高等数学求极限方法

高等数学求极限方法（共11篇）

高等数学求极限方法 篇1

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4）分式解法（上述）

高等数学求极限方法 篇2

关键词：极限,洛比达法则,两个重要极限

高等数学中极限是一个重要的基本概念, 是研究微积分学的重要工具. 高职学生在初学极限时, 需要建立起基本概念并掌握几种常用求极限的方法.

函数极限的类型比较广泛, 涉及的求极限问题种类复杂. 学生学习极限时, 他们需要根据问题中函数特性来选择合理的方法解决. 针对学生的学习需求, 我们在教学中实践探索, 总结出以下几类常用方法.

一、定义法求解函数极限

在自然和生活中, 许多的量都是连续不断变化着的, 对应的函数关系连续的. 对于连续的函数, 我们可以根据函数的连续性来进行计算.

函数f ( x) 在x = a连续时, 根据连续函数极限的定义, 那么

二、四则运算法则求解极限

根据函数四则运算法则, 收敛的函数能够化简函数表达式, 从而求解极限. 使用函数的四则运算时, 学生需要注意使用条件, 结合具体问题进行恒等变形.

三、重要极限公式法求解函数的极限

常用的函数极限公式是

解题时要仔细观察所给函数的形式结构, 找出函数与公式的关系. 通过对函数的整理, 使得所求函数符合这两个极限参考公式之一, 结合一般的换元法解得函数极限.

四、洛必达法则求解函数极限

洛必达法则是高等数学中解决函数未定式极限的一种有力工具, 是处理“”类型和“”类型函数极限的有效方法.

五、分段点左右极限讨论求解极限

对于函数的分段点x0处, 我们可以根据函数f ( x) 在x0处的左、右极限存在且相等, 函数f ( x) 在x→x0时极限存的充要条件进行求解.

六、夹逼定理求解函数的极限

我们根据函数的夹逼性质, 适当进行变形后, 可以构造出两个函数两侧夹逼, 根据所构造函数来求解.

七、无穷小量性质求解函数极限

利用无穷小量的定义、性质和无穷小量与无穷大量的关系, 再利用等价无穷量解题. 若求解函数极限的过程中, 此函数是无穷小量与其他有界量乘除运算时, 我们可以用它的等价无穷小量来替代, 从而使得计算简化.

而|2+cosx|≤3, 则2+cosx是有界函数,

根据无穷小量的性质, 则

求解函数的极限, 是函数解决实际应用中的重要任务.计算极限的过程, 就是通过研究分析函数的特征, 进行方法选择的过程. 实际上, 函数极限的求解有很多方法. 我们还可以利用函数的导数分析求解, 利用定积分的定义求解, 利用代数式的化简等多种方法.

求极限方法的研究 篇3

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使 ，只要

所以， ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而 是有界函数

2.利用四则运算法则

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数 与函数 复合而成，f[g（x）]在点 的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则

例如 ， 是由 与 复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1） 时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设 ～ ， ～ 且 存在，则

例如计算

解：当 时， ～ ， ～ ，所以

六、按连续性质计算

设函数 在 的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系 高等数学 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京： 科学出版社，2009.

作者简介：

求函数极限方法的若干方法 篇4

摘要： 关键词：

1引言：极限的重要性

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质2.1极限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有 xn−A <。

2.1.2limx→∞f x =A↔∀ε>0，任意整数X，使得当 x >时就有 f x −A <。类似可以定义单侧极限limx→+∞f x =A与limx→−∞f(x)。2.2.3类似可定义当，整数，使得当

时有

。，时右极限与左极限：。在此处键入公式。

2.2极限的性质

2.2.1极限的不等式性质：设若若，则，使得当，当

时有

。时有时有，则

；

。，则

与，使得当

在的某空心邻

时，时有，则。

。

2.2.1（推论）极限的保号性：设若若,则，使得当，当2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限域有

内有界，即3求极限的方法

1、定义法

2、利用极限的四则运算性质求极限，3、利用夹逼性定理求极限

4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限，6、利用洛必达法则求极限，7、利用定积分求极限，8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

9、利用变量替换求极限，10、利用递推公式求极限，11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限，13、利用泰勒展开式求极限，14、利用两个准则求极限

