求数列极限的方法总结

2024-07-19

求数列极限的方法总结（共13篇）

求数列极限的方法总结篇1

求数列极限

数学科学学院数学与应用数学

11级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇

摘要数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。

关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了

1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的 ε 〉0,总存在一个正整数 N，当 n〉N 时,都有 Xn ? a < ε ,我们就称 a 是数列{Xn}的极限.记为 lim Xn = a.n→∞ 例 1: 按定义证明 lim 1 = 0.n → ∞ n!解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令 1/n< ε ,则让 n> 即可, ε 存在 N=[ 立, 1 ε ],当 n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε 成 1 = 0.n → ∞ n!

2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a < 1, b < 1.n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限 1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以 lim

3.利用夹逼性定理求极限若存在正整数 N, 当 n>N 时 , 有 Xn ≤ Yn ≤ Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 则有 n →∞ n →∞ lim Yn = a.n →∞ 例 3:求{ 解: 1+ n }的极限.n2 对任意正整数 n,显然有 1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而 → 0 , → 0 ,由夹逼性定理得 n n 1+ n lim 2 = 0.n →∞ n

4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.an ?1 例 4.求极限lim n，此时 n →∞ a + 2 有，令解：若 5.单调有界原理

4.例 5.证明数列证：令我们用归纳法证明若 ≤２则则有极限，并求其极限。，易知｛｝递增，且 ≤2.显然。中两故由单调有界原理｛｝收敛，设 →，则在边取极限得即解之得 =２或 =-１明显不合要求，舍去，从而

5.6.6.先用数学归纳法,再求极限.1 ? 3 ? 5 ? L ?(2n ? 1)例 6:求极限 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设 S * = ? ?L? 则有 S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S

7.7.利用两个重要极限 lim = 1 , lim(1 +)x = e.x →0 x → +∞ x x 2 例 7:求 lim(1 +)x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim(1 +)2 ?(1 +)2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x

8.8.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限., lim 例 8:求 lim x→+ 而0 < S < 1 1 1 + x sin x ? 1 ex ?1 2 解:当 x → 0 的时候, x sin x → 0 , 1 + x sin x ? 1 ~ 而此时, e x ? 1 ~ x 2 ,所以 x sin x 1 原式= lim = x →0 2 x 2 2 0 ∞

9.9.用洛必达法则求极限.适用于和型 0 ∞ 1 ? cos x 例 9:求 lim x →0 x2 0 解: 是待定型.0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x

10.10.积分的定义及性质 1p + 2 p + 3 p + L + n p 例 10:求 lim(p > 0)n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim(p > 0)= lim ∑()p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 设 f(x)= x ,则 f(x)在[0,1]内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取 ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f(ξ i)=()p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1

11.11.级数收敛的必要条件.2 x sin x.2 设 ∑ u n 等于所求极限的表达式 , 再证∑ u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的 n =1 n =1 ∞ ∞ 极限为 0.例 11:求 lim n → +∞ n!nn ∞ u 1 1 n!= <1 ,则 lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n(1 +)n n n!所以该级数收敛,所以 lim n =0 n → +∞ n

12.12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。sin 5 x ? sin 3 x 例 12.求 lim x →0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x

13.13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。(?1)x 例 13：求 lim x 的值 x→∞ 2 ?1 解：奇数列为 lim x =0 x→∞ 2 1 偶数列为 lim x =0 x→∞ 2(?1)x 所以 lim x =0 x→∞ 2

14.14．利于泰勒展开式求极限。解:设 ∑ u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4)1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 +)5 ?(1 ?)5 ?(令 t=)x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t)? ?1 ? t + o(t)? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t)5 ?(1 ? t)5 ? = t → +0 t t 5 ? ?

