数学归纳法与数列极限

数学归纳法与数列极限（共8篇）

数学归纳法与数列极限 篇1

数列极限的运算法则（5月3日）

教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用

教学过程：

一、复习引入：

函数极限的运算法则：如果limf(x)A,limg(x)B,则lim

xx0

xx0



xx0

f(x)g(x)

＿＿＿

xx0

lim



f(x).g(x)

＿＿＿＿，lim

f(x)g(x)

＿＿＿＿（B0）

xx0

二、新授课：

数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果limanA,limbnB,那么

n

n

lim(anbn)ABlim(anbn)AB

n

n

lim(an.bn)A.Blim

n

anbn



AB

n

(B0)

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若an

．．

则：lim(anbncn)limanlimbnlimcn

n

n

n

n

，bn，cn有极限，特别地，如果C是常数，那么lim(C.an)limC.liman

n

n

n

二.例题：

例1.已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn).n

n

n

例2.求下列极限：（1）lim(5

n

4n)；（2）lim（n

1n

1)

2例3.求下列有限：（1）lim

2n13n

1n

（2）lim

nn1

2n

分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：（1）lim（n

3n

1

5n1



7n1



2n1n1)

（2）lim（n

1242139

3n1n1)

说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。练习与作业：

1.已知liman2,limbn

n

n

13，求下列极限

anbn

an

（1）lim(2an3bn)；（2）lim

n

n

2.求下列极限：（1）lim(4

1)；（2）lim

2。

n

n

3.求下列极限（1）limn1；n

n

（3）lim3n21n

；n

4.求下列极限

已知limn

an3,limn

bn5,求下列极限：（1）.lim(3an4bn).n

5.求下列极限:（1）.lim(7

2n

n);

（3）.lim1(34)nnn

n

5

3n

（2）lim

nn

3n2；

（4）lim

5n2n。

n

3n2

1

（2）.lim

anbnn

anbn

（2）.lim（15)n

n

1

(4).lim

n

n1n

1

(5).lim(7).lim123n

2n

n

(6).lim

75n6n11

n

n1（8）lim（2

14n2)

n

n2

9

1

（9）lim

2142nn

1

1113





n

n

n

1n

10）.已知limnana2,求limnn

nnan

（

数学归纳法与数列极限 篇2

教学设计是为了实现一定的教学目标, 依据课程内容主题、学生特征和环境条件, 运用教与学的原理, 为学生策划学习资源和学习活动的过程, 即教学设计是在现代教育理论指导下, 为了促进学生学习和发展而设计的解决教与学问题的一套系统化程序。

信息技术与数理类课程整合的优势在于:

1.模拟情境

数理类学科的知识、术语较为抽象, 例如数学中的“对称”“异面”等关系, 物理中的“力”“场”等概念, 化学中的“反应”“平衡”等过程都是抽象难懂的。信息技术的运用可帮助教师和学生解决这些重点、难点问题。

2.转换观察空间

尤其是对宏观世界和微观世界的研究更为突出。

3.转换变化速度

尤其对物理的运动过程和化学变化过程的研究, 能让学生观察得细致全面。

4.展现思维空间

数学教学是思维过程的教学, 但在传统教学中教师并不能把握每个学生的思维过程, 从而不能给予及时反馈。信息技术的交互功能则能很好地解决这个问题。以往运用传统的教学手段, 学生在练习纸上整理数据, 教师很难了解到学生整理数据的全过程, 教学的实效性很难把握。而网络环境的互动性, 大信息量传载功能正可以解决这个问题, 使师生及时掌握各小组整合的全过程, 有利于学生在自己的探索过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法, 同时获得广泛的数学活动经验。

数学课程教学设计的主要基本策略有:

1.激发学习动机

进行教学设计时, 教师要着力于研究学生的生活背景, 致力于捕捉生活背景与学习材料之间的内在联系, 帮助学生主动寻求新知识的生活原型。要提供新知识的生活背景, 使学生借助生活中的实际情景来学习数学、理解数学、感受数学, 为新知识的应用找到生长点, 从而激发学习的兴趣, 增强学好数学的信心。

2.培养应用意识和实践能力

教学设计要密切结合学生的生活经验, 从现实中寻找学生学习的素材, 从具体的问题到抽象的概念, 得到抽象化的知识后再把它们应用到现实情景中, 通过学生的亲身体验, 增强学生的应用意识。实践对于知识的理解、掌握和熟练应用起着极其重要的作用, 只有亲身体验过的知识才能更深刻地理解, 更熟练地运用。要学以致用, 使学生感受到学习知识、掌握知识的价值所在, 在知识的运用过程中, 促使学生把所学的知识掌握得更熟练、更透彻, 使学生的实践能力得到培养和提高。让学生在感受成功的同时, 也感受到自身价值的存在。因此应给学生创造条件, 鼓励他们把所学知识运用到生活中去, 为培养学生的实践能力提供广阔的空间, 使学生真正亲近数学, 让数学真正走进学生生活, 在实践与运用中实现学习数学的价值。

