中职数学变式教学（共12篇）
中职数学变式教学 篇1
近年来，初中生源的减少，普高的扩招，使得中职学生生源质量严重下滑.而作为基础课的数学，教学质量的好坏，直接影响到专业课和其他学科的学习进程.那么，如何处理好新课改下职高数学的教与学、如何使学生“喜欢数学”等一系列的问题，成了广大中职数学教师面临的首要任务.为了解决这些问题，笔者在教学中尝试了“变式”教学，也就是根据生源，根据教材，教师有意识地改变传统的教学模式，特别是在教学内容、教学形式上适当变化，使数学课堂变得生动、活泼、快乐、有磁性，取得了一定的效果.
一、教学内容变式，确保学生参与教学活动的热情持久
1. 变概念教学为生活化教学，形成有磁性的课堂
数学概念之重要，不言而喻.由于一部分中职学生对数学课丧失兴趣，数学概念教学，他们更觉乏味.心理学告诉我们，与生活实际相关的事更容易引起关注.如果我们在概念导入时能够充分联系学生的生活实际和原有的知识，使学生“看得着，想得到”，那么往往能使学生变被动学习为主动学习，有利于学生智能的发展和新知识的掌握.在教学时，我经常根据课堂教学的内容，从学生熟悉的生活情境出发，选择学生身边的、感兴趣的事物，提出问题，引导学生从数学的角度审视它，然后归结为数学问题.
案例1学习《集合的概念》时，我以学生熟悉的体育课为例.上课铃声一响，体育委员就会说“集合”啦！来集合的都是同班同学，是事先确定的，从而引出数学上的集合概念，然后用类比的方法得出集合中元素的三大特性.这种生活化的概念教学对学生有较强的吸引力，学生不仅接受数学课、认可数学课，长期以往，还会喜欢数学课，就能够形成一个让学生留恋、有磁性的课堂.
2. 变文字语言为数学语言，形成快乐的课堂
现今的职高数学教材，应用问题的比重相当大，设计的内容饶有趣味，贴近生活，但中职学生由于基础薄弱，应用问题被他们视为“高难动作”.在讲解实际问题时，我采用语言变式的办法，即将现实问题中的文字语言转换成数学的自然语言，再将数学语言转换成数学的符号语言或图形语言.
案例2某人购买了一辆价值10万元的汽车，该车每年交保险费、养路费以及汽油费合计9000元，汽车的维修费用平均为第一年2000元、第二年4000元、第三年6000元，依次逐年递增，若以汽车的年平均费用最低报废最为合算，那么这种汽车使用多少年报废最为合算？
分析设这种汽车使用n年报废最为合算.这里的平均费用就是报废前汽车总费用的平均值.维修费逐年递增，通过观察它符合等差数列，所以维修费总和就是求首项a1=2000，公差d=2000的等差数列前n项的和.这题表面上看起来比较复杂，但经过一分析，特别把求维修费总和转变到求等差数列前n项的和时，有些同学激动得叫了起来，一下豁然开朗.
3. 变单刀直入为巧妙过渡，形成积极的课堂
教师必须对教学内容进行科学讲解，并组织合理的有层次推进的“变式”教学，让学生体验到新知识是如何从旧知识逐渐演变发展而来的.
案例3已知E, F, G, H分别是空间四边形四条边AB, BC, CD, DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形
分析：如果直接证明，部分学生会觉得难度较大，若从平面几何为起点进行“变式”教学，适当降低难度，问题就逐步得以解决.所以我在教学时，首先提出以下问题：已知E, F, G, H分别是平面四边形四条边AB, BC, CD, DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形.在此基础上，我进行以下变式：
变式1将条件“平面四边形”改为“空间四边形”，其他条件不变，求证四边形EFGH是平行四边形.
变式2若添加条件（1) AC⊥BD； (2) AC=BD； (3) AC⊥BD, AC=BD.那么结果如何？
变式3要使最后结果是（1）矩形；（2）菱形；（3）正方形.那么原题要添加什么条件？
在这个案例中，由平面四边形引出空间四边形，即在复习旧知识的基础上提出一个由旧知识已经不能解决的新问题，引起学生的认知冲突，让学生自己尝试解决.最后通过解决一系列精心设计的变式问题，不但解决了这一类题目，而且学生在不断的变式中，对问题的解决始终保持着“新鲜感”和“好奇心”，不断感受到成功的快乐.
4. 变教师编题为学生编题，形成主动的课堂
变式不是教师的“专利”，我们应该提倡让学生参与变式，发挥学生的学习自主性.
案例4学习《分式不等式解法》，我首先讲解了不等式的解法，接着由学生变式，归纳为：
变式1解不等式≥0;
变式2解不等式<2;
变式3解不等式≥2x.
以上问题的变式，由浅入深, 从简单到复杂, 对构成问题的各个要素进行局部的调整，得到形式虽异而解法类似的一系列问题.不仅强化了学生对相关知识的理解和掌握，而且锻炼了学生的思维，提高了学习效率.
二、教学形式变式，促进学生有效参与教学活动
1. 变演示实验为学生实验，激活课堂
“百闻不如一见，百见不如做一遍”，学习最好的方法是自己动手做实验.在数学教学中，动手操作、直观演示是一座桥梁，它能够沟通具体和抽象、感性和理性之间的联系，能激发学生的形象思维，培养学生的主动参与意识.
案例5在教学《椭圆及其性质》时，课前我要求学生每两人一组，准备两枚图钉、一根细线、一张白纸、一支铅笔.课堂上请各组同学按以下程序进行操作并思考和记录.
(1）取长度为2a的细线，在细线两端系上图钉并固定在白纸上的两点F1, F2处；
(2）用铅笔一端拉紧直线，并转动一周，画出一个图形；
(3）改变细线长度，重新操作，能得到什么结论？
(4）重复操作（2） (3），观察各个图形具有怎样的对称性？总结一般规律，由此探究椭圆的定义及求椭圆方程时怎样建立坐标系？
(5）观察、讨论椭圆的圆扁程度与2a和F1F2的内在联系；
(6）全班各组之间交流实验结果.
在上述实验过程中，学生不仅注意力集中，而且椭圆的概念、性质是通过他们自己动手操作、合作探究获得的.这样既培养学生的动手动脑能力，又培养学生的创新意识和协作精神.
2. 变抽象讲解为电化教学，丰富课堂
每天教师凭着一支粉笔、一张嘴的教学方式，尽管老师用心调节课堂氛围，但时间长了，学生还是会觉得枯燥乏味.而将多媒体信息技术融于课堂教学，利用多媒体信息技术图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点，把难以使学生直接感知的事物和现象，在短时间内直接有声、有色的呈现出来，可激起学生的各种感官的参与，有效地吸引学生的注意力，完成从形象的感性认识到抽象的理性认识的转化.
案例6已知二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点 (-3, 0) 和 (3, 0) .
(1）求二次函数的解析式；
(2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移两个单位，求平移后的二次函数的解析式.
分析第（1）小题很容易解出二次函数解析式y=x2-9.第（2）小题借助多媒体，将抛物线的图象向右平移两个单位.经过直观的动态变化，学生们清楚地看到了平移的特点：抛物线形状、大小、开口方向都不变，只是对称轴发生变化.
图象的动态变化将抛物线的平移和二次函数知识点有机地结合起来，把运动和变化完美地展示在学生面前以后碰到平移的问题，学生就会马上和本次的情形联系起来.
三、教法更新需要新的理念
1. 转变教师的教学观念
培养学生的学习积极性和思维灵活性，首先教师应在思维方式的灵活性和教法的“变”上下工夫.在教学上应求多“变”，以教师的“变”带动学生的“变”，只有教师传授知识灵活、教学方法多样、思维过程敏捷，才能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的灵活性、敏捷性、多样性和创造性.其次，教师要实现将传统教育观念向信息文明时代的创新教育观念转变，树立培养学生终身学习的教学观.
2. 转变教师的角色地位
中职生在初中求学时，往往属于被忽略的群体，他们的内心深处更渴望得到别人的认同，也更容易被感染，我们教师要放下“权威”，蹲下身子，悦纳和认可他们，和他们交朋友.这就要求教师在教学上要有民主的教学风格，要尊重每个学生的思考，关注他们的情感、态度、价值观，允许学生有各种不同的想法，并鼓励学生质疑，要全心的情感投入，缩小师生间的距离，使学生认同教师是团队的一员，是合作者而不只是一位施教者.
总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善“变式”教学模式，最终为学生学好数学、用好数学打下良好的基础.
