高中数学中的最值问题

高中数学中的最值问题（通用11篇）

高中数学中的最值问题 篇1

高中数学中应用题部分有关最值的问题属于贴合实际,背景比较复杂而且题型比较新颖的一类数学应用方面的问题,当我们解决这一类问题时,通常我们会将其从实际中抽象成为一种数学问题,建立起恰当的数学模型,进而通过求解这个数学模型来解决这个实际的问题! 对高中数学中应用题部分的最值问题的教学以及解题思路等,有利于对学生进行应用意识培养的开展,从而提高学生们在现实生活中解决实际存在的问题的能力.

一、高中数学应用题的最值问题解题步骤

在对高中数学应用题的最值问题解答时,教师首先要教会学生解题的步骤,只有正确地掌握,才能帮助学生理顺解题步骤,让学生按照一定的“程序”来解题,才能让学生感觉到解题的轻松.

( 一) 读 题

读题是建模的第一个环节. 通过读题排除无用信息,提炼有效信息,尤其有些题的文字叙述长,数据繁多,更要引导学生克服烦躁,恐惧的心理,冷静阅读,抓住要害,可将文字叙述适当地删减,压缩,找到关键性的语言,使问题简单明了.

( 二) 建 模

利用建模,可以将实际的文字语言转化成为特定的数学图形语言和符号语言. 而正确地建立出数学模型,就能够帮助学生解决数学应用题中所面临的最值问题.

( 三) 求 解

对数学模型的求解就是得到数学结论的过程,这需要注重模型中一些量的实际意义. 对求解过程进行优化. 在考试环节失分大多数都是因为计算与代数式的变换与变形开始的,所以,注重平时的练习,杜绝眼高手低,才能帮助学生顺利推演.

( 四) 还 原

如果可以将所得到的数学结论还原到日常生活的实际问题之中,就可以满足实际问题解答的作用.

二、高考中应用题最值问题的地位

高中数学应用题是对综合知识的考查,是联系并整合各个方面知识的关键,而最值问题又是应用题中出现频率最高的问题之一. 通过最近五年高考数学试题的统计数据来看,考查应用题最值问题的频率不减反增,只不过针对知识背景以及考查的方式出现了较大的变化. 各个省市都加大了对最值问题的考查力度,特别是江苏省,加大了涉及函数问题的最值问题的考查力度,将不等式与几何等实际问题的最值问题考查力度相应减少.

在实际应用当中解决最值问题,背景越来越复杂,这主要是对学生思维能力及逆行考查,通过数学知识的联想、迁移以及应用等方式来解决实际中面临的问题. 站在学生的角度上来看,往往就会感觉到较强的综合性以及方法的灵活性,导致学生无从下手,在高考中频频失分,同时还存在“对而不全、会而不对”的尴尬局面. 所以,在高中数学教学中,应该注重学生数学应用意识与能力的培养.

三、高中数学应用题最值问题解法———函数

在高中数学教学中,涉及函数应用的问题背景深刻、题源丰富、解答灵活,一直都是高考的热点题型. 而函数应用题最值问题又是重点,历来被学习者认为是难题,其实,最值问题多是和函数相联系,要求我们在问题的变化过程中去追逐不动的最值点,研究这个不动点,使问题得以解决.很多函数类型的应用题都会涉及“最优化方案”,其解题的方法一般是建立出目标函数,然后将其转化成为目标函数最值问题的解答.

在解答函数模型时,利用单调性、数形结合法、判别式法、利用基本不等式等方法是最常见的措施,下面针对实际的问题,对于采用的方法进行具体的分析.

例题: 某单位计划使用2060万元购买一块空地用于建造超过10层的楼房,且每一层面积为2000平方米. 通过费用测试,如果楼层x≥10层,则每一平方米需要耗费560 +48x的费用. 为了满足每一平方米最低的综合费用消耗,该楼房应该建设多少层? ( 平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积,平均综合费用 = 平均购地费用 + 平均建筑费用. )

解题方式一: 设每一平方米的平均综合费用为f( x) ,那么

这里所用的是基本不等式来求函数的最小值,

当48x =10800/x的时候,等号成立,可以得到x = 15. 也就是该楼房为15层的时候,每一平方米的平均综合费用是最少的.解题方法二: 设每一平方米的平均综合费用为f( x) ,那么

,当f'( x) = 0,得到x = 15. 如果x >15,那么f'( x) > 0; 当0 < x < 15,那么f'( x) < 0. 所以,当x =15的时候,f( x) 最小值为f( 15) = 2000. 也就是该楼房为15层的时候,每一平方米的平均综合费用是最少的.

点评: 本题目主要是对函数关系式进行考查,也就是函数模型,求出函数最小值. 如果要求某变量的最值,就需要将变量的函数关系找出来,而本题就是平均综合费的函数关系. 题目虽然从表面看起来很复杂,但是读到最后就会发现在注示中已经给出了平均综合费的函数关系式,只需要带入数值即可. 本题使用了基本不等式和导数两种求解方法,所以,对同一个问题,其解决方法也并非是唯一的.

四、高中数学教学中应用题最值问题应用策略

( 一) 懂得转变思想,重视应用数学知识

在新课程标准中指出: 在实际的教学过程中,要懂得观察知识的背景,强化知识点与现实生活的联系,这样就可以让学生利用简单的知识去解决实际生活中面临的问题,让学生感受到自己学到的知识是有用的,并非想象中那样“一无是处”,这样就能够激发学生学习的热情.

( 二) 与其他学科相互联系,培养数学知识的应用意识

华罗庚教授曾描述: “宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学”.由于高中学生在认识数学价值上不够全面,所以,只有教师进行正确的引导,才能在简单的问题上让学生感受到数学知识与其他学科知识之间是相互联系的,这样不仅可以将数学工具性与基础性的价值体现出来,同时也能呈现其应用价值.

( 三) 加强实际应用,提升解决应用题最值的能力

无论是何种学习,其根本目的都是应用. 在实施新课程之后,教材也为学生提供了很多数学内外问题解决的机会,帮助学生强化对数学本质概念的理解,让学生将知识与实际的生活联系起来,懂得运用一些方法和数学知识来解决实际问题. 在数学实际应用问题的教学中,主要是为了提升学生的数学思维能力,将数学方法、数学思想、数学知识都联系到实际的生产或者是联系到其余的学科上,帮助学生更加深入透彻地理解社会、生活以及自然界,帮助学生调节自我心理,懂得激发学生的学习兴趣,这样就能够形成良好的思维品质,培养学生的创新精神以及学生的实际应用能力.