3.引导自主探索、合作交流

要设计教师活动的内容, 即如何帮助和引导学生, 如何设置交流、讨论、合作等, 发挥教师的引导、组织作用, 使所有学生都能在学习中获得成功感, 树立自信心, 增强克服困难的勇气和毅力。为了促进学生进行有效的合作交流, 教学设计要有利于学生主动参与, 对进行交流的小组要进行合理的设计, 目的是使学生在小组中从事学习活动, 借助于学生之间的互动, 有效地促进学生的共同发展。对于如何分组, 要根据学习内容、特点来设计、确定小组成员的人数, 明确分工, 一般应遵循“组内异质、组间同质”的原则, 以此来保证每个小组在大致相同的水平上展开合作学习, 设计中应明确提出合作目标与合作要求。

4.鼓励解决问题策略多样化教学

设计应注重思维多元化的训练, 鼓励学生充分利用知识的横向和纵向联系来提高一题多解的能力, 对所学的知识能做到融会贯通, 形成新的知识网络, 增强知识的系统性, 提高驾驭知识和综合运用知识的能力, 让学生思维真正活跃起来, 从而提高学生解决问题的能力。

5.教学方式和手段多样化

活动方式的多样化已进入了数学课程, 如综合活动、实践活动、数学实验、课题学习、数学建模、数学猜想与证明、信息处理技能、数学欣赏以及探究性课题等。教学手段也趋于多元, 如可以利用几何画板让学生做“数学实验”, 利用新型的教学模式取代主要靠老师讲授、板书的灌输式教学模式, 在教学过程中鼓励学生自己做实验等, 使学生通过计算机从“听数学”转变为“做数学”。

教学设计具有预设成分, 但它是动态的, 教学设计的对象是人, 其设计的主体也是人, 而人的活动是最复杂、最难以把握的, 加上影响教学过程其他因素的复杂性, 教学设计是一项复杂的工作。因此, 作为教师应该努力提升自己的专业知识, 提高驾驭新课堂的能力, 使新课程真正落到实处。

教学设计方案内容包括学习内容特征分析、学习者特征分析、任务分析、教学目标、设计思路或意图、教学过程、课堂小结 (含板书设计) 、自主性教学评价 (教学反思) 、教学资源链接等。

下面就结合《数列的极限》的教学设计来谈一谈。

数列的极限是初等数学与高等数学相互衔接的重要内容之一, 考虑到大专学生理解极限的严格定义 (ε-Ν定义) 有一定的难度, 教科书 (自学考试《高等数学 (一) —微积分》) 明确规定, 只从数列的变化趋势理解数列的极限概念, 即只对极限的定义进行直观描述, 以降低教与学的难度, 我在教学过程中把重点放在对数列极限概念意义的准确把握和理解上。为了更好地达到教学目标, 我一方面设计了形象、直观、准确的计算机演示程序, 分散了教学难点, 另一方面在教学过程的设计上也作了周到的考虑。

在课题引入上, 我让学生展示在课下利用网络信息资源, 查阅中国古代数学家刘徽及其“割圆术”的相关资料, 创设情景式教学。一方面, 上网是中学生津津乐道的一种时尚, 故投其所好, 让他感觉到在时尚娱乐中也能学到数学, 体验数学的美感, 从而提高学习数学的兴趣。另一方面, 根据刘徽的对世界数学的贡献及其“割圆术”所体现的中华民族的传统文化及古代文人学者对知识追求坚持不懈的精神, 渗透爱国主义教育, 增强学生的民族自豪感, 培养学生的主动探索精神与创新意识。

在新课的设计上, 由观察到分析、由定性到定量、由直观到抽象, 按照思维的发展规律, 我由浅入深地设计了四个不同的层次。首先, 在第一个层次, 让学生观察几个分别代表不同类型的无穷数列的具体实例:

从“由大到小、由小到大、大小交错、大小恒定”的数值变化趋势上;从一维数轴点“从右至左、从左至右、左右交错、原地踏步”的变化方向上以及差式|an-a|无限接近于0的三种变化趋势上, 归纳出这几个无穷数列当项数n无限增大时an的变化趋势与刘徽割圆所具有的共同特性。为了形象直观地描绘数列的发展趋势的动态效果, 我利用课件以动画的形式来展示当an随着n的不断增大从不同的方向“飞入”一维数轴, 并不断向常数靠拢的动态过程, 克服了极限概念描述的抽象性, 分散了教学难点。同时充分发挥学生的主体作用, 引导学生以合作、交流的形式讨论得出观察结果, 培养其合作意识, 体验集体的力量是无穷的态度价值观, 同时也锻炼了学生在个性中寻求共性的求同思维。

然后在第二个层次, 通过学生的相互补充与完善, 总结、抽象、概括出数列极限的严谨、科学、完整的描述性定义。同时, 教师补充强调定义中一些关键的要素, 如:无穷数列、无限增大、无限趋近、一个常数等。通过这样一个过程, 让学生通过相互讨论、独立思考、师生交流去亲身经历、参与整个概念的明晰过程, 体现了学生的主体作用。

在第三个层次, 任何概念的定义不光具备性质描述功能还应该具备判定功能, 通过学生对几个由浅及深、层层深入的例题的回答, 体会定义的判定功能, 加深对数列极限概念的正确认识, 增强学生学习的自信。

例题:求下列数列的极限

第四个层次通过对几个精心设计的几个问题的讨论, 纠正学生在对数列的描述性定义理解上可能出现的错误, 这不但使学生对数列极限定义的进一步探讨的必要性有了初步的认识, 也能够激发起学生的参与热情, 并锻炼了学生的同中求异的发散性思维。