中职数学变式教学 篇2
上传: 刘永明
更新时间：2012-5-19 20:46:09 浅析初中数学变式教学之“习题变式”
【摘要】：变式，即同一事物非本质特征的一种转换。这种转换使客观事物得以不同形式展现在人们面前，成为我们客观认识事物基本条件。数学教学中的变式教学可以体现新课程的教学理念，减轻学生负担，提高教学质量。现就变式教学中的习题变式谈个人观点，供其他教师在教学中借鉴。【关键词】：习题变式 方法 思维
在新一轮课改教学中，如何减轻学生过重的学习负担已成为广大教育工作者关注的重点。要减轻学生过重负担，就必须更新教育观念，改革教学方法，努力提高课堂教学质量。数学教学有各种方法和手段，变式教学是其中的一种。尽管有时候人们不一定都认识变式教学的含义，人们却在自觉或不自觉地将它应用于教学之中。在数学教学中研究和运用变式，对教师有效地传授知识，突出本质特征，排除无关特征，让学生去伪存真，全面认识事物，提高数学教学质量有着现实的意义；把变式教学与主体性教育有机结合起来，可以充分挖掘学生的潜能，有效地培养学生的自学能力、探究能力和良好的学习习惯，进而培养学生的创新意识和创新能力，由此可见，变式教学较好地体现了新课程的教学理念，具有鲜明的时代性。笔者在本文结合教学体会谈谈对习题变式认识。
习题是训练学生的思维材料，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。要不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。如讲完例题“一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？保留原题条件，可变换出下列几个逐级深化的题目让学生去思考：
变式1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
变式2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？
变式3：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？
变式4：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？
变式5：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？
变式6：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？ 这一变式改变已知的几个条件中的某些条件;或改变结论中的某些部分的形式;从而拓宽、加深学生的知识层面，也体现了教学的层次性和多样性，培养了学生创新能力和探究能力。
习题变式中除了改变题目中的条件或结论外，有时将问题由特殊形式变为一般形式也是常见的。比如： 在教学直线、线段、射线时有这样一个题：
1、当直线a上标出一个点时，可得到 条射线，条线段
2、当直线a上标出二个点时，可得到 条射线，条线段；
3、当直线a上标出三个点时，可得到 条射线，条线段 变式
1、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线，条线段； 变式
2、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线，条线段；
通过这种变式，就把问题由特殊形式变为一般形式，学生通过探索交流得出答案，掌握了方法，从而尝试到成功的乐趣，并激发学生的学习热情。
高中数学变式教学初探 篇3
变式就是不断变换问题呈现的方式,使事物的非本质特征时隐时现,而事物的本质特征保持不变。通过变式教学,有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质,从不变的本质中探索变的规律。笔者谈谈实施变式教学的几个途径。
一、引导学生对方法的知识载体进行变式
师:抛物线呢?
生B变式2:
已知F为抛物线y2=4x的焦点,M(2,2)为抛物线内一点,P为抛物线上一点,求MP+MF的最小值。
定义解题是解析几何中重要的解题方法,而三种圆锥曲线之间的知识属最近联系区,从而进行联系,由原题的知识联想变式,从而得到双曲线、抛物线都是这种方法的载体。
二、引导学生对设问的落点进行变式
题目:把函数y=4x的图象如何平移可得y=4x+2+2?
易得:向左平移2个单位,向上平移2个单位即可。
此问题的呈现方式是由A在f作用之下到B(f为平移变换的途径),共三个环节。本题设问的落点在平移途径上,但也可以在其他的两个环节上。
于是,生甲变式1:
把函数y=f(x)的图象左平移2个单位,向上平移2个单位,得到y=4x+2+2,求函数y=f(x)的解析式。
生乙变式2:
把函数y=4x的图象向左平移2个单位,向上平移2个单位得到y=f(x),求函数y=f(x)的解析式。
实际上,在变式的结构条件明确后,变式的可行性与可操作性就相应明确,从而上述的两个变式题,教师再去出示就显得多余,在这里设问的落点变式自然就变成学生能解决的方案。
三、引导学生对问题的条件、结论进行变式
1.改变条件,挖掘内在联系
题目:求证如果一个角的平面外一点到角两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上(人教版高中数学新教材(二)下P23例4)。
证明略。
师:针对题目的条件进行分析,条件可做哪些变式呢?
很快,生A变式:
经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,则这条斜线在平面内的射影是这个角的平分线。
证法同题目一样,应用全等三角形证明两角相等即可。
说明:将条件中的距离相等变为角度相等,但其结论一样,让学生思考角度相等和距离相等之间的内在联系,提示问题的实质,培养思维的准确性。
2.改变结论,培养思维的广阔性
教师首先分析解法,再引导学生对结论探究。
师:使得A、B、C、D四点共圆的点N只有一个吗?
生:满足条件的点N有无数个,它们在直线y=±2x上。
师:直线y=±2x是怎么推到的?与已知双曲线方程的基本元素a、b(半实轴长,半虚轴长)有怎样的关系?能将结论作一般的推广吗?
从发散的角度将原题的结论拓展开来,步步深入,激发了学生探究热情,培养学生思维的广阔性。
四、引导学生对问题出现的情景进行变式
1.同一问题在不同的情景中呈现
2.对不同的问题展开联想,类比新情景
题目:在等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求a12。
学生很快解出结果,老师启发得:
推广1:在等差数列{an}中,am=n,an=m(m≠n),求am+n。
展开联想1:在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求S110。
再次推广得:在等差数列{an}中,Sm=m(m≠n),求Sm+n。
此时,课堂气氛异常活跃,顺水推舟,教师引导学生充分联想类比,等比数列也会有类似的问题吗?
学生A变式得:
在等比数列{an}中,若前10项积为10,前100项之积为100,求前110项之积。
展开联想,不断推广,使知识形成网络,善于类比,使问题不断出现新的情景,进而达到融会贯通效果。
最后笔者需指出的是,实施数学变式教学时,作为教师应该牢牢把握三个“度”,一是题目的变式难度要有“梯度”,要循序渐进,不可“一步到位”,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决降低学习效率;二是题目变式的数量要“适度”,不能多多益善,否则造成题海,必然会引起学生的反感;三是要創设变式情境,提高学生的“参与度”,唤起学生求知欲,否则会导致“高投入低产出”、事倍功半的教学效果。
参考文献:
1.范永顺主编.《中学数学教学引论》
2.江山野.《课程改革论》
基于中职生的数学变式教学 篇4
一、变式情景 孕育新知
在讲“直线与圆的位置关系”这节课时候, 微机演示唐朝诗人王维《使至塞上》:“大漠孤烟直, 长河落日圆.”这句以出色的描写, 道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感, 起到对中职生语文智能的开发.我们从数学的角度看到前半句是这样一幅几何图形:一条直线垂直于一个平面.那么后半句又是怎样的几何图形呢?让同学们猜想并动手画一画.通过以上情境变式, 孕育“直线与圆的三种位置关系”这个知识点.
在讲“同角三角函数”第一节课时, 播放视屏《滑跃14°:中国海军起飞的仰角》.滑跃14°, 是“辽宁舰”甲板舰艏的一个显著标识, 是舰载机从甲板上起飞的一个仰角, 它决定着舰载机能否成功起飞, 被视为中国海军从海上起飞的一个象征.弘扬了爱国主义的同时, 向学生提问:“如何求仰角处甲板的高度?”
以上两个变式创设情境, 都通过直观画面展示问题情景, 激发学生学习兴趣, 开发多元智能, 营造探索问题的氛围.在学生现有知识处创设情境, 建立“最近发展区”, 同时让学生体会到数学知识无处不在, 应用数学无处不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.
二、变式启发 探索新知
在讲椭圆第一课时, 通过让两名学生来做一个实验:用一根绳子和粉笔来画一个椭圆.接着提出问题1:实验过程中, 绳子两端是固定的还是运动的?
问题2:实验过程中, 绳子松弛了吗?绳子的长度改变了没有?
问题3:实验过程中, 绳子的长度与绳子两端距离大小有怎样的关系?
通过以上问题串的提问, 变式启发, 逐层推进, 体验数学的活动过程, 探索椭圆的定义和特征.
又如, 在讲同角三角函数第一课时, 首先, 我用多媒体出示以下三个问题, 让全班学生进行思考: (1) 特殊角以及界限角的三角函数值; (2) 角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义如何表示? (3) 各象限角的三角函数值的正负号的判断口诀 (一全正, 二正弦, 三正切, 四余弦) .
通过以上三个提问, 复习此知识点, 目的是为了让学生从三角函数的定义中探索它们之间存在一定的联系, 从而得出特殊角的同角三角函数的基本关系式.根据中职生的接受理论知识能力较差, 动手能力较强的特点, 利用“最近发展区”原理, 学生已有的知识基础是教学活动的起点, 从已有的知识入手, 引导学生对特殊角的同角三角函数的基本关系式进行观察、猜想、交流等一系列教学活动, 来进一步推广到一般角的公式.这样既能激发对数学的学习兴趣, 也有助于感悟数学的思想方法.
变式启发, 探索新知教学可以使中职学生对问题分析解决过程有一个清晰的认识, 能使学生深刻理解定义概念、公式、定理的本质特征, 培养了中职生的动手观察和猜想能力, 也能有效地帮助学生培养学生的计算技能和数学思维能力.
三、变式练习巩固拓展
如在讲圆的标准方程时, 设计如下的变式题组.如原题为:已知圆的标准方程为x2+y2=4, 求圆心和半径.
变式题:1.已知圆的标准方程为 (x-1) 2+ (y+2) 2=4, 求圆心和半径.
2. 已知圆心为 (0, 0) , 半径为3, 求圆的标准方程.
3. 已知圆心为 (1, 0) , 半径为3, 求圆的标准方程.
4. 已知圆心为 (-1, 2) , 半径为2, 求圆的标准方程.
四个变式题通过加强条件与变化条件与结论的构造, 使学生进一步理解了圆的标准方程的定义, 从而更好地巩固拓展了圆的标准方程的有关知识.
再如, 在同角三角函数第一课时中:
一题多变, 让学生发散思维, 进一步理解基本关系式.以分层次的问题引导学生的思维层层深入, 变式1加深对同角的理解, 变式2在温习以前的旧知的基础上巩固新的知识和体会分类思维的数学方法, 特别是变式3, 拓展知识, 渗透方程组的思想, 使学生的思维得到升华.