15、利用级数收敛的必要条件求极限

16、利用单侧极限求极限

17、利用中值定理求极限 3.1定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设的,总存在一个正整数

.，当

是一个数列,是实数,如果对任意给定,我们就称是数列

时,都有的极限.记为例1 证明

证 任给，取，则当时有

，所以。

3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则

。，例1求解 这是求

型极限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。3.3.1（数列情形）若则。，使得当时有，且，3.3.2（函数情形）若，则，使得当。

时有，又

例题

解 ：，其中，因此。

3.4利用两个重要极限球极限 两个重要极限是，或。

第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例题1解：令t=故 例题23.5利用迫敛性求极限 ,且在某个。

内有,那么

.则sinx=sin（t)=sint, 且当

时

例 求的极限

解：因为.且 由迫敛性知

所以

3.6利用洛必达法则求极限

假设当自变量和趋近于某一定值（或无穷大）时，函数

和

和

满足：的导数不为0的极限都是或都是无穷大都可导，并且存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即=。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。

例题 求

解 原式=注：运用洛比达法则应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。

2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。

3.7利用定积分求极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 例

上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

解 原式=，由定积分的定义可知。

3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简单化。例

解 注意时。

3.9利用变量替换求极限

为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例 已知证 令

试证

则时，于是

当时），故时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因有界，即，使得

。所以

（当

原式得证。

3.10利用递推公式求极限

用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。

例 设，对，定义

且

。证明 时，解 对推出递推公式解得,，因为，因此，序列

中可以得出

是单调递增且有界的，它的极限，设为，从，即。

3.11利用等价无穷小量代换求极限 所谓的无穷小量即，例如 求极限 解 本题属于有

型极限，利用等价无穷小因子替换

=

=,，称

与

是

时的无穷小量，记作

注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换,无穷小等价代换可以很好的简化解题。

3.12利用函数的连续性求极限

在若处连续，那么且

在点连续，则。

例 求的极限

解：由于

及函数在处连续，故

3.13利用泰勒展开式求极限 列举下 例题

3.14利用两个准则求极限

3.14.1函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数，并且例题

3.14.2单调有界准则：单调有界数列必有极限，并且极限唯一。,当时，则

则。

利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例题

3.15利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例题

3.16利用单侧极限求极限

1）求含的函数

趋向无穷的极限，或求含的函数

趋于的极限;2）求含取整函数的函数极限;3）分段函数在分段点处的极限;4）含偶次方根的函数以及

或的函数，趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例题

常用求极限方法的探索与总结 篇5

学院：——————————

专业班级：—————————— 姓名：—————————— 学号：——————

常用求极限方法的探究与总结

摘要：求数列和函数极限是高等数学中的一个重点也是难点。题目类型不同，解题方法就可能不一样。根据本学期所学内容，本文将会探索和总结一些求极限的常用方法。

关键词：极限夹逼定理等价无穷小 海涅定理 泰勒公式 拉格朗日中值定理 正文：

一.用极限定义证明某一极限的正确性

例1

高等数学求极限方法 篇6

在考研数学中，极限这一块所占的分值大概在10分左右，题目难度值在，算是常规题型里最简单的题目。这10分里平均大概有9.5分考查的是极限的计算。所以，在学习极限时，应重点掌握求极限的方法。

求极限的基本思路是：将不能直接代入的极限通过某种方式转换成可以直接代入的极限，考试的核心考点就在于转换过程。接下来，中公考研数学辅导老师曹严梅将介绍几种常用的求极限的方法。

3.洛必达法则

在使用洛必达法则之前，需要注意以下两点：

(1)使用之前，要先检验条件。

在基础阶段学习时，大家只需检验第一个条件就可以了。

(2)使用之前，要先化简。

化简用到最多的方法就是等价无穷小替换。

除此之外，使用洛必达法则时，会常用到以下几个求导公式:

中公考研

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小结：

(1)在使用洛必达法则之前，先检验条件，并采用等价无穷小替换，化简函数。

(2)求极限时，涉及到多个无穷大相加时，采用“抓大头”的方法。“抓大头”时，要先抓类型(x→+∞时，指数函数 幂函数 对数函数)，再抓高次。

4.两个重要极限

要求掌握两个重要的极限：

这个极限式适用于求解 型的极限，若题目中的极限与重要极限的形式有所不同，可以通过凑形式的方法求解。

中公考研

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在考试中，凡是遇到1∞ 型的极限，都要用这种方法来计算。