五、结 语

综上可知,随着社会对学生应用意识等方面要求的提高,高中阶段数学应用题中有关最值问题的解题教学的重要性已经被体现了出来,并且受到了广泛的关注. 通过实际考察研究我们也发现高中阶段数学有关最值的应用题的学习对于学生各方面能力的提升都有很大的帮助,不仅可以提高学生解决问题的能力,还能提高学生的文化功底,对于学生们问题转换能力的提高也有一定程度的帮助. 因此,高中阶段数学应用题中有关最值问题的解题教学的展开是十分有必要的.

摘要：对于高中数学的应用题教学而言,其最值问题是题型新颖、最接近实际的数学应用问题.本文首先研究高中数学应用题最值问题的一般步骤,探讨了在高考中应用题的地位,然后通过函数最值问题,对高中数学应用题最值问题进行了深入分析,希望能够帮助学生在今后高中数学应用题最值问题解答中更加轻松.

关键词：高中数学,应用题,最值

高中数学中的最值问题 篇2

【学习目标】

【复习回顾】

1． 极大值、极小值的概念：

2．求函数极值的方法：

【知识点实例探究】 例1．求函数f(x)13x4x1在[0,3]上的最大值与最小值。3

你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？

变式：1 求下列函数的最值：

（1）已知f(x)612xx,x[,1]，则函数的最大值为______，最小值为______。（2）已知f(x)6xx2,x[1,2]，则函数的最大值为______，最小值为______。（3）已知f(x)x27x,x[3,3]，则函数的最大值为______，最小值为______。（4）f(x)3xx,x[1,2]则函数的最大值为______，最小值为______。变式：2 求下列函数的最值：

（1）f(x)6xx2（2）f(x)612xx 23332313

例2．已知函数f(x)2x36x2a在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在[－2，2]上的最大值。

姓名：_____________ 学号：______________

【作业】

1．下列说法中正确的是（）

A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值

C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值

D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2．函数y|x1|，下列结论中正确的是（）

A y有极小值0，且0也是最小值 B y有最小值0，但0不是极小值 C y有极小值0，但0不是最小值

D 因为y在x1处不可导，所以0即非最小值也非极值

3．函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是（）A 0a1 B 0a1 C 1a1 D 0a4．函数f(x)xex,x[0,4]的最小值是（）A 0 B 2142 C 4 D 2 eee5．给出下面四个命题：

（1）函数yx5x4,x[1,1]的最大值为10，最小值为29； 4（2）函数y2x24x1,x[2,4]的最大值为17，最小值为1；（3）函数yx312x,x[3,3]的最大值为16，最小值为－16；（4）函数yx312x,x[2,2]无最大值，无最小值。其中正确的命题有

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6．函数f(x)4x,x[2,2]的最大值是__________，最小值是_____________。2x13,x[2,)的最小值为____________。x327．函数yx8．已知f(x)2x6xm(m为常数），在[－2，2]上有最大值3，求函数在区间 [－2，2]上的最小值。

9．（1）求函数f(x)x3x6x2,x[1,1]的最大值和最小值；

（2）求函数f(x)48xx3的极值。

自 助 餐

x2x1．设a0为常数，求函数yee在区间[0,a]上的最大值和最小值。

2． 设f(x)x312x2x5，（1）求函数f(x)的单调递增，递减区间； 2（2）当x[1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。

x22xa,x[1,)，3．已知函数f(x)x（1）当a

（2）若对于任意x[1,),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围。1，求函数f(x)的最小值； 2

4．已知函数f(x)x3ax23x，（1）若函数f(x)在[1,]上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x

（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，若存在，求出实数b的取值范围；取不存在，试说明理由。

1是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值； 3

5．当x(1,2]时，函数f(x)值。

1．（1）若0aln2在区间[0,a]上，当xa时，有最大值eax恒大于正数a，试求函数ylg(a2a3)的最小2x1e2a；当x0时，有

1；当x0时，有4最小值0。（2）当aln2，在区间[0,a]上，当xln2时，有最大值最小值0。2．（1）递增区间为(,)和(1,)，递减区间为(3．（1）

中考数学中关于动点的最值问题 篇3

1 利用函数的性质求最值

ネ1

例1 （2008年连云港）如图1，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ、Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2. 将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上. 一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动. 当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H.

ィ1）求直线AC所对应的函数关系式；

ィ2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解 （1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知A，C两点的坐标分别为（1，2），（2，1）. 易得直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3.

(2)①点M到x轴的距离h与线段BH的长总相等. 因为点C的坐标为（2，1），所以，直线OC所对应的函数关系式为y=12x. 又因为点P在直线AC上，所以可设点P的坐标为（a,3-a). 过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK=h. 因为点M在直线OC上，所以有M(2h,h). 因为纸板为平行移动，易得Rt△PHG∽△Rt△PFE,有GHPH=EFPF=12. 故GH=12PH=12(3-a). 所以OG=OH-GH=a-12(3-a)=32(a-1). 故G点坐标为(32(a-1),0). 又点P的坐标为(a,3-a),可得直线PG所对的函数关系式为y=2x+(3-3a). 将点M的坐标代入，得h=4h+(3-3a). 解得h=a-1. 而BH=OH-OB=a-1，从而总有h=BH.

ア谟散僦，点M的坐标为(2a-2,a-1)，点N的坐标为(a,12a).

S=S△ONH-S△OMG=12NH×OH-12OG×h=12×12a×a-12×3a-32×(a-1)=-12a2+32a-34=-12(a-32)2+38. 当a=32时，S有最大值，最大值为38.

S取最大值时点P的坐标为(32,32).

评注 解此类题的关键是分析运动变化的过程，用点P的横坐标a的代数式表示描述点的运动过程，把动点视为静点参与运算，列出关于a的函数关系式，证明线段相等，再根据二次函数的增减性求得最值问题.

2 利用轴对称变换求最值

ネ2

例2 （2008年南通）如图2，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.