课堂教学中的例题的变式教学对教学目标的实现起到承上启下的关键作用, 一定要符合中职生的学情, 通过同学间的合作探讨, 经过老师的循循善诱来完成的, 老师还可以根据学生掌握的实际情况及时调整教学进度, 以学定教.所以在设置变式练习时要注意以下几点: (1) 变式练习跨度要小, 要有梯度, 一个例题中设置多个小题, 由易入难, 为学生的有效思考搭好“脚手架”. (2) 设置开放性题目, 让学生自己改变条件或结论, 真正让学生在动手过程中巩固知识、应用知识. (3) 重视学生变式练习中理解应用上的差异, 分层提问, 以生为本, 面向全体, 逐步提升学生的计算能力和思维能力.数学课堂中例题习题变式教学, 体现了数学课都能在“变”的现象中发现“不变”的本质, 从“不变”的本质中探究“变”的规律.
四、变式小结画龙点睛
对正弦函数图像的学习, 杭州市人民职校董老师在学前班的公开课中运用了学生rap说唱:正弦型函数波浪线, 五点作图很重要, 零到2π四等分, 各点取值界限角, 横纵标度要统一, 图像美观又和谐, 平滑曲线连各点, 这点一定要记牢, 类似曲线要作图, 三行六列十八格, 图像特征有规律, 平移伸缩要掌握, 正弦型函数并不难, 我学我做我快乐!可以说这个变式小结方法充分发挥了中职专业特色和挖掘了学前专业同学强势音乐智能, 利用这个优势智能带动了弱势智能, 教师也有效的达到了音乐智能教学法.
二角和差的正余弦公式的记忆的时候, 笔者采用了自己高中的数学恩师倪荣柱的谐音记忆法, “正弦”发音谐音成“笑”, “余弦”发音谐音成“哭”, 这样4个公式就变成了“笑哭哭笑不变号”和“哭哭笑笑要变号”.还有在讲求曲线方程的时候, 笔者采用了“建设限代化”关键词记忆法.分别表示:建立坐标系, 设动点坐标, 找限制关系 (等量关系) , 代入方程, 化简方程.在讲向量的坐标这节时, 采用了有位数学诗人的诗歌法:给你一个箭头, 你是我的向量;给你一个方向, 你在我心中飞翔;给你一个坐标, 带着我, 起航征途.这种广义的变式教学方法也很大程度上调动和提高了中职学生的学习兴趣.
课堂小结是课堂教学的最后一个环节, 对本节课所学知识起了加深巩固, 画龙点睛的作用, 同时也能激发求知欲、为下节课做好伏笔的效果.要抓住重点具有简洁性、针对中职学生具有趣味性.
以上根据课堂教学的引入新课, 探索新知, 练习巩固, 课堂小结共4个环节来讨论总结自己的教书心得体会.总之, 在学生的知识维度能力维度情感维度的“最近发展区”, 通过变式教学, 教师要把握引导性主体作用, 要充分体现学生的发展性主体地位, 要激励学生大胆地“变”, 这样才能让更多的学生有激情参与进来, 实现师生互动、生生互动的双边互动关系, 既开发了学生的多元智能, 又更好培养学生的创新意识和创新精神.
摘要：中职学生数学基础总体薄弱, 对数学学习存在一定的畏惧心理.在数学课堂教学中适当地运用变式教学方法有助于学生在“最近发展区”掌握概念定理的本质, 激发学生的学习兴趣, 培养学生的思维能力.
关键词：中职数学,变式教学,最近发展区,多元智能
参考文献
中职数学变式教学 篇5
——“问题—亲历—变式—梳理”数学课堂教学模式实践
Johann Friedrich Herbart and John Dewey equilibrium ——Problems expericnced variable practice carding mathematics Classroom
teaching
mode
陈六一：江苏省苏州市阳山实验小学校，苏州市高新区阳山花苑一区95号，邮编：215151，电邮：2403802455@qq.com，电话：***。
【摘要】
通过“问题—亲历—变式—梳理”模式的课堂实践，探索“有趣、有疑、有创”的小学数学教学。有趣，即教师教得趣味盎然，学生学得妙趣横生；有疑，即教师问得巧，学生问得妙；有创，也就是教师情理之中的设计，孕育学生思维意料之外的精彩。当然以一定理论支撑下的教学模式，可以兑现前述的“三有”好课观；更为重要的是，丰富的课堂教学实践，又反过来映衬了教学模式的可行性：在模式的实践中平衡直接经验与间接经验，平衡过程与结果。课堂环节的递进围绕着“三线”开展：以思维为主线，以有趣为导线，以思想为隐线。【关键词】
问题
变式
亲身经历
数学现实
实现数学
【引言】
如同一千个读者就有一千个哈姆雷特，何谓一节好的数学课？想必一千个数学老师也有一千种解读。例如李炳亭老师认为好课要看状态、看参与、看流程、看效果、看师德；而叶澜教授心中则有这样的好课标准：有意义、有效率、生成性、常态性、有待完善。因为课堂教学毕竟至少是科学的，所以研究过往的数学课堂教学经验，总能找寻到一些规律，得到一些启示。于是在《一堂好的数学课是个什么样子》①一文中，笔者以为好的小学数学课堂教学，可以从“三有”着力——有趣、有疑、有创。所谓有趣，即教师教得趣味盎然，学生学得妙趣横生；所谓有疑，即教师问得巧，学生问得妙；所谓有创，也就是教师情理之中的设计，孕育学生思维意料之外的精彩。这是我十七年一线小学数学教学实践的思悟，有着个体经验的特殊性，但依然可追溯其理论源头。
“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。”②
“兴趣既是学习的原因，也是学习的结果。也就是说，兴趣导致学习，而学习产生更大的兴趣。”③
从教学行为上看，教师要完成如下任务：（1）激发学生的数学学习兴趣和动机；
（2）通过问题情境等多种形式向学生提出学习任务；
（3）引导学生针对学习任务开展数学活动（包括尝试探究、变式训练等）；（4）对学生的学习活动进行反馈和调节；
（5）对学生的学习结果做出诊断和评估，必要时给予补救教学。④
【正文】
以理论武装的经验貌似具有了形而上的底气，进而，笔者提出“问题—亲历—变式—梳理”的小学数学课堂教学模式，以行动兑现理念。
一、问题——发端教与学
《九章算术》中的246个问题，是我们教师创设数学问题很好的摹本，可惜我们没有继承发扬，以至于提出好的问题成了我们一线数学教师的奢侈品。那何为问题？指的就是需要学生研究并加以解决的数学矛盾，或者疑难的数学题目。以问题为出发点是小学数学课堂教学首要的一个策略。主要基于两个理由：第一，任何数学知识都有其产生的背景，它往往建立在解决问题需要的基础上，而且是自然诞生的，是水到渠成的结晶；第二，由难度适当的问题或者在学生数学现实的区域内，亦或真切的生活情境需要新知，而引起的认知冲突，可以激发学生的 求知欲和思维的积极性，提高小学生学习数学的兴趣。例1-1：苏教版六年级上册《方程》例题1教材呈现如下：
我觉得直接引用教材问题，学生“看个究竟的动机”不高，其
一、西安距离我的教学地苏州太远，学生不熟悉；其
二、问题不好玩，学生会觉得问题解决不过是做题而已。于是，我进行了改编——
师：想知道老师的身高嘛？ 生：当然想。
师：我不想直接告诉你，咋办？
生：老师，你和佳佳同学差不多高，大概165厘米吧？
师：拉关系，好办法。告诉大家，虽然老师很矮，但还是愿意和姚明拉上关系。
生：哈哈大笑。
师：大家都知道姚明有多高？ 生：227厘米。
师板书：姚明身高227厘米，是数学陈老师身高的3倍„„ 生：不可能，老师矮得没那么夸张。
师接着板书：姚明身高227厘米，是数学陈老师身高的3倍少271厘米，老师身高多少厘米？
课堂效果正如我所料，一个个兴致高昂。课堂中问题固然可以由老师设计提出，但更要研究学生提出的问题，一如《学记》要求教师“善问”和“善待问”：“善问者如攻坚木，先其易者，后节其目，及其久也相说以解。不善问者反此。善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣，待其从容，然后尽其声。不善答问者反此。”但当前实际的小学教学频频出现曹才翰、章建跃教授的担 3 忧：课堂中老师“缺乏问题意识，解答结构良好的问题多，引导学生主动提出问题少，对学生提出问题的能力培养不力。”⑤
例1-2：一个学生向我提出：“老师，其实三角形、长方形、正方形、平行四边形都可以看做梯形。”和学生分享交流后，我觉得这个问题很有意思，待到课堂我请这位同学在班级里提出，学生们也颇感好奇。于是一段新奇的探索开始了——
S三角形=（a+b）h÷2=（0+a）h÷2=ah÷2
S长方形=（a+b）h÷2=（a+ a）b÷2=a b
S正方形=（a+b）h÷2=（a+ a）a÷2=a2 S平行四边形=（a+b）h÷2=（a+ a）h÷2=a h
二、亲历——经验过程中厚积薄发
课堂中学生须得亲身经历思维活动的认知操作过程，包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比、猜想等等；课堂中学生还应该亲身经历或成功或失败或懊恼或兴奋的精神体验。