小结：幂指函数求极限的未定式有三种：第一种是 1∞型，这种类型的极限采用重要极限式来求解;另外两种是 00和 ∞0型未定式，求极限的方法是先采用对数恒等式变形，再求极限。在考试中第一种出现的比较多，应重点掌握。

中公考研

求函数极限常用方法探析 篇7

后续内容 (连续、导数、积分等) 的学习, 还将影响到一些相关课程的学习。因此, 我们将对求极限常用的一些方法进行结归纳。

一、运用函数连续性求函数的极限

此方法和下面的极限的四则运算法则是我们用的最多但又好像是“在不知不觉中”用到的方法。例如:

二、运用极限的四则运算法则求极限

这也是我们常常在不知不觉中运用的一个法则, 笼统说来就是“和差积商的极限等于极限的和差积商”。要注意的是此方法适用的前提条件:各个极限都分别存在, 且运用除法法则时还需要分母的极限不为零。

三、洛必达法则

四、运用等价无穷小替换定理

我们常用的9个等价无穷小中的x是个模子, 如果把x换成任何能够趋向于零的函数那么仍然成立, 这也是此方法常用的原因。还有重要的一点是, 初学的同学经常分不清楚什么时候可以用等价无穷小替换, 什么时候不能用。通俗地不严格地讲, 如果这个无穷小是求极限函数的一个因子 (求极限的函数可以写成该无穷小乘以另外一个函数, 有时候该无穷小就是求极限函数的分子或分母, 这正是定理中描述的情况) , 那么一般说来我们就可以用它的等价无穷小替换以简化计算。

五、利用两个重要极限求极限

因为第一个重要极限其实和等价无穷小一致, 所以我们着重看第二个重要极限, 它也是个模子, 形象说来就是既然是个模子, 那就一定要符合这个模式的才能趋向于e, 这个公式是用来求1∞型未定式的, 而且它往往要比用洛必达法则要简单一些。

以上的五大方法是我们最常用的求极限的方法, 此外还有很多其他的求极限的方法。

六、其他方法

(1) 利用数列极限与函数极限的关系, 把求数列的极限转化为求函数的极限。

(2) 利用变量代换简化计算。变量代换这一思想方法不但在求极限中, 在其它很多问题 (比如积分问题、微分问题、求解微分方程的问题等等) 中都扮演了很重要的角色, 用好这一技巧, 常常能简化计算, 减少计算量, 有时还会起到意想不到的效果。在例6中我们就应用了这一方法来减少计算量, 而且把“零乘无穷大”型的未定式转化成了能用洛必达法则的基本类型。在例4中我们也曾应用这一方法来减少计算量。

(3) 利用“无穷小量乘以有界变量仍然是无穷小量”来求极限。无穷小量的这一性质容易被我们忽略。我们在上面例1中就应用了这一性质。

(4) 利用夹逼准则求极限。这种方法技巧性较强, 我们常在求数列极限时考虑此类方法, 而且该数列的通项是由很多有规律的项组成的情况。比如我们通常用夹逼准则来求

除此之外, 还有利用单调有界准则、运用极限的定义、泰勒展开式、定积分的定义、中值定理、幂级数的和函数、收敛级数的性质等等许多方法求极限。在学习极限的过程中, 勤思考、多总结, 才可以熟能生巧, 将各种方法融会贯通、灵活运用。

摘要：极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。极限论是数学分析的基础, 极限问题是数学分析中困难问题之一, 微分学和积分学中许多概念都是由极限的定义引入的, 它是学好导数和积分等后续内容的基础。因此, 极限问题在微积分中占有很重要的地位。本文较全面地介绍了求数列与一元函数极限常用的几种方法。

关键词：极限,方法,洛必达,等价无穷小

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]吴赣昌.高等数学 (第四版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2011.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2010.