ィ1）求证：AB•AF=CB•CD；

ィ2）已知AB=15cm,BC=9cm，P是射线DE上的动点. 设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2.

ア偾髖关于x的函数的关系式；

ア诘眡为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.

证明 （1）因为AD=CD，DE⊥AC，所以DE垂直平分AC，所以AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF. 因为∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°，所以∠DCF=∠DAF=∠B,易得△DCF∽△ABC,所以CDAB=CFCB,即CDAB=AFCB. 所以AB•AF=CB•CD.

解 （2）①因为AB=15，BC=9，∠ACB=90°，所以AC=AB2-BC2=152-92=12,所以CF=AF=6，所以y=12(x+9)×6=3x+27(x>0).

ア谝蛭狟C=9（定值），所以△PBC的周长最小，就是PB+PC最小. 由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，所以PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小. 显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小. 此时DP=DE，PB+PA=AB. 由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC,得AE=BE=12AB=152,EF=92， 所以AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15，所以AD=10. Rt△ADF中，AD=10，AF=6，所以DF=8. 所以DE=DF+FE=8+92=252.

ニ以当x=252时，△PBC的周长最小，此时y=1292.

评注 本题可转化为直线上一点到直线同侧两点的距离和最小问题，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，然后根据“两点之间的线段最短”，从而找到所需的最短路线.

3 利用动点的范围求最值

例3 （2008年徐州）如图31，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°.

操作 将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q.

探究1 在旋转过程中：

ィ1）如图32，当CEEA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.

ィ2）如图33，当CEEA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.

ィ3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是（直接写出结论，不必证明）.

ね31图32图33

探究2 若CEEA=2,AC=30cm,连结PQ，设△EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中：

ィ1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.

ィ2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？求出相应S的取值范围.

解 探究1ィ1）作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，连结BE，因为∠ABC=90°,所以∠MEN=90°. 因为AB=BC，CE=EA，所以BE为∠ABC的平分线，所以EM=EN. ①若点M、P重合，显然EP=EQ. ②若点M、P不重合，因为∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以Rt△EMP≌Rt△ENQ. 所以EP=EQ. ィ2）作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，因为∠ABC=90°，所以EM∥BC，所以△EMP∽△ENQ,所以EMBC=AEAC=13. 同理ENAB=23. 因为AB=BC，所以EMEN=12. ①若点M、P重合，显然EPEQ=EMEN=12. ②若点M、P不重合，因为∠MEP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以△EMP∽△ENQ,所以EPEQ=EMEN=12. 综上，EPEQ=12. (3)由上可得EPEQ=1m,设EF=x，则DE=AC=3x,当E在边AC上由C向A移动时，要确保EF与BC有交点Q，EQ最大时，EQ⊥BC，此时EQ=EF=x,EC=2x,EA=AC-EC=3x-2x,所以此时m=CEEA=2x3x-2x=6+2,故0

ヌ骄2ィ1）设EQ=x，则S△EPQ=12EP•EQ=14EQ2=14x2,其中102≤x≤103.故如图36，当x=EN=102cm时，S△EPQ取得最小值50cm2;如图35，当x=EF=103cm时，S△EPQ取得最大值75cm2.

ィ2）如图35，当x=EB=510cm时，S△EPQ=62.5cm2；故当50

S=50时图34 S=62.5时图35 S=75时图36

评注 本题以学生熟悉的三角板为背景，通过学生观察、动手操作、猜想、验证等数学活动过程，激发了学生的学习兴趣，此题的关键是将所求问题转化为动点Q在BC上时EQ的最值问题，渗透了化归、分类、数形结合、特殊化诸多数学思想方法，全面考查了学生的空间想象能力，几何变换，探索问题和解决问题的能力.

盘点初中数学中的最值问题 篇4

一、两点的所有连线中, 线段最短, 即两点之间线段最短

由这个结论我们还可以得到三角形三边的关系:三角形的任意两边之和大于第三边。利用它求最值问题往往和对称、平移联系在一起。

例1如图1, 在燃气管道L旁有两个镇A和B, 要在管道上修一个泵站往两个镇供气, 问泵站修在哪里可使所用的输气管线最短?

解:如图2, 作A关于直线L的对称点A′, 连接BA′与直线L交于点C, 点C为所求泵站位置。

例2如图3, 一长方体盒子, 长宽高分别为a、b、c, 一只蚂蚁在顶点A处, 要爬到顶点G处, 它爬行的最短距离为多少?

解:如图4, 把长方体展开, 后面的面和底下的面不画。蚂蚁爬行的最短距离为线段AG的长, 利用勾股定理可求得解。

注:对于求其他可以展开的立体图形 (如棱柱、圆柱、圆锥) 上的最短距离, 方法和这个基本相同。

二、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短

例3如图5, 小明和妈妈在矩形花园里玩, 小明沿着BCDB的路线跑, 妈妈站在A处, 矩形花园的长宽分别为40米和30米。问小明离妈妈的最短距离是多少?

∴小明离妈妈的最短距离是24米。

三、二次三项式求最值

二次三项式求最值的方法就是把二次三项式配方, 化成一个完全平方式与一个常数和的形式, 利用完全平方的非负性来求最值。如:2x2+4x-3=2 (x2+2x-3/2) =2 (x+1) 2-5≥0-5=-5, 所以该二次三项式有最小值-5。而-2x2+4x-3=-2 (x+1) 2-1≤0-1=-1, 所以该二次三项式有最大值-1。

四、利用根的判别式求最值

例4如图6, ⊙O的直径AB=2, AD、CD、BC是⊙O的切线, 若AD=x, BC=y, 求四边形ABCD的最小面积。

解:设四边形ABCD的面积为S, 如图6, 过D作DE⊥BC于点E。由切线和切线长定理可知:四边形ABCD是矩形, EC=y-x, CD=x+y, 而DE=2,

∴四边形ABCD的最小面积为2。

五、利用函数求最值

利用函数求最值时, 一般是先根据题意建立一个函数模型, 再确定出自变量的取值范围, 根据函数的增减性来求最值。

1. 用反比例函数求最值

例5一个工人一天能编3至5个箩筐, 某工厂每天要生产这种箩筐150个, 问该工厂应该聘请多少名工人?