15.15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x →∞ x 1 是无穷小量，而 lim sin x 是有界变量，所以 x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即 x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x

16.16.利用数列的几何、算术平均值求极限。数列{ an }有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。解：因为 lim 例 16：求 lim n an 的值 n →∞ 解： lim n an = lim n n →∞ n →∞ an a a a a a ? 2 ? 1 ? a0 = lim n n ? 2 ? 1 ? lim n a0 n →∞ an ?1 a1 a0 an ?1 a1 a0 n →∞ 设 bn = an，因为知 lim n an =1 n →∞ an?1 an an ?1 所以，所求原式的极限就等于{ bn }的极限即原式= lim bn = lim n →∞ n →∞

17.17.绝对值中的极限若 a n → a(n → ∞),则 a n → a(n → ∞)例 17：求 lim 1 的值 x →∞ x 3 1 1 解： lim 3 = lim 3 =0 x →∞ x x →∞ x

求数列极限的方法总结篇2

一观察法

例1, 根据数列的前4项, 写出它的一个通项公式:

解: (1) 变形为:101-1, 102-1, 103-1, 104-1, ……

∴通项公式为:an=10n-1

二定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法。

例2, 在等差数列{an}中, 已知a15=33, a45=153, 求数列{an}的通项公式。

解:设首项为a1, 公差为d, 依条件得:

例3, 数列{an}的前n项和为Sn, a1=1, an+1=2Sn (n∈N*) , 求数列{an}的通项公式。

又∵S1=a1=1, ∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列, Sn=3 n-1。

当n≥2时, an=2Sn-1=2·3 n-2,

四累加法

求型如an+1=an+f (n) 的递推数列通项公式的基本方法。

例4, 已知数列{an}中, a1=29, an=an-1+2n-1 (n≥2, n∈N*) 求这个数列的通项公式。

解:数列{an}中, a1=29, an=an-1+2n-1, (n≥2, n∈N*) , 可得:

a2-a1=2×2-1

a3-a2=2×3-1

a4-a3=2×4-1

……

an-an-1=2n-1 (n≥2, n∈N*)

以上各式相加得:

an-a1= (2×2-1) + (2×3-1) +…+2n-1

∴an=a1+2× (2+3+4+…) - (n-1)

整理得:an=n2+28 (n≥2, n∈N*)

将n=1代入上式得:an=n2+28。

五累乘法

求极限方法的研究篇3

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使，只要

所以，，可取，则当适合不等式时，对应的函数值就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而是有界函数

2.利用四则运算法则

如果，，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数与函数复合而成，f[g（x）]在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则

例如，是由与复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1）时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设～，～且存在，则

例如计算

解：当时，～，～，所以

六、按连续性质计算

设函数在的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系高等数学第七版上下[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京：科学出版社，2009.

作者简介：

考研数学求极限十大方法总结篇4

考研数学考试中学生常犯的五种错误

2014考研数学大纲公布前后复习要点

2014考研数学复习：尝试转变做题方式

2014考研数学避免误区迎头赶上

1、利用定义求极限。考研教育网

2、利用柯西准则来求。

柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的自然数m有|xn-xm|

3、利用极限的运算性质及已知的.极限来求。

如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5

=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)

可令x=y^mn

得：=n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

(1)lim sinx/x=1

x->0

(2)lim (1+1/n)^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的，使用过程中大家一定要注意使用条件。

10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。

1-1求极限方法小结篇5

求极限方法大概归结为：一利用单调有界数列有极限先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限。二转化为已知极限。这里通常利用如下手段进行转化。

（一）夹逼定理

（二）初等变形，如分解因式、有理化、换元等。其依据为极限的运算法则（四则运算法则、复合法则、有界乘无穷小、连续函数极限值等于函数值、将求数列极限有的可转化为求函数极限、泰勒公式）

