高中数学中的变式教学（精选12篇）
高中数学中的变式教学 篇1
在教学活动过程中进行变式训练, 让学生在学习过程中学会求同存异, 触类旁通, 无疑是数学素质教育中的关键点所在, 本文将就此进行探讨.
一、何谓变式训练
数学解题可以分为三种类型:解标准题, 解变式题, 解探究题.标准题来源于课本里的基本知识, 能够解标准题是学生学习数学的基本要求.而变式题则是夹在标准题与探究题之间的一种题型, 它实现了从数学基本知识的学习向探究活动的过渡.
【例1】有四个相同的球, 要放进三个相同的盒子里, 有几种方法?
【例2】有四个不同的球, 要放进三个相同的盒子里, 有几种不同的方法?
分析:这是数学排列组合中常见的题目, 看着相似, 但是运用的方法却完全不同.第一道题直接运用插空法就可以解决;第二道题需要分组之后再排列.如果混淆了, 就会使解题过程混乱繁琐, 算不出正确答案;第三道题实质上就是第一道题的另一种问法, 只是题目变化了.
二、变式训练的意义
变式训练就是要求学生能够探究问题的实质, 能够运用自己所学的数学知识灵活解题.它旨在培养学生迁移、发散知识的能力.变式训练又分为难、中、易三种类型, 可以让优、中、差三类学生各有所得, 在分析问题的过程中找到乐趣, 激发学生学习数学的热情, 实践新课标倡导的教学理念.
三、教师在解题教学中如何对学生进行有效的变式 训练
变式题主要是对熟悉的标准题就内容和形式作变换, 在标准题的基础上加上干扰因素.学生只要在研究变式训练时逐步摆脱干扰因素的困扰, 分析挖掘问题的本质, 把它归入标准题型的分支里, 转化为标准题型的模式求解即可.其中干扰因素主要有三个方面.
1.本质不变, 表述改变
就如前面所举的例1和例3, 虽然例3换了一种表述, 但是题目的本质还是没有变化, 只要运用插空法求解就可以了.这类变式的解题技巧就是要求学生在分析过程中把题目还原成简单的数学模型, 省略掉那些花架子, 然后套用标准解题模式求解即可.
2.题设不变, 问题改变
考试的时候学生会遇到一些“似曾相识”的题目, 这些题目往往是学生本人见过的题目, 但是问法却不一样.例如:画出函数的图像, 并根据图像说出函数的单调区间, 以及在各单调区间上函数是增函数还是减函数. (高中《数学》必修 (1) 习题1.3A组第1题)
变式1:求函数在区间[-3, 5]上的最值.
变式2:求函数单调区间.
这类变式常常被称作一题多问, 能够让学生从方方面面探究同一道题目, 它的立足点是对题目深度的考查.
3.题设改变, 问题也变
四、在变式训练过程中, 教师需要把握的原则
1.针对性原则
数学变式训练教学中常常要把握两个目的, 有针对性地进行变式训练.第一个目的是针对本节课的书本内容, 讲究学生对课本概念的理解;第二个目的是着眼于本章节的内容, 对本章节的主要习题进行变式训练.
2.适用性原则
在选择相应课本习题进行变式训练时, 教师要把握变式训练的“度”, 立足于学生的接受能力和教师自己的教学目标, 适当进行变式, 不宜过难, 也不能太简单.
3.参与性原则
教学包括“教”与“学”两个方面.在教学时, 教师不能自己一味地变题, 而要考虑多与学生进行互动, 让学生参与到训练当中, 体验解题的乐趣.
五、结束语
教师要优化教学设计, 有针对性地找到那些同根同源的数学题, 多搜集一些有层次性的变式题, 一步步引导学生分析、归纳数学题型, 于变化中找到不变, 在不变中思考变的规律.教师在新课标的倡导下多实施变式训练, 将会让学生感受到数学这个万花筒的无限魅力, 重新迸发出探究数学的无限热忱, 为将来的学习打下坚实的基础.
高中数学中的变式教学 篇2
摘要：所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。
关键词：数学课堂；变式训练；方法；思维品质
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）07-0227-01
变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究 “变”的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。
1.变式训练的方法
1.1类比变式。初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。
例如在学习“分式的意义”时，一个分式的值为零是包含两层含义：（1）分式的分子为零，（2）分母不为零。因此，如果仅有“当x为何值时分式 的值为零”，此类简单模仿性的问题，学生对“分子为零且分母不为零”这个条件还是很不清晰的，考虑“分母不为零” 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，通过分子，分母的不同差别，来体现分式的值为0，通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。
1.2模仿变式。数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。
1.3阶梯变式。初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中“变化量”的相互关系中，帮助学生总结数学规律。
1.4拓展变式。数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的“改装”或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。
1.5背景变式。在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。
2.利用变式训练培养学生良好的思维品质
众所周知，发展智力，培养能力的关键是培养学生良好的思维品质，而运用变式手法恰好是训练和培养学生思维的有效途经。
2.1利用兴趣培养学生思维主动性积极性，在教学中，教师有意识的运用兴趣变式来诱发学生的好奇心，激发他们主动钻研，积极思考，可以克服惰性，培养思维主动积极性。
2.2利用反例变式，培养学生思维的严谨性和批判性。教学时，通过反例变式的训练有意识的设置一些陷阱，去刺激学生让其产生“吃一堑，长一智”。
2.3利用一题多解培养学生思维的灵活性，在教学中教师利用解题过程的变式训练，引导学生善于运用新观点，从多用度去思考问题，用自由联想的方式，使学生广泛建立联系，多用度地认识事物和解决问题，打破那种“自古华山一条路”的思维定势，使他们开动脑筋，串联有关知识，养成灵活的思维习惯。
2.4运用逆向变式培养逆向思维能力。在教学中培养学生的双向思维习惯，这种训练要保持经常性和多样性，逐步优化他们的思维品质。
2.5采用对一题多变和开放性题目的探讨，培养思维的创造性。教学中，在加强双基训练的前提下，运用一题多变和将结论变为开放性的方式来引导学生独立思考，变重复性学习为创造性学习。创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化。实践证明，教学中经常改变例题结论，引导学生自编一些开放性题目，对激发学生兴趣，培养其研究探索能力，发展创造性思维大有益处。
3.进行变式训练需注意
3.1变式教学需要重视知识的基础性。学生的各种能力都是建立在基础知识之上的，基础知识是综合能力的载体，因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该落实与巩固数学课本上的基本概念和理论知识，教师应该引导学生转换角度进行思考，例如复习三角形和特殊的三角形时，应该创设多种练习题，帮助学生掌握概念的内涵与外延，将三角形的概念理解透彻。