解:设应聘请y名工人, 每名工人每天生产x个箩筐, 则当x=3时, y=50;当x=5时, y=30。

所以, 至少聘请30人, 最多聘请50人。

2. 用一次函数求最值

例6 2008年地震后, 甲地需饮用水240吨, 乙地需饮用水260吨, 现在A厂有瓶装饮用水200吨, B厂有瓶装饮用水300吨, 要把这些饮用水全部赠送给甲乙两地。从A厂往甲、乙两地运饮用水的费用分别为每吨20元和25元;从B厂往甲、乙两地运饮用水的运费分别为每吨15元和24元, 怎样调送可使总运费最少?

解:设总运费为y元, A厂运往甲地的水为x吨, 则运往乙地的水为 (200-x) 吨;B厂运往甲乙两地的水分别为 (240-x) 吨和[300- (240-x) ]= (60+x) 吨, 则y=20x+25 (200-x) +15 (240-x) +24 (60+x) , 即:y=4x+10 040。

这里A厂运往乙地的水200-x≥0, x≤200即0≤x≤200。

二次函数的最值问题 篇5

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

直线与圆中的最值问题例说 篇6

【关键词】直线与圆最值问题

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1674-4772(2014)06-112-01

直线与圆的最值问题在高考中频频出现，本文试以一些题目为例，探析此类问题的几种类型。

1.两点之间的距离最值问题

例1 已知：x、y满足x+3y-10=0,则x2+y2的最小值为？

（法一）解：因为x=-3y+10,则x2+y2=(-3y+10)2+y2=10(y-3)2+10

所以当y=3时，(x2+y2)min为10.

通过消元法可将多元的最值问题题转化为熟悉的一元最值问题。

（法二）解：x+3y-10=0表示的为一条直线L， x2+y2表示直线上动点到原点的距离的平方，过O作OA⊥L,设B为直线上任一点，则OA

法二为数形结合法，涉及将数量关系的问题转化成图形性质或利用图形性质的问题。通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。笔者认为，数形结合法是解决最值问题的好方法。

例2.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值是？

解：因为x2+y2+4x-2y-4=0，即(x+2)2+(y-1)2

=9，是以（-2，1）为圆心，半径为3的圆；x2+y2

表示圆上动点到原点的距离的平方，

OA=■,OB≤OA+AB,当且仅当O,A,B

三点共线时，等号成立。故OB=3+■,所以

(x2+y2)max=14+6■.

变式：条件不变，求x2+y2的最小值.

解：OB≥AB-OA,当且仅当O,A,B三点共线时，等号成立。故OB=3-■,所以(x2+y2)min=14-6■.

例3.已知点P在C1：x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在C2：x2+y2+4x+2y-1=0上，则PQ的最小值为？

解：两圆圆心为（4，2）和（-2，-1），圆心距d=■=3■＞3+■，

所以两圆外离。连接C1C2，与圆C1的交点为P,与圆C2的交点为Q，此时PQ最小，PQmin=3■-3-■.

形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为圆上动点到定点距离平方的最值问题。

2.点到直线的距离最值问题

例4. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离分别为？

解:圆的圆心为(2，2)，半径为3■，圆心到直线x+y-14=0的距离为d=■=2■>3■，所以直线与圆相离。圆上的点到直线的最大距离为d+r=2■+3■,圆上的点到直线的最小距离为d-r=2■-3■.

3.斜率问题

例5. 过点A（1，■）的直线l将圆C(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，求直线l的斜率k.

解 由图形可知点A（1，■）在圆C(x－2)2＋y2＝4的内部, 圆心为C(2,0)。作CN⊥l.在圆中有这样一个性质：弦越小，弦所对的圆心角越小。因为弦长BM=2■，即BM=2■，要使弦BM最小，即使CN最大。因为CN≤CA,所以CN最大就是CA,此时直线l⊥CA,所以kl=-■=-■=■.

例6.如果X，Y满足(x-2)2+y2=3，那么■的最大值和最小值分别是？

解:■=■，因此■的几何意义为圆上一点（x,y）和（0，0）连线的斜率。根据作图，发现当过原点的直线与圆相切时，斜率取到最大值和最小值。设直线y=kx,则d=■=■,故k=±■.所以（■）max=■,（■）min=-■.

形如λ=■形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。

4.面积最值问题

例7.过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程是？

解：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此两交点为直径端点的圆，于是解方程组， 2x+y+4=0

x2+y2+2x-4y+1=0 得到交点A（-■，■），B（-3,2）利用圆的直径式方程得：（x+■）(x+3)+(y-■)(y-2)=0,化简整理得出（x+■）2+(y-■)2=■.

圆锥曲线中的最值问题 篇7

下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。

问题1如图1, 如何在直线l上求一点P, 使│PA│+│PB│最小。

问题2如图2, 如何在直线l上求一点P, 使│PA│-│PB│最大。

学生1:对于问题1, 只要过A作关于l的对称点A', 再连结BA'交直线l于P点, 即为所求。因为两点之间线段最短。

对于问题2, 只要连结AB并延长交直线l于P点, 即为所求。因为三角形任意两边之差小于第三边。

教师:看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、距离之差最大对我们来说很容易, 现在看下面的问题。

问题3若A (3, 2) , F为抛物线y2=2x的焦点, 在抛物线上找一点P, 使│PA│+│PF│最小及取得最小值时P点的坐标。

学生2:过A点作抛物线y2=2x的准线l的垂线AD交抛物线于P点, 此时│PA│+│PF│=│PA│+│PD│, 就是最小的。因为点到直线的所有线中, 只有点到直线的距离最短。

教师:与问题1比较, 你发现了什么?

