师不要忙着给学生指导，可以让学生课下进一步进行思考探究，给学生以更充裕的探究空间，并且可以适当进行思维上的引导。这可以让学生的自主学习更深入，能够让学生对于这类问题的认识更透彻。

二、数列问题中融入思想方法教学

在数列问题的教学中，教师要善于慢慢融入数学思想方法的教学，这是知识教学的一种递进，也是对于学生思维层面的一种延伸。不少数列问题中都可以融入相应的思维方式，尤其是那些稍微复杂的数列问题，在解答时必须用到一些经典的数学思想方法。对于这样的例子，教师在教学中要给予更多的重视。在学生有了充分思考后可以引导学生来探究问题解答的方案，进而揭示其中包含的一些数学思想方法，让学生对于这些思维方式的应用更加了解与熟悉，这样才能够起到更理想的教学效果。

例如，已知数列{an}，其通项为an=n（n+1）2。问是否存在这样的等差数列{bn}，使an=1·b1+2·b2+3·b3+…+n·bn对一切的n∈N都成立，并证明你的结论。通过观察不难发现，在这个数列题目中，最后的问题是要求证明某个结论的正确性，这样一来就说明给出的这个数列是一个特殊的数列，或者说是有规律的数列。这个问题的解答如果仅仅采用常规的问题探讨模式可能难以奏效，解题中必须融入相应的思想方法。教师可以在和学生剖析这个问题时重点讲解这种思维模式，讲解这一思想方法在解答这类问题时所能够发挥的效果，让学生慢慢熟悉用数学思维解决数列问题的一般过程。

三、鼓励学生展开有效的合作探究

对于有的数列问题，让学生展开良好的小组合作探究是一种非常好的教学形式。学生在合作的过程中思维会更加灵活，学生也容易受到小组其他成员思维上的刺激，会想出更多更加有效的解答方案。教师可以多鼓励学生在课堂上展开小组合作，可以设计那些让学生进行良好合作探究的思考问题，以小组为单位来考察学生的知识掌握程度。这样的教学形式不仅学生会更加放松，这也更加有助于那些复杂问题的突破，是一种很好的问题探究形式。

例如，数列{xn}满足x1=0，xn+1= -xn2+xn+c（n∈N*）证明：{xn}为递减数列的充分必要条件是c<0。教师可以首先让学生对这个例题展开讨论，在小组中的学生则会根据自己的学习情况和数学基础，提出关于自己的不同观点；随后教师可以选出每个小组的代表来发言，阐释自己小组的观点，这样一来就可以逐步减少同学观点之间的分歧和差异，也能够慢慢对于这个问题的解题思路进行梳理，有助于问题的顺利解答。小组合作对于那些容易产生分歧的问题非常适用，这会让学生的思维进行充分交流，学生的思路会有很大程度的拓宽，自学能力和解题能力都可以得到十分充裕的锻炼。

【参考文献】

[1] 樊德国. 高中数学教学培养学生数学联结能力的研究[D]. 山东师范大学，2011.

[2] 万炎. 高中数学数列教学方法的创新[J]. 语数外学习（高中数学教学），2014 （09）.

[3] 潘用土. 高中数学数列问题的解题策略与教学研究[J]. 考试周刊，2015（62）.

高中数学数列中的探索性问题研究篇4

一、数列探索性问题教学面临的困境

(1)数列学习相对枯燥,缺乏吸引力。高中数学有其自身的抽象性和思维性,对学生思维要求较高,而数列又将数学的抽象性、具体性特点发挥得淋漓尽致。有些学生缺乏对数学知识分解并独立认知的意识,使得探索问题时会遇到一些困惑,进而失去对数列的学习兴趣。同时,数列探索题和立体几何、空间坐标等图形知识不同,数字始终是其主体,使数列学习更加枯燥乏味。

(2)缺乏条件提取能力。应试教育体制下的学生很少主动提取问题,或者主动勾勒出题目所给的条件,多是依靠题目本身给出的问题或条件去解答,学生的自主提取和自我质疑能力较弱。解决探索性问题,最需要的就是学生能从已给条件里分析出有用条件,一步步设置问题、解决问题。学生质疑、提取问题的能力不足,就会导致学生学习能力的下降,从而降低课堂效率。

(3)公式运用忽视规律探索。规律探索题要求学生有较强的逻辑推理能力,熟练运用数学规律和归纳法进行探索。在高中数列中,这一类探索题不在少数,但学生在学习探索性数列题时缺乏对数列规律的认知与探讨,致使类似题目得分情况不乐观。实际上,要解决这类规律性问题,可以引导学生抓住数学中的一些学习规律,锻炼学生的思维,就能使很多疑难问题迎刃而解。规律性探索题往往与生活息息相关,教师在教学中将教学与生活结合起来,有助于学生体会到数学知识的学以致用。

二、数列探索性问题教学思路

(1)分层次解题。丰富课堂教学手段,根据所给条件,进行分层次解题,是解决探索性问题的重要途径。例如:已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2(n≥2,t>0),a1=1,其中Sn是数列{an}的前n项和,求{an}的通项公式。根据所给条件,由a1=1,Sn+Sn-1=tan2+2,可得a2=ta22,根据导出来的条件排除a2=0这一可能,再由Sn+Sn-1=tan2+2得出Sn-1+Sn-2t(an-1)2(n≥3),两式子相减得an+an-1=[tan2-(an-1)2],根据这一式子导出(an+an-1)[1-(tan-an-1)]=0,又因为{an}是正项数列,所以an+an-1≠0,也就是an-an-1=1/(tn≥3),根据这层层递进的式子可以推算出{an}的通项公式。

(2)提出假设,营造自主思考氛围。创设一系列问题,营造自主探究和思考的氛围,激发学生主动提取有效条件,可以让解题过程变得更加有效。可以给出一个结论,根据所给条件,验证结论是否成立。例如:已知等比数列{an}中,a1=1/2,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,其中n=1、2、3…,令bn=an+1-an-1,证明{bn}是等比数列。这就是典型的结论求证题。提取已知条件,可得到a1=1/2,2an+1=an+n,如此可解出a2=3/4,再根据bn=an+1-an-1,解得b1=-3/4,再由bn=an+1-an-1,bn+1=an+2-an+1-1,根据以上提取条件和解出的几项重要式子,可以得出bn+1/bn的结果,这道题就迎刃而解。

(3)加强公式研究与使用。探索规律题在数列中非常常见,高中数学更是将这一类数列题列为重点。江苏省高考试卷曾出过这样一道探索题:将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如下所示的0-1三角数表,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行……则第n次全行均为1的是第()行,第61行中1的个数是(),如下所示:

这是对规律探索进行应用的典型题目。如果将题目上的数单纯地代入数列公式,此题就变得异常麻烦。再加上此题本身是一道填空题,所以大可不必用简答题的做法解答此题。只需根据所给条件了解第一次全行数为1的是2-1=1行,第二次是22-1=3行,第三次是23-1=7行,这个数列的通项公式就列出来了。

三、结束语

新课改后的高中数学与实际生活联系更加紧密,数学试卷也更加注重学生对知识的灵活掌握和知识在生活中的应用的考查,尤其探索型题目给学生提供了发散思维和实际应用空间。对高中数学中探索型数列题进行深入探讨,是适应新时期教育变化的需要。而且,数列探索题还可与几何、不等式、曲线方程等知识进行结合。因此,深入研究数列问题对高中数学教学有着深远的意义。

参考文献

[1]伏春玲,董建德.浅谈中学数列中的探索性问题[J].兰州文理学院学报,2012(01).