3.2变式教学应该重视层次性。初中生由于受到认知水平的影响，一个班级的学生对数学概念的理解水平也存在一定的差异，针对某个知识点进行训练时，应该设置多个问题，从简到难循序渐进地进行训练，这样的习题训练能够帮助认知水平较差的学生更好地理解，帮助认知水平较高的学生巩固记忆。
3.3变式教学应该重视训练的灵活性。数学知识和数学题型是多种多样的，并且条件的变化会引起结论的变化，通过设置不同类型的变式，能够获得不同的效果，一题多变式能够强化学生们对定义、概念的理解，一题多解式能够训练学生的发散思维，培养学生探索新知的能力，因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该重视方式训练的灵活性与多样性。
高中数学中的变式教学 篇3
关键词：高中数学 解题教学 变式训练
数学教学是教育阶段的基础学科，它主要以锻炼学生的逻辑思维能力，形成抽象思维为主要教学任务。高中阶段的数学教学中包含了大量的概念理解和解题训练，其中解题训练要求学生能在一定的时间内掌握相关的解题技巧，培养学生的逻辑思维能力，因此是高中数学教学的重要组成部分。高中数学教师为提高学生的解题能力，通常会设计相关的变式训练教学，一般采用的教学方式是先对题目进行基础讲解，然后根据所得理论题目转换，保证在原有命题的基础上有所延伸，通过这样的变式训练达到提高学生解题技巧的目的，形成解题思维。
一、变式训练的具体概念和重要性
在实际数学题目解题教学中，会把题目分为标准类型、变式类型、探究类型三种解析题目，这三种解析题目是层层递进的关系，并且联系十分的紧密。标准题型是数学基础知识的表现形式，主要考察学生对数学基本知识的掌握情况，变式题型是标准题型的演变和延伸，对变式题型的掌握必须是建立在对数学基本知识和基本概念的深刻理解上，探究题型则是综合了标准题型和变式题型，需要学生对知识掌握有较高的水平，能灵活应用数学知识，并且保证题目中涉及到的知识有整合的能力，换句话说从标准题型到探究题型就是数学基础知识向探究活动过渡。高中的数学变式训练主要是教师对基础题型进行一个延伸或深化，帮助学生提高解决问题和应用知识的能力，培养学生的逻辑思维能力，促进学生全面发展。
通过变式训练，能有效地帮助学生拓宽解题思路。学生们在数学题目解析的过程中，通常会使用到数学公式，要么是直接套用公式，要么对公式进行变形或替代，对题目进行解析，以原有题目为基础，对其进行相应的转换，通过反复研读题目，对题目内在的深层含义进行理解，达到解决问题的目的。通过这样的方式，学生在解题的过程中能深刻的体会到认知到幻化内的不变关联，认识问题的实质。采用变式训练的方法除了能发展学生的解题思路以外，还能提高学生的解题能力。在数学变数训练中，经常可以看到学生面对变换后的题目感觉无从下手，不知道从什么地方开始解题，但是经过教师的引导，学生在反复阅读和分析题目后，能将禁锢的思维打开，将自己的思维模式进行扩散，仔细推敲分析，这个过程其实也是培养学生独立思考问题的习惯，并且在思考问题的过程中，学生的注意力全部被集中，这样不仅提高了教学质量，还提高了教学效率。教师在进行变式训练的时候，要注意关注学生的层次性发展，班级学生的学习水平和接受能力不一样，教师要以此为基础，展开具有层次性的变式训练，保证大部分的学生通过变式训练能提高解题能力。
二、变式训练的具体方法
变式训练中主要使用的转换方法，在原有的题目上设置干扰因素，但是问题的实质性内容并没有发展改变，其中干扰因素主要有三种类型。
1.本质不变，改变表达方式。这一类变式训练，就是对原本题目的深层含义不发生任何的改变，只改变题目中的某些表达方式，让学生误以为这个题目是新接触的题型。
例如，已知两定点A（-6，0）、B（2，0），若动点P（x，y）与点A、B缩成的∠APB恒为直角，求点P的轨迹方程。
变式1：已知两个点A（-6，0）位于直线L1上，B（2，0）位于直线L2上，两条直线互相垂直，求P点的轨迹方程。
变式2：已知A、B两点，分别是（-6，0）、（2，0），P点与A、B分别形成的直线互相垂直，求P点的轨迹方程。
从上述两个变式的例题中可以看出，变式和原例题的知识背景是一样的，但是表述的方式不同，学生解题的过程只要能明白题目的深层含义，抓住重点内容和知识点，困难就迎刃而解了。这种变式练习能帮助学生提高思维能力，实现知识间的统一链接。
2.题设不变，问题改变。这一类型的题目是在问题上进行变式，造成题目训练目的发生改变。
例题：在椭圆x216+y29=25上有一点P，使它与两个焦点的连线相互垂直。
变式1：椭圆x216+y29=25的两个焦点分别是F1和F2两点，点P为椭圆上的懂点，当F1、P、F2三点形成的角为钝角的时候，求点P的横坐标取值范围。
这个题型是以原题目为基础，对题目进行了拓展式的训练，这样能更好的激发学生的发散思维，调动学生学习的积极性，加深学生对知识的印象。但是这类型的题必须以原题型为基础，在此基础上进行衍生变化，这样才能有效的培养学生的探索能力和独立思考问题的能力，提高学生创新能力，培养学生坚强的意志力，全面提高高中数学教学质量。
为了让学生更深刻的理解题意，教师也可以引导学生参与到变式训练中，只要保证问题的本质不发生改变，只改变问题的提问形式，增加解题链条的环节和难度，就能编出新的题型。
3.题设改变，问题改变。
例题：在椭圆x216+y29=25上有一点P，使它与两个焦点的连线相互垂直。
变式：双曲线x216-y29=25上有两个焦点，分别是F1和F2，点P在双曲线上，并且PF1垂直于PF2，求点P到x轴的距离。
以原题型为踏板进行变式训练，以不同的问题、不同的角度提高学生的思维能力，以这样的训练充分挖掘学生的内在潜能，培养学生的独立探究能力和良好的学习习惯，充分地体现新课改的教学理念。
三、变式训练原则
1.针对性原则。在高中数学变式教学中通常有两种变式训练，分别是概念变式训练和习题变式训练。概念变式训练就是以课程的教学目标为基础，进行概念的变化训练。习题变式训练是将课本中的基础内容作为教学的基础，以不同的数学思想和数学办法提升学生的思维能力和解题能力。在高中数学复习变式训练教学中，教师不仅要设计有概念变式训练，还要有习题变式训练，保证课堂教学中渗透的有数学思想和数学方法，能帮助学生横向和纵向共同发展。
2.适用性原则。教师在设计变式训练课程的时候，选择的变式训练习题必须要以教学目标和学生现有的知识水平为基础，在学生能接受的范围内进行变式练习，变式形成的题目不能过难，也不能过于简单，难度要适中，这样才能达到提升学生思维能力的目的。
3.参与性原则。在高中数学变式训练课堂中，教师设计的课程内容要保证学生有良好的积极性和课堂参与度，而不能总是教师在不断的讲题，学生在不断的听题，基本上没有课堂互动，这样不仅无法提高课堂的教学效率，达到变式训练目的，还无法提高学生的思维能力。
四、结束语
高中数学是系统的知识学习，大多数的数学问题是同根同源的，因此教师在设计变式训练教学中，要多收集相关的变式训练题源，在课堂中有渗透适当的变式训练的习题，有计划、有目的、有意识的引导学生在变中发现不变的本质，帮助学生融会贯通，体会学习数学的乐趣。
参考文献：
[1]柏劲松.重视高中数学解题教学中的变式训练[J].学子，2014，（23）：62.
[2]孙凯祯.重视高中数学解题教学中的变式训练[J].新课程，2015，（01）：53.
[3]卓英.重视高中数学解题教学中的变式训练[J].福建基础教育研究，2011，（11）：91-92.
例谈高中数学教学中的变式教学 篇4
“问题”是数学的心脏, 变式教学主要是指对例题、习题进行变通推广, 让学生能从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下重新认识一种教学模式, 变式教学的基本特征表现为多角度理解数学概念和原理, 以及有层次地推进教学.