学生3: (3分钟后) 我认为问题3与问题1的本质是一样的, 都是在线 (直线和曲线) 找一点到两个定点的距离之和最小, 并且解决的方法也一样, 问题3中的D点就“好比”是F点关于抛物线 (曲线) 的“对称”点。如果我们把问题1中的直线想象成是拉直的曲线, 那问题1不就是问题3的特殊情况吗?问题3不就是问题1的推广吗? (全班给予热烈的掌声)

变式问题:已知A (3, 2) , F (2, 0) , 在双曲线上求一点P, 使其的值最小。

学生4:与问题3的解题思路完全一样, 只不过, 此处要利用双曲线的定义来作“对称”。 (后略)

问题4如图4, 已知双曲线, F1是左焦点, A (-3, -1) , 在双曲线上求一点P, 使│PA│+│PF1│的值最小。

(2分钟后) 学生5:此题应作出双曲线的右焦点, 连结AF2交双曲线于P点, 即为所求。因为由双曲线定义知, │PF2│-│PF1│=2×2, 即│PF1│=│PF2│-4, │PA│+│PF1│=│PA│+│PF2│-4=│AF2│-4, 此题是利用双曲线定义作的F1关于双曲线的“对称点”F2, 转化成问题1的形式来求解的。

教师:你分析得很好!请大家课后去解答完。下面谁来谈谈解决这类问题的收获?

学生6:老师, 我觉得还有一点没有考虑到, 对于问题1, 如果A、B两点在直线l的两侧, 就用不着作对称, 而直接连接AB交直线l于P就行了。同样对于问题3中的A、F和问题4中的A、F1也是一样的, 如果它们在曲线的同侧, 就用不着那么做了。

学生7: (连忙站起来) 看来我们首先应判断这两点是否在曲线的两侧, 而其中有一个点必是焦点, 也就是说要判断另外那个点是否在曲线内就行了。

教师:刚才两位同学都说得很好, 对我们讨论的问题进行了补充, 希望同学们也要有这种严谨的学习态度。谁再来谈收获。

学生8:我认为在曲线 (包括直线) 上找一点到两个定点 (这两个定点在曲线的同侧) 的距离之和最大的问题, 一般说来可以作出其中一点关于曲线的“对称点”, 对于曲线来说, 是广义上的对称, 是利用曲线的定义 (第一和第二定义) 来作对称的。

教师:非常好!我已无话可说了。请大家给予热烈的掌声。

问题5如图5, 在椭圆上找一点P, 使它到F2 (4, 0) 和A (2, 2) 的距离之和最大。

(5分钟后) 学生9:此题应属于问题2的类型, 因为是求曲线上一点到两个定点的距离之和最大, 故应连结AF1交椭圆于点P, 即为所求。这样就把和最大的问题转化为差最大的问题了。即│PA│+│PF2│=│PA│+2a-│PF1│, 而只有当P、A、F1三点在同一直线上时, 才最大。

教师:好!把未知的问题转化为我们熟知的问题来解决, 这是我们解决数学问题常用的思想方法。哪位同学来把这类问题小结一下? (下面有很多同学都跃跃欲试, 我抽了一位平时数学成绩一般的学生)

学生10:我认为在曲线 (包括直线) 上找一点到两个定点 (这两点在曲线的同侧) 的距离之差最大的问题, 就是连结这两点并延长和曲线的交点, 如果不是差最大, 而是和最大, 就应转化为差最大来解, 其转化就要用到圆锥曲线的相关定义。

教师:同学10的小结很好, 看来只要抓住了“本质”, 就能以不变应万变!这节课的收获不小, 为我们的成功而鼓掌!

探析圆锥曲线中的最值问题 篇8

高中数学的圆锥曲线部分是新课程要求的选修内容之一, 是数学思维能力培养的重要章节, 它是数形结合思想与函数思想, 方程思想的辨证的统一.下面例析在解析几何中, 解圆锥曲线的题时常遇到的最值问题的求法.

一、圆锥曲线定义中的最值问题的求法

引题:已知$A(-2‚\sqrt{3})$, 设F为椭圆$\frac{x{}^2}{16}+\frac{y{}^2}{12}=1$的右焦点, M为椭圆上一动点, 求|AM|+2|MF|的最小值, 并求此时M点的坐标.

分析:由于$a=4‚b=2\sqrt{3}$得到c=2, 从而离心率为e=1/2.所以$2|{\rm M}F|=\frac{1}{e}|{\rm M}F|$, 由圆锥曲线的统一定义知, 它就是M到对应的准线的距离.结合椭圆的图形特征, 就非常容易地求出结论.

$\begin{array}{l}\text{归}\text{类}\text{题}:\text{在}\text{曲}\text{线}\text{上}\text{求}\text{点}{\rm M}‚\text{使}|{\rm M}A|+\\ \frac{1}{e}|{\rm M}F|\end{array}$

最小, 其中A是曲线内部的一点, F是曲线的一焦点, 而e则是曲线的离心率.

求解这类问题, 如果按照常规思路, 通过建立动点坐标M (x, y) 的目标函数, 运用函数法确定函数的极值, 很难奏效.而根据圆锥曲线的统一定义, 将其转化为:在曲线上求一点M, 使其到A和焦点F相对应的准线的距离最小.再结合图形特征, 则可顺利地打破解题的格局, 出现柳暗花明的奇观.

例1 已知双曲线$\frac{x{}^2}{9}-\frac{y{}^2}{16}=1$的右焦点为F, 点A (9, 2) , 试在双曲线上求一点M, 使5|MA|+3|MF|的值最小, 并求这个最小值.

解:因为a=3, b=4, 所以$c=5‚e=\frac{5}{3}.$

又由图形知, 点 (9, 2) 必在双曲线的内部.而双曲线的右准线l的方程为:$x=\frac{9}{5}$.过M点作MN⊥l于N, 则由双曲线的第二定义得:

5|MA|+3|MF|=5 (|MA|+3/5|MF|) =5 (|MA|+|MN|) .根据图形知:当且仅当A、M、N三点在同一条直线上时, |MA|+|MN|最小, 从而5|MA|+3|MF|也最小.将y=2代入双曲线的方程得$x=\frac{3}{2\sqrt{3}}(x=-\frac{3}{2\sqrt{3}}$舍去) .

所以当M点坐标为$(\frac{3}{2\sqrt{3}}‚2)$时,

5|MA|+3|MF|取得最小值,

$5|A{\rm N}|=5(9-\frac{9}{5})=36.$

因此, 部分数学题解题的核心是转化, 上题主要是设法将曲线上的点到焦点的距离转化为该点到相对应的准线, 而圆锥曲线的统一定义则是实现这一转化的有力武器.它给我们如下启示:定义不仅仅是推证公式、定理的依据, 而且也是打开解题之门的金钥匙.因此, 必须重视定义的学习, 增强用定义解题的意识, 提高用定义解题的能力.