高中数学等差数列教案篇5

2.学生认真阅读课本内容，划出关键词，完成预习单，记录不懂问题，做好上课准备。课型新授课教学过程教学环节学习内容学生

活动教师

活动设计

意图课前

预习单阅读书本P10-11内容，试着了解等差数列通项公式的推导过程和思路，在不明白的地方做上记号自主完成抽查反馈了解备学内容课堂

探究单

创设情境

导入新课

(5分钟)

张家界百龙观光电梯运行速度为3m/s。现在电梯从高154m处向上运行，高325m处为终点，每秒计数一次，写出电梯高度构成的数列。这个数列的第20项是多少?你能写出这个数列的通项公式吗?

学生独立思考并写出相应的数列

教师引导学生从数列中归纳出每一项与首项、公差之间的关系

为等差数列通项公式的推导做准备

活动一

等差数列通项公式的推导

(10分钟) 设等差数列的公差是，则，

，

，……，依次类推，得到 ( )。当时也成立。由此可得等差数列的通项公式为 ( )。学生结合探究题独立思考完成

请学生回答，并板书等差数列的通项公式

引导学生了解等差数列通项公式的由来，培养学生的归纳猜想的能力

活动二

等差数列通项公式的运用

(15分钟) 任务1：已知等差数列的首项是1，公差为3，求其第11项。

任务2：求等差数列-13，-9，-5，-1，…的第56项。学生独立思考后完成

校对答案

帮助学生进一步熟悉和理解等差数列的通项公式任务3：已知等差数列中，，求此数列的通项公式。学生独立思考后完成，然后小组交流答案请学生回答解答思路，引导学生用方程思想解决本题巩固通项公式;复习方程组的解法课堂小结

(4分钟) 知识层面总结：等差数列的通项公式

思想方法总结：不完全归纳法;方程思想归纳总结 1.归纳总结;

2.引申到下一节课培养学生对于问题的概括能力、语言组织能力课堂

检测单

(10分钟) 已知为等差数列。

(1)若，求 ;

(2)若，求 ;

(3)若，求和。独立思考后完成，完成后小组交流各自的完成情况巡视并记录学生作业中存在的问题，给出答疑并校对答案帮助学生巩固本节课所学内容课后

巩固单

(1分钟) 【巩固单】书本P13“练习”

【思考单】书本P13“问题解决”

【预习单】预习“等差数列的前n项和公式”一节，并完成预习单。必做

选做

必做

学习评价

自我激励

同伴激励

教师激励

自我评价

观察点

优秀

良好

继续努力

知识的掌握情况

方法的掌握情况

数学日志：

同伴评价(小组成员)

观察点

高中数学中的数列问题篇6

划分层次的标准是按学生品质的个体差异、掌握知识能力的快慢和数学素养的不同，划定层次并分组，可以从心理角度、智力方面、数学基本功等方面综合考虑，按学生受打击能力比较强、一般、不能承受过大的打击，分别计3、2、1分；头脑灵活容、一般、智力较差，分别计3、2、1分，数学基本功则按多次测验的成绩分优秀、良好、合格，分别计3、2、1分。以上各分相加，按学生总分：8、9分为A组；5、6、7分为B组；3、4分为C组，这个分层不是一成不变的，要根据学生进步情况随时进行调整。

二、内容分层：重视数学知识的整体化及层次性的把握，重视概念系统化、整体化及其层次性的把握

数学知识网络的建立和形成需要一个过程，需分层次递进，低层次的理解是高层次理解的基础，各层次之间最好不要越级，任何急功近利的想法和做法都不可取。数学概念的理解和掌握也是一个螺旋式上升的过程。

例1：对“复数的模”的理解。

层次1（直接性掌握）：

（1）复数替换的模|z|■；

（2）是一个非负数；

（3）|z|是复数在复平面内点到原点的距离。

层次2（解释性理解）：

（1）复数z可表示成向量■，|z|是向量■的长度，故大于等于0，在以上共有属性理解的基础上，通过进一步扩展，可使理解进入更深层次。由此回归到绝对值的定义：|a|是数a在数轴上的点到原点的距离，不难理解复数的模|z|也是距离，不过是复数在复平面内点到原点的距离而已。

（2）数学概念的把握，不是一次可以完成的，教师应有计划地使学生不断丰富和加深理解，可以通过单元复习或阶段复习的方式使所学有关概念系统化和整体化。可以采用用类比启发和归纳启发的方法。

例2：关于“角”的概念的深化与系统化。

（1）平面角；（2）异面直线所成的角；（3）直线与平面所成的角；（4）二面角。

要对角的概念形成一个良好的认知结构，还需要进一步认识到空间的异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，都是在平面角概念基础上发展的，反之这些空间中的角都要转化为平面角来表示，二面角也是通过二面角的平面角来度量。

数学概念系统是多层次复杂结构，理解掌握它应按由简到繁、由具体到抽象、由低级到高级的认识顺序，一个新的概念的建立要依靠哪些旧概念？是怎样的发展过程？又分几个层次？把握这些才能控制好整个教学。

三、过程分层：注意知识传授由浅入深

知识传授由浅入深，符合教学原则中的可接受性原则。但浅深有度，浅到什么程度？深到何种层次？一般的原则是：浅到C组的学生也能掌握，深至A组及B组的部分学生能接受。深浅度的掌握是否合适，能较好地反映主导教师是否了解作为教学主体的学生，也是学生能否接受知识的主要因素之一。这一过程中要注意到学生的反应，充分调动各层次学生的积极性，课堂教学中多鼓励学生举手回答，最简单的问题抽C组学生作答，上黑板练习多选B组学生，评讲分析多选A组学生，这样既可发现问题，也可激发他们的上进心，对个别进步较快的学生及时抓住典型，让他们谈体会及方法，以促进其他学生进步，因为这些学生更有说服力，同学的现身说法也会使部分学生对学习数学由畏惧、讨厌变为喜爱，这样能更好地调动学生的学习积极性，教学效果也会明显提高。