高等数学求极限方法 篇8

题目：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透

学生姓名：段锡朋

学 号：20121050225 专 业：数理基础科学 指导教师：葛瑜

2016年4月27日

目录

摘要...........................................................................................................................................3 绪论.......................................................................................................................................5 2.2 极限在抛物线上的应用.............................................................................................6 第三章 极限在数列中的应用...............................................................................................8 3.1 极限在等比数列中的应用.........................................................................................8 3.2 洛必达法则在等比数列中的应用.............................................................................9 第四章 极限在不等式中的应用.........................................................................................10 4.1 极限比较不等式的大小...........................................................................................11 4.2证明不等式..................................................................................................................12 第五章 极限在立体几何中的应用.....................................................................................13 5.1极限确定角度的大小...................................................................................................13 结论.........................................................................................................................................16 致谢.........................................................................................................................................17 参考文献.................................................................................................................................18

摘要

大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。

关键字：大学数学，中等数学，极限，几何，数列，函数，不等式。

Abstract

College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking.With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school.Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method.The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study.It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation.That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics.It is effective.Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation

绪论

极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。

本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

研究意义

极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。

本课题解决的主要问题

本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。

极限的定义

极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。

函数极限的定义：设y=f(x)是一个函数，A是一个常数，x0 是一个点，f(x)在x0的一个去心邻域内有定义。如果当x越来越接近x0时，函数值越来越接近常数A，则称A为趋于x0的函数的极限。记为

或

数列极限的定义：设{}是一个数列，如果存在实数a，对于任意正数

|<ε(不论ε多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式│ε成立，那么称常数a是数列{或

}的极限，记作

极限的四则运算

数列极限的四则运算法则：若{{}，{

}和{

}为收敛数列，则{

}，}也都是收敛数列，且有

第二章 极限思想在函数中的应用

2.2 极限在抛物线上的应用

例1.抛物线

与过焦点F的直线m交于两点P、Q，F分线段PQ为两个

等于（）线段，其长分别为p,q则A,4 B, C,8 D,2

图一

解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点F（0，）由直线的参数方程可得过点F的直线m的参数方程为

联立方程（1）和（2）并消去x和y得

韦达定理：一个一元二次方程

+根据韦达定理得方程的两个根

,的关系为

=

（3）的两个根为

（1）(2)

=

=

（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的坐标为F（0,）

因为直线m是经过点F任意运动的。

所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时点Q就是运动到无穷远点 所以可以得到q∝∞，即∝0 于是.即答案为C

解析：本题是探究抛物线的不动点问题，中学数学的解法是探求p，q之间的关系，中间还应用到了参数方程和韦达定理，其过程比较繁琐，计算比较复杂，不适合于解答选择题。而利用大学数学中极限的解法，只要能认识到动点的极限状态，借助于极限的思想就会使问题变得简单：将线段PQ绕点F运动到无穷远处，因为PF=OF=p=，QF=q→∞，所以很快就可以得到种解法充分的体现了思维的灵活性和敏捷性。

→∞。极限的这第三章 极限在数列中的应用

在大学数学中我们就学过了数列极限的四则运算法则，在中学阶段主要学习最基础的等差数列和等比数列。而在中学的解题过程中同意可以运用极限的思想来解决部分问题。

下面看一下极限在数列中的应用

3.1 极限在等比数列中的应用

例.已知数列{P 解：设数列{

}的公比为q，则 }，其中=,且数列{

}为等比数列，求常数

q===

对上式两边求极限 当p=3时，当p≠3时，q=q=

（1）

=

此时 即

整理得

即 4-2p=6-3p 所以p=2或p=3 解析：此题采用中学数学中的解法：根据等比数列的定义用后一项和前一项之比来表示公比q，经过运算后发现根据中学数学的常规计算很难得到公比q，而（1）式正好是大学数学中极限的简单运算，采用极限的运算很快得出公比q的值。这道题是中学数学解法与极限相辅相成的体现。并不能用两种方法单独解答，但是也很好的体现了极限思想在中学数学中的渗透。

3.2 洛必达法则在等比数列中的应用

例.解：中学数学解法：

已知一个公比为x的等比数列的前n项和为：

=

所以

所以

=

=

用极限的思想的解法：

洛必达法则是用于无穷比无穷或0/0型，分子分母同时求导，可以多次求导，在求导过程中不断寻找等价的无穷小，或削去无穷因子。此题符合洛必达法则。

解析：观察题目的分子分母可知分子分母符合等比数列的前项和公式，再通过极限的计算得出结果。而采用大学数学的极限的方法，我们可以看出整个式子符合运用洛必达法则的条件，所以通过洛必达法则对分子和分母同时求导就可以得出结果。此题是一道填空题，我们通过解答可以看出极限思想的优越性。中学数学解法过程比较繁琐和耗时，而极限的解法简单省时，甚至可以达到秒杀的效果，应当掌握