本人在教学中发现许多学生的数学思维单一, 做习题的方法教条, 缺乏灵活变通, 而习题是训练学生数学思维的资源, 是教师将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技巧传达于学生的载体, 做好习题对学生思维能力的培养.解题能力的提高至关重要, 要达到这一目的, 倡导数学变式教学是一个行之有效的重要手段.
这就要求教师对课本例题进行深入的研究.因此, 我们在例题教学中, 特别要注意对例题的挖掘、引申和改编, 进行变式训练, 一方面拓宽学生的探究能力, 另一方面培养学生的探究发现能力.
下面来看如下变式教学案例:
原题 解方程组
解
由 (1) 式变形可得x=3-2y. (3)
将 (3) 式代入 (2) 式得
y2-4y-5=0.解得y1=-1, y2=5.
将y1=-1, y2=5分别代入 (3) 式得x1=5, x2=-7.
所以, 原方程组的解为
变式1 已知集合A={ (x, y) |x+2y=3}, B={ (x, y) |x2+y2+x-6y=37}, 求A∩B.
变式2 已知直线l1:x+2y-3=0, l2:x2+y2+x-6y-37=0, 求l1与l2的交点坐标.
注 变式1和变式2是由原题改变问题的题型或叙述方式, 使之变为另一类题型, 这样有助于增强学生对例题题型变式的灵活运用, 学生通过对原题条件和结论的理解, 并在理解的基础上作一定的思维发展, 使学生的解题能力和数学思维得到提升和发展.
变式3 直线x+2y-3=0与曲线x2+y2+x+6y-37=0交于P, Q两点 (O为原点) , 求∠POQ.
分析 此题是在原题的基础上增加问题的结论.这里学生不难想到要用斜率公式和到角公式来求解.
解 由原题可知P的坐标为 (5, -1) , Q的坐标为 (-7, 5) , ∴由斜率公式可得
∴直线OP到直线OQ的角为∠POQ,
总结 此题是把解不等式组转化为求直线和曲线的交点问题, 并在原例题的基础上增加了问题的结论, 学生通过对原题的理解, 使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.
变式4 直线x+2y-3=0与曲线x2+y2+x+6y+m=0有交点, 求m的取值范围.
解 ∵直线x+2y-3=0… (1) 与曲线x2+y2+x+6y+m=0, (2) 有交点,
∴由 (1) 式, 得x=3-2y, (3)
则x2=4y2-12y+9. (4)
将 (3) (4) 式代入 (2) 式可得5y2-20y+12+m=0.
又∵Δ= (-20) 2-4×5× (12+m) ≥0, ∴m≤8.
∴m的取值范围是 (-∞, 8].
总括 变式4在原题求不等式解的基础上转变为直线和曲线有交点的问题, 在原题的基础上作一定的发展, 最后转化为二次方程有根的问题, 这样的变试例题能有效地训练学生思维的创造性, 大大地激发了学生的兴趣, 从而培养了学生的创新能力.
通过对原题改变问题的条件或增加问题的结论, 再把结论作一系列的变式, 从而使用不同的方法来解决数学问题, 这种对问题进行多层次的变式构造, 不仅可以使学生对问题解决过程及问题本质的结构有一个清晰的认识, 而且也能有效地帮助学生积累问题解决的经验和提高解决其他问题的能力.
变式教学不仅能培养学生思维的发散性和灵活性, 更能提高学生分析问题的能力, 掌握分析问题的方法, 学会去粗取精、去伪存真、洞察事物本质的本领, 达到举一反三、融会贯通的目的, 使学生在求异思变中创新, 养成良好的创造性思维品质和创造性学习的能力.
运用变式教学能培养学生思维的深刻性.变式教学变换问题的条件和结论, 变换问题的形式, 但不改变问题的本质, 使本质的东西更全面.使学生学习时不只是停留于事物的表象, 而能自觉地从本质看问题, 同时学会比较全面地看问题, 注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质, 在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性, 从而可以更深刻地理解课堂教学的内容.
变式教学能改变“题海”, 变被动思维为主动自觉思维, 形成“趣学”“乐学”的气氛, 让学生成为学习的主人, 减少差生面, 培养学生良好的思维品质, 提升教学效益.
总之, 在数学教学中, 搞好习题教学, 特别是搞好课本习题的变式教学, 不仅能加深学生对基础知识的理解和掌握, 更重要的是在开发学生的智力、发展学生的思维、培养和提高学生的能力等方面, 能发挥其独特的功效, 变式教学可以让学生在无穷的变化中领略数学的魅力, 在曼妙的演变中体会数学的快乐.
高中数学中的变式教学 篇5
泉州六中
林江文
【摘 要】
在课堂教学改革中，通过例题、习题的变式与重组，可以锻炼学生的逻辑思维，提高课堂教学的有效性。通过编写由浅入深的题组或变式题组让学生尝试解决或合作解决并互动生成。这样既可以使数学教学满足不同学生的不同需求，又可以保持学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
【关键词】 变式
重组
一题多变
多题一法
课程标准指出，数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。因此，在初中数学课堂上，通过设计例习题的变式与重组，既有利于提高课堂效率，又有利于激发学生思维，提高学生思维能力，让每个学生都能获取知识。以下是笔者在实际教学中，对例习题的变式与重组的实践探索：
一、通过一题多变设置变式题组
“一题多变”是从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多向导问，使知识进一步精化的教学方法，可以培养学生的探究能力，它不仅可以沟通知识的内在联系；还可以使基本题向深度和广度发展，从而看到较复杂题的来龙去脉。案例1：如图1，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：（1）BG=CE（2）BG⊥CE GEFDABAGEGFFBGEDFDDCC
BABCAC
E
图1 图2 图3 图4 变式
1、正方形ABDE绕点A顺时针方向旋转，使AE与AG重合时，如图2，上述两个结论是否成立？请说明理由。
变式
2、继续旋转正方形ABDE到如图3的位置，上述两个结论是否成立？请说明理由。变式
3、如图4，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，EG，AB＝5，AC＝7，求BC2EG2的值。
通过变式题组的形式，培养学生对问题的观察、分析以及探索归纳的能力，让不同层次的学生在同一时间都有思考的空间，真正实现全员参与，设置“一题多变”的题组，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，加深对本质特征的认识，促进和增强探究能力，达到做一题通一类的目的，提高了学生分析、解答应用题的能力。
二、通过多题一法设置变式题组
建立数学模型，将结构相同或方法类似的几个题目放在一起以题组的方式出现，这样有利于引导学生思维的收拢。在教学中教师需要将多题有目的地串联起来，编成一组，引导学生进行观察分析，引导学生对多题一解进行反思，从而提高学生的化归能力，体会通性通法在解题中的作用。
题组：
1、如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点D、E与点C共线，连结BD，（1）、求证BD=CE
（2）、求∠BAE的度数 [1] 福建省教育科学“十二五”规划2014年度常规课题“初中数学例习题的重组与变式的教学实践”（2014CG1282）
EADEBABFCDC
图5
图6
图7
2、如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=2x-2经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点．（1）求点A坐标；
（2）若点P为x轴上一动点．点Q的坐标是（a,a/4），△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．求出a的值并写出点Q的坐标；
3、（2016年泉州市质检）如图，∠ABC=90°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别在∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC与F，O为圆心。（1）、直接写出∠AFE的度数（2）、当点D在点F的右侧时 ①、求证：EFDF2AF