四、反馈分层：精选反馈材料，做好分层指导

教学反馈是数学教学的重要组成部分，是调控教学的信息来源之一。教学反馈一般分为以下5个层次：模仿、理解、灵活、建模和反建模。如以下练习：

1.求过点（-1，2），倾斜角为■的直线的参数方程。

这种完全是模仿练习，与书本练习题一致，结果形式相似，只不过改了一下数据。

2.直线x=tcos■+2y=tsin■-1（t为参数），所过定点是，倾斜角是。

3.直线y=3t+2y=4t-1（t为参数）的倾斜角的正弦是。

以上两例是从不同角度提出学生需要理解的问题，略高于例题，要求学生深刻理解相应内容的内涵。

4.直线y=3t+2y=4t-1（t为参数）与y=x的交点到P（3，4）的距离是。

5.求过点P（-1，5），倾斜角为■的直线被圆：x2+y2=14所截得的弦长。

6.椭圆x2+4y2=16的弦过点P（2，1）且恰被P平分，求该弦弦长。

反馈分层可用在课堂练习，在学生独立完成的过程中适当有针对性地点拨，让各层次的学生都学有所得，也可用于课后作业，这样分层的练习能充分考虑到学生不同层次的需求。教师针对反馈结果，“点对点”地做好课后辅导工作，可以取得意想不到的效果。

一、对象分层：准确为学生定位，合理设置层次并分组

二、内容分层：重视数学知识的整体化及层次性的把握，重视概念系统化、整体化及其层次性的把握

例1：对“复数的模”的理解。

层次1（直接性掌握）：

（1）复数替换的模|z|■；

（2）是一个非负数；

（3）|z|是复数在复平面内点到原点的距离。

层次2（解释性理解）：

例2：关于“角”的概念的深化与系统化。

（1）平面角；（2）异面直线所成的角；（3）直线与平面所成的角；（4）二面角。

三、过程分层：注意知识传授由浅入深

四、反馈分层：精选反馈材料，做好分层指导

教学反馈是数学教学的重要组成部分，是调控教学的信息来源之一。教学反馈一般分为以下5个层次：模仿、理解、灵活、建模和反建模。如以下练习：

1.求过点（-1，2），倾斜角为■的直线的参数方程。

这种完全是模仿练习，与书本练习题一致，结果形式相似，只不过改了一下数据。

2.直线x=tcos■+2y=tsin■-1（t为参数），所过定点是，倾斜角是。

3.直线y=3t+2y=4t-1（t为参数）的倾斜角的正弦是。

以上两例是从不同角度提出学生需要理解的问题，略高于例题，要求学生深刻理解相应内容的内涵。

4.直线y=3t+2y=4t-1（t为参数）与y=x的交点到P（3，4）的距离是。

5.求过点P（-1，5），倾斜角为■的直线被圆：x2+y2=14所截得的弦长。

6.椭圆x2+4y2=16的弦过点P（2，1）且恰被P平分，求该弦弦长。

一、对象分层：准确为学生定位，合理设置层次并分组

二、内容分层：重视数学知识的整体化及层次性的把握，重视概念系统化、整体化及其层次性的把握

例1：对“复数的模”的理解。

层次1（直接性掌握）：

（1）复数替换的模|z|■；

（2）是一个非负数；

（3）|z|是复数在复平面内点到原点的距离。

层次2（解释性理解）：

例2：关于“角”的概念的深化与系统化。

（1）平面角；（2）异面直线所成的角；（3）直线与平面所成的角；（4）二面角。

三、过程分层：注意知识传授由浅入深

四、反馈分层：精选反馈材料，做好分层指导

教学反馈是数学教学的重要组成部分，是调控教学的信息来源之一。教学反馈一般分为以下5个层次：模仿、理解、灵活、建模和反建模。如以下练习：

1.求过点（-1，2），倾斜角为■的直线的参数方程。

这种完全是模仿练习，与书本练习题一致，结果形式相似，只不过改了一下数据。

2.直线x=tcos■+2y=tsin■-1（t为参数），所过定点是，倾斜角是。

3.直线y=3t+2y=4t-1（t为参数）的倾斜角的正弦是。

以上两例是从不同角度提出学生需要理解的问题，略高于例题，要求学生深刻理解相应内容的内涵。

4.直线y=3t+2y=4t-1（t为参数）与y=x的交点到P（3，4）的距离是。

5.求过点P（-1，5），倾斜角为■的直线被圆：x2+y2=14所截得的弦长。

6.椭圆x2+4y2=16的弦过点P（2，1）且恰被P平分，求该弦弦长。

高考数学解答题中的数列问题篇7

大多数年份数列解答题为常规题型、难度中等偏易、出现在17题的位置, 某些年份可见稳定创新并重的能力题、创新题作为把关大题 (把关小题) 闪亮登场.可见, 全国新课标高考数列题并非全是“清汤寡水”的“送分题”.复习备考需关注一个较长时间段落数列考点的冷热沉浮, 既忌盲目拔高, 又忌浅表不透.建议大家在复习备考中, 务必突出两条主线:一条是以等差、等比数列通项公式、求和公式为主体的基础知识主线;另一条是以方程思想、化归与转化思想、分类讨论与整体聚合思想为核心的思想方法主线.下面对全国新课标高考数列解答题的命题规律及备考方向试作探究.

一、数列的简易混合问题———关注等差、等比数列的基本概念与性质的综合化考查

数列模块间的综合考查通常偏重求通项、求和, 涉及等差、等比混合数列的问题居多.在解题过程中运算的快速准确与否决定了解题的成败, 活用性质可提速, 全面思考防漏解.

例1 (2015 年北京卷文) 已知等差数列{an}满足a1+a2=10, a4-a3=2.

(Ⅰ) 求{an}的通项公式;

(Ⅱ) 设等比数列{bn}满足b2=a3, b3=a7, 问:b6与数列{an}的第几项相等?

解: (Ⅰ) 设等差数列{an}的公差为d.

因为a4-a3=2, 所以d=2.

又因为a1+a2=10, 所以2a1+d=10.所以a1=4.

所以an=4+2 (n-1) =2n+2.

(Ⅱ) 设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2=a3=8, b3=a7=16, 所以q=2, b1=4.

所以b6=4×26-1=128.

由128=2n+2, 得n=63.

所以b6与数列{an}的第63项相等.

评注:本题只涉及等差、等比数列通项公式的简单运用.近三年来, 在基础层面上进行类似考查的数列题以文科试卷居多, 理科试卷要求略高.

例2 (2013 年全国大纲卷理) 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a22, 且S1, S2, S4成等比数列, 求{an}的通项公式.