二、利用轨迹思想求取值范围

数学中经常涉及到确定变量或参变量的取值范围, 它的解法也百花齐放, 运用轨迹法是解决这类问题的一种特殊的方法.轨迹法是根据题目设特征, 首先探明问题中有关变量所对应的动点的轨迹, 然后借助直观图形所提供的信息或轨迹方程中变量的制约关系来解决问题的一种方法.它具有直观形象、简便易行的特点.许多看来与轨迹无关的取值范围的问题, 只要我们从中充分挖掘出潜在的几何意义, 建立起与之相联系的轨迹方程, 往往能够拓宽解题思路, 优化解题的过程, 提高解题的质量.

例2 已知椭圆C的长轴平行于x轴, 离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}‚C$恒过定点Q (1, 0) , 一条准线x+2=0, 求椭圆C长轴长的取值范围.

解:设椭圆的左焦点为F, 显然直线l:x+2=0为椭圆的左准线, 设l交x轴于K, 过F作l的准线FH, 垂足为H.

由椭圆的第二定义, 得:$|QF|/|Q{\rm K}|=\frac{\sqrt{2}}{2}\to |QF|=\frac{\sqrt{2}}{2},|Q{\rm K}|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.所以点F的轨迹是以Q为圆心, $\frac{3\sqrt{2}}{2}$为半径的圆.易得

$|Q{\rm K}|-\frac{3\sqrt{2}}{2}-c\le |F{\rm H}|\le |Q{\rm K}|+\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

因为$|F{\rm H}|=\frac{a{}^2}{c}-c=\frac{a{}^2-c{}^2}{c}$, 由$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\to c=\frac{\sqrt{2}}{2a}.$

所以$|F{\rm H}|=[a{}^2-(\frac{\sqrt{2}}{2}){}^2]/\frac{\sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2a}.$

又|QK|=3, 所以$3-\frac{3\sqrt{2}}{2}\le \frac{\sqrt{2}}{2}a\le 3+\frac{3\sqrt{2}}{2}$, 则$6(\sqrt{2}-1)\le 2a\le 6(\sqrt{2}+1)$, 则椭圆长轴长的取值范围是$[6(\sqrt{2}-1),6(\sqrt{2}+1)].$

通过这一题的解法, 我们发现借助于圆锥曲线的轨迹方法, 把本来较为辣手的题目转化为比较容易接受的解法.也就是如果直接从椭圆长轴长2a的取值范围, 很难下手, 根据2a与椭圆的焦点参数|FH|的联系, 借助焦点F的轨迹实现了问题的转化, 收到了出奇制胜的效果.

在圆锥曲线中求最值问题, 主要从以下几方面考虑.

(1) 掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法仍然是建立目标函数, 利用函数的性质或不等式的性质以及通过设参、换元等途径来解决.

(2) 解析几何是研究“形”的科学, 因此, 在求圆锥曲线的最值问题时要善于结合图形, 通过数形结合将抽象的问题、繁杂的问题化归为动态的形的问题, 从而使问题顺利解决.

(3) 有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决.

江苏省姜堰市溱潼中学

高中数学中的最值问题 篇9

通过几年的教学实践发现, 学生对解决此问题颇感困难, 有时竞无从下手。下面就介绍一种用定位思想解决最值问题的方法。所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。

例1如图1, 正三棱锥底面边长为a, 则棱长为2 a, 过底面一边作与相对侧棱相交的截面, 求截面周长的最小值。

[分析]将侧面展开, A、B两点连线为AM+BM的最小值, 从而可求截面周长的最小值。

解:如图2, 由已知, 在ΔAPC中

则截面周长最小值为

例二二面角a-a-β的平面角为120o在α内AB⊥a于B, AB=2, 在β内CD⊥a, CD=3, BD=1, M是棱a上的动点, 求AM+CM的最小值。

[分析]将二面角的两半平面展开成一平面, A, C两点的连线长为AM+CM的最小值。

解:AH//BD交CD延长线于H。AH=BD=1, AH=AB+CD=5,

则故的最小值为

例3, 如图3, △ABC在平面内a内, ∠A=6cm, PC⊥平面a, PC=4cm, K是AB边上的动点, 求面积最小值。

[分析]由已知, 无论K在何处为直角三角形, 面积为1/2, PC·PK, 而PC为定值, 面积最值取决于CK的最值。

解:作CK⊥AB, 连接PK, 此时CK为最小。

例4如图4, 点求A到平面PBC距离的最大值。

[分析]作PM⊥BC连AM, 且为定值,

当。

解:作PM⊥BC, 连AM, ∴BC⊥面PAM, 则面PAM⊥PBC, 作AH⊥PM, AH为所求。

在RiΔPBM中, 可知, 当PA=AM时, AH取最大值, 此时, AH=PM/2, 则

例5AB=2R为圆周的直径, , 二面角A-PB-C为何值时, 三棱锥P-AEF的体积V最大?值为?

[分析]如图7, 由已知得, AE⊥PB, EF⊥PB, ∠AEF=A, PE⊥面AEF, 而且VP-AEF=1/3⋅PE⋅SΔAEF, 而AE为定值, ΔAEF为RiΔ, 且斜边AE为定值, 可知ΔAEF为等腰三角形时面积最大。

由已知

综上数例所述, 不难看出, 立体几何中的最值问题, 主要是通过对具体图形的观察分析, 准确确定取得最值的位置, 而其解题判定的准确与否, 取决于学生对基础知识, 基本技能的掌握熟练程度。这些恰是中学数学素质教育的标志。用抽象的理论知识服务于实践, 则是数学教学的目的。提倡用定位思想解决问题, 就是要避免走弯路, 从而使复杂的问题简单化、直观化、最终使问题快捷、稳妥地获得解决。

摘要：用数学的观点和方法来解决以最少的耗费来创造最佳的经济效益问题, 就不可避免地涉及到最值问题, 在立体几何数学中的一种用定位思想解决最值问题的方法, 所谓“定位思想”就是从问题的最终要求来选择合理的解题途径, 有意识地绕开不适当的思维方式的一种思维定势。在立体几何中, 就是通过对图形的观察分析, 确定取得最值的位置, 然后再求出最值。