②、若AB42,82BE413,求eo的面积S的取值范围。
设置本题组的依据的数学模型是“手拉手模型”，即由两个有公共顶点的两个等腰直角三角形，可以找到或构造两个旋转型全等的三角形，再利用全等三角形的性质去解题。通过题组的训练，培养学生的系统思维及敏锐观察力，感受学科模型建立的重要性，大大提升解题能力。
三、围绕某个知识点进行例习题的变式与重组
例习题的变式题组源于课本又不拘泥于课本，教师不断探究教材中例题的多种联系和功能，深化习题教学，发挥习题的内在潜能，使它们的解决能启发学生对问题的本质规律的探究，以此培养学生学习、探究精神，数学教育发挥其锻炼思维、开发智力的功能。案例3：华东师大版七年级下册《平移的特征》
题组：
1、如图8，在方格纸中，画出将图中的△ABC向右平移4格后的△A1B1C1，然后再画出将△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2．△A2B2C2能否可以看成是△ABC经过一次平移而得到的呢？________（填“能”或“不能”），如果能，那么平移的距离和方向分别是________（方向在图中画出）
PD
Q BBB BACCAA
CA
图8
图9
图10
图11
图12
2、如图9，将△ABC沿边AB方向平移2cm，画出平移后的图形。
3、如图10，将△ABC沿BD方向平移2cm，画出平移后的图形。
4、如图11，将△ABC沿PQ方向平移2cm，画出平移后的图形。ABCC5、如图12，将△ABC沿北偏东60°方向平移2cm，画出平移后的图形。
此题组的设计从教科书的“试一试”开始，设计出一组由浅到深的变式题组，对于第1题这种有方格的图形，学生很容易入手，比较直观。学生可以独立思考，便于让每个同学都能在自己的探索过程中找到一定的成就感，从而获得进一步探索的信心和勇气。第2题学生可以借助自己手中的三角板进行探索，比较形象。对于第4题，是由书本练习3改编的。
总之，在初中数学课堂上，通过设计例习题的变式与重组，并把它作为一种教学方法，能使教师更加关注学生的学习习惯，重视学生的主体作用的发挥，对教师提出了更高的要求，有利于教师的业务能力的提升。通过设置这样的习题组，让学生通过自主的讨论、探究解决这些问题，并且在这些问题的解决过程中，获得数学学习的乐趣和数学思维的形成，而实现每一个层次的学生在课堂的同一时间段里都拥有自己自主探索或解决问题的时间与空间，实现不同的人在数学上得到不同的发展的美好愿望。参考文献：
[1] 许灵飞
变式教学在初中数学教学中的应用 《数学学习与研究》，2010.3 [2] 郑毓信
变式理论的必要发展
《中学数学月刊》 2006.1 [3] 聂必凯
数学变式教学的探索性研究
数学课堂教学中的变式教学 篇6
一、变式教学的意义
1.运用变式教学，确保学生参与教学活动的持续的热情。课堂教学效果很大程度上处决于学生的参与情况，这就首先要求学生有参与意识。加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人，是现代数学教学的趋势。通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情。
２.运用变式教学，培养学生思维的广阔性。思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。现在课本中，有一部分例题的“想一想”是把例题进行变式训练的，我们可以利用它们切实培养学生思维的广阔性。
3.运用变式教学，培养学生思维的深刻性。变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性。
4.運用变式教学，培养思维的创造性。著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”创新的成功直接依赖于努力钻研的坚韧程度。数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使我们发现问题的本质。要注意主动地克服思维的心理定势，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间。
二、教学中的变式类型
1.概念教学中的变式
数学概念的形成过程，其内涵、外延的揭示过程，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念过程中，我们可以引入变式教学，主要包括概念引入变式，概念辨析变式和概念深化变式。利用变式引导学生积极参与形成的全程，教师创设问题情境，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式培养学生的观察、分析以及概括能力。
2．习题解决中的变式
习题变式训练是数学教学中最为重要的方法，通过习题的变式教学形成数学的基本思想、基本方法和基本态度所构成的认知体系以及学会用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯是学生数学素质的核心内容。
三、变式教学的操作
教师要进行有目的、有计划地对概念，定理，习题进行合理的转化。即教师从最简单的命题入手，保留好对象中的本质因素，不断更换命题中的非本质特征，变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，层层推进，不断揭示问题的本质，从而使学生掌握数学对象的本质属性。
采用的方法主要是：
1.改变对象的表达形式，如：变化条件和结论；条件与结论的互换；图形的位置、形状、大小等的变化。
２.改变对象的存在背景，如：改变图形、数集背景；相似情景、关键词的替换；常数与参数的相互替换，以及动态与静态的转换。
3.联系实际，如：数学问题实际化，多样化；抽象问题具体化。
通过变式的运用，最终使学生掌握那些在变化过程中始终保持不变的因素，从而透过现象，看到本质。这就是人们常讲的“万变不离其宗”，另外，由于巧妙设计变式于课堂教学中，学生感到课堂的丰富多彩，从而增强课堂的趣味性。同时，通过对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，帮助学生打通关节，找到解题方法。
例谈高中数学教学中的变式教学 篇7
一、改变形式
改变已有命题的条件或结论的表现形式, 将原命题中的条件或结论间接化、隐蔽化, 或改变问题的背景变换出新的命题方法.如在高一数学“集合”知识中有如下一题.
例1已知数集A={X︱X=2n+1, n∈Z}和B={X︱X=4k+1或X=4k-1, k∈Z}, 则A与B之间的关系是_____.
分析:该题很简单, 大多数同学通过列举验证的方法很容易得出答案, 做题之后觉得没有什么特别之处, 但只要老师稍稍动一下脑筋将题设中的条件变一变就可以得到一个非常好的题组, 我在实际教学中做了如下三种改变, 教学效果很好.
变式1:已知数集A={X︱X=2n+1, n∈Z}和B={X︱X=3n-2, n∈Z}, 则A∩B=____.
变式2:已知数集A={X︱X=a+1/6, a∈Z}和B={X︱X=b/2-1/3, b∈Z}, 则A与B之间的关系是_____.
变式3:已知数集A={X︱X=a/3+1/6, a∈Z}和B={X︱X=b/2-1/3, b∈Z}, 则A∩B=____.
又如, 在函数定义的教学中遇到如下一题, 适当改变一下条件或问题 (如变式1、变式2) 都会让学生很有效地加深对知识的理解.
例2求函数f (x) =-x2+|x|+1的值域.
变式1:求函数f (x) =-x2+|x|+1, x∈[-2, 1]的值域.
变式2:若方程x2-|x|-1+a=0有4个实数根, 求a的取值范围.
当然, 高一、高二新授课的举例变式, 只要老师平时注重知识积累, 相对于高三总复习对原题改编而言要容易的多.高三对原题的改编必须要有新意, 有深度, 这就要求老师对教学大纲, 考试大纲很熟悉, 对知识的交汇点把握得恰到好处[2].
二、小题变大题
根据所考察知识和方法的需要, 将一些较为简单的命题进行有机的结合, 构造出较为综合的大题的方法.
例3 (原题1) 设函数, (x∈R) , 区间M=[a, b], 集合N={y|y=f (x) , x∈M}, 则使M=N成立的实数对 (a, b) 有 ()
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无数多个
(原题2) 已知函数f (x) =2x3+x2-x-1, 是否存在区间[m, n], 使得函数f (x) 的定义域和值域均为[m, n], 若存在, 求出这样的一个区间[m, n], 若不存在, 则说明理由.
