动态数列

动态数列（精选3篇）

动态数列 篇1

1 动态数列和直线趋势预测

动态分析法是应用统计方法研究经济现象数量方面的变化发展过程, 它是统计分析的一种重要方法。如果将某种现象在时间上变化与发展的一系列同类的统计指标, 按时间先后顺序排列, 就形成一个动态数列。动态数列由两个基本要素组成, 一是资料所属的时间, 二是各时间对应的统计指标。比如, 国内生产总值、社会消费品零售总额、粮食产量等都属于动态数列。在实际工作中, 常把趋势分析与统计预测结合在一起, 它们既可以反映社会经济现象发展变化的规律, 也能为管理者提供正确的决策依据。

反映现象发展长期趋势有两种基本形式, 一种是直线趋势, 一种是非直线趋势。如果某种研究现象在一个相当长的时期内呈现一致上升或下降的变动, 则为直线趋势, 反之, 则为非直线趋势。本文就直线趋势就行相应的研究。

2 直线趋势的预测方法

直线趋势预测的常用方法有间隔扩大法, 移动平均法和最小平方法。本文以最小平方法为基础进行相应的公式推导和计算。最小平方法以最小二乘法为理论基础, 即可以配合直线也可以配合曲线。

3 例题计算举例

本文以《统计学原理》 (第五版) (李洁明, 祁新娥著, 复旦大学出版社) 课本上第163页的例题为例进行计算。某地区粮食产量资料详见表1。

单位:万吨

按照最小二乘法求得的公式:令直线方程为y=a+bt, 其中a, b是常数, t为时间序列, 则有:

假定两种不同步长和初始时间序列, 利用简化公式1在excel中列表计算如表2和表3所示。

通过上述计算, 可以初步推断出:对于动态数列的直线趋势预测方程而言, 预测值与取时间序列的第一个取值无关, 也与时间序列间的步长大小无关, 只要时间序列间的步长相等即可, 预测值都是一样的, 且预测值呈等差数列。

4 数学证明

证明:令历史数据为yi (i=1, 2, …, n) , 对应的时间序列分别为ξ, ξ+d, …, ξ+ (n-1) d, 其中ξ和d均为任意一个数, d为相邻两个时间序列差, 称为步长, 时间序列之间步长相等。则有:

把上述计算结果代入直线趋势预测方程组

把t=ξ, (ξ+d) , …, [ξ+ (n-d) d]分别代入上述方程, 可得每年对应的预测值分别为:N, N+P, N+2P, …, N+ (n-1) P从上可以看出, 对于动态数列直线趋势预测来说, 预测值与时间序列的第一个取无关, 也与其步长大小无关, 只要步长相等, 建立起的预测方程得到的预测值都是相等的, 并且预测值呈公差为P的等差数列。

5 实例验证

以表1数据为例, 由公式2和公式3进行计算如下:

所以2000-2008年依次每年的预测值为:

即为

计算结果与用公式1计算的结果一致。

6 结论

通过数学证明和实例验证, 可以得出, 应用直线趋势预测方法时, 预测值与第一个时间序列取值和步长大小无关, 只要时间序列的步长相等, 得出的预测值都是一样的, 并且预测值呈等差数列。第一个时间序列取值和步长大小只会影响计算过程数据的大小和难易程度, 不影响最终的预测值。另外, 在进行直线趋势预测时也可采用公式2和公式3进行, 避免解方程组得烦恼。

参考文献

[1]李洁明, 祁新娥著.统计学原理 (第五版) [M].复旦大学出版社, 2010:7.

[2]刘兰娟等编著.经济管理中的计算机应用-excel数据分析、统计预测和决策模拟[M].北京:清华大学出版社, 2009:3.

[3]赵仁义, 朱玉辉.关于时间序列预测法的探讨[J].科技信息, 2011 (15) .

[4]方威, 肖衡, 任湘郴.基于线性回归模型的物流需求预测分析[J].生产力研究, 2009, 12.

动态数列 篇2

§6.1 数列的概念及简单表示法

基础自测

1.下列对数列的理解有四种：

①数列可以看成一个定义在N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是（填序号）.答案 ①③

2.设an=-n+10n+11，则数列{an}从首项到第 项的和最大.答案 10或11 3.(2008·安徽文，15)在数列{an}中,an=4n-52*,a1+a2+…+an=an+bn,n∈N,其中a、b为常数，则22*ab=.答案-1 3n1(n为奇数)，4.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3=.2n2(n为偶数)，答案 20 5.（2008· 北京理，6）已知数列{an}对任意的p,q∈N满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=.答案-30

*例题精讲

例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…；（2）（3）-1，1371531，，，…；

32248163***37，-，-，…；（4），-1，-，-，…；

111323456379（5）3，33，333，3 333，….解（1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2，2，2，2，…，所以an=