高中数学中的最值问题 篇10

椭圆中的这些最值问题, 往往可通过回归定义, 结合几何知识, 建立目标函数, 利用函数的性质或不等式知识, 以及观形、设参、转化、代换等途径来解决。

一、椭圆中的常用最值结论

设F1, F2为椭圆的左右焦点, P为椭圆上任意一点, B为短轴的顶点, 则有下面的结论成立:

1、椭圆中过中心的最长弦为长轴长2a, 最短弦为短轴长2b;

2、椭圆中最长的焦点弦为长轴长2a, 最短的焦点弦为通径;

3、椭圆中最长的焦半径为a+c, 最短的焦半径为a-c;

4、椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2的最大值为∠F1BF2, 且S△F1PF2的最大值为bc

二、几何法

若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形的性质来解决。

例1已知点P (1, 2) , F为椭圆的右焦点, 点Q在椭圆上移动, 则的最小值为_______

分析:注意到式中的数值“2”恰为, 则由椭圆第二定义, 即转化为椭圆上的点Q到右准线的距离, 结合平面几何的性质问题就迎刃而解了。

解析:由椭圆方程可知椭圆右准线l:x=8

如图:过点Q作QQ′垂直于直线l于点Q′

由几何性质易知, 当P、Q、Q′在同一条直线上时, 才取得最小值, 此时, 最小值为8-1=7

例2:已知椭圆内有一点A (2, 1) , F为椭圆的左焦点, P是椭圆上一动点, 求的最大值与最小值。

解析:设椭圆的右焦点为F′且F′ (3, 0)

可知, 当P为AF′的延长线与椭圆的交点时, 最大, 最大值为, 当P为AF′的延长线与椭圆的交点时, 最小, 最小值为。故的最大值为, 最小值为

点评:以上两列解决了形如:的最值问题。事实上, 在椭圆中凡涉及到焦点、准线、离心率的问题时, 灵活地利用椭圆的定义, 再结合平面图形的几何性质, 往往能起到化繁为简、柳暗花明的作用。

例3:E、F是椭圆的左右焦点, P是椭圆右准线l上一动点, 求∠EPF的最大值。

解析:如图, 因为当过E、F、P三点的圆与准线l相切时, ∠EPF最大。设以点O1 (0, m) 为圆心, 以为半径的圆O1与直线l相切于点p, 则∠EPF为所求的最大角。联立x2+ (y-m) 2=2+m2与x=2,

由余弦定理可得∠EPF=30°即为所求

三、代数法

若题目的条件和结论难体现一种明确的函数关系, 则可建立起目标函数求其最值。

例4:设实数x、y满足, 求3x+4y的最大值和最小值.

解析1: (三角换元法) 由已知条件联想到三角中的同角平方关系sin2α+cos2α=1。设x=4cosθ, y=3sinθ, θ∈[0, 2π], 则

解析2: (判别式法) 利用直线与椭圆相切时, 截距取最值.

设3x+4y=t, 再代入方程9x2+16y2=144, 整理得18x2-6tx+t2-144=0

由判别式△= (-6t) 2-4×18 (t2-144) =0, 解得t=±

点评:一般地, 对于椭圆上一动点到定直线或定点的距离最值问题, 都是比较有效的方法。比如, 上式条件不变, 将“3x+4y”换成“”求其范围, 就可以看成椭圆一动点 (x, y) 与定点 (3, 4) 连线的斜率问题, 从而转化为三角函数或直线与椭圆相切来处理。

例5:已知椭圆C:的离心率为, 短轴一个端点到右焦点的距离为。 (1) 求椭圆C的方程;

(2) 设直线l与椭圆C交于A、B两点, 坐标原点O到直线l的距离为, 求△AOB面积的最大值.

解析: (1) 设椭圆的半焦距为c, 依题意

所求椭圆方程为

(2) 设A (x1, y1) , B (x1, y2) (1) 当AB⊥x轴时;

(2) 当AB与X轴不垂直时, 设直线AB的方程为y=kx+m

侧面展开图的最值问题 篇11

一、与路径有关的最值问题

例1在圆柱形的玻璃杯外侧面，有一只蚂蚁要从[A]点到杯内侧面的[B]点去吃食物. 已知[A]点沿母线到杯口[C]的距离是5cm，[B]点沿母线到杯口[D]的距离是3cm，而[C、D]两点之间的杯口弧长是6cm，如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路线长是多少？

解析化曲为直，设想把杯子沿侧壁展开，由于蚂蚁得先爬至杯口，再翻过杯沿折向食物[B]，所以问题转化为在线段[CD]上求一点[M]，使[AM+MB]为最小. 可先作[B]关于直线[CD]的对称点[E]，连接[AE]交[CD与M]，这时蚂蚁先沿[AM]爬至杯口[M]点，在翻过杯沿，沿[MB至B]点，路程最短. 显然，[AM+MB=AE]，容易求得[AE=10cm，]即蚂蚁爬行的最短路程是10cm.

点拨 几何体表面行走的最短路径问题，常常通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.

例2在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，各个侧面都是矩形，[E]、[F]分别为[AA1]、[C1B1]的中点，[AB=BC=2]，[BB1=2]，[∠ABC=90∘]，沿棱柱的表面从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是多少?

解析[∵][AB=BC=2]，[∠ABC=90∘]，

[∴AC=2]，所以侧面展开后如图1所示，

[A1E=12AA1=1]，[A1F=A1B1+B1F=322]，

所以[EF=A1E2+A1F2=222]．

[图1][图2][图3]

若把△[A1B1C1]与面[A1B1BA]展开如图2所示，

连接[EF]，过[E]作[EM⊥B1B]于[M]点，则[EM=AB=2]，[FM=1+22]，所以[EF=72+2.]

若把△[A1B1C1]与面[A1ACC1]展开如图3所示，连接[EF]，过[E]作[EM⊥C1C]于[M]点，作[FD⊥EM]于[D]点，则[ED=32]，[FD=32]，所以[EF=322,]

[∴]从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是[322]．

点拨 例2是例1的简单变形题，先需要把每一种展开方式找到，然后再通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.