(原题3) 已知函数, 存在实数a, b (a<b) , 使得函数y=f (x) 的定义域为[a, b]时, 值域为[ka, kb], 求k的取值范围 (k>0) .
上面三题出自于三本不同的数学资料, 但为同一类型题, 若在一堂课中同时讲解三题后立即结束转而讲其它题目, 不利于学生学习效率的提高.若经过适当的变化, 可以让学生练练组合由原题1、2、3改编而成的如下变式:
变式:已知函数f (x) =|1-1/x|.
(1) 是否存在实数m, n (m<n) , 使得函数y=f (x) 的定义域和值域都是[m, n], 若存在求出m, n, 否则说明理由.
(2) 若存在实数m, n (m<n) , 使得函数y=f (x) 的定义域为[m, n]时, 值域为[km, kn], 求出k的取值范围, (k≠0) .
该变式题叙述简洁、流畅、内容丰富, 对函数、方程、不等式的考察具有一定的深度, 让学生及时练习将犹如趁热打铁之势让学生难以忘记此类题型.
三、陈题变新题
将已知命题进行有价值的推广或延伸, 形成新的命题的方法.
例4如图1, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F, 作直线AB与抛物线相交于A、B两点, 点E是抛物线的准线与x轴的交点, 求证:∠AEF=∠BEF.
由已知条件可知, 点E、F的坐标分别是 (-p/2, 0) 和 (p/2, 0) , 它们关于原点对称, 故可猜想E、F只要对称, 就有∠AEF=∠BEF吗?
变式1:已知抛物线y2=2px (p>0) , 过定点D (m, 0) , (常数m>0) 的直线L与抛物线相交于A、B两点, 若点E的坐标为 (-m, 0) , 求证:∠AED=∠BED.另外, 把抛物线换成椭圆, 也有此结论吗?
变式2:如图2, 过椭圆的左焦点F任作一条弦AB, 若点M是椭圆的左准线与x轴的交点.求证:∠AMF=∠BMF.
经过如此一个变式过程, 不仅让学生经历新题原来可以这样产生, 在加深了对通性通法掌握的同时加深了对知识点的理解, 何乐而不为呢.
事实上, 从每年高考数学试卷中, 我们总是找出许多与教材中的例题相似或来源于教材例题的试题, 这些试题考查的都是现行教材中最基本、最重要的数学知识和技能, 所用方法也往往是普遍性、一般性方法, 既体现高考的公平公正, 也对中学数学的教学进行有效检验.所以, 不管高考命题如何改变, 我们都能在高考试题中找到大量的教材原题或由这些原题进行引申、变化而来的试题.因此, 我们很有必要对高中数学教材中的例题进行深入研究, 做好教材上的典型例题的变题教学, 提高教学效率, 避免因乱用复习资料而造成无谓的重复劳动.
参考文献
[1]黎丽.因式分解中体现的数学思想方法[J].苏州教育学院学报, 2010 (9) :14-16.
高中数学知识的变式教学实践 篇8
关键词：变式,高中数学知识,变式教学
变式是指变换问题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态;变式是对于某种范式的变化形式，不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，事物的非本质属性不断迁移的变化方式[1]。
在实际教学时，通过变式训练使学生深刻理解本质属性，排除事物的非本质属性的干扰，从而形成正确的概念，一直是数学教育研究的热点;在习题方面，通过变式练习，使学生形成基本运算和迁移知识的能力，最终达到提高学生能力的目的，也是教师们一直追求的目标。
变式教学的理论基础来自于建构主义学习论：数学学习不应被看成纯粹的个人行为，也即对于知识的被动接受和简单积累，而应被看成个体在一定社会环境中的建构活动 (意义赋予) ，新、旧知识 (和经验) 的组织与重组，是形式建构与“具体化”的辩证统一。真正的数学教学应具有如下几个特征： (1) 在学习目标方面，表现为对知识的深层次的理解; (2) 在学习过程中，表现为高水平的思维; (3) 在学习的情境方面，表现为师生，生生之间的充分沟通，合作[2]。在学习活动中，教师应在肯定学生主体地位的前提下，在教学活动中起主导作用，教师需要就学习内容设计出有思考价值，符合学生认知发展规律，能激发学生兴趣的问题，创设平等、自由的学习氛围，充分开展师生、生生之间的交流与合作学习，引导学生通过持续的分析、探索、假设、检验去解决问题，提升探究数学知识的能力。
安德森将知识分为陈述性知识和程序性知识。陈述性知识是关于“是什么”的知识，是对事实、定义、规则和原理等的描述。程序性知识则是关于“怎么做”的知识，如怎样进行推理、决策、或者解决某类问题等[3]。喻平(2000)认为数学知识的分类按照广义的知识分类是合适的，他将数学知识分为陈述性知识和程序性知识。学生的学习常常从陈述性知识的获得开始，而后进一步加工消化，成为可以灵活、熟练应用的程序性知识。
高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。人们对知识的深刻理解都具有一定的时空性、阶段性和渐进性，因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识才能不断深入。
在变式教学中，变式练习是陈述性知识转化为程序性知识点的关键环节。变式练习就是指在其他教学条件不变的情况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，去深刻理解问题的结构和解决策略。下面通过两个例子来谈一下变式练习在实际教学中的应用。
题目1：(高中数学新教材第二册(上)P130例2)直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB。
本题是课本上一道习题，下面对其进行变式探究。推广变式：由原式知y=x-2与x轴交点坐标为(2, 0)，对抛物线y2=2x中p=1，将此抛物线方程推向一般情况，则得到下列变式：
变式1：直线l过定点(2p, 0)，与抛物线y2=2px (p>0)交于A、B两点，O为原点，求证：OA⊥OB。
如果我们将上题中的图形中新加载另一个图形圆，则可有下面的试题：
变式2： (2004年重庆高考理科卷)设p>0是一常数，过点Q (2p, 0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H (H为圆心)。试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程。
由变式1可知OA⊥OB，即点O在圆H上，因H为圆心，故H为AB的中点。由中点坐标公式可以求出
显然OH为圆的半径，且，所以当n=0时，圆的半径最小。此时AB的方程为x=2p。
当然我们还可以对此题进行逆向研究，即将此题变式1的条件和结论进行互换得到下列命题：
变式3：若A、B为抛物线y2=2px (p>0) 上两个动点，O为原点，且OA⊥OB，求证：直线AB过定点。
过定点问题是一个高考中的热点，而通过这样的变式不仅让学生的思维活跃起来，而且能引发学生去主动地思考问题和解决问题。本题只要设出A、B两点坐标，根据这两点满足抛物线方程和垂直的条件即可证明此问题。对本问题稍微改变一下设问则可得到下面试题：
变式4： (2001春季高考题) 设点A、B为抛物线y2=4px (p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB, OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。
解有上面的变式可知AB过定点N (4p, 0), OM⊥AB圯OM⊥MN，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆(除原点)，其方程也可求出。
思考：直线与圆锥的位置的关系问题是多年来高考重点考查的内容，该题以抛物线和直线为载体全面考查解析几何的思想与方法，通过变式练习层层推进知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，使得学生在知识和能力上有一定的收获和提高。
题目2：(高中数学新教材第二册(下A、B) P131例2)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
本题比较容易, 但是我们可借助本题进行如下变式探究:
将已知中的条件变形如下:
变式1：假设三个开关全部串联，在其余条件不变的情况下，怎样求线路正常工作的概率?