42n12n.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，165

1(n为正奇数)2(1)nn所以an=（-1）·.也可写为an=.3n(n为正偶数)nn（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是3+1，4+1，5+1，6+1，按照这样

+1121221n21+1n的规律第1、2两项可改写为，-，所以an=(-1)·.221212n1（5）将数列各项改写为2349999999999，，…，分母都是3，而分子分别是

33331(10n-1).310-1,10-1,10-1,10-1,…,所以an=例2 已知数列的通项公式为an=n2n21.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足∵n=7时成立，∴0.98是它的项.（2）an+1-an=(n1)2(n1)12n2n12=0.98，∴n=0.98n+0.98.22n22n1[(n1)1](n1)=

2n122＞0.∴此数列为递增数列.1,求an.2例

3、已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=解 ∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即

11-=2，SnSn11111∴数列是公差为2的等差数列.又S1=a1=，∴=2，∴=2+（n-1）·2=2n，S2SSn1n∴Sn=1111∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2··=-，2n2n2(n1)2n(n1)1(n1)2∴an= 1(n2)2n(n1)巩固练习

1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）2468101925，，，…（2），2，8，…

992315356322（3）5，55，555，5 555，55 555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…

166（5）1，3，7，15，31，…

解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=

2n.(2n1)(2n1)（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察： 1491625n2，，，…，可得通项公式an=.222222n个n个n个555（3）联想999=10n-1,则an=555=(999)=(10n-1),即an=(10n-1).999（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，则an=5sin2

3n.2（5）∵1=2-1，3=2-1，7=2-1，…∴an=2n-1，故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是递减数列.（1）解 ∵f（x）=2x-2x，∴f（log2an）=2log2an-2log2an=-2n，即an--

1=-2n.an∴a2n2n4n24+2n·an-1=0.∴an=，又an＞0，∴an=n21-n.22(n1)21(n1)an1n21n（2）证明 ∵an＞0，且an=n1-n,∴==＜1.an22n1n(n1)1(n1)∴an+1＜an.即{an}为递减数列.3.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2Sn=an+1，求an.解 ∵2Sn=an+1,∴Sn=∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=112(a2n+2an+1),∴Sn-1=(an1+2an-1+1), 4412［（a2］，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，n-an1）+2（an-an-1）4∵an＞0，∴an-an-1=2，当n=1时，a1=1,∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.∴an=2n-1(n∈N).*回顾总结

知识 方法

167 思想

课后练习

一、填空题

1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是.答案 14 2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n，则a3+a5=.答案 61 1681524，-，…的一个通项公式是.957n(n2)2n1*

23.数列-1,答案 an=(-1)n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）

答案 4n+8 5.已知数列{an}的前n项和Sn=n-9n，第k项满足5＜ak＜8，则k=.答案 8 6.若数列{an}的通项公式an=21(n1)2，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)=(用含n的代数式表示）.答案 n2 n112a0a,n,n327.（2008·沈阳模拟）数列{an}满足an+1=，a1=，则数列的第2 008项为.52a1,1a1,nn2答案 4 58.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=.168 答案 n

二、解答题

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解：Sn满足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n,∴Sn=2n-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1)=2n(n≥2), 3∴{an}的通项公式为an=n2(n1),(n2).+

1+1

+1

10.已知数列{an}中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n≥2,3Sn-4,an,2-

3Sn1总成等差数列.2（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解（1）当n≥2时，3Sn-4,an,2-由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2=111，a3=-，a4=.2483Sn13成等差数列，∴2an=3Sn-4+2-Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.22111111,a3=31a3-4,∴a3=-,a4=31a4-4,∴a4=.248224∴a2=

3Snan4a1（2）∵当n≥2时，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴,可得:3an+1=an+1-an,∴n1=-，2an3Sn1an14∴a2，a3，…，an成等比数列，∴an=a2·qn=

11·22n21=-2n11，∴an=1n12(n1)(n2).11.在数列{an}中，a1=11*，an=1-(n≥2,n∈N)，数列{an}的前n项和为Sn.2an1（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.（1）证明 an+3=1-1an2=1-111an1=1-11111an=1111an1an

=1-11=1-anan1an1an1an1=1-

1=1-(1-an)=an.∴an+3=an.1an1（2）解 由（1）知数列{an}的周期T=3，a1=2

111，a2=-1，a3=2.又∵a2 008=a3×669+1=a1=.∴a2 008=.22212.已知二次函数f(x)=x-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义

169 域内存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列{an}的通项公式.解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ=a-4a=0a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)=x在（0,+∞）上递增，故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n-4n+4，当n=1时，a1=S1=1, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n-4n+4)-［(n-1)-4(n-1)+4］=2n-5, 2

22222

21∴an=2n5(n1).(n2)