二、与线段长有关的最值问题

例3已知三棱锥[V-ABC]的三条侧棱两两成[40°]角，每条侧棱长都为[23]，[E、F]分别为[VB、VC]上的点，求[△AEF]的周长的最小值．

解析 先将三棱锥沿侧棱[VA]剪开，平铺得到侧面展开图，如图，则[AA1]为所求[△AEF]的周长最小值，取[AA1]的中点[D]，连接[VD]，则[VD⊥AA1]，[∠AVD=60°]，在Rt△[VAD]中[AD=VA⋅sin60°][=3]，[∴AA1=2AD=6]，即[△AEF]周长最小值为6.

点拨 将棱锥展成平面图形，是将空间问题化归到平面问题的一种重要思想方法，运用这一方法可以解决截面周长最小问题，棱锥侧面积等与平面图形相关的问题.

变式探索: 如图，在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，每个侧面都是矩形，底面为直角三角形，[∠ACB=90∘]，[AC=6]，[BC=CC1=2]，[P]是[BC1]上一动点，求[CP+PA1]的最小值.

解析化“折”为直，将△[BCC1]沿[BC1]线折到面[A1C1B]上，连接[A1C]，则此时[A1C]即为[CP+PA1]的最小值，将图形展开后由题意可以得到[∠A1C1B=90∘,][∵∠BC1C=45∘∴∠A1C1C=135∘]，如图，由余弦定理可得[A1C=52]，即[CP+PA1]的最小值为[52].

点拨 求有公共点的线段之和的最小时，可以将这两条线段转化到同一平面，利用三点共线时和最小来解决最值问题.

三、与面积有关的最值问题

例4 用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品完全包住，不得将纸撕开，则所用纸的最小面积是多少?

分析 类比日常生活中的包装盒，可以先把正方体的表面展开成平面图形，再把平面图形尽可能的凑成面积最小的正方形，如图所示，选用一边长为[22]的正方形纸，其面积是8.

点拨本题是在表面积一定的情况下来选择包装纸，既要满足够用，同时也要满足剩余多，所以一定要尽可能的凑成面积最小的正方形.

例5 若一个圆锥的侧面展开图是一个周长为2cm的扇形，则此圆锥侧面积的最大值是多少？

解析 设侧面展开图的半径为[R]，则弧长为[2-2R]，侧面积为[S]，那么

[S=12(2-2R)R]=[(1-R)R]=[-R2+R]

=[-(R2-R+14)]+[14]

=[-(R-12)2+14,]

[∴]当[R]=[12]时，[S]有最大值[14.]

点拨建立函数法是侧面展开图的一种常用方法，很多情况下，我们都是将这类问题转化为目标函数，最终利用代数方法来求目标函数的最值.

四、与体积有关的最值问题

例6 能否将宽为2、长为6.1的长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形（如图所示），然后折成一个无盖的长方体盒子使其体积为4？

解析若能符合题意，则可得方程

[x(6.1-2x)(2-2x)=4]，

即[x(3.05-x)(1-x)=1(0＜x＜1).]

令[x=sin2θ]，原式可化为

[sin2θcos2θ(3.05-sin2θ)=1]，

即[(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)=16.]

又[∵][0≤1-cos4θ≤2,4.1≤5.1+cos2θ≤6.1,]

所以[0≤(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)＜16]，

故方程[4=x(6.1-2x)(2-2x)]无解.

因此，不能将长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形，折成一个无盖的盒子使其体积为4.

点拨本题采用的是建立函数法，函数最值问题解题途径很多，这里选用的是换元法，在使用换元法时一定要注意所换元的范围.

例7有一块半径为[a]的圆形铁皮，将它卷成一个无底的圆锥形容器，怎样裁剪，做出的容器容积最大？

解析 圆锥侧面展开图是扇形，因此，需将这块圆形铁皮剪成一个扇形，可以以圆形铁皮的圆心为扇形顶点剪去一个小扇形，接下来的问题可以转化成剪去多大一块小扇形，可以使卷成的圆锥形容器容积最大.

设剪去的小扇形的圆心角为[θ]，卷成的圆锥形容器底面半径为[r]，则高为[a2-r2]，另设容积为[V]，则

[V]=[13πr2a2-r2]=[13πr2⋅r2(a2-r2)]

=[13π12r2⋅r2(2a2-2r2)]

≤[13π12[r2+r2+(2a2-2r2)3]3]=[2327πa3]，

当且仅当[r2=2a2-2r2]，即[r]=[63][a]时取等号，

[∴][Vmax]=[2327πa3]，

此时[2π-θ]=[2πra=263π]，

∴[θ=2π-][263π]≈66°.

即剪去一个圆心角约为66°的扇形后卷成的圆锥形容器容积最大，最大容积为[2327π a3].

点拨解不等式是求最值问题的常用方法，在立体几何中同样也可以利用不等式的性质和一些变量的特殊关系来求解，如[a2+b2]≥[2ab]等，这里所采用的是基本不等式推广形式的变形.

[【练习】]

1. 圆台的上底半径为2cm，下底的半径为4cm，母线长为6cm，求轴截面相对顶点在圆台侧面上的最短距离.

2. 已知三棱锥[S]—[ABC]的侧棱长都为[a]，各侧面的顶角为[30°]，[D]为侧棱[SC]的中点，[E]、[F]分别在侧棱[SA]和[SB]上，当△[DEF]周长最小时，求截得的三棱锥[S]—[DEF]的侧面积

3. 已知三棱柱[ABC-A1B1C1]的各个侧面都是矩形，各棱长均为2，[M]为[AA1]的中点，[N]为[BC]的中点，则在棱柱表面上从点[M]到点[N]的最短距离是多少？

4.圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线[AB=18]，从[AB]的中点[M]拉一条绳子绕圆台侧面转到[A]点.

（1）求绳子的最短长度.

（2）求绳子最短时上底面圆周上的点到绳子的最短距离.

5.一个三棱锥[A-BCD]，底面边长均为[a]，侧棱长均为[2a]，过[B]作一个与侧棱[AC，AD]相交的截面，求截面三角形周长的最小值.

6.圆柱轴截面的周长[L]为定值，求圆柱侧面积的最大值.

[【参考答案】]

1. [63cm]2. [a28]3. [4+3]

4. （1）21（2）[603-427]