（三）ana,等价无穷小替换

（四）洛必达法则及中值定理

（五）公式：limn

则limna1a2

ana；a

（六）转化为级数。三转化nn

为定积分。另外对分段函数在分段点的极限可能要考察左右极限。记

an0住以下极限是有好处的。limn

nxa

1；n1a

0；

1nsinx011lim11；lim，（型）；（型）1elim1ex0nxx0nx

一利用单调有界数列定理求极限

例 1 x1

3，xn1limxn n

练习x1，xn1limxn n

2x111，xn11xn，求limxn n22

n 例 2 已知0x1，xn1sinxn，求limxn

练习limsinsinsinn n

n例3已知方程xnxn1x1(n2)在0,1内有唯一正根记为xn，证明limxn

存在并求limxn。n

二转化为已知极限

（一）夹逼定理

例1 lim

n!，nnn



例limn

111

练习1 lim222 nn1n2nn

：n3

：

nx1lim(12例3(1)lim(2)xxx0

x

3).x

（二）初等变形

2n1)13

例1（1）lim(333n

nnn

)(1)(1练习1：lim(1

nx33x2

（2）lim x1x44x3

3161112)2：lim(12)(12)(12)n23nn(n1)

xx2x3xnn31

lim练习1：lim，2： 3

： 3x1x11xxx11x

（3）lim

x

2x1

2exex2exexln(12x)

练习1：xlim，2：xlim 3:lim ex2exex2exxln(13x)例2

（有理化）n

练习1

：x1

：x0x)tanx 例3（换元）lim(1

x1



2sinx

例4（有界乘无穷小）lim xx

arctanx lim练习1：lim 2：xx01cosxln(1x)x

sinxx2sin

11 例5（将求数列极限转化为求函数极限）lim

n1nsin

ntan

111cos练习1：lim2：limcos nnnnn

例6（两个重要极限的应用）

nsin（1）lim

n

练习1：lim

x0

sinxn

sinx

2：lim

xa

sinxsina

xa

x2

（2）lim xx1

1

练习1：lim12：limcosx x0x

x

ln1x1

cosx

xsinx2(1cosx)sinxtanx

lim练习1：lim2： 43x0x0xx

（三）等价无穷小替换

例7（泰勒公式）lim

x0



x22

x0时，sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1cosx

12x 2

ln(1x)x；ex1x；1x1x 例1 lim

x0



tanxsinx

sinx

练习1：lim

x1

1cosx

x1

：

x0

例2 lim

x0

lnxexxx

3x5x1sinxcosxlimlim练习1

： 2： 3: x0x01sinpxcospxx12

esinx1

例3 lim x0arcsinx2

ecosxe

练习limx0tan2x例4

x0ln1xe1

（四）洛必达法则

0xsinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2）x0x00xxcosxlncosbx

x0

练习1

：2：

x1sinx32

1

练习1：lim

xa

lnx

4：xlim

xn

(1x)eax12sinx

2：lim 3：lim x0xxxacos3xxn

n0 5：xlim

ex

0,n为自然数

例2（型）lim（11)x0x2xtanx

11111)2：lim(x)3：lim(xx2ln(1))练习1：lim（x1lnxx0xxx1e1x

xtan 例3（0型）limx2arcsinxcotx 2：limlnxln(x1)练习1：lim

x0

x1

x（2）lim1x例4（01型）（1）limx



cos

x

x1



x（3）limx1

11x

例5（微分中值定理）（1）lim

x0

tanxtansinxsectanxsecsinx

lim（2）33x0sin2xsinxcostanxcossinx



ab2lim练习1：lim 2：arctanxa0,b0 x0x2aa

an

a；a

（五）公式：limana,则lim12

nnnn

例

（六）转化为级数

1x1x

三转化为定积分

1n例 limnni1

1pnp练习1

：limln 2：lim

nnnp1n

p0

四考察左右极限

x2esinx 例 lim1x0xx

e1

五关于含参极限及已知极限确定参数

例1（含参极限）

x2(a1)xa1:limxax3a3

(xa)(x1)(x1)

limlim2xa(xa)(x2axa2)xa(xaxa2)a1

2a03aa0

1

练习limxsin

x0x

2（已知极限确定参数）（1）x0

求出a,b。

（2）limx)0求

,

x

并求limxx)（a0)

x

由limx)

0有0lim

x

x

x

lim)

xx得

lim)=lim

x

x

求limxx

)

x

limx

x

lim

x

lim

(c)x

x

b2c

2

(x21)2ab(x1)c(x1)2

数列极限的定义篇6

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,n,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一（课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14,极限为0