解:设这三个开关能闭合为事件A, B, C, 则可求得概率为P (A) ·P (B) ·P (C) =0.73=0.343。
变式2：若其中2个开关串联后再与两外一个并联，在其余条件不变的情况下，如何求线路正常工作的概率?
假设三个开关为MA, MB, MC由已知MA, MB串联，再与MC并联，则线路正常工作的概率为1-[1-P (A) ·P (B)]·[1-P (C) ]=1- (1-0.72) (1-0.7) =0.847。
变式3：若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在其余条件不变的情况下如何求线路正常工作的概率?
假设由已知并联，再与串联，则得
变式4： (2001年天津高考理科卷)用A、B、C三类不同的元件联结两个系统，当元件A、B、C都能正常工作时，系统N1能正常工作;当元件A正常工作，元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2能正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率分别为0.8, 0.9, 0.9，分别求系统正常工作的概率。
可以看出这一例题是以上变式的综合变形，这样使得学生经过类比、分析，不断对问题进行深入理解。这种一题多变的变式教学能够完善学生的知识结构和认知结构。其实还可以深入进行思考：
以上4个变式只是对3个开关的连接，假设有4个或者多个呢?会有怎样的情况发生?将上述题目题变成开放式的问题：
变式5：若该线路友4个开关(串、并)联结而成，已知每个开关能够闭合的概率都是0.8，若要求线路正常工作的概率(称为可靠度)大于0.85，请设计开关的联结方式。进一步引导学生分类讨论思考。上题可分析共有7种联结方式，详情也请读者思考。这里不再详细赘述。
著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可能附近就有好几个。”由此在数学教学中，若通过变式教学，引导学生从一个问题出发，运用类比、特殊化，一般化的方法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示其中的数学思想。所以恰当合理深入的变式教学使得课堂变得生动活泼，学生爱学，老师乐教，这样既有利于学生学习知识，又有利于培养学生的创新能力。
参考文献
[1]丁殿坤, 边平勇.变式在高等数学中的应用.高等函授学报, 2010.
[2]谢景力.数学教学的变式及实践研究[D].2006.
初中数学教学中的变式教学 篇9
一、数学教学中变式教学的重要性
1. 利用变式训练可以帮助学生对概念理解得更加深刻
在数学基础知识教学时, 精心设计一些有坡度、有联系的题组, 沟通知识间的联系, 有利于扩展学生原有认知结构, 形成知识网络.变式教学变换问题的条件和结论, 变换问题的形式, 但不改变问题的本质, 使本质的东西更全面.使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念, 沟通了不同知识间的内在联系, 为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础.
如:学习四边形的中点四边形的时候, 我设计了这样一组变式题型:
例题:已知四边形ABCD, 点E, F, G, H分别为四边形四边中点.证明:四边形EFGH为平行四边形.
变式1:平行四边形的中点四边形是_______形.
矩形的中点四边形是_________形.
菱形的中点四边形是_________形.
正方形的中点四边形是________形.
变式2:__________________的中点四边形是平行四边形
___________________的中点四边形是矩形.
___________________的中点四边形是菱形.
___________________的中点四边形是正方形.
通过这样一系列变式, 使学生学习时不只是停留于事物的表象, 而能自觉地从本质看问题, 同时学会比较全面地看问题, 注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质, 在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性, 从而可以更深刻地理解课堂教学的内容.
2. 一题多解、变式引申, 训练思维的广阔性
思维的广阔性是发散思维的又一特征.思维的狭窄性表现在只知其一, 不知其二, 稍有变化, 就不知所云.反复进行一题多解、一题多变的训练, 是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法.可通过讨论启迪学生的思维, 开拓解题思路, 在此基础上让学生通过多次训练, 既增长了知识, 又培养了思维能力.如在工程问题的教学时, 我设计了以下一组变式题:
原题:一件工作, 甲单独做20小时完成, 乙单独做30小时完成, 甲、乙合作需要多少小时完成?
变式1:一件工作, 甲单独做20小时完成, 甲、乙合作需要12小时完成, 则乙单独做需要多少小时完成?
变式2:一件工作, 甲单独做20小时完成, 乙单独做30小时完成, 让甲先做10小时, 剩下的甲、乙合作需多少小时完成?
变式3:一件工作, 甲单独做20小时完成, 甲、乙合作需要12小时完成, 由甲单独做10小时, 剩下的两人合作需几小时完成?
这组变式题组是围绕工程问题的教学目标, 由易到难、由旧知到新知逐步过渡, 还有为“学有余力”的学生专门设置的综合提升题, 以解决他们“吃不饱”的问题.这一变式改变已知的几个条件中的某些条件, 或改变结论中的某些部分的形式, 从而拓宽、加深学生的知识面, 也体现了教学的层次性和多样性, 培养了学生的创新能力和探究能力.
3. 利用变式教学提高学生触一通类的数学思维能力
传统讲课法中, 教师把公式、定理的结论、推导过程、适用条件、适用题型原原本本地讲给学生听, 激不起学生的兴趣.变式教学主要是由教师提出问题后, 其结果怎样或如何解决都要学生作出回答, 对学生具有挑战性, 所以学生的学习兴趣大, 再加上题目具有一定的梯度, 人人都能动手, 所以学习的积极性非常高.
如在确定二次函数的解析式教学时, 我设置了这样一组变式题目:
例题:已知二次函数图像经过A (-3, 0) , B (1, 0) , C (0, -3) 三点, 求这个二次函数的解析式.
变式1:已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A, C, 并且经过点B (1, 0) , 求这个二次函数的解析式.
变式2:已知抛物线经过两点B (1, 0) , C (0, -3) , 且对称轴是直线x=-1, 求这条抛物线的解析式.
变式3:已知一次函数图像经过点 (1, 0) , 且在y轴上的截距是-1, 它与二次函数图像相交于A (1, m) , B (n, 4) 两点, 又知二次函数的对称轴是直线x=2, 求这两个函数的解析式.
这组变式题从简到难, 多题一解, 可以先让学生先做, 教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨, 在思路上为学生扫除障碍.通过这组变式题的训练, 可以培养学生的变通能力, 发展智力, 提高兴趣.
4. 通过变式教学, 解决如何培养学生学习兴趣, 提高教学效益
在教学最短路程问题时, 我设计了以下一组变式题型:
原题:如图①所示, 要在街道旁修建一个牛奶站, 向居民区A, B提供牛奶, 牛奶站应建在什么地方, 才能使A, B到它的距离之和最短?
变式:如图②所示, 要在街道旁建一个牛奶站, 向居民区A, B提供牛奶, 牛奶站应建在什么地方, 才能使A, B到它的距离之和最短?
通过这种变式, 结合实际生活经验, 将数学与生活联系起来, 从简单到复杂, 学生通过探索交流得出答案, 掌握了方法, 从而尝试到成功的乐趣, 并激发了学生的学习热情.
二、变式教学应注意的问题
1. 变式训练要注意知识的基础性
基础知识是综合能力的载体, 各种能力的提高是建立在学科基础知识之上的.掌握基本概念和原理是掌握基础的关键, 所以落实和巩固课本上的基本概念是非常重要的.我发现不少同学对概念的掌握往往采用死记硬背, 若是换一个角度考查, 常会不知所措.例如, 在复习平行四边形及特殊的平行四边形时, 可创设多种训练题, 把概念理解透彻, 掌握概念的内涵和外延.