问题1:无穷数列an=2n是否有极限?在问题1上, 学生可能会出现的错误是:忽视描述性定义中数列极限是一个常数的要求, 只从数列的变化趋势看, 认为数列an=2n有极限, 并且是+∞。于是我通过让学生对+∞与常数本质区别的讨论, 使学生了解+∞是一个动态但不确定的变量, 从而得出并不是所有的无穷数列都有极限的结论。

问题2:数列an=1n的极限是多少?那么猜想nli→m∞0.999n的极限呢?an=1n的极限为1是显然的, 学生有可能直觉地认为0.999很接近1, 因而也应该很接近1, 但通过科学计算器的计算0.9991000、0.9995000、0.99910000、0.99920000而是随n的增大, 0.999n越来越接近于0。这说明科学研究中光凭直觉是不可靠的。实验是获取真理的有效手段, 让学生通过科学计算器来验证猜想, 并总结当。

通过这两个问题, 能纠正学生在数列极限描述性定义理解上出现的常见错误, 逐步深刻理解数列极限概念, 并培养学生科学研究中严谨的学习态度。

最后在小结时重在对数列极限概念的本质进行总结和点拨, 以期引起学生对极限的更深入的思考, 同时与教学目标相呼应。

数学这门科学需要观察, 也需要实验。我所设计的这节课就是学生通过观察、实验, 探究新知的过程。

参考文献

[1]何克抗, 郑永柏, 谢幼如.教学系统设计[M].北京:北京师范大学出版社, 2003.

[2]孙杰远.信息技术与课程整合[M].北京:北京大学出版社, 2002.

数列、极限及数学归纳法 篇3

例1 已知数列[an]和[bn]满足[a1=m],[an+1=][λan+n,][bn=an-2n3+49.]

（1）当[m=1]时,求证: 对于任意的实数[λ],[an]一定不是等差数列；

（2）当[λ=-12]时,试判断[bn]是否为等比数列.

解析 （1）当[m=1]时,[a1=1,a2=λ+1,][a3=λλ+1][+2=λ2+λ+2]，

假设[an]是等差数列,则由[a1+a3=2a2,]得[λ2+λ+3=2λ+1],即[λ2-λ+1=0],

由Δ[=-12-4⋅1⋅1=-3<0]，矛盾.

故对于任意的实数[λ],[an]一定不是等差数列.

（2）当[λ=-12]时,[an+1=-12an+n.]

而[bn=an-2n3+49,]

所以[bn+1=an+1-2(n+1)3+49]

[=(-12an+n)-2(n+1)3+49]

[=-12an+n3-29=-12(an-2n3+49)=-12bn.]

又[b1=m-23+49,]

故当[m=29]时, [bn]不是等比数列.

当[m≠29]时, [bn]是以[m-29]为首项,[-12]为公比的等比数列.

点评 判断某个数列是否为等差（比）数列，有两种常用方法：①定义法，②看任意相邻三项是否满足等差（比）中项. 若判断某个数列不是等差（比）数列，只需说明前三项不满足即可.

例2 已知数列[an]满足[a1=13]，[a2=79]，[an+2=43an+1-13an][(n∈N*)].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）求数列[nan]的前[n]项和[Sn].

解析 （1）由[an+2=43an+1-13an]，

得[an+2-13an+1=an+1-13an]，

∴数列[an+1-13an]是常数列，

[an+1-13an=a2-13a1=23]，即[an+1=13an+23]，

得[an+1-1=13(an-1)]，

∴数列[an-1]是首项为[a1-1=-23]，公比为[13]的等比数列，[an-1=(-23)⋅(13)n-1]，

故数列[an]的通项公式为[an=1-23n].

（2）[nan=n(1-23n)=n-2⋅n3n].

设[Tn=13+232+333+⋯+n3n]， ①

[13Tn=][132+233+⋯+n-13n+n3n+1]. ②

①-②得[23Tn=13+132+133+⋯+13n-n3n+1]，

∴[Tn=34-2n+34⋅3n].

故[Sn=(1+2+3+⋯+n)-2Tn]

[=n(n+1)2-32+2n+32⋅3n=(n2+n-3)⋅3n+2n+32⋅3n.]

点评 由递推公式求通项公式是考查的重点和难点，是解决后续问题的关键，复习时应重点关注递推数列的类型与求法，重点关注叠加、叠乘、迭代、转化等解题技巧的训练. 已知[Sn]与[an]的关系式[an=fSn]可求[an]，也可求[Sn]，关键是用[an=Sn-Sn-1][(n≥2)]来转化；数列求和的常见方法有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分解转化法，若涉及正负相间的数列求和常需分奇偶讨论，公比是参数的等比数列求和也需对公比[q=1]和[q≠1]两种情况进行分类讨论.

例3 已知数列[an]和[bn]满足[an=an-1bn]，[bn=bn-11-a2n-1(n≥2)]，当[a1=p,b1=q(p>0,q>0)]且[p+q=1]时.

（1）求证：[an>0,bn>0]且[an+bn=1(n∈N);]

（2）求证：[1an+1-1an=1]；

（3）求[limn→∞bn]的值.

解析 （1）当[n=1]时，命题显然成立，假设[n=k]时命题成立，即[ak>0,bk>0,ak+bk=1]，

当[n=k+1]时，因为[00]，

于是[bk+1=bk1-a2k>0]，[ak+1=akbk+1>0]，

[ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1]

[=(ak+1)bk1-a2k=bk1-ak=bkbk=1]得证.