5．an

5525n：先考察，， 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

3 



几种常用的求极限的方法篇7

求初等函数在其定义区间内某点的极限,只需求初等函数在该点的函数值,即

2利用无穷小与无穷大的关系求极限

在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

由无穷小与无穷大的关系,得

3利用无穷小的运算性质求极限

(1)有界函数与无穷小的乘积为无穷小 ;

(2)常数与无穷小的乘积为无穷小。

4利用无穷小因子分出法求极限

当自变量趋于无穷大时,分子和分母的极限都是无穷大,此时可采用所谓的无穷小因子分出法,即以分母中自变量的最高次幂除分子和分母,以分出无穷小,然后再求极限。

5分子分母先约分,再求极限

在自变量的某个变化过程中,分子和分母的极限都是零。此时,应先约去不为零的无穷小的因子,然后再求极限。

6利用两个重要极限求极限

7利用等价无穷小求极限

设为同一过程中的无穷小,且存在,则。

设α,α′,β,β′为同一过程中的无穷小,且

8无理根式有理化法求极限

在自变量的某个变化过程中,分子、分母的极限都为零,而且分式中含有无理根式,通常把分子、分母同乘以一个式子,使得无理根式转化为有理代数式,进而求极限。

9利用洛必达法则求极限

洛必达法则 :

设(1)当x→a时,f(x) 与g(x)都趋于0;

(2)在点a的某个去心邻域内,f′(x)及g′( x)都存在,且g′(x) ≠0

求数列极限的方法总结篇8

关键词：初等数学数列求和特殊数列

高考中数列求和的题目占据了一定的比例，尤其是特殊数列的前n项求和问题经常令学生感到困惑。目前中高考当中的数列求和问题已受到了教师和教研组的充分重视。文章参考了一些关于数列问题的研究成果，针对特殊数列前n项和的求法，试图用初等数学方法进行计算，希望为教师和学生在日后的学习和工作中提供有益的参考。

一、初等数学中的数列概述

在初等数学中，数列求和问题是多种数学问题的契合点，与方程式、函数、不等式等有着密切的联系。数列部分的内容涉及到很多方面，如整体代入、归纳类比、分类计算等方法和思想。在现实生活中，如分期付款、人口增长的统计以及物品的摆放等问题几乎都会涉及到数列。数列在数学运算中属一种特殊的函数，经过初等数学的运算，可以为日后高等数学的学习打下基础。

在初等数学中，数列求和问题是其中的重要运算内容，教师可基于传统的数学教法，对求和的方式进行分类和归纳总结。等比数列中的前n项求和公式蕴含着很多分类方法，本文主要围绕等比数列和等差数列的基本公式，针对特殊数列前n项和的解题思路，导出相应的公式。但是在运算过程中还需要注意很多问题，比如在使用分解法时要进行项数抵消，哪些项应被消除，哪些项应被保留;项数被消除之后，所剩下的项数中，正数项和负数项的数量一定是相同的。所以在计算过程中一定要注意，不可以将项数漏写。

二、用初等数学方法求特殊数列前n项和的几种解题思路

（一）待定系数法

首先是一道例题，求数列的和。

下面是解题思路：

要想求得这个数列的和，用教材当中的等差數列和等比数列公式显然无法得出。公式中，分母的次数明显大于分子的次数，所以可将将其转为部分公式：

设，即。进行对应项系数的比较可知：{，求得：A=1，B=-1。把n=1，2，3……，n代入通项当中，可得出：。

通过分析各项的特点可知，前项分式的后式以及后项分式中的前式是相反数，这样公式的规律就可以看出来了，所以：。

通过这种解法，求得特殊数列前n项和的思路大致为：首先求得数列通项的分式，然后使n=1，2，3……，将n代入到通项当中，得出各项的分式，最后数列前n项的和就可以得出来了。