解:设{an}的公差为d.

由S3=a22, 得3a2=a22, 则a2=0或a2=3.

由S1, S2, S4成等比数列, 得S22=S1S4.

又S1=a2-d, S2=2a2-d, S4=4a2+2d, 所以 (2a2-d) 2= (a2-d) (4a2+2d) .

若a2=0, 则d2=-2d2, 解得d=0, 此时Sn=0, 不符合题意.

若a2=3, 则 (6-d) 2= (3-d) (12+2d) , 解得d=0或d=2.

因此{an}的通项公式为an=3 或an=2n-1.

二、教材题型及方法的变式问题———关注教科书经典例 (习) 题的深度挖掘及基本思想方法的开发迁移

我们每天使用的数学课本是国家组织教育专家、学者精心编写的, 其中许多公式的推导、例 (习) 题的解答具有典范性、代表性、可发展性.新课标人教A版必修5《数列》的编写注重思想方法的渗透、注重知识发生发展过程的铺垫, 很有特色.比如:推导等差数列通项公式渗透了逐差叠加法, 推导等比数列通项公式渗透了逐商叠乘法, 推导等差数列求和公式渗透了倒序相加法, 推导等比数列求和公式渗透了错位相减法, 而等差、等比数列的对称性、等距性、片段和等诸多重要性质则通过课内思考、课后习题分步渗透.这些重要的例 (习) 题、方法、性质一直是历年高考命题关注的热点, 更是数列解题大显神威的“撒手锏”.

例3 (2014年全国大纲卷文) 数列{an}满足a1=1, a2=2, an+2=2an+1-an+2.

(Ⅰ) 设bn=an+1-an, 证明:{bn}是等差数列;

(Ⅱ) 求{an}的通项公式.

又b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为1, 公差为2的等差数列.

又a1=1也适合上式, 所以{an}的通项公式an=n2-2n+2.

评注:本题来源于新课标人教A版必修5第二章第69页中的第6题.教材习题与高考题如出一辙, 都是已知前两项的值及相邻三项的递推关系, 求数列的通项公式.高考题预设了前提bn=an+1-an, 并证明数列{bn}是等差数列, 难度明显降低.整道题考查了等差数列定义的应用、等差数列通项公式的求解, 以及用“逐差叠加法”及等差数列求和公式求数列的通项.近年来, 高考数学命题越来越新颖, 但万变不离其宗, 大多数考题都植根于教材、灵活于教材.

三、数列求和技巧问题———关注数列求和的常用方法

数列求和是高考长盛不衰的考点, 主要考查将一般数列的求和转化为特殊数列的求和的计算能力及化归与转化思想.其常用方法有公式法、分组相关法、错位相减法、裂项相消法等, 其中错位相减法与裂项相消法是命题的热点.

1.公式法

如果一个数列是等差数列或等比数列, 则求和时可直接利用等差、等比数列的前n项和公式, 注意等比数列公比q的取值情况要分q=1和q≠1.

例4 (2013年浙江卷文) 在公差为d的等差数列{an}中, 已知a1=10, 且a1, 2a2+2, 5a3成等比数列.

(Ⅰ) 求d, an;

(Ⅱ) 若d<0, 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

分析:对于第 (Ⅱ) 问, 先由d<0判断数列{an}通项公式的选取, 由于|an|含有绝对值符号, 故应先判断原数列{an}从第几项开始大于零, 从第几项开始小于零, 再根据等差数列前n项和的公式求解.

解: (Ⅰ) 由题意, 得5a3·a1= (2a2+2) 2, 即50 (10+2d) = (22+2d) 2, 即d2-3d-4=0, 解得d=-1或d=4.

所以an=-n+11或an=4n+6.

(Ⅱ) 设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0, 所以d=-1, an=-n+11.

所以当n≤11时, an≥0;当n≥12时, an<0.

2.分组相关法

若an=bn±cn, 且数列{bn}, {cn}为等差数列或等比数列, 则常采用分组相关法求数列{an}的前n项和.

例5 (2015 年福建卷文) 等差数列{an}中, a2=4, a4+a7=15.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) 设bn=2an-2+n, 求b1+b2+b3+…+b10的值.

分析: (Ⅰ) 利用基本量法可求得a1, d, 进而求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 可求得bn=2n+n, 故可用分组相关法求其前10项的和.

解: (Ⅰ) 设等差数列{an}的公差为d.

所以an=a1+ (n-1) d=n+2.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) , 得bn=2n+n.

所以b1+b2+b3+…+b10

3.错位相减法

若数列{an}是等差数列, {bn}是等比数列, 求数列{an·bn}的前n项和时, 则可采用错位相减法.如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

例6 (2015年天津卷理) 已知数列{an}满足an+2=qan (q为实数, 且q≠1) , n∈N*, a1=1, a2=2, 且a2+a3, a3+a4, a4+a5成等差数列.

(Ⅰ) 求q的值和{an}的通项公式;

(Ⅱ) 设, n∈N*, 求数列{bn}的前n项和.

分析: (Ⅰ) 由a2+a3, a3+a4, a4+a5成等差数列, 得a4-a2=a5-a3, 进而求出q, 再分n为奇数、偶数讨论求得{an}的通项; (Ⅱ) 求出bn, 再用错位相减法求得数列{bn}的前n项和.

又因为q≠1, 所以a3=a2=2

由a3=a1q, 得q=2.

所以{an}的通项公式为

设数列{bn}的前n项和为Sn, 则

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和.常见的裂项技巧有:等等.

例7 (2015年全国新课标Ⅰ卷理) Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, an2+2an=4Sn+3.

(Ⅰ) 求{an}的通项公式;

(Ⅱ) 设, 求数列{bn}的前n项和.

解: (Ⅰ) 当n=1 时, a12+2a1=4S1+3=4a1+3.

因为an>0, 所以a1=3.

因为an+1+an>0, 所以an+1-an=2.

所以{an}是首项为3, 公差为2 的等差数列.

所以an=3+2 (n-1) =2n+1.

四、递推数列问题———关注难易适度的一般递推数列向等差、等比数列的合理转化

已知递推数列求通项是高考常考不衰的经典题型.破解的基本策略是:根据递推式的不同特征, 利用辅助手段进行合理变形, 将陌生的递推关系转化为较为熟悉的等差 (等比) 数列去处理.近年来课标高考对递推数列的考查难度大幅度降低, 对于一些常见题型我们应有备无患.

1.an+1=an+f (n) 型递推数列———逐差叠加法 (累加法)

其过程简化为恒等式:

本文例3已经介绍了这类题型及解法, 请再看一例:

例8 (2010年全国新课标卷) 设数列{an}满足a1=2, an+1-an=3·22n-1.