（2）[1an+1-1an=1anbn+1-1an=1an(1bn+1-1)]

[=1an(1-a2nbn-1)=1anbn(1-bn-a2n)]

[=1anbn(an-a2n)=1-anbn=1.]

（3）由（2）可知，[1an=1a1+(n-1)=1p+(n-1),]

所以[an=pp(n-1)+1.]

[∴bn=1-an=1-pp(n-1)+1,]

[∴limn→∞bn=1].

点评 处理两个数列交错渗透的问题，可利用函数思想消元、代换，转化到一个数列中求解.

例4 已知函数[f(x)=x-ln(1+x)]，数列[an]满足[0

（1）求证：[0

（2）求证：[an+1

解析 （1）先用数学归纳法证明[0

①当[n=1]时，由已知，结论成立.

②假设当[n=k]时，结论成立，即[0

因为[00]，所以[f(x)]在[(0,1)]上是增函数. 又[f(x)]在[[0,1]]上连续，所以[f(0)

又因为[0

[an+1-an=an-ln(1+an)-an=-ln(1+an)<0]，

所以[an+1

综上,[0

（2）设函数[g(x)=ln(1+x)-x+x22(00,]所以[g(x)]在[(0,1)]上是增函数. 又[g(x)]在[[0,1]]上连续，且[g(0)=0,]所以当[00]成立，于是[g(an)>0]，即[ln(1+an)-an+a2n2>0.]故[an+1

点评 数列是特殊的函数，数列不等式与一般函数不等式一样，可以考虑从函数的角度来思考，处理的关键是揭开数列不等式的面纱，找准对应的函数，利用函数的单调性来证明.

例5 过点[P(1,0)]作曲线[C:y=xk(x∈(0,+∞),][k∈N*,k>1)]的切线，切点为[Q1],设点[Q1]在[x]轴上的投影是点[P1]；又过点[P1]作曲线[C]的切线，切点为[Q2],设[Q2]在[x]轴上的投影是[P2]；…依此下去,得到一系列点[Q1],[Q2],…,[Qn],…设点[Qn]的横坐标为[an].

（1）试求数列[{an}]的通项公式[an]；（用含[k]的代数式表示）

（2）求证：[an≥1+nk-1;]

（3）求证：[i=1niai

（注：[i=1nai=a1+a2+⋯+an]）

解析 （1）切点是[Qn(an,ank)]的切线方程为[y-ank=kank-1(x-an)].

当[n=1]时,切线过点(1,0),

即[0-a1k=ka1k-1(1-a1)],得[a1=kk-1].

当[n>1]时,切线过点[Pn-1(an-1,0)],

即[0-ank=kank-1(an-1-an)],解得[anan-1=kk-1].

[∴]数列[an]是首项为[kk-1]，公比为[kk-1]的等比数列，故通项[an=(kk-1)n,n∈N*].

（2）[an=(kk-1)n=(1+1k-1)n]

[=C0n+C1n1k-1+C2n(1k-1)2+⋯+Cnn(1k-1)n]

[≥C0n+C1n1k-1=1+nk-1].

（3）设[Sn=1a1+2a2+⋯+n-1an-1+nan],

则[k-1kSn=1a2+2a3+⋯+n-1an+nan+1],

两式相减得

[(1-k-1k)Sn=1a1+1a2+⋯+1an-nan+1]

[<1a1+1a2+⋯+1an]，

[∴][1kSn

故[Sn

点评 数形结合，建立曲线上点的横（纵）坐标的递推关系是处理点列问题的一般方法；形如第（2）问中指数型不等式一般采用构造二项式进行适当放缩即可.

例6 如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.

（1）设数列[an]是公方差为[p]的等方差数列，求[an]和[an-1(n≥2,n∈N)]的关系式；

（2）若数列[an]既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；

（3）设数列[an]是首项为2,公方差为2的等方差数列，若将[a1,a2,⋯,a10]这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的种数.

解析 （1）由等方差数列的定义可知，[a2n-a2n-1=p(n≥2,n∈N);]

（2）因为[an]是等差数列，若设公差为[d]，则[an+1-an=an-an-1=d.]

又[an]是等方差数列，因此[a2n-a2n-1=a2n+1-a2n,]

即[d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,]

解得[d=0]，即[an]是常数列.

（3）依题意，

[a1=2,a2n-a2n-1=2(n≥2,n∈N),a21=4,]

因此[a2n=4+2(n-1)=2n+2,]

解得[an=2n+2]或[an=-2n+2.]

即该密码的第1个数确定的方法数是1,其余每个数都有“正”或“负”2种确定方法，每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数有[29=512]种. 故这种密码共512种.

点评 求解“新定义”型问题的关键是先读懂题意，理解“新定义”的本质，再将“新”问题转化到常规问题中处理.