例2-1：在《三角形的内角和》的课堂，学生通过计算一副三角尺两个不同的直角三角形内角和是180度，提出猜想：“任意三角形的内角和都是180度。”接着学生们各自根据自己的认知、经验实际操作验证。
生1：画出各种形状的三角形若干个，分别测量各个角的度数，然后计算。
生2：画出各种形状的三角形若干个，依次剪下每个三角形的三个角，看是否平成一个平角。
生3：
（1）
（2）
（3）
„„
需要提醒的是，任何有效的学习，都是一个主动建构的过程，但是这种主动是在主体拥有学习动机的前提下进行的；可是学习并不完全是为了适应学生目前的环境，不乏学生意识不到学习对于自己成长的作用，因此不愿意为学习付出应有的努力。还有很多数学知识与生活实际之间具有间接性，加之抽象严密的逻辑 4 让很多学生心生恐惧，因此数学的学习相对于其他学科的学习更加被动。然而，有效学习数学是建立在学生心理活动的基础之上，所以当学生的非智力因素（动机、兴趣、情感、意志、性格等等）真切参与到认知活动中来，智力才会发生作用。
三、变式——超越直接经验
变式：中国数学教学的传统，也是中国“双基教学”的精华。通过变更学生认识数学知识的视角，显现数学知识的隐蔽要素，显现数学知识的本质特征。儿童的成长不完全建立在“直接经验”之上，就像不能让儿童亲自吸毒的办法来认识“罂粟”的危害一样。那么由教师设计练习，学生接受变式训练达到熟能生巧，也是一种意义学习，发现学习，而并不是传统的就是机械的，糟糕的。
顾冷沅先生在总结上海青浦经验时，使用了“概念变式”和“过程变式”的两种分类。⑥
1、当概念被认为是静止对象时，概念性变式是卓有成效的方法。
例3-1：《乘法分配律》练习中出示“23×62+23×38，23×23+23×77，23×101—23，23×102，23×23+23×78—23，（34×67+34×58）×8，8100÷90+8100÷10，（400+40+4）×25”。
这些变式是抽象的数字与符号，但相对于乘法分配律的意义来说则是具体的。
2、如果知识是通过一系列过程的发展而形成的，那么帮助学生体验知识的“生长经历”就成了引入新知的必由之路。
例3-2：《乘法分配律》的学习中，我设计了如下过程式变式，帮助学生逐步建立乘法分配律的概念。（1）情境感知
出示算式23×（62+38），请同学们用买衣服的情境编题，学生：一件上衣62元，一条裤子38元，阿姨买了这样的衣服23套，一共用去多少元？接着出示算式23×62+23×38，还请同学们用买衣服的情境编题，学生：一件上衣62元，阿姨买了23件，一条裤子38元，阿姨也买了23件。那么阿姨一共用去多少元？
学生观察，得出两个题目表达的内容完全一样，可以只用一个情境，并且两个算式的而结果也肯定一样。老师请同学们自己选择不同的数据，继续编题，并写出算式：18×39+18×38=18×（39+38），20×60+20×40=20×（60+40）„„
5（2）抽象感知
师：这样的等式写得完吗？不需要情境你能再写出几个类似的等式吗？ 生：18×139+18×138=18×（139+138），25×18+25×82=25×（18+82）„„ 师：很棒！这些等式百分之百的正确，请教你是用什么方法写出这些等式的？ 生：这里有规律的，两个乘法算式相加，如果有相同的因数，可以这个因数乘其他两个因数的和。（3）用符号概括
师：这样的算式永远写不完，那可以用一个什么办法把这些算式都包含进去？
生：▲×□+▲×◇=▲×（□+◇）
生：a×b+a×c=a×（b+c）（4）灵活运用
师：名名同学计算12×（13+4）=12×13+4，错在哪里？与正确答案相差多少？
变式，也切合建构主义者提出的“随机通达教学”：对同一内容的学习要在不同时间多次进行，每次的情境都是改组的，分别针对知识的不同侧面。这样，在每一次的教学中，学生都能获得知识的新理解，从而使学生对概念形成多角度的理解，并与具体情境联系起来，形成背景行经验。
四、梳理——以“数学现实”发展到“实现数学”
例4-1：《平行四边形的面积》变式教学之后，老师提出：今天有哪些收获？老师不满足于学生“学习了平行四边形的面积公式S=ah。”接着启发学生总结出“要想求出平行四边形的面积，需想办法找到对应的底和高的长度；同理，求底，则需要面积与高的数据，求高，则需要面积与底的数据。”还启发学生得到“推倒平行四边形的面积公式是把平行四边形转化为长方形，那么我们没有学的三角形面积公式、梯形面积公式，也可以转化为学过的图形面积公式。”甚至有学生说出“通过今天的学习，我明白了不懂的知识可以经过转化，变成自己掌握的知识。”
梳理环节的设计，受益于波利亚“怎样解题表”的启迪，在“怎样解题表”中，波利亚的第四阶段是“回顾，检查已经得到的答案”。这是一个非常有远见的做法，不但帮助接替者验证了答案的准确度，更使得解题思路清晰可现，解题方法与学习者“数学现实”予以同化或者顺应。那课堂教学中，通过回顾梳理所学 6 的知识、技能、方法、经验、思想，可帮助学行内化认知，正迁移思想方法，使得学生脑海里的知识趋向结构化，由“学会” 达到“会学”。
例4-2：刘德武老师在《一卷卫生纸有多长》一课上，让学生通过估计、实验、计算的方法，算出了卫生纸的长度，最后为了验证结果，学生用直接测量的方法，测出了卫生纸的长度。随后，刘老师提出了一个问题：“我们花了大半节课的时间去计算一卷卫生纸的长度，但用测量的方法只花了两分钟的时间，而且测量结果比计算结果更准确，我们折腾那么长时间干嘛呀？”
学生的回答可是精彩。
生1：如果是很大的一卷纸，要直接测量是很费事的。生2：如果不打开卷，测量是不可能的。
生3：在数学课上我们学到了方法，在生活中多有用啊！
生4：这种学习，可以锻炼自己的思维，比直接测量有用，可以使我们更加聪明。
生5：这种研究不是简单地练习，不是做题后再做题，而是在研究中得到发展，我喜欢这样的数学课。
梳理亲历探索这卷卫生纸的长度的过程、方法，对卫生纸到底有多长的结果并不重要，重要的是学生在回顾中，体悟了探究的意义，体验了数学的应用价值，思维含量，以“数学现实”发展到了“实现数学”。
【结语】
教学中，可依次按照“问题—亲历—变式—梳理”的顺序推进教学过程，但是这四个环节也并非一定是必然的前后起承关系。例如学生在“亲历”、“变式”、环节教学中，学生自然可以相机提出问题，学生的良好问题改变了教师的预设，教师机智的处理生成，进一步促进教学相长。例如学生亲历思维活动之后，老师可以帮助“后进生”回顾操作方法、推理思路等，顺利过渡到变式练习„„
其实，追溯当代教学理论的哲学源头，基本上都是从赫尔巴特和杜威的教学思想演变发展而来。⑦赫尔巴特知识观的核心是重视间接经验的学习，他认为主体与客观二元分立，客体独立于认知主体，知识的客观性对主体具有制约作用。因此赫尔巴特主张教学可靠性知识的理解与接受，学生要学习具有系统性的课本知识，教师的任务是揭示确定性知识的内在联系。赫尔巴特的教学思想非常适宜 我们中华“自上而下”的文化土壤。杜威强调直接经验的学习，“儿童中心论”是其教育思想的要义，他建构起主体与客体、经验与自然、物质与精神相互依赖、双向维系的整体性“生命存在论”，主张学生在“做”与“思维”的过程中学习。
进行“问题—亲历—变式—梳理”模式的课堂实践，如以上案例教学，尝试平衡“赫尔巴特对直接经验的偏见性与杜威教育就是经验的改组、知识是不确定的” 这两种教育理念。因为这不是非此即彼之争，反而应该在吸取对方长处，优势互补中求发展；因为这种发展可以平衡直接经验与间接经验，可以平衡过程与结果。
【参考文献】
①：陈六一，《考试》综合版【J】2013年第5期，北京，41。
②：教育部，《义务教育数学课程标准》（2011年版）【M】，2012，北京，2。③：斯滕伯格、威廉姆斯，2012，北京，《斯滕伯格教育心理学》【M】，304。④：曹才翰、章建跃，2007，北京，《数学教育心理学》【M】，18-19。⑤：曹才翰、章建跃，2007，北京，《数学教育心理学》【M】，282。⑥：张奠宙：2009，上海，《中国数学双基教学》【M】，72。
⑦：孔企平、张维忠、黄荣金，2003，北京，《数学新课程与数学学习》【M】，228。
【作者简介】
初中数学变式教学应用研究 篇6
[关键词]初中 数学 变式教学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）120040