(Ⅰ) 求{an}的通项公式;

(Ⅱ) 令bn=nan, 求数列{bn}的前n项和Sn.

又a1=2也适合上式, 故{an}的通项公式为an=22n-1.

(Ⅱ) 过程略.用错位相减法求得.

2.an+1=an·f (n) 型递推数列———逐商叠乘法 (累乘法)

其过程简化为恒等式:

例9 (2015年浙江卷文) 已知数列{an}和{bn}满足a1=2, b1=1, an+1=2an (n∈N*) , .

(Ⅰ) 求an与bn;

(Ⅱ ) 记数列{anbn}的前n项和为Tn, 求Tn.

解: (Ⅰ) 由a1=2, an+1=2an, 得an=2n.

当n=1时, b1=b2-1, 所以b2=2.

又b1=1, b2=2也适合上式, 所以bn=n.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, anbn=n·2n, 所以Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,

两式相减, 得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1= (1-n) 2n+1-2,

所以Tn= (n-1) 2n+1+2.

评注:根据数列递推关系, 利用逐商叠乘法得到数列的通项公式;利用错位相减法计算“等差乘等比型”数列的求和问题.

3.an+1=pan+q (p≠1, q≠0) 型一阶线性递推数列———构造法

例10 (2014年全国新课标Ⅱ卷理) 已知数列{an}满足a1=1, an+1=3an+1.

(Ⅰ) 证明:{an+1/2}是等比数列, 并求{an}的通项公式;

所以{an+1/2}是首项为3/2, 公比为3的等比数列.

评注:第 (Ⅰ) 问有一阶线性递推数列的深刻背景, 只要善于捕捉题目预设信息, 并不需要死记硬套模式.第 (Ⅱ) 问是求和类不等式证明, 基本思想是通过放缩得到一般规律的不等关系式, 再赋值叠加.如果和式便于直接求和, 则求和后放缩.如果和式不便于求和, 先进行适当的放缩后再求和, 有时还需要抬高证明的起点后再放缩求和.

4.Sn=f (an) 型递推数列———“借鸡拣蛋法”

Sn=f (an) 型递推数列, 通常通过升降角标, 即将n替换为n+1 (或n-1) , 得到一个新的递推关系, 通过新旧递推关系式的相减, 促成问题的转化与解决.我们把这种解题策略形象地称为“借鸡生蛋法”, 其实质是对任意数列共有的性质的活用.

例11 (2015年湖南卷文) 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1, a2=2, 且an+2=3Sn-Sn+1+3, n∈N*.

(Ⅰ) 证明:an+2=3an;

(Ⅱ) 求Sn.

解: (Ⅰ) 证明:已知an+2=3Sn-Sn+1+3, 得an+1=3Sn-1-Sn+3 (n≥2) .

两式相减, 得an+2-an+1=3an-an+1, 即an+2=3an (n≥2) .

又a1=1, a2=2, 所以a3=3S1-S2+3=3a1- (a1+a2) +3=3a1.

故对一切n∈N*, an+2=3an.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知an≠0, 于是数列{a2n-1}是首项a1=1, 公比为3的等比数列, 数列{a2n}是首项a1=2, 公比为3的等比数列, 所以a2n-1=3n-1, a2n=2×3n-1.

综上所述,

评注:第 (Ⅰ) 问是含Sn, an的递推数列问题, 用“借鸡生蛋法”一举成功;第 (Ⅱ) 问是一道新颖的“隔项等比数列”求和问题, 通过对奇数项与偶数项分组求和来获解.

五、数列与其他主体知识的交汇问题———关注数列与函数 (含三角函数) 、导数、不等式、解析几何等模块间的交叉、渗透与整合

数列是特殊的函数, 不等式是深刻认识函数 (含三角函数) 、导数与数列的重要工具, 它们的交叉、渗透与整合是近几年课标高考命题的新热点, 调研发现:数列能力题的重心已经偏移到与不等式有关的证明与求解中, 而不再是以前的较为繁难的利用递推关系式求通项.对于数列问题中求和类 (求积类) 不等式的证明, 如果是通过放缩方法进行证明的, 一般有两种类型:一种是能够直接求和 (求积) 再放缩;一种是不能直接求和 (求积) , 需要放缩后才能求和 (求积) , 求和 (求积) 后再进行放缩.对于后者来说, 一是要注意放缩的尺度, 二是要注意从哪一项开始放缩, 有时要经历好几次试验及合理抬高起点才能绝处逢生.

1.数列与不等式的交汇

例12 (2013年广东卷理) 设数列{an}的前n项和为Sn.已知.

(Ⅰ) 求a2的值;

(Ⅱ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅲ) 证明:对一切正整数n, 有.

分析:本题以递推数列为背景, 考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明, 要注意转化思想、构造法的应用.在证明不等式的过程中, 放缩的尺度要把握准确.

综上所述, 对一切n∈N*, 成立.

2.数列与函数 (含三角函数) 、导数、不等式的交汇

例13 (2014年陕西卷理) △ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.

(Ⅰ) 若a, b, c成等差数列, 证明:sin A+sin C=2sin (A+C) ;

(Ⅱ) 若a, b, c成等比数列, 求cos B的最小值.

解: (Ⅰ) 证明:因为a, b, c成等差数列, 所以a+c=2b.

由正弦定理, 得sin A+sin C=2sin B.

因为sin B=sin[π- (A+C) ]=sin (A+C) , 所以sin A+sin C=2sin (A+C) .

(Ⅱ) 由a, b, c成等比数列, 得b2=ac.

所以cos B的最小值为1/2.

例14 (2015年广东卷理) 数列{an}满足.

(Ⅰ) 求a3的值;

(Ⅱ) 求数列{an}的前n项和Tn;

(Ⅲ) 令b1=a1, , 证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2ln n.

解: (Ⅰ) a3=1/4 (过程略) .

所以数列{an}是首项为1, 公比为1/2的等比数列.

所以f (x) 在 (1, +∞) 上是增函数.

又f (1) =0, 所以f (x) >0.

高中数学中的数列问题篇8

学生学不好数学的原因, 并不是数学的知识复杂, 题型百变, 而是缺乏对于数学整体的认识.数学讲究数形结合, 如果无法从根本上掌握“形”, 自然无法算得“数”.数学并不是简单的10个阿拉伯字母, 而是理论思维和抽象思维的结合:“数”就是理论思维, 加减乘除, 算法固定;“形”则是抽象思维, 它需要学生在脑海里构造出一个虚拟的图形, 然后将这个图形应用于实际的运算中.因此, 缺乏抽象思维, 不了解甚至无法构造图形的学生, 是学不好数学的.