专题训练二

一、选择题

1. 在等差数列[{an}]中，已知[a1=2,a2+a3=13,]则[a4+a5+a6]等于（ ）

A. 40B. 42C. 43D. 45

2. 若数列[{ax}]满足[a1,a2a1,a3a2,…,anan-1,…]是首项为1，公比为2的等比数列，则[a100]等于（ ）

A. 2100 B. 299C. 25050 D. 24950

3. 一个等差数列共[n]项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数[n]为（ ）

A. 14B. 16C. 18D. 20

4. 已知[{an}]为等差数列，[{bn}]为等比数列，其公比[q≠1]，且[bi>0(i=1,2,3,…,n)],若[a1=b1，a11=b11],则（ ）

A. [a6=b6] B. [a6

C. [a6>b6] D. [a6>b6]或[a6

5. 已知[f(x)＝x＋1，g(x)＝2x＋1]，数列[{an}]满足：[a1＝1，an＋1＝f(an)(n为奇数),g(an)(n为偶数),]则数列[{an}]的前2007项的和为（ ）

A. 5×22008-2008 B. 3×22007-5020

C. 6×22006-5020 D. 6×21003-5020

6. 若[limx→1x2-6x+5x2-1=a,则limn→∞(1a+1a2+1a3+][⋯+1an)]的值为（ ）

A. -2B. [-13]

C. [-12]D. 3

7. 数列[{an}]满足[a1=a,][an+11a2n+4=1,]记[Sn=a21+a22+…+a2n，]若[S2n+1-Snm30]对任意[n∈N*]恒成立，则正整数[m]的最小值（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

8. 已知等差数列[an]中，[an=2n-1]，在[a1与a2之间插入1个2,]在[a2与a3之间插入2个2]，…，在[an与an+1之间插入n个2]，…，构成一个新的数列[bn]，若[a10=bk]，则[k]=（ ）

A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

9. 设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S19>0,S20<0]，则[S1a1,S2a2,⋯,S19a19]中最大的项是（ ）

A. [S19a19] B. [S11a11] C. [S10a10] D. [S1a1]

10. 我们把球外一点与球面上一动点之间距离的最小值,叫作该点到球面的距离,如果等比数列[an]的首项[a1]为空间一点[(t,1,2)]到球面[(x+8)2+(y－4)2+][(z+2)2=16]的距离的最小值,[Sn]为数列[an]的前[n]项和,且[limn→∞Sn=2],则等比数列[an]的公比[q]等于（ ）

A. 1 B. [12] C. [123] D. [14]

二、填空题

11. 依次写出数列[a1=1,a2,a3,⋯,]法则如下：如果[an-2]为自然数且未写过，则写[an+1=an-2]，否则就写[an+1=an+3]，则[a6=] .

12. 已知数列[an]的前[n]项和为[Sn=n2,]某三角形三边之比为[a2:a3:a4]，则该三角形最大角为 .

13. 已知数列[an]满足[an+1+an-1an+1-an+1=n]（[n]为正整数）且[a2=6]，则数列[an]的通项公式为[an=] .

14. 若数列[an]满足[1an+1-1an=d(n∈N*,d]为常数），则数列[an]为“调和数列”，已知数列[{1xn}]为“调和数列”，且[x1+x2+…+x20=200，]则[x13x18]的最大值是 .

15. 如图，一个类似杨辉三角的递推式，则

1

3 3

5 6 5

7 11 11 7

9 18 22 18 9

……

（1）第[n]行的首尾两数均为 ，

（2）第[n]行的第2个数为 .

三、解答题

16. 已知数列[an]的首项[a1=1，a2=3，]前[n]项和为[Sn]，且[Sn+1]、[Sn]、[Sn-1]分别是直线[l]上的点[A、B、C]的横坐标，点[B]分[AC]所成的比为[2an+1an]，设[b1=1，bn+1=log2(an+1)+bn.]

（1）判断数列[an+1]是否为等比数列，并证明你的结论；

（2）设[cn=4bn+1-1n+1anan+1]，证明：[k=1nck<1.]

17. 已知数列[an]中，[a1=1]，[an=][3n-1an-1]（[n]≥2，[n∈N*]）.

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）设[Sn=log3(an273n)]，数列[bn]的前[n]项和为[Sn]，求数列[bn]的通项公式；

（3）求数列[|bn|]的前[n]项和[Tn].

18. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：设[aij]（[i、j∈N*]）是位于这个数表中从上往下数第[i]行、从左往右数第[j]个数. 数表中第[i]行共有[2i-1]个正整数.

1

2 3

4 5 6 7

……

（1）若[aij]＝2010，求[i、j]的值；

（2）记[An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),]试比较[An]与[n2+n]的大小, 并说明理由.

19. 对于正项数列[{an}]，定义其调和均值为[H(n)][=n1a1+1a2+...+1an][(n∈N*)].

（1）若数列[an]中，[H(n)=2n+2]，求[an]的通项公式；

（2）已知[bn]为等比数列，且[b1=1],公比为2，其调和数为[H(n)],是否存在正整数[m],使得当[n≥m][(n∈N*)]时，[H(n)<18]恒成立. 如果存在，求[m]的最小值；如不存在，说明理由.

20. 已知数列[an]、[bn]、[cn]的通项公式满足[bn=an+1-an] ，[cn=bn+1-bn]（[n∈N∗]），若数列[bn]是一个非零常数列，则称数列[an]是一阶等差数列；若数列[cn]是一个非零常数列，则称数列[an]是二阶等差数列.

（1）试写出满足条件[a1=1]、[b1=1]、[cn=1]的二阶等差数列[an]的前五项；

（2）求满足条件（1）的二阶等差数列[an]的通项公式[an]；

（3）若数列[an]中[a1=2]，且[cn-bn+1+3an=-2n+1][(n∈N∗)]， 求数列[an]的通项公式.