随着我国新课改的实施，传统的教学模式已经不能满足当下社会环境对教育的要求。为实现新课改的教学目标，教学模式与方法的创新是提高教学效率最好的解决办法之一。以初中数学为例，传统的数学教学常受限于狭窄的课本知识范围内，尽管学生初步掌握了理论知识点，但对于后续技能举一反三的深化理解和熟练应用并没有达到理想化的效果。在新课改标准的引导下，为了更好地让学生运用知识解决实际问题，初中数学教学模式正在不断地进行创新和改进，变式教学便成为初中数学的有效教学方法之一。本文将浅析初中数学教学中变式教学的应用研究，探讨变式教学的原则、方法和重要意义。
一、初中数学教学中变式教学的原则
（一）变式教学的针对性原则
数学课堂上会分阶段进行新知识讲解和已学知识复习。在这个过程中，变式教学的应用极为常见，其针对服务的对象也在转换的过程中不断变换。在对新知识进行讲解时，对于知识点和逻辑概念的变式教学应该服务于课前安排的教学目的；在复习阶段，变式教学应以该章节内容为主，注重对学生数学逻辑和解题思想方法的培养，针对这些方法，继续进行发散的联系和总结。
（二）变式教学的适用性原则和参与性原则
根据数学课本上的知识点或概念进行变式教学。在“变”的过程中，要注意变式教学的适用性原则，掌握好“变”的度。不能“变”得过于简单，重复的类似劳动不会使学生的数学思维得到应有的提高；也不能“变”得过于复杂，难度过高容易打击学生对于学习的积极性，使变式教学不能达到应有的效果。在“变”的过程中，教师不能永远作为“变”的主导者，要适当鼓励学生自主合作地参与变式教学中，以达到教学目的，使学生的思维能力得到最大限度的锻炼与提高。
二、初中数学教学中变式教学的方法
（一）通过直观教学角度进行变式教学
数学课本上的内容多以概念和理论为主，其抽象性较强，空间性也较强，这加深了学生理解知识点的难度。此时教师可以转换教学的角度，将目光从书本上移植到生活中，以直观的角度对某些基础概念进行解答。例如，在诠释轴对称图形的概念时，教师可以用实物或图片向学生解释什么是轴对称图形。在学生自己观察理解，逐渐对轴对称图形有了模糊的笼统认识之后，让学生总结出轴对称图形的概念，并举出生活中轴对称图形概念的例子，以证实学生确实掌握了该知识点，提升学生发散思维的能力和数学逻辑思维深度。
（二）利用变换思维进行变式教学
逆向思维是数学解题模式中常用的思维方式。其过程是将题目的最终问题和解题条件进行合理的调换，进行逆向思考，从而找到解题思路。这种变式教学的方式在数学习题讲解中应用广泛，利用这种方式，教师可以了解到学生对知识点的掌握程度，了解学生是否可以灵活利用逆向思维进行知识迁移。初中数学涉及的“点、线、角”知识与习题多用到逆向思维进行解题。因此，在教师讲解平面图形“点、线、面、角”的知识时，就可以利用变换思维进行变式教学，从而培养学生逆向思维的灵活程度，使其养成良好的灵活思维模式。
（三）层层递进的变式教学
推进变式教学也是初中数学教学中经常应用的一种变式教学手段。这种方式可以让接受能力与理解能力较差的学生，由浅入深地逐步接受并理解数学概念和问题，使学生的数学思维逐渐建立并坚固，变得广泛。
三、初中数学教学中变式教学应用研究的意义
新课改指出的教学标准不同于以往的传统教学，只关注知识点的单向灌输。其更注重人性化的教育，目标是让教育融入生活中，将知识运用到生活中，要培养学生的各项思维能力以及沟通能力，以达到培养全面型人才的目的。在初中数学教学中，变式教育的应用可以引导学生，使学生学会多角度考虑问题的本质，培养其逻辑思维能力与数学思维能力，使之思维的灵活性得到质的提高，并可以将这种思维带入生活，为将来高中数学、大学数学的学习提供一定的基础便利。
通过对知识与原题的图形、条件与问题进行改动变换，实现变式教学法，对提升学生的应变能力、改善思维灵活性、提高解决问题的能力效果是非常明显且有益无害的。作为教育工作者，要不断对教学方法进行改良和创新，以提高教学质量以及学生的学习素质。综上所述，在初中数学教学中，变式教学法的强大作用不可忽视。
[ 参 考 文 献 ]
[1]严昌宝.变式教学在初中数学中的运用与思考[J].新课程学习（基础教育），2011（7）.
[2]欧翠荣.变式教学在初中数学教学中的应用举例[J].中学课程辅导（教学研究），2013（7）.
中职数学变式教学 篇7
解决数学问题过程中当思维出现障碍, 解题思维发生中断时, 如何正确有效地去化解这个思维障碍, 及时迅速地找出延续解题的出路, 创造出柳暗花明又一村的奇迹呢?在多年的教学实践中认识到, 笔者运用“变式法”的策略, 往往是十分有效的.
所谓变式教学法, 它的核心是利用构造一系列变式的方法, 来展示知识发生、发展过程, 数学问题的结构和演变过程, 解决问题的思维过程, 以及创设暴露思维障碍情境, 从而形成一种思维训练的有效模式. 这种教学方法具有开启智慧, 激发学习热情, 重视实践尝试, 追求融通变化, 提升应变能力的作用, 有效实现学生在相同条件下迁移、发散知识的能力培养. 表现出结构清晰、层次分明, 举一反三、触类旁通的教学特点, 有助于有效课堂的建构, 教学质量提升.
一、变陌生为熟悉
著名的苏联数学家、莫斯科大学教授C. A. 雅诺夫斯卡娅有一次向奥林匹克数学竞赛参加者发表了“什么叫解题”的演讲. 她的答案显得惊人的简单, 完全出乎听众的意料之外: “解题就是把未解过的题归结为已经解过的题. ”也就是“变式”. 因此, 遇到情景陌生的新问题, 当你感到一筹莫展时, 不妨选择一个与之类似的熟悉的问题, 将它与新问题相比较, 设法寻找出两者之间的联系和相似之处, 用熟悉问题的方法和结论, 去探求解决新问题的思路.
案例1已知y = ( log2x - 1 ) loga2b - 6 log2x logab +log2x + 1 ( a > 0且a≠1为常数) , 当x在区间[1, 2]内任意取值时, y的值恒为正, 求b的取值范围.
分析与解答本题的情境陌生, 变元繁多, 条件与结论之间的关系错综复杂, 初看时不知从何下手. 如果令log2x =t, 则原函数式即可变为y = ( log2ab - 6 logab + 1 ) t + ( 1 log2ab) . 原函数立即转化为形如y = kx + b形式的一次函数了. 再回头看t的区间, 由于x∈[1, 2], ∴t∈[0, 1], 分析到这里, 原问题就转变为“关于t的一次函数在t∈[0, 1]区间上的值恒定, 求b的范围”了.
对此问题绝大多数同学相对熟悉, 解之也就手到擒来了.
二、变复杂为简单
根据认识论原理, 人们认识问题总是从简单到复杂, 从个别到一般. 所以当我们面对一个复杂的问题时感到束手无策时, 不妨采用退的策略, 从复杂的问题退到最原始、最简单, 但又不失去问题的主心的问题上去, 对它作一些探索, 借以触发解题的灵感, 畅通解题的思路, 或者通过对原问题进行分解转化, 将其转变为若干相对比较简单的问题, 然后各个击破, 而解之, 进而达到解决问题的目的.
案例2设a > b > c > 0, 求证: a2ab2bc2c> ab + cbc + aca + b.
分析与解答直接推证原不等式难以下手, 思路受阻.如果我们从待证式的结构出发, 并将之变化一下看一看.
通过比较可得出, 如果能证明一组成立, 那么其余两组也一定成立, 待证式也就不难证明了. 可以看出, 证明显然此命题比原命题要简单得多, 这样我们就达到了化复杂为简单的目的了.
证明∵a > b > c > 0, ∴a/b> 1, a - b > 0.
三、变一般为特殊
因为普遍成立的结论在特殊情况下也成立, 所以, 当解决一个一般性的问题感到困难时, 可先去研究包含在一般问题中的一个特殊的问题, 通过对这个特殊问题的透彻研究, 去探明原问题的正确结论或探索出解决原问题的正确途径.
四、变抽象为直观
著名数学家华罗庚先生说过: “数缺形时少直观, 形少数时难入微. ”数和形是一对孪生兄弟, 许多问题直接从“数”本身去求解, 往往难以抓住问题的本质, 但若能以“形”的角度入手, 挖掘问题的几何特征, 构造出一个几何图形, 借助于图形的性质, 将抽象的概念和复杂的数字关系直观化、形象化, 可以使得隐含条件清晰可辨, 这样解题的思路就会变得茅塞顿开了.
变式法是解数学问题的一个基本方法. 在中职数学各环节的教学中, “变式”无处不在, 无时不有, “变式”决定了解题的方向, 因此, 在中职数学教学过程中, 教师要有意识地培养学生, 用“变式思想”来化解思维障碍. 这对于培养学生的思维能力, 提高解题能力, 养成良好科学的解题习惯是大有裨益的. 只要我们学会运用正确的思维方法, 发扬勇于探究的精神, 就一定能领略到曲径通幽的意境, 享受无限风光在险峰的乐趣.
摘要：数学思想和方法是数学知识的精髓, 又是知识转化为能力的桥梁.数学教学是促使学生形成数学思想, 掌握数学方法的必然之路.变式教学法是数学化归思想方法 的有效运用.运用变式法去化解解题中的思维障碍是十分有效的, 变式法是数学解题中最基本的、最常用的解题方法.