第四章 极限在不等式中的应用

不等式是中学数学中一个重要的模块，在大学数学中不等式的应用十分广泛，例如极限的证明，夹逼法则的应用等等。而极限同样也在不等式中有着十分广泛的应用。4.1 极限比较不等式的大小

例：已知的大小。，，比较，解：中学数学的解法：采用赋值法，已知假设p=3，q=6 则，=3

所以可得 极限的解法：当

时，，由

得

解析:中学数学的解法在比较不等式时最先想到的是赋值法，而本题采用赋值法的难点是p，q赋值的大小。我们看到根号里的分母是3，后两个式子又分别开3次幂和6次幂，这就时比较大小变得不容易，所以我们必须使p,q的值假设为3的倍数，为了减小计算量，设p=3，q=6，通过计算就可以比较出不等式的大小。采用极限的解法，假设其中的一个值，把不等式转化成与q有关的值，求出不等式的极限值就可以直接比较大小。赋值法在一般情况下简单实用，但是比较考察赋值的把握能力。本题采用极限法只是应用了极限的简单思想和进行了简单的计算，值得掌握。

4.2证明不等式

设n为自然数，求证：解：用数学归纳法

当 n=1时，不等式显然成立。设n=k（那么，当n=k+1时，)时，不等式成立，即

（1）

由于

所以，数学归纳法不可行

之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于是一个常数，从k 到(k+1)右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想可以将题目转化为:

=

时，（2），不等式（2）成立，证明：①当n=1时，②设n=k(k1)时，不等式（2）成立，即

那么，当n=k+1时，+

<即当n=k+1时，不等式（2）成立 即原式

解析：中学数学的解法：采用数学归纳法，我们可以看出n=1时，不等式显然成立，假设n=k时不等式也成立，如果再证明出n=k+1时，不等式成立，则假设的n=k就成立，那么就可以用数学归纳法证明出不等式成立，但此题在证明n=k+1时，使不等式的左边的值增大了，所以就达不到证明不等式左边小于右边的效果。极限的方法使不等式的右边的常数值转化成了一个等价的变量，使在证明n=k+1时，不等式左右两边的值同时增大，通过比较不等式的大小就证明出了n=k+1时不等式成立，继而得出假设的n=k时的不等式也同样成立，所以不等式就成立了。此题如果一味的采用数学归纳法是证明不出不等式成立的，而引入极限的思想，用极限值来构造新的不等式就可以证明出了不等式成立，本题中引入的极限可以说是达到了一个四两拨千斤的效果，作用非常大，这也正是极限的思想在中学数学中的渗透的一个体现。

第五章 极限在立体几何中的应用

5.1极限确定角度的大小

立体几何作为中学数学中一个重要的模块，往往因为抽象而让学生感觉学习难度较大。极限思想也成为了解决这类问题重要的一种方法。

例。正三棱锥相邻两个侧面所成的角为α，则α的取值范围是（Ｄ）A．（0，π）B.(0,π/3)C.(π/3,π/2)D.(π/3,π)

解：利用中学数学的解法： 首先作SO⊥底面ABC于O点。

因为S—ABC为正三棱锥，所以△ABC为正三角形，O点为△ABC的中心。作AD⊥SC于D点，连接BD，则BD⊥SC 所以∟ADB为相邻的两个侧面A—SC-B的二面角 ∟ADB=α