21. 设数列[an]的前[n]项和为[Sn=3an-3n+1].

（1）证明：[an3n-2]为等比数列，并求数列[an]的通项公式；

高中数学《数列的极限》教学设计 篇4

一、教学目标

1.知识与能力目标

①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。

②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。

③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。

2.过程与方法目标

培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。

3.情感、态度、价值观目标

使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限的概念和定义。

教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。

三、教学对象分析

这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。

四、教学策略及教法设计

本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识，接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后进行练习巩固，通过这样的一个完整的教学过程，由观察到分析、由定量到定性，由直观到抽象，并借助于多媒体课件的演示，使得学生逐步地了解极限这个新的概念，为下节课的极限的运算及应用做准备，为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点，突破难点，达到教学目标的要求。

五、教学过程

1.创设情境

课件展示创设情境动画。

今天我们将要学习一个很重要的新的知识。

情境

1、我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

情境

2、我国古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说拿一根木棒，将它切成一半，拿其中一半来再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之„„?如此下去，无限次地切，每次都切一半，问是否会切完?

大家都知道，这是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原来的少了一半，也就是说木棒的长度越来越短，但永远不会变成零。从而引出极限的概念。

2.定义探究

展示定义探索(一)动画演示。

问题1：请观察以下无穷数列，当n无限增大时，a，I的变化趋势有什么特点?

(1)1/2,2/3,3/4,„n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n„„

问题2：观察课件演示，请分析以上两个数列随项数n的增大项有那些特点?

师生一起归纳总结出以下结论：数列(1)项数n无限增大时，项无限趋近于1；数列(2)项数n无限增大时，项无限趋近于1。

那么就把1叫数列(1)的极限，1叫数列(2)的极限。这两个数列只是形式不同，它们都是随项数n的无限增大，项无限趋近于某一确定常数，这个常数叫做这个数列的极限。

那么，什么叫数列的极限呢?对于无穷数列an，如果当n无限增大时，an无限趋向于某一个常数A，则称A是数列an的极限。

提出问题3：怎样用数学语言来定量描述呢?怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势?

展示定义探索(二)动画演示，师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小，项与1越趋近，因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定多么小的正数e，如取e=O-1，总能在数列中找到一项am，使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，若取￡=0。0001，则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，即1是数列(1)的极限。最后，师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量(用这些量来描述数列1的极限)。

数列的极限为：对于任意的ε>0，如果总存在自然数N，当n>N时，不等式｜an-A｜n的极限。

定义探索动画(一)：

课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值，并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。

定义探索动画(二)课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值和I an一1I的值，并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。

3.知识应用

这里举了3道例题，与学生一块思考，一起分析作答。

例1.已知数列：

1,-1/2,1/3,-1/4,1/5„„,(-1)n+11/n，„„

(1)计算|an-0|(2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。

(3)确定这个数列的极限。

例2.已知数列：

已知数列：3/2,9/4,15/8„„，2+(-1/2)n，„„。

猜测这个数列有无极限，如果有，应该是什么数?并求出从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.1，从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.017

例3.求常数数列一7，一7，一7，一7，„„的极限。

5.知识小结

这节课我们研究了数列极限的概念，对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势，而通过对数列极限定义的探讨，我们看到这一过程又是通过有限来把握的，有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。

课后练习：

(1)判断下列数列是否有极限，如果有的话请求出它的极限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。

(2)课本练习1，2。

6.探究性问题

设计研究性学习的思考题。

提出问题：

芝诺悖论：阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍，阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里，当阿基里斯追到O.1公里的地方，乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方，乌龟又向前跑了0.001公里„„这样一直追下去，阿基里斯能追上乌龟吗?

数列极限的证明 篇5

求极限我会

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

数列极限的定义教案 篇6

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

n

1．以数列(1)n为例

a111n:1，，234 0 观察：随n的增大，点越来越接近

2只要n充分大，表示点a(1)n即：n与原点的距离an0n01n可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 n

2．具体分析：(1)如果预先给定的正数是

1(1)10，要使an0n01n<110 只要n10即可 即：数列(1)nn的第10项之后的所有项都满足

(2)同理：如果预先给定的正数是1103，同理可得只要n103即可(3)如果预先给定的正数是

110k(kN*)，同理可得：只要n10k即可

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN

就有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

记为：limnana 读法：“”趋向于

“n” n无限增大时

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

a，也可以摆动趋近于a

三、处理课本 例

二、例

三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身

例四 这是一个很重要的结论

四、用定义证明下列数列的极限：

1．lim2n1n2

2．lim3n1n1

n2n132 证明1：设是任意给定的小正数

2n12n111n12n要使2n 即：2

两边取对数 nlog1

取 N12log2

„„„„介绍取整函数 2n12n当nN时，2n1恒成立

∴lim1n2n1

证明2：设是任意给定的小正数

要使

3n11512n132 只要

2n15

n42 取N513n1342

当nN时，2n12恒成立

数学归纳法与数列极限 篇7

新的数学课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动, 让学生经历数学发现的历程.如何落实这一理念, 使学生能够在教师的引领下, 学会发现、学会学习, 从而更好地培养学生的创新能力, 提高学生的数学素养, 是新一轮课程改革的重点.在四川省教育科学研究所主办的“四川省民族地区省级校本研训基地校建设工作会”上, 我以《数列的极限》为题上了一节研究课, 对此做了一些尝试和思考.