而学生无法构造图形的一大原因, 就是他们并未见过真正的图形, 有些图形是无法靠老师在黑板的平面板书就可以让学生深入体会的.因此, 我们更加需要《几何画板》这样专业的、可以立体构造图形的软件来辅助高中数学的教学, 尤其是函数部分对于图像的描绘、图像变换, 立体几何中各种立方体, 圆锥曲线中的椭圆抛物线双曲线性质, 等等.

一、《几何画板》在高中代数教学中的应用

二、《几何画板》在立体几何教学中的应用

立体几何是在学生初中已经接触过简单平面几何的基础上拓展开来的, 然而不是每一个学生都有着丰富的想象力和立体感.就如初中时常做的一道题, 罗列几个立方体拼成一个更大的几何体, 然后让学生判断一共放置了几个立方体.这样的题往往就是立体感不好的同学的盲点.通常这样的题目, 老师的讲解方式就是用很多个粉笔盒在讲台上给同学拼接.这样的教学方式在我看来就是《几何画板》的雏形, 只有这样的立体教学才能让学生真正懂得立体几何, 而不再仅仅是对立体有一个朦胧的意识.

高中立体几何的研究方法, 多是以公理、定理为主.然而枯燥的教学无法让学生真正懂得公理和定理的含义, 只是单纯简单的死记硬背.对于一些复杂的证明题, 如果只是将图形立体地呈现在黑板上, 是无法让学生看懂证明过程的.因为学生缺乏立体感和平面空间图形的转化能力, 他们无法从一个平面化的立体图形中看到证明所需要的某些线段、某些角, 因此需要《几何画板》这样的软件将立体图形进行多视角的转动以方便学生的理解.

《几何画板》将原本只能平面化的立体图形重新归于立体, 既能丰富教学, 达到教学的目的, 更能开拓同学们的思维, 激发他们的想象力.同时, 创造出一个动态的学习环境, 更能吸引同学的目光, 使枯燥乏味的公理、定理也变成动态的画境.

三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用

平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科, 它研究的主要问题, 即它的基本思想和基本方法是:根据已知条件, 选择适当的坐标系, 借助形和数的对应关系, 求出表示平面曲线的方程, 把形的问题转化为数来研究;再通过方程, 研究平面曲线的性质, 把数的研究转化为形来讨论.曲线中各几何量受各种因素的影响而变化, 导致点、线按不同的方式作运动, 曲线和方程的对应关系比较抽象, 学生不易理解.显而易见, 展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的.这样, 《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能大显身手.如它能作出各种形式的方程 (普通方程、参数方程、极坐标方程) 的曲线;能对动态的对象进行“追踪”, 并显示该对象的“轨迹”;能通过拖动某一对象 (如点、线) 观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系.

具体地说, 比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时, 如图2所示, 分别拖动 (1) 中的点A和 (2) 中的点B时, 可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点 (0, 2) 的一组直线 (不包括y轴) .

有关高中数学数列专题的分析篇9

一、高中数学中数列专题的概述

数列在高考考题中考查的内容是有固定范围的, 一般来说会分为三个方面:第一、用等差数列或者是等比数列的概念、性质、通用公式和求和公式来对数列求解;第二、等比数列或者是等差数列问题的判断与证明;第三、数列和其它数学知识相结合的综合解答题, 比如数列和不等式的、数列和函数的, 这是高考试题中最常见的一种题型。

二、数列专题的重点归纳

1、数列定义中“数的有序性”是其中的灵魂, 但是要注意分辨数列中的项与数集元素的异同。因此在研究数列的解题方法时要注意函数方法的普遍性和数列方法的特殊性。

3、求通项常用方法

①作新数列法作等差数列与等比数列

②累差叠加法最基本形式是:

③归纳、猜想法

4、数列前n项和常用求法

③裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和, 即an=f (n+1) -f (n) , 然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项:

④错项相消法和并项求和法

三、例题解析

1、有关数列的概念性例题

数列的概念性题是历年高考试题中不可缺少的一种题型, 不仅因为这是基础题, 也因为这是解决其他数列题型的基础, 包括数列中的等比数列、等差数列和两种数列的求和等方面, 所以这是我们一定要复习的数列题目。

例:已知等差数列{an}的通项公式为a4=5, a3=4, 求a9等于多少。

解析:从题目中可以看出, 这是一个数列基础定义的题型, 这道题目中主要考查我们对等差数列的概念是否已经掌握牢固, 解题思路也很简单, 直接套用等差数列的概念公式an=a1+ (n-1) d即可, 通过题目中给出的已知条件a4=5, a3=4可以得出关于a1和d的二元一次方程组, 继而得出a9的答案。

2、有关数列的证明题

数列的证明是高考中除却综合题型最重要的一种题目了, 它主要考查了我们对数列递推关系的掌握情况, 考查了我们对数列概念的掌握和应用情况, 还考查了数列和不等式结合求和的知识, 主要是为锻炼我们的分析转化能力和推理论证能力。

结语:

当然不管是哪种题型, 都是需要我们在进行数列专题的学习时打下坚实的基础, 所以在进行高中数学的专项练习时, 我们要充分的发挥自身的能动性, 学会自主分析题目。而且我们在学习过程中要不断提高知识水平、解题能力, 学会发散思维, 把知识点融会贯通, 形成系统的数学知识体系。

摘要：数学学习一直是我们高中学习中的一个难点, 因为我们不仅需要复习初中数学知识, 还需要学习高等数学的基础课程, 所以这是一个很重要的学习阶段, 在这一个阶段中知识扎实, 基础稳固的高中生在进入大学之后学习高等数学也会很轻松。高中数学作为一个承上启下的过渡阶段, 包含了很多的专题模块, 数列、函数、几何方程等等, 所以这不仅成为了老师教学过程中的一个难点, 也是我们在学习过程中需要克服的难题。

关键词：高中,数学,数列,专题

参考文献

[1]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].河南师范大学, 2013.