中职数学变式教学 篇8
一、多元表征的变式教学概述
(一) 多元表征的变式教学核心思想
多元表征的变式教学核心思想是“以学论教”。一方面, 教师要为学生搭建合理的学习平台, 通过不同的表征观察、思考学习, 把学生推到解决问题的前台, 凸显出学生的主体作用;另一方面, 教师应立足学生, 围绕同一知识点, 坚持低起点、慢步调、小难度来设置多元表征问题变式, 促进学生学习, 使他们形成知识体系。
(二) 多元表征的变式教学特点
1. 系统性
多元表征与变式教学是一个有序、反馈、整合的教学系统, 它能呈现数学概念、原理、思想方法内在的联系, 使学生在学习中通过观察、区分、比较、图示, 梳理出知识之间的内在联系, 从而有选择、有规律地建构成知识整体。
2. 层次性
多元表征的变式教学就是从多个角度、多层次突显出概念的内涵, 逐步揭示概念的本质属性。运用此方法教学, 能使不同认知水平的学生在学习相同的数学概念、思想方法时, 建构和完善知识结构, 建立新旧知识的有机联系。
3. 渐变性
多元表征的变式教学利用同一数学教学主题的不同表现形式, 不断变更问题的情境或改变学生思维的角度, 在保持数学主题的本质特征不变的情况下, 深刻地揭示问题的实质, 易让学生理解。
(三) 多元表征与变式教学的理论依据
1. 从系统论看基于多元表征的变式教学
系统论是科学的世界观和方法论。①多元表征的变式教学系统符合系统论的三条原理:反馈原理、有序原理、整体原理。
2. 从学习论看基于多元表征的变式教学
奥苏贝尔认为有意义学习是新知识和已有知识某些特许方面建立学习者新旧知识的合理和实质性的联系。一方面, 多元表征的变式教学可以使学生多角度地理解数学知识的本质属性, 使得学生获得知识的本质联系;另一方面, 通过知识点的多元表征转化, 学生可以获得数学知识形成、问题解决的经验, 建立新旧知识的有机联系。
3. 从认知论看基于多元表征的变式教学
从知识认知论看, 不同类别的知识是互补的, 在一定条件下可以相互转化, 多元表征的变式教学, 符合两类知识转化理论, 从发展认知论看, 学生认知的基础是经验, 经验有各种形式、概念及理论结构。多元表征的学习, 就是经验与直觉的重现, 能发展学生的思维。
二、多元表征的变式教学实践
(一) 落实目标, 关注学生
课堂教学核心就是落实知识与技能。在一节课或一个知识板块的学习中应始终以本节课的教学目标为限度。多元表征的变式教学十分重视学生的主体作用。不同的学生头脑中信息表征的方式千差万别, 在认知活动中, 我们应关注学生的个体差异, 重视学生在学习活动中的真实思维。
案例1数列的通项公式
步骤1:剪纸。将一张长为16厘米的正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形, 再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形, 如此循环进行下去, 剪六次一共剪出多少个小的正方形?
设计意图:学生利用课前准备好的正方形纸片、剪刀, 动手操作, 教师做适当的指导, 有个别学生不理解怎样剪时, 教师可恰当给出示范。通过动手实践, 激发学生的兴趣, 让学生参与到课堂学习中去。
步骤2:填表。把每一次剪得的正方形数填在下面的表格。
当学生把表格填好后, 进一步提出以下问题:
(1) 如果能剪99次, 共剪出多少个正方形?根据表格里的数据分析, 你发现什么规律?
(2) 所剪的正方形个数an与所剪的次数n有什么关系?用数学表达式表示。
设计意图:填表的过程是一个难度较低动手实践的过程, 每一个学生都可以参与到教学活动来。在活动中, 学生经历了动手实验, 已对知识获得有了感性认识, 再经历对以上两问题的思考、猜想, 然后就能总结出数列的通项公式:an=3n+1 (n为自然数) 。
步骤3:应用。
(1) 计算要剪出28个正方形, 共要剪多少次?
(2) 能不能将原来的正方形剪成2001个小正方形呢?为什么?
设计意图:这两个问题的提出, 让学生在经历思考之后认识到了归纳出的公式的重要性, 而后一个问题是把an=2001代入公式an=3n+1, 得方程3 n+1=2001, 转化为判断此方程是否有自然数解的问题。因为关于n的一元一次方程没有自然数解, 所以不能将原方程剪成个小正方形。这样, 学生通过符号表征就能理解项与项数的关系。
步骤4:还原图形、观察变化。将剪完的所有正方形拼成原来的正方形, 并画出平面图形 (图略) , 通过观察这个图形你发现了什么规律?
(1) 每次剪得的正方形的边长都是前一次剪得的小正方形边长的一半。
(2) 每次剪出的小正方形面积都是前一个正方形面积的四分之一。
设计意图:通过图形的还原, 借助直觉形象表征, 能将学生的抽象思维具体化。另外, 给学生准备一种与实际经验相联系的情境, 可以让学生直接参与, 充分发表自己的观点。通过这样的学习情境, 学生的探究活动成为可能, 极大地调动了学生思维的积极性, 使每个学生都获得了成功的喜悦, 思维处于高度活跃状态。
步骤5:如果有一个边长为1的正方形, 那么第n次剪得的正方形边长是多少?或设an表示第n次所剪得的正方形边长, 试用含有n的代数式表示an。
设有一个正方形的边长为1, 剪n次后, 每次剪得的小正方形边长之和与原正方形边长有什么关系?
学生有畏难情绪时, 教师可引导学生认真观察, 鼓励学生积极思考, 建立数与形之间的联系, 启发学生把这个问题转化为比较a1+a2+a3+……+an与1的大小关系, 从中发现规律:
由此运用不完全归纳法, 得出结论:
可见, 多元表征的目的就是让学生从多个角度理解数学知识, 从不同角度有序推进数学教学, 帮助学生寻找解决不同问题的办法。因此, 在课堂中, 我们要以形取意, 落实教学目标。在课堂教学中, 教师可利用数学知识表现形式的多样性, 为学生提供图、表、文字、符号等各种表示, 创设一种变化多样的教学情境, 并为学生创造探索数学规律的机会, 这样教学活动才能开展得更加生动活泼而富有成效。
(二) 激发兴趣, 诱导参与
利用多元表征形式的教学内容, 创设多样的学习情境, 激发学生兴趣。所谓“多元表征”是指同一事物的不同表现形式。同一数学知识可能拥有不同表示形式, 现代信息技术由于具有具体形象、动静结合、声色兼备的“多元表征”的表现力, 可以便利地呈现丰富的教学内容, 我们可借助它创设生动、形象的学习情境, 激发学生的学习兴趣。
案例2 平面的概念教学
步骤1:让学生触摸教室的窗户玻璃、课桌面、墙面面、黑板、事先准备好的乒乓球、圆柱型茶罐等, 观察自己的手型变化, 目的是通过触摸使学生对平面、曲面有初步的感觉。
步骤2:利用多媒体, 具体形象展现出平面的无限延伸性, 让学生利用视觉表征的特性进一步理解教学对象。
步骤3:教师介绍平面的写法、读法, 并且随手画出水平放置、竖直放置的平面 (不用尺, 作图非常不规范) , 引导学生阅读相关教学内容。通过文本的阅读, 掌握平面的写法、画法。
步骤4:学生点评教师所画的图, 指出不合理的地方, 之后教师在学生的指引下, 做出图形, 并与学生一起读出图形。通过纠错的形式, 让学生进一步掌握平面的读法、画法。
步骤5:先让学生在草稿纸上按要求做出一个平面, 然后在第一个平面上再画一个平面, 将这两个平面组合成一个图, 接着教师展示学生作品, 让学生说说自己画的图形, 最后让学生找找生活中的图形原型, 将空间图形与实物图形联系起来, 以帮助学生建立空间感。
步骤6:引导学生作图, 引导学生观察平面与平面虚实部分、公共部分等, 为平面的性质教学做铺垫。
设计意图:职高教材中, 平面的概念是这样界定的——数学中平面是光滑并且可以无限延展的图形。显然平面的概念是一个描述型概念, 但在教学中平面又是一个核心概念, 是本章学习的基础。这一节的教学目的就是让学生了解平面的概念, 会读、会画平面。通过学生触摸—教师演示—阅读文本—实践联系—展示成果, 可从不同的感觉通道、不同的表征方式理解平面, 让学生掌握平面的读法、画法。
其实, 每一个数学知识都有不同的表示形式, 教师可以利用折纸、语言、书写文本、数学公式, 也可以利用图形、图表、图像等形式, 来凸显同一个知识的不同表现形式, 帮助学生理解。一个数学知识的多元表征的结构好比星形的冰山, 中心是知识的核心概念, 每一个尖端对应着一个表征形式, 而完整数学知识就是整座冰山, 教师应重视学生知识体系的构建。
(三) 突出重点, 突出难点
恰当运用“可视化”数学表征技术, 能突出重点, 突破难点, 帮助学生理解数学, 发展数学思维。数学思维过程 (一般难度较大的思维) 应以“可看得见的、清楚的”图形、图像、图表等表征的形式表示出来, 使人们对其有一个形象、直观的认识和理解。卫星云图、医疗成像都是计算机可视化的实际应用。可视化数学表征技术通过数学专业软件 (如几何画板、Mathcad等) 来实现。几何画板是一种动态的可视化数学软件, 特别是它的动态功能和易操作性是其他软件所不能比拟的。另外, 教师还可以运用现成的微型软件, 如用flash动画软件、VB等语言做成的执行程序, 实现数学可视化。可视化的特点是能使抽象的符号、复杂而零散的数据得到直观显示, 帮助学生理解数学关系的本质, 提升数学思维品质。
案例3指数函数的图像与性质
步骤1:创设情境。
(1) 如果让1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备6粒米, 4号同学准备8粒米, 5号同学准备10粒米……按这样的规律, 51号同学该准备多少粒米?