1 教学实录

1.1 创设情景, 提出核心问题

师:请同学们说说你心目中的“极限”是什么意思?

生1:极限就是大到无限的大, 小到无限的小, 我们不知道其实际大小, 但是却知道它趋近于某一个程度.

生2:极限啊, 就如同光速或者零下273.5℃这样绝对不可及的温度, 是一种可望不可及的状态.

生3:……

师:同学们从生活语言角度谈了自己对极限的理解, 非常不错.其实, 数列的极限常常和“分割”与“逼近”相联系, 因此我们今天就来进行分割逼近活动, 归纳数列极限概念.

1.2 进行分割逼近活动, 体验极限思想

师:在以前的各个学科的学习中, 我们用分割与逼近的方法解决过哪些问题?请尽可能多的用图形表示出分割与逼近的过程.

让学生在所发的白纸上作图, 然后请同学通过投影仪展示.

生4:在求圆周率的时候, 用正多边形的面积去逼近圆的面积, 所做正多边形越多, 近似程度就越高.

生5:我们在推导球的体积公式和表面公式时, 把球分成很多个“薄圆片”和“小棱锥”, 然后求和, 利用体积近似相等得到公式.

生6:物理中, “油膜法”测量分子直径, 采用的是将油滴的表面无限细分的方法.推导匀加速运动的位移公式, 也是采用无限细分的方法“化曲为直”的.

生7:……

师:非常不错, 同学们不仅举出了数学中的例子, 还列举了物理中的例子.这些例子都较好地体现了利用“分割逼近”的方法来解决实际问题.

其实“分割逼近”的思想由来已久.在《庄子》中便有“一尺之捶, 日取其半, 万世不竭”的记载.我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形, 求得精确到两位小数的圆周率π值为3.14.他的方法被后人称为割圆术.

师:请同学们将下列数列的项在数轴上表示出来, 分析数列的项有什么样的变化趋势, 看看哪些数列有极限:

$(1)a{}_n=\frac{n}{n+1}$;$(2)a{}_n=\left(\frac{4}{5}\right){}^n$;

(3) an=n;$(4)a{}_n=(-1){}^n\frac{1}{n}.$

生8:数列 (1) 、 (3) 是单增数列, 数列 (2) 是单减数列, 数列 (4) 是摆动数列.

生9:我觉得数列 (1) 、 (2) 、 (4) 有极限, 数列 (3) 没有极限.

生10:……

1.3 开展归纳反思活动, 得出极限概念

师:那么, 你们觉得什么叫数列的极限呢?

教师用《几何画板》动态演示数列$a{}_n=(-1){}^n\frac{1}{n}$的项的变化情况, 学生观察数列的项随n的变化而发生变化的过程, 反复实践, 反复体验“无限的趋近”.

师:随n的增大, 数列$a{}_n=(-1){}^n\frac{1}{n}$的项有什么变化?

(几乎) 全体学生:无限的趋近于0.

师:什么叫“无限的趋近于0”呢?

(学生思考与讨论)

生11:就是它们的距离越来越小.

师:那距离用什么描述呢?

(学生沉默片刻)

生12:就是$\left|(-1){}^n\frac{1}{n}-0\right|$越来越小.

师:距离比0.1小能办到么?

生13:只要n>10就可以了.

师:距离比0.01小能办到么?

生13:只要n>100就可以了.

师:距离比0.001小能办到么?

生13:只要n>1000就可以了.

……

经过这样的反思、交流和讨论, 形成如下表述:如果当项数n无限增大时, 无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a (即是|an-a|无限的接近于0) , 就说数列{an}以a为极限, 记作$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}a{}_n=a$, 也可以写成:当n→∞时, an→a.

老师再追问:那么0.0001能不能是数列$\left\{\frac{(-1){}^n}{n}\right\}$的极限呢?

这一问题引起了同学们的激烈争论, 通过分析, 发现0.0001和$(-1){}^n\frac{1}{n}$的距离能够很小, 但随着n的无限增大不能无限的小, 结合定义达成了共识.由此, 在学生的创造性活动中完善了对数列极限概念的“意义建构”.

1.4 小结极限概念及思想方法

略.

1.5 布置课后作业

1.完成教材上第76页第3题;

2.求曲线y=x2和直线x=1, x=2以及x轴所围曲边梯形的面积.

2 教学反思

学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的和富有挑战性的, 数学课堂要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.基于此, 本节课的设计有如下几个特点:

1) 立足学生能力培养, 注重思维教学.本节课的核心问题——进行分割逼近活动, 归纳数列极限概念——贯穿整节课, 在核心问题之下设置了两次分割与逼近活动、一次归纳活动和一次反思活动, 以引导学生的思维, 突出了对学生能力的培养.

2) 注重“再创造过程”, 引导学生自主学习、主动探究.创造能力是最高层次的能力, 数学学习的本质是学生的再创造.虽然学生要学的数学知识都是前人已经发现的, 但对学生来说, 仍是全新的、未知的, 需要每个人再现类似的创造过程来形成.在本节课中, 没有采用常见的讲授法, 而是给学生提供充分的再创造机会, 激励学生进行再创造活动, 自主的去感受分割、逼近和极限的辨证关系, 体验极限概念的不断抽象过程.