浅析高中数学中数列的学习篇10

1.数列概念的学习

在高中数学教学阶段,由于同学们之前并没有接触到有关数列方面的知识点,因此很多同学都觉得数列的学习很难。当然,对一些简单的数列题目,直接带入公式或者简单的转化就可以求解出答案。但是,根据上述我们的阐述表明,高考数学中的数列题目灵活多变,这就要求我们在平时打好基础,掌握必要的解题技巧,这些都是学好数列的关键。但是,我们也不能抱有畏惧的心态,只要我们认识到数列的本质是一种特殊的函数,结合我们对函数的了解和认识,在此基础上学习数列就容易多了。对我们高中生来说,在学习数列时,尤其不能忽视一些简单题目的解答,我们都知道,一些简单的题目实际上包含着非常复杂的变化,只要出题人稍微变化一下,就是一道很难的数列题目。目前,数学高考中涉及到的数列考点并不多,主要包括一些重要的公式应用和对概念的掌握等,考的比较多,也比较难的一个常考考点就是等比数列,对等比数列方面的题目,我们很多同学都容易忽视掉公比q等于1的情况,这是导致高考中我们失分的一个重要原因。因此,在平时的训练中,同学们应该掌握其解题方法,同时还要注重细节的把握。

2.数列中前n项和求解方法的学习

在学习高中数列时,第一我们应该掌握的是错位相减法。错位相减法是经常被引用的一种方法,比较常见的题型是将其应用于等比、等差杂合的数列求和中。比如,已知等差数列{xn},同时其前n项和是yn,{yn}又是等比数列,且x1=y1=1,x4+y4=21,s4-y4=9,求数列{xn}和数列{yn}的通项公式。通过错位相减法,首先分别求出等比数列和等差数列的前n项和,然后求出等比数列的公比q,最后进行错位相减,进而就可以得出需求求解问题的答案;第二是分组求和法。在高中数列的很多考题中,遇到一些没有规律性的数列题目也是很常见的。这些题目,既不是等差数列,也不是等比数列,那么通项公式求和这种直接套用公式的方法就无法应用了。但是,将数列进行拆分后,就可以得到我们熟悉的等比、等差数列。因此,当我们遇到这类试题时,我们大可不必担心,采取分组求和法可以将题目简化,进而就能得出答案;第三,合并求和法。在高考数学中,一些特殊的数列题目需要采用合并求和法。对这些题目,它们看上去没有任何规律,实质上,只需要通过一步拆分后,再合并,就能找出这种题目的规律。当然,求解这类题目对学生的合并数列水平较高,而且很多规律是隐含的。如果学生对数列的合并水平不够,他们很难成功地找出这类数列的规律,没有目标地进行合并,那也无法正确的求解出答案。

3.培养高中学生的函数思想

针对具体的数列题型,我们在学好数列概念的基础上,掌握一些特殊的解题技巧就能够应对。但是,我们要想应对千变万化的数列题型,还需要培养我们的函数思想。以上已经说明了,数列的本质是一种特殊的函数,其形式为an=f(n)。但是,根据调查研究表明,很多同学在求解数列题目时,他们的头脑中并没有形成函数的观念,这严重制约了学生对数列的学习。实际上,我们比较熟悉的等差数列,其通项公式an=a1+(n-1)d,实质就是n的一次函数。这种函数的散点分布在以(n,an)为坐标直线上,所以,当d>0时,数列是逐级递增的;当d<0时,数列是逐级递减的;当d=0时,数列为常数数列。只有学生形成了函数的思维,利用函数的概念和思维模式解决这种类型的数列问题,他们就会觉得非常容易。

4.结语

综上所述,数列在高中数学学习和考试中获取高分非常重要。在高考中,数列考点最能体现学生的综合能力。因此,在高中数列知识的学习过程中,我们有技巧性的学好它尤为重要,否则同学们想要在高考数学中取得高分就比较困难,本人希望在此希望同学们重视数列的学习,突破考试中的难点,在高考中取得好成绩。文中如有不当之处,还望同学们和老师批评指正。

摘要：在高中的数学知识点中,数列一直都被认为是非常重要且必考的考点,尽管很多同学和老师也很重视对数列问题的研究,但是仍然有很多同学认为高中数列比较难。对于我们高中学生来说,首先应该认识到数列的实质是一种函数,这种思想对学好数列非常重要。尤其是随着数列的考题形式越来越多,要从根本上解决数列问题,就要求高中学生通过题目的训练,熟练地掌握求解方法,使得高中学生在学习数列时,达到事半功倍的效果。

关键词：高中数学,数列,学习

参考文献

[1]安家瑞.有关高中数学数列专题的分析[J].中学教育,2015(23):51

[2]郭永卫.浅谈高中数学等差数列教学实践方法[J].教学研究,2014(21):62-63

高中数学数列的教学策略研究篇11

关键词：高中数学；数列教学；现状；策略研究

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-229-01

高中数学课程教育当中数列是十分重要的课程构成成分，实现数列教学质量的提高，有助于培养学生的的数学问题理解、分析与问题探究的能力，有利于高中阶段学生的综合素质提高与培养。随着我国课程改革工作的不断推进，高中数学教学策略都有了明显的优化与发展，教师应当在新课程改革的要求下不断实现数列教学方式的优化，实现教学水平的不断上升，加强学生学习成绩的上升。

一、当前我国高中数学课程教学中存在的问题

在传统的高中数学教育模式中，教师是课堂的主体，而学生对于知识的吸收处于被动接受的状态，在这样的灌输式教育当中，教师和学生往往会形成管理与被管理的相处模式，学生容易产生逆反心理，失去学习积极性，师生互动的不足，导致教学效果并不理想。另外，在进行教学的过程中，教师的授课内容主要是根据固定的教材大纲按部就班的进行知识教授，教学手法过于古板单一。在学生依靠教师进行知识学习的过程中，教师往往将知识内容作为重点，忽略了启发式教育的重要性，没有引导学生自主进行知识探索，培养学生的自主学习的能力，从而导致高中数学课程教育的学习高效性难以实现。

二、有效的数学数列课程的教学策略

1、建立高效课堂，激发学生的学习兴趣

要实现教学成果的显著上升，提高学生的学习兴趣是十分有必要的，可以依靠高效课堂建立来实现。在传统的高中数学教学中，教师与学生之间的关系是不平等的，主要以领导者与被领导者的关系形式存在，这样的关系难以适应现代化的高效课堂建立的要求，只有当教师与学生之间建立平等互信的关系才能加强学生学习体验共鸣。同时，教师还要在课堂教学过程中，改变原本的枯燥学习环境，实现趣味化教学，让学生在轻松的教学环境中实现数学知识的学习与掌握。例如在实际教学中，教师在进行数列知识引入的时候，可以首先进行数学故事的讲解。例如“国际象棋发明故事”，同样也可以在课堂上开展数列游戏，通过这样的方法可以有效的提高学生的学习兴趣。

2、加强课程教育中多媒体技术的应用

随着现代科学技术的不断发展，多媒体教学设备被广泛运用到了学习当中，是常见的教学方法之一。在进行高中数学数列课程教学时，利用多媒体的技术设备把课程内容和重要知识点进行全面呈现。在多媒体教学中，学生可以脫离数学原本枯燥的教学模式，让学生在学习中产生学习兴趣。例如在数列教学内容“等差数列的前n项和”的课堂教学所提出的数列问题“在进行积木堆积游戏中，最下层积木数量为15，往上每一层一次递减一块积木，最上层积木数量为1，求中共有多少块积木？”的解决时，教师可以通过多媒体技术进行积木堆积动画演示，将原本抽象的数学问题具体化，加强学生的探索兴趣，在解题后教师也可就学生提出的多种解题方案进行多媒体演示，可以实现直接的最简化方案的选择，提高学生的学习效率。