动态数列 篇3

平均发展水平又叫序时平均数、动态平均数, 它所平均的是现象总体在不同时期的数量表现, 从动态上说明现象总体在某一时期内发展的一般水平。与一般平均数是有区别的, 一般平均数是将总体各单位同一时间的变量值差异抽象化, 用以反映总体在具体历史条件下的一般水平, 故又称一般平均数为静态平均数。

序时平均数可以用总量指标动态数列计算, 也可以用相对指标动态数列和平均指标动态数列计算, 总量指标动态数列序时平均数的计算方法是最基本的, 它是计算相对数或平均数动态数列序时平均数的基础。总量指标动态数列有时期数列和时点数列之分, 序时平均数的计算方法也有所区别。现行总量指标动态数列序时平均数的计算公式有以下四个:

①时期数列序时平均数计算公式:代表序时平均数;a代表各期发展水平;n代表时期项数。

(2) 时点数列时间间隔相等时序时平均数计算公式 (也称首末折半法) :

③时点数列时间间隔不等时序时平均数的计算公式:

式中:a代表各期指标值;f代表时间间隔长度。

④时点数列不在期初期末登记, 只在发生变化时登记且时间以日为单位计量, 序时平均数的计算公式:

需要说明的是, 计算时点数列序时平均数的前提条件是假定所研究现象在相邻两个时点之间的发展变化是均匀的。实际上现象的变动并不完全如此, 所以其计算结果难免有一定的误差。但是只有这样假定才能由相邻时点值的平均数找到间隔期代表值, 因此假定是科学合理的。

上述四个公式, 需要学生有一定的数学基础和较强的逻辑推理能力才能很好的应用, 而中职学校的学生在这两个方面不是强项, 尤其是数学基础, 所以普遍认为学习平均发展水平的计算有难度:教师教着难, 学生学着难。为此在平均发展水平计算方法的教学过程中, 结合多年的教学实践经验和理论知识, 从学生的实际出发, 改变了这种两难的状况。

1 正确判断动态数列和分配数列

平均发展水平是根据动态数列计算的, 动态数列有两个基本要素构成:一个是社会经济现象发展所属的时间, 另一要素是反映社会经济现象发展水平的统计指标数值;而一般平均数是根据分配数列是计算的, 分配数列有两个要素:一个是总体某标志所分的组, 另一要素是各组所占有的单位数。以下列两个图表为例:

根据动态数列和分配数列的构成要素很容易判断出:表1就是动态数列, 而表2就是分配数列。

2 正确判断时期数列和时点数列

总量指标动态数列分为时期数列和时点数列, 根据本文前面列示的公式可以知道时期数列和时点数列平均发展水平的计算方法不一样。

时期数列中每个指标都是反映某种现象在一段时间内发展过程的总量, 时点数列中每个指标所反映的是在某一时刻上的总量, 两种数列的每一指标都是绝对数, 要分清它们应从时期数列和时点数列的特点入手。

如果数列中各指标数值大小与时期长短成正比例, 指标值相加有意义, 如总产值动态数列中将2009年、2010年的总产值相加得到的是两年的总产值, 且两年的总产值比一年的数值明显增大。则该数列是时期数列, 就应该使用公式1计算序时平均数。

如果数列中各指标值不与时期间隔长短有关且各指标值加没有意义, 如表1, 将1月初、2月初的库存数相加没有意义 (不等于两个月合计库存量) 。则我们判断该数列时点数列, 就要使用公式2、3、4计算序时平均数。

3 正确分析时点数列的三种情况

我们要精确计算时点数列序时平均数, 就应该每一瞬间都登记相关资料, 这几乎是不可能的, 所以我们习惯上以天为瞬间单位。但是, 每天都要进行登记, 也是相当繁杂的工作。为了简化起见, 我们可用两种情况三个公式:第一种情况是每隔一段时间登记一次, 时点定在月 (季、年) 出初或月 (季、年) 末, 每次登记的间隔相等时就使用公式2计算, 每次登记间隔不等时就使用公式3计算;第二种情况是只在现象的数量发生变化时登记, 以日为单位, 每次登记的间隔也是不相等的, 就使用公式4计算序时平均数。

例:某地区2010年某银行居民存款余额资料如下:

根据以上资料, 计算该银行2010年居民存款平均余额。

资料分析: (1) 该资料表格的两要素的时间和指标值, 所以判断是动态数列。 (2) 指标数值居民储蓄存款余额相加没有意义, 所以判断是时点数列。 (3) 该资料登记的时点在月初, 间隔不等, 分别间隔2个月、4个月、1个月、2个月、3个月, 在发生变化时登记的, 所以判断使用公式3计算该银行2010年居民存款平均余额。

解:根据公式:

该银行2010年居民存款平均余额为747.91万元。

参考文献

[1]黄良文, 陈仁恩主编《.统计学原理》第四版.中央广播电视大学出版社, 2006.

[2]佟哲晖, 姚志学主编.社会经济统计学原理[M].东北财经大学出版社, 2011.