3) 搭建适当的脚手架, 注意任务设置的层次性.在学习的关键时刻, 关注了细节, 适时介入, 为学生搭建了合适的脚手架来促进学生现有认知水平向潜在认知水平的跃进, 这体现在如下几个方面:一是课前布置了问题, 学生进行了预习, 尤其是对利用分割与逼近方法解决的问题有了大致的归类;二是课题从学生的感性认识入手, 将学生关于极限的缄默知识激发并和教学内容较好的结合起来;三是在学生得到数列极限的描述性定义后, 以问题的形式促使学生对定义进行再反思.

从实际执教的情况来看, 本节课学生精神饱满、兴趣浓厚、合作积极, 与教师保持良好的互动, 思维碰撞比较激烈.但在学生自主探索、展示自己探究的过程时, 花了较长的时间.

利用课后作业第2题, 对学生学习后的情况进行了简单的后测.约76.3%的学生能重复分割、求和、求极限的过程, 说明基本上能掌握本节课的核心思想.课后与学生做了深层次的交流, 他们也认为:通过画图体会分割逼近的过程, 明白了知识的产生过程, 更体会了研究问题的方法, 提高了对自己的学习行为进行自我分析和自我反思的能力.

此外, 在本节课上, 许多平时成绩不那么好的同学都可以想出很多令人吃惊的方法, 并对数学学习产生了浓厚的兴趣.这值得我们思考.

数列极限存在的条件(经典课件) 篇8

教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则。

教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛

数列的极限；初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。

教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。

教学难点：相关定理的应用。

教学方法：讲练结合。

教学学时：2学时。

 引言

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。

本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。

一、单调数列：

定义 若数列an的各项满足不等式anan1(aan1)，则称an为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列． (1)n12例如：为递减数列；n为递增数列；不是单调数列。nn

二、单调有界定理：

考虑：单调数列一定收敛吗？有界数列一定收敛吗？以上两个问题答案都是否定的，如果数列对以上两个条件都满足呢？答案就成为肯定的了，即有如下定理：

定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限。

证明：不妨设an单调递增有上界，由确界原理an有上确界asupan，下面证明limana.0，n

一方面，由上确界定义aNan，使得aaN，又由an的递增性得，当nN时aaNan； 另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an，都有anaa；

所以当nN时有aana，即ana，这就证得limana。n

同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。

例１ 设an1111,n1,2,其中2，证明数列an收敛。23n

证明：显然数列an是单调递增的，以下证明它有上界.事实上，an1111 22223n

11111111111 1223(n1)n223n1n

212，n1,2, n

于是由单调有界定理便知数列an收敛。

例２ 证明下列数列收敛，并求其极限：

 n个根号

解：记an

显然a1222，易见数列an是单调递增的，现用数学归纳法证明an有上界2.22，假设an2，则有an12an222，从而数列an有上界2.n2于是由单调有界定理便知数列an收敛。以下再求其极限，设limana，对等式an12an两边

2同时取极限得a2a，解之得a2或a1（舍去，由数列极限保不等式性知此数列极限非负），从而 lim2222.n

例３证明lim(1)存在。n1nn

分析：此数列各项变化趋势如下

我们有理由猜测这个数列单调递增且有上界，下面证明这个猜测是正确的。

证明：先建立一个不等式，设ba0，nN，则由

bn1an1(ba)(bnbn1abn2a2ban1an)(n1)bn(ba)得到不等式 an1bn(n1)anb（＊）

以b111111a代入（＊）式，由于(n1)anb(n1)(1)n(1)1 nn1n1n

n1nn111由此可知数列1为递增数列； nn1于是1n1

再以b11111a代入（＊）式，同样由于(n1)anb(n1)n(1)，2n2n

2n2nn14由此可知数列1为有界数列； n111于是1112n22n

n综上由单调有界定理便知lim(1)存在。nn

n1注：数列1是收敛的，但它的极限目前没有办法求出，实际上它的极限是e（无理数），即有n

1lim(1)n＝e，这是非常有用的结论，我们必须熟记，以后可以直接应用。nn

例4 求以下数列极限：

（1）lim(1)；（2）lim(1nn1nn1n1)；（3）lim(1)2n.n2nn

n1n1 解:(1)lim(1)lim1nnnn11； e

(2)lim(1n1n1)lim1n2n2n2ne 12

(3)lim(1n12n)n1nlim1e2.nn2

三、柯西收敛准则：

１．引言：

单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则。

２．Cauchy收敛准则：

定理2.10（Cauchy收敛准则）数列an收敛的充分必要条件是：对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当n,mN时有|anam|；或对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当nN，及任一pN，有anpan。

３．说明：

(1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。

(2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。

(3)Cauchy准则把N定义中an与a的之差换成an与am之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。

(4)数列an发散的充分必要条件是：存在00，对任意的NN，都可以找到n,mN，使得anam0；存在00，对任意的NN，都可以找到nN，及pN，使得anpan0.例5设an1112n，证明数列an收敛。101010

证明：不妨设nm，则

anam111m1m2n101010

1110m11nm11011111 mnm19101010mm110对任给的0，存在N

例6设an1

证明：0，对一切nmN有|anam|，由柯西收敛准则知数列an收敛。11，证明数列an发散。2n