设AB=AC=BC=m,∟SCB=β 所以AD=BD=m由余弦定理可得

=1-

所以α的余弦值与β的值有关。再由余弦定理得

cos∟BOC=

因为 所以 因为

cos∟BSC=

BO<ＢＳ

cos∟BOC< cos∟BSC

∟BＯC＝并且余弦函数在［0，π］上是减函数。

所以 ∟BSC<

在△ＳＣＢ中，由三角形的内角和定理 所以

2β＋∟BSC＝π

β>

所以

即 ＝1-

即<α<π

所以答案为Ｄ

利用极限的思想求解

如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S-ABC的高，把O看作定点,S看作动点，当0→OS时，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角α→π；当OS→∞时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即α→π/3 所以α∈（π/3,π），答案即为D 解析：中学数学的解法：首先构造出相邻两个侧面的二面角的平面角∟ADB，然后通过余弦定理来探求α和β之间的关系，由三角形的内角和定理确定β的取值范围，继而确定出了α的取值范围，就可以得出答案，思路比较简单明了，但是计算过程比较繁琐。采用极限的解法:通过动点S的移动，把相邻的两个侧面转化为一个平面，把二面角的平面角转化为三角形的内角，再根据动点的极限状态求出极限值这是一道选择题，采用中学数学的人解法步骤复杂，计算耗时较长，而采用极限的方法求解不仅简单省时，而且有利于锻炼学生的灵活性和创造性，此题充分体现了极限方法的优越性。

5.2极限在计算立体几何面积中的应用

例.设三棱柱ABC-DEF的体积为V，P、Q分别是侧棱AD、CF上的点，且PA=QF，则四棱锥B-APQC的体积为（）A.V B.V C.V D.V

结论

中学数学是大学数学的基础，许多中学数学的内容都是大学数学的模型。大学数学正是在中学数学的基础上发展起来的。所以说中学数学与大学数学之间存在着必然的联系，许多在中学数学中无法解决的问题在大学数学中得以解决，这就要求中学生在中学学习阶段必须掌握大学数学的一些基础知识。本文通过站在大学数学的角度，运用大学数学的知识、方法和思想，从不同角度重新去审视，分析和解决中学数学的问题。大学四年的学习对我来说是一个知识的储备过程。我在学习大学数学的同时，吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想，数学方法，正是这些数学思想和方法锻炼了我的思维的条理性和连贯性，加强了逻辑思维在分析问题和解决问题的能力。

通过对大学数学中的极限思想在中学数学中的渗透的研究，我发现大学数学极限思想能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们中学数学的方方面面。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。

对于中学生来说，能否熟练地应用和掌握极限的思想和方法就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思想的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。

致谢

四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我许多的帮助，通过对本课题的研究，我自己学到了许多东西。在此，我特别感谢爸爸妈妈在我四年的学习生活中对我的关爱和支持。感谢朋友帮助我使用几何画板画出数学图形。感谢舍友在查找和研究资料时对我的帮助。感谢学校提供的学习环境。更非常感谢导师对我的课题的指导。

参考文献

1.欧阳光中，朱学炎：《数学分析》，高等教育出版社1983年版 2.刘来刚：《图解基础数学手册》，吉林大学出版社2011年版 3.李朝东：《高中数学选修2-1》，中国少年儿童出版社2009年版 4孙翔峰：《三维设计2015新课标高考总复习》，光明日报出版社2015年版

高等数学求极限方法 篇9

（2）

（3）

（4）

（5）

x29.设f(x),x0,求下列函数并且作它们的图形x, x0,:(1)yf(x2);(2)y|f(x)|;(3)yf(x);(4)yf(|x|).解(1)yx4,x.(2)y|f(x)|x2,x0，x, x0.(3)yf(x)x2,x0,x2,x0,x, x0x, x0.(4)yf(|x|)x2,x.3

求下列函数的反函数:(1)yx22x(0x);(2)ysinhx(x);(3)ycoshx(0x).解(1)x22xy,x22yx40,xyy24,yxx24(x).exex(2)y,zex,z22yz10,exzyy221,xln(yy21),yln(xx21),(x).(3)exex2y,zex,z22yz10,exzyy21,xln(yy21),yln(xx21),(x1).证明cosh2xsinh2x1.exex2exex2(e2x证coshxsinhxe2x2)(e2xe2x222)2241.下列函数在指定区间内是否是有界函数?(1)yex2,x(,);否(2)yex2x(0,1010);是(3)ylnx,x(0,1);否(4)ylnx,x(r,1),其中r0.是2(5)yex2sinxcos(2x),x(,);是|y|12112.4 10.11.12.(6)yx2sinx,x(,);否.(7)yx2cosx,x(1010,1010).是

例举几种不同的方法求函数的极限 篇10

直接代入法是球函数极限的最基本的方法，这种方法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞的情况.