（二）拆项法

拆项法是指将数列中的每一项分成两项的差，分开之后的相邻两项就会消去，这样分开计算，结果就只留下了首尾两项，从而简化算式得出最终结果。下面举例说明：求此数列的和，

。

以下为解题思路：

当数列通项能够分成两项差的模式时，就可以使用拆分法，求得前n项的和。如果数列通项有如下特征，也可以通过拆分法进行运算求得前n项的和。

如通项，其中，的等差数列中的公差是d，那么就可以拆分成两项之差。由此可知，利用拆项等式的方法可以将数列当中的每一项都拆分成两项之差的形式，然后正负项彼此消除，就会很容易求得前n项的和。

（三）降次法

在对自然数的n次幂和公式进行推导的过程当中会用到降次法，也即是通过对自然数（n+1）次幂公式的利用对自然数的n次幂进行推导。

下面举例说明：

求证。下面是证明思路：取n=1，2，3，4……，n，将此等式的两边进行相加可以得出：

以上就是降次法的解题思路。这种方法能够将问题转化为等差和等比数列或者已知数列，从而求得数列之和。

综上所述，在高中阶段用初等数学方法求特殊数列的前n项和是每个高中生应该具备的能力，同时也是灵活解题的重要手段之一。在既有的研究成果中，对于特殊数列前n项和的求解方法并没有形成完善的研究体系，解决方法也过于笼统，高中生往往无法有效掌握求解手段，这在很大程度上降低了高中生的学习兴趣及学习效果。为此，本文针对特殊数列前n项和的求法，列出了几种解题思路，将问题转化为了最终的等差数列和等比数列求和问题的运算，促使特殊数列前n项和的运算得到了切实解决。

参考文献：

[1]白晓洁.新课程标准下高中数学数列问题的研究[D].开封：河南师范大学，2013.

[2]沈建梅.高中数列教与学的实践与研究[D].扬州：扬州大学，2013.

10专题十数列极限与函数极限篇9

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

数列极限教学设计篇10

复习目的：1.理解数列极限的概念，会用“”定义证明简单数列的极限。

2.掌握三个最基本的极限和数列极限的运算法则的运用。

3.理解无穷数列各项和的概念。

4.培养学生的推理论证能力、运算能力，提高学生分析问题，解决问

题的能力。

教学过程：

问题1：根据你的理解，数列极限的定义是如何描述的？

数列极限的定义：对于数列{an},如果存在一个常数A，无论事先指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN,使得这一项后的所有项与A的差的绝对值小于，（即当n>N时，记<恒成立），则常数A叫数列{an}的极限。——“”定义。问题2：“作用？正数”定义中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么的任意性和N的存在性是定义的两个基本特征。

时，an趋近于A的无限性，即趋近程度的无（1）的任意性刻划了当

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性证明了这一无限趋近的可能性。

问题3：“

问题4：“”定义中的N的值是不是唯一？ ”定义中，<的几何意义是什么？

因为< 即A-n,所以无论区间（A-，A+）多么小，当n>N时，an对应的点都在区间（A-

问题5：利用“，A+）内。”定义来证明数列极限的关键是什么？ <恒成关键是对任意的要找到满足条件的N。（条件是当n>N时，立）。

问题6

：无穷常数数列有无极限？数列呢？数列

（<1）呢？

三个最基本的极限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（<1）。

问题7

：若=A，=B，则（）=？，（）=

？，=

？，=？。数列极限的运算法则：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应项的和，差，积，商组成新数列的极限分别等于它们极限的和，差，积，商。（各项作为除数的数列的极限不能为零)

问题8：（，）

+=0对吗？运算法则中的只能推广到有限个的情形。

问题9：无穷数列各项和s是任何定义的？ s=,其中为无穷数列的前n项和，特别地，对无穷等比数列（<1），s=。注意它的含义和成立条件。例1

．用极限定义证明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．计算：

（++）=0，求实数a,b的值。+，例5．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，它的前n项和为

<1)的等比数列，它的前n项和为，是首项为1，公比为q（记=+++，若（-）=1，求d , q。

求数列极限的方法总结篇11

关键词：极限,待定系数,解题方法,探讨

在浙江省大学生数学竞赛 (文科与专科类) 的题目中经常会出现这样一类题目:已知函数的极限, 求函数中的待定系数的值.例如

那么如何解这一类题目呢? 基本思路应该是, 根据已知条件得出相应的代数恒等式, 从而求出待定系数的值. 下面分五种类型对已知函数的极限求函数中待定系数的值的解题方法进行探讨与研究.