2. 变式训练要注意层次性
受智力因素和非智力因素的影响, 同一个班级的学生, 对基础知识的掌握程度总会存在差异.因此要针对一个知识点由易到难循序渐进地设置多个问题进行训练.例:如图①, AB∥CD, 点P是直线AB和CD所在平面内一点, 试讨论∠ABP, ∠BPD, ∠PDC之间的关系:
变式:如果将点P移动到如下三种不同位置 (图②-图④) , 同样讨论∠ABP, ∠BPD, ∠PDC之间的关系.
本组习题从简单到复杂, 通过移动图形中的某些点, 培养学生运动哲学观点, 把图形由静态变为动态, 创设了在运动中探索规律的情境, 对培养学生创新意识能起到一定的作用.这样的设计既可以让基础相对薄弱的学生可以有动脑的机会, 同时也让一部分学习能力稍好的同学有足够的思维空间.
3. 变式训练要注意多样性, 灵活性
数学变式题型是多种多样的, 有条件变式, 多题一解变式, 结论变式, 推广变式, 一题多解变式, 等等.不同类型的变式可以达到不同的效果, 如使用一题多解式, 可以培养学生探索新知的能力、训练学生的发散思维;使用一题多变式, 有时可以加强对知识的理解, 培养学生探究、概括的能力和数学思维的严密性.
同时, 根据教学内容和学生的实际情况, 数学问题变式训练的方式要灵活多样, 力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合.同时, 根据教学内容, 有时可分散训练, 有时可集中训练, 有时一个题目的变式可分几次完成, 充分展现知识螺旋式上升的方式.这种灵活的训练方式, 不仅可以提高学生的兴趣, 吸引学生的注意力, 而且可以使学生的多种感官参与学习, 提高大脑和神经的兴奋度, 达到最佳的训练效果.
数学教学中的变式训练探析 篇10
问题实质的反面就是表面现象,透过现象看本质是数学教学的一个重要的教学目标。变式教学可以运用比较的方法使问题实质浮出水面,让学生在实践中掌握透过背景资料确定问题实质的方法,进而形成揭示问题本质的主动学习能力。例如,在不等式应用的教学中,教师设计了如下一组题目。
题1:某园林在3月份第一周计划植树,如果每天比原计划少种1棵,那么7天植树少于50棵;如果每天比原计划多种1棵,那么7天植树就超过60棵,问计划每天植树多少棵?
分析与说明:学生在解答此类题目时的难点在于,题目的实际背景学生没有接触过,进而可能会对其理解题目与要解答的问题带来困难。然而,生产生活中存在各种不同种类的社会分工,要想全面了解行业各自特点是不现实也是不可能的。所以,学生在解答此类问题时只能从分析问题中所包含的数学实质出发,在不完全理解行业特点的情况下,仍可以用数学的思维方法解决一些数据与决策方面的问题。在此过程中,学生能通过感悟到数学本质性方法是如何从实际问题中抽取出来的,从而使其形成从共性出发来解决同类问题的能力,也让其感受到把有共同特征的题型进行归纳整理的价值。
二、以揭示概念的内涵为目标指向的变式训练
数学概念具有准确性与排他性特点,因此在对概念进行描述时往往需要多个条件限定,而且每个条件都是缺一不可、不可替代的。但由于在描述概念时,对各个条件的说明没有侧重点和具体应用实例,学生往往会重视一部分已经应用过的条件,而忽略应用较少但同等重要的条件。为了揭示概念的完整内涵,就要设计针对每个条件的变式题目,使学生印象深刻。例如,为了强化学习效果,在对正比例(函数)与反比例(函数)概念的进行讲解时,教师设计了下列一组题目:
题l:已知矩形的面积公式为S=ab,(1)变量S与a成正比例还是反比例?(2)当b是非零常数时,变量S与a成正比例还是反比例?(3)当a是非零常数时,变量S与b成正比例还是反比例?(4)当S是非零常数时,变量a与b成正比例还是反比例?
题2:由矩形的面积公式得a=s/b,(5)当b是非零常数时,变量S与a成正比例还是反比例?(6)当a是非零常数时,变量S与b成正比例还是反比例?(7)当S是非零常数时,变量a与b成正比例还是反比例?
分析与说明:在正比例(函数)与反比例(函数)中,首先要知道谁是变量谁是常量,题1的(1)中,没有指明这一点,也是学生的思考时容易忽略的一个条件。在解答这个题目的过程中,让学生理清思路,判断从哪里入手是解题的关键。要分清哪种是正比例关系,哪种是反比例关系,定义是以定“形”的方法来让学生认识的,但正反比例各有两种“形”,写法相近,如果不进行对比研究就无法正确使用这些“形”。题1中的问题2中的(7)正是从这个角度出发,让学生在研究与实践中一点点找到同一概念的不同形态,在比较中弄清了概念的全部内涵。
三、以选择解题的方法为目标指向的变式训练
针对问题的解决变式的内容往往比较多,运用的思考方法也很复杂,下面举例说明。
分析与说明:题1与题3的内容是学生已学过的知识,选择它们是为了把学生的认知基础与变式训练联系起来。题2与题4是让学生领会怎样应用题1与题3的方法以“不变应万变”的方法解决变化的题目,以及选择这两种方法的理由与判断依据。题5与题6是在做了前面的铺垫后,给学生创设更为广阔的思维空间,验证自己的成果,选择自己认为有效的方法解题,比较不同方法的难易程度,找到各自解题的实践体会。题7是在条件变化复杂的情况下,因繁质疑,形成新的解题思路:用三元一次方程组来解答。整个变式的设计围绕方法的选择这一主题,让学生在成功与失败中一步一步认清问题实质,明确解决这类问题的基本思路与方法架构。
四、结束语
总之,只有为学生创设广阔的思维空间和充足的思维时间,才能在还学生主动权的前提下,把被动的“要我学”变成主动的“我要学”,走出“先天不足”的怪圈,驶入“越学越有后劲”的快车道。这与教育心理学中的“跳蚤”实验结果不谋而合,是“以学生发展为本”素质教育理念渗透于实际教学中的具体体现,也是课程改革设计“过程、能力与方法”教学目标的真正目的。
参考文献
[1]成继红.初中数学课堂教学有效性的调查与思考[J].河南机电高等专科学校学报,2007(05).
[2]王才正.高中数学变式教学的探索[J].重庆第二师范学院学报,2014(06).