大家能否估计一下, 51号同学该准备的米有多重?
师:51号同学需要准备大米约5克。
(2) 如果让1号同学准备2粒米, 2号同学准备4粒米, 3号同学准备8粒米, 4号同学准备16粒米, 5号同学准备32粒米……按这样的规律, 51号同学该准备多少粒米?
大家能否估计一下, 51号同学该准备的米有多重?
师:51号同学需要准备的大米约1.2亿吨。
在以上两个问题中, 每位同学所需要准备的米粒数用y表示, 每位同学的号数用x表示, y与x之间的关系分别是什么?
学生易得到:
设计意图:通过实例, 给出指数函数的背景, 引出指数函数的概念。学生估算, 并说各自估算的结果后, 教师公布事先估算的数据。通过与一次函数的对比, 学生能感受到指数函数的爆炸增长, 激发了学习的兴趣和欲望。
设计意图:通过列表便利地呈现丰富的教学内容, 生动、形象地创设学习情境, 清晰地刻画两个变量的对应关系, 这样有利于学生感受到指数函数的性质, 培养学生观察分析的能力, 渗透数形结合的思想。
步骤4:对照图形说说指数函数的性质。
步骤5:对照图形再一次阅读教材。
步骤6:利用助学光盘中的软件, 让学生做出指数函数的图像。 (输入底数, 点击作图即可得到指数函数的图像)
通过实例、填表、作图, 说说指数函数的性质, 能促成实例、图表、口语文本等不同表征的相互联系, 促使学生灵活理解指数函数的本质, 深化数学思维。我们应合理运用不同学生表征的各自特点, 通过实物模型、图形、图表、图像描绘数学知识, 以加深学生对数学知识的本质理解。
(四) 灵活转换, 深化理解
实物模型、图表、口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征具有各自的特点与功能。如实物模型、图形等表征能形象地刻画数学知识的具体特征, 有益于直觉形象思维、创新思维的培养;文字、符号等表征适合于抽象逻辑思维, 有助于理性思辨的培养。而表征间的转化体现逻辑思维与非逻辑思维的互补。大量研究表明, 学生头脑中数学对象表征的结构性、丰富性、联系性及其相互之间的灵活转化代表着自身数学理解能力和问题解决水平的高低。教学中, 教师应刻画数学知识的多种表征, 发挥“多元表征”的相互联系与互补功能, 促进学生对表征的灵活转化, 加深他们对数学知识的本质理解, 深化他们的数学思维。
(五) 整合环境, 倡导创新
职高学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习。教师应引导学生选用自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式, 同时设立“数学探究”“数学建模”等学习活动, 从而让学生更好地掌握数学知识。
案例4一元二次函数的实际应用
问题1:为了改善小区环境, 某小区决定要在一块靠墙 (边长25米) 的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40米的栅栏围住。若设绿化带BC的边长为x米, 绿化带的面积为y平方米。
(1) 求y与x之间的函数关系式, 写出自变量x的取值范围;
(2) 当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大?
教师要与学生一起分析问题, 找出切入点, 构建数学模型, 进而建立关系式, 形成求最值问题。最后, 展示考试中的错解, 分析原因。
问题2:眼看要毕业了, 有同学建议来一次集体旅游, 为我们的职业高中生活画上圆满的句号。班长王斌去旅行社打听到这样一个信息:南京两日游每人单价360元。旅行社对超过40人的团给予优惠, 即旅行团每增加一人, 每人的单价就降低3元。现在我们班级有49人, 那么需要付出多少费用呢?从旅行社考虑, 当旅行团里的人数是多少时, 旅行社可以获得最大营业额?
问题3:最大营业额是最大利润吗?
如果每人在整个旅行中的成本是240元, 那么人数为多少时旅行社获得利润最大?为了不亏本, 旅行团的人数有没有上限呢? (师生共同解决)
三、多元表征的变式教学思考
(一) 教学目标明确
从学生的角度看, 多元表征的变式教学目的是激发学生兴趣, 发展学生思维。这就要求多元表征的变式问题不能超越学生现在的水平、脱离学生生活实际, 而要有一定的启发性和挑战性, 能促进学生思维发展;从教学者的角度来看, 教师应利用实物模型、图表、口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征各自的特点与功能, 借助变式, 明确教学目标。所有的多元表征的变式问题都要有鲜明的意图, 并围绕主题的目标展开, 通过系列的多元表征, 学生能够自主建构相关的数学概念、数学思想、方法, 教师能提高课堂教学效率。
(二) 多元表征的变式问题要难度适宜
在教学活动中, 根据教学内容进行探讨时, 教师要预见基于学生自己的经验和理解可能产生的一些不成熟表征, 对学生各个维度表征进行引导。需注意的是, 多元表征的变式问题不能太难, 要符合学生的认知规律和身心发展规律, 在学生的学习的最近发展区内, 不能让学生有望而却步的感觉, 但也不能太简单, 让学生不动脑筋轻易就得到答案。
(三) 多元表征的变式问题要层次分明
多元表征的变式问题的设计要紧扣教学目标, 依据学生思维活动的特点, 遵循一种由浅入深、层层递进的关系, 且问题与问题之间应层次、脉络分明。
(四) 设问自然
多元表征的变式问题设计要遵循自然的规律, 避免生搬硬套, 过于牵强附会, 让人觉得不自然, 琢磨不透设计的意图, 搞不清楚是怎么想到这个问题的。
参考文献
[1]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].中学数学教学参考, 2011 (5) .
[2]郑毓信.多元表征理论与概念教学 (续) [J].中学数学教学参考, 2011 (6) .
[3]郑毓信.变式教学理论的必要发展[J].中学数学教学月刊, 2006 (1) .
[4]曹才翰, 章建跃.中学数学教学概论 (第二版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2008.
[5]万伟.对“先学后教”类教学模式推广的反思[J].中小学管理, 2010 (11) .
[6]游建国.变式训练在数学教学中的作用[J].时代教育:教育教学版, 2008.
[7]温和群.变式训练在数学教学中的重要性[J]教育实践与研究, 2008 (22) .
[8]叶兴炎.变式教学——轻负担高质量教育的依托[J].中学数学研究, 2006 (11) .
数学变式教学初探 篇9
【原题】如图1, 已知点A (1, 1) 、B (3, 4) , P为直线l:x-y+2 =0上的点, 求|PA|+|PB|的最小值.
解:作点B关于直线的对称点B′, 连接AB′交直线l于点P, 则l⊥BB′且l平分BB′.
【点评】变式教学应取材于简单、普遍的问题, 学生都能接受.原题目不宜过难, 重视通性、通法, 重在激活学生思维, 体现学生的主体地位.
【变式1】已知点A (1, 1) 、点B (3, 4) , P为直线l: x-y+2=0上的点, 求|PB|-|PA|的最大值.
【点评】变式1由原题产 生, 改变对原题的问法, 把求和的最小值自然过渡为求差的最大值.通过改变结论, 教师有的放矢地进行引导, 有助于提高学生的数学思维能力.
【点评】变式2在原题的基础上把在直线上找一点到两定点的距离之 和最小演 变成在抛 物线 (曲线) 上找一点到两定点的距离之和最小.“变式”结合教学内容, 符合学生的认知规律, 符合教学目标.如果变式脱离学生实际, 偏离了教学目标, 那么这样的变式就显得毫无意义. 2 2
加强数学课堂中的“变式”教学 篇10
变式教学能激发学生的潜能, 培养其学习的独立性和创造性, 能激励学生积极、主动地去学习, 从而达到非常之志与非常之功水乳交融的目的。
下面, 笔者依据自己在教学中的一些体会提出以下两个观点。
一、“变式”的方法
1. 变简单为复杂
教学过程中, 我们应注重学习过程, 也只有在学生“跳一跳摘取桃子”的过程中, 才能实现素质教育的价值观, 才能促进学生的全面发展, 作为教师的我们应善于铺“路”, 如求复合函数单调性一节教学中, 我是这样设计的:
引例1:求函数y=1gx的单调区间。
变: (1) 求函数y=1g (x+1) 的单调区间;
(2) 求函数y=1g (x2+1) 的单调区间;
(3) 求函数y=1g|x2+3x+2|的单调区间;
(4) 求函数y=1oga|x2+3x+2|的单调区间。
这种设计层层深入, 消除了学生攀登时的疲劳, 排除了旅途上的荆棘。从而使教学过程流畅, 每个层次的学生都有所得。
2. 变条件、变结论、对换条件和结论
课堂教学在于一个“活”字, 站在讲台前的教师此时是一位气定神凝、游刃有余的导演, 在实现学生主体地位的全过程中, 时时刻刻凝聚着教师对知识深层次的挖掘, 体现着教学过程中独具匠心的设计。
引例2:已知f (x) 是定义在 (-1, 1) 上的奇函数, 且在[0, 1]上单调递增, 若f (a-2) -f (4-a2) <0, 求a的取值范围。
变:将奇函数改成偶函数
引例3:判断函数f (x) =x2+|x|–1的奇偶性。
变: (1) 判断函数f (x) =x2+|x-2|-1的奇偶性;
(2) 求 (1) 中函数的最小值;
(3) 求 (1) 中函数的单调区间;
引例4:椭圆 (a>b>0) 与直线x+y-1=0相交于A、B两点, 且 (O为坐标原点) 。
(1) 求证:等于定值。
(2) 若椭圆长轴的取值范围是, 求离心率的取值范围。
变:将 (2) 变成:若e∈, 求椭圆长轴的取值范围。
如此教学, 恰到好处地激活了学生的思维, 使他们在整个学习过程中处于一种积极、主动的探究状态, 也使他们对知识纵向理解更为透彻。
3. 变解题方法
一题多解, 是培养学生发散思维的最好方法, 这能激发学生的潜能, 并将之尽可能地释放出来。
引例5:已知二次函数f (x) 满足f (2) =-1, f (-1) =-1, 且f (x) 的最大值为8, 试求二次函数的解析式。
法一:设f (x) =ax2+bx+c (a≠0)
法二:由题意∵f (2) =-1=f (-1) , ∴f (x) 的对称轴为
二、应注意的问题
1. 要善变, 要变而不乱, 变中有据。陶行知先生曾说过:“教的方法, 是根据学的方法。”这就要求我们及时了解学情, 认真钻研教材和考纲, 根据学生的实际和高考的要求, 有的放矢, 而不能盲目地、毫无准备地“乱”变。
2. 要会撒网, 还要会收网, 应注意“异中求同”的思维训练, 习题教学中“多题归一”就是要把有共同特性而形式不同的一类习题, 总结出一般的解题思维, 形成规律性的程序思维。如引例1中, 我们就应引导学生总结出求复合函数单调区间的方法: (1) 分离函数; (2) 求定义域; (3) 求内层内函数单调区间; (4) 结合外层函数单调性, 求单调区间。
浅析高中数学例题变式教学 篇11
[关键词]数学 变式教学 例题 应用
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2015）260014
数学例题展示了解题的整体思路，把抽象的思维转变成切实可见的形象体现.在数学教学中，可以通过数学例题的展示减少数学的抽象性，使学生在学习中没有那么大的压力.但是在传统的教学中，老是举例来让学生模仿的教学形式不利于学生数学思维能力的培养.如果能够对这些例题进行适当的变式，能帮助学生更好地理解数学知识，了解问题的本质.