一、可以求出已知极限的类型

如果已知函数的极限可以求出, 那么先求出函数的极限, 这样就可以得出相应的代数恒等式, 从而求出待定系数

分析这道题目可以利用第二个重要极限先求出左边的极限.

分析这道题目可以利用第一个重要极限先求出左边的极限.

分析这道题是“∞/∞”型, 可以利用无穷小量化法, 即分子、分母同除以x2求出左边的极限.

∴ a = 4, b∈R.

而这些函数的极限都可以求出, 这样就可以得出相应的代数恒等式, 从而求出待定系数的值.

若是以上类型, 则可以利用公式

得出相应的代数恒等式, 从而求出待定系数的值.

例5已知求a, b的值.

分析极限是“∞/∞”型, 因为极限值为不等于零的常数, 所以分子的最高次数与分母的最高次数相等, 因此可以得到两个等式.

解由已知可得a = 0, 且b + 1 = 7. ∴ a = 0, b = 6.

四、极限类型是“∞ - ∞ ”型

若是以上类型, 目标是先把它转化为“0/0”型或“∞/∞”型, 然后再用前面的方法求出待定系数的值.

∴ 1 - a = 0, 且a + b = 0⇒a = 1, b = - 1.

小结极限是“∞ - ∞ ”型, 先通分变成“∞/∞”型, 因为极限等于零, 所以分子的最高次数只能是低于分母的最高次数, 因此得到两个等式.

例7已知求a, b的值.

解法一极限是“∞-∞”型, 根式有理化转换为“∞/∞”型.

解法二极限是“∞-∞”型令x=1/t, 转换为“0/0”型.

五、极限类型是“1∞或00或∞0”型

若是以上类型, 一般利用对数恒等式将极限转化为“∞/∞”型或“0/0”型, 然后再用前面的方法求出待定系数的值.

例8 已知求a, b的值 ( 2009 年)

分析极限是“1”型, 先利用对数恒等式将极限转化为“0/0”型.

总之, 非“∞/∞”型与“0/0”型的未定式极限一般要化为“∞/∞”型与“0/0”型, 然后再用前面的方法求出待定系数的值.

参考文献

[1]汪志宏.全国硕士研究生入学考试真题详解与样题精选 (数学四) [M].北京:清华大学出版社.2006.

[2]王丽燕, 秦禹春.高等数学全程学习指导与解题能力训练[M].大连理工大学出版社.2002.

[3]卢树铭, 朱功勤.高等数学的理论与解题技巧[M].合肥:安徽教育出版社.1984.

[4]卢兴江, 金蒙伟.2008高等数学竞赛教材[M].浙江大学出版社.2007.

高等数学说课稿《数列极限》篇12

袁勋

这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。这部分内容在课本第18页至20页。

下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。

一、关于教学目的的确定：

众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；

2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；

3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：

为了达到以上教学目的，根据两节。在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛ ；‚概念建立阶段‛ ；‚概念巩固阶段‛。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题

在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：

①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；

②使学生形成对数列极限的初步认识； ③使学生了解学习数列极限概念的必要性。2．本阶段教学安排

我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。① 温故知新

由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数an的解析式。再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程

1中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列an为例说

2明：当n=2、3、4、5 时，对应的an1、1、1、1 就说明自变量由

242168增加到5时，对应的函数值就由1减小到1这种变化情况。若问自然数n

216n1一直增加下去，函数an应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。

这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提‚无意注意‛的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。

② 推陈出新

在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：‚具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的‚趋近于一个确定的常数‛称它为有极限数列的极限‛。并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。

③ 刘徽及其《割圆术》的介绍

学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。

我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如‚在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。‛