3、加强教学中的小组学习模式

在高中数学的教学中，可以利用小组组合形式来进行学习教材内容中的数列知识，通过这样的方法有利于学生自主学习能力的提高。通过同学间的组合学习，不仅有利于学生积极主动的参与到学习中，还能培养学生的协同互助能力。教师可以根据学生能力进行科学性分组，小组内相互的带动讨论，在交流中发展自主意识，同时开阔思维，从而实现学生的学习效率提高。例如，在进行数列课程内容中“等项数列求和公式”的学习中，首先提出“怎样快速计算1到200之间的所有自然数的总和？”的问题，进行分小组讨论，让学生积极发挥自身想象力与开拓思维进行求和计算。教师在进行分小组的时候要注意小组成员的科学搭配，将学习成绩优异与较差的学生进行合理的交叉搭配，实现学生学习水平的总体上升。另外在小组讨论展开时，为避免小组学习的形式化，教师应当进行监督，并且鼓励组内成员积极发言。在一段时间的讨论之后，教师可以让学生进行求和答案汇报，并分小组进行计算方法的讲解，让学生通过自主探究的方式实现数列知识的发现。提高学生的思维能力与探索能力。

结束语：为加强高中生的数学学习能力以及综合素质的全面提升，教师在进行课程中数列内容教学时，要不断对当前的教育现状进行分析，进行教学策略与方式的不断优化与完善，以人为本地进行教学方案的制定。并通过多种辅助教学手段进行教学，不断加强学生的学习兴趣培养与多种教学方式建立，最终实现学生对数列知识的掌握以及灵活运用到多种数学问题解决当中。

参考文献：

[1] 石因.多元智能理论教学观下的高中数学数列教学实践与研究[D].苏州大学，2015.

[2] 翟艳芳.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程（中学），2015，03：127.

[3] 张敏妮.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程学习（中），2013，06：100-101.

刍议高中数学数列教学方法的创新篇12

一、高中数学数列的应用简析

作为高中数学教学内容的重要组成部分, 数列蕴含着灵活多样的教学理念和方法.在人们的日常生活中也发挥着重大的作用, 具有极高的运用价值.例如, 结合现代人们的生活需要, 数列知识可以解决很多实际问题:生物细胞分裂、中国人口增长及密度、产品规格的设计等都会涉及到数列的应用.通过对数列的学习, 有利于提高学生的运算速度和能力, 有利于培养学生的逻辑思维能力.高中数学教学在具体的教学过程中, 一定要足够的重视数列教学方法, 不断的探究、创新数列教学方法, 采用最有效最快捷的教学方式, 使学生在熟练地掌握数列概念的同时, 能够充分、灵活的对其进行应用.教师不仅要让学生在课堂的学习中有紧迫感, 成就感, 还要让其在课下进行深刻的思考和分析.

二、高中数学数列教学的创新

1.数列教学设计的优化.数列、一般数列、等差数列、等比数列是高中数学数列教学的主要内容.其中, 等差数列和等比数列是数列教学内容中的重点.主要包括对数列的定义、基本特点、通项公式、分类方法、具体应用等知识点的学习.传统的教学观念中, 教学设计作为一种系统化过程, 是用系统的教学方法将数列教学理论, 同学习理论原理进行转换, 使之成为教学活动和教学资料的具体计划.创新理念的数列教学设计解决了“教学成果”;“教学方法”;“教学目的”等问题, 通过教学设计来解决教学问题, 探究总结问题的解决方法和步骤, 形成新的教学方案.并在新的教学方案实施以后及时的对教学效果进行分析, 规划操作其过程程序, 判断其实施的价值.这一过程也是教学优化的的过程, 能够提高教学成果, 创造出更加合理高效的教学方案.

(1) 创新理念下的“数学概念”.对数学对象本质属性进行反映的思维方式, 是数学概念的要点.它的定义方式有两种, 一种是指明外延的, 一种是描述性的.对一个数学概念的学习, 应记住其名称、了解其涉及到的范围、简述其本质属性并运用其概念进行判断.数学概念包括等差数列、等比数列、通项公式和数列.在对这些陈述性概念进行设计时, 设计者应对上述概念体现的概念特点进行表明.

(2) 创新理念下的教学设计是以关注学生的需要为基础的.为学生服务是教学设计的最终目的.教师应当认识到, 教育的主体是学生, 学生与学生之间存在着接受能力、对同一数列概念的认识水平、认知结构等方面的差异.对于那些接受能力较弱的学生, 单单的让他们自己去探索、发现数列的运用规律及特点是不行的.在这样的情况下, 传统的教师讲授式教学方法更适合他们.不但可以尽可能的缩短教学时间, 让他们掌握数列教学的基本内容, 还可以通过课后有关数列的习题的练习, 强化其对基本知识的记忆.对于接受能力不算很好的学生来说, 简单的数列习题应适当的留给他们, 让其自行的解决, 对于一些有一定难度的习题, 老师可以直接的进行讲解, 并帮助学生分析.从学生的具体需要出发的教学方式的创新, 才能够有较好的教学效果出现.

总之, 数列教学活动的创新, 数列教学方法的改进, 没有永恒的教学模式规定.教师运用那种教学方法, 以什么样的方式形式呈现出来, 需要数学教师灵活的掌握.以学生为教育主体, 不但要对教学内容特点特征进行考虑, 还要考虑到学生的整体素质, 照顾到弱势群体.

摘要：数列, 蕴含着灵活多样的教学理念和方法.在人们的日常生活中也发挥着重大的作用, 具有极高的运用价值.例如, 结合现代人们的生活需要, 数列知识可以解决很多实际问题:生物细胞分裂、中国人口增长及密度、产品规格的设计等都会涉及到数列的应用.通过对数列的学习, 有利于提高学生的运算速度和能力, 有利于培养学生的逻辑思维能力.高中数学教学在具体的教学过程中, 一定要足够的重视数列教学方法, 不断的探究、创新数列教学方法, 采用最有效最快捷的教学方式, 使学生在熟练地掌握数列概念的同时, 能够充分、灵活的对其进行应用.

关键词：等差数列,教育模式,创新思维,教学理念

参考文献

[1]嵇东升.基于Moodle的高中数学混合式教学设计——以《等差数列》为例[J].数学学习与研究, 2011 (3) .

[2]朱达峰.新课程背景下高中数学有效课堂教学引入的十种方法[J].数学学习与研究2011 (3) .

[3]李春梅.回归基础——例析2011年高考题中的数列问题对高考备考复习的启示[J].中学数学, 2012 (15) .

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