一、例题变式在数学课堂教学中的作用
在数学教学中，教师不能仅仅把相关的知识点教给学生，还要把解题的方法教给学生，并培养他们良好的数学思维.数学例题是数学教学中重要的教学题材，也是数学教学的主要组织形式.充分利用和设计数学例题是新课程背景下提高高中数学教学效率的重要手段.数学教科书中的例题都是专家们的解题思路，这些思路适合大多数学生的学习思维，便于学生学习相关的知识.如果教师在课堂教学中不仅关注教科书上的例题，而且在这些例题的基础上加以开发、转变，就能够培养学生灵活的思维方式，调动学生对数学学习的积极性，从而发展学生的解题思维，促进其高效学习思维习惯的形成.
二、数学例题变式教学的相关研究
顾明远在《教育大词典》中对“变式教学”做了解释，他认为所谓的变式教学就是教师在进行数学题目的讲解过程中，通过讲解得出相关的结论，再对命题进行有目的、有计划的转变，让它从不同的角度进行转化，从而扩充学生学习内容的一种教学方式.
刘长春等人对“变式教学”也提出了相关的见解，他们认为变式就是通过一定的范式，不断地改变问题的情境和问题的思维角度，在保证事物本质不变的条件下，利用相关的迁移理论进行迁移，是一种重要的教学途径.
三、例题变式教学的应用
随着新课程改革的不断深化和素质教育的大力实施，对传统的课堂教育提出了新的要求，要求在课堂上要尽量体现学生的主体地位，重在培养学生勇于探索的精神、创新合作的交流能力和数学思维能力.数学课堂教学中的变式教学恰好能够很好地解决这些问题.
例如，在“关于同角三角函数基本关系式”的章节的教学中，单一的关系式教学难免会使学生失去学习兴趣而产生厌烦情绪.因此，教师应采用例题变式的方式，运用一系列的变式教学设计来培养学生的数学思维，进而不断提高教学效率.
这一章节的主要教学目的是要学生了解三角函数之间的关系，并且能够证明一些简单的三角函数关系，为以后的学习做一个铺垫.本节课的主要设计思路是通过具体的角的关系转化成抽象角之间的关系，引导学生的思维由特殊向一般的思维方式转变，通过小组之间的合作探索循序渐进地寻找解题的方法.通过对例题的学习让学生对公式的应用进一步了解.通过变式1、2、3的不断深入，让学生在不断的探索中，切身体验到同角三角函数这类题型的解题方法.
例如，在“抛物线及其标准方程”的教学中，常见的例题有：直线y=x-2与曲线y2=2x相较于A、B两点，求证：OA⊥OB（其中O为坐标原点）.这样的例题较为简单，我们可以适当改变例题的条件或结论，这样就可起到更好的教学效果.比如，我们可以将它变为：如果直线y=kx+b和抛物线y2=2px（p>0）相交与A、B两点，直线AB经过（2p，0），求证：OA⊥OB（其中O为坐标原点）.也可以将原题变式为：若直线y=kx+b和抛物线y2=2px（p>0）相交于A、B两点，OA⊥OB，O为坐标原点，求证：y=kx+b通过一定点P.并试求出这一定点P的坐标.
这一系列的变式都在配合教师层层递进地引导和提问，通过学生之间的小组合作，充分培养了学生的数学思维，锻炼了学生主动探索和自主学习的能力.更重要的是让学生学会了用从特殊到一般的思维方式去解决问题.
高中数学知识非常繁琐，很多看似独立存在的小知识点实际上都存在一定的联系.因此，高中数学课堂教学不是单纯地教授知识、学习知识的过程，而是重在培养学生的数学思维的过程.变式教学正好符合高中阶段的课程特点，教师通过变式教学，从不同的角度对多个知识点进行考查，帮助学生构建知识网络.这是整个高中数学教学最为行之有效的教学方法.
中职数学变式教学 篇12
一、用递增式变式培养思维的深刻性
对事物本质属性的认识和理解, 是思维深刻性的体现。在平时的教学中, 教师要灵活地变换教学方法, 而不能长期使用某种固定的模式或标准向学生传授知识, 那样, 势必导致学生的惰性, 形成思维僵化, 难以在变化的条件下揭示出事物的本质。因此, 教师要善于采取递增式变式训练, 引申问题, 拓展视野, 把思维推向纵深, 训练思维的深刻性和灵活性。
例如学习了 (a+b) (a-b) =a2-b2, 同学都能掌握, 这反映了学生的实际水平。此时, 教师可出示如下变式:
(a+b+c) (a+b-c)
=[ (a+b) +c][ (a+b) -c]
= (a+b) 2-c2=a2+b2+2ab-c2
在学生掌握了上述形式、方法的基础上, 教师还可再次变式: (a-b-c) (a+b-c) = () 。这样, 学生的解题能力就如同脚踏楼梯, 步步攀高了。
二、用隐蔽式变式培养思维的变通性
数学问题灵活多变, 要想让学生解题既快又准, 就必须着力培养学生思维的变通性。其最好的办法就是加强隐蔽式例题变式训练。也就是悄悄改变例题中的某些条件, 让学生不易发觉。这样的题目, 往往只有一字之变, 但题意却截然不同。在解题过程中, 学生如果不注意“咬文嚼字”, 就会出错。加强隐蔽式例题变式训练, 可促使学生善于根据题设的相关知识, 提出灵活的设想和解题方案, 培养严密的逻辑思维和思维的变通性, 同时, 还可培养学生细心、严谨的学习态度。如, 四边形ABCD是正方形, 点E是边BC的中点, ∠AEF=90°, EF交正方形外角的平分线CF于F, 求证:AE=EF。
变式:把“点E是边BC的中点”改为“E为直线BC上一点 (不与B、C重合) ”其他条件不变, AE和EF有怎样的数量关系?
1.点E在线段BC上
此时仍有AE=EF。提示:在AB上取点G, 使AG=EC, 构造△AEG, 再证明△AEG≌△EFC。
2.点E在BC的延长线上
也有AE=EF。此时就不能在AB上取点G了, 要在BA的延长线上取点G, 使AG=EC, 再证△AEG≌△EFC。
3.点E在CB的延长线上, EF交正方形外角平分线所在的直线于点F
此时仍有EA=EF, 但此时的证明就不那么容易了。但学生有了猜想, 他们的探索欲被调动起来, 就非常积极去思考几何证法。
在DC上取点G, 使DG=BE, 然后延长AD到C′, 使DC′=DG, 连接AG、GC′, 证明△EFC≌△AGC′。
三、用反向式变式培养学生思维的发散性
运用反向式变式教学, 培养学生的逆向思维和思维的发散性和深刻性。在变式训练中, 学生可以放开手脚自己去想象、琢磨, 从而有机会从多角度, 多结论等方面去认识知识, 学生的创造性思维、逆向思维和发散性思维得到了发展。
已知, 如图, △ABC中, ∠A=2∠C, BD是△ABC的平分线。求证:BC=AB+AD。
变式:上题中的结论“BC=AB+AD”与题设“∠A=2∠C”对换, 能成立吗?说出理由。
本例题置换条件与结论, 培养了学生的逆向思维能力。
四、用遗漏式变式培养学生思维的灵活性
教师在展示题例时, 可以有意识遗漏某个重要的条件, 改变题目原意, 使题目难度增加。这种方式有利于培养学生细心的品质、严谨的学习态度和明辨是非的能力, 有利于培养学生思维的灵活性。