在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：‚割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣‛。通过课件动态演示，进一步在‚无意注意‛作用的发挥上下文章，加深学生对‚变化趋势‛、‚趋近于‛、‚极限‛等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。

（二）‚概念建立阶段‛ 1．这一阶段要解决的任务

由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。具体讲，在-N语言中，学生搞不清的两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清‚N‛，不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有an(n>N)，都聚集在以极限值A为中心，为半径的邻域中，N是否存在是证明数列极限存在的关键。

因此在这一阶段的教学中，我采取‚启发式谈话法‛与‚启发式讲解法‛，注意不‚一次到位‛，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：

①建立、理解数列极限的定义；

②认识定义中反映出的静与动的辨证关系； ③初步学习论证数列极限的方法。2．本阶段教学安排

本阶段教学安排分三个步骤进行。① 问题的提出

在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列

‚1,2,3,4,,n,‛

2345n1为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中‚无限趋近于‛这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精确描述。

② 问题的解决

具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：‚趋近于‛是距离概念，距离的解析表示是绝对值，‚无限趋近于‛就可用距离要多小有多小来表示。即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。

然后让学生通过具体计算如：‚思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？‛使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对‚要多小有多小‛这一概念有了进一步认识，并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。

③数列极限定义的得出

在‚检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小‛的教学过程中，我采取‚给距离找项数‛的方法。

具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：‚已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。‛这种讨论的目的是使学生感受到‚N‛是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N，当n>N时，|an-1|小于这个正数。进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成‚要多小有多小‛，而把具体值改为后即可解决这个问题。

这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：‚数列： 1,22,33,42,34,,53,4n, n1n, n1当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1‛，也就是数列： 1,24,,5的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。

（三）‚概念巩固阶段‛

1．本阶段的教学计划

在这一阶段的教学中我计划做两件事情：

①说明N、、|an-A |<在讨论数列极限时所起的作用;②是习题训练。

2．本阶段的教学过程根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。① 定义说明

除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、、|an-A |<的认识，我让学生讨论问题‚任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项‛及‚常数列是否有极限‛，当学生有困难时，可通过举数列

‚1,0,1,0,1,,1sinn,‛

4162n12并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。

②习题训练

在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q2，…qn，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,1,}是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得23n学生对例

1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。

③ 补充说明

对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数，存在一个以直线y=A+和y=A-为边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, an）都落在这个条形区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。

三、关于教学用具的说明：

这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。计算器的作用在于使学生理解 ‚‛和‚N‛内在关系；计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。总之‚恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，‛是我选择和使用教学用具的根据。

四、结束语：

求数列极限的方法总结篇13

数列极限定义的教学过程设计探讨

顾庆凤

（浙江林学院理学院，浙江临安 311300）

摘要：数列极限是高等数学的基础，理解和掌握好数列极限的定义对大学生高等数学的学习起着至关重要的作用，而数列极限定义中的符号关系复杂，不易理解。为帮助学生深刻理解数列极限的定义，我们这里对数列极限定义教学过程的设计进行了探讨。关键词：数列；数列极限；描述性定义；-N定义

数列极限是高等数学的基础，是高等数学中最重要的概念之一，它是研究微分学和积分学的必备工具，对它的理解和掌握关系到高等数学这门课的学习，也关系到对后继课程理解的程度。另外，由于学生刚入学不久的高等数学课就要接触极限概念，而且数列极限的-N定义中符号关系复杂，不易理解，如果不能理解好数列极限的-N定义，这将会影响学生学习高数的信心。怎样教数列极限，才能让学生真正了解它的直观背景，理解它的思想方法，而不至于只是形式地去“理解”它的定义，机械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向-N定义过渡和转化。笔者总结多年教学经验，对数列极限定义的教学过程进行了如下设计：