所以采用直接代入法.

二、最常用的方法:利用极限的四则运算法则来求极限

简单地说，极限的四则运算法则可以用一句话来概括:极限的四则运算等于四则运算的极限，或者说，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商，但是，这里要注意，前提条件是在同一变化过程中，并且函数的极限都存在的情况下.

三、最简单的方法:利用最高次幂系数比求极限

这种方法是求极限的最简单的方法，只需口算即可得出结果，只是，它只适用于分子、分母同时趋于∞的多项式比值的情况，即型未定式.

分析所给函数中，当x→∞时，分子、分母同时趋于∞，属于型未定式，因此我们可以利用这种方法来求极限.首先，通过观察，我们发现，分子、分母最高次幂为三次，因此，极限值就等于三次幂的系数比，即.

四、最固定的方法:两个重要极限

1. 第一个重要极限:lxi→m0xsinx=1例4求lxi→m0x21-cosx.

令t=2x，则x→0时t→0.

五、最易忽略的方法:利用无穷小量的性质

分析因为不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函数进行恒等变形.

解原式 (恒等变形) .

因为当x→∞时，，即是当x→∞时的无穷小，而|sinx|≤1，即sinx是有界函数，由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小，得.

六、最灵活的方法:无穷小等价代换

我们常用的等价无穷小有:当x→0时，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln (1+x) ，等等，在这里，我们需要注意，前提条件一定是当x趋于0时才成立.

事实上，我们的第一重要极限就可以用这种方法推导出来.

我们知道，当x→0时，x～sinx，所以上面的sinx可以直接替换为x，进而直接得出结论:1.

七、最广泛的方法:洛必达法则

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:

1. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足型，否则滥用洛必达法则会出错.

2. 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

3. 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果

仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换，等等.

例7 . (使用一次的情况)

(多次使用的情况)

总之，函数的极限问题是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.因此，对学生而言，学好函数的极限可以为他们今后的学习打下必要的基础.

摘要：“高等数学”就是以函数为主要研究对象的一门数学课程, 而函数的极限则是贯穿“高等数学”始终的一个重要概念, 是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念, 同时, 极限是微分的理论基础, 研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限, 如连续、导数、定积分等, 由此可见极限的重要性.本文将通过一些例题列举几种求函数极限的不同方法.

关键词：函数,极限,方法

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 1991.

[2]人民教育出版社中学数学室.数学及解题指导[M].北京:人民教育出版社, 2002.

高一数学求值域方法 篇11

(1)当f(x)是整式时，定义域为R;?

(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合;?

(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合;

(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围;?

(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合;?

(6)正切函数的定义域是{ };余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z};?

(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.

2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.

题型示例 点津归纳

【例1】 求下列函数的定义域:

(1)y= ;

(2)y= ;?

(3)y= ;?

(4)y=log(tanx).

【解前点津】 使整个解析式有意义的x取值集合即为所求.

【规范解答】 (1)由 .

(2)令1-2sinx≥0，则sinx≤ 利用单位圆可求得定义域为[2kπ- π，2kπ+ ]，k∈Z.

(3)由 知x是第一象限角或角x的终边在x轴正向或y轴正向上，故其定义域为

[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

(4)由tanx>0知x是一、三象限角，故为:(kπ+ ，kπ+π)，k∈Z.?

【解后归纳】 求函数定义域常常要解不等式(或不等式组)，理解并掌握集合的“交”“并”运算是一项基本功.含三角式的不等式求解，要么利用单位圆，要么利用函数的图像及周期性.

【例2】 当a取何实数时，函数y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1，2)?

【解前点津】 可转化为:确定a值，使关于x的不等式-x2+ax+2>0的解集为(-1，2).

【规范解答】 -x2+ax+2>0 x2-ax-2<0，故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.

【解后归纳】 解一元二次不等式，常联系一元二次方程的根或二次函数的图像.

【例3】 已知函数f(2x)的定义域是[-1，2]，求f(log2x)的定义域.

【解前点津】 在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.

【规范解答】 ∵-1≤x≤2，∴ ≤2x≤4故 ≤log2x≤4即

log2 ≤log2x≤log216 ≤x≤16.