高中数学中的变式教学 篇11
【关键词】数学课堂 变式教学 应用 注意事项
引言
数学学习与研究的新课标是数学基础教育的新标准，其不仅仅只重视知识的传授，还重视培养学生的个性品质和思维能力。 通过将变式教学方法应用到初中数学教学中， 能够为学生创建一个轻松、愉悦的学习环境，真正的将学生作为学习的主体，让所有的学生都能有所收获。
一、变式教学方法在初中数学教学中的应用
1傳统的教学变式
在传统的教学中变式教学是一种应用的比较广泛的方法。通过对一定的图形、符号、语言、公式进行不同程度的变化，帮助学生熟练掌握以上内容的本质概念。
（1）利用直观的图形来进行具体概念的讲解
基础数学的普通概念都源于直觉的真实反映。比如在最初接触垂线这个概念的时候便可以利用现有教室内的实物图形，以便帮助学生认识是垂直与黑板、墙角的数学关系。从这些栩栩如生的实物中，学生更为直观的认识到什么是垂线通过引出这些垂直的模型再让同学们一起思考，得到它的基本特征并给出它的定义。又如，在实际教学中，能引进多媒体教学进行教学河以利用动画、图片等形象的表现所要展现的事例。比方说在讲解平行线的课程中，可以将日常生活中的具有平行关系的实物通过图片等方式展示出来池可以引导学生举出生活中的实例激发学生的学习兴趣这样综合起来为学生营造一个具体的平行的概念。这样可以改变传统教学中教师讲解较多而学生思考较少的传统教学弊端；也可以改变照本宣科的内容较多而学生脑力活动较少的传统教学模式。利用变式教学可以既注重讲授书本上知识，也关注学生创新意识、探索精神和数学思维方式的培养。
（2）引入类比的方法进行概念的阐述
类比的方法也叫“比较类推法”是利用两种或两类类比物在某些方面具有比较类似的性质引出类比物在其他某些方面也可能具有相似性质的结论。它的结论必须由实际检验来确定类比对象之间共有的元素越多，则类比结论的可靠程度越大。类比法是一种具有创造性的数学思维模式。比如说通过类比一元一次方程可以得出一元一次不等式、二元一次方程以及一次函数等常规的数学概念。通过比较两类不同的类比物相似的性质和不同的性质方便学生既能熟练掌握这些易于混淆的概念，又能知道这些相似概念之间的区别，学生的印象也更为深刻。又如在进行相似三角形课程的讲解时油于“相似”与“全等”两个概念极易混淆，这两个概念具多许多相似的地方河以利用类比法进行区分。通过对三角形的边和角的关系进行讲解不日用三角形的相似然后外加一个其他的条件得出三角形全等不日用三角形的全等得出三角形的相似。利用类比的方法，帮助学生对新的概念、公式和定理的理解更为透彻、清晰，学生的记忆也会更加深刻在运用过程中也会更为熟悉、灵活。
2理论联系实际，使问题实际化
在数学教学课堂里运用变式教学，可引导学生在变化的过程中掌握到不变的规律，最终发现问题的本质。在数学知识的学习过程中，我们常常会遇到和日常生活紧密联系的问题，比方说电费问题、燃气费问题等。因此，在解决问题的过程中，数学教师就可对变式教学进行积极运用，将电费问题转换为出租车打的收费问题等，旨在让学生将学习的数学知识运用到实践中去。另外，巧妙地对变式教学进行运用，可使数学教学课堂的趣味性得到提升，进而调动学生们学习数学的积极性。老师可积极对学生进行指导，让他们从多角度、多方位去思考问题，并养成积极讨论的习惯，最终找到正确的解题方法。
3加强习题的变式训练
对于数学知识的学习来说，习题练习环节是极为重要的，诸多数学思维方法都可在例题里面找到。依靠习题的变式训练，我们可引导学生对知识点进行深入掌握，并从众多的习题里面总结出解题思路。在所有习题里面，填空题是一类常见的题型，为了更好地对学生进行训练，我们可以选择题为例对变式教学进行合理运用。比方说，可先设置出这样的一个问题：从一米长的绳子中截去一半，然后将剩下的绳子再截去一半，如此下去，倘若要使最后所截的绳子不足一厘米，那么需要截多少次？针对这一问题，我们可运用变式法转换题目：一根木头长为a米，首先截取全长的1/2，第二次截去剩下的1/3，那么剩下的长度为多少？依靠这样的变式训练，学生的思维方式不仅得到了锻炼，他们也获得了解决问题的正确方法。
二、初中数学教学中应用变式教学方法的注意事项
1变式教学需要重视知识的基础性。学生的各种能力都是建立在基础知识之上的， 基础知识是综合能力的载体， 因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该落实与巩固数学课本上的基本概念和理论知识，教师应该引导学生转换角度进行思考，例如复习三角形和特殊的三角形时，应该创设多种练习题，帮助学生掌握概念的内涵与外延，将三角形的概念理解透彻。
2变式教学应该重视层次性。初中生由于受到认知水平的影响，一个班级的学生对数学概念的理解水平也存在一定的差异，针对某个知识点进行训练时，应该设置多个问题，从简到难循序渐进地进行训练，这样的习题训练能够帮助认知水平较差的学生更好地理解，帮助认知水平较高的学生巩固记忆。
3变式教学应该重视训练的灵活性。数学知识和数学题型是多种多样的，并且条件的变化会引起结论的变化，通过设置不同类型的变式，能够获得不同的效果，一题多变式能够强化学生们对定义、概念的理解，一题多解式能够训练学生的发散思维，培养学生探索新知的能力， 因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该重视方式训练的灵活性与多样性。
三、结束语
基于以上的探讨，我们知道了在初中数学教学过程中采用变式教学的教学方式是很有必要的，当然也是确实可行的，这对提高学生的思维方式以及分析问题、解决问题的能力都有很大的帮助，尤其是让学生学会了独立思考，看问题学会从不同层面去思考，从而不断提升教学质量以及学生的数学素质。
浅谈初中数学教学中的变式教学 篇12
一、利用变式, 帮助学生理解数学概念
初中数学具有一定的抽象性, 而且数学概念的概括性比较强, 学生理解起来有一定的难度, 所以这就需要教师利用变式教学来帮助学生理解数学知识。正例变式主要体现为原型及其变式, 但在学习中往往容易形成定式僵化的认识, 把典型特征当成本质特征, 忽视了概念的本质属性。而且概念的本质属性在概念的例子中都是相同的, 仅从原型的标准特征上很难真正把握其本质特征。因此通过运用各种变式的比较, 才可以充分揭示概念的本质属性。除了正例变式外, 还应利用反例变式。例如, 命题“三边都相等的三角形是等边三角形”是否正确, 若正确请说明理由, 若不正确请举例。学生需要从三边相等的三角形进行判断, 从而了解和区分本质特征和非本质特征, 然后举出反例。总而言之, 在数学概念的形成过程中, 通过合理运用正例变式和反例变式, 能帮助学生把握数学概念的本质属性。
二、加强例题和习题的变式教学, 促进知识迁移
数学的思想方法都隐藏于例题和习题中, 我们通过典型的例题, 最大可能地覆盖知识点, 再由点延伸到面, 发挥习题的变式功能和解法的多样性。
总之, 在初中数学教学中运用变式教学, 有着理论和实践的双重意义。通过变式教学, 不是解决一个问题, 而是解决一类问题。变式教学不但可以培养学生独立分析问题和解决问题的能力, 而且还可以培养学生大胆创新、勇于探索的精神。这正是我们初中数学教学所应追求的目标。
摘要：有效教学追求的是学生对知识的内化, 能够把所学的知识积极转化为自己的知识结构的一部分。数学变式教学是有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质, 进而探究“变”的规律的一种教学方式。在数学教学中合理运用这种方式, 可以起到减负增效的作用, 使学生深刻体会到数学思想的核心作用, 提高数学能力。
关键词：初中,数学教学,变式教学
参考文献
[1]严昌宝.变式教学在初中数学中的运用与思考[J].新课程学习:上, 2011 (07) .
[2]蔡建华.变式教学在数学课堂中的运用[J].福建中学数学, 2006 (02) .
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