1.导入新知—-让学生体会极限的思想方法及极限定义发生发展的过程

介绍我国古代数学家对数列极限思想所作的贡献。如公元前四世纪，我国古代的哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，这句话用数量形式加以描述，便得到每天截去一半所余的尺数是一个无穷等比数列111111，2,3,,n，然后启发学生思考由无穷数列n的变化趋势怎样去解释“万世22222不竭”的含义。通过思考，学生最后得出结论：“

1越来越接近0，但永远不等于0，所以n2万世不竭。又介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法—割圆术，就是用到极限思想研究几何问题。他首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正十二边形、内接正二十四边形、内接正四十八边形„，当边数无限增大时，从图形上看，内接正多边形无限接近于圆，从数值上看，内接正多边形的面积无限接近于一个常数，这个常数就是该圆的面积。通过模拟割圆术，使学生比较具体的感受到“无穷数列的变化趋势”，加深了学生对“变化趋势”、“无限接近”、“极限”等感性的认识。

2.无穷数列的概念—-让学生理解数列也是一种函数，我们主要关心其变化趋势

这里告诉学生：数列xn可以看作自变量为正整数n的函数，即xnf(n),nZ.这样后面函数极限定义的讲解可以从数列极限定义自然地过度。然后，让学生对数列 1 作者简介：顾庆凤（1979.1）,女,硕士,讲师,硕士,研究方向：排队论。n1(1)nnn,,(1),2考察：当n时，这些数列分别无限接近多少。从而让学2n生明白：对于数列xn，我们主要关心当n无限增大时，数列xn无限接近什么？

3.通过观察引出极限的描述性定义

通过第2部分的例子让学生直观地归纳出数列的描述性定义：“如果n无限增大时，数列xn无限接近于一个常数a，则称该数列以a为极限，记作limxna或xna(n).n如果这样的常数a不存在，则称数列xn没有极限。这里指出描述性定义易懂但不精确，科学的极限定义必须超越直观与想象，在运算和推理论证中具有可操作性，所以必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述的语句转换为定量的刻画。

4.从极限的描述性定义向-N定义转化

结论“xn无限接近于一个常数a”的转换：该语句等价于“距离xna可以任意小”，因此表达成“0,xna”，但此式的成立是以“n无限增大”为前提的，这个前提条件表达成“N(某项数)，当nN时”。所以“n无限增大时，数列xn无限接近于一个常数a”的转换成：“0,N(某项数)，当nN时，有xna”。这相当于说，0,n1,2,N时不必有xna，从N1项起后面的所有项皆有xna，即xN1a，xN2a，。

5.-N定义的进一步分析

教师还须对-N定义作进一步的解释，要指出：

①是事先给定的任意小的正数，它具有两重性。一是它的任意性，因此它不是一个固定的常数，它是用来刻画xn无限接近于常数a的程度的；二是它的相对固定性，一经取定，就相对固定了下来，以便根据它去求出N。

②N的相对存在性。N由相应的确定，一般越小，N越大，有时N也记成N(),但并不意味着N由唯一确定。N重要的是存在，而不在乎其大小。

③与N的关系：任意给定后，才能找到相应的N，当n满足nN时，才有xna，其中N是给定后才确定的。

6.从理性认识又回归感性认识，对定义作出几何解释

介绍极限定义的几何意义，将数学语言转化为几何语言：不管多么小，总能找到一个正整数N，从N1项开始后面的所有项xn都落在点a的邻域内，在邻域外最多只有有限项x1,x2,,xN.通过对极限定义的几何表达，学生对于图像这样的具体表现形式更容易接受和理解。

7.用极限的-N定义来证明数列的极限

首先分析如何用-N定义来证明limxna.任意给定了之后，问题的关键就是找正

n整数N，使得当nN时，就有xna都成立。那么怎么找N呢？问题转化为根据去找N，也就是说，从不等式xna出发，去解一个关于n的不等式，一定要推出nh()的形式，这样的[h()]就是我们要找的N。

n2然后师生按-N定义证明极限lim0;lim21;limqn0,q1。

nnn1nn1指出论证的目的是对任意给出的考察相应的N是否存在，总结解题步骤，初步学习证明数列极限的方法，其中涉及不等式适当放大的技巧。